2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts

2 Die elektromagnetische Theorie des
Lichts
2.1 Zur Erinnerung: Maxwell-Gleichungen
Physik II: Elektromagnetische Phänomene können durch Maxwell-Gleichungen beschrieben werden.
Optik: Elektromagnetische Felder in Materie ⇒ makroskopische Maxwell-Gleichungen.
∇ · D (r, t)
∇ × E (r, t)
∇ · B (r, t)
∇ × H (r, t)
=
=
=
=
̺ (r, t) ,
−Ḃ (r, t) ,
0,
j (r, t) + Ḋ (r, t) .
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
Hierbei ist:
• Elektrische Feldstärke: [E] = V m−1
• Elektrische Flußdichte: [D] = A s m−2
• Magnetische Flußdichte: [B] = V s m−2
• Magnetische Feldstärke: [H] = A m−1
• Freie Stromdichte: [j] = A m−2
• Magnetisierung: [M] = V s m−2
• Elektrische Polarisation: [P ] = A s m−2
• Freie Ladungsdichte: [̺] = A s m−3
2-1
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Die Felder in Gleichungen (2.1.1) - (2.1.4) ergeben sich durch räumliche und zeitliche
Mittlung aus den entsprechenden mikroskopischen Größen.
Weiterhin gilt definitionsgemäß:
D (r, t) = ǫ0 E (r, t) + P (r, t) ,
(2.1.5)
B (r, t) = µ0 H (r, t) + M (r, t)
(2.1.6)
mit
ǫ0 = 8.8542 × 10−12 A s V−1 m−1 : Dielektrizitätskonstante des Vakuums,
µ0 = 4π × 10−7 V s A−1 m−1 : Magnetische Permeabilität des Vakuums.
Zusätzlich zu den Maxwell-Gleichungen benötigen wir noch eine Beschreibung der materialspezifischen optischen Eigenschaften.
Für kleine elektrische Feldstärken gilt (oftmals) P = P (E):
P (r, t) = ǫ0
Z∞ Z∞
χ̂e (r, r ′, t, t′ ) E (r ′ , t′ ) dt′ dr ′.
(2.1.7)
−∞ −∞
Im Allgemeinen ist die lineare elektrische Suszeptibilität χ̂e (r, r ′, t, t′ ) ein Tensor 2. Stufe
und P (r, t) ∦ E (r, t).
Vereinfachungen (falls zulässig!):
• Isotropes Medium: P (r, t) k E (r, t) =⇒ χ̂e (r, r ′, t, t′ ) −→ χe (r, r ′, t, t′ ) ,
• Homogenes Medium mit lokaler Antwort: χe (r, r ′, t, t′ ) −→ χe (t, t′ ) ,
• Keine explizite Zeitabhängigkeit: χe (t, t′ ) −→ χe (t − t′ ) ,
• Kausalität: χe (t − t′ ) ≡ 0 für t < t′ .
Damit folgt:
P (r, t) = ǫ0
Zt
−∞
χe (t − t′ ) E (r, t′ ) dt′ .
(2.1.8)
Wechsel von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne (und zurück) mittels FourierTransformation:
f (ω) = F {f (t)} =
2-2
Z∞
−∞
f (t)eıωt dt,
(2.1.9)
2.1 Zur Erinnerung: Maxwell-Gleichungen
f (t) = F
−1
1
{f (ω)} =
2π
Z∞
f (ω)e−ıωt dω.
(2.1.10)
−∞
F {P (r, t)} liefert (Faltungssatz!):
P (r, ω) = ǫ0 χe (ω) E (r, ω) .
(2.1.11)
Analoge Betrachtung für die Magnetisierung M (r, ω) liefert mit der magnetischen Suszeptibilität χm (ω):
M (r, ω) = µ0 χm (ω) H (r, ω) .
(2.1.12)
Materialgleichungen in der Frequenzdomäne:
D (r, ω) = ǫ0 E (r, ω) + P (r, ω) = ǫ0 ǫ (ω) E (r, ω)
(2.1.13)
B (r, ω) = µ0 H (r, ω) + M (r, ω) = µ0 µ (ω) H (r, ω) .
(2.1.14)
Dielektrische Funktion:
ǫ (ω) = 1 + χe (ω) .
(2.1.15)
Magnetische Permeabilität:
µ (ω) = 1 + χm (ω) .
(2.1.16)
Anmerkungen:
• Die lineare Antwort eines Materials auf ein elektromagnetisches Feld wird durch χe
und χm beschrieben ⇒ lineare Optik.
• Da sowohl E (r, t) als auch P (r, t) als Messgrößen reellwertig sind, muss auch χe (t)
eine reellwertige Größe sein.
• χe (t) und χe (ω) sind über die Fouriertransformation [Gleichung (2.1.9) bzw. (2.1.10)]
miteinander verknüpft. Aus χ∗e (t) = χe (t) folgt χe (ω) = χ∗e (−ω).
• Für große elektrische Feldstärken können auch Terme P ∝ E 2 , P ∝ E 3 , ... auftreten
⇒ nichtlineare Optik.
• χe und χm sind im Allgemeinen dispersiv (Funktionen der Frequenz). Der spektrale
Verlauf dieser Größen muss durch geeignete, materialabhängige Modelle beschrieben
werden.
2-3
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
• Klassisches Modell der optischen Eigenschaften eines dielektrische Mediums (z.B.
Glas): Lorentz-Oszillator (Abschnitt 2.2.1).
• Klassisches Modell der optischen Eigenschaften eines Metalls: Drude-Modell (Abschnitt 2.2.2).
2.2 Elemente der Festkörperoptik
Alle bekannten natürlichen Substanzen haben bei optischen Frequenzen (ω > 10 THz) eine
praktisch verschwindende magnetische Antwort. Mit anderen Worten: Es gilt in exzellenter
Näherung µ = 1; die Abweichungen liegen in der Größenordnung von 10−4 .
2.2.1 Lorentz-Oszillator Modell
Experiment: Dispersion mit einem Prisma.
Klassische Behandlung der optischen Eigenschaften von dielektrischen Materialien wie
Gläsern, Ionenkristallen oder Polymeren.
+
Annahmen:
• Vernachlässige Wechselwirkung zwischen Atomen.
• Der Atomkern ist aufgrund seiner großen Masse unbeweglich.
• Die Elektronenhülle kann durch ein äußeres Feld aus der Gleichgewichtslage (x = 0)
ausgelenkt werden ⇒ elektronische Polarisierbarkeit.
2-4
2.2 Elemente der Festkörperoptik
• Lineare Optik: Das äußere Feld ist sehr klein im Vergleich zum inneratomaren Feld.
⇒ Rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung x.
Bewegungsgleichung (getriebener harmonischer Oszillator):
mẍ + γmẋ + mωe2 x = qEe−ıωt ,
(2.2.1)
wobei m die Masse der Elektonenhülle und q deren Ladung ist. γ ist eine phänomenologisch
eingeführte Dämpfungskonstante und ωe ist die Eigenfrequenz des Oszillators.
Ansatz (eingeschwungener Fall):
x(t) = x0 e−ıωt .
(2.2.2)
Einsetzen in Bewegungsgleichung liefert:
!
1
.
ωe2 − ω 2 − ıγω
qE
x0 =
m
(2.2.3)
Mit der erzwungenen Schwingung der Elektronenhülle relativ zum Atomkern ist ein elektrisches Dipolmoment verknüpft:
p = qx0 .
(2.2.4)
Elektrische Polarisation für N Atome pro Einheitsvolumen:
P = Np.
(2.2.5)
Vergleich mit der Materialgleichung (2.1.11) liefert die dielektrische Funktion des LorentzOszillator Modells:
f
ǫLO (ω) = 1 + 2
(2.2.6)
ωe − ω 2 − ıγω
mit
f=
Nq 2
.
mǫ0
(2.2.7)
Der zugehörige Brechungsindex n(ω) berechnet sich nach
n(ω) =
q
ǫ(ω).
(2.2.8)
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
ǫLO (ω) = 1 +
f (ωe2 − ω 2 )
f ωγ
+
ı
.
2
(ωe2 − ω 2 ) + ω 2 γ 2
(ωe2 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
(2.2.9)
2-5
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Dielektrische Funktion
20
Re(ε)
Im(ε)
15
10
5
0
−5
−10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Frequenz (ωe)
Brechungsindex
5
Re(n)
Im(n)
4
3
2
1
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Frequenz (ωe)
Abbildung 2.1: Dielektrische Funktion und Brechungsindex nach dem Lorentz-Oszillator Modell.
