Optimale Allokation Quellen von Ineffi zienz

Zusammenfassung
Optimale Geldpolitik im neu-keynesianischen Modell
Geldtheorie und Geldpolitik
Wintersemester, 2010/11
Literaturhinweise: Gali, Jordi, "Monetary Policy, In‡ation and the Business Cycle", 2008, Princeton
University Press.
Optimale Allokation
Als Referenzrahmen betrachten wir zunächst die erstbeste Allokation im neu-keynesianischen Modell. Die
optimale Allokation maximiert in jeder Periode die Haushaltswohlfahrt
U (Ct ; Nt ; Mt =Pt )
unter Berücksichtigung der technologischen und Ressourcen-Bedingungen.
Da alle Handel…rmen ex-ante gleich sind produziert im Optimum jede Firma gleich viel, also
Ct (i) = Ct = Yt = At Nt1
:
Auß
erdem muss der Grenznutzen des Konsums multipliziert mit der Grenzproduktivität der Arbeit gerade
dem marginalen Arbeitsleid entsprechen, oder anders ausgedrückt
0
@Y
UN
=
= (1
UC0
@N
) At Nt :
Mit anderen Worten, die Allokation, welche sich im neo-klassischen Modell ergibt, wenn das Technologieniveau At ist, ist optimal.
Quellen von Ine¢ zienz
Monopolistischer Wettbewerb
Da für jede einzelne Firma die Nachfrage nach ihrem eigenen di¤erenzierten Produkt nicht vollständig
elastisch ist, hat sie Marktmacht und setzt Preise die von Grenzkosten abweichen.
Um unvollständige Konkurrenz als Verzerrung von in‡exiblen Preisen abzugrenzen, sei für den Moment
angenommen, dass Firmen ihre Preise ‡exible in jeder Periode anpassen können.
Dann wählen die Handels…rmen, wie wir schon gesehen haben den Preis so, dass sie einen konstanten
Aufschlag auf den Preis des Zwischenproduktes Vt verlangen:
Pt =
1
Wt
Vt =
1
@Y
@N
:
Setzt man dies nun in die individuelle Optimalitätsbedingung intratemporalen Haushaltsentscheidung
0
UN
Wt
=
UC0
Pt
ein, so ergibt sich
0
UN
@Y
=
0
UC
@N
1
<
@Y
:
@N
Im Marktgleichgewicht ist somit die Beschäftigung niedriger als im sozialen Optimum. Allerdings kann
theoretisch die Verzerrung, welche durch Marktmacht der Handelsunternehmen hervorgerufen wird und zu
Wohlfahrtsverlusten führt, durch eine lump-sum …nanzierte Subvention aufgehoben werden.
Falls der Staat anteilig sich an den Lohnkosten der Unternehmen oder gleichwertig an den Kosten des
Zwischenprodukts beteiligt und eine Subvention in Höhe von Vt zahlt, ergibt sich für das Preissetzungsverhalten der Firmen
(1
)
Pt =
Vt
1
1
und somit
0
UN
Wt
@Y
=
=
0
UC
Pt
@N 1
1
:
Durch = 1 kann also die erst-beste Allokation wiederhergestellt werden. Daher nehmen wir im Folgenden zunächst an, dass der Staat eine solche Subvention gibt.
Gesta¤elte Preisanpassung: Preisdispersion
Die zweite Quelle von Ine¢ zienz im neu-keynesianischen Modell liegt in der Preisin‡exibilität. Die enstehende
Ine¢ zienz kann nicht durch eine …xe Subvention behoben werden, da sie sich in der Folge von technologischen
Schocks verändert.
Wir können die Auswirkungen der gesta¤elten Preissetzung gedanklich zweiteilen: Zum einen entspricht
nicht in jeder Periode der durchschnittliche Preis Pt (nach Subvention) im Querschnitt über alle Firmen,
dem Preis des Zwischenprodukts und somit den Grenzkosten da sich Preise auch im Aggregat nur langsam
anpassen.
Die durchschnittliche Handelsspanne bei ‡exiblen Preisen sei M (ohne Berücksichtigung der Subvention), so ergibt sich für die durchschnittliche Handelsspanne nach optimaler Subvention für die Periode t
1
) )
(M= 1 = (1
Pt
1 Pt
Mt = (1
)
=M :
Vt
Vt
Setzt man dies in die Bedingung für eine sozial optimale Allokation
0
Wt
UN
@Yt M
=
=
UC0
Pt
@N Mt
ein, so sieht man dass die Bedingung für die erstbeste Allokation nur erfüllt, falls M = Mt : Dies ist lediglich
dann der Fall, wenn die In‡ation gleich Null ist, andernfalls verändern sich die Preise für das Zwischenprodukt
und für die Endprodukte mit unterschiedlicher Geschwindigkeit.
