Formelsammlung Finanzmathematik
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ZÜRCHER HOCHSCHULE WINTERTHUR (ZHW) INSTITUT BANKING & FINANCE Formelsammlung Finanzmathematik n C(X, Y) = ∑ Pi · (x i − E[x])·* (y i − E[y]) i=1 D + Pt rt = n π t −1 t =1 Pt −1 n 1 · Ct n·· m R PV(A) = ∑ m + t n· m rM rM t =1 1 + 1 + m m 1. Zinsformen ................................................................................................1 2. Rentenformen ...........................................................................................2 3. Verschuldungsformen..............................................................................4 4. Kursrechnen..............................................................................................6 5. Rendite von festverzinslichen Wertpapieren .........................................7 6. Rendite von Aktien ...................................................................................9 7. Rendite mit Cash-Flows .........................................................................10 8. Rendite anderer Anlagemedien .............................................................11 9. Risiko und Rendite von Einzelpositionen ............................................12 10. Risiko und Rendite im Portfolio ............................................................13 11. Performancemessung ............................................................................14 12. Derivative Elemente................................................................................15 Anhang.............................................................................................................17 ©1988-2004 Prof. Dr. Günter A. Hobein INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 1. Zinsformen Einfache Verzinsung lineare Verzinsung Zinses-Zins exponentielle Verzinsung Unterjährige Verzinsung Aufzinsung Kn K0 p i n = = = = = Endkapital Anfangskapital Zinsfuss Zinssatz ( = p/100 ) Gesamtlaufzeit in Jahren Abzinsung Kn K0 p i n = = = = = Endkapital Anfangskapital Zinsfuss Zinssatz ( = p/100 ) Gesamtlaufzeit in Jahren Aufzinsung Kn K0 p i q n = = = = = = Endkapital Anfangskapital Zinsfuss Zinssatz (= p/100 ) Aufzinsungsfaktor (=1+i) Gesamtlaufzeit in Jahren Kn K0 p i q n v = = = = = = = Endkapital Anfangskapital Zinsfuss Zinssatz (= p/100) Aufzinsungsfaktor (= 1+i) Gesamtlaufzeit in Jahren Abzinsungsfaktor (= 1/q) p i = Zinsfuss = Zinssatz ( = p/100 ) Abzinsung nominelle K0 = Kn Kn = p (1 + i ⋅ n) (1 + 100 ⋅ n) K n = K 0 ⋅ (1 + i) n = K 0 ⋅ (1 + p i = Zinsfuss = Zinssatz ( = p/100 ) K0 = Kn Kn 1 n = p n = Kn ⋅ n = (1 + i) q (1 + 100 ) = K n ⋅ vn p nom = p Gemischte Verzinsung Stetige Verzinsung i = Zinssatz ( = p/100 ) m = Anz. Verzinsungen pro Jahr Kn = Endkapital K0 = Anfangskapital n = Gesamtlaufzeit in Jahren konforme Siehe Rentenformen p ) = (1 + i) 100 1 p = m m p 1 i = (1+ ⋅ ) = (1 + ) m 100 m p rel = p ⋅ qrel effektive p eff = 100 ⋅ (qeff − 1) p 1 m i qeff = (1 + ⋅ ) = (1 + ) m 100 m m p 1 mn i K n = K 0 ⋅ (1 + ) = K 0 ⋅ (1 + ) mn m 100 m Laufendes Jahr wird linear, volle Jahre exponentiell und letztes angefangenes Jahr wieder linear verzinst. e i Kn K0 = = = = Euler’sche Konstante Zinssatz nominell Endkapital Anfangskapital p qeff = e i = e 100 p p eff = 100 ⋅ ( e i − 1 ) = 100 ⋅ ( e 100 − 1 ) p p K n = K 0 ⋅ (e 100 )n = K 0 ⋅ e 100 K K 0 = nn q eff © Prof. Dr. G. Hobein p n ) 100 = K 0 ⋅ qn qnom = (1 + relative p ⋅ n) 100 K n = K 0 ⋅ (1 + i ⋅ n) = K 0 ⋅ (1 + ⋅ n = K 0 ⋅ ei n Seite 1 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 2. Rentenformen Theorie Renten sind vorschüssig / Sparen ist nachschüssig / Leasing (Miete) ist vorschüssig Endwert vorschüssig Rn r q sn’ n = = = = = Rentenendwert Rate / Rente Aufzinsungsfaktor Endwertfaktor vorschüssig Anzahl Raten nachschüssig Rn r q sn n = = = = = Rentenendwert Rate / Rente Aufzinsungsfaktor Endwertfaktor nachschüssig Anzahl Raten Umrechnung vor- ↔ nachschüssig Barwert Unterjährige Renten vorschüssig R0 r q an‘ n = = = = = Rentenbarwert Rate / Rente Aufzinsungsfaktor Barwertfaktor vorschüssig Anzahl Raten nachschüssig R0 r q an n = = = = = Rentenbarwert Rate / Rente Aufzinsungsfaktor Barwertfaktor nachschüssig Anzahl Raten qn − 1 = r ⋅ sn ' Rn ' = r ⋅ q ⋅ q −1 Rn = r ⋅ qn − 1 = r ⋅ sn q−1 