Kapitel 2 Dynamik eines Massenpunktes - IAP TU

Kapitel 2
Dynamik eines Massenpunktes
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Mechanik eines Massenpunktes
Idealisiertes Gebilde : alle Masse des Körpers in einem Punkt konzentriert
► Keine Berücksichtigung der Ausdehnung eines Körpers
► Ausdehnung d sei viel kleiner als die Dimensionen der Bahn (Länge, Radius)
 Bewegung von Massenpunkten auf Bahnkurve im drei-dimensionalen Raum
Bahn = Variation der Koordinaten (x,y,z)
des Körpers mit der Zeit t
Ort :
 x(t ) 



r (t )   y (t ) 
 z (t ) 


2
Geschwindigkeit (= Änderung des Ortes während Zeiteinheit)
 x (t ) 


 
d 
v (t )  r (t )  r   y (t ) 
dt
 z (t ) 


d.h. die Geschwindigkeit ist die
erste Ableitung der Bahn nach der Zeit
Beschleunigung (= Änderung der Geschwindigkeit während Zeiteinheit)
 x(t ) 


 
d 

a (t )  v (t )  r   y(t ) 
dt
 z(t ) 


d.h. die Beschleunigung ist die
zweite Ableitung der Bahn nach der Zeit
3
Prinzipielles Vorgehen zur Analyse von Bewegungen eines Massepunktes :
t3
(1) Beschreibung der Bahnkurve :
z
 x(t ) 



r (t )   y (t ) 
 z (t ) 


(2) Berechnung der Ableitungen :
 x (t ) 



v (t )   y (t ) 
 z (t ) 


 x(t ) 



; a (t )   y(t ) 
 z(t ) 


t2
y
t1
zo
to
x
…oder umgekehrt, d.h. gegeben ist die Beschleunigung (bzw. Kraft)
Berechnet werden durch Integration die Geschwindigkeit und die Bahnkurve
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Beispiel (1) : Gleichförmige, lineare (achsparallele) Bewegung
gleichförmig  konstante (lineare) Geschwindigkeit
z
 x(t )   vt  x0 

 


r (t )   y (t )    y0 
 z (t )   z 

  0 
v
 

 Geschwindigkeit : r (t )   0 
0
 
y
zo
yo
P
v
x(t)
x
0
 


 Beschleunigung : r (t )   0 
0
 
d.h. die Geschwindigkeit ist konstant, die Beschleunigung Null
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Beispiel (2) : Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Gleichförmig beschleunigt  konstante Beschleunigung
 ax 

  

 Beschleunigung : r (t )  a   a y   const.
a 
 z
 a x t  v0, x 
Integration liefert

 




die Geschwindigkeit : v (t )  r (t )   a dt   a y t  v0, y   a t  v0
a t  v 
0, z 
 z
 Geschwindigkeit variiert linear in der Zeit. Anfangs-Geschwindigkeit v0
weitere Integration liefert die Bahn-Gleichung :
 1 2 a x t 2  v0, x t  r0, x 

 1 2 


2
1
r (t )   v (t ) dt   2 a y t  v0, y t  r0, y   a t  v0 t  r0
 1 a t2  v t  r  2
0, z
0, z 
 2 z
 Ort variiert quadratisch in der Zeit. Anfangs-Ort r0
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Beispiel (3) : Gleichförmige Kreisbewegung (2-dimensional)
gleichförmig (auf Kreisbahn)  konstante Winkelgeschwindigkeit 
 x(t )   R cos   R cost 

  
  

r (t )  
 y (t )   R sin     R sin t  
   sin t 


 Geschwindigkeit : r (t )  R 
  cost  
 Betrag der Geschwindigkeit :


 2
r (t )  R 2 2 sin 2 t   cos2 t   R 2 2
d.h. Betrag der Geschwindigkeit ist konstant (nicht aber die Richtung !)
 Beschleunigung :
r(t )   R 2  cost     2 r (t )
 sin t  


d.h. Beschleunigung nach –r(t), d.h. zum Zentrum hin (Zentripetalkraft)
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…geschickterweise kann man zur Beschreibung der Kreisbewegung (mit
Zylinder-Symmetrie um die z-Achse) auch Zylinder-Koordinaten benutzen :
r (t )  R
 (t )  t   0
 Geschwindigkeits-Komponente in r-Richtung :
vr  r(t )  0
 Geschwindigkeits-Komponente in -Richtung :
v   (t )  
 Der Punkt bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 
in -Richtung, nicht aber in r-Richtung (Abstand zum Zentrum konstant)
Anmerkung : Winkelgeschwindigkeit = Winkeländerung pro Zeiteinheit;
vergleiche : Geschwindigkeit lineare Bewegung = Streckenänderung pro Zeiteinheit
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Frage : Ist die Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung ?
ds  R sind   R d

r (t  t )

r (t )

ds
d
Betrag der Geschwindigkeit :
ds
d
v
R
 R
dt
dt
Winkelgeschwindigkeit  [rad/s]
Gleichförmige Kreisbewegung :   0  const. ; R = const.  v = const.
aber : Offensichtlich ändert v die Richtung  Beschleunigung
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Zwischenbemerkung : Vektorbeziehungen bei der Kreisbewegung :

r (t ' )

