Lineare Regression

Lineare Regression
FS13 - Aufgabe 8:
In einem kleinen Betrieb wird die Hypothese aufgestellt, dass der Lohn einer gewissen Gruppe von Mitarbeitern
mit dem Alter (entspricht etwa der Erfahrung) linear wächst. Mit (x, y) bezeichnen wir mit x das Alter und mit
y den Jahreslohn: erste Person: (22, 460 000), zweite Person: (27, 510 000), dritte Person: (38, 570 000), vierte Person:
(53, 660 000), fünfte Person: (66, 710 000). Sie machen jetzte eine Regressionsanalyse.
1. (1 Punkt) Tragen Sie die Punkte in einem x-y-Koordinatensystem ein.
2. (2 Punkte) Berechnen Sie β̂0 ( = y-Achsenabschnitt), β̂1 ( = Steigung) mit der OLS-Methode und tragen Sie
auch die Regressionsgerade in obiger Skizze ein.
3. (1 Punkt) Testen Sie auf dem 1%-Niveau, ob der Lohn überhaupt mit dem Alter zunimmt.
4. (1 Punkt) Formulieren Sie das Resultat aus b) in der Art: ”Im Durchsdchnitt steigt der Lohn jedes Jahr um
. . .”.
5. (1 Punkt) Sie stellen in dieser Gruppe einen neuen Mitarbeiter ein. Er ist 40 Jahre alt. Welchen Lohn schlagen
Sie vor, wenn Sie obiges Modell als Basis nehmen?
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner benutzen werden: geben Sie bitte genau an, in welche Formel Sie welche
Zahlen eingesetzt haben.
FS12 - Aufgabe 8:
(2+2 Punkte)
Dreiäugige Zopiloten sind in Mexiko für ihre langen Flügel bekannt. Eine Theorie besagt, dass je grösser die Flügel,
desto höher bauen sie ihre Nester. Sie fangen also vier Zopiloten, messen ihre Flügel und registrieren die Höhe der
Nester. Sie erhalten die folgenden Werte: in (x, y) bezeichnen wir mit x die Flügellänge in Metern und mit y die
Nesthöhe in Metern: erstes Paar:
(2.3, 1200), zweites Paar:
(2.4, 1450), drittes Paar:
(2.8, 2100), viertes Paar:
(2.7, 2400).
a) (2 Punkte) Berechnen Sie β̂0 ( = y-Achsenabschnitt), β̂1 ( = Steigung) mit der OLS-Methode und tragen Sie
die vier Werte und die Regressionsgerade ab 1000 Metern Höhe in einer Skizze ein.
b) (1 Punkt) Testen Sie auf dem 5%-Niveau einseitig, ob ob es obigen stipulierten Zusammenhang gibt oder nicht.
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner benutzen werden: geben Sie bitte genau an, in welche Formel Sie welche
Zahlen eingesetzt haben.
Lineare Regression
FS11 - Aufgabe 8:
(2+2+1 Punkte)
Sie untersuchen in den Inneralpen den Zusammenhang zwischen Höhe über Meer und Jahresniederschlag. Bei den
4 nahe gelegenen Messtationen erhalten Sie folgende Werte: in (x, y) bezeichnen wir mit x die Höhe über Meer in
Metern und mit y die Jahresniederschlagsmenge in Milimetern: erstes Paar: (1800, 1200), zweites Paar: (2000, 1450),
drittes Paar: (2500, 2000), viertes Paar: (3000, 2400). Die Nullhypothese lautet, dass ab einer gewissen Höhe por
Meter Höhe, die Jahresniederschlagsmenge um einen Millimeter zunimmt.
a) Berechnen Sie β̂0 (= y-Achsenabschnitt), β̂1 (= Steigung) mit der OLS-Methode und tragen Sie die vier Werte
und die Regressionsgerade ab 1000 Metern Höhe in einer Skizze exakt ein.
b) Testen Sie auf dem 5%-Niveau zweiseitig, ob es obigen stipulierten Zusammenhang gibt oder nicht.
c) Berechnen Sie auch den Korrelationskoeffizienten zwischen x und y.
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner beutzen werden: geben sie bitte genau an, in welche Formel Sie welche
Zahlen eingesetzt haben.
FS10 - Aufgabe 8:
(2+2+1 Punkte)
Der Zusammenhang zwischen der Handlänge und der Körpergrösse bei erwachsenen Frauen wird untersucht. Die
Vermutung ist, dass je grösser eine Frau, desto länger auch ihre Hände. Auf Grund der jetzigen Prüfungssituation
stehen Ihnen nur 5 Wertepaare zur Verfügung; in (x, y) bezeichnen wir mit x die Handlänge in Zentimetern und mit y
die Körpergrösse in Zentimetern: erstes Paar: (20, 180), zweites Paar: (18, 178), drittes Paar: (22, 188), viertes Paar:
(21, 178), fünftes Paar: (17, 160).
a) Berechnen Sie β̂0 (= y-Achsenabschnitt), β̂1 (= Steigung) mit der OLS-Methode.
b) Testen Sie auf dem 5%-Niveau einseitig, ob es obigen stipulierten Zusammenhang gibt oder nicht.
c) Berechnen Sie auch den Korrelationskoeffizienten zwischen x und y.
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner beutzen werden: geben sie bitte genau an, in welche Formel Sie welche
Zahlen eingesetzt haben.
Lineare Regression
FS09 - Aufgabe 8:
(2+2+1+1 Punkte)
Sie wollen das Wachstum von Schweinen in Abhängigkeit der Futtermenge mit einer linearen Regression modellieren.
Vermuteter Zusammenhang, welchen Sie zeigen wollen ist der , dass je mehr Futtermenge, desto schwerer werden
die Schweine. Auf Grund der jetzigen Prüfungssituation stehen Ihnen nur 4 Wertepaare zur Verfügung; in (x, y)
bezeichnen wir mit x die Futtermenge pro Tag und mit y das Endgewicht (jeweils in Kilogramm): erstes Paar: (10,
125), zweites Paar: (8, 132), drittes Paar: (15, 144), viertes Paar: (20, 154).
a) Berechnen Sie β̂0 (= y-Achsenabschnitt), β̂1 (= Steigung) mit der OLS-Methode.
b) Testen Sie auf dem 5%-Niveau einseitig, ob es obigen stipulierten Zusammenhang gibt oder nicht.
c) Falls Sie in b) zum Schluss gekommen sind, dass ein signifikanter Zusammenhang besteht: formulieren Sie dies
in Worten der Art: ”pro Kilogramm mehr Futter pro Tag, ist das Engewicht um . . .”.
d) Berechnen Sie auch den Korrelationskoeffizienten zwischen x und y.
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner beutzen werden: geben sie bitte genau an, in welche Formel Sie welche
Zahlen eingesetzt haben.
FS08 - Aufgabe 8:
(2+2+1 Punkte)
Eine (einfache) Theorie besagt, dass das Einkommen von Söhnen (in komplexer Weise) abhängig vom Einkommen der
Väter ist. Sie untersuchen diesen Zusammenhang jetzt mit Hilfe einer linearen Regression. Auf Grund der jetzigen
Prüfungssituation stehen Ihnen nur 5 Wertepaare zur Verfügung; in (x, y) bezeichnen wir mit x das Einkommen des
Vaters und mit y das Einkommen des mittlerweile erwachsenen Sohnes: erstes Paar: (100’000, 125’000), zweites Paar:
(88’000, 73’000), drittes Paar: (90’000, 103’000), viertes Paar: (200’000, 188’000), fünftes Paar: (143’000, 177’000).
Modellieren Sie diese Abhängigkeit mit einer linearen Regression.
a) Berechnen Sie β̂0 (= y-Achsenabschnitt), β̂1 (= Steigung) mit der OLS-Methode.
b) Testen Sie auf dem 5%-Niveau zweiseitig, ob es obigen stipulierten Zusammenhang gibt oder nicht.
a) Falls Sie in b) zum Schluss gekommen sind, dass ein signifikanter Zusammenhang besteht: formulieren Sie dies
in Worten der Art: ”pro 1’000 Franken mehr Lohn des Vaters hat auch der Sohn . . .”.
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner beutzen werden: geben sie bitte genau an, in welche Formel Sie welche
Zahlen eingesetzt haben.
Lineare Regression
FS07 - Aufgabe 10:
(3+1+1 Punkte)
Dagobert Duck möchte beim Verkauf eines neuen Fruchtsaftes den Gewinn maximieren. Er überlegt sich, dass bei
einem höheren Preis pro Liter verkauften Fruchtsafts zwar mehr eingenomen würde, aber gleichzeitig auch weniger
Fruchtsaft verkafut würde. Der Preis sollte in der Spanne 2 bis 3 Franken pro Liter liegen und man geht davon aus,
dass die Abnahme der Verkaufszahlen linear ist und zwar derart: je höher der Preis P , desto weniger Fruchtsaft M
wird verkauft. Es wird also ein Zusammenhang der Art
M i = β 0 + β 1 Pi + i
unterstellt. In einer kleinen Studie möchte Onkel Dagobert β1 untersuchen und testen, ob β1 = 0 oder nicht. In
vergleichbaren 4 Orten/Testmärkten hat Onkel Dagobert mit unterschiedlichen Preisen die verkaufte Menge pro Tag
untersucht. Es ergab sich dabei folgendes Bild der 4 Orte: folgende Werteppare (x=Preis P , y= Menge M ): (2.0, 55),
(2.3,57), (2.6, 43), (3.0, 38).
a) Testen Sie auf dem Niveau 0.10, ob β1 = 0 oder nicht (einseitig).
b) Falls Sie die Nullhypothese verworfen haben, formulieren sie in Worten, wie die Abhängigkeit zwischen verkaufter
Menge und Preis ist; in der Form: pro 10 Rappen mehr Preis sinkt die verkaufte Menge um . . . Einheiten.
c) Geben Sie bitte auch den Korrelationskoeffizienten an.
FS06 - Aufgabe 10:
(3+1+1 Punkte)
Liegenschaftsanalyst Meier glaubt, dass es einen (negativen) Zusammenhang zwischen Steuerfuss und Bodenpreisen im
Kanton Zürich gibt: je tiefer der Steuerfuss, desto höher die Bodenpreise. Dazu wählt Herr Meier zufällig 8 Gemeinden
im Kanton aus und erhält dabei folgende Wertepaare (Steuerfuss in Prozenten, Frankenpreis pro Quadratmeter):
(88, 2800), (93, 2400), (94, 1600), (100, 1200), (110, 1330), (113, 743), (119, 896), (122, 888).
Hierzu will Meier eine einfache Regression durchführen (Bodenpreis ist Funktion von Steuerfuss - seine Theorie!).
a) Testen Sie als sein statistischer Consultant auf dem Niveau 0.05, ob β1 = 0 oder nicht (zweiseitig).
b) Falls Sie die Nullhypothese verworfen haben, formulieren Sie in Worten, wie die Abhängigkeit von Steuerfuss
und Bodenpreis ist (in der Art: ”pro Steuerprozent mehr . . .”)
c) Geben Sie bitte auch den Korrelationskoeffizienten an.