sn ' = sn +1 − 1 R0 ' = r ⋅ 1 qn − 1 = r ⋅ an ' ⋅ qn-1 q − 1 R0 = r ⋅ 1 qn − 1 ⋅ = r ⋅ an qn q − 1 Umrechnung vor- ↔ nachschüssig an ' = an − 1 + 1 Methode A r = r ⋅ n + r ⋅ i ⋅ f = r ⋅ (n + i ⋅ f) r r n f i = Rate einer Frist = Rate eines Jahres für End - oder Barwertformel = Anzahl Fristen = Fristenmittel = Zinssatz Fristenmittel (f) f (vorschüssig): n+1 f (nachschüssig): 2 Aufaddieren der anteiligen Restlaufzeiten der Raten. z.B. bei vierteljährlicher, nachschüssiger Zahlung: 0 3 1. Rate 6 2. Rate 9 3. Rate 9/12 n−1 6/12 2 3/12 0/12 = 18/12 = n = Anzahl Raten pro Jahr Methode B (konformer Zinssatz) qkonf = q für End- oder Barwertformel qrel = relativer Aufzinsungsfaktor i = Zinssatz m = Anzahl Verzinsungen p. a. r x = Rate einer Frist = Anzahl Ratenzahlungen innerhalb einer Zinsperiode 12 4. Rate q konf = x qrel = x (1 + X= i ) m Anzahl Raten p. a. m Hinweise: Es wird fast immer von jährlicher Verzinsung ausgegangen, also m =1, ausser bei anderen Angaben, z. B. Sparplänen.) Zusätzlich muss r als Rate in die End- oder Barwertformel eingesetzt werden. © Prof. Dr. G. Hobein Seite 2 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 2. Rentenformen (Forts.) Progressive Renten vorschüssig Rn r q t n R0 = = = = = = Endwert Rate / Rente Aufzinsungsfaktor Progressionsfaktor Anzahl Raten Barwert qn − t n Rn ' = r ⋅ q ⋅ q−t 1 qn − t n R 0 ' = r ⋅ n-1 ⋅ q−t q nachschüssig Rn r q t n R0 = = = = = = Endwert Rate / Rente Aufzinsungsfaktor Progressionsfaktor Anzahl Raten Barwert qn − t n Rn = r ⋅ q− t u t = Prozentsatz der Veränderung = Progressionsfaktor t = (1 ± u) R0 q i r = = = = R0 ' = Progressionsfaktor Ewige Renten vorschüssig (Barwerte) Barwert Aufzinsungsfaktor Zinssatz nachschüssig Rate / Rente 1 qn − t n R0 = r ⋅ n ⋅ q− t q t > 1 progressive Rente mit t = 1 konstante Rente t < 1 degressive Rente r ⋅ q r ⋅ q r ⋅ 100 ⋅ q = = ⋅ q −1 i p (bei mehreren Raten pro Jahr konformer i, Methode B bei unterjährigen Renten, r ist dabei die effektive (z.B. monatliche) Rente) nachschüssig R0 q i r = = = = Barwert Aufzinsungsfaktor Zinssatz Rate / Rente R0 = r r 100 ⋅ r = = q−1 i p (bei mehreren Raten pro Jahr konformer i, Methode B bei unterjährigen Renten, r ist dabei die effektive (z.B. monatliche) Rente) Leibrenten Die Leibrente ist an die Lebensdauer des Empfängers gebunden und ist daher eine endliche Rente, bei der Bar- und Endwertberechnung normal möglich sind. Die Anzahl Jahre muss aus der Sterbetafel entnommen werden. Berechnung erfolgt via Barwertformeln Seite 2, die Laufzeit n muss aus der Sterbetafel ”Formeln und Tafeln” gelesen werden, Kolonne ex respektive ey, x für die Frauen, y für die Männer. © Prof. Dr. G. Hobein Seite 3 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 3. Verschuldungsformen Arten ohne Tilgung während der Laufzeit mit Tilgung während der Laufzeit Annuitätenanleihe (immer nachschüssig) Einmalige Schuld Rückzahlung von Kapital und Zins am Ende der Laufzeit (z.B. Geldmarktinstrumente, Festgelder, etc.) Zinsschuld / - anleihe Zinsen laufend (z.B. jährlich), Rückzahlung des Kapitals am Ende der Laufzeit (z.B. Obligationen) Ratenschuld konstante (Tilgungs-)Raten (z.B. jährlich), Zinsen sind abnehmend (z.B. 2. Hypotheken) Annuitätenschuld Jährliche Aufwendung konstant (Zins inkl. Tilgung), (z.B. Kleinkredite, Euro-Hypotheken) Jahr 1 2 3 Kapital zu Beginn des Jahres K0 K1=K0-T1 K2=K1-T2 Tilgungsrate am Ende des 1. Jahres T1 n K0 sn q = = = = = 1. Tilgungsrate Anzahl Tilgungsjahre Kapital zu Beginn Endwertfaktor nachschüssig Aufzinsungsfaktor Tilgungsrate am Ende des k-ten Jahres Tk T1 q k = = = = Tilgungsrate Ende k-ten J. 1. Tilgungsrate Aufzinsungsfaktor (1+i) ”Jahrzahl” Tk = T1 ⋅ qk −1 Barwert K0 T1 n K0 sn = = = = 1. Tilgungsrate Anzahl Tilgungsjahre Kapital zu Beginn Endwertfaktor nachschüssig qn − 1 K 0 = T1 ⋅ s n = T1 ⋅ q−1 K0 n A an q = = = = = Kapital zu Beginn Anzahl Jahre Annuität Barwertfaktor nachsch Aufzinsungsfaktor (1+i) Kk K0 T1 k sk = = = = = Restschuld Ende k-ten J. Kapital zu Beginn 1. Tilgungsrate ”Jahrzahl” Endwertfaktor nachschüssig Tilgungsplan Restschuld Kk (Restschuld am Ende des k-ten Jahres bzw. Barwert der folgenden Annuität) Tilgung am Ende des Jahres T1 T2=T1+(T1·i)=T1·q 2 T3=T2+(T2·i)=T2·q=T1·q T1 = Jahresaufwand z1 + T1 (= A) z2 + T2 (= A) z3 + T3 (= A) K0 K K ⋅ (q − 1) = n 0 = 0 n sn q −1 q −1 q-1 [für 1 ≤ k ≤ n] K 0 = A ⋅ an = A ⋅ 1 qn − 1 ⋅ qn q − 1 k −1 K k = K 0 − T1 ⋅ = K 0 − T1 ⋅ s k q−1 q [für 1 ≤ k ≤ n] Im Tilgungsplan ist für das k-te Jahr K(k-1) zu berechnen. speziell: K n = K 0 − T1 ⋅ s n = 0 A Kk K0 q k sk K k = K 0 ⋅ qk − A ⋅ s k = = = = = = = Kk = n-k = A = q = © Prof. Dr. G. Hobein Zinsen am Ende des Jahres z1 z2=z1-(T1·i) z3=z2-(T2·i) Annuität Restschuld Ende k-ten J. Kapital zu Beginn Aufzinsungsfaktor (1+i) ”Jahrzahl” Endwertfaktor nachschüssig Restschuld Ende k-ten J. Restlaufzeit Annuität Aufzinsungsfaktor (1+i) qk − 1 = K0 ⋅q − A⋅ q−1 k Kk = A ⋅ 1 qn − k ⋅ qn − k − 1 q−1 Seite 4 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 3. Verschuldungsformen (Forts.) Serienanleihen / mit Stückelung Annuität K0 n A an q = = = = = Kapital zu Beginn Anzahl Jahre Annuität Barwertfaktor nachschüssig Aufzinsungsfaktor (1+i) n K0 K 0 ⋅ q ⋅ (q − 1) A= = = n n an 1 q −1 q −1 ⋅ n q−1 q Faktor q A T1 q n = = = = Annuität 1. Tilgungsrate Aufzinsungsfaktor (1+i) Anzahl Jahre qn = A T1 q=n Laufzeit n A T1 q n = = = = Annuität 1. Tilgungsrate Aufzinsungsfaktor (1+i) Anzahl Jahre qn = A T1 n= Jahr Kapital zu Beginn des Jahres Stück Zinsen am Ende des Jahres K0 Tilgung am Ende des Jahres Tilgungk = Tilgung am Ende des k-ten Jahres Restk-1 = Rest des Vorjahres Nominal = Nominal der Obligationenstückelung Stück A T1 lg A − lg T1 lg q Rest Jahresaufwand + Rest k k−1 Nominal Tilgung Stück = (Betrag ist abzurunden) Dies entspricht der effektiv möglichen zu tilgenden Obligationenschuld, wobei der Rest des Vorjahres mitberücksichtigt werden muss. ( )- Rest Tilgungk = Tilgung am Ende des k-ten Jahres Restk-1 = Rest des Vorjahres Stückk = Stück des k-ten Jahres Nominal = Nominal der Obligationenstückelung Rest = Tilgung + Rest k k -1 Jahresaufwand JW = Jahresaufwand Zinsenk = Zinsen des k-ten Jahres Stückk = Stück des k-ten Jahres Nominal = Nominal der Obligationenstückelung JW = Zinsenk + (Stückk · Nominal) Kapital im Folgejahr K0 = Kapital Nominal = Nominal der Obligationenstückelung KFolgejahr = KVorjahr − (StückVorjahr · Nominal) Bei gleicher Tilgung Bei gleichem Jahresaufwand (Annuität) Tilgung bestimmen, wobei das Gesamtnominal der gesamten Anleihensschuld (nominell) entspricht. Der Jahresaufwand ergibt sich aus Tilgung + Zinsen. Annuität bestimmen. K0 = Kapital zu Beginn n = Anzahl Jahre A = Annuität an = Barwertfaktor nachsch. Tilgung = (Stück k * Nominal) Gesamtnominal Laufzeit in Jahren n K0 K 0 ⋅ q ⋅ (q − 1) A = = = n n 1 q −1 an q −1 n ⋅ q q−1 K0 Die Tilgung ergibt sich aus der Differenz von Annuität − Zinsen. © Prof. Dr. G. Hobein Seite 5 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 4. Kursrechnen Kursrechnen Kurs Kurs / Wert einer einmaligen Schuld C0 = Kurs nom K = Nominalwert real K = Barwert der ausstehen den Cash-Flows abgezinst mit qreal pnom= nomineller Zinsfuss preal = realer Zinsfuss W = Übernahmewert K0 = Schuldenauszahlung zu Beginn C0 = Kurs einmalige Schuld n = Gesamtlaufzeit k = verstrichene Anzahl Jahre n-k = Restlaufzeit qreal = Aufzinsungsfaktor real qnom= Aufzinsungsfaktor nominal Kurs einer Zinsanleihe C0 = Kurs einer Zinsanleihe R = Rücknahmepreis n = Laufzeit qreal = Aufzinsungsfaktor real pnom= Zinsfuss nominal Kurs einer ewigen Rente C0 = Kurs einer ewigen Rente pom= Zinsfuss nominal peal= Zinsfuss real K (0real ) C0 = ( nom ) * 100 K0 q C 0 = nom qreal n −k ⋅ 100 q(nom) > q(real) = über pari q(nom) < q(real) = unter pari W= qnnom ⋅ K 0 q(n-k) real 1 n q real C 0 = p nom ⋅ C0 = q real − 1 n ⋅ q real R + − 1 q nreal p nom ⋅ 100 preal Î gilt für alle Formeln als Schätzformel! Kurs einer Annuitätenanleihe Kurs einer Ratenschuld (direkte Berechnung) Kurs einer Ratenschuld (Konversion) Æ einfacher! C0 = Kurs einer Annuitätenanleihe qreal = Aufzinsungsfaktor real qnom= Aufzinsungsfaktor nominal n = Laufzeit in Jahren C0 = Kurs für Ratenschuld n = Laufzeit pnom= Zinsfuss nominal preal = Zinsfuss real qreal = Aufzinsungsfaktor real qnom= Aufzinsungsfaktor nominal C0 = Kurs für Ratenschuld x = mittlere Laufzeit n = Laufzeit R = Rücknahmekurs pnom= Zinsfuss nominal qreal = Aufzinsungsfaktor real qnom= Aufzinsungsfaktor nominal C0 = a(nreal ) * 100 a(nnom ) mit an = C0 = 1 qn − 1 * qn q − 1 100 (real) p(nom) * an + * n − a(nreal) n p(real) ( (real) n mit a ) qn(real) − 1 = n * q(real) q(real) − 1 1 1 qnreal − 1 lg n − lg n ⋅ qreal qreal − 1 x= lg qreal x − 1 1 qreal R C 0 = p nom ⋅ x ⋅ + x qreal qreal − 1 qreal Rentabilitätsrechnung Das Rentabilitäts- oder Renditerechnen bildet das Gegenstück zum Kursrechnen. Î Es werden die gleichen Formeln wie beim Kursrechnen benutztt, nur die VorausÎ setzungen sind andere: Beim Kursrechnen ist pnom und preal gegeben, gesucht ist der Kurs C0. Beim Rentabilitätsrechnen ist pnom und C0 gegeben, gesucht ist preal. Dieses preal.heisst dann auch peff oder Rendite (auf Verfall) r oder Yield (to maturity). © Prof. Dr. G. Hobein Seite 6 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 5. Rendite von festverzinslichen Wertpapieren für eine Einfache (statische) Periode Obligationenrendite Barwertmodell C = Coupon (in Prozenten) P0 = Kaufpreis für mehrere Perioden C P0 R n = = = = Coupon (in Prozenten) Kaufpreis Rücknahmepreis (Rest-)Laufzeit jährliche Coupons PV = C = rM = n = R = Tagespreis (Present-Value) Coupon (in Prozenten) Marktzinssatz (Rest-)Laufzeit in Jahren Rücknahmepreis PV = C = n = R = an = n q = Tagespreis (Present-Value) Coupon (Rest-)Laufzeit in Jahren Rücknahmepreis Barwertfaktor nachsch. Aufzinsungsfaktor reinfach = C P0 reinfach = C 1 R − P0 + ⋅ P0 n P0 n 1 R + PV(A) = C ⋅ ∑ t (1 + rM ) n t =1 (1 + rM ) R PV(A) = C ⋅ a n + n q n 1 q −1 R = C⋅ n ⋅ + n q−1 q q = C⋅ mehrere Cps jährlich PV = C = n = rM = m = R = q = x = Barwert (Present-Value) Jahres-Coupon (Rest-)Laufzeit in Jahren Marktzinssatz Anzahl Coupons pro Jahr Rücknahmepreis qkonf Anzahl Zahlungen in einer Zinsperiode (meist 1) n (1 + rM ) − 1 1 R n ⋅ (1 + r ) − 1 + n (1 + rM ) (1 + rM ) M 1 ⋅C n⋅m R m t PV(A) = ∑ t + n⋅m t =1 1 + rM 1 + rM m m PV(A) = Ct 1 qn⋅m − 1 R * n⋅m * + n⋅m m q q−1 q mit q = x 1 + Barwert während der Laufzeit Endwert © Prof. Dr. G. Hobein PV∆t = Barwert während der Laufzeit PV = Tagespreis (Present-Value) rM = Marktzinssatz ∆t = Tage seit letzter CouponZahlung bis heute FV C rM n R = Future Value (Endwert) = Jahres-Coupon = Marktzinssatz = (Rest-)Laufzeit in Jahren = nom. Rückzahlungsbetrag rM m PV∆t ( A ) = (1 + rM ) n ( ∆t 360 ⋅ PV( A ) FV(A) = ∑ C t ⋅ (1 + rM ) t =1 n− t ) +R Seite 7 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 5. Rendite von festverzinslichen Wertpapieren (Forts.) Rendite auf Verfall (Yield to Maturity) Unmittelbar bei CpsVerfall Unterjährig (d.h. nicht per Verfalltag) P0 Ct n R rA PT P0 Ct n = = = = = Börsen- / Tagespreis Jahres-Coupon (Rest-)Laufzeit Rücknahmepreis Rendite (Effektivverzinsung) = = = = Börsen- / Tagespreis Preis flat oder ex Jahres-Coupon (Rest-)Laufzeit aufgerundet R = Rücknahmepreis rA = Rendite (Effektivverzinsung) ∆ t = Tage seit letzter CouponZahlung bis zum Erwerb 1 qn − 1 R P0 = C t ⋅ n ⋅ + q q − 1 qn [mit q = (1 + r )] A ∆t PT = (1 + rA ) 360 ⋅ P0 ∆t 1 qn − 1 R PT = q 360 ⋅ C t ⋅ n ⋅ + q q − 1 qn [mit q = ( 1 + r )] A Ex oder flat Die Anleihe / Der Preis ist exklusive Marchzinsen Cum Die Anleihe / Der Preis ist inklusive Marchzinsen Î normaler Kurs ist immer ex: ‚Preis flat’ plus Marchzinsen ergibt ‚Preis cum’. Marchzinsen Rendite auf mittlerem Verfall Duration Berechnung mittlerer Verfall n = mittlere Laufzeit n1 = Anzahl Jahre bis 1. Auslosung n2 = Anzahl Jahre von 1. Auslosung bis Rückzahlung Bankenformel rA = Rendite (Effektivverzinsung) PT = Börsen-/Tagespreis C = Jahres-Coupon n = mittlere Laufzeit R = Rücknahmepreis Berechnung D = Duration P0 = Börsen- / Tagespreis Ct = Cash-Flows (Cps. oder Rückzahlung) rM = Marktzins oder, falls nicht vorhanden, Rendite auf Verfall t = Dauer, z.T. auf Tage ge nau Anwendung (als modified Duration) © Prof. Dr. G. Hobein M = Marchzinsen Ct = Jahres-Coupon rA = Rendite (Effektivverzinsung) ∆t = # Tage seit der letzten Coupon-Zahlung bis zum Erwerb D = Duration ∆C = Veränderung des Obligationen-Kurs (in %) rA = Rendite auf Verfall (in %) ∆preal= Veränderung des Markt zinses (in %) ∆t q 360 − 1 M = Ct ⋅ q−1 [mit q = ( 1 + r )] A oder einfacher: M = Ct ⋅ ∆t 360 n = n1 + n2 2 rA = R − Pt n ⋅ 100 R + Pt 2 C+ n D= * t M) Ct ∑ (1 + r t =1 t P0 Berechnung in Tabelleform t CF Barwert Barwert x t ∆C ≈ −D ⋅ ∆p real 1 + rA Seite 8 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 6. Rendite