Grundlegendes zur nicht-relativistischen Quantentheorie

Grundlagen der Quantenmechanik, Georg Junker
1
Grundlegendes zur nicht-relativistischen
Quantentheorie
Georg Junker
I.
DER MATHEMATISCHE RAHMEN
Hilbert-Raum: H = L2 (Rd ) := {ψ : Rd → C ||
R
dd q |ψ(q)|2 < ∞}, dim H = ∞.
Funktionenraum (linearer Vektorraum) über C. Für Spin-Freiheitsgrade auch endlichdimensionalen Hilbert-Raum H = C2s+1 .
Vektor: |ψi ∈ H
Adjungierter Vektor: hψ| ∈ Dualraum von H
Skalarprodukt: hϕ|ψi :=
Norm: ||ψ|| :=
R
Rd
dd q ϕ∗ (q)ψ(q)
p
hψ|ψi
Orthonormalsystem (ONS): {|Φn i} ∈ H mit hΦn |Φn0 i = δnn0 , n ∈ I ⊆ N
Vollständiges Orthonormalsystem (VONS): ONS mit
P
Φn (q)Φ∗n (q 0 ) = δ(q − q 0 )
n∈I
Verallgemeinertes VONS: {Φa }, a ∈ I ⊆ R mit
R
hΦa |Φa0 i = δ(a − a0 ) und da Φ∗a (q)Φa (q 0 ) = δ(q − q 0 )
I
Operator: A : H 7→ H,
|ψi 7→ A|ψi =: |Aψi
Linearer Operator: A(a|ψi + b|ϕi) = a|Aψi + b|Aϕi,
a, b ∈ C
Antilinearer Operator: A(a|ψi + b|ϕi) = a∗ |Aψi + b∗ |Aϕi,
Definitionsbereich: DA := {|ψi ∈ H || A|ψi ∈ H} ⊂ H,
a, b ∈ C (sehr selten!)
meist DA = H
Algebra: (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC,
1A = A1 = A (1 = Einheitsoperator)
Kommutator (Lie-Produkt): [A, B] := AB − BA
[A, B] = −[B, A], [A + B, C] = [A, C] + [B, C], [aA, B] = a[A, B],
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
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2
Inverser Operator: A−1
AA−1 = A−1 A = 1, (AB)−1 = B −1 A−1 , (A−1 )−1 = A, (aA−1 ) = a−1 A−1
Adjungierter Operator: A†
hA† ϕ|ψi := hϕ|Aψi ∀ |ψi ∈ DA , |ϕi ∈ DA† , DA† := {|ϕi ∈ H||so, daß∃|ϕ̂i ∈ H mit
hϕ|Aψi = hϕ̂|ψi∀ ∈ DA
(A† )† exisitiert eventuell nicht (eindeutig).
(AB)† = B † A† , (A + B)† = A† + B † , (aA)† = a∗ A† , (A† )† = A, (A−1 )† = (A† )−1
hϕ|Aψi = hA† ϕ|ψi
Hermitescher Operator (symmetrischer Operator):
A† |ψi = A|ψi
∀ |ψi ∈ DA ⊂ DA†
Selbstadjungierter Operator: Hermitescher Operator A mit DA = DA† ,
d.h. A† = A
Wichtigste Typen von Operatoren:
A† A = AA†
⇐⇒
A normal
A† = A
⇐⇒
A selbstadjungiert
A unitär
⇐⇒
A† = A−1
A positiv
⇐⇒
∃B mit A = B † B (Schreibweise A ≥ 0)
A Projektor
⇐⇒
A = A† A (z.B. A = |ψihψ|)
normal
selbstadjungiert
unitär
1
Projektor
positiv
Spektrale Zerlegung normaler Operatoren:
Auf H mit dim H =: N < ∞ hat jeder normale Operator A ein VONS {|Φn i} von Eigenvektoren mit eventuell entarteten Eigenwerten {an }, n = 1, . . . , N .
P
Projektor Ej auf Eigenraum zu aj : Ej |ψi := δan aj |Φn ihΦn |ψi
n
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P
3
Ej = 1, Ei† Ej = δij Ej . Die Menge {Ej } ist eindeutig bestimmt.
j
Spektralsatz für normale Operatoren: A =
P
aj Ej , f (A) =
j
P
f (aj )Ej .
j
Verallgemeinerung auf kontinuierliches Spektrum möglich (Spektralschar!).
Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren:
A|ai = a|ai mit a∗ = a und a ∈ {ai || i ∈ I ⊂ N} ∪ {[amin , amax ] ⊂ R}.
amax
R
P
da |aiha| = 1
hai |aj i = δij und ha|a0 i = δ(a − a0 ) bilden VONS, d.h.
|ai ihai | +
j
f (A) :=
P
f (ai )|ai ihai | +
i∈I
II.
amax
R
amin
daf (a)|aiha|.
amin
POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
• Ein reiner Zustand eines Systems zur Zeit t ist durch einen normierten Vektor |ψt i ∈ H,
||ψt || = 1, charakterisiert.
• Ein allgemeiner Zustand wird durch einen selbstadjungierten positiven Operator
Wt = Wt† ≥ 0 auf H beschrieben. Die Normierung ist Sp Wt = 1. Für reine Zustände
wird Wt = |ψt ihψt | zu einem Projektor.
• Eine Observable wird durch einen selbstadjungierten (linearen) Operator A auf H
beschrieben. Mögliche Meßwerte der Observablen sind die Eigenwerte {ai }, i ∈ I, von
A. Die Eigenzustände sind A|ai i = ai |ai i bzw. AWai = ai Wai .
• Der Erwartungswert der Observablen A im Zustand |ψt i bzw. Wt ist hAiψt := hψt |A|ψt i
bzw. hAiWt := Sp (Wt A).
• Die Wahrscheinlichkeit den Eigenwert an von A im Zustand |ψt i zu messen ist
P
P(an ) =
δan ai |hai |ψt i|2 .
i∈I
Für uneigentliche Eigenwerte a ∈ R existiert eine Wahrscheinlichkeitsdichte
dP(a) := |ha|ψt i|2 da.
• Hat die Messung im Zustand |ψt i bzw. Wt den Wert aj ergeben, so befindet sich das
Ej |ψt i
Ej Wt Ej
bzw.
, d.h. die
System unmittelbar nach der Messung im Zustand
||Ej |ψt i||
Sp(Wt Ej )
normierte Projektion von |ψt i bzw. Wt auf den Eigenraum zu aj (Zustandsreduktion!).
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4
• Die Zeitentwicklung für Zustände (im Schrödinger–Bild) wird beschrieben durch die
Schrödinger–Gleichung
i~
∂
|ψt i = H|ψt i
∂t
bzw.
i~
∂
Wt = [H, Wt ].
∂t
Die Dynamik ist durch den Hamilton-Operator H eindeutig bestimmt.
III.
ORTS- UND IMPULSOPERATOR AUF H = L2 (Rd )
Ortsoperator: Qi = Q†i , Qi |qi = qi |qi, Zq = (q1 , q2 , . . . , qd ) ∈ Rd .
{|qi} ist VONS: hq|q 0 i = δ(q − q 0 ) und
dq |qihq| = 1.
Rd
Ortsdarstellung: hq|ψt i =: ψt (q) ist die Ortsdarstellung des Zustands |ψt i bzw. der Wert
der Ortswellenfunktion ψt am Ort q.
Interpretation: |hq|ψt i|2 dq ist die Wahrscheinlichkeit das System im Intervall [q, q + dq] ⊂
Rd zur Zeit t zu finden.
Impulsoperator: Pi = Pi† , Pi |pi = pi |pi,Z p = (p1 , p2 , . . . , pd ) ∈ Rd .
{|pi} ist VONS: hp|p0 i = δ(p − p0 ) und
dp |pihp| = 1.
Rd
Impulsdarstellung: hp|ψt i =: ψ̃t (p) ist die Impulsdarstellung des Zustands |ψt i bzw. der
Wert der Impulswellenfunktion ψ̃t beim Impuls p.
Interpretation: |hp|ψt i|2 dp ist die Wahrscheinlichkeit daß das System einen Impuls im
Intervall [p, p + dp] ⊂ Rd zur Zeit t hat.
Vertauschungsrelation:
[Qi , Pj ] = i~δij
Wichtige Beziehungen:
~ ∂
i ∂q
Ortsdarstellung des Impulsoperators:
hq|P =
Impulsdarstellung des Ortsoperators:
∂
hp|Q = i~ ∂p
hp|
Basiswechsel:
hq|pi = (2π~)−d/2 exp{ ~i pq}
Fourier-Transformation:
ψ̃t (p) = (2π~)−d/2
hq|
⇒
⇒
∂
P |qi = − ~i ∂q
|qi
∂
Q|pi = −i~ ∂p
|pi
Orts- ⇔ Impulsbasis
Z
Rd
dq e−(i/~)pq ψt (q)
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IV.
