Graphen, Topologie

Graphen
■ Sie wissen wie Graphen definiert sind und kennen deren
Varianten
■ Sie wissen wofür man sie verwendet
■ Sie können Graphen in Java implementieren
■ Sie kennen die Algorithmen und können sie auch
implementieren: Tiefensuche, Breitensuche, kürzester Pfad,
topologisches Sortieren
Beispiel Strassennetz
Winterthur
25km
Zürich
126km
102km
Bern
16km
Berikon
41km
121km
54km
97km
155km
Chur
146km
277km
Luzern
206km
152km
Genf
363km
Lugano
■ Typische Aufgabe: finde kürzeste Verbindung zwischen zwei Orten
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Netzplan, Aufgabenliste
Kritischer
KritischerPfad
Pfad
■ Typische Aufgabe:
■
finde mögliche Reihenfolge der Tätigkeiten
■
find den kritischen Pfad
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Fragestellungen
■ Kürzeste Verbindung (Verkehr, Postversand) von A nach B (shortest path)
■ Reihenfolge von Tätigkeiten aus einem Netzplan erstellen (topological sort)
■ Minimal benötigte Zeit bei optimaler Reihenfolge (critical path)
■ Maximaler Durchsatz (Verkehr, Daten) von A nach B (maximal flow)
■ kürzester Weg um alle Punkte anzufahren (traveling salesman)
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Graph
■ Definition
Ein Graph G=(V,E) besteht aus einer endlichen Menge von Knoten V und einer
Menge von Kanten E ⊆ V x V.
■ Implementation
■
■
Knoten: Objekte mit Namen und anderen Attributen
Kanten: Verbindungen zwischen zwei Knoten u.U. mit Attributen
■ Hinweise:
■
■
Knoten werden auch vertices bzw. vertex genannt
Kanten heissen auch edges bzw. edge
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Grapheigenschaften
Knoten verbunden
■ Zwei Knoten x und y sind benachbart (adjacent), falls es eine Kante exy= (x,y)
gibt.
■ Verbundener Graph (connected graph) ist jeder Knoten mit jedem anderen
Knoten verbunden = existiert eine Kante
■ Verbundener Teilgraph Gesamter Graph besteht aus untereinander nicht
verbundenen Teilgraphen
■ Kanten gerichtet und/oder mit Gewicht
6
15
8
7
ungerichteter Graph
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gerichteter Graph
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gewichteter Graph
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Gewichtete Graphen
Ein Graph G = <V, E> kann zu einem gewichteten Graphen
G = <V, E, gw(E)> erweitert werden, wenn man eine Gewichtsfunktion
gw: E → int (oder gw: E → double) hinzu nimmt, die jeder Kante e ∈ E ein Gewicht
gw(e) zuordnet.
Eigenschaften
■ Gewichtete Graphen haben Gewichte an den Kanten. z.B. Kosten
■ Gewichtete gerichtete Graphen werden auch Netzwerk genannt.
■ Die gewichtete Pfadlänge ist die Summe der Kosten der Kanten auf dem Pfad.
■ Beispiel: Längenangabe (in km) zwischen Knoten (siehe einführendes Bsp).
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Ungerichtete Graphen
■ Sei G = <V,E>.
■ Falls für jedes e ∈ E mit e = (v1,v2) gilt: e’ = (v2,v1) ∈ E,
so heisst G ungerichteter Graph, ansonsten gerichteter Graph.
■ Die Relation E ist in diesem Fall symmetrisch.
■ Bei einem ungerichteten Graphen gehört zu jedem Pfeil von x nach y auch ein
Pfeil von y nach x.
■ Daher lässt man Pfeile ganz weg und zeichnet nur ungerichtete Kanten.
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Grapheigenschaften 2
Anzahl Kanten
■ Kompletter Graph: Jeder Knoten ist mit jedem anderen Knoten verbunden.
■ Dichter Graph (dense): Nur wenige Kanten im Graph (bezogen auf den
kompletten Graphen) fehlen,
■ Dünner Graph (sparse) Nur wenige Kanten im Graph (bezogen auf den
kompletten Graphen) sind vorhanden
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Pfade, Zyklen
■ Eine Sequenz von benachbarten Knoten ist ein einfacher Pfad, falls kein
Knoten zweimal vorkommt z.B. p = {Zürich, Luzern, Lugano}.