von Aktien Historische Renditen Einfache Rendite für eine Periode stetige Rendite Historische Renditen Einfache Gesamt-rendite für mehrere Perioden Jahresrendite Kaufpreis Verkaufspreis Dividende in SFr rt = r = Pt-1 = Pt = Dt = stetige Jahresrendite Kaufpreis Verkaufspreis Dividende in SFr k t rGes = Pt-1 = Pt = Dt = einfache Gesamtrendite Kaufpreis Verkaufspreis Dividende in SFr rGes = k t n π xt t =1 r = ln( Einfache durchschnittliche Rendite steige durchschnittliche Rendite gegenseitige Überführung Annualisierte Rendite r r Pt-1 Pt Dt n = stetige Gesamtrendite = stetige Jahresrendite = Kaufpreis = Verkaufspreis = Dividende in SFr = Anzahl Summanden Anzahl Zeitperioden (meistens Jahre oder Monate, Wochen, Tage) rA rGes Pt-1 Pt Dt n = einfache Anlagerendite = einfache Gesamtrendite = Periodenanfangspreis = Periodenendpreis = Dividende in SFr = Anzahl Faktoren = Anzahl Zeitperioden (meistens Jahre oder Monate, Wochen Tage) r r krt = = = k Ges k t k A k Ges stetige Anlagerendite stetige Gesamtrendite stetige Jahresrendite r = stetige Rendite rt = einfache Rendite k t Durchschnittliche Tages-, Wochen- oder Monatsrenditen müssen annualisiert werden: Mögliche Werte für n sind: n = 12, 50 oder 252, je nach dem, ob von durchschnittlichen Monats-, Wochen- oder Tageswerten ausgegangen wird. Effektive annualisier- Einfache Rendite te Rendite ann reff = (1 + r ) − 1 Zukünftige Renditen einfaches Modell E[rA] = erwartete Rendite = Rendite im Szenario i ri pi = Wahrscheinlichkeit des Szenarios i © Prof. Dr. G. Hobein n Pt + Dt ) Pt −1 n Pt + Dt − 1 = P t 1 − πt =1 P = n P0 = x1 ⋅ x 2 ⋅....⋅xn Î geometrisches Mittel stetige Gesamtrendite (Pt − Pt −1 ) + D t Pt + D t = −1 Pt −1 Pt −1 rt = Pt-1 = Pt = Dt = k rGes = − 1, falls Dt = 0 n ∑ k rt = t =1 Pt + D t ln ∑ P t =1 t −1 n = P = ln n , falls D t = 0 P0 n P +D t rA = n 1+ rGes −1 = n π t t =1 Pt −1 P = n n P0 − 1 = − 1, falls Dt = 0 1 1 n r = ⋅ r = ⋅ ∑k rt k A k Ges n n t=1 r = ln(rt + 1)⇔rt = e k rt − 1 k t rann = (Rendite pro Periode) · (Anzahl Perioden p.a.) rann = r · n Stetige annualisierte Renditen sind immer effektiv. [ ] n E rA = ∑ ri ⋅ p i i =1 Seite 9 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 7. Rendite mit Cash-Flows Es gibt zwei Ansätze, wie eine Durchschnittsrendite mit Cash-Flows (Zahlungsströmen) berechnet wird: Die Geld- und die Zeitrendite. Geldrendite Bei der Geldrendite werden alle Zahlungsströme wie auch das investierte Vermögen auf einen Zeitpunkt bezogen und entsprechend umgerechnet (diskontiert). Somit ist die Geldrendite abhängig vom Timing und der Höhe der Cash-Flows. Sie kommt daher insbesondere dann zum Einsatz, wenn der Vermögensverwalter Einfluss auf die Höhe und den Zeitpunkt der Cash-Flows nehmen kann. Formel: Kommentar: Zeitrendite Mit Po t Ct n rG = = = = = Anfangskurs Fälligkeit der CFs Zahlungsstrom Laufzeit Geldrendite Po = n ∑ t =1 Ct ( 1 + rG )t mit Ct < 0, falls Ct Inflow (Zufluss) Ct > 0, falls Ct Outflow (Abfluss) Die Formel ist analog zum Internen Ertragssatz (IRR) der dynamischen Investitionsrechnung und ist nur mit einem Gleichungslöser lösbar. Die Zeitrendite ist um die Zahlungsströme bereinigt und widerspiegelt den erwirtschafteten durchschnittlichen Ertrag aus dem Vermögensbestand. Die Cash-Flows werden gar nicht in die Rechnung einbezogen, Man tut also so, als ob gar keine Cash-Flows stattgefunden haben. Somit ist die Zeitrendite unabhängig vom Timing und der Höhe der Cash-Flows. Sie kommt überall dort zum Einsatz, wo der Vermögensverwalter keinen Einfluss auf die Höhe und den Zeitpunkt der Zahlungsströme nehmen kann. Formel: Kommentar: Wichtiger Hinweis © Prof. Dr. G. Hobein Mit Pn = Endkurs / -wert P0 = Anfangskurs / -wert des Portfolios rGes Gesamtrendite n = Laufzeit in Jahren rZ = Zeitrendite rZ = n Pn − 1 oder P0 = n (1+ rGes ) − 1 Die Berechnung ist somit denkbar einfach und entspricht der Renditeberechnung von Aktien ohne Dividenden. Die beiden Resultate können stark differieren; entscheidend ist der Anwendungszweck. Seite 10 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 8. Rendite anderer Anlagemedien Auch hier gibt es wieder zwei Ansätze: einfache oder stetige Rendite (Verzinsung). Edelmetalle Für eine Periode rt = krt = Pt = Pt-1 = einfache Jahresrendite stetige Jahresrendite Preis Zeitpunkt t Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t rt = (Pt − Pt −1 ) (einfache Rendite) Pt −1 P r = ln t Pt −1 (stetige Rendite) k t Für mehrere Perioden erhält man folgende Durchschnittswerte rE = krE = Pt = Pt-1 = n = einfache Rendite stetige Rendite Preis Zeitpunkt t Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t Anzahl Faktoren bzw. Summanden n P rE = n π t − 1 t =1 Pt −1 (einfache Edelmetall-Rendite) wobei n π x t = x1 ⋅ x 2 ⋅....