5
UNSCHÄRFERELATION
Varianz: ∆A2 := h(A − hAi)2 i = hA2 i − hAi2 ≥ 0
Unschärfe
Kovarianz: CA,B := 12 hAB + BAi − hAihBi = 21 h(A − hAi)(B − hBi) + (B − hBi)(A − hAi)i
Beschreibt die Korrelation der Fluktuationen.
2
Unschärferelation: ∆A2 · ∆B 2 ≥ CA,B
+ |h 21 [A, B]i|2
Unschärferelation: ∆A · ∆B ≥ 21 |h[A, B]i|
V.
verschärfte Form
übliche Form
ZEITENTWICKLUNG IM SCHRÖDINGER- UND HEISENBERG-BILD
Schrödinger–Bild: Zustände sind zeitabhängig, Operatoren sind zeitunabhängig
d
i~ dt
Wt = [H, Wt ] bzw.
d
i~ dt
|ψt i = H|ψt i
und
d
A
dt
=0
Heisenberg–Bild: Zustände sind stationär, Operatoren sind zeitabhängig
d
dt
W = 0 bzw.
d
dt
|ψi = 0
und
d
A
dt t
=
∂
A
∂t t
+ i~1 [At , H]
Zeitentwicklungsoperator: Ut := exp{− ~i Ht} für zeitunabhängiges H!
|ψt i = Ut |ψ0 i bzw.
Schrödinger–Bild:
Heisenberg–Bild:
At = Ut† A0 Ut
Erhaltungsgrößen: [A, H] = 0 und
VI.
Wt = Ut W0 Ut†
∂
A
∂t
=0
⇒
d
A
dt
=0
BAHNDREHIMPULS
~ := Q
~ × P~ Operator auf H = L2 (R3 ), L
~ = (L1 , L2 , L3 ),
Definition: L
~ 2 = L21 + L22 + L23 = L∓ L± + L23 ± L3 ,
Eigenschaften: L
L†i = Li ,
L± := L1 ± iL2
(L± )† = L∓
~ L
~ 2 ] = 0 mit ~n bel. Einheitsvektor.
Kommutator: [Li , Lj ] = i~εij k Lk , [~n · L,
~ 2 ] = 0, [L3 , L± ] = ±L± , [L
~ 2 , L± ] = 0
Meist ~n = ~e3
[L3 , L
~ (z.B. P~ , Q,
~ L,...)
~
[Li , Aj ] = i~εij k Ak für alle Vektoroperatoren A
Eigen-VONS:
~ 2 |l, mi = l(l + 1)~2 |l, mi,
L
L3 |l, mi = m~|l, mi,
l = 0, 1, 2, 3, . . .
−l ≤ m ≤ l
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6
{|l, mi} ist VONS auf H = L2 (S 2 ), S 2 ist Einheitskugel im R3 .
Ortsdarstellungen: h~q|l, mi ≡ hr, θ, ϕ|l, mi = f (r)hθ, ϕ|l, mi
Kugelflächenfunktionen: Ylm
(θ, ϕ) := hθ, ϕ|l, mi
~ ∂
∂
∂
±iϕ
, L± = ~e
± + i cot θ
L3 =
i ∂ϕ
∂θ
∂ϕ
~2
P
~
Isotrope Systeme: H := 2m + V (R) mit R := |Q|
~ = 0, [H, L
~ 2 ] = 0 Drehimpulserhaltung!
[H, L]
Gemeinsames Eigen-VONS: (ν diskret oder kontinuierlich)
~ 2 |ν, l, mi = l(l + 1)~2 |ν, l, mi, L3 |ν, l, mi = m~|ν, l, mi
H|ν, l, mi = εν,l |ν, l, mi, L
εν,l ist mindestens (2l + 1)-fach entartet da unabhängig von m.
~
~
Q
∂
1 Q
~
~
r in Ortsdarstellung.
