Elektrische Felder 06 (Das Coulomb Gesetz).

3.8 Das Coulombsche Gesetz
Aus der Mechanik ist bekannt, dass Körper sich auf Kreisbahnen bewegen, wenn auf sie eine
Zentripetalkraft in Richtung Mittelpunkt der Kreisbahn wirkt. So bewegt sich beispielsweise der
Mond auf einer Kreisbahn um die Erde, weil auf ihn eine Zentripetalkraft in Richtung Erdmittelpunkt
wirkt. Die Zentripetalkraft wird in diesem Fall von der Gravitationskraft, also der allgemeinen
Massenanziehung zwischen Erde und Mond geliefert. Sie kann mit Hilfe des Newtonschen
Gravitationsgesetzes
berechnet werden. Ein weiteres Beispiel für die Wirkung einer Zentripetalkraft ist das Atom. In einem
Atom bewegen sich negativ geladene Elektronen in der Atomhülle auf Kreisbahnen um den positiv
geladenen Atomkern. Die hierfür verantwortliche Zentripetalkraft wird von der elektrischen
Anziehung zwischen positiven und negativen Ladungen geliefert. Ziel der nachfolgenden Überlegungen ist es, analog zum Newtonschen Gravitationsgesetz in der Mechanik, ein Gesetz zu
bestimmen, mit dem die Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen berechnet werden kann.
In einem Experiment wird eine an einem isolierten Stab befestigte Konduktorkugel mit einer
Hochspannungsquelle elektrisch aufgeladen. Bringt man diese Konduktorkugel nun in die Nähe eines
Elektroskops, so kann aufgrund der elektrischen Influenz ein Zeigerausschlag beobachtet werden.
Entfernt man die Kugel wieder, so geht der Zeigerausschlag zurück. In einem nächsten Schritt werden
über die Konduktorkugel zwei metallische Halbkugelschalen gestülpt, sodass diese komplett
eingeschlossen ist. Wichtig hierbei ist, dass sich die Konduktorkugeln und die Halbkugelschalen nicht
berühren.
Es ist zu beobachten, dass sich der Zeigerausschlag des Elektroskops nicht ändert, wenn die geladene
Konduktorkugel von den metallischen Halbkugelschalen umschlossen wird.
© M. Brennscheidt
Dies kann dadurch begründet werden, dass auf den Kugelschalen durch Influenz eine Ladungsträgertrennung hervorgerufen wird, sodass die Innenseite der Kugelschalen positiv und die Außenseite der
Kugelschalen negativ geladen wird. Das elektrische Feld außerhalb der Kugelschalen entspricht dem
elektrischen Feld der Konduktorkugel ohne Schalen, da jedem Ladungsträger auf der Konduktorkugel
genau eine Influenzladung auf den Kugelschalen zugeordnet werden kann, die das äußere elektrische
Feld erzeugt. Der Zeigerausschlag des Elektroskops bleibt somit unverändert.
Aus diesem Experiment kann geschlossen werden, dass das elektrische Feld nicht von der
geometrischen Ausdehnung der felderzeugenden Ladung
abhängt. Es ist somit sinnvoll, analog
zum Modell des Massepunkts in der Mechanik, in der Elektrizitätslehre den Begriff einer Punktladung
einzuführen. In einer Punktladung kann man sich die gesamte Ladung eines geladenen Körpers
konzentriert vorstellen. Bei kugelförmigen Körpern befindet sich die imaginäre Punktladung genau im
Zentrum der Kugel.
Satz: Die Feldstärke in einem beliebigen Raumpunkt
hängt nicht ab von der Ausdehnung der
felderzeugenden Ladung . Diese kann man sich in einem Punkt vereinigt denken (Punktladung).
Die Feldstärke hängt nur ab vom Abstand des Raumpunktes zum Ort der Punktladung
(
)
und von der Ladungsmenge .
Das Coulombsche Gesetz:
Im Folgenden soll nun die Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen hergeleitet werden. In einem
Experiment wird eine Konduktorkugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius mit der Ladung
aufgeladen. Es spielt dabei keine Rolle, ob sich die Ladung im Zentrum der Kugel, oder an deren
Oberfläche befindet, da das elektrische Feld außerhalb der Kugel in beiden Fällen gleich ist. Aus
diesem Grund wird die Ladung im Folgenden als Punktladung betrachtet.
Zunächst soll nun die elektrische Feldstärke in einem beliebigen Raumpunkt , der den Abstand
(
) von der Punktladung besitzen soll, berechnet werden.
