AG-EulerThemen in 04/05

Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 21.10.04, 14:15-17:30 Uhr, Zi.272
Wo sind wir ? Entdeckung Galaxien - Hubbleexpansion
Unsere Galaxie (Milchstraße genannt, im Bild eine ähnliche Galaxie!) enthält
ca. 1011 Sonnen; wir befinden uns relativ weit außen (ca. 80% des Radius).
Von der Seite gesehen sind solche Spiralgalaxien flache Scheiben. Die uns
nächstgelegene kann man gut mit einem Fernglas sehen (Andromeda,
momentan am Nachthimmel unweit des Pegasus-Vierecks). Sie wurde 1929
von E. Hubble als solche erkannt. Mit seinem neuen Teleskop entdeckte
Hubble bald eine weitere interessante Tatsache: fast alle Galaxien scheinen
sich von uns wegzubewegen, und zwar umso schneller, je weiter sie von uns
entfernt sind. Natürlich kommt unserer Galaxie keine besondere Rolle zu
sondern andere Galaxien würden dies ebenso beobachten. Dies ist Zeichen
einer gleichmäßigen Expansion des Weltalls (Hubble-Expansion). Nimmt
man an, dass alle Galaxien ihre Geschwindigkeit beibehalten haben (das ist
nicht sicher!) kann man die Bewegung zurückrechnen und erhält einen
Zeitpunkt vor 13,7 Milliarden Jahren, bei dem das ganze heute sichtbare All
auf einem Punkt zusammengedrückt war (Urknall). Über die näheren
Umstände gibt es aber wenig gesichertes Wissen. Tolle Bilder findet ihr im
Internet unter dem Stichwort APOD oder bei Google Bilder. Sehr interessant
ist www.astronews.com
Die Entfernung der Galaxien wird über Helligkeiten gemessen (je näher, desto heller erscheint eine
Lichtquelle), die Geschwindigkeit mit der sog. Doppler-verschiebung, die man jeden Tag im Straßenverkehr
selber beobachten kann wenn ein hinreichend schnelles Auto, das Schall erzeugt, einen passiert: das Geräusch
ist erst höher und im Moment des Vorbeifahrens wird es schlagartig tiefer, man könnte sogar nur anhand des
Intervalls die Geschwindigkeit abschätzen. Licht verhält sich analog: Ist es rotverschoben, so ist die Frequenz
niedriger, das emittierende Objekt entfernt sich also vom Beobachter. Ist es blauverschoben, so umgekehrt. Die
Frequenzen kennt man, weil Wassertsoffatome ganz bestimmtes Licht aussenden. Einstein hätte übrigens aus
seinen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie die Expansion des Universums herleiten können, da
diese ein statisches Universum gar nicht als Lösung zulassen. Statt die Expansion vorherzusagen, führte er in
die Gleichungen einen Term ein (Kosmologische Konstante), was ihn später sehr ärgerte.
Beugung am Einfachspalt mit Laser
Der Lichtstrahl eines einfachen Laserpointers ist konzentriert auf einem Punkt, auch in relativ großer
Entfernung. Schickt man den Strahl jedoch durch einen sehr dünnen Spalt, so verbreitert sich der an der Wand
auftreffende Lichtpunkt. Macht man den Spalt noch enger, werden sogar mehrere helle Punkte rechts und links
sichtbar. Dieses merkwürdige Verhalten läßt sich nur verstehen, wenn man annimmt, dass Licht Wellennatur
hat. Denn Wellen durch eine Öffnung in einem Schwimmbecken würden sich auch nicht nur gerade, sondern in
alle Richtungen ausbreiten.
Basteln einer Funktion, die sich selbst als Ableitung hat - Exponentialfunktion
Mit der einfachen Ableitungsregel x n  n x n-1 versuchen wir ein Polynom zu basteln, dass sich beim Ableiten
selbst reproduziert, indem jeder Term abgeleitet den vorherigen ergibt:
e
x  1 x 
2
3
4
5
24
120
x  x  x  x ... =  x
2
6

k0
k
k!
(1)
Natürlich klappt das nur, wenn es unendlich viele Summenglieder gibt. Eine unendliche Summe kann aber
etwas endliches ergeben, wie z.B. 0,3+0,03+0,003+... = 1/3 ! Es stellt sich heraus, dass die obige Summe eine
Annäherung für ex ist, mit e = 2,71828... sie heißt Eulersche (!) Zahl und ihr könnt sie leicht ausrechnen, wenn
ihr in die obige Formel einfach x=1 einsetzt.
-4
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-2
2
-6
-4
-2
2
-1
-1
-2
-2
Abb. 3: Approximation der Exponentialfunktion durch die Reihe  x
n
k0
Eulerscher Polyedersatz und 4dimensionaler Würfel
Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen, es gilt EK+F =2. Merkwürdigerweise gilt das für alle geometrischen
Körper, die sich aus einem einfachen Netz von Vielecken
zusammensetzen lassen. Eine besondere Gruppe stellen die
sog. Platonische Körper (Bild) dar, sie bestehen nur aus
gleichartigen, regelmäßigen Vielecken. Man kann mit dem
Polyedersatz beweisen, dass es nur diese 5 gibt: will man
z.B. einen Körper aus Dreiecken konstruiren, weiß man,
dass K = 3/2 F sein muß, da jede Fläche 3 Kanten hat aber
eine Kante immer zwei Nachbarflächen. Ebenso ist E= 3F/n,
wobei n die Anzahl der in einer Ecke zusammenstoßenden
Dreiecke angibt. n=5 ergibt den Ikosaeder, n=4 den
Oktaeder, und n= 3 den Tetraeder (nachrechnen!)
