Physik und Medizin - Lehrstuhl für Didaktik der Physik

Physik und Medizin
DRUCK
ATMUNG
BLUTKREISLAUF
Teil 1
Einführung: Ein Lernzirkel zum Druck in Gasen
Lehrstuhl für Didaktik der Physik
Ludwig-Maximilians-Universität München
Giuseppe Colicchia, Andrea Künzl, Hartmut Wiesner und Alfred Ziegler
Erläuterungen zum Druckbegriff
Wenn im Schulunterricht der Begriff Druck eingeführt wird, hat man - wie bei vielen anderen
physikalischen Begriffen auch - das Problem, dass der Begriff nicht nur umgangssprachlich
schon besetzt ist, sondern auch, dass Schüler meist konkrete - wenn auch oft in sich nicht
stimmige - Vorstellungen mit dem Begriff verbinden. Am wenigsten denken sie dabei an den
Druck in Flüssigkeiten oder Gasen, der im Schulunterricht bei der Behandlung dieses Themas
die Hauptrolle spielt, obwohl nur dieser im physikalischen Sprachgebrauch Druck genannt
werden darf. In der Physik knüpfen sich nämlich an die Verwendung des Wortes Druck für
den Quotienten aus Kraft und Fläche bestimmte Voraussetzungen, die nur für Flüssigkeiten
und Gase erfüllt sind: er muss in alle Richtungen gleich sein (isotrop) und von der Fläche unabhängig, d.h. die Kraft muss zur Fläche proportional sein. Bei der Ausübung von Druck (im
umgangssprachlichen Sinne) auf einen festen Körper hingegen heißt der Quotient aus Kraft
und Fläche im Sprachgebrauch der Physik Spannung. Nun kann es ja nicht Sinn des Unterrichts sein, den Schülerinnen und Schülern einen Sprachgebrauch zu verbieten und/oder feste
Stoffe als inopportun auszuklammern. Im folgenden werden deshalb die Verhältnisse bei festen Körpern, Flüssigkeiten und Gasen zum besseren Verständnis gegenübergestellt, was
durchaus auch als Vorschlag für eine Anordnung im Unterricht angesehen werden kann. Dabei wird deutlich werden, dass die übliche Schulbuch-Behandlung des Druckbegriffs begrifflich zu stark eingeschränkt ist und der Vielfalt der Phänomene nicht gerecht wird.
Dem umgangssprachlichen Gebrauch des Wortes Druck entspricht am ehesten der Fall, dass
man auf einen festen, in der Regel nicht beweglichen Körper durch direkten Kontakt eine
Kraft, „Druck“ ausübt (Druck mit der Hand auf eine Platte, gegen die Wand, auf einen
Druckknopf, Gewicht auf einer Säule usw.). Leicht zu vermitteln ist Schülern dabei, dass es
für die Wirkung nicht allein auf die ausgeübte Kraft ankommt, sondern auch auf die Fläche,
auf die die Kraft ausgeübt wird (Beispiele: Schneeschuhe, Stöckelschuhe, Reißnagel, flaches
Hinlegen auf Eis bei Einbrechgefahr oder auch, dass, ob ein Pfeiler zusammenbricht, nicht
allein von der einwirkenden Kraft abhängt, sondern auch von seinem Querschnitt). Intuitiv ist
klar, dass bei gleicher Kraft die Wirkung umso größer ist, je kleiner die Fläche ist. Das legt
den Quotienten F/A (Kraft pro Fläche) als Maß für die Wirkung nahe. Das ist aber gerade ein
Fall voreiliger Mathematisierung - ein Grundproblem des Physikunterrichts. F/A als Maß für
die Wirkung (Einbrechen ins Eis, Eindringen des Reißnagels, Delle durch Stöckelschuhe,
Bruch des Pfeilers) unterstellt nämlich, dass die Wirkung antiproportional zur Fläche bei
gleicher Kraft sei, d.h. nur vom Quotienten F/A und nicht von der Kraft oder Fläche einzeln
abhängt. Dass das nicht stimmen kann, sieht man daran, dass man nicht daraus, dass ein Tisch
ein Gewicht tragen kann, schließen kann, dass er auch jedes weitere Gewicht gleicher Größe,
das man in gleicher Lage neben die schon vorhandenen Gewichte setzt, trägt: Das Verhältnis
Kraft zu Auflagefläche bleibt natürlich gleich, trotzdem kann der Tisch bei Belastung durch
weitere Gewichte durchaus brechen (ein weiteres Beispiel wäre eine Eisdecke: auch hier kann
man nicht aus der Tatsache, dass ein Mensch nicht einbricht, folgern, dass das Eis auch hält,
wenn sich weitere gleich schwere Leute - mit gleicher Schuhgröße - daneben aufs Eis stellen).
