Physik II, QM

PHYSIK II
Zusammenfassung zur Vorlesung von
Prof. Dr. D. Pescia
Lukas Cavigelli, Januar 2011
[email protected]
(⃗⃗ ⃗
)
Einfallende Welle: ( ⃗ )
Gebeugte Welle (Helmhotz-Wellengleichung):
(⃗ )
(⃗ )
Schrödingergleichung:
(
)
(
)∑
( )
(⏟
Linearkombinationen von Wellenfunkt. sind Wellenfunktionen.
Die Amplituden werden addiert, nicht deren Quadrat!
Die Wellenfunktionen bilden einen Vektorraum (Hilbertraum
der normierbaren Wellenfunktionen)
( ⃗ ) ist die Wellenf., der Zustandsvektor.
Ortsdarstellung der Zustände eines Teilchens: wenn
Zustandsvektor als Funktion des Ortes gegeben.
Skalarprodukt: zwischen zwei Zuständen
)
( )
WELLENMECHANIK
QUANTENMECHANIK
Massenzahl:
#Protonen + #Neutronen
⁄
Kernradius:
Massenzahl:
Elektronenvolt:
Rydbergkonstante:
Red. Planck Wirkungsquant.:
Plank’sches Wirkungsquantum:
EINFÜHRUNG
TUNNELEFFEKT
Coulomb Barriere (Potential Barriere):
: # Elementarldg im Kern, : #austretende Elementarldg
:
ANOMALIE DE R SPEZIFI SCHEN WÄRME
Klassisch:
spez. Wärmekapazität
konstant (
)
Modern:
spez. Wärmekapaz. temperaturabh.
)
⁄
⃗⃗
√
(
POSTULAT : MAX BORN
Statistische Deutung der Wellenfunktion.
: eine Region des Konfigurationsraum (euklidischer Raum)
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Gebiet :
∫ | ( ⃗ )|
( )
∫ | ( ⃗ )|
wobei ∫ | ( ⃗ )|
die W-keit beschreibt, dass sich das
Teilchen irgendwo befindet, kann als gewählt werden.
Das bedeutet u.a., dass eine Wellenf. normierbar sein muss.
W-keit, dass sich das Teilchen in
um befindet:
(
) | |
Die W-keitsdichte ist folglich | | .
Die kompl. Wellenfunktion ist demnach die W-keits-Amplitude.
Mathematischer Trick: Falls das Integral divergiert kann u.U. ein
Kasten mit Kantenlänge gewählt werden mit
|⃗⃗ |
(
,
: Riedbergkonstante
)
(
)
(
)
⃗⃗
(
)
FRANK-HERTZ VERSUCH
(
)
BLABLA
Beugung an einem 1D-Gitter:
, gemessene
normiert:
⃗⃗
⃗
∫ | ( ⃗ )|
völlig delokalisiert ist.
POSTULAT: SUPERPOSIT IONSPRINZIP
)
(
)
(
)
(
mit Geschw.
⃗⃗
Stationäre Zustände der SG:
| ( ⃗ )|
( ⃗)
Ansatz: ( ⃗ )
mit
, konst. („Energie“)
Das ergibt für die Schrödingergleichung:
( ⃗)) ( ⃗)
muss Eigenwert des Hamilton Operator
( ⃗)
0
( )1 sein und ( ⃗) die dazugehörige Eigenfunktion.
( )
∫
. Das ist die Stromdichte einer
Einheitsladung mit Dichte
(
⏟
( ⃗) )
(
)
(
( ) )
( ) Amplitude, so dass das Teilchen den Impuls
| ( )| : dazugehürige W-keitsdichte
[(
)
hat)
]
Das Eigenwertspektrum des Operators bildet alle möglichen
stabilen Zustände eines quantenmechanischen Systems.
Derjenige mit der niedrigsten Energie ist der Grundzustand, die
höherliegenden EW sind angeregte Zustände.
Korrespondenzprinzip zw. KM und QM:
⃗
⃗⃗
( ⃗)
( )+
⃗
⃗
⃗
*
⏟
⏟
⏟
BSP: STATIONÄRE ZUSTÄND E
Betrachten wir diese Amplitude zu einer best. Zeit und ist der
Maximalwert bei
, so sind die Konten bei
Das Intervall
ist die hauptsächliche räumliche
Ausdehnung des Wellenpaketes.
Je kleiner
, d.h. je scharfer die Werte von definiert, desto
grösser die räumliche Ausdehnung des Teilchens.
Es existiert die Beziehung
. Daraus folgt die
Heisenberg’sche Unschärferelation:
(
)
|
(
)
Der Erwartungswert des Wellenpakets bewegt sich klassisch
Ansatz einer Helmholtz-Gleichung für den zeitunabh. Teil:
(⃗ )
( ⃗)
( ⃗) ⃗⃗ ( ⃗)
⃗⃗
Weiters gilt die De-Broglie Hypothese
.
Somit lautet die zeitunabh. Schrödingergleichung für ( ⃗):
( ⃗)
Setzt man
( ⃗)
( ⃗)
so erhält man die zeitabh. Schrödinger-Gl.:
(⃗ )
| ( ⃗ )|
Beispiel: Erwartungswert von ⃗ für freie De-Broglie-Teilchen:
⟨ ⃗⟩
.
/. Das bedeutet, dass das
∫ ⃗
Teilchen innerhalb
(
POSTULAT: SCHRÖDINGE RGLEI CHUNG
* +
Erwartungswert oder Mittelwert:
∫ ( ⃗)| ( ⃗ )|
⟨ ( ⃗)⟩ ( ⃗ )
∫ | ( ⃗ )|
Spitzen bei
Wellenlänge:
Dies folgt aus der Bedingung
( ⃗) ( ⃗) ( ⃗)
( ⃗) ( ⃗)
⃗⃗
Stromdichte beträgt
. In der QM: ‖ ‖
⟨ ⟩
KOROL LAR ZUM BORN-POSTUL AT
Wahrscheinlichkeitsdichte:
( ⃗)
( ⃗)
........ blabla .......
Dadurch ergeben sich mögliche ⃗⃗-Werte des Systems:
kann so gewäht werden, dass ebene Wellen in
⃗⃗
(⃗⃗ ⃗
)
( ⃗⃗)
⃗⃗ ( ⃗ )
√
( ⃗)
∫
BSP: WELLENPACKET
Wellenf. eines freinen Teilchens: ( ⃗ )
Normierung: Kasten mit Volumen und den Randbed.:
Balmer Serie (Frequenzen der Spektrallinien des H-Atoms):
/ mit
| ⃗|
Klassisch:
(⃗⃗ ⃗
BSP: FREIES TEILCHEN
ATOMSPEKTREN
.
Wellenfunktion für freie Teilchen:
(⃗ )
⃗⃗
Nach de Broglie:
⃗
( ⃗))
Norm: ‖ ‖ ∫ ( ⃗)
Erwartungswert:
∫
⟨ ( ⃗)⟩
∫
POSTULAT: DE BROGLIE: WELLENFUNKT ION
KONSTANTEN
Mit
Bsp:
( ( ⃗)
Bsp De-Broglie „Welle“:
(⃗
Das ist keine Wellengleichung!