Wenn man zu den 0-dimensionalen E(cken), den 1dimensionalen kanten und den 2-dimensionalen Flächen
noch ein 3-dimensionales Volumen hinzunimmt, kann man
den Polyedersatz als E-K+F-V=1 schreiben. Dies gilt
erstaunlicherweise auch, wenn man Konstrukte in höheren
Dimensionen betrachtet: man bastelt einen 4dimensionalen
Würfel, indem man zwei identische 3dimensionale
betrachtet und die jeweiligen Ecken verbindet (ebenso ist
der 3dimensionale Würfel aus "Verdopplung" des
2dimensionalen, eines Quadrates, entstanden, nach
Verbindung der je 4 Ecken) So erhält man 16 Ecken, 32
Kanten (12+12 der beiden grünen und schwarzen Würfel
und 8 Verbindungskanten), 24 Flächen (6+6+12 zwischen
den alten Kanten), 8 Drei-Volumina (2 Würfel und 6 neue
zwischen den alten Flächen) und schließlich ein
4dimensionales Volumen. Wieder gilt:
E-K+F-V+1=1 ! Überlegt euch das mal zum Spaß für 5 und
6 Dimensionen. Beim Tetraeder werdet ihr übrigens eine
Verbindung zum Pascalschen Dreieck erkennen...
k
k!
für n=4 (a) und n=12 (b)
Warum der Wind aus Westen kommt – Zirkulation der Atmosphäre (021114)
Folgende Überlegungen gelten für die globale Zirkulation der
Atmosphäre. Durch Gebirge, Jahreszeiten und Wetterlage können
sich große Abweichungen ergeben. Der Einfachheit halber wird nur
die Nordhalbkugel diskutiert. Da der Äquator am stärksten erhitzt
wird, steigt dort die Luft wie über einer heißen Herdplatte nach
oben, entsprechend fällt sie über den Polen nach unten. Diese
Strömung könnte durch eine große Zirkulationszelle ausgeglichen
werden, in der über der Erdoberfläche Nordwind herrscht und in
der Höhe die Luft vom Äquator zu den Polen zurückströmt. Wegen
der Erdrotation entstehen aber drei derartige Zellen, wobei die
Zelle der `mittleren Breiten‘ gegensinnige Umlaufrichtung hat. Wir
(48°) leben also in einer Zone mit Südströmung, die durch die
Corioliskraft in eine Südwestströmung abgelenkt wird. Die Winde
zum Äquator hin heißen daher Nordostpassate. Die Corioliskraft
läßt sich leicht durch ein sich drehendes Blatt Papier
veranschaulichen, auf dem man mit gleichförmig-geradliniger
Geschwindigkeit einen Bleistiftstrich zieht. Es entsteht eine
gebogene Linie; ebenso erscheint es uns als ob auf einen fliegenden
Körper eine Kraft wirkte; in Wirklichkeit fliegt der Körper
geradeaus, und wir drehen uns mit der Erde unter ihm.
Die Gammafunktion – was Zufall mit Flächenberechnung zu tun hat
6 Personen haben 123456 = 720 Möglichkeiten, auf 6 Stühlen
Platz zu nehmen. Man nennt dies abgekürzt 6! (sprich 6 Fakultät).
Mathematiker stellen sich das Problem: kann man dies sinnvoll
auch für reelle Zahlen definieren, z.B. 2,3! Direkt multiplizieren
ergibt nicht viel Sinn, denn wo aufhören: 2,31,30,3 ? Die Lösung
des Problems kam aus einem ganz anderen Gebiet: die
Exponentialfunktion ex wächst schneller als jede
Polynomfunktion, d.h. auch x1000 wird für große x irgendwann von
ex übertroffen. Umgekehrt wird jede Funktion wie z.B. f(x) =x5:
ex irgendwann sehr klein:
20
15
10
5
2
4
6
8
10
12
14
Irgend jemand kam auf die Idee, die Fläche unter dieser Funktion auszurechnen: das Ergebnis war 120,
also 5 Fakultät! Allgemein gilt: die Fläche unter f(x) =xn : ex ist gleich n Fakultät. So läßt sich auch
einfach 2,3! berechnen: es gibt nur eine etwas andere Kurve mit der Fläche 2,68344. Die mathematischen
Tricks zur Flächenberechnung nennt man Integration, im Prinzip das Gegenteil von Ableiten.
Spin - Rätselhafte Eigenschaft von Elementarteilchen
Elektronen sind keine ganz kugelsymmetrischen Teilchen, vielmehr haben sie auch ein Magnetfeld (wie
ein kleiner Stabmagnet), das die Vermutung nahelegt, sie rotieren um ihre eigene Achse. Dies stimmt aber
wiederum nicht ganz: denn legt man sie in ein ausgedehntes Magnetfeld z.B. einer Spule, dann können sie
diese Achse nur parallel zum Feld einstellen, oder entgegengesetzt, aber nicht in Zwischenrichtungen
(Stern und Gerlach, Nobelpreis 1921). Daher werden in der Chemie Orbitale auch immer mit höchstens 2
Elektronen besetzt, "Spin auf" oder "ab". Dreht man Elektronen um eine Volldrehung (2), so sind sie
nicht in identischer Position wie jeder normale Gegenstand, sondern haben ihren Spin umgeklappt. Erst
nach 4 sind sie wieder im Anfangszustand. Man kann dies veranschaulichen, indem man ein Buch auf
seine Hand legt, und es um die Vertikale dreht, wobei die Handfläche waagrecht bleiebn soll. Nach 2
fühlt man sich etwas unbequem, ist aber nach einer weiteren Volldrehung (nun nicht unter, sondern über
der Schulter!) überraschenderweise wieder im Normalzustand. Mathematiker haben dazu einen
Zahlenkörper erfunden, in dem 1+1=0 ergibt.