■ Die Pfadlänge ist die Anzahl der Kanten des Pfads.
■ Sind Anfangs- und Endknoten bei einem Pfad gleich, dann ist dies ein
zyklischer Pfad oder geschlossener Pfad bzw. Zyklus.
■ Graphen mit zyklischen Pfaden werden zyklische Graphen genannt.
gerichteter azyklischer Graph
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gerichteter zyklischer Graph
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Übung
(B, C, A, D, A) ist ein _____ von B nach A.
D
A
Er enthält einen _____: (A, D, A).
F
(C, A, B, E) ist einfacher ____ von C nach E.
B
(F, F, F, G) ist ein _____.
(A, B, C, A) und (A, D, A) und (F, F) sind die
einzigen _____.
H
G
C
(A, B, E, A) ist kein ____ und kein _____.
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E
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Baum wird zum Spezialfall
■ Ein zusammenhängender, gerichteter, zyklenfreier Graph mit genau einer
Wurzel ist ein Baum wobei zu jedem Knoten genau ein Pfad existiert
■ Eine Gruppe paarweise nicht zusammenhängender Bäume heisst Wald.
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Implementation 1 : Adjazenz-Liste
■ jeder Knoten führt (Adjazenz-) Liste, welch alle Kanten zu den benachbarten
Knoten enthält
Edge
Vertex
List
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Dabei wird für jede Kante
ein Eintrag bestehend aus dem
Zielknoten und weiteren
Attributen (z.B. Gewicht)
erstellt. Jeder Knoten führt eine
Liste der ausgehenden Kanten.
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Das Graph Interface
public interface Graph<N,E> {
// füge Knoten hinzu, tue nichts, falls Knoten schon existiert
public N addNode (String name) throws Throwable;
// finde den Knoten anhand seines Namens
public N findNode(String name);
// Iterator über alle Knoten des Graphen
public Iterable<N> getNodes();
// füge gerichtete und gewichtete Kante hinzu
public void addEdge(String source, String dest, double weight) throws Throwable;
}
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Klasse GraphNode definiert einen Knoten
public class GraphNode<E> {
protected String name;
// Name
protected List<E> edges; // Kanten
public GraphNode(){
edges = new LinkedList<E>( );
}
public GraphNode(String name){
this();
this.name = name;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public Iterable<E> getEdges(){
return edges;
}
public void addEdge(E edge){
edges.add(edge);
}
}
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Die Klasse Edge definiert eine Kante
public class Edge<N> {
protected N dest;
// Zielknoten der Kante
protected double weight;
// Kantengewicht
public Edge() {}
public Edge(N dest, double weight) {
this.dest = dest;
this.weight = weight;
}
public void setDest(N node) {
this.dest = node;
}
public N getDest() {return dest;}
public void setWeight(double w) {
this.weight = w;
}
double getWeight() {return weight;}
}
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AdjListGraph Implementation
public class AdjListGraph<N extends Node,E extends Edge>
implements Graph<N, E> {
private final List<N> nodes = new LinkedList<N>();
private final Class nodeClazz;
Klassen
Klassender
derGenerischen
GenerischenTypen
Typen
private final Class edgeClazz;
public AdjListGraph(Class nodeClazz, Class edgeClazz) {
this.nodeClazz = nodeClazz;
this.edgeClazz = edgeClazz;
}
// füge Knoten hinzu, gebe alten zurück falls Knoten schon existiert
public N addNode(String name) throws Throwable {
Erzeuge Instanz
N node = findNode(name);
Erzeuge Instanz
if (node == null) {
node = (N) nodeClazz.newInstance();
node.setName(name);
nodes.add(node);
}
return node;
}
....