(⃗ )
Zusammen mit ( ⃗ )
W-keitsstromdichte:
⃗( ⃗ )
Für ⃗ und
(
gilt:
(⃗
⃗⃗ ⃗
)⃗⃗ ( ⃗ )
)
( ⃗) ( ⃗ )
( ⃗ ) erhält man die
.⃗⃗ ( ⃗ )/
( ⃗ ))
Stationäre Zustände eines freien Teilchens im Kasten
⃗⃗ und die EW-Gl. ⃗⃗ ( ⃗)
( ⃗)
Dabei ist
Gl. wie harm. Oszillator, deshalb sind Lsg. De-Broglie-Wellen.
Die mögl. EW sind durch die period. Randbedingungen best.:
⃗⃗
(
) ⃗⃗
POSTULAT: PHILOSOPHI SCHES
Die Menge aller hermiteschen Operatorn bilden die
Observablen eines QM-Systems.
Bem.: Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind
diskret und reell
Das Resultat einer Messung einer Observablen (z.B. Energie,
Dreh- & Impuls, Spin, ...) ist einer von den Eigenwerten.
Das System nimmt aufgrund einer Messung den dazugehörigen
Eigenzustand an. (Jump-Postulat)
POSTULAT X XXXX:
(
ein
) ∑
)|
|(
Das Resultat einer Messung ist
)| ist die W-keit zu messen.
. |(
POSTULAT 5
- Hermitesche Opertoren stellen die Observablen das.
- Die Eigenwerte sind die möglichen Messwerte.
̂
* +
Dabei ist ein EW und
die entsprechende Eigenfunktion.
)|
( ̂ ) ∑ |(
- Das Resultat einer Messung ist
- Die W-keit zu messen ist |(
) ist die Ampiltude.
-(
.
)|
Wellengleichungen:
EINDIMENSIONALE PROB LEME
Stationäre Zustände eines Teilchens im äusseren Potentialfeld:
[
und
( ⃗))] ( ⃗)
(
bzw.
müssen stetig sein.
( )
( )
Im ebenen Potential: ( )
√
(
)⁄
(
KASTEN MIT UNDURCHLÄ SIGEN WÄNDEN
im Potentialtopf:
( )
Energie Eigenwerte
PDE:
0
. /
( )
.
.
RB anwenden:
∫
{
Zwei Lösungssätze:
⁄
⁄
(
/
.
/
.
| |
| |
)
/
.
/
(
( )
)
(
.
(
)
(
)
(
)
(
)
√
/
)
√
.
Anwendung:
Bem.: Energieniveaus haben eine Unschärfe von ca.
Molekülen.
.
/
( ))
(
(| |
/
(.
√
/
in
⟨ ⟩) ⟩
√⟨(
⟨ ⟩) ⟩
, weil ⃗ ⃗⃗( ⃗ ⃗⃗)
mit Spin des Elektrons, falls es existiert.
)-Werte für
Schrödinger: (
in Gegensatz Schrödinger
| |
√
| |
√ (
(
-fach entartet
mit Hauptquantenzahl
für das H-Atom
(
Die zeitunabh. Schrödingergleichung lautet:
) ( )
⏟
∫ | ( )|
( )
)
( )
√
(
)
( )
(
)
(Potenzreihenansatz)
)(
)
( ) ∑
(
∑ ,
(
)(
)
zwei Klassen: mit oder ohne Vorzeichenwechsel (Parität)
∑
Aus Tabelle:
Also gilt:
Lösung des Problems:
( )→
(
)
| |
( )
Ansatz:
Daraus folgt:
Ansatz für ( ):
Aus der DG:
(
)Daher:
REPETITION LICHTWELL EN
blablabla
Energie der stat. Zustände im H-Atom:
| |
(
Spin des Elektrons ist
( )
Für den eindimensionalen harm. Oszillator gilt:
Variablensubstitution:
(
)
( )
Stern-Gerlach Experiment:
|
DAS WASSERSTOFFATOM
Gesucht sind Lösungen der SG, die quadratisch integrierbar:
Schrödingergleichungen dieser Situation:
ATOME, MOLEKÜLE, FES TKÖRPER
)
( )]
QM HARMOMISCHER OSZI LLAT OR
( )
(
)
|
: reflektierter Strom
Reflexionskoeffizient:
TUNNELEFFEKT
⏟
/
)
HEISENBERG’SCHE UNSC HÄRFERELATION
| | )
Durchlasskoeffizient:
Bem.: RB bei H-Atom: Wellenfkt verschwindet genügen schnell.
( )
.
(
, Ry: Rydberg, Ha: ???
Coulomb-Potential bleigt:
sind quantisiert.
Vollständige Wellenfunktion:
)
)
mit : einfallender Strom,
Neue Terminologie:
Die möglichen Energieniveaus
( )
(
Beim H-Atom:
Heisenberg’sche Unschärferelation:
( )
[
oder
√
(
)
(
Diskrete Energieniveaus:
(
) (
)
: Potenzstop, : Drehimp.-QZ, Haupt-QZ:
Die Normierbarkeit erzwingt eine Diskretisierung.
Eigenfunktionen zu :
Stromdichten:
/
Daraus folgt:
und
( )
)
√⟨(
/
| ( )|
.
(
)
( )
( )
das hermitesche Polynom -ten Grades:
mit
)
(
,
Die dazugehörige Eigenfunktion ist:
)⁄
(
)
| |
| |
1 ( )
. /
( )
Lösung:
(
√
??????:
Lösungen:
Gesucht:
RB:
(
)
(
( )
Masse
Wenn wir bei irgendeinem stoppen, also irgendein
so ergibt sich eine Quantisierung. und jeder 2. Koeff. =0
( )
( )
( )
⁄ und
√
mit
Randbedingungen Übergange:
)
(
√
)
Rydberg
)(
(
)
)
(
Ha
( ))
(
)
mit
Quantenzahlen:
: Hauptquantenzahl, Energie
: Bahn-Drehimpuls, Form
: magn. Drehimpuls, Orientierung
Wellenfunktion:
Bedeutung der Quantenzahlen:
(
)
Es gelten: . ⃗⃗̂/
(
und
) sind die mögl. EW des Quadrates des Drehimpulses.
sind die möglichen EW der -Komponente des
Drehimpulses, die sogenannten „magn. Quantenzahlen)
⃗⃗
Bem.: ⃗⃗̂ ̂⃗ ⃗̂ ⃗̂
Wieso sind Orbitale Überlagerungen von Kugelfunktioen?
) (
)
(
)
Bsp.: ⟨ | | ⟩ (
ENERGIE IM H-ATOM
)
( )
( )
∫ ∫
| | Kreiswellenzahl:
Intensität:
(evtl. ergänzen, Physik I S. 118)
Kirchhoff’sche Näherung = sehr weit weg
MATH
.
Laplace Operator:
mit
0
( )
.
( )
/
/
( )
Hermitescher Operator: wenn (
)
∑
Erwartungswert:
Bedingungen Skalarprodukt:
( ⃗⃗ ⃗ )
1. ( ⃗⃗ ⃗
⃗ )
( ⃗ ⃗⃗)
( ⃗⃗ ⃗)
3. ( ⃗⃗ ⃗⃗)
( ⃗⃗ ⃗ )
TIPPS SERIE 2
̂ : Operator stellt Messgrösse dar.