Das Gewicht wird nämlich nicht allein von der Fläche direkt unter dem Tisch getragen, so
dass der Quotient F/A nur ein grobes Maß für die Beurteilung der physikalischen Wirkung ist.
Dieser Quotient heißt Spannung oder Druckspannung. Man kann sich die Verhältnisse durch
ein einfaches Modell klarmachen. In diesem Modell betrachtet man den festen Stoff als aus
kleinen, starren Blöcken aufgebaut, die sich nur gegeneinander bewegen können (die realen
physikalischen Verhältnisse erhält man durch Übergang zu infinitesimal kleinen Blöcken).
Die Blöcke kann man sich durch Federn verbunden denken (als Modell für die Kräfte zwischen den Atomen, die sie an ihren Positionen festhalten).
In der Skizze wird auf den mittleren Block eine Kraft, etwa durch ein aufliegendes Gewicht,
ausgeübt,wodurch sich dieser Block ein wenig nach unten bewegt. Dadurch entstehen Scher-
kräfte (Kräfte parallel zur Kontaktfläche) an den Kontaktflächen zu den Nachbarblöcken
(durch Belastung der Verbindungsfedern zwischen den Blöcken). Diese Scherkräfte ziehen
die Nachbarblöcke nach unten, die Gegenkraft auf den Mittelblock kompensiert die Auflagekraft, d.h. die Auflagekraft wird durch die Seitenblöcke getragen. Nur wenn die Scherkräfte
nicht groß genug sind, um der Auflagekraft die Waage zu halten, wird der Mittelblock
durchgedrückt: der Balken, die Tischplatte bricht.
Abbildung 1: Gegenkräfte zu einer Auflagekraft bei einem festen Körper
Bei Flüssigkeiten liegen die Verhältnisse auf den ersten Blick ganz anders: Die Verformung
einer idealen Flüssigkeit (ohne ihr Volumen, d.h. ihre Dichte zu ändern) erfordert praktisch
keine Kraft (ein brauchbares Modell hierfür sind dicht gepackte Kugeln, die übereinander
gleiten können, aber - abgesehen davon, dass sie sich nicht durchdringen können - keine Kräfte aufeinander ausüben). Um einen zum festen Körper analoges Beispiel zu verwenden, sei
eine in einen Behälter eingeschlossene Flüssigkeit betrachtet, auf die an einer Stelle durch
einen abgedichteten Kolben Kraft ausgeübt wird. Anderenfalls kann die Flüssigkeit zur Seite
ausweichen und den Kraft ausübenden Gegenstand umfließen, so dass er einfach nur einsinkt
(sonst könnte man ja auf Wasser laufen). Allerdings übt auch in diesem Falle die Flüssigkeit
durch ihre Trägheit eine gewisse Gegenkraft aus, wie man sich durch einen Bauchsprung ins
Wasser leicht überzeugen kann. Im Gegensatz zum festen Körper kann in der Abb.1 die Gegenkraft zur Auflagekraft nicht von den Seitenwänden aufgebracht werden: beim Gleiten des
mittleren Blocks nach unten wird die benachbarte Flüssigkeit nicht mitgezogen, sie verhält
sich wie eine ideal glatte Wand. Da auf sie keine Kraft ausgeübt wird, kann sie auch keine
Gegenkraft ausüben. Ein (gedachter) Flüssigkeitsblock drückt also mit der gleichen Kraft wie
die Auflagekraft nach unten. Hier kann also die seitlich benachbarte Flüssigkeit nichts mittragen, was den Quotienten p=F/A, der jetzt auch offiziell Druck heißt, zu einem sinnvollen Maß
für die Wirkung macht: sie ist jetzt in der Tat proportional zum Druck p. Eine äußere Kraft
wird also in der Flüssigkeit nach unten weitergereicht bis zum (festen) Boden, der die Gegenkraft aufbringt. Das heißt nun nicht, dass die Seitenwände überhaupt keine Kräfte erfahren:
eine Flüssigkeit kann zwar ohne Kraftaufwand deformiert, aber nicht komprimiert werden
(dichtgepackte Kugeln können nicht noch dichter gepackt werden). Kraft und Gegenkraft sind
dabei immer senkrecht zur Kontaktfläche: eine Kraftkomponente parallel zur Oberfläche
würde immer dazu führen, dass sich die Flüssigkeit so lange deformiert, bis es keine parallele
Komponente mehr gibt. Daraus ergibt sich, dass der Druck allseitig und nach allen Seiten
gleich groß ist: die Einteilung in Blöcke ist ja nur gedacht, d.h. die Grenzlinien können beliebig gezogen werden, statt wie im Beispiel der Abb.1 auch etwa wie in Abb. 2.
Abbildung 2: Gedachte Aufteilung in Blöcke und Kräfte bei einer Flüssigkeit
Da die gedachte Wand als ideal glatt angesehen werden muss, gleiten die beiden Blöcke auseinander, wenn sie nicht durch eine seitliche Kraft daran gehindert werden. Die wird aufgebracht als Gegenkraft, wenn die auseinandergleitenden Blöcke die dort schon vorhandene
Flüssigkeit wegzudrücken versuchen (wie gesagt: es war ein geschlossener Behälter vorausgesetzt, so dass die Flüssigkeit nicht ausweichen kann). Betrachtet man die Kräfte auf einen
Keil (Abb. 3), ergibt sich die Gleichheit des Druckes nach allen Richtungen als Bedingung für
das Gleichgewicht.
Abbildung 3: Die Zerlegung der Kraft auf c in eine senkrechte und eine waagrechte Komponente ergibt als
Gleichgewichtsbedingungen Fc sin α=Fb und Fc cos α=Fa, woraus sich wegen sin α=b/c und cos α=a/c ergibt,
dass Fa/a=Fb/b=Fc/c oder pa=pb=pc
Eine überraschende Konsequenz ist, dass sich der Druck durch die Auflagekraft überall innerhalb der Flüssigkeit wiederfindet und auch an jeder Begrenzungsfläche, auf die sie drückt. Hat
man nur solche Oberflächenkräfte, kann man so den Druck in der Flüssigkeit sofort bestimmen. Gibt es außerdem noch Volumenkräfte, d.h. Kräfte wie die Schwerkraft, die auch im
Inneren der Flüssigkeit angreifen (ein weiteres Beispiel sind magnetische Flüssigkeiten, die
aus einer Suspension magnetischer Teilchen bestehen), muss man bei der Berechnung des
Drucks außer der Auflagekraft noch zusätzlich das Gewicht der auf der betrachteten Fläche
lastenden Flüssigkeit berücksichtigen. Das Überraschende an dieser Konsequenz drückt sich
besonders im hydrostatischen Paradoxon aus. So führt in Abb. 4 ein Röhrchen mit beliebig
kleinem Querschnitt, also beliebig wenig Flüssigkeit und beliebig kleiner Gewichtskraft zu
einem Druck beliebiger Größe und damit zu gewaltigen Kräften auf den Behälter (vorausgesetzt, es treten keine Kapillarkräfte auf, die als Scherkräfte das Gewicht kompensieren könnten). Man fragt sich, wie durch so wenig Flüssigkeit und deren winzige Gewichtskraft solch
gewaltige Behälterbelastungen ausgelöst werden können. Diese Schlussfolgerung ist zwar
korrekt, aber etwas irreführend. Sie gilt nur unter der unrealistischen Annahme, dass die Behälterwände absolut starr sind. In Wahrheit können sie sich immer ein wenig ausbeulen. Das
ist zwar nur eine kleine Ausdehnung, aber über die große Fläche ergibt sich eine ganz ansehnliche Volumenvergrößerung, sodass die Flüssigkeit im Röhrchen stark sinkt und damit die im
ersten Moment immense Kraft auf normale Werte zurückgeht. Würde man allerdings Flüssigkeit nachgießen, um die ursprüngliche Steighöhe beizubehalten, bliebe der Druck hoch und
der Behälter könnte leicht platzen.