Nicht alle Firmen können ihre Preise zur gleichen Zeit anpassen. Daher verlangen Firmen unterschiedliche
Preise und setzen unterschiedliche Mengen ab.
In der erstbesten Allokation wird aber von jedem di¤erenzierten Endprodukt gerade gleichviel produziert,
da dies den Konsumindex Ct für eine gegebene Menge des Zwischenprodukts maximiert.
Dies spiegelt sich wieder, wenn wir yt und ct vergleichen. Für ct gilt
ct = log
Z
und hingegen für yt
yt = log
1
1
C (i)
Z
di
Y (i) di :
Somit ist unsere vereinfachende Bedingung ct = yt nur dann tatsächlich die Gleichgewichtsbedingung zwischen Vorprodukt und Konsumgütermarkt, wenn C (i) = const: über i ist.
Wenn die Unternehmen unterschiedliche Mengen absetzen, so brauchen sie mehr Vorprodukte um den
gleichen Konsumindex zu erzielen. Da eine von Null verschiedene In‡ation dazu führt, dass die Preise der
Unternehmen nicht alle gleich sind (sie hängen davon ab, wann ein Unternehmen zuletzt die Preise neu
gesetzt hatte), führen aggregierte Preisänderung zu einem Wohlfahrtsverlust.
Setzt man die Nachfragefunktion jedes Handelsunternehmens für seine Nachfrage nach Zwischenprodukten ein, so erhält man
log
Z
y (i) di =
=
Z
Pt (i)
Pt
Z
log Ct + log
log
2
Ct di
Pt (i)
Pt
di;
R Pt (i)
so dass sie Nachfrage nach Zwischenprodukten umso höher ist, je größ
er dt = log
di: Dabei
Pt
können wir dt als Maßfür die Streuung der Preise verstehen. dt ist Null, wenn alle Preise gleich sind und
nimmt zu, je stärker sich die Preise der Handelsunternehmen unterscheiden. Auch hier wird wieder deutlich,
dass In‡ation, welche sich von Null unterscheidet zu Wohlfahrtsverlusten führt.
Optimalität von Nullin‡ationspolitik
Um vor dem Hintergrund der vorangestellten Überlegungen eine optimale Geldpolitik herzuleiten, wollen wir
annehmen, dass in der Ausgangssituation alle Firmen den gleichen Preis gesetzt haben, also P 1 (i) = P 1 .
Ferner seien in der Vorperiode alle Preise so, dass die Handelspanne gerade dem Zielwert M entspricht.
In diesem Fall ist es optimale Politik der Zentralbank, die Handelsspannen bei gegebenem Preisniveau
Pt = P 1 auf das von den Firmen gewünschtes Niveau M zu bringen (indem sie die Preise der Vorprodukte
manipuliert). Wie wir gesehen haben, ist dann die Allokation (wegen der ausgelobten Zwischenproduktsubvention) gerade gleich der erstbesten Allokation.
Falls alle Firmen erwarten, dass diese Politik für immer besteht, so haben sie keinen Grund ihre Preise
zu ändern und sie behalten die Preise der letzten Periode bei. Also ist t = 0 für alle t; so dass der
neukeynesianischen Phillipskurve entsprechend y^t = 0 für alle t. 1
Damit dies auch der dynamischen IS Kurve entspricht, muss die Zentralbank sicherstellen, dass der
nominale Zinssatz stets dem natürlichen Zinssatz entspricht2
it = rtn :
Wie im Fall der klassischen Ökonomie ist es notwendig, dass die Zentralbank nicht nur den Nominalzins
auf den natürlichen Realzinswert setzt, sondern auch auf Abweichungen von Nullin‡ation gemäßdem TaylorPrinzip reagiert, um selbsterfüllende In‡ationserwartungen zu verhindern.
it = rtn +
+
t
^t
y^ y
Eine solche ZB-Politik ist allerdings praktisch kaum möglich, da sie Informationen über Output-gap und
natürlichen Realzins in Echtzeit benötigt.