Kernspintomographie - raffinierte Physik mit medizinischem Nutzen
In der bildgebenden medizinischen Diagnostik hat sich ein Verfahren durchgesetzt, das sich die Spins der
Atomkerne zu nutze macht: zuerst werden durch ein starkes homogenes Magnetfeld alle Spins im Körper
dazu gebracht, um eine Achse zu kreisen (Präzession). Danach werden sie durch ein dazu senkrechtes,
rotierendes Magnetfeld (stellt es euch vor, auch wenn es schwer ist!) synchronisiert, d.h. in Takt gebracht.
Schaltet man nun ab, so kann man mit empfindlichen Meßgeräten das "Echo" feststellen, das alle Spins
im Körper aussenden. Weil verschiedene Atomkerne dies in etwas unterschiedlicher Weise tun, kann man
daraus zurückrechnen, wo sich welche Atome befinden, und erhält daraus ein Bild. Im Gegensatz zu
Röntgenstrahlen sind bei der Kernspintomographie (Nuclear Magnetic Resonance, NMR, Nobelpreise
Chemie 2002, Medizin 2003!) keine schädlichen Einwirkungen bekannt.
www.almaz.com/nobel - Medizin
Antimaterie - das Spiegelbild der Natur
Wie Paul Dirac als erster vermutet hatte, gibt es zu jedem Elementarteilchen ein sog. Antiteilchen. Beim
negativen Elektron ist die nicht etwa das Proton (das ist nämlich 1836 mal schwerer), sondern ein absolut
identisches Teilchen, das positiv geladen ist. Dieses Positron wurde in der kosmischen Höhenstrahlung
entdeckt (NP 1932). Inzwischen hat man es auch im Labor hergestellt, und sogar auch das Antiproton
(negativ), und damit einen Antiwasserstoff gebaut (und diesen vermessen, Physiker spielen gerne). Aus
einem energiereichen Photon kann durch Aufprall ein Elektron-Positron-Paar entstehen, umgekehrt
vernichten sich diese beiden Teilchen, wenn sie aufeinander treffen, zu zwei Photonen (Lkler: 
ausrechnen!). Lediglich das Photon selbst ist sein eigenes Antiteilchen. Die Kosmologen wundern sich,
warum es im ganzen All praktisch nur normale Materie gibt und keine Antimaterie, eigentlich sind beide
Sorten "gleichberechtigt". Kurz nach dem Urknall, wo der größte Teil der Materie noch aus Licht bestand,
muß sich die Welt für eine Sorte entschieden haben, denn wenn entfernte Galaxien aus Antimaterie
bestünden, würde man die Vernichtungsstrahlung an den Gebietsgrenzen wohl sehen. Man nennt eine
Situation, in der eine Nadel in eine Richtung umfällt, obwohl sie genau auf der Spitze steht, spontane
Symmetriebrechung. Richtig gut verstanden ist diese Merkwürdigkeit aber nicht.
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 18.11.04, 14:15-17:30 Uhr, Zi.272
Zweimal Relativitätstheorie in jedem Steinwurf (vgl. 021114)
Nach der speziellen Relativitätstheorie (SRT, Einstein, 1905) vergeht die Zeit für eine mit der
2
v
langsamer. Nach der Allgemeinen
c2
Relativitätstheorie (ART, Einstein, 1915) vergeht die Zeit in einem Gravitationsfeld ebenfalls langsamer,
2GM
um den Faktor 1 
(M Masse, r Abstand, G = 6,6710-11 m3/(s2 kg) ).
2
rc
Angenommen, man wirft einen Stein nach oben, der nach 10 s wieder zurückkommen soll. Wie schafft es
der Stein, dass für ihn möglichst viel Zeit vergeht ? Nach der ART kann er die Zeit für sich etwas
schneller vergehen lassen (mit der Formel) , wenn er sich aus dem Gravitationsfeld der Erde nach oben
begibt. Das darf er aber nicht zu schnell tun, da sonst nach der SR seine Zeit wieder langsamer vergehen
würde. Was ist der beste Fahrplan, den der Stein wählen kann ?- genau die Flugbahn nach den
Bewegungsgleichungen!
Geschwindigkeit v bewegte Uhr um den Faktor  = 1 
Wunderbar erklärt in: Feynman Lectures, Bd. II, Kap. 42-9
Wo die Zeit überhaupt nicht mehr vergeht - Schwarze Löcher und weitere Merkwürdigkeiten
2GM
wirft die Frage auf was passiert, wenn man sich einer Masse auf den Radius
rc 2
2 GM/c2 (man nennt das Schwarzschildradius) nähert - dann vergeht die Zeit überhaupt nicht mehr!
Außerdem kann von diesem Radius auch kein Licht mehr entweichen, weil ein Photon mehr Energie
bräuchte um gegen die Gravitation anzukämpfen, als es überhaupt bei sich hat (E= h f, f Frequenz,
h=6,6210-34 Nms). Ist eine Masse so konzentriert, nennt man sie daher Schwarzes Loch (Black Hole).
Einem aufmerksamen Beobachter fällt auf, dass in der obigen Formel der Beitrag der Sonne (M=21030
kg, r= 1,51011 m), größer ist als der Beitrag der Erde (M=61024 kg, r=6370km). Witzigerweise ist der
Beitrag der gesamten Milchstraße (M21041 kg, r  31020m) noch größer, und - verstehe es wer will - der
Beitrag des gesamten Weltalls ist so groß, dass die Zeit gar nicht mehr vergeht, d.h. das Universum als
ganzes scheint ein schwarzes Loch zu sein! Die Astrophysiker bezeichnen dieses Problem anders, sie
sagen das All erscheint flach (Einstein-de Stitter-Universum), d.h. gerade in der Mitte zwischen einem
ewig expandierenden (offenen) und einem irgendwann wieder kontrahierenden (geschlossenen)
Universum. Vielleicht verstehen wir aber auch etwas ganz Grundsätzliches noch nicht.