Abbildung 4: Zum hydrostatischen Paradoxon: Der zusätzliche Druck ist Δp=ρgh wegen
F/A=mg/A=ρVg/A=ρAhg/A=ρgh
Verwirrung tritt auch oft auf durch die Frage, wie es denn möglich ist, dass der Druck in den
beiden Punkten A und B gleich sein kann, wo doch auf A weit weniger Flüssigkeit lastet als
auf B und - wie gesagt - die Auflagekraft nicht zur Seite weitergegeben werden kann. Der
Unterschied kommt zustande durch die Gegenkraft der oberen Behälterwand zur Druckkraft,
die durch die Flüssigkeit im Röhrchen verursacht wird.
Bisher haben wir - wie beim Festkörper - nur den (hydro-)statischen Fall betrachtet. Ungleich
interessanter ist das Verhalten von sich bewegenden Flüssigkeiten - von Strömungen (Bewegungen von festen Stoffen - von Brechen und plastischem Verhalten bis zu Schwingungen stellen zwar auch ein vielseitiges und spannendes Gebiet dar, bleiben aber hier wegen ihres
fehlenden Bezugs zum Begriff Druck unberücksichtigt). Auch bei Strömungen gehen wir zunächst von einer idealen Flüssigkeit aus. Wenn sich alle Teile der Flüssigkeit mit der gleichen
Geschwindigkeit bewegen, braucht man nur die Strömung aus dem mit gleicher Geschwindigkeit mitbewegten (Inertial)System aus zu betrachten und die Verhältnisse sind die gleichen
wie beim hydrostatischen Fall. Interessant ist eine Strömung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Sie ist notwendigerweise mit einem Druckgefälle verbunden: nur wenn der
Druck an gegenüberliegenden Seiten verschieden groß ist, kommt es zu einer Nettokraft auf
das Flüssigkeitsteilchen und damit zu einer Beschleunigung oder Geschwindigkeitsdifferenz.
Abbildung 5: Zur Bernoulligleichung
Der Druck p1 muss größer sein als p2, um das mittlere Teilchen von der Geschwindigkeit v1
auf die Geschwindigkeit v2 des Bereichs, in den es eintritt, zu bringen (die hier betrachtete
Strömung soll stationär sein). Aus der Kraft (p1-p2)A auf das Teilchen der Masse ρV=ρ LA
(wobei ρ die Dichte ist) ergibt sich mit der Newtonschen Bewegungsgleichung in Kraftstossformulierung FΔt = mΔv direkt die Bernoulli-Gleichung, wobei L/Δt als mittlere Geschwindigkeit vm = (v1 + v2)/2 eingesetzt wurde:
(p1 – p2)A Δt = ρLA Δv ⇒ (p1 – p2)A = ρLA Δv L/Δt = ρA Δv vm
⇒ (p1 – p2) = ρ (v2 – v1) (v1 + v2)/2 ⇒ (p1 – p2) = ρ (v22 – v12)/2 ⇒
p1 + 12 ρv12 = p2 + 12 ρv22
Geschwindigkeitsänderungen kommen dabei durch Querschnittsänderungen zustande. Weil
die Flüssigkeit inkompressibel ist, muss sie im kleinen Querschnitt schneller sein, weil an
jeder Stelle die gleiche Menge Flüssigkeit pro Zeit durchfließen muss. Damit ist der Druckverlauf festgelegt. Bei konstantem Querschnitt ist der Druck überall konstant, d.h. es wird
überhaupt kein Druckgefälle benötigt, um die Strömung aufrecht zu erhalten.