2-6
2.2 Elemente der Festkörperoptik
Spektraler Verlauf:
• Statischer Limes (ω → 0):
ǫLO (0) = ǫs = 1 +
f
.
ωe2
(2.2.10)
• Resonanzbereich (ω ≈ ωe ):
Definiere Verstimmung: ∆ω = ω − ωe ⇒ ωe2 − ω 2 ≈ −2ωe ∆ω.
Damit:
ǫLO (∆ω) = 1 −
f
2ωe ∆ω
ωe γ
f
+
ı
.
2
2
2
ωe 4 (∆ω) + γ 2
ωe 4 (∆ω)2 + γ 2
(2.2.11)
Re (ǫLO ):„Dispersiven Verlauf“ mit einem Maximum bei ∆ω = −γ/2 und einem
Minimum bei ∆ω = γ/2 ⇒ Anomale Dispersion für Frequenzen nahe der Resonanz!
Für f > 2ωe γ wird Re (ǫLO ) negativ!
Im (ǫLO ): Lorentzkurve mit Halbwertsbreite γ, die um ∆ω = 0 zentriert ist.
• Hochfrequenzlimes (ω → ∞):
ǫLO (∞) = ǫb = 1.
(2.2.12)
Dielektrische Funktion für mehrere Resonanzen:
ǫLO (ω) = 1 +
X
j
2
ωe,j
fj
− ω 2 − ıγj ω
(2.2.13)
Die Resonanzen aufgrund der elektronischen Polarisierbarkeit vieler optisch relevanter
Materialien befinden sich im UV.
2.2.2 Drude Modell
Klassische Behandlung der optischen Eigenschaften der Edel- und Alkalimetalle.
Annahmen:
• Betrachte Leitungsbandelektronen als freies Elektronengas.
2-7
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
• Die Atomrümpfe bilden einen homogenen, positiv geladenen Hintergrund.
• Wechselwirkungseffekte werden nur implizit durch die effektive Masse m berücksichtigt.
• Die Leitungsbandelektronen können durch ein äußeres Feld beschleunigt werden.
Bewegungsgleichung für ein Leitungsbandelektron:
mẍ + γmẋ = qEe−ıωt .
(2.2.14)
Formal: Bewegungsgleichung des Lorentz-Oszillators mit ωe = 0.
Damit:
ωp2
ǫD (ω) = 1 − 2
ω + ıγω
(2.2.15)
mit der Plasmafrequenz
ωp =
s
Ne2
.
mǫ0
(2.2.16)
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
ǫD (ω) = 1 −
ıωp2 γ
ωp2
+
.
ω2 + γ2 ω3 + γ2ω
(2.2.17)
Spektraler Verlauf:
• Niederfrequenzlimes (ω ≪ ωp , γ):
Re [ǫD (ω)] → 1 −
ωp2
<0
γ2
ωp2
Im [ǫD (ω)] → ı
γω
• Nullstelle bei ω =
(2.2.18)
(2.2.19)
q
ωp2 − γ 2 .
• Hochfrequenzlimes (ω → ∞):
ǫD (∞) = ǫb = 1.
2-8
(2.2.20)
2.2 Elemente der Festkörperoptik
Dielektrische Funktion
10
Re(ε)
Im(ε)
5
0
−5
−10
−15
−20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frequenz (ωp)
Brechungsindex
5
Re(n)
Im(n)
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frequenz (ωp)
Abbildung 2.2: Dielektrische Funktion und Brechungsindex nach dem Drude-Modell.
2-9
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Gold und Silber: Experimentellen Daten können im sichtbaren Spektralbereich nur ungenügend durch das Drude Modell erklärt werden (siehe Abbildung 2.3). Die Abweichungen
können auf gebundene Elektronen im Metall zurückgeführt werden (sogenannte Interbandübergänge).
W ellenlänge (µm)
W ellenlänge (µm)
1,5
1
0,5
1,5
1
0,5
10
10
Ag
Au
Dielektrische Funktion
-10
-10
-20
-20
-30
-30
Dielektrische Funktion
0
0
-40
-40
1
2
3
Photonen Energie (eV)
4
1
2
3
4
Photonen Energie (eV)
Abbildung 2.3: Dielektrische Funktionen von Gold (linke Seite) und Silber (rechte Seite). Experimentelle Daten: durchgezogene Kurven. Anpassungen des Drude-Modells an die
experimentellen Daten: gestrichelte Kurven. Realteile: Rote Kurven. Imaginärteile: Blaue Kurven. Anpassungsparameter für Gold: ωp = 8.6 eV, γ = 0.01 eV.
Anpassungsparameter für Silber: ωp = 8.6 eV, γ = 0.01 eV.
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Vorbemerkung: ”Licht” ist in Materie keine reine elektromagnetische Welle, sondern ein
Mischzustand aus elektromagnetischer Welle und Materialanregung (charakterisiert durch
die Polarisation, die Magnetisierung und die induzierten Ströme).
2.3.1 Wellengleichung
Experiment: Seilwelle.
2-10
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Im Folgenden nehmen wir an: D (r, t) = ǫ0 ǫE (r, t) , B (r, t) = µ0 µH (r, t) , j = 0, ̺ = 0.
Damit:
∇ · E (r, t) = 0,
∇ × E (r, t) = −
(2.3.1)
∂B (r, t)
,
∂t
(2.3.2)
∇ · B (r, t) = 0,
(2.3.3)
∇ × B (r, t) = ǫ0 µ0 ǫµ
∂E (r, t)
.
∂t
(2.3.4)
Anwenden von ∇× auf Gleichung (2.3.2)
∇ × ∇ × E (r, t) = −∇ ×
∂B (r, t)
∂t
(2.3.5)
Vertauschung der Reihenfolge von ∂/∂t und ∇×
∇ × ∇ × E (r, t) = −∂/∂t (∇ × B (r, t))
(2.3.6)
Einsetzen von Gleichung (2.3.4) liefert:
∂ 2 E (r, t)
∇ × ∇ × E (r, t) = −ǫ0 µ0 ǫµ
.
∂t2
(2.3.7)
Mit der Vektoridentität ∇ × ∇× = −∇2 + ∇∇· und ∇ · E = 0 erhalten wir die Wellengleichung:
∇2 E (r, t) − µ0 ǫ0 µǫ
∂ 2 E (r, t)
= 0.
∂t2
(2.3.8)
Eine Wellengleichung der selben Form kann auf analoge Weise (∇ × ∇ × B (r, t) = ...)
auch für das Magnetfeld hergeleitet werden.
2-11
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Mathematischer Einschub
Eindimensionale Wellengleichung
Betrachte die eindimensionale homogene Wellengleichung
1 ∂2Ψ
∂2Ψ
=
.
∂x2
v 2 ∂t2
(2.3.9)
Die Wellenfunktion Ψ besitzt Lösungen der Form
Ψ (x, t) = f (x − vt)
(2.3.10)
Beweis:
Definiere u− = x − vt.
Damit:
∂Ψ
∂f ∂u−
∂f
=
=
∂x
∂u− ∂x
∂u−
∂2Ψ
∂
=
2
∂x
∂x
∂Ψ
∂x
!
"
∂
=
∂u−
(2.3.11)
∂f
∂x
!#
∂u−
∂2f
=
∂x
∂u2−
(2.3.12)
∂Ψ
∂f ∂u−
∂f
=
= −v
∂t
∂u− ∂t
∂u−
∂2Ψ
∂
=
2
∂t
∂t
∂f
∂t
!
"
∂
=
∂u−
(2.3.13)
∂f
∂t
!#
"
∂u−
∂
∂f
= −v
−v
∂t
∂u−
∂u−
!#
= v2
∂2f
∂u2−
(2.3.14)
Vergleich zeigt:
∂2Ψ
1 ∂2Ψ
=
.
∂x2
v 2 ∂t2
q.e.d.
2-12
(2.3.15)
Ψ(x,t=t0)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
f(x-vt0)
x
Ψ(x,t=t0+Dt)
Dx = v Dt
f(x-v[t0+Dt])
x0
x0+Dx
x
Analog: g (x + vt) ist ebenfalls eine Lösung der Wellengleichung.
Interpretation:
• f (x − vt) ist eine mit der Geschwindigkeit v nach rechts laufende Welle konstanter
Form.
• g (x + vt) ist eine mit der Geschwindigkeit v nach links laufende Welle konstanter
Form.