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Implementation 2 : Adjazenzmatrix
A
B
C
A
false
true
false
B
true
false
true
C
true
false
true
■N x N (N = #Knoten) boolean Matrix; true dort wo Verbindung existiert
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Adjazenzmatrix
■ falls gewichtete Kanten -> Gewichte (double) statt boolean
■ für jede Kante exy= (x,y) gibt es einen Eintrag
■ sämtliche anderen Einträge sind 0 (oder undefined)
■ Nachteil:
■
ziemlicher (Speicher-)Overhead
■ Vorteil:
■
■
■
effizient
einfach zu implementieren
gut (speichereffizient) falls der Graph dicht
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Adjazenzmatrix
■ Distanzentabelle ist eine Adjazenzmatrix
■ ungerichtet -> symmetrisch zur Nebendiagonalen
■ im Prinzip reicht die eine Hälfte -> Dreiecksmatrix
BN
F
FD
GI
KS
K
MA
MR
WÜ
0
181
-
-
-
34
224
-
-
181
0
104
66
-
-
88
-
136
FD
-
104
0
106
96
-
-
-
93
GI
66
106
0
0
174
-
30
-
-
KS
-
-
96
-
0
-
-
104
-
K
34
-
-
174
-
0
-
-
-
MA
224
88
-
-
-
-
0
-
-
MR
-
-
-
30
104
-
-
0
-
WÜ
-
136
93
-
-
-
-
-
0
BN
F
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20 von 64
Vergleich der Implementierungen
■ Alle hier betrachteten Möglichkeiten zur Implementierung von Graphen haben
ihre spezifischen Vor- und Nachteile:
Vorteile
Adjazenzmatrix
Adjazenzliste
Nachteile
Berechnung der
Adjazenz sehr effizient
Platzbedarf ist
proportional zu n+m
hoher Platzbedarf und teure
Initialisierung: wachsen quadratisch
mit O(n2)
Effizienz der Kantensuche abhängig
von der mittleren Anzahl
ausgehender Kanten pro Knoten
■ n ist dabei die Knotenzahl und m die Kantenzahl eines Graphen G.
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Graph Algorithmen
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Graph Algorithmen
Traversierungen
■ Tiefensuche (depth-first search)
■ Breitensuche (breadth-first search)
häufige Anwendungen
■ Ungewichteter kürzester Pfad (unweighted shortest path)
■ Gewichteter kürzester Pfad (positive weighted shortest path)
■ Topologische Sortierung (topological sorting)
weitere Algorithmen
■ Maximaler Fluss
■ Handlungsreisender (traveling salesman)
■ …...
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Graphentraversierungen
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Grundformen: "Suchstrategien"
■ Genau wie bei den Traversierungen bei Bäumen, sollen bei Graphen die Knoten
systematisch besucht werden.
■ Es werden im Wesentlichen zwei grundlegende "Suchstrategien" unterschieden.
■ Tiefensuche: (depth-first)
■
Ausgehend von einem Startknoten geht man vorwärts (tiefer) zu einem neuen unbesuchten
Knoten, solange einer vorhanden (d.h. erreichbar) ist. Hat es keine weiteren (unbesuchten) Knoten
mehr, geht man rückwärts und betrachtet die noch unbesuchten Knoten. Entspricht der Preorder
Traversierung bei Bäumen.
■ Breitensuche: (breadth-first)
■
Ausgehend von einem Startknoten betrachtet man zuerst alle benachbarten Knoten (d.h. auf dem
gleichen Level), bevor man einen Schritt weitergeht. Entspricht der Levelorder Traversierung bei
Bäumen.
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Übung
■ Auf welche Arten kann folgender Graph in Tiefensuche durchsucht werden (Start
bei A)
E
A
C
B
D
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Tiefensuche (Pseudo Code)
void depthFirstSearch()
E
s = new Stack();
A
mark startNode;
C
s.push(startNode)
while (!s.empty()) {
B
currentNode = s.pop()
D
print currentNode
for all nodes n adjacent to currentNode {
if (!(marked(n)) {
mark n
s.push(n)
}
}
}
}
■ Am Anfang sind alle Knoten nicht markiert Knoten, die noch nicht besucht
wurden, liegen auf dem Stack
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Übung
■ Auf welche Arten kann folgender Graph in Breitensuche durchsucht werden
E
A
C
B
D
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28 von 64
Breitensuche (Pseudo Code)
void breadthFirstSearch()
E
q = new Queue()
A
mark startNode
C
q.enqueue(startNode)
while (!q.empty()) {
B
currentNode = q.dequeue()
D
print currentNode
for all nodes n adjacent to currentNode {
if (!(marked(n)) {
mark n
q.enqueue(n)
}
}
}
}
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Kürzester Pfad
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Kürzester Pfad 1: alle Kanten gleiches Gewicht
■ Gesucht ist der kürzeste Weg von einem bestimmten Knoten aus zu
jeweils einem anderen (z.B A nach F)
B
A
F
C
D
E
■ Lösung : A nach F über B
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31 von 64
Algorithmus kürzester ungewichteter Pfad
■ Vom Startpunkt ausgehend werden die Knoten mit ihrer Distanz markiert.
B/1
A/0
F/2
C/1
D/1
School of Engineering
E/2
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32 von 64
… Algorithmus kürzester ungewichteter Pfad
■ Gleichzeitig wird noch eingetragen, von welchem Knoten aus der
Knoten erreicht wurde
B/(A)
A/0
F/(B)
C/(A)
D/(A)
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E/(C)
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33 von 64
… Algorithmus kürzester ungewichteter Pfad
■ Vom Endpunkt aus kann dann rückwärts der kürzeste Pfad gebildet
werden
B/(A)
A/0
F/(B)
C/(A)
D/(A)
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E/(C)
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2. Kürzester Pfad bei gewichteten Kanten:
■ C ist über D schneller zu erreichen als direkt
Algorithmus: gleich wie vorher, aber korrigiere Einträge für Distanzen
B/2(A)
3
2
A/0
F
4
2
1
1
D/1(A)
School of Engineering
C/4(A)
2
E
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35 von 64
… Kürzester Pfad bei gewichteten Kanten
■ Der Eintrag für C wird auf den neuen Wert gesetzt; statt "markiert" gehe
so lange weiter, bis der neue Weg länger als der angetroffene ist.
B/2(A)
3
2
A/0
F
C/2(D)
4
2
1
1
D/1(A)
School of Engineering
2
E
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36 von 64
… Kürzester Pfad bei gewichteten Kanten
E und F werden normal behandelt. Der Pfad kann wie vorher
rückwärts gebildet werden
B/2(A)
3
2
A/0
F/5(B)
4
2
1
1
D/1(A)
School of Engineering
C/2(D)
2
E/4(C)
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37 von 64
Dijkstras Algorithmus
AA
■
■
besuchte Knoten
benachbart zu besuchtem Knoten
unbesehene Knoten (der Rest)
90
30
■ Teilt die Knoten in 3 Gruppen auf
■
90
FF
100
30
BB
20
40
40
10
EE
10
D
100
30
C
■ Suche unter den benachbarten Knoten denjenigen, dessen Pfad zum
Startknoten das kleinste Gewicht (=kürzeste Distanz) hat.
■ Besuche diesen und bestimme dessen benachbarte Knoten
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38 von 64
markierte Knoten
Knoten in Queue
unbesuchte Knoten
AA
90
AA
30
B
10
40
D
C
20
40
40
10
30
D
AA
FF
100
40
10
EE
10
40 C
C
School of Engineering
DD
70
FF
100
30
BB
100
10
EE
10
30
40 C
C
© K. Rege, ZHAW
90
50
20
40
40
100
30
90
30
90
20
40
EE
10
90
30
BB
BB
C
AA
30
30
E
10
FF
100
20
40
90
30
F
100
90
DD
70
100
30
39 von 64
letzter Stand
AA
90
AA
30
FF
100
30
BB
40
10
DD
CC
40
FF
CC
School of Engineering
DD
CC
30
DD
BB
30
90
FF
40
10
EE
10
30
CC
© K. Rege, ZHAW
50
20
40
70
100
70
70
100
EE
10
EE
30
50
20
10
10
10
30
40
40
40
40
100
50
20
40
AA
100
BB
BB
90
30
30
30
70
AA
FF
100
EE
10
40
30
50
20
40
90
DD
70
30
40 von 64
Pseudocode
for all nodes n in G {
n.mark = black;
// Knoten noch unbesehen
n.dist = inf;
// Distanz zum Startknoten
n.prev = null;
// Vorgängerknoten in Richtung Start
}
dist(start) = 0;
Schritt 1: Nur der Startknoten ist rot. Hat kleinste
current = start;
Distanz. Grün markiert, d.h. kleinste Distanz
start.mark = red;
gefunden. Alle von ihm ausgehenden Knoten
for all nodes in RED {
werden rot markiert und die Distanz zum
current = findNodeWithSmallestDist();
Startknoten eingetragen.
current.mark = green;
Schritt 2: Der Knoten mit kleinster Distanz kann
for all n in succ(current) {
if (n.mark != green) {
grün markiert werden. Um auf einem andern Weg
n.mark = red;
zu ihm zu gelangen, müsste man über einen
dist = current.dist+edge(current, n); andern roten Knoten mit grösserer Distanz
if (dist < n.dist) {
gehen.
n.dist = dist;
Markieren alle von diesem direkt erreichbaren
n.prev = current;
Knoten rot.
