6.2.13 Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator

V060213
Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
6.2.13 Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
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1 Motivation
Bei diesem Versuch werden Ein- und Ausschaltvorgänge an RC-Schaltkreisen am Oszilloskop
vorgeführt.
2 Experiment
Abbildung 1: Versuchsaufbau zum Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator“
”
Eine variable Kapazität (C = (10 bis 82) nF) wird periodisch über einen variablen Widerstand
(R = (3 bis 25) kΩ) geladen und wieder entladen. Der exponentielle Verlauf der Spannung U
am Kondensator und des Stroms I wird am Oszilloskop gezeigt, wobei der Spannungsabfall
UR = IR am Widerstand das Signal für den Strom ergibt (Versuchsaufbau siehe Abb. 1, Signale
siehe Abb. 2).
Durch Veränderung der Kapazität bzw. des Widerstands kann man den Einfluss von R und C
auf die Zeitkonstante τ = RC vorführen.
Die Schaltung ist in Abb. 3 wiedergegeben.
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Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
Laden
Entladen
Laden
Entladen
U
0
I
0
t
Abbildung 2: Strom und Spannung beim Laden und Entladen eines Kondensators
3 Theorie
3.1 Die Kirchhoffschen Gesetze
Häufig müssen in einem komplizierteren Netzwerk die Ströme, Spannungen, Leistungen berechnet werden. Dazu werden die Kirchhoffschen Gesetze verwendet:
A) Die Summe aller Ströme eines Stromknotens ist 0:
n
X
Ii = 0
(1)
i=1
Hierbei werden zufliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gerechnet
(Ladungserhaltung).
B) In einem geschlossenen Kreis ist die Summe der an den einzelnen Elementen liegenden
Spannungen gleich gross wie die Summe der Batteriespannungen .
Bei komplizierteren Problemen liefert das folgende Verfahren ein Minimum an Gleichungen (und
damit an Rechenarbeit !):
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Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
UR = IR
1
2
S1
R
+
UC
C
−
I
Abbildung 3: RC-Schaltkreis. Der Schalter S1 bewirkt in Stellung 1 das Laden und in Stellung
2 das Entladen des Kondensators.
a) Man führe als Unbekannte die Spannungen Ui bezüglich eines Fixpunktes ( = Spannungen
gegen Erde) in den Knoten ein.
b) Man schreibe die Stromerhaltung für die Netzwerkknoten auf, wobei die Ströme durch die
unbekannten Spannungen und die Widerstandswerte auszudrücken sind.
c) Die Lösung dieses (linearen !) Gleichungssystems liefert die Unbekannten Ui . Aus diesen
können alle andern Grössen leicht berechnet werden.
Für n Widerstände Ri , i = 1, ..., n) in Serie gilt für den resultierenden Gesamtwiderstand R:
R=
n
X
Ri
(2)
i=1
Bei Parallelschaltung dieser Widerstände gilt dagegen:
n
X 1
1
=
R
Ri
(3)
i=1
3.2 Lade – und Entladevorgang beim RC-Kreis
Wir untersuchen den Lade – und den Entladevorgang für den RC-Kreis.
a) Ladevorgang:
Nach Kirchhoff gilt (siehe Abb. 3)
U0 = UR + UC = IR +
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3
Q
C
(4)
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Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
Beim Aufladen des Kondensators ist
Q̇ = I
⇒
⇒
U0 = RQ̇ +
(5)
Q
C
(6)
dQ
U0
Q
=
−
dt
R
RC
(7)
Mit dem Ladestrom I0 := U0 /R zu Beginn des Aufladens und der Zeitkonstanten τ = RC
erhalten wir schliesslich die Differentialgleichung
dQ
Q
= I0 −
dt
τ
(8)
dQ
dt
=−
Q − τ I0
τ
(9)
Die Separation der Variablen ergibt
t
ln(Q − τ I0 ) = − + c1
τ
⇒ Q = τ I0 + c2 e−t/τ
⇒
(10)
(11)
Für t = 0 ist Q = 0. Daraus folgt die Integrationskonstante c2 ≡ ec1 und die Ladung Q = Q(t):
0 = τ I0 + c2
⇒
(12)
c2 = −τ I0
Q = τ I0 1 − e−t/τ
(13)
(14)
Der Ladestrom ergibt sich damit zu
I = Q̇ = I0 e−t/τ
(15)
Die Spannung am Kondensator ist gegeben durch
U=
Q
τ I0
=
1 − e−t/τ = U0 1 − e−t/τ
C
C
(16)
Der Verlauf von U und I in Funktion der Zeit ist für τ = 800 ms in Abb. 4 zu sehen.
b) Entladevorgang:
Nach Kirchhoff gilt (siehe Abb. 2)
0 = UR + UC = IR +
Q
C
Beim Entladen des Kondensators ist die Spannungsquelle abgetrennt, und es ist
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(17)
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Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
Q̇ = I
⇒
(18)
0 = RQ̇ +
Q
C
(19)
Damit erhalten wir schliesslich die Differentialgleichung
dQ
Q
=−
dt
τ
(20)
Die Separation der Variablen ergibt in diesem Fall
dQ
dt
=−
Q
τ
⇒
(21)
t
ln Q = − + c1
τ
⇒ Q = c2 e−t/τ
(22)
(23)
Für t = 0 ist Q = CU0 . Daraus folgt die Integrationskonstante c2 ≡ ec1 und die Ladung
Q = Q(t):
CU0 = c2
(24)
−t/τ
Q = CU0 e
−t/τ
= τ I0 e
(25)
Der Strom ergibt sich damit zu
I = Q̇ = −I0 e−t/τ
(26)
Die Spannung am Kondensator ist gegeben durch
U=
Q
= U0 e−t/τ
C
Der Verlauf von U und I in Funktion der Zeit ist für τ = 800 ms in Abb. 4 zu sehen.
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(27)
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Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator
1,0
0,8
U/U0 = 1 − e−t/τ
0,6
Laden
0,4
I/I0 = e−t/τ
0,2
t/s
0,0
0
1
2
3
4
5
1,0
0,8
0,6
0,4
U/U0 = e−t/τ
0,2
0,0
-0,2
I/I0 = −e−t/τ
-0,4
Entladen
-0,6
-0,8
t/s
-1,0
0
1
2
3
4
5
Abbildung 4: Strom- und Spannungsverlauf beim Laden (oberes Bild) und Entladen (unteres
Bild) eines Kondensators (τ ≡ RC = 0,8 s).
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