Bsp.: ̂
̂
̂
̂
̂
(Eigenwertgleichung)
: Eigenwert
: Eigenfunktion zum Eigenwert
A4: Skalarprodukt
Für Vektoren: ( ⃗⃗ ⃗)
∑
1
(
)
Für Funktionen: ( (
) (
)))
(
∫
) (
)
A5: Hermitescher Operator
( ̂ ) (̂
) Matrix symmetrisch
.
/
∫
⁄
⁄
( ) 0
. /
.
̂ )
∫ (
√
( )
∫ 0
10
√
1
√
/
√
(
√
√
A6: Messwrte immer reell
EW von hermiteschen Operator immer reell.
Sei ̂
̂ ) (
)
(
(̂
)
√
(
⏟ (
⟨ ⟩̂
(
))
)
√
⏟ (
√
∑| |
(
√
)
√
|
(
)
(
VORBESPRECHUNG SERIE 6
))
Aufgabe 1:
Energieniveaus von H:
Übergang
√
|
√
|
(
)
√
A1: Schrödingerleichung für Teilchen im konst. Potential
Lsg: ( )
Wahrscheinlichkeit den Wert zu messen: | |
also (
) (
)
Mittelwert: ⟨ ̂ ⟩
( ̂ ) (
| |
) | |
a: Messwerte, c: W-keiten d. Messw.
(
A1: ⟨ ⟩
)
(
)
(
)
∫
∫ (
)(
)
∫ (
(
( )
(
∫ (
)
)(
)
)
∫ ̇
Hier:
∫
∫ ( )
∫ ( )
)
∫ ⃗
(
√
⃗
.
| |
(
/
.
| |
Transmission:
.
)
(
/
/
Impuls: ̂
( ))
Entwicklung nach Eigenfunktionen.
Das EF: ( ̂
)
( )
⟨ ⟩̂
Zust.-vektor (
| |
∑| |
Zustandsfkt
(
) ?!?!?!
̂
( ̂ ) ∫
( )
Parität ̂ : Raumspiegelung: ̂ ( )
Eigenwerte: 1 (gerade Funktionen), -1 (ungerade Funktionen)
Gegeben: Zustandf.
√
√
√
1. Berechnung von ⟨ ⟩ ̂ aus Zustandsfunktion:
)
(
)
(
) ( )
̂
̂
( )
(
)
sei -fach entartet:
̂
̂
(
) sind Basis des Eigenraums zum Eigenwert
(d.h.
sind linear unabhängig und falls eine Eigenfunktion
mit Eigenwert ist, dann gibt es Koeffizienten
mit
Aufgabe 1: Spezialfall: Ein Eigenraum ist nicht entartet
̂
. Falls eine Eigenfunktion mit EW ist, dann gibt
es einen Koeffizienten mit
.
Aufgabe 2: Integralformeln
∫
∫
/ ( )
.
Lsg. 1D HO:
:
)
.
(
/
Schrödingergleichung: ̂ (
Aufgabe 4:
)
(
̂
̂
)
)
̂
̂
Schrödingergleichung: ̂ ( )
Eindeutigkeitsbedingung: ( )
( )
(
)
√
√
Zeitabhängige Schrödingergleichung
(
Zustandsfunktion
Zustandsvektor
̂
(
)( )
Zweizustandsproblem:
(
)(
)
(
)
Eigenwertbestimmung:
(
)
Eigenvektoren: Einsetzen der Eigenwerte in die
Ausgangsgleichung.
Berechnung der
⟨ | ̂| ⟩
Aufgabe A1b: Taylorentwicklung: √
Aufgabe 2:
)
(
.
, Spin down
/
. / (denn ̂
), Spindown:
. /
Pauli-Spinmatrizen:
Die Koordinaten ̂ und ̂ sind nicht messbar, aber man
benötigt dennoch Operatoren für Erwartungswertbestimmung,
̂
̂
̂
̂ , Bestimmung von Energie
Bestimmung von ⃗
⃗̂ ⃗⃗).
im Magnetfeld ( ̂
̂
(̂ )
̂
.
/
.
/
/)
(.
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Bsp: ⃗
oder auch ⃗ ⃗⃗
Aufgabe 3:
Ein Elektronenzustand ist eindeutig bestimmt durch 4
Quantenzahlen:
Für Hauptquantenzahl : Mögliche
⏟ ⏟ ⏟
( )
, J:Drehimpuls, I: Trägheitsmoment
- QM Translation:
Spin up:
⃗̂
/
2D harm. Osz.: ̂
- Klassisch Rotation:
SERIE 5
Entartung:
Ein Eigenwert
Aufgabe 3:
Sei ̂ ein Operator nur abhängig von , ...
̂ (
) ̂ (
)
(
Eigenwertproblem:
( )
( ) ( )
Separationsansatz:
̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( )
( ) ( )
̂ ( ) ̂ ( )
( )
( )
̂ ( )
( ) ̂ ( )
( )
Matrixschreibweise: ̂
TIPPS SERIE 7
Drehimpuls: ̂
NACHBESPRECHUNG SERI E 3
Zweizustandsproblem. Spin up
Wellenlänge
Aufgabe 2:
Eigenfunktionen zum Drehimpulsoperator: Kugelfl.-Funkt.
⃗̂
̂
̂
(
)
- Klassisch Translation:
)
Komplex-konjug. Schrödinger-Gl. gilt imer auch:
(
Spezialfall: Eigendrehimpuls von Elektronen (Spin) ist ein
- QM Rotation:
⃗⃗ ( ⃗)
( )
/
1D harm. Oszillator: .
)
A3: Drehimpulsoperator
( ⃗) ⃗ ( ⃗)
Ort: ̂
( ))
(
√
Reflexion:
⃗
⃗
∫
(Wahrscheinlichkeit)
)
( )
(keine li-laufende Welle(=Reflexion) mögl.)
Stetigkeitsbedingungen:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
A3: Kontinuitätsgleichung
̇
( )
(
√
⏟
( )
Trick:
∫
⏟
)
( )
( ) ( )
∫
(
√
Potentialbarriere (überall 0, ausser auf Interval um 0):
Bereich 1: links, Bereich 2: im Potential, Bereich 3: rechts
( ) ( )
∫
) ( )
(
.
:
̂
(̂ )
̂
Gleichzeitige Messung von ̂ ̂ ̂ nicht mögl.
es gibt kein
gemeinsames VONS
Die Komponenten kommutieren nicht.
̂
Stattdessen: Messung einer Koordinate von ⃗ (Konvention:
Betrachtung des z-Koordinate) ̂ und ⃗̂ .
Frequenz:
VORBESPRECHUNG SERIE 4
Zu jedem Operator ̂ gibt es eine orthonormierte Basis von
Eigenfunktionen. (
) mit (
)
Entwicklung nach Eigenfunktionen.
̂
Drehimpuls ist ein Vektoroperator ⃗
√
∫
)
|
√
√
)
√
√
∫
) ̂(
√
)
√
∫(
2. ... aus Zustandsvektor;
( )1
|
⏟
(
⟨ ⟩̂
)
Für Drehimpulsquantenzahl : Mögliche
Mögliche :
Pauli-Prinzip: pro Zustand ist nur ein Elektron erlaubt.