r (t )
eˆT (t ' )
eˆT (t )
offensichtlich sind die gewählten
Einheitsvektoren zeitabhängig
(Richtung variiert in der Zeit) !
betrachte Änderung der Einheitsvektoren :
deˆT (t )
für kleine Winkel (infinitesimale Änderungen) gilt :
d
eˆT (t ' )
eˆT (t )
deˆt  eˆT d  d
d
d
eˆt  d  
dt
dt
man sieht : Richtung deT(t)
 eT und || -eR
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Für die weitere mathematische Beschreibung nützliche Darstellung :

v (t )  vT eˆT  vR eˆR  v eˆT
mit den Einheitsvektoren in Tangentialund Radialrichtung an der Kreisbahn;
es gilt :
 Beschleunigung :
eˆT  eˆR

d 
d
a (t )  v (t )  v eˆT
dt
dt
es gilt für die ortho-normierten Einheitsvektoren :
eˆT  1  e  1 
2
T
 
d 2
eT  0
dt
d
d
 2 eˆT eˆT   0  eˆT  eˆT 
dt
dt
d.h. die zeitliche Ableitung eines Einheitsvektors steht senkrecht auf dem Einheitsvektor
 Beschleunigung auf Kreisbahn ist senkrecht zur Geschwindigkeit,
d.h. in radialer Richtung eR
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Gleichförmige Kreisbewegung :
Beschleunigung :
mit :
eˆT  e̂T


d
a (t )  v (t )  v eˆT   v eˆT  v eˆT  v eˆT
dt
bzw.
Betrag der Beschleunigung :
e̂T || eˆR


a || eˆR
a  v eˆT  v eˆT  v   R 2
Richtung Beschleunigung a = Richtung von deT
= entgegengesetzt zum radialen Einheitsvektor eR
= entgegengesetzt zur Richtung von r(t)


2
2
ˆ
a   R eR   R rˆ
Zentripetal-Beschleunigung
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Vektorbeziehungen bei der Kreisbewegung :
► Winkelgeschwindigkeit  macht Angabe zur Geschwindigkeit der Drehung
beachte : Drehung muss (auch) charakterisiert werden
durch Richtung der Drehachse (= Vektor !)
 Rotationsvektor

  
v  r

   ˆ
es gilt :
und:
insbesondere gilt :
mit dem Betrag  (Winkelgeschwindigkeit)
und der Richtung der Drehachse ̂
  


  r   r  v  eˆR ; v || eˆT
 

v  r  r
 
v 
d.h. die Drehachse der Kreisbewegung
ist senkrecht zur Geschwindigkeit



v

r
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Allgemeine („krummlinige“) Bewegung
Ziel : allgemeiner Ausdruck für die
Beschleunigung auf beliebiger Bahn
vgl. gleichförmige Kreisbewegung : Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich nur
Richtung, nicht aber Betrag der Geschwindigkeit. Im allgemeinen Fall können sich sowohl
Richtung als auch Betrag der Geschwindigkeit ändern. Es gilt aber auch auf beliebiger
Bahnkurve : Geschwindigkeit ist stets tangential. Aber : Beschleunigung hat Tangential- und
Radialkomponente (Normal-Komponente, d.h. bzgl. des lokalen/momentanen Normalenvektors)
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Beschleunigung :


 
d

a (t )  v (t )  v eˆT   v eˆT  v eˆT  aT  a N
dt
beachte : Im allg. ist d/dt v  0
Tangential-Komp.
Normal(radiale)-Komp.
Anm. : Wir betrachten im Folgenden lediglich 2-dimensionale Bewegungen (d.h. z = 0)
sei gegeben Winkel  zu eT
an Punkt P auf der Bahnkurve :
 Einheitsvektoren :
 cos 

eˆT  
 sin  
  sin 

eˆN  
 cos  
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 cos 

eˆT  
 sin  
  sin 

   eˆN
es folgt : eˆT   
 cos  
damit ergibt sich die Normalbeschleunigung :

aN  v eˆT  v  eˆN
Wir betrachten infinitesimales Kurvenstück mit lokalem Krümmungsradius r
 Bogenelement :
ds  r d
damit ergibt sich :
d ds d
1
 

v v
ds dt ds
r

2

v

aN  v eˆT 
eˆN
r
2
 gesamte Beschleunigung :
  
v
a  aT  a N  v eˆT 
eˆN
r
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 Betrag der Beschleunigung :
4
 
v
a  aT  a N  v 2  2
r
► Beschleunigung hängt von dv/dt, v und r ab
► Die Beschleunigung ist also proportional zur Geschwindigkeitsänderung
dv/dt (offensichtlich) und invers proportional zum Krümmungsradius (denn :
Je kleiner der Radius, umso stärker muss die Beschleunigung sein, die den
Massepunkt auf seiner gekrümmten Bahn hält)
Spezialfall : gleichförmige Kreisbewegung :
r = R = const.
v = R = const.
dv/dt = 0
v2
2
a
 R
R
Anmerkung : Bisher hatten wir nur eine „kinematische“ Diskussion durchgeführt
(wie sieht die Bahnkurve aus ? Welche Konsequenzen für Beschleunigung ?)
…es bleibt die Frage : Was bewirkt Änderung der Geschwindigkeit ?  Kräfte
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