Radialer Impulsoperator: Pr := 2 R · P + P · R , Pr = ~i 1r ∂r
~ 2 und Separationsansatz |ψi := |ν, li ⊗ |l, mi liefern somit
P~ 2 = Pr2 + L
2
Pr
l(l + 1)~2
radiale Schrödinger–Gleichung:
+
+ V (R) |ν, li = εν,l |ν, li
2m
2mR2
VII.
SPIN
~ ist Operator auf H = C2s+1 , dim H = 2s + 1
Definition: S
Beschreibt Eigendrehimpuls von Elementarteilchen.
Beachte: s = 0, 21 , 1, . . . (auch halbzahlige Werte für s!)
Eigenschaften: [Si , Sj ] = i~εij k Sk (analog Bahndrehimpuls)
~ 2 = S12 + S22 + S32 = s(s + 1)~2 1 auf H = C2s+1 .
S
~ auf C2s+1 (~n ∈ R3 , |~n| = 1):
Eigen-VONS von ~n · S
Meist ~n = ~e3
~ n, ms i = ms ~|~n, ms i
~n · S|~
S3 |s, ms i = ms ~|s, ms i, −s ≤ ms ≤ s
Teilchen mit Spin: Arena für Teilchen mit Spin s im R3 ist: H = L2 (R3 ) ⊗ C2s+1 .
~ ⊗ 1 + 1 ⊗ S,
~
Gesamtdrehimpuls: J~ = L
[Li , Sj ] = 0
Produktbasis: |ν, l, mi ⊗ |s, ms i
Gesamtdrehimpulsbasis: |ν, j, mj i = |ν, ji ⊗ |j, mj i,
VIII.
|l − s| ≤ j ≤ l + s,
KOPPLUNG VON DREHIMPULSEN (~ = 1)
Definition: J~ := J~1 + J~2 auf Dj := Dj1 ⊗ Dj2
Dj ist irreduzibler Darstellungsraum der Drehgruppe SO(3).
−j ≤ mj ≤ j.
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Beachte: Dj1 ⊗ Dj2 = Dj1 +j2 ⊕ Dj1 +j2 −1 ⊕ · · · ⊕ D|j1 −j2 | .
Gesamtdrehimpulsbasis:
J~2 |j, mi = j(j + 1)|j, mi, |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2
J3 |j, mi = m|j, mi,
−j ≤ m ≤ j
Notation: |j, m; (j1 j2 )i
Produktbasis:
J~2 |ji , mi i = ji (ji + 1)|ji , mi i,
i
Ji 3 |ji , mi i = mi |ji , mi i,
Notation: |j1 , m1 ; j2 , m2 i := |j1 , m1 i ⊗ |j2 , m2 i

X
j j
 1 2
Basiswechsel: |j, m; (j1 j2 )i =
m1 m2
m1 ,m2


j1 j2 j
 := hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m; (j1 j2 )i

m1 m2 m
IX.
i = 1, 2.

j
 |j1 , m1 ; j2 , m2 i
m
Clebsch-Gordan-Koeffizient.
STÖRUNGSTHEORIE
Ausgangspunkt: H = H0 + V mit bekannten Spektraleigenschaften von H0 =
X
εν |νihν|
ν
Keine Entartung: d.h. εν 6= εν 0 für alle ν 6= ν 0
X |hν|V |ν 0 i|2
εstör
=
ε
+
hν|V
|νi
+
+ O(V 3 )
ν
ν
0
ε
−
ε
ν
ν
ν 0 6=ν
|νistör = |νi +
X
ν 0 6=ν
|ν 0 i
hν 0 |V |νi
+ O(V 2 )
εν − εν 0
Mit Entartung: Sei H0 |ν, ji = εν |ν, ji,
j = 1, 2, . . . , gν
(Entartungsgrad gν )
Diagonalisiere V im Unterraum zu εν und wähle die Eigenvektoren als Basis:
V |ν, ji = ν,j |ν, ji,
ν fest
⇒
εstör
ν,j = εν + ν,j
|ν, ji sind jetzt richtige Eigenvektoren 0. Ordnung
X.