Praktisch wird eine Zentralbankpolitik nur die Form
it =
+
t
+
y^ yt
annehmen können, wobei yt die Outputabweichung vom steady state Wert ist.
Politik nach Wohlfahrtskriterium
Soziale Wohlfahrtsfunktion
Wir kommen nun auf der Basis des mikrofundierten neu-keynesianischen Modells zur Frage zurück, inwiefern
Regelbindung bessere Politikergebnisse erzielen kann als diskretionäre Politik. Im Kern werden sich die
Ergebnisse der Überlegungen zum Barro-Gordon Modell bestätigen, bzw. werden wir klarer sehen, was die
Ergebnisse treibt.
Zunächst kann man zeigen, dass der Wohlfahrtsverlust aus Output-gap und In‡ation entsprechend einer
Taylor Approximation zweiter Ordnung proportional ist zu
E0
1
X
1
s
s=0
=
(1
y^t +
1
) (1
)
2
t
:
1 Falls die Firmen aber erwarten, dass zu irgendeinem Zeitpunkt die Handlesspanne nicht mehr dem gewünschten Niveau
entsspricht, so werden sie bereits sofort die Preise anpassen, falls sie können.
2 Dies heiß
t aber, dass Produktionse¢ zienz und optimale Ausstattung mit Geld gemäßder Friedman Regel, die einen Nominalzins von 0 fordert, im Kon‡ikt stehen. Wir vernachlässigen den Wohlfahrtsverlust aus zu geringer Geldhaltung.
3
Optimale Politik bei unvollständiger Beobachtung des Output gaps
Wenn die Zentralbank das tatsächliche Output-gap beobachten kann, ist die optimale Politik eine Politik,
die, dem Taylor-Prinzip folgend, In‡ation auf 0 und den realen Zinssatz auf seinem natürlichen Niveau
stabilisiert.
Gali (2008) zeigt, dass wenn die Zentralbank nicht das tatsächliche Output gap beobachten kann, vermutlich eine Politik am besten ist, die sehr groß
en Wert auf In‡ationsbekämpfung legt und die Stabilisierung
des Output-gaps vernachlässigt, also eine Politik der Form
it =
mit groß
em
(konkret
+
t
= 5):
Kostenschocks, zeitvariierende Unterschiede von natürlichem und e¢ zienten Output
Allerdings kennt unser bisheriges Modell nur erstbeste Schwankungen im natürlichen Zins. Wenn man
aber unterstellt, dass z.B. die Monopolmacht der Unternehmen schwankt oder es auch zeitlich schwankende
Verzerrungen am Arbeitsmarkt gibt, stimmen natürlicher ytn und e¢ zienter Output yte nicht mehr überein.
Wir modi…zieren daher die neukeynesianische Phillipskurve in folgender Form
t
=
Et (
ut
=
(yte
t+1 ) +
ytn ) =
(yt
(1
yte )t + ut
) +
u ut 1
+ "ut
wobei im Folgenden xt := (yt yte ) das wohlfahrtsrelevante Outpu-gap ist. Den Term ut kann man als
Schock auf die Produktionskosten verstehen (z.B. Ölpreisschock).
Wir nehmen an, dass im Mittel die Schocks "ut Null sind, E ("ut ) = 0; < t; es aber auch einen dauerhaften Unterschied zwischen e¢ zienten und natürlichen Output geben kann. Der Parameter = E (ut )
misst, ob es einen solchen Unterschied gibt.
Der Wohlfahrtsgewinn bzw. die Zielfunktion der Zentralbank stellt sich nun dar als proportional zu
1
1 X
E0
2
s=0
s
Et
2
x xt
+
2
t
Nehmen wir nun an, die Zentralbank setzt in jeder Periode das Ouptut-gap und die In‡ation, indem sie
einen nominalen Zinssatzes wählt und so entlang der dynamischen IS-Kurve und entsprechend der Bedingung
gesetzt durch die Neu-Keynesianische Phillips-Kurve ein In‡ations-Output-gap Paar wählt.
Optimale diskretionäre Politik in der laufenden Periode
Wir wollen zunächst annhemen, die Zentralbank versucht in jeder Periode separat den Wohlfahrtsverlust zu
minimieren. Dass heiß
t, sie minimiert
u.d.NB
t
1
2
2
x xt + t
2
xt + Et ( t+1 ) + ut
{z
}
|
=
:=
t
durch die Wahl von xt und t :
Wir haben also die Phillipskurve vereinfacht in drei Termen dargestellt: die laufende In‡ation t hängt
vom laufend Output gap xt und einem für die Zentralbank im moment als exogen zu betrachtendem Term
t ab. Dieser setzt sich zusammen aus Kostenschock ut und In‡ationserwartungen, die vorausschauend
gebildet werden.