Die Formel 1 
Literatur: Silk, Die Geschichte des Universums
Operatoren, eine Funktion für Funktionen
Man kann sagen, eine Funktion verwandelt Zahlen in Zahlen. Für einen Erstklässler, der Zahlen erst
kennengelernt hat, wäre dies schon ein recht komplexer Begriff. Ein Operator ist nichts anderes als ein
Teil, das eine Funktion in eine andere verwandelt. Ein recht trivialer Operator wäre einer, der alle
Funktionen quadriert, er wäre eigentlich selbst nur eine Funktion (x2), so wie die Funktion f(x)= 4 auch
nur eine Zahl ist. Echte Operatoren sind z.B. die Ableitung (d/dx) oder auch die 2. Ableitung (d2/dx2),
bei mehrdimensionalen Funktionen f(x,y,z) kann man natürlich eine Menge Operatoren erfinden.
Manchmal kann man Funktionen als Vektor darstellen. Dann muss ein Operator aus einem Vektor einen
anderen produzieren, d.h. er erscheint im Gewand einer Matrix (vgl. 031113). Physikalische
Anwendungen haben Operatoren vor allem in der Quantenmechanik.
Heisenbergsche Unschärferelation-Demonstration mit dem LaserPointer
Die Unschärferelation besagt, dass sich von Elementarteilchen bestimmte Paare von Eigenschaften nicht
gleichzeitig präzise angeben lassen, wie z.B.
- Ort und Impuls: x p  h/(2)
- Energie und Zeit: E t  h/(2)
Es handelt sich um eine prinzipielle Erkenntnisschranke der Natur. Damit im Einklang steht auch das
Beugungsbild eines Lasers am Einfachspalt: je dünner der Spalt wird, desto breiter wird das Beugungsbild
am Schirm. Man kann sich vorstellen, dass Photonen einen (zufälligen) seitlichen Impuls px bekommen,
wenn sie sich durch einen engen Spalt x zwängen.
Das Feigenbaum-Szenario: Wege zum Chaos mit einer iterierten Funktion (030213)
Eines der bemerkenswertesten Beispiele für sog. chaotisches Verhalten in der Mathematik basiert auf
einem sehr simplen Beispiel: hier ist jeweils die Funktion f(x)= a x (1-x), von links nach rechts für a= 2,8;
3,4 und 3,8 aufgetragen: Man betrachtet die Iterationen der Funktion f(f(f(f(f(....x))))) usw. Graphisch geht
man von einem beliebigen Punkt der x-Achse senkrecht bis zur Parabel, dann waagrecht zur Gerade, dann
wieder senkrecht zur Parabel etc. Im Fall a=2,8 gelangt man zu einem stabilen Fixpunkt (der
Schnittpunkt), im Fall a= 3,4 springt man zwischen zwei (!) Punkten hin und her. Schließlich ist das
Verhalten bei a=3,8 vollkommen chaotisch.
1
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
Dies veranschaulicht man in einem nach dem
Entdecker Mitchell Feigenbaum (immer noch kein
NP) benannten Feigenbaum-Diagramm: zu jedem a
sind die Fixpunkte angegeben, ab 2,9 gibt es 2, und
ab 3.4 verdoppeln sie sich sehr schnell, bis es
Bereiche von absolutem Chaos gibt. Dieses relativ
junge Gebiet der Mathematik eignet sich
herrvorragend für Simulationen am Computer. Es
gibt eine Fülle von Literatur mit bunten Bildern.
Stichworte: Feigenbaum-Diagramm, MandelbrotMenge, Julia-mengen, Lorentz-attraktor, Rösslerattraktor, dynamische Systeme, Chaostheorie.
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2.8
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Elektronen sind auch Wellen - die Entdeckung von de Broglie
Bei Licht sieht man Wellenphänomene, wenn man es durch einen sehr dünnen Spalt oder noch besser
durch ein Gitter mit vielen Spalten schickt. Auch die Rillen einer CD dienen als Beugungsgitter und
spalten Licht in Farben auf. Da Elektronen kleinere Wellenlängen haben, muss man anstatt einer CD
einen Kristall nehmen, der nicht Rillen, sondern Gitterebenen hat. Läßt man einen Elektronenstahl auf
diesen Kristall treffen, so sieht man am Schirm dieser Elektronenbeugungsröhre Ringmuster, die sich nur
durch die Wellennatur erklären lassen. Dafür bekam Louis de Broglie 1929 den Nobelpreis.
Alles ist nur eine Welle- die Schrödingergleichung
Eine der erkenntnistheoretisch verblüffenden Konsequenzen der Quantenmechanik lautet: die Realität ist
abhängig vom Beobachter. Konkret bedeutet das z.B. dass ich bei einem Elektronenstrahl durch einen
Doppelspalt nicht feststellen kann, durch welchen Spalt das Teilchen nun gegangen ist - sobald ich einen
experimentellen Test einbaue, der dies feststellt, würde sich das Muster der nach dem Spalt
ankommenden Teilchen stark ändern, d.h. ducrh die Beobachtung zerstöre ich das ursprüngliche
Experiment. Mathematisch hat das ganze eine wunderschöne Parallele:
Die Verteilung der Teilchen wird durch eine (Wahrscheinlichkeits)-Wellenfunktion  ausgedrückt, und
sobald ich messe, wende ich einen Operator (s.o.) auf diese Funktion an. Normalerweise verändert das die
Funktion , aber manchmal bleibt sie nach Anwendung des Operators bis auf einen Faktor gleich (wende
den Operator d/dx auf e5x an!). Dann und nur dann läßt sich eine Größe präzise messen! Jede Messgröße
entspricht einem Operator, z.B. die Ortsableitung (genauer: i  d/dx) dem Impuls (mv).
Nach der Heisenbergschen Unschärferelation kann man den Impuls nur scharf messen, wenn der Ort
vollkommen unbekannt ist, d.h. die Welle muss gleichmäßig über den Raum verteilt sein, wie z.B. eine
Sin- oder Cos- Welle. Differenziert man diese Funktionen (Impulsmessung), so kommen sie in der Tat bis
auf einen Faktor wieder heraus (der komplexe Faktor i macht aus Sin Cos). Der Zahlenwert 5 bei (Sin
(5x))' = 5 Cos(5x) entspricht dann dem Wert des Impulses. Bekanntlich ist Sin(5x) ist eine
zusammengequetschte Sinusfunktion mit Wellenlänge 2/5. Das passt wieder schön zu den de-BroglieWellen, die kürzer werden, je größer die Elektronengeschwindigkeit (und Impuls) ist.
Die Schrödingergleichung misst schließlich nicht anderes als die kinetische Energie: 1/2 mv2 = E
(mv)2/ 2m = p2/2m, also - 2 d2/dx2  = E . Man kann also die Energie nur dann scharf messen, wenn
die Wellenfunktion bis auf einen Faktor gleich ihrer 2. Ableitung ist.
Einsteins Herzklopfen 1915- die Perihelverschiebung des Merkur
Planeten bewegen sich nach dem keplerschen Gesetz bekanntlich auf Ellipsenbahnen. Schon vor langer
Zeit hatten die Astronomen aber festgestellt, dass sich die Ellipse des Planeten Merkur um einen winzigen
Betrag (43 Bogensekunden pro Jahrhundert, d.h. pro 415 Merkurumläufe) mehr verschob als sich durch
den Einfluss der anderen Planeten erklären
6GM
ließ. Einstein berechnete diese Verschiebung  zum erten Mal. Es gilt: =
,
A(1   2 )c 2
wobei wieder der Schwarzschildradius rs auftaucht!
(Große Halbachse A 5,7911010 m, Exzentrizität 
der Ellipse 0.2056,
Sonnenmasse M 1,991030 kg, bitte nachrechnen!)
Einstein konnte vor Aufregung nicht mehr schlafen,
als er dieses Ergebnis zum ersten Mal greifbar sah.
Sexl/Urbantke: Gravitation und K.; Einstein: Mein Weltbild; Einstein: Relativitätstheorie
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 09.12.04, 14:15-17:00 Uhr, Zi.272
Kosmische Hintergrundstrahlung (vgl. 13.02.03, 18.12.03)
1964 entdeckten die Radioastronomen Penzias und Wilson (NP 1978) eine Mikrowellenstrahlung am
schwarzen Nachthimmel, für die es keine offensichtliche Erklärung gab. R.Dicke und andere interpretierten dies
richtig als Überbleibsel jener heißen Strahlung, von der das Universum ‚kurz‘ nach dem Urknall (300000 Jahre)
wie ein riesiger Feuerball erfüllt war. Durch die Expansion hat es sich in den letzten 13 Mrd. Jahren wie ein
heißes Gas auf die Strahlungstemperatur 2,726 K abgekühlt. Der kosmische Mikrowellenhintergrund ist
präziseste sog. Planck-Spektrum eines schwarzen Körpers, das je gemessen wurde (Mit dem Satelliten COBE
und seinem Nachfolger WMAP, 2003!).
Joseph Silk, Die Geschichte des Kosmos, Spektrum Verlag, Kap.3
Steven Weinberg, Die ersten drei Minuten, dtv, Internet: WMAP, CMB
Taylor-Couette-Strömung (vgl. 030213)
Diese Strömungsart ist ein besonders
merkwürdiges Phänomen der Hydrodynamik.
Zwischen zwei konzentrischen Zylindern strömt
eine Flüssigkeit. Nur bei Drehung des inneren
Zylinders wird die Strömung bei einem
bestimmten v instabil (Zentrifugalkraft treibt nach
außen) , und schlauchförmige Strömungsmuster,
sog. Taylorwirbel, entstehen.
Bei noch größerem v entstehen Schwingungen in
den Schläuchen, die sich mit v/3 ausbreiten.
Niemand versteht bisher, warum. Eine analytische
Berechnung dieses Phänomens der nichtlinearen
Physik ist meines Wissens nicht möglich, aber es
gibt dazu Computersimulationen.
Feynman Lectures, Bd II, Kap. 41-6, S. 818, Ausstellung Schellingstr. 4, U Universität!
Gibt es die Gravitationskonstante gar nicht ?
Einer der tiefsten Denker überhaupt war der Physiker und Philosoph Ernst Mach. Er spekulierte als erster
darüber, ob Masse, d.h. Trägheit nicht in Wirklichkeit von allen anderen Massen im Weltraum verursacht ist,
die nicht wollen, dass man sich relativ zu ihnen beschleunigt. Dann müßte aber auch die Ursache der
Gravitation in allen anderen Massen des Weltalls liegen. Stellen wir uns vor, wir hätten nur eine Sonne und
einen Planeten, der um sie kreist. Wie würden wir die Kreisbewegung feststellen, wenn die Fixsterne fehlen ?
Wäre es dann sinnvoll, von einer Gravitationskraft zu sprechen ? Diese Fragen sind übrigens auch in der
allgemeinen Relativitätstheorie nicht geklärt, obwohl sich Einstein seiner Aussage nach von Mach inspirieren
ließ.