© M. Brennscheidt
Gemäß der ersten Maxwellschen Gleichung existiert ein direkter Zusammenhang zwischen
felderzeugender Ladung bzw. der Flächenladungsdichte und der elektrischen Feldstärke :
Da die elektrische Feldkonstante
aus den vorangegangenen Überlegungen bekannt ist, muss
lediglich die Flächenladungsdichte am Ort bestimmt werden, um dort die elektrische Feldstärke
berechnen zu können. Wie ist es aber möglich die Flächenladungsdichte von einem Ort zu
berechnen, an dem sich zunächst überhaupt keine Ladungen befinden?
Hier bedient man sich in Gedanken eines kleinen Tricks: Man stelle sich vor, dass der Radius der
Kugel von auf vergrößert sei. Bei diesem Vorgang bleibt die Gesamtladung der Kugel erhalten.
Auch das elektrische Feld am Ort ändert sich nicht, da gemäß dem Modell der Punktladung die
Ausdehnung der felderzeugenden Ladung keinen Einfluss auf das elektrische Feld hat. Die einzige sich
verändernde Größe ist die Flächenladungsdichte, die sich jedoch für eine Kugel mit dem großen
Radius leicht berechnen lässt:
Die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius beträgt:
Durch Einsetzen ergibt sich somit die Flächenladungsdichte am Ort :
Aufgrund des großen Abstands des Punktes vom Mittelpunkt der Kugel ist das elektrische Feld in
einem kleinen Bereich um näherungsweise homogen, das heißt, die Feldlinien verlaufen ungefähr
© M. Brennscheidt
parallel. In diesem Fall dürfen wir die berechnete Flächenladungsdichte in die erste Maxwellgleichung einsetzen:
Hieraus lässt sich nun die Stärke des elektrischen Feldes am Ort
berechnen:
bzw.
Um nun zu berechnen, welche Kraft
auf eine Probeladung wirken würde, wenn sie sich im
Punkt , also genau im Abstand von der felderzeugenden Punktladung befindet, muss lediglich
die elektrische Feldstärke am Ort in die allgemeine Gleichung für die Kraft auf eine Probeladung im
elektrischen Feld eingesetzt werden:
Dies ist das sogenannte Coulombsche Gesetz für radiale elektrische Felder. Es beschreibt die Kraft
zwischen zwei Ladungen
und die sich im Abstand voneinander befinden. Sind
und
gleichnamig, so wirkt die Kraft abstoßend, sind sie ungleichnamig, so wirkt die Kraft anziehend.
Auch hier ist zu beobachten, dass das Coulombsche Gesetz sehr große Ähnlichkeiten zum Newtonschen Gravitationsgesetz aufweist. So kann mit dem Coulomb-Gesetz die elektrische Kraft zwischen
zwei Ladungen und mit dem Gravitationsgesetz die Kraft zwischen zwei Massen im Abstand
berechnet werden. Beide Kräfte nehmen quadratisch mit dem Abstand ab. Das heißt dass sich die
Kräfte vierteln, wenn man den Abstand zwischen den Ladungen bzw. den Massen verdoppelt.
Gesetze mit dieser Eigenschaft werden deshalb auch als „Abstands-Quadrat-Gesetze“ bezeichnet und
sind in vielen Teilgebieten der Physik zu beobachten. So findet man beispielsweise auch bei
Schallwellen ein Abstands-Quadrat-Gesetz, da die Lautstärke einer Schallquelle quadratisch mit dem
Abstand zur Schallquelle abnimmt.
Anmerkung:
Sowohl die elektrische Kraft (beschrieben durch das Coulomb-Gesetz), als auch die Gravitationskraft
(beschrieben durch das Newtonsche Gravitationsgesetz) gehören neben der Kernkraft und der sog.
schwachen Kraft zu den vier Grundkräften der Physik, die alles im Universum zusammenhalten. Alle
weiteren Kräfte in der Natur können auf diese vier Grundkräfte zurückgeführt werden. Hierarchisch
© M. Brennscheidt
betrachtet ist dabei die Gravitationskraft die schwächste der Grundkräfte, gefolgt von der
elektrischen Kraft, der schwachen Kraft und der stärksten Grundkraft, der Kernkraft.
Achtung: Obwohl das Coulomb-Gesetz und das Gravitationsgesetz große Ähnlichkeiten aufweisen
gibt es dennoch Unterschiede zwischen beiden Gesetzen. So wirkt die Gravitationskraft immer
anziehend, wohingegen die Coulombkraft je nach Polung der Ladung anziehend oder abstoßend
wirken kann.
© M. Brennscheidt