Blatt 5

Mikroökonomik B — SoSe 2014
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Übungsblatt 5
Risiko & Investition
Aufgabe 1: Risikoverhalten
Bauer B hat 1000 Hennen, die jeden Tag jeweils ein Ei legen. Er kann die Eier für den
Preis von 10 Cent pro Ei auf dem Markt verkaufen. Der Eierverkauf ist Bs einzige Einnahmequelle und seine indirekte Nutzenfunktion ist
u(y) =
√
y.
Dabei gibt y B’s Einnahmen an. Jeden Tag trägt B seine Eier auf den Markt. Der Weg
ist jedoch steinig, mit 50% Wahrscheinlichkeit stürzt der Bauer und alle Eier in seinem
Korb zerbrechen und können nicht mehr verkauft werden.
(a) Angenommen B hat keine Opportunitätskosten der Zeit, würde B lieber einmal mit
allen 1000 Eiern gehen oder zweimal mit jeweils 500 Eiern? (Nehmen Sie an, dass
Stürze unabhängige Ereignisse sind.)
Aufgabe 2: Investition
(a) Der Unternehmer Max sucht einen Investor für ein riskantes Ölbohrungs-Projekt. Die
Kosten des Projekts sind 18 000. Mit Wahrscheinlichkeit 0.8 wird Öl gefunden und
Max kann einen Gewinn (Erlöse aus dem Verkauf von Öl minus Kosten der Bohrung)
von 80 000 erwirtschaften. Andernfalls geht die Investition verloren. Max weiß, dass
Investor Moritz ein Vermögen in Höhe von 24 000 besitzt und folgende BernoulliNutzenfunktion hat:
6 000
u(w) = 1 −
w
Wie viel muss Max Moritz im Falle einer erfolgreichen Bohrung mindestens vom
Gewinn abgeben, um ihn als Investor für sein Projekt zu gewinnen?
(b) Nach einer misslungenen Bohrung hat sich Moritz’ Vermögen auf 6 000 reduziert und
seine Nutzenfunktion wie folgt geändert:
u(w) = ln(w)
Es wird nun von einem anderen Unternehmer eine Vermögensanlage angeboten, die
mit Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Gewinn von 38 pro investierter Geldeinheit liefert und
andernfalls einen (negativen) Gewinn von − 14 pro Geldeinheit. Wie viel von seinem
Vermögen wird Moritz in diese Anlage investieren?
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Aufgabe 3: Investition (aus der Vorlesung)
Investor I verfügt über ein Vermögen von w und besitzt die Nutzenfunktion
u(w) =
√
w.
I hat die Möglichkeit, einen Anteil α seines Vermögens in ein riskantes Wertpapier W zu
investieren, welches mit Wahrscheinlichkeit p eine hohe Rendite von 1 + rH und sonst eine
niedrige Rendite von 1 + rN hat. Den übrigen Anteil (1 − α) investiert I in eine risikolose
Anleihe mit einer sicheren Rendite von 1 + r.
(a) Ist die Nutzenfunktion des I eine DRRA-, IRRA- oder CRRA-Funktion (decreasing,
increasing oder constant relative risk aversion)?
(b) Stellen Sie das Optimierungsproblem für die optimale Investitionsentscheidung des I
auf. Ist die optimale Entscheidung abhängig oder unabhängig vom Vermögen w?
(c) Leiten Sie die Bedingung erster Ordnung für das Optimierungsproblem her. Welchen
Anteil seines Vermögens investiert I in das riskante Wertpapier, falls es mit Wahrscheinlichkeit 0.5 eine Rendite von 15%, sonst eine Rendite von 5%, und die sichere
Anlage eine Rendite von 10% bringt?
(d) Wie müsste sich die Wahrscheinlichkeit für eine hohe Rendite in Aufgabenteil (c)
ändern, damit I die Hälfte seines Vermögens in das riskante Wertpapier investiert?
(e) Wie ändert sich das Ergebnis in den Aufgabenteilen (a) und (b), wenn man abweichend
folgende Nutzenfunktion des I annimmt?
u(w) = −e−ρw ,
ρ>1