Merkwürdigerweise scheinen moderne Messsungen der Masse M und des Radius R des Weltalls (das ist, by
the way, keine leichte Übung) darauf hinzudeuten, dass die Beziehung c2/G = M/R ungefähr gilt (Dirac hatte
1938 schon darüber spekuliert). Wenn das kein Zufall sein sollte, dann ist es jedenfalls nicht vollständig
verstanden. Wie zum Teufel soll ein fallender Apfel etwas vom Weltallradius wissen ?
Der Physiker Denis Sciama vermutete schon 1953 einen ähnlichen, aber noch schlaueren Vorschlag: c2/G =
m
 r i , wobei die Summe über alle Massen genommen wird. Nimmt man das ernst und setzt das wie üblich in
i
das Gravitationspotential  -G M/r (11. Klasse) für das Weltall ein, das ergäbe sich  = -c2, und die Gravitation
wäre nur die Konsequenz einer veränderlichen Lichtgeschwindigkeit.... lustigerweise hatte Einstein 1907 über
diese Möglichkeit nachgedacht und sie wieder verworfen.... denkt also mal darüber nach 
Neue Generation von Teichenbeschleunigern
Bei einigen Physikern beschränkt sich das Nachdenken darauf, wie man von der Teilchenenergie 109 eV auf
1010 eV kommt und dann auf 1011 eV usw. Man kann diese schnellen Teilchen (knapp unter der
Lichtgeschwindigkeit) dann irgendwo hinknallen lassen und das Gewirr von Nebelkammerspuren nach
neuartigen Teilchen analysieren. Die Gemeinde, die hofft, daraus etwas von der Natur zu verstehen, heißt
Hochenergiephysik. Wie auch immer, bisher musste man dazu immer größere Beschleuniger bauen, riesige
Ringe von mehreren km Radius. Spätestens beim Erdradius (oder beim Geld) wird aber damit Schluss sein,
daher ist es praktisch, dass die Laserphysiker Beschleuniger bauen, die auf einen Schreibtisch passen: ein Laser.
Inzwischen sind die E-felder in einer Lichtwelle derartig stark (Leistungsdichte 1/2 0 E2 c = 1024 W/m2), dass
sie geladene bald Teilchen viel effektiver beschleunigen werden als es mit herkömmlichen Spannungen möglich
ist. Diese Leistung schafft ein sog. gepulster Laser zwar nur 1 fs (Femtosekunde 10-15 s) lang pro Sekunde, aber
währenddessen ist seine Leistung höher als der Weltenergieverbrauch - genug um einem Elektron einen
kräftigen Tritt zu versetzen...
Halbleiter
In einem normalen Leiter nimmt der Widerstand mit der Temperatur zu, in einem Halbleiter dagegen nimmt der
Widerstand mit der Temperatur ab, er wird leitfähiger. In vielen Büchern findet man dafür die "Erklärung", dass
Elektronen von einem Valenzband über eine "verbotene Zone" in eine "Leitungsband" gehoben werden, aber
was erklärt das ? Leider muss man ein bißchen Quantenmechanik verstehen, insbesondere dass sich Elektronen
wie Wellen verhalten.
Das "erste" Elektron, das man in ein "leeres" Stück Metall steckt, macht es sich
dort richtig bequem, d.h. es bildet einen breiten Wellenberg, der von der Größe
des Metallstücks begrenzt ist. Das nächste das kommt, muss schon eine Welle
mit zwei Bergen bilden (s. Skizze), denn Elektronen "mögen sich nicht", d.h.
sie befinden sich nie im gleichen Zustand (Pauli-Prinzip).
Füllt man das Metall weiter, müssen die Elektronen Zustände mit immer kürzerer Wellenlänge  einnehmen,
aber kürzeres  bedeutet auch eine höhere (kinetische) Energie [E= h2/(2 m 2)]. So weit so gut, man könnte den
Kasten auffüllen und schrittweise immer höhere Energien erhalten, aber im Metall befinden sich auch noch die
positiv geladenen Atomrümpfe. Werden die Abstände zwischen den Wellenbergen so groß wie die Abstände
der Atomrümpfe, dann spüren die Elektronen plötzlich potentielle Energie (vorher mittelt sich das heraus). Das
bedeutet aber, dass die Energie entweder abgesenkt (bei Berg) oder angehoben wird (bei Tal), und damit
existiert ein bestimmtes Energieniveau gar nicht: bei dem der Atomabtand gleich der halben Wellenlänge ist.
Dies nennt man dann die "verbotene Zone" !
ArcSinfunktion, gespiegelter Sin, Tricks mit Ableitung dy/dx
Die trigonometrischen Umkehrfunktionen wie z. B. Arcussinus (s.
Bild) hat man zu Unrecht aus den Schulbüchern verbannt, obwohl sich
hübsche Spielchen mit der Ableitung machen lassen: f ´(x) kann man
bekanntlich verständnisfördernd als dy/dx schreiben. Starten wir also
mit y = arcsin x, dann ist definitionsgemäß x = sin y, und mit
vertauschten variablen dx/dy = cos y. Nach dem trigonometrischen
Pythagoras gilt aber cos y = 1  (sin y ) 2 oder einfach 1  x 2 . Daher
1. 5
1
0. 5
-1
ist dy/dx der Kehrwert 1/ 1  x 2 die Ableitung von arcsin x. Praktisch
ist diese Methode auch für die herleitung der Wurzelableitung, für die
Exponentialfunktion und den Logarithmus.