Maximiert man die Zielfunktion der Zentralbank im Bezug auf xt und t so erhält man zunächst die
Bedingungen erster Ordnung
x xt
=
t
=
4
so dass die optimale Politik
x
=
t
xt
gerade In‡ation und Output gap in eine Balance bringt.
Setzt man nun die Phillips-Kurve ein, so erhält man das Output-gap bzw. die In‡ation als Funktion von
vt :
xt
=
=
t
( xt +
x
xt
t)
x
=
t;
2
+
x
t
x
=
x
t:
2
+
Gehen wir vom Null-In‡ations-steady state aus, so sehen wir, dass die Zentralbank versucht, einen preissteigernden Kostendruck-Schock durch eine de‡ationäre Politik zum Teil auszugleichen. Diese Politik führt
aber zu einem absinken des Outputs, so dass sie das Ouput-gap vergröß
ert.
Erwartungsbildung
Nun ist t aber eine Funktion der für die Zukunft (man beachte den Unterschied zum Barro-Gordon
Modell!) erwarteten In‡ation. Diese wiederum ist eine Funktion der erwarteten Geldpolitik der Zentralbank,
die wieder eine Funktion zukünftiger t+s ist usw.
Um dies formal zu verdeutlichen, ersetzen wir zunächste in der Phillipskurve xt und schließ
lich t
2
=
t
=
x
Durch Vorwärtseinsetzen für
t
x
x
t
x
[ Et (
2
x
=
2
+
t+1 )
+ ut ]
[ Et (
t+2 )
t
erhalten wir
t+1
=
+
+
t
2
x+
x
x
Et
2
+
2
+
x
+ ut+1 ] + ut
= :::
x
=
x
2
+
1
X
s
x
x
s=0
+
Et (ut+s )
2
Nun müssen wir noch den erwarteten Unterschied von e¢ zientem und natürlichen Output ut+s bestimmen. Wir können aus der Form
ut = (1
) + ut 1 + "ut
durch Rückwärtseinsetzen in die Di¤erenzengleichung die Darstellung
ut+s
=
[ut+s
=
s
[ut
1
] + "ut+s
s
X
h u
]+
"t+s
h
h=1
herleiten, so dass wegen Et "ut+s = 0
Et (ut+s ) =
Wenn wir dies in die Formel für
t
t
=
=
+
s
[ut
]:
einsetzen, so erhalten wir
x
x+
1
2
1
X
s
x
x+
s=0
1
+
2=
2
+ (ut
x
5
[ +
)
1
s
(ut
1
+
)]
2=
:
x
Wohlfahrtsverlust im Gleichgewicht
Indem wir die so ermittelte gleichgewichtige In‡ation in die Wohlfahrtsfunktion einsetzen, wir den erwarteten
Wohlfahrtsverlust berechnen:
1
X
E0
s
2
G xt
Et
t=0
1
X
= E0
s
"
Et
t=0
1
X
s
+E0
Et
t=0
=
=
G
"
(1
2
=
+
1
G
x
2=
2
2
1
+
1
2
2=
x
2
= x
+ 2=
1
+
x
+1
x
) (1
G
2
(1
2
t
(ut
) +
2
1
+
2=
2 Et
(ut
2
1
x
#
(ut
x
)
2
#
2
G
2
+
) (1
2
+
2=
+
2
x
2=
+
x)
2
x)
2
+ E0
1
X
2
x
t=0
+
2
x
(1
2
x
2=
+
+
2
G
(1
2
G
s
+
) (1
+
2
x
2=
x)
2
x)
2
x
)
2
2
u
Optimales Zentralbankdesign
Wir wollen uns nun wieder fragen wie die optimale Delegation an einen Zentralbanker mit der durch
gekennzeichneten Zielfunktion aussieht. Dazu betrachten wir zunächst zwei Spezialfälle:
x
Stabilisierungsanreiz Zunächst wollen wir annehmen, dass = 0; dann vereinfacht sich der Wohlfahrtsverlust zu
2
2
2
+ 2x
+ 2x
G
G
u
2
=
u
2
2;
1
(1
) (1
+ 2 = x ) 2x
( x (1
) + 2)
da es keinen Anlass für die Zentralbank gibt, die In‡ation im langfristigen Erwartungswert von Null abweichen zu lassen. Dennoch wird es, wie wir sehen werden, einen Anlass geben, die Zentralbankgeschäfte an
einen "konservativeren" Zentralbanker zu delegieren, der weniger Wert auf Outputstabilisierung legt, als die
Wahlbevölkerung.