Kurze Rechnung zeigt: Sind Ψ1 und Ψ2 zwei unabhängige Lösungen der Wellengleichung,
dann ist auch (Ψ1 + Ψ2 ) eine Lösung ⇒ Superpositionsprinzip.
Wellen können also überlagert werden. Die gesamte Wellenfunktion ergibt sich aus der
algebraischen Summe aller Wellenfunktion an einem bestimmten Ort zu einem Zeitpunkt.
Das Superpositionsprinzip bildet die Grundlage vieler Wellenphänomene.
Harmonische Wellen
Wir untersuchen im Folgenden harmonische Wellen der Form
Ψ (x, t) = A sin (kx − ωt + ϕ0 ) .
(2.3.16)
2-13
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Hierbei ist
Amplitude.
Wellenzahl.
Winkelgeschwindigkeit.
Anfangsphase.
l
A
Ψ(x,t=T/2)
Ψ(x,t=T/4)
Ψ(x,t=0)
A:
k:
ω:
ϕ0 :
x
x
x
Einsetzen in Wellengleichung liefert:
v=
ω
.
k
(2.3.17)
Harmonische Wellen sind sowohl räumlich als auch zeitlich periodisch.
Die räumlich Periode wird als Wellenlänge λ bezeichnet. Aus Ψ(x, t) = Ψ(x ± λ, t) folgt:
kλ = 2π.
(2.3.18)
Für die zeitliche Periode T ergibt sich aus Ψ(x, t) = Ψ(x, t ± T ):
ωT = 2π.
2-14
(2.3.19)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Definiere Frequenz:
1
ω
ν≡ =
.
T
2π
(2.3.20)
Die mathematische Behandlung der Wellengleichung vereinfacht sich oftmals durch die
formale Einführung einer komplexen Wellenfunktion:
Ψ (x, t) = A [cos (kx − ωt + ϕ0 ) + ı sin (kx − ωt + ϕ0 )] = Ãeı(kx−ωt) .
(2.3.21)
Hierbei ist à = Aeıϕ0 die komplexwertige Amplitude.
Wichtig: Physikalisch relevant ist im Rahmen der Elektrodynamik nur ℜ (Ψ).
Ebene Wellen
Wir betrachte jetzt die vektorielle, dreidimensionale, homogene Wellengleichung:
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ
1 ∂2Ψ
+
+
= 2 2 .
∂x2
∂y 2
∂z 2
v ∂t
(2.3.22)
Ψ ist jetzt ein Vektorfeld. Jede der drei kartesischen Komponeneten Ψj , j = x, y, z ist
eine Lösung der skalaren, dreidimensionale Wellengleichung:
∂ 2 Ψj ∂ 2 Ψj ∂ 2 Ψj
1 ∂ 2 Ψj
+
+
=
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 ∂t2
(2.3.23)
Ebene Wellen der Form
Ψ (r, t) = Ãeı(kx x+ky y+kz z−ωt) = Ãeı(k·r−ωt)
(2.3.24)
sind Lösungen der vektoriellen, dreidimensionalen Wellengleichung. Hier ist à der komplexwertige, konstante Amplitudenvektor und k = (kx , ky , kz ) der Wellenvektor.
Zu einem beliebigen Zeitpunkt t′ stehen die Ebenen konstanter Phase ϕ = k · r − ωt′ =
const senkrecht zu k. Die Wellenfunktion ist in einer Ebene konstanter Phase zu einem
gegebenen Zeitpunkt konstant.
Der Abstand zweier benachbarter Ebenen mit der selben Phase zu einem gegebenen Zeitpunkt definiert die Wellenlänge λ.
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit
ω
vPhase =
ek
|k|
(2.3.25)
in die Richtung des Wellenvektors.
2-15
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Kugelwellen
Im Laufe der Vorlesung werden wir noch kugelsymmetrische Lösungen der skalaren, dreidimensionalen Wellengleichung benötigen, um die isotrope Abstrahlung einer punktförmigen, monochromatischen Lichtquelle zu beschreiben.
Wellengleichung in Kugelkoordinaten:
"
1 ∂
∂
r2
2
r ∂r
∂r
!
1 1 ∂
∂
+ 2
sin(θ)
r sin(θ) ∂θ
∂θ
!
#
1 1 ∂2
1 ∂2Ψ
+ 2
Ψ
=
.
r sin(θ) ∂φ2
v 2 ∂t2
(2.3.26)
Für kugelsymmetrische Lösungen vereinfacht sich die Wellengleichung zu
!
1 ∂
1 ∂2Ψ
2 ∂
r
Ψ
=
.
r 2 ∂r
∂r
v 2 ∂t2
(2.3.27)
Nach einer kurzen Rechnung erhalten wir:
1 ∂2
∂2
(rΨ)
=
(rΨ) .
∂r 2
v 2 ∂t2
(2.3.28)
Die Funktion rΨ ist also eine Lösung der eindimensionalen Wellengeleichung!
Damit erhalten wir für eine monochromatische Punktquelle:
Ψ(r, t) =
A ı(±kr−ωt)
e
.
r
(2.3.29)
Zurück zur Physik!
Wellengleichung für isotropes Medium:
∇2 E (r, t) − µ0 ǫ0 µǫ
∂ 2 E (r, t)
= 0.
∂t2
(2.3.30)
Wir betrachten im Folgenden harmonische ebene Wellen1 :
E (r, t) = E0 eı(k·r−ωt) ,
1
(2.3.31)
Zur Erinnerung: Physikalisch relevant ist jeweils nur der Realteil der so definierten ebenen Wellen!
2-16
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
B (r, t) = B0 eı(k·r−ωt)
(2.3.32)
mit konstanten Amplitudenvektoren E0 und B0 .
Harmonische ebene Wellen sind eine Idealisierung (unendliche räumliche und zeitliche
Ausdehnung der Welle). Sie können aber häufig zur Beschreibung von „einfarbigen“ elektromagnetischen Wellen benutzt werden, die in einem Raumgebiet annähernd konstante
Amplitudenvektoren aufweisen.
Einsetzen von E (r, t) in Gleichung (2.3.8) liefert die Dispersionsrelation
k · k = k 2 = ǫ0 µ0 ǫµ ω 2 =
ω2
ǫµ .
c20
(2.3.33)
Hierbei ist c0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit
c0 = √
1
.
ǫ0 µ0
(2.3.34)
Definitionsgemäß gilt: Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m s−1 .
Experiment: „Messung“ der Lichtgeschwindigkeit.
Für den Wellenvektor im Vakuum liefert die Dispersionsrelation:
ω
|k0 | = .
c0
(2.3.35)
Damit gilt im Medium:
k = nk0
(2.3.36)
n2 = ǫµ.
(2.3.37)
mit
Umformen nach dem Brechungsindex ergibt2 :
√
n = ǫµ .
(2.3.38)
In absorbierenden Medien ist der Wellenvektor komplexwertig3 und die Amplitude der
ebenen Welle fällt in Propagationsrichtung exponentiell ab:
′
′′
E (r, t) = E0 eı(k ·r−ωt) e−k ·r ,
2
3
(2.3.39)
Wir nehmen hier an, dass ǫ′ > 0, µ′ > 0.
Wir verwenden die folgende Schreibweise für eine komplexe Zahl: z = z ′ + ız ′′ .
2-17
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
′
′′
B (r, t) = B0 eı(k ·r−ωt) e−k ·r .
(2.3.40)
Der Abstand zweier benachbarter Ebenen mit identischer Phase definiert die Wellenlänge
λ=
2π
.
|k′ |
(2.3.41)
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich in einem Medium mit der Phasengeschwindigkeit
c=
c0
n′
(2.3.42)
in Richtung des Wellenvektors.
Wellenlänge und Frequenz sind über die Dispersionsrelation miteinander verknüpft:
λν = c.
(2.3.43)
Aus ∇ · E (r, t) = 0 folgt:
k · E0 = 0 .
(2.3.44)
Der Amplitudenvektor des elektrischen Feldes steht also senkrecht auf dem Wellenvektor.
Aus ∇ · B (r, t) = 0 folgt entsprechend, dass auch der Amplitudenvektor des Magnetfeldes
senkrecht zum Wellenvektor orientiert ist.
Aus ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) ergibt sich:
k × E0 = ωB0.
(2.3.45)
Umformen liefert:
B0 =
1
(k × E0 ) .