⋅xn t =1 k rE = (Das gr. Π steht für ein Produkt) Anlagefonds ohne jährliche Ausschüttung Mit jährlicher Ausschüttung 1 n Pt ∑ ln n t =1 Pt −1 (stetige Edelmetall-Rendite) Fonds ohne jährliche Ausschüttung (‘thesauriende Fonds’) verhalten sich wie Edelmetalle: Der Ertrag liegt einzig im Kursgewinn, Formeln wie oben. Für eine Periode rt = krt = Pt = Pt-1 = At = einfache Jahresrendite stetige Jahresrendite Preis Zeitpunkt t Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t jährliche Ausschüttung rt = (Pt − Pt −1 ) + A t Pt −1 (einfache einperiodige Rendite) P + At r = ln t Pt −1 k t (stetige einperiodige Rendite) Für mehrere Perioden erhält man folgende Durchschnittswerte rF = krF = rF = Pt = Pt-1 = At = n = n einfache Rendite stetige Rendite Rendite Anlagefonds Preis Zeitpunkt t Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t jährliche Ausschüttung Anzahl Faktoren bzw. Summanden π x t = x1 ⋅ x 2 ⋅....⋅xn t =1 n P + At −1 rF = n π t Pt −1 t =1 (einfache Fonds-Rendite) k rF = 1 n Pt + A t ∑ ln n t=1 Pt−1 (stetige Fonds-Rendite) P.S.: Diese Formeln sind identisch mit den Formeln für historische Renditen bei Aktien, siehe Kap 6. Immobilien © Prof. Dr. G. Hobein Für Immobilien gelten die gleichen Formeln wie für Edelmetalle oder Anlagefonds, je nachdem, ob jährliche Erträge mit zu berücksichtigen sind oder nicht. Seite 11 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 9. Risiko und Rendite von Einzelpositionen Streuung / Risiko (Standardabweichung) für historische Daten s = HP s = n = xi = Standardabweichung Standardabweichung HP Anzahl Daten Renditewert i x = Renditen-Mittelwert Umrechnung n ↔ n – 1 (Stichprobe vs. 1 n ⋅ ∑ (xi − x) 2 n i =1 s= 1 n x = ⋅ ∑ xi n i =1 s HP ⋅ Gesamtpopulation) n−1 =s n (Achtung: HP rechnet immer mit n-1) Falls die Zeitabschnitte nur Teile eines ganzen Jahres sind, muss die so berechnete Standardabweichung - wie schon bei den Renditen zuvor - annualisiert werden: s ann = n ⋅ s , (mit n = 12, 50 oder 252 wie zuvor, aber wichtig: hier steht n unter der Wurzel). für zukünftige Daten σx pi = Standardabweichung = Wahrscheinlichkeit des Szenarios i xi = Rendite im Szenario i E[X] = erwartete Rendite n = Anzahl Daten n σx = ∑ p ⋅ (x i i =1 i − E[ X ]) 2 Idee der Normalverteilung für die Interpretation, d.h. Wahrscheinlichkeit von 68%: E[X] ± s bzw. Wahrscheinlichkeit von 95%: E[X] ± 2s Kovarianz für historische (stetige) Renditen C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y n = Anzahl Daten xi = Rendite i der Anlage X yi = Rendite i der Anlage Y x = Renditen-Mittelwert von X y = Renditen-Mittelwert von Y für zukünftige (erwartete) Renditen C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y n = Anzahl Daten xi = Rendite i der Anlage X yj = Rendite j der Anlage Y E[X] = erwartete Rendite C(X,Y) = x= 1 n ⋅ ∑ (x − x) ⋅ (y i − y) n i =1 i 1 n ⋅∑x n i =1 i C(X, Y) = y= n ∑p i =1 n i ⋅ (x i − E[ X ]) ⋅ (y i − E[ Y ]) E[ X] = ∑ p i ⋅ xi i=1 1 n ⋅ ∑ yi n i=1 n E[ Y ] = ∑ p j ⋅ y j j=1 Falls die Zeitabschnitte nur Teile eines ganzen Jahres sind, muss die so berechnete Kovarianz - wie bereits oben die Standardabweichung - annualisiert werden, C(X,Y)ann = n C(X,Y). Für n nimmt man die bekannten Werte, wie n = 12, 50 oder 252 wie oben. Korrelation © Prof. Dr. G. Hobein für historische Daten ρxy = Korrelation der Anlage X mit der Anlage Y C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y sx = Standardabweichung der Anlage X sy = Standardabweichung der Anlage Y für zukünftige Daten ρxy = Korrelation der Anlage X mit der Anlage Y C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y σX = Standardabweichung der Anlage X (zukünftige) σY = Standardabweichung der Anlage Y (zukünftige) ρxy = C(X, Y) sx ⋅ sy ρxy = C(X, Y) σX ⋅σY Seite 12 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 10. Risiko und