Schalenmodell: Schale
Schale
Elektronen in Schale
#Elektronen total
1s (n=1,l=0)
2
2
2s (n=2,l=0)
2
4
2p (n=2,l=1)
6 (m=-1,0,1, s=-1,1)
10
3s (n=3,l=0)
2
12
3p
6
18
4s
2
20
3d
10
30
4p
6
36
5s
2
38
4d
10
48
5p
6
54
6s
2
70
4f
14
68
5d
10
80
Weiter ginge es mit
Bsp: Argon (Z=18). Konfiguration:
VORBESPRECHUNG SERIE 8
Aufgabe 1:
Periodische Randbedingung einführen (Ring-Anordnung)
Sei
die -Grundzustandsfunktion um den Kreis .
Gesamtlösung: (Tight-Binding-Approximation)
√
∑
: Anzahl Protonen
Insgesamt
versch. Lösungen (wegen Spin)
( )
Zugehörige Energien:
Betrachte Elektronen in einem
-Molekül.
Auffüllen der Energieniveaus nach Schalenmodell.
(Beginnen mit kleinster Energie, Pauli-Prinzip (2 pro Niveau))
Wichtig:
entspricht nicht der Reihenfolge der
Energiezustände.
Meist
(negativ)
Aufgabe 2:
Aufgabe: Berechne: (
) und (
Wassstoff
im konst. B-Feld: (
(
)
(
(
) )
weil keine Winkelabhängigkeit im
(
mit : Anzahl Elektronen, : Anzahl Protonen
„normalisierte Bindungsenergie“
Zu zeigen:
und
besonders stabil
Aufgabe 3: Ritz’sche Ungleichung
∫
VORBESPRECHUNG SERIE 9
Aufgabe 1: 2-Niveau-System
. /
Definiere:
Gegeben: (
̂ )
(
̂
. /
)
(
̂
̂
(
)
(
)
)
a) Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen.
( )
( )
b) Zeitabhängige SG:
( )
( )
Zeitunabhängige SG:
Lösung der ZASG ist trivial, wenn ZUSG gelöst ist.
( ) mit EW
Sei ( )
Lösung der ZUSG.
)
( )
AB: Der Anfangszust. sei gegeben: (
(meist ein bestimmter Eigenzustand)
Lösung der ZASG:
( )
( )
Zeitabhängige Entwicklungskoeffizienten:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
mit ( )
, ...
Wahrscheinlichkeit zur Zeit den Zustand zu messen:
( ) | ( )|.
Aufgabe 2:
Ladung im EM Feld. Herleitung Hamiltonian:
⏟⃗
(⃗
mit ⃗⃗
Spezialfall:
(⃗
(
)
)
⏟
⃗ und ⃗⃗
⃗
(⃗
⃗⃗))
⃗⃗
(⃗
⃗⃗
⏟
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗)
⃗) ⃗⃗
(⃗
⏟
(
)
)
(
) für
)
)
(
(
)
-Zustand.
)
(
)
ZFSG KRIEGER-SKRIPT
MATHEMATISCHE GRUNDL AGEN
GRUND BEGRIFFE & AXI O ME
Hilbertraum: Vektoren: | ⟩
, unendlichdimensional,
normierbar (⟨ | ⟩
). Ein Zustandsraum ist ein Unterraum
von , auf dem die relevanten Zustandsvektoren leben.
Observablen & Operatoren: Jede physikalische Observable
wird durch einen hermite’schen Operator ̂ beschrieben, der in
wirkt. Dessen Eigenwerte sind reell.
Messungen & Eigenwerte: Jede Messung einer Observablen
kann nur einen Eigenwert des Operators ̂ liefern.
| ⟩ die
Messung & W’keit: Sei eine Observablen und
Eigenwerte und Eigenvektoren zum entspr. Operator ̂ . Wird
dann eines normierten Zustandes | ⟩ gemessen, so misst
man mit der W’keit ( ) den Eigenwert :
( ) |⟨ | ⟩|
Ist der EW
-fach entartet, so gilt mit den Eigenvektoren
| ⟩
:
( ) ∑ |⟨ | ⟩|
Für ein kontinuierliches, nicht entartetes Spektrum gilt: Die
- zu messen ist:
W’keit das System im Intervall ,
( ) ⟨ | ⟩
Wechselwirkung der Messung: Nach einer Messung der
Zustandes | ⟩, die als nicht-entarteten EW (EV: | ⟩) ergab, ist
das System im Zustand | ⟩. Ist der EW entartet, so befindet
sich das System in einem Zustand des Eigenraums zu .
Zeitliche Entwicklung: Ein System sei durch den HamiltonOperator ̂ beschrieben. Dann ist die zeitlich Entwicklung
gegeben durch folgende DGL:
| ( )⟩
̂ ( )| ( )⟩
Korrespondenzprinzip: Sei eine Observable der klassischen
Mechanik. Dann lässt sich der Operator ̂ der QM konstruieren:
1. Der Ortsvektor ⃗ wird durch den Ortsoperator ̂ ersetzt.
2. Der Impulsvektor ⃗ wird durch den Impulsop. ̂ ersetzt.
3. Aus einer Phasenraumintegration wird eine Spurbildung.
HILBERTRAUM
Skalarprodukt:
⟨ | ⟩
∫ ( ⃗) ( ⃗) ⃗
Rechenregeln zum Skalarprodukt:
⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩
⟨ | ⟩
| ⟩ | ⟩
⟨ |
⟩
⟨ | ⟩
⟨ | ⟩
⟨
| ⟩
⟨ | ⟩
⟨ | ⟩
|⟨ | ⟩| √⟨ | ⟩√⟨ | ⟩
⟨ | ⟩
Normierungsbedingung:
(⃗ ) (⃗ ) ⃗
∫ | ( ⃗ )| ⃗ ∫
Rechenregel für Hilbertraum:
(| ⟩ )
⟨ |
⟨ |
⟨ | | ⟩
Orthonormierung: Eine Familie | ⟩
( : abzählbare
Indexmenge) von Vektoren ist orthonormiert, wenn:
⟨ | ⟩
Basis: Eine Familie v. Vektoren ist eine Basis von , wenn:
| ⟩ ∑
| ⟩
Komplexe Koeffizienten :
⟨ | ⟩ ∫ ( ⃗) ( ⃗) ⃗
Skalarprodukt zweier Vektoren:
| ⟩ ∑ | ⟩ und | ⟩ ∑ | ⟩, dann:
Sei | ⟩ | ⟩
⟨ | ⟩ ∑
und ⟨ | ⟩ ∑ | |
Vollständigkeitsrelation:
Sei *| ⟩+
eine orthonormierte Basis, dann gilt:
| ⟩ ∑ | ⟩ ∑ ⟨ | ⟩| ⟩ (∑ | ⟩⟨ |)| ⟩
| ⟩
(⃗ ⃗ )
∑ | ⟩⟨ |
∑ ( ⃗) ( ⃗ )
In Worten: Erfüllt eine orthonormierte Funktionenmenge
*| ⟩ +
die Vollständigkeitsrelation, dann bildet sie dis
Basis des . Umgekehrt gilt: jede Basis des erfüllt die VR.
Orthonormierte, kontinuierliche Basis:
Eine durch den kontin. Index gekennzeichnete Funktionenmenge * ( ⃗)+ heisst orthonorm. kontin. Basis, wenn gilt:
(
)
⟨
⟩
∫ ( ⃗) ( ⃗) ⃗
Sie genügt damit der Vollständigkeitsrelation.
Übersicht:
Diskrete Basis *| ⟩+
Kontin. Basis * +
⟨
⟩
Orthonorm.
⟨ | ⟩
(
)
∫
Vollst.-Rel.
∑ | ⟩⟨ |
(⃗ ⃗ )
| ⟩ ∑ | ⟩
∫ ( )
Entwicklung
⟨ | ⟩
( ) (
)
(
)
⟨ | ⟩ ∑
Skalarprod.
∫ ( ) ( )
OPERATOREN AUF
̂ | ⟩.
Lineare Operatoren: | ⟩
̂| ⟩
| ⟩)
- Es gilt Linearität: ̂ ( | ⟩
- Produkt = Verkettung (i.A. nicht kommut.): ̂ ̂ | ⟩
Kommutator:
̂̂ ̂ ̂
̂ ̂
[ ̂ ̂]
[ ̂ ̂]
̂| ⟩
̂ ( ̂ | ⟩)
[ ̂ ̂]
[ ̂ ̂]
[ ̂ ̂ ], lin. im 2. Arg., [ ̂ ̂ ]
[̂ ̂ ]
Vertauschung: ein Op ̂ vertauscht mit jeder Op.-Funkt. ( ̂ )
[ ̂ ( ̂ )]
[ ̂ ̂]
[ ̂ ( ̂ )]
Antikommutator:
̂̂ ̂ ̂
{ ̂ ̂}
Hermite’sche Konjugation: Es gilt für einen belieb. Operator ̂ :
̂| ⟩
| ⟩
⟨ | ⟨ |̂
⟨̂ | ⟨ |̂
⟨ |̂ | ⟩
(̂
⟨ | ̂| ⟩
̂)
̂
(̂ )
̂
( ̂)
̂ ̂
̂
̂
( ̂ ̂)
Hermite’sche Operatoren – Definition: Ein Operator ̂ ist
̂ . Eigenschaften:
hermite’sche (=selbstadjungiert), wenn ̂
EW reell, EV orthog., ⟨ | ̂ | ⟩ ⟨ | ̂ | ⟩ ⟨ ̂ | ⟩ ⟨ | ̂ ⟩
Hermite’sche Operatoren – Zerlegung von Op-Produkten:
̂̂
̂ ̂ ̂ ̂)
̂ ̂ ̂ ̂)
⏟(
⏟(
-
Es gilt für die Teile: ( ̂ ̂
̂ ̂
und ( ̂ ̂ ̂ ̂ )
̂ ̂)
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂̂
̂ ̂
( ̂ ̂ ̂ ̂)
̂
Für die anti-hermite’schen Op gilt: EW imaginär, ̂
Hermite’sche Operatoren – Observable:Ein hermite’scher
Operator ̂ ist eine Observable, wenn seine EV eine Basis bilden
Unitäre Operatoren: Ein Operator ̂ heisst unitär, wenn:
̂
̂
̂ ̂
̂̂
Operatorfunktionen: Definition als Potenzreihe:
̂ . Es gelten die Regeln des Kommutators.
( ̂) ∑
| ⟩ die Eigenwertgleichung zu ̂ . Dann gilt:
Sei nun ̂ | ⟩
( )| ⟩. Die EV sind dieselben wie für ̂ .
( ̂ )| ⟩
Ableitung von Operatoren: Wie gewohnt, auch linear.
Spur eines Operators:
( ̂ ) ∑ ⟨ | ̂ | ⟩. Dabei ist *| ⟩+
eine beliebige (günstig zu wählende) Basis.
Es gilt:
( ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂)
DARSTELLUNGSTHEORIE
| ⟩ (⟨ | ⟩
⟨ | ⟩)
⟨ |
Jeder Op ̂ kann bzgl. der Basis *| ⟩+
Matrix über dargestellt werden:
Basiswechsel: blabla
(⟨ |
⟩
⟨ | ̂| ⟩
⟨ |
als
⟩)
-
EIGENWERTGLEICHUNG
ERWARTUNGSWERT & STA NDARDABWEICH.
Erwartungswerte einer Observablen :
⟨ | ̂ | ⟩ ∫ ( ⃗) ̂ ( ⃗) ⃗
⟨ ̂⟩
⟨ | ⟩
∫ ( ⃗) ( ⃗) ⃗
Standardabweichung einer Observablen:
√⟨( ̂
⟨ ̂ ⟩) ⟩
Ist | ⟩ ein Eigenvektor zu ̂ , so gilt
KONJUGIE RTE OPERATOR EN
Definition: Zwei Operatoren sind konjugiert, wenn:
[̂ ̂ ] [̂ ̂ ]
[̂ ̂ ]
blabla
PROJEKTOREN
Ein Projektor hat Form und Eigenschaften, wie folgt:
̂
̂
̂
| ⟩⟨ |
TRANSLATIONSOPERATOR
̂| ⟩
| ⟩
Die Eigenwerte sind Lösungen von
(
)
.
Kontinuierliche EW: Sind ̂ ̂ hermitesch mit [ ̂ ̂ ]
, dann
ist das Spektrum (Menge der EW) kontinuierlich, also * +
EV kommut. Observablen: Sei [ ̂ ̂ ]
, so folgt aus der EW| ⟩, dass auch ̂ | ⟩ ein EV von ̂ zum EW ist:
Gl. ̂ | ⟩
̂ ( ̂ | ⟩)
( ̂ | ⟩)
Wirkung kommutierender Observablen auf Eigenräume:
Wenn [ ̂ ̂ ]
, dann ist jeder Eigenraum von ̂ gegenüber
der Wirkung von ̂ invariant.
Kommutierende Observablen & Basen: Sei [ ̂ ̂ ]
, so kann
man aus ihren gemeinsamen Eigenvektoren | ⟩ eine
orthonormierte Basis des Zustandsraumes konstruieren.
Für | ⟩ gilt: ̂ | ⟩
| ⟩ und ̂ | ⟩
| ⟩
Vollständiger Satz kommutierender Observablen:
blabla
̂
| ⃗⟩
Für die Eigenwerte gilt dann: ̂ | ⃗⟩
Der Impulsoperator ̂ (in Impulsdarstellung):
̂ | ⃗⟩
⟨ ⃗| ⟩
| ⃗⟩
⟨ ⃗| ̂ | ⟩
⃗⃗⟨ ⃗| ⟩
⃗⃗ ( ⃗)
In der Ortsdarstellung: ⟨ ⃗| ̂ | ⟩
√⟨ ̂ ⟩
⟨ ̂⟩
̂
TENSORPRODUKT V ON ZU STANDSRÄUMEN
blabla
PARITÄTSOPERATOR
) (
)
Parität: ⃗
⃗. In Kugel-Koord.: (
Definition Paritätsoperator:
̂ | ⃗⟩ | ⃗⟩
(⃗ ⃗ )
⟨ ⃗| ̂ | ⃗ ⟩ ⟨ ⃗| ⃗ ⟩
Eigenschaften: hermitesch und unitär
̂
̂ ̂
̂
( ))
Eigenraum zu EW
: gerade Funktionen ( ( )
( ))
Eigenraum zu EW
: ungerade Funktionen ( ( )
̂̂
̂̂
Vertauschungsrel.: ̂ ̂ ̂ ̂
DICHTEOPERATOR
blabla, left to the reader as an exercise xD
WICHTIGE SÄTZE DER Q UANTENMECHANIK
SCHRÖDINGERGLEICHUNG
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: (linear!)
̂
̂ der Hamilton-Operator, dann:
Sei ̂
̂| ⟩
| ⟩
̂
WICHTIGE OPERATOREN
ORTS- & IMPULSOPERATOR
Ortsdarstellung:
(⃗ )
⟨ ⃗ | ⟩ ∫ ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗) ⃗
Impulsdarstellung: Gibt die W’keitsverteil. im Impulsraum an.
⃗ ⃗
(⃗ )
, ( ⃗)∫ ( ⃗)
⃗
√
̂
Der Ortsoperator (in Ortsdarstellung):
̂ ( )
( )
⟨ ⃗| ⟩
⟨ ⃗| ̂ | ⟩
⟨⃗ | ⟩
/| ⟩
.
Zeitabhängige Schrödingergleichung:
| ( )⟩
blabla
)| ⟩
(⏟
̂ ( )| ( )⟩
̂
| ( )⟩
)
Zeitentwicklungsoperator (Propagator): ̂ (
Superpositionsprinzip: (auch für zeitabh. SG)
| ⟩
| ⟩
| ⟩
Wahrscheinlichkeitsdichte:
( ⃗ ) | ( ⃗ )|
|⟨ ⃗| ⟩|
Wahrscheinlichkeitsstromdichtevektor:
⃗( ⃗ )
[
⃗⃗
Kontinuitätsgleichung:
(⃗ )
ERHALTUNGSGRÖSSEN
⃗⃗
]
⃗( ⃗ )
(
(
| ⟩
)
| ( )⟩
̂
(
. ⃗⃗ /)
)
Der Erwartungswert eines Operators ist erhalten, wenn er mit
dem Hamilton-Operator vertauscht:
[ ̂ ̂]
⟨ ̂⟩
UNSCHÄRFERELATION
Allgemeine Unschärferelation:
Seien
zwei beliebige Observable, dann gilt:
̂
̂
Der unitäre Operator ̂ ( ) (
̂( )(
Energie-Zeit-Unschärfe:
|
̂
̂
mit
⟨ ̂⟩
Folgerung: kurzzeitige Verletzung der Energierhaltung möglich.
SATZ VON EHRENFEST
Sei der Hamiltonian wie folgt: ̂
⃗⃗̂
̂
. ⃗/
̂
̂
Weil ̂ zeitunabhängig, kann man ⃗ und ⃗⃗ durch ihre
̂
Kommutatoren mit ausdrücken. Dann ist Ort und Impuls
ähnlich der klassischen Mechanik:
⟨ ̂⃗ ⟩
⟨ ⃗⃗̂⟩ und ⟨ ⃗⃗̂⟩
⟨⃗⃗ . ̂⃗ /⟩
Dies entspricht den klassischen Beziehungen:
⃗
⃗
⃗⃗ ( ⃗) und ⃗
⃗
VOLLST. SATZ K OMMUT. OBSERVA BLEN
Um einen Zustand vollständig zu präparieren, muss man an ihm
eine simultane Messung aller Observablen aus einem Satz
kommutierender Observabler messen. Diese Messung
bestimmt den Zustand des System ohne weitere Freiheitsgrade.
SATZ VON BL OCH, BL OC H-FUNKTIONEN
Sei ein Potential ( ) mit Periodizität gegeben ( ( )
(
)), dann haben Lösungen der stationären SG die Form:
( )
( )
(
)
mit ( )
INTERPRETATIONEN DER QUANTENMECHANIK
Schrödinger: Bisher würde das Schrödingerbild beschrieben.
)| ( )⟩ sei ein Zustand und
Heisenberg: Mit | ( )⟩ ̂ (
mit ̂ ein Operator im Schrödingerbild bezeichnet. Dann gilt
für das Heisenbergbild:
)| ( )⟩ | ( )⟩
| ⟩ ̂ (
̂
̂ (
) ̂ ̂(
)
Die Heisenberg-Zustände gehorchen folgenden Operatoren,
welche die Schrödingergleichung ersetzen:
̂
̂
̂ | ⟩
| ⟩
[̂ ̂ ]
Dirac/Wechselwirkung:
Aufspaltung der Schrödinger-Hamiltonian in zeitabhängigen
und zeitunabhängigen Term:
̂ ( ) ̂( ) ̂ ( )
̂( ) ̂ ( ) (
Fermionen: Sind im Raum
Zustände |
)
( )⟩
̂ ( )|
( )⟩
Man betrachte ein System von zwei Teilchen ohne Spin,
gegeben durch eine Wellenfunktion ( ⃗ ⃗ ).
(⃗ ⃗ )
| ( ⃗ ⃗ )| ⃗ ⃗
Unkorrelliertes Zweiteilchensystem:
Zwei unkorrelierte Teilch befinden sich in ⃗ und ⃗ . Sie werden
in den Ortsbasen ,| ⃗ ⟩- und ,| ⃗ ⟩- in den Einteilchenräumen
(⃗ ) ⟨⃗ | ⟩
⃗ und
⃗ durch Einzelwellenfunktionen
und ( ⃗ ) ⟨ ⃗ | ⟩ beschrieben. Der Zweiteilchenzustand
| ⟩ lässt sich nun als Produkt schreiben:
(⃗ ⃗ ) ⟨⃗ ⃗ | ⟩
(⃗ ) (⃗ )
| ⟩ | ⟩ | ⟩
+
∑ (
)
Phasenraumintegration
∬ ( ⃗) ( ⃗)
Stationäres Ensemble
*
+
Observable (Operator) ̂
Statistischer Operator ̂
Kommutator
[ ̂ ̂]
( ̂ ̂ ̂ ̂)
̂
̂
im potentialfreien Raum:
(
)
(
)
Lösung der SG (einfache Wellengleichung):
(
)
(
)
̂
()
⟩
|
()
⟩
ein
()
)
(
| ⟩ mit ̂
(
Eigenwerte:
beschreiben und
der Energieeigenwerte des Zustandes:
|
⟩
identisch: alle Quantenzahle gleich.
ununterscheidbar: z.B. nach einem Stoss zwischen zwei
Teilchen ist unklar (gleich wahrscheinlich) welches Teilchen wie
reflektiert wird.
Symmetrieeigenschaften ununterscheidbarer Teilchen:
blabla
Bosonen: Sind im Raum
der symmetrischen Vielteilchen-
√
̂)
(̂
̂)
̂) und ̂
(̂
(̂
√
.
√
̂)
/
-ter Zustand: ⟨ | ⟩
mit
.
⁄
/
⟨ | ⟩
(√
√
)
( ) das hermitesche Polynom, | ⟩
Explizite Formel: ( ) (
( )
Rekursive Formel:
Regel Integration: ∫ ( )
⟨ | ̂| ⟩
)
)
(̂ ) | ⟩
√
⁄
√(
⁄
( )
( )
( )
( )
Regel Differentiation:
Herm. Polyn. sind part. Lsg. zu
( )
3D HARMONISCHER OSZI LLATOR
)
POLARISIERTE PHOTONE N
|
|
̂
( ⃗⃗
̂
̂ )
(̂
̂
̂ )
| ⟩ | ⟩| ⟩| ⟩
Die Eigenzustände sind entartet!
Für n=0: 1-fach, n=1: 3-fach, n=2: 6-fach, ...
GELADENER HARMONISCH ER OSZILLATOR
DICHTEMATRIX -DARSTELLUNG
Das Teilchan habe Ladung und sei im E-Feld
Zusätzliche potentielle Energie: ( )
̂
̂
̂
Hamilton-Op: ̂
AUFEINANDERFOLGENDE MESS UNGEN
Quadr. ergänzen: ̂
̂
Verschobener Op. einf.: ̂
⟩. Das sind identische Teilchen mit ganzzahligem
Spin. Z.B.: Photonen, Phononen, -Teilchen, ...
Alle Bosonen sind symmetr. unter beliebigen Permutationen
̂ | ( )⟩ | ( )⟩
√
̂, ̂
√
(̂
HERMITE’SCHE POLYNOM E
)
(
√
Grundzustand: ⟨ | ⟩
)
INTERFERENZEFFEKTE
⟩
( )
Besetzungszahloperator: ̂
̂ ̂
Die Operatoren ̂ ̂ sind nicht hermitesch:
,̂ ̂ - ̂ ̂
̂ ̂ ̂̂
̂
Kommutatorrelationen beim harmonischen Oszillator:
,̂ ̂ , ̂ ̂,̂ ̂ - ̂
̂
Lösung der harmonischen Oszillators:
Eigenwerte:
mit
und
. Das ist nicht normierbar
Superposition von ebenen Wellen:
ZWEIZUSTANDSSYSTEM E
[ ̂ ̂]
vollständiger Satz von Quantenzahlen, die den Zustand |
( )
und Energie
TEILCHEN IM KASTEN & POTENTIALSTUFEN
dem Hamilton-Operator des -ten Teilchens,
Zustände |
̂ /| ⟩
FREIES TEILCHEN
DELTA-POTENTIAL
Spurbildung
( )
()
Annahme: gelöstes Einteilchenproblem; ̂ |
Mit
.̂
Daraus folgt: ̂
√
( )
+
Ausgangslage:
∫ ( )
(
)
Damit ist Normierbarkeit erreichbar.
IDENTISCHE TEILCHEN
̂( )
*
und Absteigeoperator: ̂
Teil der Masse
:
Die Schrödingergleichung lautet also:
EINFACHE SYSTEME
(
KORRESPONDENZPRI NZIP
*
Hamilton-Operator: Ein Teilchen der Masse im
harmonischen Potential und schwingt mit Frequenz
̂
̂
⃗
Def: Aufsteigeoperator: ̂
ZWEITEILCHENZUSTÄNDE
Phasenraumfunktion ( ⃗ ⃗)
Dichteverteilungsf. ( ⃗ ⃗)
Poisson-Klammer
der antisymmetr. Vielteilchen-
⟩. Das sind identische Teilchen mit
Pauli-Prinzip:
blabla
Fock-Zustände:
blabla
̂ ( )
̂( )1
0̂
( )
halbbzahligem Spin. Z.B.: Elektronen, Protonen, Neutronen, ...
Alle Fermionen verhalten sich unter beliebigen Permutat. :
̂ | ( )⟩ ( ) | ( )⟩
den ergeben sich Zustände und Operatoren im diracbild zu:
)| ( )⟩
| ( )⟩ ̂ ( ) (
̂ ( ) ̂( ) (
) ̂ ̂( ) (
)
Die Pendants zu den Schrödingergleichungen sind hier:
|⟨[ ̂ ̂ ]⟩|
Folgerungen:
Man kann nur zwei kommutierende Observable gleichzeitig
beliebig genau messen.
̂
Für konjugierte Operatoren ([ ̂ ̂ ]
) gilt: ̂
) sei definiert als:
)
MACH-ZEHNDER-INTERFEROME TER
:
HARMONISCHER OSZILLA T OR
GRUNDLAGEN
DREHIMPULS
GRUNDLAGEN
.
/
̂
1 ( )
Somit: 0
Daraus folgt:
.̂
/
⃗⃗⃗⃗.
( )
̂
Bahndrehimpulsoperator:
̂⃗ ⃗⃗̂ mit ̂⃗ der Orts-Op und ⃗⃗̂
⃗⃗̂
⃗⃗ der Impuls-Op
Vertauschungsrelationen der Drehimpuls-Op:
̂
̂
̂
[̂ ̂ ]
[̂ ̂ ]
[̂ ̂ ]
Drehimpulsebetragsquadrat ⃗⃗̂ :
⃗⃗̂
̂
̂
̂
Auf- und Absteiger ̂
̂
̂
[̂ ̂ ]
[̂ ̂ ]
̂ :
̂
̂
̂
̂
(
(
(
√
)
)
)
(
( ): gibt die Form,
Legendre-Polynome
( )
(
die Orientierung
⟩ ̂ |
⟩
|
⟩
⟩ den gemeinsamen Eigenvektor der Operatoren
wobei |
⃗⃗̂ ̂ und ̂ bezeichnet. Dabei ist das Energieniveau (=EW
) von ⃗⃗̂ und
des Hamilton-Op), der Eigenwert (
der Eigenwert
.
SPIN ⁄
Eigenschaften der Operatoren ⃗⃗̂ ̂ ̂
̂ :
⟩ eine gemeinsamer Eigenvektor von ⃗⃗̂ und ̂ mit
Sei |
) und
den Eigenwerten (
1. Es gilt:
⟩ gilt:
2. Für ̂ |
̂ |
⟩
2a:
̂ |
⟩ ist Eigenvektor ungleich null zu
2b:
) und (
)
den Eigenwerten (
⟩ gilt:
3. Für ̂ |
̂ |
⟩
3a:
̂ |
⟩ ist Eigenvektor unlgeich null zu den
3b:
) und (
)
Eigenwerten (
4. kann nur ganz- oder halbzahlige, positive Werte
annehmen.
Ist ganz(halb-)zahlig, so ist auch ganz(halb-)zahlig.
Substitution: ( )
Definition: Halbzahliger Dremoment, also
der Operators ̂ . Es gilt die Konvention
̂| ⟩
̂ | ⟩
| ⟩
| ⟩
| ⟩
| ⟩
̂
| ⟩
. /
.
̂
/
| ⟩
. /
.
. /
̂
/
.
̂
̂
̂
̂
̂
̂
.
/
̂ | ⟩
̂ | ⟩
̂ | ⟩
| ⟩
| ⟩
Magn. Momente, Stern-Gerlach-Experiment:
/
.
/
̂ | ⟩
)
Randbed.: (
)
und 1D: ( )
)
)
/
⁄
√
√
√
:
+ ( )
( )
. Es folgen die „Bahnradien“
mit Bohrradius
EXPLIZITE LÖSUNGEN
Ofen mit ca. 1000K,
,
⃗, wobei gyromagn. Mom.
Magnetisches Moment: ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
Das führt zur potentiellen Energie
( ⃗ ⃗⃗)
⃗⃗
⃗⃗( ⃗⃗⃗ ⃗⃗)
⃗⃗( ⃗ ⃗⃗)
Auf die Atome wirkt Kraft ⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
und das Drehmoment ⃗⃗
( ⃗ ⃗⃗)
Termschema
Energie der stat. Zustände im H-Atom:
(
)
-fach entartet
mit Hauptquantenzahl
für das H-Atom
Rydberg
Ha
-Zustand,
-Zustand, ... d, f, ...