ω
(2.3.46)
Somit steht der Amplitudenvektor der magnetischen Flußdichte auch senkrecht zum Amplitudenvektor der elektrischen Feldstärke. Licht ist in einem isotropen Medium also eine
transversale elektromagnetische Welle.
Ist der Brechungsindex reellwertig, so schwingen das elektrische und das magnetische Feld
gleichphasig.
2-18
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Die Impedanz4 eines Mediums ist gegeben durch
E0
Z=
=
H0
s
µ0 µ
.
ǫ0 ǫ
(2.3.47)
Damit gilt:
H0 =
1
(êk × E0 ).
Z
(2.3.48)
Für Vakuum erhalten wir:
Z0 =
s
µ0
≈ 377Ω.
ǫ0
(2.3.49)
2.3.2 Energietransport durch elektromagnetische Felder
Experiment: Energietransport durch Licht.
Erinnerung an Physik II:
• Energiedichte des elektrischen Feldes (z.B. in einem Kondensator):
1
wel = ED.
2
(2.3.50)
• Energiedichte des magnetischen Feldes (z.B. in einer Spule):
1
wmag = HB.
2
(2.3.51)
Energiedichte einer elektromagnetischen Welle in einem transparenten, nichtdispersiven
Medium (ǫ = ǫ′ und µ = µ′ ):
1
1
wem (r, t) = E (r, t) · D (r, t) + B (r, t) · H (r, t) .
2
2
(2.3.52)
Wichtig: An dieser Stelle dürfen wir nicht einfach die komplexen Felder einsetzen, da wir
eine nichtlineare Operation durchführen!
4
Wir werden später sehen, dass Unterschiede in der Impedanz zweier Medien zur partiellen Reflexion
einer einlaufenden Welle an der Grenzfläche zwischen den Medien führt.
2-19
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Wichtig: Gleichung (2.3.52) ist für dispersive und absorbierende Medien nicht gültig!
Die Energiedichte ist eine zeitlich schnell veränderliche Größe. Wir sind im allgemeinen
aber nur am zeitlichen Mittelwert interessiert:
Z
1 T
< wem >=
wem (r, t) dt
(2.3.53)
T 0
Mathematischer Einschub
Im Folgenden wollen wir Ausdrücke für die zeitlich gemittelte Energiedichte und den
zeitlich gemittelten Poyntingvektor für die Felder in komplexer Schreibweise herleiten.
Seien a (r, t) = a0 (r) e−ıωt und b (r, t) = b0 (r) e−ıωt zwei komplexe Vektorfelder mit harmonischer Zeitabhängigkeit.
Skalarprodukt der Realteile:
1
1
ℜ (a) · ℜ (b) = (a + a∗ ) · (b + b∗ ) = (a · b + a · b∗ + a∗ · b + a∗ · b∗ ) . (2.3.54)
4
4
Betrachte zeitliches Mittel über eine Periode T :
Z T
1
< a · b >= a0 · b0
e−2ıωt dt = 0.
T
0
und
< a∗ · b∗ >= 0.
(2.3.55)
(2.3.56)
Aber:
< a · b∗ >=
1
a0 · b0 ∗
T
und
Z
0
T
dt = a0 · b0 ∗
< a∗ · b >= a0 ∗ · b0 .
(2.3.57)
(2.3.58)
Damit:
1
< ℜ (a) · ℜ (b) >= ℜ (a0 · b∗0 ) .
2
Eine analoge Herleitung für das Vektorprodukt ergibt:
1
< ℜ (a) × ℜ (b) >= ℜ (a0 × b∗0 ) .
2
2-20
(2.3.59)
(2.3.60)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Wir betrachten ab jetzt eine ebene Welle mit E (r, t) = E0 eı(k·r−ωt) und B (r, t) =
B0 eı(k·r−ωt) in einem nichtdispersiven, absorptionsfreien Medium.
Für den zeitlichen Mittelwert des elektrischen Anteils der Energiedichte gilt:
1
ℜ [E (r, t)] · ℜ [D (r, t)]
2
i
1 h
=
ℜ E0 eık·r · ǫ0 ǫE∗0 e−ık·r
4
1
=
ǫ0 ǫ |E0 |2 .
4
< we > =
(2.3.61)
Eine analoge Herleitung liefert mit k × E0 = ωB0 für den zeitlichen Mittelwert des
magnetischen Anteils der Energiedichte:
1
ℜ [B (r, t)] · ℜ [H (r, t)]
2
1
=
ǫ0 ǫ |E0 |2 .
4
< wm > =
(2.3.62)
Im zeitlichen Mittel ist die elektrische Energiedichte gleich der magnetischen Energiedichte. Insgesamt gilt also:
1
< wem >=< we > + < wm >= ǫ0 ǫ |E0|2 .
2
(2.3.63)
Zur Erinnerung
Die Stromdichte einer mengenartigen Größe gibt an, welche Menge dieser Größe pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung fließt.
Dabei gilt:
Stromdichte = Dichte · Ausbreitungsgeschwindigkeit.
(2.3.64)
Beispiel elektrische Stromdichte:
j = ρv
(2.3.65)
mit der Ladungsdichte ρ und der Ausbreitungsgeschwindigkeit v.
2-21
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Der Betrag des zeitlichen Mittelwerts der elektromagnetische Energiestromdichte heißt
Intensität I. Für eine ebene Welle in einem nichtdispersiven, transparenten Medium sollte
nach den obigen Überlegungen gelten:
I = c < wem >=
1
c ǫ0 ǫ |E0 |2 .
2
(2.3.66)
Eine genaue theoretische Behandlung (Satz von Poynting) zeigt, dass die Energiestromdichte einer elektromagnetischen Welle durch den Poyntinvektor S (r, t) gegeben ist:
S (r, t) = E (r, t) × H (r, t) .
(2.3.67)
Maßeinheit des Poynting-Vektors: [S] = W m−2 .
Für µ > 0 sind der Wellenvektor und der Poyntingvektor in einem isotropen Medium
parallel orientiert.
Wir interessieren uns wieder für den zeitlichen Mittelwert. Für eine ebene Welle erhalten
wir mit H0 = Z1 (êk × E0 ):
i
1 h
′
′′
′
′′
ℜ E0 eık ·r e−k ·r × H∗0 e−ık ·r e−k ·r
2 1
1
′′
ℜ E0 × ∗ (êk × E∗0 ) e−2k ·r
=
2
Z
1 1
′′
=
|E0|2 êk e−2k ·r .
2 ℜ (Z)
< S (r) > =
(2.3.68)
Passive Medien: < S (r) > wird in Propagationsrichtung kleiner.
Vergleich mit dem Beerschen Absorptionsgesetz
I(z) = I(0)e−αz
(2.3.69)
liefert
α=
4πn′′
.
λ0
In der Optik spielen zwei Fälle eine wichtige Rolle:
2-22
(2.3.70)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Dielektrische Materialien
Materialparameter: µ = 1, ǫ = ǫ′ ⇒ Z =
q
µ0
,n
ǫ0 ǫ
=
√
ǫ, c =
c0
.
n
Zeitlicher Mittelwert des Poynting-Vektors.
< S (r) >=
1
11
|E0 |2 êk = cǫ0 ǫ|E0 |2 êk .
2Z
2
(2.3.71)
Vergleich mit Gleichung (2.3.66) zeigt:
| < S (r) > | = I.
(2.3.72)
Beispiel: Ein grüner Laser-Pointer mit 1 mW mittlerer Leistung fällt auf eine Fläche von
1 mm2 .
Intensität: I = 1 mW/mm2 = 1 kW/m2
Elektrische Feldstärke: E0 ≈ 870 V/m.
Metalle
Materialparameter: µ = 1, ǫ = ǫ′ + ıǫ′′ mit ǫ′ < 0 ⇒ n′′ ≫ n′ .
Das elektromagnetische Feld ist evaneszent und die Intensität der Welle nimmt im Metall
exponentiell ab.
Skintiefe δ: I(δ) = (1/e)I(0).
Für Gold findet man im sichtbaren Spektralbereich eine Skintiefe δ in der Größenordnung
von 10 nm − 20 nm.
2.3.3 Gauß-Strahlen
Vorbemerkung: Das Strahlprofil vieler Laser kann durch einen Gauß-Strahl beschrieben
werden. Gauß-Strahlen sind allerdings keine exakte Lösung der Wellengleichung sondern
nur in der sogenannten paraxialen Näherung 5 gültig.
5
In der paraxialen Näherung geht man davon aus, dass sich das transversale Strahlprofil nur langsam
ändert.
2-23
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Elektrisches Feld eines Gauß-Strahls mit Strahltaillie bei z = 0 in Zylinderkoordinaten:
!
!
W0
ρ2
ρ2
E (ρ, z) = A0
exp − 2
exp ık
exp (ıkz − ıη(z))
W (z)
W (z)
2R(z)
(2.3.73)
mit
W0 =
s
λz0
,
π
(2.3.74)
s
W (z) = W0 1 +
z0
R(z) = z 1 +
z
z
z0
2
2 !
(2.3.75)
,
(2.3.76)
,
η(z) = arctan (z/z0 ) .
(2.3.77)
Die zugehörige Intensität ist gegeben durch:
c0 ǫ0
c0 ǫ0
W0
|E (ρ, z) |2 =
|A0 |2
I (ρ, z) =
2
2
W (z)
!2
ρ2
exp −2 2
W (z)
!
(2.3.78)
Die oben definierten Strahlparameter haben die folgende physikalische Bedeutung:
• Strahlradius W (z): Die Intensität fällt für einen festen Wert von z in radialer
Richtung bei ρ = W (z) auf den Faktor 1/e2 der axialen Intensität ab. Innerhalb
eines Kreises mit Radius W (z) sind 87% der Gesamtleistung konzentriert.
• Taillienradius W0 : Strahlradius an der Position der Strahltaillie (z = 0).
• Rayleigh-Länge z0 : Distanz entlang der optischen Achse, in der sich die Querschnittsfläche eines Gaußstrahls, ausgehend von z = 0, verdoppelt.
• Krümmungsradius der Wellenfronten R(z): Für |z| ≪ z0 gilt R(z) ≈ ∞. Hier
ähneln die Wellenfronten eines Gauß-Strahles einer ebenen Welle. Für |z| ≫ z0 gilt
dagegen R(z) ≈ z. Im Fernfeld ähneln die Wellenfronten eines Gauß-Strahles daher
einer Kugelwelle.
• Strahldivergenz θdiv : Die Strahldivergenz ist durch die Steigung von W (z) im
Fernfeld definiert. Somit gilt:
θdiv =
2-24
W0
λ
=
.
z0
πW0
(2.3.79)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
• Gouy-Phase η(z): Im Vergleich zu einer ebenen Welle erfährt ein Gauß-Strahl eine
zusätzliche Phasenverzögerung (−π/2 ≤ η(z) ≤ π/2).
Beispiel: Ein HeNe Laser emittiert Laserstrahlung mit einer Wellenlänge λ = 632 nm
und einer Strahldivergenz θdiv = 0.75 mrad.
⇒Taillienradius: W0 = λ/(πθdiv ) = 0.270 mm.
⇒Rayleigh-Länge: Z0 = W02 π/λ = 35 cm.
⇒Strahldurchmesser in 100 m: W (100 m) = 7.5 cm.
2-25
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
(a)
I(ρ,z) / I
0
1
z=0
Z=z0
z=2z0
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
ρ/W
0
(b)
I(0,z) / I
0
1
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
z/z
0
4
W(z) / W0
(c)
3
2
1
0
−3
−2
−1
0
z/z
0
4
R(z) / z
0
(d)
2
0
−2
−4
−3
−2
−1
0
z / z0
Abbildung 2.4: Gauß-Strahl: (a) Transversale Intensitätsverteilung. (a) Axiale Intensitätsverteilung. (c) Strahlradius und Wellenfronten. (d) Krümmungsradius der Wellenfronten.
2-26
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
2.4.1 Stetigkeitsbedingungen
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei isotropen Medien mit ρ = 0 und j = 0.
dA=dA e^
dl=dl e||´
e^
dx
dx
(a)
(b)
dA=dA e||
Abbildung 2.5: (a) Gaußsches Kästchen und (b) Stokessche Fläche.
Aus ∇ · D (r, t) = 0 folgt mit dem Gaußschen Satz für ein Gaußsche Kästchen:
Z
dV
3
∇ · D (r, t) d r =
Z
!
∂(dV )
D (r, t) · dA = 0.
(2.4.1)
Im Limes dx → 0 gilt:
Z
!
dx→0
∂(dV )
D (r, t) · dA −→ dA e⊥ · (D1 (r0 , t) − D2 (r0 , t)) = 0.
(2.4.2)
⇒ D⊥ (r0 , t) ist stetig.
Analoge Betrachtung: B⊥ (r0 , t) ist stetig.
Der Stokessche Satz liefert mit ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) für eine Stokessche Fläche:
Z
dA
∇ × E (r, t) · ek dA =
Z
∂dA
E (r, t) · dr = −
Z
dA
Ḃ (r, t) · ek dA.
(2.4.3)
Für dx → 0 gilt:
Z
∂dA
dx→0
!
E (r, t) · dr −→ dl ek × e⊥ · (E1 (r0 , t) − E2 (r0 , t)) = 0.
⇒ Ek (r0 , t) ist stetig.
|
{z
ek′
(2.4.4)
}
Analoge Betrachtung: Hk (r0 , t) ist stetig.
Zusammenfassung:
2-27
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Tangentialkomponente
E1,k (r0 , t) = E2,k (r0 , t)
D1,k (r0 , t) =
ǫ1
D
ǫ2 2,k
(r0 , t)
H1,k (r0 , t) = H2,k (r0 , t)
B1,k (r0 , t) =
µ1
B (r0 , t)
µ2 2,k
Normalkomponente
E1,⊥ (r0 , t) =
ǫ2
E
ǫ1 2,⊥
(r0 , t)
D1,⊥ (r0 , t) = D2,⊥ (r0 , t)
H1,⊥ (r0 , ) =
µ2
H2,⊥
µ1
(r0 , t)
B1,⊥ (r0 , t) = B2,⊥ (r0 , t)
2.4.2 Fresnel-Gleichungen
Experiment: Reflexion und Brechung am Glassegment.
Betrachte eine ebene Grenzfläche bei z = 0 zwischen zwei Medien mir Materialparametern
ǫ1 , µ1 bzw. ǫ2 , µ2 . Sei ên der Einheitsvektor senkrecht zur Grenzfläche.
Trifft eine Welle aus Medium 1 kommend auf die Grenzfläche, so wird die Welle teilweise
reflektiert und teilweise in das Medium 2 transmittiert.
Einfallende Welle (Medium 1):
Ei (r, t) = E0i eı(ki ·r−ωi t) , Bi (r, t) = B0i eı(ki ·r−ωit) .
(2.4.5)
Reflektierte Welle (Medium 1):
Er (r, t) = E0r eı(kr ·r−ωr t) , Br (r, t) = B0r eı(kr ·r−ωr t) .
(2.4.6)
Transmittierte Welle (Medium 2):
Et (r, t) = E0t eı(kt ·r−ωt t) , Bt (r, t) = B0t eı(kt ·r−ωt t) .
(2.4.7)
ki und ên spannen die sogenannte Einfallsebene auf.
Aufgrund der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche gilt:
ên × E0i eı(ki ·r−ωit) + E0r eı(kr ·r−ωr t) = ên × E0t eı(kt ·r−ωt t) .
2-28
(2.4.8)
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Diese Gleichung muss für r = 0 zu allen Zeiten erfüllt sein. Hieraus folgt:
ωi = ωr = ωt .
(2.4.9)
Ferner gilt für einen beliebigen Vektor rk der in der Grenzfläche liegt:
ki · rk = kr · rk = kt · rk .
(2.4.10)
Wir zerlegen nun die Wellenvektoren in eine Normalkomponente parallel zu ên und in
eine Tangentialkomponente, die parallel zur Grenzfläche orientiert ist:
kj = kj,n ên + kj,p êj,p
mit j = i, r, t.
(2.4.11)
Einsetzen in Gleichung (2.4.10) zeigt:
ki,p êi,p = kr,p êr,p = kt,p êt,p .
(2.4.12)
Somit sind die Tangentialkomponenten der drei Wellenvektoren gleich und die Wellenvektoren liegen alle in der Einfallsebene.
Die einfallende und die reflektierte Welle befinden sich im selben Medium und besitzen
daher den gleichen Betrag ki = kr = k0 n1 . Zusammen mit ki,p = ki sin(θi ) und kr,p =
kr sin(θr ) ergibt sich damit das Reflexionsgesetz:
θi = θr .
(2.4.13)
Für die einfallende und die transmittierte Welle gilt:
ki sin(θi ) = kt sin(θt ).
(2.4.14)
Mit ki = k0 n1 und kt = k0 n2 folgt sofort das Brechungsgesetz:
n1 sin(θi ) = n2 sin(θt ) .
(2.4.15)
Wir wollen nun die Amplituden und Phasen der reflektierten und transmittierten Wellen
berechnen. Hierbei ist es ausreichen zwei Fälle zu betrachten, die in der Lieteratur mit
s-Polarisation und p-Polarisation bezeichnet werden6 .
6
Merkregel: „s wie senkrecht“ und „p wie parallel“ (zur Einfallsebene).
2-29
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
s-Polarisation
p-Polarisation
Ei
Ei
ki
ε1, μ1 Bi
ε2 , μ2
Er
kr
Bi
θi θr
Br
θt
Er
kr
ε1, μ1
ε2, μ2
ki
Br
θi θr
θt
Et
Bt
Et
Bt
kt
kt
Abbildung 2.6: Reflexion und Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche für sPolarisation und p-Polarisation.
E senkrecht zur Einfallsebene: s-Polarisation
Aus der Stetigkeitsbedingung für Ek folgt:
E0i + E0r = E0t .
(2.4.16)
Zusätzlich ist Hk = Bk /(µ0 µ) stetig an der Grenzfläche7 :
−
B0i
B0r
B0t
cos(θi ) +
cos(θr ) = −
cos(θt ).
µ1 µ0
µ1 µ0
µ2 µ0
Mit θi = θr und B0 =
n
E
c0 0
(2.4.17)
finden wir:
n1
n2
(E0i − E0r ) cos(θi ) =
E0t cos(θt ).
µ 0 µ 1 c0
µ 0 µ 2 c0
(2.4.18)
Einsetzen von Gleichung (2.4.16) liefert zusammen mit 1/Z = n/(µ0 µc0 ) die FresnelGleichungen für s-Polarisation:
=
=
E0r
rs ≡
E0i
ts ≡
7
E0t
E0i
s
s
1
Z1
1
Z1
cos(θi ) −
cos(θi ) +
1
Z2
1
Z2
cos(θt )
,
cos(θt )
(2.4.19)
cos(θi )
.
cos(θi ) + Z12 cos(θt )
(2.4.20)
2
Z1
1
Z1
Die Vorzeichenwahl bezieht sich im Folgenden auf Abbildung 2.6.
2-30
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
E in der Einfallsebene: p-Polarisation
Die Stetigkeitsbedingung für Hk ergibt unter Benutzung von Gleichung (2.3.48):
1
1
1
E0i + E0r =
E0t .
Z1
Z1
Z2
(2.4.21)
Aus der Stetigkeit von Ek an der Grenzfläche folgt:
E0i cos(θi ) − E0r cos(θr ) = E0t cos(θt ).
(2.4.22)
Mit dem Reflexionsgesetz erhalten wir nach kurzer Rechnung die Fresnel-Formeln für
p-Polarisation:
E0r
rp ≡
E0i
E0t
tp ≡
E0i
=
p
=
p
1
Z2
1
Z1
cos(θi ) −
cos(θt ) +
1
Z1
1
Z2
cos(θt )
,
cos(θi )
(2.4.23)
cos(θi )
.
cos(θt ) + Z12 cos(θi )
(2.4.24)
2
Z1
1
Z1
Äußere Reflexion
In der Optik gilt (meistens) µ = 1, so dass 1/Z = n. Die Fresnel-Gleichungen werden
deshalb häufig in der folgenden Form angegeben:
rs ≡
=
n1 cos(θi ) − n2 cos(θt )
,
n1 cos(θi ) + n2 cos(θt )
(2.4.25)
=
2n1 cos(θi )
,
n1 cos(θi ) + n2 cos(θt )
(2.4.26)
=
n2 cos(θi ) − n1 cos(θt )
,
n1 cos(θt ) + n2 cos(θi )
(2.4.27)
=
2n1 cos(θi )
.
n1 cos(θt ) + n2 cos(θi )
(2.4.28)
E0r
E0i
E0t
ts ≡
E0i
s
s
E0r
rp ≡
E0i
E0t
tp ≡
E0i
p
p
Wir betrachten nun die Grenzfläche Luft/Glas mit n1 = 1 und n2 = 1.5 bei äußerer
Reflexion, d.h, Lichteinfall von der Luftseite.
2-31
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Amplitudenkoeffizienten
1
tp
0.5
ts
rp
0
θB
rs
−0.5
−1
0
20
40
60
80
θ (Grad)
i
Abbildung 2.7: Amplitudenkoeffizienten als Funktion des Einfallswinkel bei äußerer Reflexion
and der Luft/Glas Grenzfläche. (
• Für senkrechten Einfall gilt |rs | = |rp | und ts = tp .
• Für s-Polarisation ist das elektrische Feld der reflektierten Welle gegenüber der
einfallenden Welle für alle Einfallswinkel um 180◦ phasenverschoben („Reflexion
am festen Ende“).
• Beim Brewster-Winkel θi = θB tritt für p-Polarisation keine reflektierte Welle auf
(rp = 0). Eine kurze Rechnung zeigt:
tan (θB ) =
n2
.
n1
(2.4.29)
und
θB + θt = 90◦ .
Beweis: Übung!
2-32
(2.4.30)
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Ei
Bi
n1
n2
ki
qi=qB
qr
Et
qt Bt
kt
Anschauliche Erklärung: Nahe der Grenzfläche werden im hochbrechenden Medium
Dipole durch das elektrische Feld zu Schwingungen angeregt. Da die Dipole nicht in
Richtung der Dipolachse abstrahlen, tritt keine reflektierte Welle auf.
Für die Luft/Glas-Grenzfläche erhalten wir θB = 56.3◦ .
• Für streifenden Einfall (θi → 90◦ ) wirkt die Glasscheibe wie ein Spiegel (rs,p → 1
und ts,p → 0).
Innere Reflexion und Totalreflexion
Im Folgenden wird nun der Fall der inneren Reflexion (Lichteinfall von der Glasseite)
diskutiert mit n1 > n2 . Wir betrachten hierbei zunächst den Fall θi < αg mit sin(αg ) = nn21 .
• Für senkrechten Einfall gilt wieder |rs | = |rp | und ts = tp .
• Für s-Polarisation schwingt das elektrische Feld der reflektierten Welle für alle Einfallswinkel mit der einfallenden Welle in Phase („Reflexion am losen Ende“).
• Beim Brewster-Winkel θi = θB tritt für p-Polarisation keine reflektierte Welle auf
(rp = 0). Wieder gilt:
n2
.
n1
(2.4.31)
θB + θt = 90◦ .
(2.4.32)
tan (θB ) =
und
Für die Luft/Glas-Grenzfläche erhalten wir bei interner Reflexion θB = 33.7◦ .
2-33
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
αg
2.5
Amplitudenkoeffizienten
2
tp
1.5
ts
1
0.5
rs
0
rp
−0.5
−1
0
20
θB
40
60
80
θ (Grad)
i
Abbildung 2.8: Amplitudenkoeffizienten als Funktion des Einfallswinkel bei äußerer Reflexion
and der Luft/Glas Grenzfläche.
• Für θi → αg finden wir rs,p → 1 aber ts,p 6→ 0 (Widerspruch?).
Was passiert nun im Fall θi > αg ?
Tangentialkomponenten des Wellenvektors der einfallenden Welle und der transmittierten
Welle sind gleich groß:
kt,p = k0 n2 sin(θt ) = k0 n1 sin(θi ) = ki,p .
(2.4.33)
Für die Normalkomponente des Wellenvektors in Medium 2 finden wir damit:
kt,n =
q
2
k02 n22 − kt,p
.
(2.4.34)
Für θi > αg gilt offensichtlich kt,p > k0 n2 . Damit ist aber kt,n eine rein imaginäre Größe.
Die transmittierte Welle ist daher evaneszent und fällt im Medium 2 exponentiell ab. Mit
der transmittierten Welle ist kein Energietransport verknüpft. Die gesamte Intensität wird
also an der Grenzfläche reflektiert ⇒ Totalreflexion.
2-34
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Transmissions- und Reflexionsgrad
Bisher haben wir uns für die Amplituden der Felder an der Grenzfläche interessiert. Im
Folgenden wollen wir die Energiestromdichten untersuchen.
Sr
Si
A cos(qr)
A cos(qi)
qi
qr
A
n1
n2
qt
A cos(qt)
St
Abbildung 2.9: Reflexion und Transmission eines Strahlenbündels.