Leitet man nach x ab, um das optimale x zu bestimmen, so erhält man als Bedingung erster Ordnung
2
x
x
(1
2 2
)+
2
(
2
x
x
(1
)+
x
2
x
(1
x
2 2
G
x
(1
=2
(1
G
)+
2
)+
=
x
2
2
2
2
x
+
(1
)
)+
2 )4
2
2
x
+
=
G
2
G
x
=
G
x
=
G
2
(1
2
)
+
(1
2
x
)+
(1
x
(1
x
)+
(1
(1
2
x
2
)+
=0
2
)
(1
)
)
(1
)
Der optimale Zentralbanker legt also weniger Gewicht auf Outputstabilisierung als es die Wahlbevölkerung
tut, x < G , falls Kostenschocks persistent sind, > 0. Warum ist dies so? Wenn wir die Phillipskurve
t
= xt + Et ( t+1 ) + ut
{z
}
|
:=
t
betrachten, die sich in jeder Periode dem Zentralbanker als Nebenbedingung stellt, so haben wir argumentiert,
dass t in jeder Periode für den Zentralbanker eine gegebene, exogene Größ
e darstellt, die er nicht durch
seine laufende Politik beein‡ussen kann. Allerdings beein‡usst Information über den Typ des Zentralbankers
t sehr wohl.
6
Angenommen es ergibt sich ein überraschender Kostenschocks ut > 0; dann wird der Zentralbanker,
mit einer positiven In‡ation reagieren und zwar umso stärker je größ
er x : Die Haushalte wissen dies und
wissen auch, dass ein positives ut typischerweise ein positives ut+1 zur Folge hat (wegen der Persistenz des
Prozesses). Also gehen sie davon aus, dass der Zentralbanker auch in der nächsten Periode eine positive
In‡ation setzen wird und zwar umso stärker, je größ
er x :
Dies bedeutet aber nun, dass je größ
er x ist, umso stärker schwankt t ; da t auch die In‡ationsewartungen umfasst. Anders ausgedrückt sind die Kosten der Stabilisierung für einen konservativen Zentralbanker
niedriger. Diesen Vorteil einer Vorfestlegung auf eine Politik, die mit wenig In‡ation reagiert, nennt man
auch "Stabilisation Bias".
In‡ationshang Als zweiten Spezialfall wollen wir nun den Fall 2u = 0 betrachten, also eine Situation ohne
Kostenschocks, aber mit einem dauerhaften Unterschied zwischen natürlichem und e¢ zienten Output. Dies
ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die Fiskalpolitik nicht in der Lage ist durch eine Lump-sum …nanzierte
Subvention, die aus der Marktmacht der Handelsunternehmen herrührende Verzerrung zu neutralisieren. In
diesem Fall ergibt sich der Wohlfahrtsverlust als
2
G
2
(1
)(
x
x
x
(1
)+
2 2
2
(
G
(1
x =
x
2
2
x
(1
und die Bedingung erster Ordnung für ein optimales
2
+
x
+
)+
2 )2
als
2
x
)+
G (1
(1
)
2 )4
)
x
(1
)+
2
=0
0
Der optimale Zentralbanker legt in diesem Fall also fast gar keinen Wert auf Outputstabilisierung. Das der
optimale Wert für x nicht exakt Null ist, ist lediglich ein Artefakt der linearen Approximation des Modells,
da die so hergeleitete Phillipskurve
t = xt + Et ( t+1 ) + ut
erlaubt für < 1 durch höhere steady state In‡ation den Output dauerhaft zu erhöhen, da für den steady
state mit Inlationsrate
(1
)
x=
gilt.
Allgemeiner Fall Ohne dies nun formal dies herzuleiten gilt im allgemeinen Fall mit 2u ; > 0, dass
die Zenralbank zwar idealerweise versuchen sollte etwas zu stabilisieren x > 0 jedoch weniger als dies den
Präferenzen der Wahlbevölkerung entspricht
1
>
x= G
7
>1
: