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Prof. Dr. Heidemarie Bräsel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Graphentheorie - Serie 6
Pflichtabgabe: 2 oder 3, 12 - sonst: freie Wahl
1. Konstruieren Sie einen schlichten Graphen G = (V, E) mit n Knoten, der
genau n-Gerüste besitzt!
2. Zeigen Sie mit Hilfe des Matrix-Gerüstsatzes: h(Kn ) = nn−2 .
3. Zeigen Sie mit Hilfe des Matrix-Gerüstsatzes: h(Kn,m ) = nm−1 mn−1 .
4. Wieviele Gerüste hat der Graph Kn − e? (Kn − e: aus dem Kn wird die Kante
e entfernt.)
5. Ein Baum heißt graziös, wenn sich seine Knoten und Kanten mit 1, . . . , n bzw.
1, . . . , n − 1 so numerieren lassen, daß die Nummer jeder Kante gleich der
Differenz der Nummern ihrer Endknoten ist. Zeigen Sie, daß der K1,n , der
Pn (Pn : eine Kette aus n-Knoten) und die beiden folgenden Bäume G1 und G2
graziös sind!
G
1
G
2
6. Beweisen Sie, daß das Minimalgerüst auf einem zusammenhängenden schlichten Graphen G = (V, E) eindeutig ist, wenn alle Kantenbewertungen verschieden sind.
7. Wie läßt sich das zweitkleinste Gerüst auf einem schlichten zusammenhängenden
Graphen bestimmen? Dabei sind die Fälle zu unterscheiden, daß das Gewicht
des zweitkleinsten Gerüstes gleich dem Gewicht des Minimalgerüstes oder echt
größer als das Gewicht des Minimalgerüstes ist.
8. Beweisen Sie: T sei ein beliebiger Baum mit n Knoten und G ein beliebiger
schlichter, zusammenhängender Graph G = (V, E) mit val(v) ≥ n − 1 ∀ v ∈ V .
Dann existiert ein Untergraph von G, der isomorph zu T ist.
9. Ein valenzbeschränktes Gerüst auf einem schlichten Graphen ist ein Gerüst
mit der Eigenschaft, daß die Valenzen der Knoten bezüglich des Gerüstes nach
oben beschränkt sind. Solche Gerüste kommen z.B. in Kommunikationsnetzwerken vor, in denen die Anzahl der Verbindungen pro Knoten beschränkt
ist. Was bedeutet es, ein valenzbeschränktes Gerüst eines schlichten Graphen
mit val(v) ≤ 2 für alle Knoten v ∈ V zu bestimmen? Welche Schlußfolgerung
ergibt sich daraus für den Komplexitätsstatus des Entscheidungsproblems, ob
auf einem schlichten Graphen ein valenzbeschränktes Gerüst existiert?
10. Bestimmen Sie für die folgenden Graphen ein valenzbeschränktes Gerüst mit
val(v) ≤ 3 für allen Knoten v ∈ V oder zeigen Sie, daß ein solches Gerüst
nicht existiert:
11. Bestimmen Sie ein Minimalgerüst auf den folgenden beiden Graphen, wobei
die Valenz jedes Knotens auf dem Gerüst kleiner oder gleich 2 ist.
a
c
2
c
2
1
b
3
6
a
2
2
f
g
d
4
2
e
4
5
1
3
b
f
1
d
6
2
3
2
e
12. Bestimmen Sie für den folgenden Graphen ein Minimalgerüst nach allen in
der Vorlesung gegebenen Methoden. Numerieren Sie dabei die Kanten in der
Reihenfolge ihrer Aufnahme (bzw. auch ihrer Nichtaufnahme) in das Gerüst,
Geben Sie bei Anwendung des Algorithmus von Sollin zusätzlich die Knotenmengen der entstehenden Zusammenhangskomponenten an!
MINGERÜST 1: Algorithmus nach Prim/Dijkstra
5
a
2
3
7
d
4
g
c
6
5
f
e
4
2
h
a
b
c
3
1
3
8
6
4
b
d
f
e
4
g
i
h
i
MINGERÜST 2: Algorithmus nach Sollin
5
a
2
3
7
d
4
g
c
6
5
f
e
4
2
h
a
b
c
a
b
d
f
e
d
5
2
4
g
i
7
d
h
g
i
4
g
c
6
5
h
f
e
4
2
h
a
b
c
3
1
3
8
6
4
b
3
d
f
e
4
i
g
h
i
c
a
b
c
MINGERÜST 4
5
a
2
7
d
g
6
5
4
3
1
f
e
3
8
6
4
b
3
4
h
f
e
MINGERÜST 3: Algorithmus nach Kruskal (Greedy-Algorithmus)
a
c
3
1
3
8
6
4
b
2
d
f
e
4
i
g
h
i
i