}
Schritt n: In jedem Schritt wird ein weiterer
}
}
Knoten grün. Dabei kann sich die Distanz der
}
roten Knoten ändern.
Demo-Applet: http://www-b2.is.tokushima-u.ac.jp/~ikeda/suuri/dijkstra/DijkstraApp.shtml?demo6
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41 von 64
Implementation mittels PriorityQueue
AA
void breadthFirstSearch()
90
30
FF
100
q = new PriorityQueue()
30
startNode.dist = 0;
BB
20
40
q.enqueue(startNode,0)
10
40
EE
100
10
while (!q.empty()) {
current= q.dequeue()
alle
allebenachbarten
benachbartenKnoten
Knoten
mark current
90
D
C
30
for all edges e of current {
nicht
nichtbesucht
besucht
n = e.node;
if (!(marked(n)) {
dist = e.dist + current.dist
if ((n.prev == null) || (dist < n.dist)) {
kürzerer
kürzererWeg
Weggefunden
gefunden
n.dist = dist;
n.prev = current
unbesehen
unbesehen
q.enqueue(n,-n.dist)
}
Rückweg
Rückweg
}
}
}
}School of Engineering
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42 von 64
Spannbaum
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43 von 64
Spannbaum (Spanning Tree)
Definitionen
■ Ein Spannbaum eines Graphen ist ein Baum, der alle Knoten des Graphen
enthält.
■ Ein minimaler Spannbaum (minimum spanning tree) ist ein Spannbaum eines
gewichteten Graphen, sodass die Summe aller Kanten minimal ist.
Algorithmus
■ z.B. Prim-Jarnik
■ Prim-Jarnik ist ähnlich wie Dijkstras Algorithmus
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44 von 64
Anwendung
■ Gesucht Netz mit minimaler Streckenlänge, das alle Städte verbindet
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45 von 64
Prim-Jarnik mittels PriorityQueue
void MST() {
q = new PriorityQueue()
Prinzip: Finde immer einen
startNode.dist = 0;
erreichbaren Knoten, mit der
q.enqueue(startNode,0)
while (!q.empty()) {
"leichtesten" Kante.
current = q.dequeue();
mark current
for all edges e of current {
n = e.node;
if (!(marked(n)) {
dist = e.dist;
if ((n.prev == null) || (dist < n.dist)) {
n.dist = dist;
n.prev = current;
q.enqueue(n, -n.dist);
}
}
}
}
}
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markierte Knoten
Knoten in Queue
unbesuchte Knoten
AA
AA
90
30
B
60
D
C
AA
40
60
CC
School of Engineering
DD
40
60
EE
D
C
100
BB
20
FF
100
30
60
EE
10
20
10
© K. Rege, ZHAW
CC
60
20
40
40
100
90
30
90
EE
20
10
20
10
10
40
AA
40
90
40
20
FF
100
BB
BB
90
30
30
30
E
10
FF
100
20
40
40
30
F
100
90
DD
100
20
40
47 von 64
letzter Stand
AA
90
30
FF
100
30
BB
60
40
60
DD
CC
40
40
60
CC
40
CC
School of Engineering
40
90
FF
100
30
BB
40
60
EE
10
20
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CC
60
20
40
20
10
20
20
30
60
EE
10
EE
DD
AA
20
DD
60
10
10
40
60
20
40
100
20
FF
100
10
BB
90
30
BB
30
40
AA
FF
100
EE
10
90
30
20
40
10
AA
DD
20
20
40
48 von 64
Shortest Path vs. Minimum Spanning Tree
Dijkstra: Shortest path
AA
AA
90
30
30
MST: Minimum Sum
FF
30
BB
30
40
EE
10
40
CC
Total = 190
Path A-F = 90
School of Engineering
DD
70
FF
90
BB
40
90
100
60
EE
10
20
40
CC
DD
90
20
70
Total = 160
Path A-F = 100
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49 von 64
Topologisches Sortieren
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50 von 64
Sortierung eines gerichteten Graphen:
topologisches Sortieren
■ Die Knoten eines gerichteten, unzyklischen Graphs in einer korrekten
Reihenfolge auflisten
B
A
F
C
Anwendung:
Die Kanten geben
Abhängigkeiten
zwischen Modulen in einem
Programm an.