Abbildung 6: Rohrströmung
In Wahrheit hat eine Flüssigkeit immer eine gewisse innere Reibung oder Zähigkeit, d.h.
wenn zwei Flüssigkeitsschichten aneinander vorbeigleiten, kommt es zur Reibung, d.h. Kräften parallel zur Kontaktfläche (Scherkräften) (Abb. 6), die die langsamere Schicht beschleunigen und die schnellere abbremsen. Ähnlich wie bei festen Stoffen können nun die Außenwände eine Kraft, die auf die Flüssigkeit ausgeübt wird, kompensieren, d.h. es gibt einen
Strömungswiderstand und es ist ein Druckgefälle erforderlich, um die Strömung in Gang zu
halten. Die Strömung bei bestehendem Druckgefälle aufzuhalten, wie ein fester Körper die
Auflagekraft völlig kompensieren kann (von der Last auf einer Zimmerdecke spürt man ja
nichts), kann die Reibung freilich nicht, da sie nur besteht, solange die Flüssigkeit strömt.
Diese Darstellung der Flüssigkeitsreibung ist aber immer noch recht idealisiert: so gibt es
Flüssigkeiten, die erst ab einer Mindestspannung anfangen zu fließen (sogenanntes BinghamVerhalten) wie z.B. Zahnpasta, frischer Beton, Schlamm, aber auch Blut.
Manche Flüssigkeiten verhalten sich bei schnellen Krafteinwirkungen wie ein Festkörper, bei
langsamen aber wie Flüssigkeiten (Honig, Stärkelösungen, feuchter Sand, Malerfarbe usw.).
In wieder anderen Fällen sind die Eigenschaften einer Flüssigkeit nicht konstant, sondern
hängen von ihrer Vorgeschichte ab (ähnlich der Hysterese bei Ferromagneten), d.h. ihre Eigenschaften sind zeitabhängig. So wird Ketchup dünnflüssiger, wenn es eine Weile geflossen
ist und Motoröl ist in seiner Zusammensetzung gerade so entworfen worden, dass es sein
Verhalten den Betriebsbedingungen des Motors anpasst.
Das hier über Flüssigkeiten Gesagte kann - abgesehen von den Sonderfällen im letzten Satz so auch auf Gase übertragen werden mit einer wesentlichen Ausnahme. Druck entsteht in
Flüssigkeiten nur durch äußere Kräfte. Ihr Druck auf Begrenzungsflächen ist immer eine Reaktionskraft. Eine kräftefreie Flüssigkeit übt weder einen Druck nach außen aus noch hat sie
einen Innendruck (sieht man einmal von der schwachen Oberflächenspannung ab, die die
Flüssigkeit zusammenzudrücken versucht). Dabei darf natürlich auch kein Luftdruck auf die
Flüssigkeit wirken, d.h. sie müsste sich im Vakuum befinden, wobei sie allerdings sogleich
verdampfen würde, oder in einem Behälter, den sie völlig ausfüllt, beides in der Schwerelosigkeit. Bei einem Gas hingegen besteht durch die thermische Bewegung von sich aus ein
Druck, sowohl im Inneren wie gegen die Außenwände, die als Gegenkraft dann ihrerseits
Druck auf das Gas ausüben. Man könnte an dieser Stelle geneigt sein anzunehmen, dass ein
Gegendruck zum schon vorhandenen Eigendruck des Gases hinzukäme. Das ist ein Trugschluss, weil ohne Wand kein
Abbildung 7: oben: Druck von Gas auf eine Wand
unten: Druck in einem Gas
Gleichgewicht besteht (siehe Abb. 7) und das Gas sich ausdehnen würde. Die abschließende
Wand ersetzt also nur den Druck, den die homogene Fortsetzung des Gases auch liefern würde und ändert deshalb nichts im Rest des Gases. Es erscheint etwas unglücklich, dass die Modellierung des Gases als frei bewegliche Moleküle wegen ihrer Einfachheit oft exemplarisch
im Vordergrund der unterrichtlichen Behandlung steht, weil sie den Sonderfall des selbst erzeugten Drucks zum Regelfall, zum Erklärungsmodell für jeden Druck macht.