Rendite im Portfolio Erwartete Portfolio-Rendite Notationen E[rPF] n = zj = E[ rj ] E rPF = ∑ z j ⋅ E r j pi mit E r j = ∑ p i ⋅ ri ri Portfolio-Risiko Formeln = erwartete PF-Rendite Anzahl Anlagen im PF Anteil der Anlage j im PF = erwartete Rendite der Position j = Wahrscheinlichkeit des Szenarios i = Rendite bei Szenario i Die Doppelsumme ist als eine For-Next-Schlaufe zu verstehen σPF = Standardabweichung des Portfolios n = Anzahl Anlagen im PF zi = Anteil der Anlage i in % zj = Anteil der Anlage j in % σj = Standardabweichung der Anlage j C(i,j) = Kovarianz der Anlagen i und j σ* = durchschnittliche Varianz C(i,j)* = durchschnittliche Kovarianz j =1 [] σ PF 2 = n n i =1 n ∑ ∑ z i =1 j =i i n n ⋅ z j ⋅ σ ij = ∑ ∑ z i ⋅ z j ⋅ C(i, j) i =1 j = i n n n = ∑ z j 2 ⋅ σ j 2 + ∑ ∑ z i ⋅ z j ⋅ C(i, j) j =1 i =1 j = i n −1 n n = ∑ z j 2 ⋅ σ j 2 + 2 ⋅ ∑ ∑ z i ⋅ z j ⋅ C(i, j) j =1 i =1 j > i mit σ PF = σ PF 2 σPF2 = z12 · σ12 + z22 · σ22 + 2 · z1 · z2 · C(1,2) Für 3 Anlagen σPF2 = z12 · σ12 + z22 · σ22 + z32 · σ32 + 2 · [z1 · z2 · C(1,2) + z1 · z3 · C(1,3) + z2 · z3 · C(2,3)] mit je gleichgrossen Anteilen im PF Durchschnittliche Varianz und Kovarianz σ PF n−1 n 1 1 n 1 2 2 = ∑ ⋅ σ j + 2 ⋅ ∑ ∑ ⋅ ⋅ C(i, j) j=1 n i=1 j>i n n σ PF = Für 1 Aktie 1 n−1 * ⋅ σ*2 + ⋅ C(i, j) n n n −1 n σ* = Grenze des Falls Diversifikationseffektes dann: © Prof. Dr. G. Hobein [ ] Für 2 Anlagen Für n Anlagen und Beta-Faktor [] n ∑σ i =1 2 i n C(i, j) * = n ∑ ∑ C(i, j) i=1 j> i n ⋅ (n − 1) 2 n →∞ σ PF = C(i, j) * = Marktrisiko (nicht wegdiversifizierbar) βA = Beta-Faktor der Aktie A C(A,M) = Kovarianz der Anlage A und dem Markt M (z.B. Aktienindex SPI) 2 sM = historische Varianz des Marktes 2 σM = zukünftige Varianz des Marktes βA = C(A,M) , sM 2 βA = C(A,M) σM2 Seite 13 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 11. Performancemessung Beta-Faktor (Forts.) Für ein PF βPF = βj = zj = n Theorie Bestimmtheitsmass R2 Für 1 Aktie = Beta-Faktor des PFs Beta-Faktor der Aktie j Anteil der Aktie j am Portfolio in % Anzahl Aktien n β PF = ∑ β j ⋅ z j j=1 Der Beta-Faktor widerspiegelt die Sensitivität einer Aktie bzw. eines Portfolios gegenüber einem nationalen Markt. Er stellt die relative Schwankung der Aktie bzw. des Portfolios gegenüber einem nationalen Marktindex dar. 2 RA βA 2 sM 2 sA = = = = Markt-Risiko-Anteil in % Beta-Faktor der Aktie A Varianz des Marktes Varianz der Aktie A RA = ρAM = 2 RA = Korrelation Markt / Aktie Markt-Risiko-Anteil in % ρAM 2 = R A 2 2 2 β A 2 ⋅ sM 2 sA2 2 , RA = β A 2 ⋅ σM2 σA2 RPF = βPF = 2 sM = 2 sPF = Markt-Risiko-Anteil in % Beta-Faktor des PFs Varianz des Marktes Varianz des Portfolios Theorie R2 bestimmt den Anteil der marktbedingten Varianz (systemati sches Risiko) an der gesamten Varianz (in Prozenten). Capital-Market-Line (CML) Theorie Bei der CML erscheint die erwartete Rendite als lineare Funktion des Gesamtrisikos eines PFs. Alle effizienten PFs liegen auf der CML, nicht aber Einzeltitel. E[ rPF ] = rf + Security-Market-Line (SML) Theorie Bei der SML erscheint die erwartete Rendite als lineare Funktion von β. Alle korrekt bewerteten Assets liegen auf der SML. E[ rA ] = rf + ( E[ rM] – rf ) βA Im CAPM erscheint die erwartete Rendite als lineare Funktion des systematischen Risikos eines PFs E[ rA ] = rf + E[rA]= βA = rf = 2 σA = Erwarteter Ertrag von A Beta-Faktor der Aktie A risikofreier Zinssatz Varianz der Aktie A SR A = Theorie SRA gibt die Überschussrendite pro Gesamtrisikoeinheit σ an. Für 1 Aktie E[rA]= βA = rf = Erwarteter Ertrag von A Beta-Faktor der Aktie A risikofreier Zinssatz Für ein PF Capital-Asset-Pricing- Theorie Modell (CAPM) Sharpe-Ratio SRA Treynor-Ratio TRA α - Faktor Für 1 Aktie RPF 2 β PF 2 ⋅ s M 2 β PF 2 ⋅ σ M 2 2 = ,RPF = s PF 2 σ PF 2 TR A = ( E[ rM ] − rf ) σM ( E[ rM ] − rf ) E[rA ] − rf σA E[rA ] − rf βA σ M2 σ PF σ AM ‘Rew. to Volatility' ‘Reward to β' Theorie TRA gibt die Überschussrendite pro systematische Risikoeinheit β an. Für 1 Aktie E[rM]= Erw. Ertrag des Marktes βA = Beta-Faktor der Aktie A rf = risikofreier Zinssatz rA = Ertrag der Aktie A Theorie α gibt das Ungleichgewicht zwischen effektiver und erwarteter Rendite an αA = rA − E[rA] = rA − ( rf + ( E[rM] − rf ) βA ) und ist für unterbewertete Aktien positiv und für überbewertete negativ. © Prof. Dr. G. Hobein