-0.5
0.5
1
- 0. 5
-1
- 1. 5
Bogenlänge einer Funktion
dy/dx taucht auch auf, wenn man die Länge eines Funktionsgraphen berechnen
will. Man summiert einfach kleine Längenstückchen mit Pythagoras:
b
dl = dx  dy und sie ganze Summe als Integral ergibt L= 
2
2
von (0|0) bis (1|1)
(Mathematica macht das...)
Integrate[Sqrt[1+4x^2],
dx 2  dy 2 , wenn {x,0,1}] = 1,4798...
a
b
man dx ausklammert und aus der Wurzel zieht, ergibt sich

a
b
kurz

a
1 (
dy 2
) dx oder
dx
1  f ´( x) 2 dx . Als beispiel Berechnen wir den Bogen der Normalparabel
Kotangensentwicklung: echt Euler
Wie ins Auge springt, hat die Tangensfunktion eine gewisse Ähnlichkeit mit der Funktion 1/x. Bei näherem
Hinsehen weichen sie etwas voneinander ab, aber es läßt sich ein tiefliegender Zusammenhang konstruieren: die
sog. Kotangensreihe (1/tan), die zum ersten Mal von Euler (!) gefunden wurde:

 cot z =

1
z  .

Mit Hilfe dieser Formel hat Euler den berühmten Grenzwert = 2/6 berechnet, was vorher keiner geschafft hatte.
Intergalaktisches Thermometer : Die fehlende Masse in Galaxienhaufen
Temperatur bedeutet Teilchenbewegung, bewegte Ladungen strahlen elektromagntische Wellen ab- je heißer die
Teilchen, desto kürzer die Wellenlänge. Man stellt auf diese Weise fest, dass Gaswolken in Galaxienhaufen
verdammt heiß sein müssen. Aus der Lichtstärke der Galaxien läßt sich dagegen ungefähr deren Masse abschätzen.
Nachdem man ein bißchen rechnete, wunderen sich die Leute darüber warum so heißes Gas nicht schon von
relativ leichten Galaxien verschwunden ist- die thermische Bewegung könnte die Gravitation leicht überwinden.
Entweder wir sehen also eine zufällige Momentaufnahme - was extrem unwahrscheinlich ist, oder es ist eben doch
mehr Masse da, als man direkt beobachtet. Dieses Problem der fehlenden Masse (Zwicky, 1933), wird heute
dunkle Materie (dark matter) genannt, die sich nur indirekt über ihre Gravitationswirkung zeigt. Es gibt viele
weitere Hinweise auf dunkle Materie, so dass die Astrophysiker bis heute rätseln, woraus sie besteht. Alle diese
Überlegungen gehen allerdings davon aus, dass das Newtonsche Gesetz F= GMm/r2 auch für interstellare und gar
intergalaktische Distanzen (1022-1026 m!) gilt. Eigentlich ist das ein bißchen naiv, weil wir die Gültigkeit nur im
Sonnensystem gut testen können (1013 m). Es wäre allerdings auch sensationell, wenn sich das Newtongesetz (und
damit Einsteins ART) im kosmischen Maßstab als falsch herausstellen sollte.
Internet: galaxy clusters, missing mass, dark matter
Fluktuationen des CMB
Wenn man unter Google Bilder nach WMAP sucht erhält man Darstellungen der kosmischen
Hintergrundstrahlung, die winzige Fluktuationen von Millionstel Grad (bei dem Durchschnittswert 2,726 K)
zeigen. Dabei ist allerdings die sog. Dipolanisotropie und störende Sterne und Galaxien herausgerechnet, das Bild
zeigt praktisch nur den "schwarzen" Nachthimmel ! In der Tat läßt sich die Entstehung von Materieklumpen
(Galaxien etc.) nur verstehen, wenn man annimmt, dass das Universum schon im Babyalter von 300000 a
Fluktuationen der Dichte (und damit der Temperatur) zeigte. Durch diese Bilder scheint dies belegt.
Internet: COBE, WMAP, CMB
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 20.01.05, 14:14-17:30 Uhr, Zi.272
Spezielle Relativitätstheorie – kurz hergeleitet
v2
beschrieben, der Massenzuwachs durch
c2
1/. Diese Formel läßt sich mit folgendem Grundgedanken relativ schnell herleiten:
Zeitdilatation, Längenkontraktion werden durch den Faktor  = 1 
1. Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit in eine Richtung, kann man mit keinem physikalischen
Experiment diese Bewegung nachweisen. Alle Experimente verlaufen wie in einem ruhenden System.
2. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Systemen konstant gleich c, weil man andernfalls ja die gleichförmige
Bewegung des Systems durch eine Messung von c feststellen könnte.
Nun rechnet man mit in folgendem Gedankenexperiment: ein
Auto fährt im Abstand d parallel zu einem Spiegel mit der
Geschwindigkeit v. Im Punkt 1 sendet es einen Lichtblitz aus,
der reflektiert wird und im Punkt 2 wieder am Auto ankommt.
Im System des ruhenden Straßenrandes ist die Zeit tR = 2s/c
vergangen, im System des bewegten Autos hingegen nur die
Zeit tB= 2d/c. Offensichtlich muss in dem bewegten System die
Zeit langsamer vergangen sein! Den Faktor  = tB/tR = d/s
erhält man aus x = v t und Pythagoras, denn d2=s2- v2t2, usw.
(nachrechnen!).
Standardlehrbücher der Physik, z..B. Gerthsen/Vogel Physik (Springer) 19.Aufl , Kap. 15.