⃗
⟩
⟨
(⃗
⟩
⃗⃗), also eine Präzession um z-Achse
folgt: ⃗
⃗⃗(
)
⃗⃗
Damit ergeben sich die Lösungen:
(
⟨ ⃗|
⟩
⁄(
(
ADDITION V ON DREHIMP ULSEN
)
Termschema:
)
)
∑
(
)
(
(
)
mit den Koeffizienten:
(
) ( )
(
(
)
)
)
ZEEMAN-EFFEKT
̂
̂
Selbe Eigenfunktionen wie ̂
̂
̂
, aber andere EW:
Die Entartung des EW wird dabei aufgehoben!
FESTKÖRPERPHYSIK
):
(
.
⁄
/
)
Es ergeben sich auch die Energien
Es gilt
(Quantenzahl), glaube ich...
Lösung mit Potenzreihenansatz
̂
(
folgt: ( )
(
( )
( )
Mit ⟨
Kugelflächenfunktion
( )+ ( )
)
(
Eigenzustände des Coulomb-Potentials:
Daraus folgt
DREHMOMENT
⁄
mit d: Dimension
)
.
MEHRTEILCHENSYSTEME
( ) und einsetzen ( )
(
*
| ⟩
Den Spin stellt man in der Basis *| ⟩ | ⟩+ dar, als „Spinor“. Also:
| ⟩
für 2D: ( )
LÖSUNG DER RADIALGLE ICHUNG
Separationsansatz, dann:
(
*
√
Zustandsdichte 3D: ( )
HAMILTON-OPERATOR
PHYSIKALISCHE DISKUS SION
̂
Eigenwertgleichung zu ⃗⃗ ̂ :
̂⃗⃗ |
(
) |
⟩
(
Zustandssumme in 3D: ( )
und mit
̂
SPEKTRUM DER OPERATO REN ⃗⃗ ̂
)
Dichte der Zust. im k-Raum:
KLASSISCHE PROBLEMST ELLUNG
EIGENZUSTÄNDE IM ORT SRAU M
(
Volumen pro Zustand:
ZWEIKÖRPERPROBLEM
)
̂ ̂
0 ⃗⃗ ⃗⃗1
̂
̂
̂
̂
[̂ ̂ ]
0 ⃗⃗̂ ̂ 1 0 ⃗⃗̂ ̂ 1
Es folgen diskrete Werte für
WASSERSTOFFATOM
( ))
Mit der adiabatischen & ein-Elektron-Näherung
( ⃗)
( ⃗)
( ⃗)
SG:
RB bel. wählbar, z.B. periodisch: (
⃗⃗ ⃗
mit
)
(
)
2s und 2p sind zweifach-entartet, 3s, 3p und 3d sind 3-fach
entartet
.
wobei
(
(
mit
(
√
)
)(
(
)
)
(
( ))
√
für jeden Eigenzustand
charakteristisch ist. Aus
(
folgt eine Bestimmungsgleichung für :
mit den Lösungen
)
equivalent
√
-MOLEKÜL
Hamilton-Matrix:
)
(
)
(
⃗
)
∫
⃗
∫
∫
∫
(
(
)
*
+
Daraus entsteht das Eigenwertproblem:
( )
( )
(
)(
( )
( )
durch Symmetrie des
)
)
)
∫
und
der Mittelwert der Coulomb-Wechselwirkung des
Atomkerns mit dem Elektron mit der Elektronendichte
( ⃗) . Weiters gibt
∫
die Amplitude
dass das Elektron mit Zustand
unter der Wirkung es
Hamiltonoperators in der Nähe von zu finden ist.
FESTKÖRPER
Möglichkeiten zurDiagonalisierung der Matrix:
a) brute-force-lösen der Determinantengleichung
b) erraten der EZ, dann EW berechnen
Translationssymmetrie:
| |
Das bedeutet, die Koeff.
| |
|
|
mit : Atomabstand. D.h.:
⃗⃗ ⃗⃗
. ⃗ verbinden ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
mit den nächsten Nachbarn. Die Bestimmungsgleichung für die
Energie-Eigenwerte ⃗⃗ lautet:
⃗⃗ (
.
⃗⃗
⃗⃗ (
)
/
√
√
√
Die Lösung dieser Gleichung ist:
( ) mit
.
Diese sind die Energie-Niveaus eines einzelnen Elektrons in
einem Ring mit Inonen in der. sog. Tight Binding
Approximation.
Das Matrixelement
bewirkt, dass sich das atomare
Energieniveau der freien Atome zu einem Energieband ( )
verbreitert. Im 3D-Gitter werde die -Werte zu ⃗⃗-Vektoren, die
innerhalb eines bestimmten Polyeders im ⃗⃗-Raum verteilt sind
(die sog. (erste) Brillouin-Zone) und ( ) zu ( ⃗⃗).
Beispiel Natrium:
Na hat die Elektronenkonfiguration , Wir müssen nur die Valenzelektronen beachten. Die mögl.
Basiszustände für das Einelektronenproblem am Gitterplatz ⃗⃗
(
)
( )
lautet ⃗⃗ . Und somit ( )
Die Eigenzustände sind die Blochsummen:
∑ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗). Die Matrixelemente des Hamilton⃗⃗ ( ⃗)
√
-Moleküls gilt:
(
⃗⃗
-
Operators sind:
(
Dabei ist .
- oder
1. Jeder EW ist durch eine
Form ist in der Festkörperphysik als Blochsche Konstruktion der
Eigenzustände bekannt. Die EW lassen sich jetzt direkt best.:
,
(
,
mit
0
mit
)
bestimmte Wellenzahl gezeichnet, d.h. ist eine zur
Klassifizierung der EW brauchbare Quantenzahl. Die zu
∑
gehörige Eigenfunktion
lautet
. Diese
: Hauptquantenzahl, Energie
: Bahn-Drehimpuls, Form
.., n-1
: magn. Drehimpuls, Orientierung
Wellenfunktion:
DAS
/
)
/
.
⃗⃗ (
)
⃗⃗ (
)
)
⃗⃗ (
)
/
.
⃗⃗ (
)
/
Die Lösung dieser Gleichung ergibt das -Energieband des NaKristalls: ⃗⃗
( ( ⃗⃗ ⃗ )
( ⃗⃗ ⃗ )
( ⃗⃗ ⃗ ))
Füllt man das Band mit weiteren elektronen auf, so muss
berücksichtigt werden, wiviele Elektronen pro Atom jedes NaAtom zum Kristall beiträgt. In diesem Fall trägt jede Na-Atom 1
Elektron bei. Jedes Band hätte auf Grund des Pauli-Prinzips
Platz für 2 Elektronen. Da wir jedoch nur Elektronen haben,
ist das Band nur bis zur Hälfte gefüllt, und somit bis zum
Schwerpunkt des Energiebandes, der mit
übereinstimmt.
Dieser Energiewert, der die Grenze zwischen besetzten und
unbesetzten Zuständen darstellt, heisst Fermi-Niveau und wird
meist mit
bezeichnet. Hätten wir zwei -Elektronen pro
Atom, wäre
das Bandmaximum. Sind andere
Valenzelektronen (p, d, ...) vorhand, erwartet man weitere
Bänder, die dann auch gefüllt werden müssen. Bandstrukturen
von Festkörpern können deshalb sehr kompliziert werden, da
noch Bandüberlapp vorkommt.
Prüfung: evtl. quadratisches Gitter