Topologisches Sortieren
zeigt eine mögliche
Compilationsreihenfolge.
D
E
■ Lösung : A B D C E F oder A D C E B F
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Topologisches Sortieren, Beispiel
■ Compilations-Reihenfolge cc: c-> obj; cl: obj->exe
Person.c
Person.obj
main.c
main.obj
Person.h
Liste.c
main.exe
Liste.h
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Liste.obj
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Übung
■ Beschreiben Sie einen Algorithmus (in Pseudocode), der eine korrekte
Auflistung eines azyklischen gerichteten Graphen liefert.
■ Hinweis: Zähle die eingehenden Kanten; welche können ausgegeben
werden?
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Maximaler Fluss
School of Engineering
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Maximaler Fluss
■ Die Kanten geben den maximalen Fluss zwischen den Knoten an.
Wieviel fliesst von A nach F ?
B
2
3
A
F
C
4
1
1
D
2
2
E
■ Hinweis: Was in einen Knoten hinein fliesst, muss auch wieder heraus
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Maximaler Fluss
■ Resultat : 4
B
2/2
3/2
A
F
C
4/2
2/2
1/0
1/0
D
School of Engineering
2/2
E
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Lösungsidee maximaler Fluss
■ Noch 2 zusätzliche Versionen des Graphen
B
2
3
A
0
F
1
1
D
Original
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E
2
0
0
D
0
E
Vorläufiger Fluss
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3
A
F
C
4
C
0
B
2
F
0
2
0
A
C
4
B
1
1
D
2
2
E
Rest Fluss
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Lösungsidee maximaler Fluss
■ Pfad A B F einfügen : Fluss 2
B
2
3
A
1
F
1
E
Original
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2
0
0
D
F
C
4
0
0
E
Vorläufiger Fluss
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1
A
C
0
2
B
2
A
C
D
B
2
F
4
Kante A B löschen
1
1
D
2
2
E
Rest Fluss
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Lösungsidee maximaler Fluss
■ Pfad A C E F : Fluss 2
B
B
3
2
A
A
F
C
4
2
D
Original
School of Engineering
E
2
0
D
F
C
2
2
0
2
E
Vorläufiger Fluss
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1
A
C
2
1
B
2
2
F
1
Kanten C E F löschen
1
1
D
E
Rest Fluss
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Traveling Salesman
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Traveling Salesman Problem: TSP
Winterthur
25km
Zürich
126km
102km
Bern
16km
Berikon
41km
54km
121km
97km
155km
Chur
146km
277km
Luzern
206km
152km
Genf
363km
Lugano
■ Finden Sie die kürzeste Reiseroute durch die Schweiz, in der jede
Stadt genau einmal besucht wird. Option: am Schluss am
Ursprungsort
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Eigenschaften des TSP
■ Es ist relativ einfach eine Lösung im Beispiel zu finden:
■ Aber: manchmal gibt es überhaupt keine Lösung. Beispiel: Wenn mehr als
eine Stadt nur über einen Weg erreichbar ist.
■ Ob es der kürzeste Weg ist, lässt sich nur durch Bestimmen sämtlicher
möglicher Wege zeigen -> O(aN)
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Lösungen des TSP
■ Bis heute keine effiziente Lösung des TSP bekannt. Alle bekannten
Lösungen sind von der Art :
Allgemeiner TSP-Algorithmus:
Erzeuge alle möglichen Routen;
Berechne die Kosten (Weglänge) für jede Route;
Wähle die kostengünstigste Route aus.
■ Die Komplexität aller bekannten TSP-Algorithmen ist O(aN), wobei N die Anzahl
der Kanten ist. -> Exponentielle Aufwand
■ Das heisst: Wenn wir eine einzige Kante hinzunehmen, verdoppelt sich der
Aufwand zur Lösung des TSP!
■ Oft begnügt man sich mit einer "guten" Lösung, anstelle des Optimums
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Zusammenfassung
■ Graphen
■
■
■
gerichtete, ungerichtete
zyklische, azyklische
gewichtete, ungewichtete
■ Implementationen von Graphen
■
Adjazenz-Liste, Adjazenz-Matrix
■ Algorithmen
■
■
■
■
■
Grundformen: Tiefensuche/ Breitensuche
kürzester Pfad (ungewichtet/gewichtet)
Topologisches Sortieren
Maximaler Fluss
Traveling Salesman
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