Poyntingvektor für die einlaufende Welle:
Si =
1 1
ki
|E0|2
.
2 Z1
|ki |
(2.4.35)
Poyntingvektor für die reflektierte Welle:
Sr =
1 1
kr
|rE0 |2
.
2 Z1
|kr |
(2.4.36)
Poyntingvektor für die transmittierte Welle:
St =
1 1
kt
|tE0 |2
.
2 Z2
|kt |
(2.4.37)
Der Reflexionsgrad R ist definiert als der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, die an
der Grenzfläche reflektiert wird:
R=
|Sr · e⊥ |
= |r|2 .
|Si · e⊥ |
(2.4.38)
2-35
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Der Transmissionsgrad T ist der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, der durch die
Grenzfläche transmittiert wird:
T =
Z1 cos (θt ) 2
|St · e⊥ |
=
|t| .
|Si · e⊥ |
Z2 cos (θi )
(2.4.39)
Äußere Reflexion
1
0.8
Rs
Rp
Ts
Tp
R,T
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
60
70
80
90
θ (Grad)
i
Innere Reflexion
1
0.8
Rs
Rp
Ts
Tp
R,T
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
θ (Grad)
i
Abbildung 2.10: Reflexions- und Transmissionsgrad für eine Luft/Glas-Grenzfläche.
Aus Gründen der Energieerhaltung gilt für verlustfreie Medien (reelle Impedanzen):
R+T =1.
2-36
(2.4.40)
2.5 Wellenleitung
2.5 Wellenleitung
Idee: Nutze Totalreflexion zur Wellenleitung!
Experiment: Wellenleitung durch Totalreflexion.
Wir untersuchen einen einfachen Schichtwellenleiter als Modellsystem:
• Film der Dicke d mit Brechungsindex nf .
• Substrat (Halbraum) mit Brechungsindex ns .
• Abdeckung (Halbraum) mit Brechungsindex nc .
x
Abdeckung
nc
C´
B
x
0
nf
ag,fc
ag,fs
A
D
k0nf
b
-d
h
Film
C
B´
ns
Substrat
Dz
Abbildung 2.11: „Zick-Zack-Strahlen“ in einem Schichtwellenleiter.
Grenzwinkel für Grenzfläche zwischen Film und Substrat:
αg,f s = sin−1 (ns /nf ).
(2.5.1)
Grenzwinkel für Grenzfläche zwischen Film und Abdeckung:
αg,f c = sin−1 (nc /nf ).
(2.5.2)
„Zick-Zack-Strahlen“ mit θi > αg,f s , αg,f c werden durch Totalreflexion geführt.
Ersetze nun „Zick-“ und „Zack-Strahlen“ durch ebene Wellen in der Film-Schicht:
E(x, z, t) = E0 eı(±hx+βz−ωt) .
(2.5.3)
2-37
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Im Folgenden suchen wir Wellenleiter-Moden die eine konstante Feldverteilung in Propagationsrichtung aufweisen.
⇒ Nach einem Umlauf (A → B → C → D bzw. A → B‘ → C‘ → D ) müssen sich die
Phasen der Wellen reproduzieren.
Bedingungen:
β∆z = 2π
(2.5.4)
2hd + φf s + φf c = 2mπ.
(2.5.5)
Beachte: Phasenänderungen durch Propagation (β∆z und 2hd) und durch Totalreflexion
an den beiden Grenzflächen(φf s und φf c folgen aus den Fresnel-Gleichungen).
2D-Problem ⇒ Zwei Lösungstypen (Polarisationen):
• Tranversal elektrische Wellen (TE-Wellen, s-pol)
• Tranversal magnetische Wellen (TM-Wellen, p-pol)
x
Abdeckung
nc
TE-Moden
TM-Moden
z
0
nf
k
E
B
-d
E
B
k
ns
Film
Substrat
Abbildung 2.12: TE- und TM-Wellenleiter-Moden .
Im Folgenden suchen wir die Feldverteilung für die TE-Wellenleiter-Moden:
• In der Filmschicht ergeben sich die Moden aus der Überlagerung von propagierenden
ebenen Wellen.
• Im Substrat und der Abdeckung fallen die Felder exponentiell ab.
• Die Parallelkomponente des Wellenvektors ist in allen drei Medien identisch.
2-38
2.5 Wellenleitung
Ansatz für Feldverteilung:
Ey (x, y, z, t) = Em (x) eı(βz−ωt)
(2.5.6)
mit




C exp(−px)
0≤x
h
i
q
−d ≤ x ≤ 0
Em (x) = C hcos(hx) − h sin(hx)i


 C cos(hd) + q sin(hd) exp(q(x + d)) x ≤ −d
h
(2.5.7)
Hierbei sind die Größen wie folgt definiert:
• Propagationskonstante (Parallelkomponente des Wellenvektors im Film):
β = k0 nf sin (θi )
(2.5.8)
• Normalkomponente des Wellenvektors im Film:
h = k0 nf cos (θi ) =
q
k02 n2f − β 2
(2.5.9)
• Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors im Substrat:
q=
q
β 2 − k02 n2s
(2.5.10)
• Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors in der Abdeckung:
p=
q
β 2 − k02 n2c
(2.5.11)
Die magnetische Flußdichte berechnet sich nach ∇ × E = −Ḃ.
Aus den Stetigkeitsbdingungen für Ey und Hz bei x = 0 und x = −d folgt:
tan (hd) =
p+q
.
h (1 − pq/h2 )
(2.5.12)
Nach kurzer Rechnung8 erhalten wir:
q
d k02 n2f − β 2 =
v
u 2 2
u k0 (nf

arctan t

v
u

u k 2 (n2 − n2s )
− n2c )
 + arctan t 0 f
−
1
− 1 + mπ.
k02 n2f − β 2
k02 n2f − β 2
(2.5.13)
2-39
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
10
TE
0
TE
1
8
AbdeckungLichtlinie
TE
ω (c 2 π /d)
0
2
SubstratLichtlinie
6
4
2
Film-Lichtlinie
0
0
2
4
6
8
10
β (2 π /d)
Abbildung 2.13: Dispersionsrelation der der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparameter: nf =
2.0, ns = 1.5 und nc = 1.0.
⇒ Implizite Darstellung der Dispersionsrelation ω(β) der TE-Moden.
Abschneidefrequenz der m-ten Mode:
c0 arctan
ωcut,TE =
r
n2s −n2c
n2f −n2c
q
d n2f − n2s
+ mπ
(2.5.14)
Für einen symmetrischen Wellenleiter (ns = nc ) ist die TE0 -Mode immer geführt, d.h.,
ωcut,TE0 = 0.
Effektiver Index der m-ten Mode:
neff =
βm
.
k0
Wellenleiterdispersion:
• neff → ns für ω → ωcut,TE .
8
arctan
2-40
x+y
1−xy
= arctan(x) + arctan(y)
(2.5.15)
2.5 Wellenleitung
2
TE0
Effektiver Index
1.9
TE1
TE2
1.8
1.7
1.6
1.5
0
0.5
1
1.5
d/λ
Abbildung 2.14: Spektraler Verlauf des effektiven Index der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparamter: nf = 2.0, ns = 1.5, nc = 1.0.
• neff → nf für ω → ∞.
Effektiver Index hängt neben den Materialparametern auch von der Geometrie ab!
Modendispersion: Verschiedene Moden weisen bei gleicher Frequenz unterschiedliche effektive Indizes auf. ⇒ Problem für Datenübertragung: Unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Moden.
Modenprofil:
• T Em -Mode: m Knoten des Feldes in der Filmschicht.
• Nahe Abschneidefrequenz: Starke Ausdehnung der Mode ins Substrat.
• Schneller Abfall der Feld-Amplitude in der Abdeckung.
• Konzentration der Mode in der Filmschicht mit steigender Frequenz.
Online-1-D multilayer slab waveguide mode solver:
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/oms.html
2-41
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
nc
6
nf
ns
TE
2
5
E
y
4
3
TE
1
2
1
TE
0
0
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
x(d)
0
0.5
1
1.5
Abbildung 2.15: Modenprofil der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparameter: nf = 2, ns =
1.5, nc = 1.0, λ = 2d.
2.6 Ausblick in die Forschung: Metamaterialien
Natürliche Materialien weisen eine verschwindende magnetische Antwort bei optischen
Frequenzen auf (µ = 1).