Seite 14 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 12. Derivative Elemente Allen Derivaten ist gemeinsam, dass sie auf einem real existierenden (Finanz-) Produkt aufbauen, mit diesem verknüpft oder – wie man hier sagt – von diesem abgeleitet (engl. derivative) sind. Als zugrundeliegenden Produkte (‚underlyings’) eignen sich grundsätzlich jedes (Finanz-) Produkt: Aktien, Obligationen, Devisen, Zinsen, Indizes, Baskets, etc. Daher ist der Markt der Derivate der am stärksten und am kreativsten wachsende Markt. Optionen Call Der Call-Käufer erwirbt mit der Bezahlung des Optionspreis das Recht, innerhalb der Laufzeit den Underlying zum festgesetzten (Strike-) Preis zu kaufen. Er wird insbesondere dann von seinem Recht Gebrauch machen, wenn der Underlying den Strikepreis mindestens erreicht hat. Nur dann hat die Option einen wirklichen oder inneren Wert. Der Call-Schreiber oder Verkäufer erhält den Optionspreis und muss bei Ausübung den Underlying liefern. Graphik: Optionspreis: 100, Strike: 1400 250 200 150 100 Gewinn/ 50 Verlust 0 -50 -100 -150 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 Aktienkurs Put Der Put-Käufer erwirbt mit der Bezahlung des Optionspreis das Recht, innerhalb der Laufzeit den Underlying zum festgesetzten (Strike-) Preis zu verkaufen. Er wird insbesondere dann von seinem Recht Gerauch machen, wenn der Preis des Underlying unter den Strike gefallen ist. Der Put-Schreiber oder Verkäufer erhält den Optionspreis und muss bei Ausübung den Underlying entgegennehmen. Graphik: Der PUT-Kauf als Absicherung: Optionspreis: 20, Strike: 1300 300 200 100 Gewinn/ Verlust 0 -100 -200 -300 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 Aktienkurs Long Puts © Prof. Dr. G. Hobein Portfeuille Gesamtposition Seite 15 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW 12. Derivative Elemente (Forts.) Typen von Optionen Es muss stets zwischen europäischen und amerikanischen Optionen unterschieden werden: Europäischen Optionen können nur am Verfall ausgeübt werden, während amerikanische schon während der Laufzeit ausgeübt werden können. Ein Handel (also Kauf und Verkauf) ist jedoch immer möglich. Optionsstrategien Beliebt ist das Eingehen von Optionsstrategien. Dazu werden verschiedene Optionen, Calls und Puts, des gleichen Underlyings gekauft und geschrieben zu verschiedenen Strikepreisen. Auch können Optionen mit Festgeldanlagen kombiniert werden. So entstehen die sehr beliebten strukturierten Produkte mit den exotischen Namen, wie GROI, EROS, REVEXUS, etc., die alle dadurch einen Kapitalschutz erhalten. Pricing von Optionen Das Pricing von Optionen ist aufwendig und schwierig. Für gewisse Spezialfälle lassen sich jedoch Abschätzungen oder Formeln angeben. Black & Scholes Formel (gilt in dieser Form nur für europäische Optionen, kann aber als gute Annäherung auch für amerikanische Optionen benutzt werden.) Greek Letters Ct = K Φ(d1) - S e-r∆t Φ(d2) Pt = S e-r∆t Φ(-d2) - K Φ(-d1) mit d1 = ( ln(K/S) + (rf + ½σ2 )∆t ) / σ∆t½ d2 = d1 - σ ∆t½ (Für die Variablen: siehe Greek Letters) Einflussfaktoren Call Put Parameter steigender Faktor Ausübungspreis (S) ↓ ↑ Aktueller Basiswertkurs (K) ↑ ↓ χ (Gamma) Optionsdelta (δ) Call – Put – Theorem Futures © Prof. Dr. G. Hobein δ (Delta) Restlaufzeit (∆t) ↑ ↑ ϑ (Theta) Volatilität des Basiswertes (σ) ↑ ↑ τ (Tau) Risikofreier Zins (rf) ↑ ↓ ρ (Rho) Dividende ↓ ↑ Pt = Ct + PV∆t(S) - Kt (gilt so nur für europäische Optionen) Futures sind spezielle Termingeschäfte, in denen sich die Partner jedoch zur Lieferung oder (sogar) täglichen Abgeltung verpflichten. Ähnlich den Optionen sind auch hier Menge, Underlying, Laufzeit und Ausübungspreis für die Vertragsdauer fixiert. Futures können nur am Verfall ausgeübt werden, die meisten werden vorher verkauft oder glattgestellt. Da eine physische Lieferung meist nicht möglich ist, bleibt nur die Möglichkeit des Barausgleichs. Seite 16 INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW Anhang Copyright This documentation is furnished under a license agreement and non-disclosure agreement. It may be used or copied only in accordance with the terms of the agreement and only for the use within the University of Applied Sciences Winterthur. 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