⇒
Nichtentartete Störungsrechnung
SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
Parität als Beispiel einer diskreten Symmetrie:
Definition: Π|qi = | − qi, Π|pi = | − pi,
R
R
Π = dq |qih−q| = dp |pih−p|
p, q ∈ Rd
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Eigenschaften: Π = Π† = Π−1 , Π2 = 1, spec Π = {−1, 1}
Projektoren auf Eigenräume von Π: P± := 21 (1 ± Π)
R
Transformation von Vektoren: |ψ̃i := Π|ψi = dq ψ(−q) |qi
Transformation von Operatoren: Ã := ΠAΠ
für à = A ist A gerader Operator
für à = −A ist A ungerader Operator
sonst ist A ohne Paritätssymmetrie
Symmetrie im Hamilton-Operator: H =
⇒
ΠHΠ = H
⇔
P2
2m
+ V (Q) mit ΠV Π = V
[H, Π] = 0
Eigenzustände von H sind auch Eigenvektoren zu Π
Drehungen als Beispiel einer kontinuierlichen Symmetrie:
Drehungen im R3 :
Definition: D(~ω ) : ~q → D(~ω )~q,
R3 → R3
Drehung um Winkel ω := |~ω | um Achse ~n := ω
~ /ω
Explizit: D(~ω )~q := ~n(~n · ~q) + (~n × ~q) sin ω + (~q − ~n(~n · ~q)) cos ω
Eigenschaften: D(ω~n) ◦ D(ω 0~n) = D((ω + ω 0 )~n),
D−1 (~ω ) = D(−~ω ) = DT ω
~)
Drehungen im H = L2 (R3 ):
Definition: Uω~ : |ψi → Uω~ |ψi mit (Uω~ ψ)(~q) := ψ(D−1 (~ω )~q)
Eigenschaften: Uω~n Uω0~n = U(ω+ω0 )~n ,
Uω~−1 = U−~ω = Uω~†
Uω~ ist (reguläre) Darstellung der Drehgruppe SO(3) im Hilbert-Raum.
n
o
~ mit L
~ =Q
~ × P~ auf H.
Explizite Realisierung: Uω~ = exp −(i/~)~ω · L
~ ω~ = D(~ω )A
~
Transformation von Vektoroperatoren: Uω~† AU
Dient zur Definition von Vektoroperatoren!
Drehungen im Spinraum H = C2s+1 :
n
o
~ Drehung bzgl. der Spinfreiheitsgrade
Realsierung: Uω~ = exp −(i/~)~ω · S
~
~ ω~ = (D(~ω )~n) · S
~
Eigenschaften: Uω~† (~n · S)U
⇒
|D(~ω )~n, mi = e(i/~)~ω·S |~n, mi
~
Drehung der Quantisierungsachse des Spins S.
XI.
TYPISCHE HAMILTON-OPERATOREN
Harmonische Oszillator: H =
Neue Operatoren:
P2
2m
+
m 2 2
ω Q
2
auf
H = L2 (R)
Grundlagen der Quantenmechanik, Georg Junker
A :=
A† =
1
√1
Q + i λ~ P
2 λ
1
λ
√1
Q
−
i
P
~
2 λ
†
9
Absteiger
Aufsteiger
p
N := A A mit λ := ~/mω
[A, A† ] = 1,
[N, A† ] = A†
[N, A] = −A,
Basis: N |ni = n|ni,
n = 0, 1, 2, . . .
Eigenschaften: H|ni = ~ω(N + 21 )|ni = ~ω(n + 21 )|ni
√
√
|ni = √1n! (A† )n |0i, A† |ni = n + 1|n + 1i, A|ni = n|n − 1i.
Coulomb–Problem: H =
~2
P
2m
gebundene Eigenzustände:
H|n, l, mi = εn |n, l, mi
mit
−
α
R
H = L2 (R3 ) (α = e2 /4πε0 )
auf
|n, l, mi
mit
mα2
εn = − 2~2
n = 1, 2, 3, . . .,
n ≥ l + 1,
1
.
n2
Geladenes Teilchen mit Spin im elektromagnetischen Feld:
2
1
e ~ ~
~
~ Q,
~ t) · S
~ auf
~ t) + V (Q)
~ − ge B(
H=
P − A(Q, t) + qΦ(Q,
2m
c
~ =∇
~ ×A
~ Magnetfeld
B
~ = −∇Φ
~
E
elektrisches Feld
~ Spinoperator zu festem s (s =
S
2mc
1
2
−l ≤ m ≤ l
für Elektronen)
e
Ladung (e < 0 für Elektronen)
g
gyromagnetischer Faktor (g ≈ 2 für Elektronen)
H = L2 (R3 ) ⊗ C2s+1