Idee: Stelle künstliche nanostrukturierte Materialien her, die sich wie ein homogenes Medium verhalten ⇒ Metamaterialien.
Voraussetzung: Abstand zwischen benachbarten „künstlichen Atomen“ muß klein sein im
Vergleich zur Wellenlänge.
C
Plattenkondensator
L
Spule
Abbildung 2.16: Der Split-Ring-Resonator dient als „magnetisches Atom“.
2-42
2.6 Ausblick in die Forschung: Metamaterialien
Der Split-Ring Resonator (SRR) ist ein metallischer Ring mit subwellenlängen Abmessungen, der einen kleinen Spalt aufweist. Der SRR wirkt wie ein LC-Schwingkreis (Spalt: Kondensator, Ring: Spule) und stellt eine mögliche Realisierung eines „magnetischen Atoms“
dar.
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ̇ induziert eine Spannung Uind im SRR:
−Φ̇ = Uind
1
= UL + UC + UR = LI˙ +
C
Nach einer kurzen Rechnung analog
µ(ω) = 1 +
2
ωLC
9
Z
I dt + RI.
(2.6.1)
zum Lorentz-Oszillator Modell findet man:
F ω2
.
− ω 2 − ıΓω
(2.6.2)
Hierbei ist√0 ≤ F ≤ 1 ein geometrischer Faktor, der die Dichte der SRRen angibt.
ωLC = 1/ LC ist die Eigenfrequenz des Schwingkreises und Γ = R/L beschreibt die
Dämpfung.
Für hinreichend große Werte von F kann µ(ω) sogar negativ werden!
10
Re
Im
µ (ω)
5
0
−5
0
0.5
1
ω /ω LC
1.5
2
Abbildung 2.17: Permeabilität eines SRR-Metamaterials. Parameter: Γ = 0.05ωLC , F = 0.5.
9
Beachte: Das magnetische Moment des SRRs ist gegeben durch m=I A. Hierbei ist I der Strom im
SRR und A die Fläche des Rings.
2-43
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Wir wollen nun ein Metamaterial betrachten, für das sowohl ǫ(ω) und µ(ω) im selben Frequenzbereich negative Werte annehmen. Man findet für den zugehörigen Brechungsindex:
q
n(ω) = − ǫ(ω)µ(ω).
(2.6.3)
Folgerungen:
• Nach dem Brechungsgesetz wird der Winkel θt beim Übergang von Luft in das
Metamaterial negativ, d.h., die Welle wird zur „falschen“ Seite gebrochen.
• Wellenvektor k und Poynting-Vektor S sind im Metamaterial antiparallel.
n>0
n<0
Abbildung 2.18: Computersimulation mit POV-Ray (www.povray.org): Glas mit normalen Wasser (links) und mit einer fiktiven Flüssigkeit (rechts), die einen negativen Brechungsindex aufweist.
Stand der Technik: Zur Zeit können nur Metamaterialien mit wenigen „Atomlagen“ gefertigt werden. Diese Metamaterialien sind somit eher „Metafilme“.
2.7 Ausblick in die Forschung: Oberflächenplasmonen
Drude Modell: Keine propagierenden Moden in einem Metall für ω < ωp .
Aber: Geführte Moden an der Grenzfläche zwischen einem Metall (ǫm < 0) und einem
Dielektrikum (ǫd > 0) ⇒ Surface Plasmon Polariton (SPP).
Vorüberlegungen:
2-44
2.7 Ausblick in die Forschung: Oberflächenplasmonen
• Exponentieller Abfall der Felder in beiden Medien.
• SPP-Dispersionsrelation unterhalb der Lichtlinie im Dielektrikum.
• Tangentiale Komponenten von E und H sind stetig.
• Educated Guess: SPPs sind TM-Wellen.
Magnetische Feldstärke
0.5
0.4
0.4
)
SPP
0
SPP
0.1
z (λ
0.2
)
0.3
0.2
z (λ
0.3
0
-0.1
-0.2
-0.2
-0.3
-0.3
-0.5
0
-0.4
em(w)
0.2
-0.5
0
0.4
0.6
0.8
x (λ SPP)
1
1.2
1.4
1.6
ed
0.1
-0.1
-0.4
Elektrische Feldstärke
0.5
ed
em(w)
0.2
0.4
0.6
0.8
x (λ SPP)
1.8
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Abbildung 2.19: Momentaufnahme der magnetischen und elektrischen Feldstärke eines SPPs.
Ansatz
• Dielektrikum (z > 0):
+
H+ (r, t) = (0, A, 0)eı(kSPPx−ωt) e−kz z
⇒ E+ (r, t) =
(2.7.1)
!
ıkz+ A
−kSPP A ı(kSPP x−ωt) −kz+ z
, 0,
e
e
ωǫd
ωǫd
(2.7.2)
• Metall (z < 0)
−
H− (r, t) = (0, B, 0)eı(kSPPx−ωt) ekz z
⇒ E− (r, t) =
(2.7.3)
!
−ıkz− B
−kSPP B ı(kSPP x−ωt) kz− z
, 0,
e
e
ωǫm (ω)
ωǫm (ω)
(2.7.4)
Einsetzen in Wellengleichung liefert:
2
kSPP
− (kz+ )2 = ǫd
ω2
c20
2
kSPP
− (kz− )2 = ǫm (ω)
(2.7.5)
ω2
c20
(2.7.6)
2-45
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
1.5
εd=1
εd=2.25
1
ω (ωp)
ωp
ωSPP, Luft
ωSPP, Glas
0.5
0
0
0.5
1
1.5
k
SPP
2
2.5
(ω /c )
p 0
Abbildung 2.20: Dispersionsrelationen für SPPs an den Grenzflächen zwischen einem DrudeMetall (Plasmafrequenz ωp ) und zweier verschiedener Dielektrika.
Stetigkeitsbedingungen:
Hy− (z = 0, t) = Hy+ (z = 0, t) ⇒ A = B
Ex− (z = 0, t) = Ex+ (z = 0, t) ⇒
kz+
k−
=− z
ǫd
ǫm (ω)
(2.7.7)
(2.7.8)
Kurze Rechnung ergibt SPP-Dispersionsrelation:
kSPP
v
u
ω u ǫd ǫm (ω)
= t
c0 ǫd + ǫm (ω)
(2.7.9)
Bedingungen für geführte Mode:
ǫd ǫm (ω) < 0, ǫd + ǫm (ω) < 0.
(2.7.10)
Drude Metalle:
ω → ωSPP = √
ωp
1 + ǫd
für kSPP → ∞.
(2.7.11)
„Echte Metalle“: Interbandübergänge begrenzen ℜ(kSPP ) auf endliche Werte und führen
zur starken Dämpfung des SPPs.
Anregung von SPPs:
• Prismenkopplung in Kretschmann-Konfiguration
2-46
2.7 Ausblick in die Forschung: Oberflächenplasmonen
4.5
Re(kSPP)
Im(kSPP)
4
Photonen Energie (eV)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
kSPP (nm-1 )
Abbildung 2.21: Dispersionsrelation für SPPs an der Ag/Luft-Grenzfläche.
• Prismenkopplung in Otto-Konfiguration
• Gitterkopplung
θi
εp
εd
εd
εm(ω)
kSPP
εm(ω)
a
θp
εd
kSPP
εm(ω)
kSPP
εp
θp
Abbildung 2.22: Anregung von SPPs mittels Prismenkopplung in Kretschmann-Konfiguration
(links), Prismenkopplung in Otto-Konfiguration (mitte) und Gitterkopplung
(rechts).
Anwendung: SPP-basierte Biosensoren (siehe Abbildung 2.23)
• Dünner Goldfilm (typisch d = 50nm) mit funktionaler Schicht (Monolage).
• Spezifische Bindung der nachzuweisenden Moleküle an funktionale Schicht nach dem
Schlüssel-Schloss-Prinzip.
• Anregung von SPPs in Kretschmann-Konfiguration.
2-47
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
• Angekoppelte Moleküle ändern die dielektrische Funktion der funktionalen Schicht:
ǫml → ǫml + δǫ.
• Nachweis der Moleküle über (i) Änderung des SPP-Anrege-Winkels θp oder (ii)
Änderung der SPP-Resonanz-Wellenlänge.
εd
εd
εml
εm(ω)
εml+de
εm(ω)
kSPP
εp
kSPP
εp
θp
θp
Abbildung 2.23: Prinzip eines SPP-basierten Biosensors.
2-48