Einsteins Fahrstuhl und was spezielle und allgemeine Relativitätstheorie gemeinsam haben
Einsteins grundlegende Idee war es, dass niemand unterscheiden kann, ob er sich in einem abgeschlossenen Raum
auf der Erde unter Gravitationseinwirkung befindet oder in einem Fahrstuhl im schwerelosen Raum, der konstant
beschleunigt ist (vgl. Äquivalenz von träger und schwerer Masse, 040708). Da ein beschleunigter Fahrstuhl nach
einiger Zeit ein große Geschwindigkeit mit entsprechender Zeitdilatation (s.o) annimmt, ist es klar, dass auch ein
Gravitationsfeld nicht ohne Einfluss auf den Gang der Uhren bleiben kann. Zu einer heuristischen Herleitung kann
man einfach die kineteische mit der potentiellen Energie im Gravitationsfeld vergleichen, mv2/2 = GMm/r2,
2GM
v2
eingesetzt in 1  2 ergibt für die Verringerung des Zeitablaufs den Faktor 1 
(Masse M, Abstand r
rc 2
c
davon, G=6,67 10-11 m3/s2 kg Gravitationskonstante). Weitere Merkwürdigkeiten zum Zeitablauf vgl. 041118.
Gebirge statt Kurven- mehrdimensionale Funktionen
Funktionen von mehreren Variablen wie f(x,y) können als Fläche im
Raum gezeichnet werden, die die Punkte (x,y, f(x,y)) haben. Ein
Beispiel dafür ist f(x,y) = x2-y2 (s.Bild), was übrigens der Realteil der
komplexwertigen Funktion f(z)=f(x + i y) = z2 ist. Derartige
Funktionen haben übrigens nirgendwo Extremstellen, auch wenn die
beiden Ableitungen (x- und y- Richtung) verschwinden.
Die Graphiken erzeugt man am besten mit Computeralgebrasystemen,
z.B. Mathematica:
Plot3D[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]:
4
2
0
-2
-4
-2
2
1
0
-1
-1
0
1
2
-2
Steven Wolfram: Mathematica, a system for doing mathematics by computer(Addison-Wesley, ca. 20 €)
Dunkle Materie I - Rotationsspektren von Galaxien (vgl. 18.12.03)
Setzt man die Gravitationskraft gleich der Zentripetalkraft, so erhält
man einen Zentralkraftsystem (Sonne-Erde, Erde-Mond, Galaxieumlaufende Wolken) einen Zusammenhang zwischen
Umlaufgeschwindigkeit und Abstand r vom Zentrum. Es gilt: FZ=
FG, also m v2/r = GMm/r2, wobei M die Masse des Zentralkörpers
und m die des umlaufenden ist. G = 6,67 10 –11 m3 kg-1 s-2 ist die
Gravitationskonstante. 1kpc=3260 Lichtjahre.
Nach kürzen von m und r müsste demnach die Geschwindigkeit von Wasserstoffwolken, die um eine
Galaxie laufen, mit r -1/2 abnehmen. Man beobachtet dagegen ein von r unabhängiges v. Als Erklärung bemüht
man sog. dunkle Materie, für die es auch andere Hinweise gibt. Insgesamt ist dieses Phänomen aber sehr wenig
verstanden und bietet vielleicht manche Überraschung in den kommenden Jahren. v misst man mit dem
spektroskopischen ‚Fingerabdruck‘ der H-Atome, der durch v dopplerverschoben ist. Da man viele Hypothesen
zur dunklen Materie inzwischen ausschließen kann, versucht man in letzter Zeit auch, das Phänomen durch eine
Abweichung vom Gravitationsgesetz zu erklären. Dies ist aber auch noch nicht befriedigend gelungen.
Silk: Die Geschichte des Kosmos, de.arxiv.org/astro-ph/9502091
Dunkle Materie II - Bahnen von Kugelsternhaufen
Verschiedentlich ist spekuliert worden, ob die unerklärliche Zunahme der Gravitation nur in Richtung der
Galaxienscheiben vorliegt, denn dort misst man die erhöhten Geschwindigkeiten der Gaswolken. Es gibt
allerdings Beobachtungen, die mehr dafür sprechen, dass sich Dunkle Materie wirklich kugelsymmetrisch um das
Galaxiezentrum ist. Nach den Keplerschen Gesetzen sind die Bahnen der unlaufenden Körper ellipsenförmig. Das
gilt für Planeten, insbesondere für Kometen, aber such für die sog. Kugelsternhaufen, die sich um das Zentrum
unserer Galaxie bewegen, und zwar nicht in der Scheibe, wo die meisten Sterne liegen. Da sich alle Körper auf
einer elliptischen Bahn viel länger in der Nähe des Aphel aufhalten (dort sind sie langsamer), kann man statistisch
erwarten, dass sich dort die meisten der ca. 150 Kugelsternhaufen aufhalten. Da man die Geschwindigkeiten kennt
kann man auch aus ihrer Bewegung auf die Masse der Galaxie schließen und erhält ebenfalls höhere Werte, die
auf eine unsichtbare Masse hindeuten, obwohl diese Messung nicht auf die Scheibenebene begrenzt ist.
de.arxiv.org/ hep-ph/0105083
Rechnen mit Kongruenzen - kleiner Fermatscher Satz
Modulo 7 eißt man betrachtet nur den Rest, den eine Zahl bei Division durch sieben ergibt. 9 und 23
sindbeispielsweise kongruent (gleich,  ) 2 modulo 7. Man kann dadurch z.B. verblüffend schnell feststellen,
welchen Rest modulo 13 die Zahl 5319 hat. Anstatt mit der Zahl rechnet man mit dem Rest. Dem Rechnen mit
Kongruenzen liegt zu Grunde, das ein Zahlensystem p Resten (p prim), z.B. 0,1,2,3,4 schon ein sog. Körper ist,
d.h. man kann Addition, Multiplikation, Division etc. sinnvoll definieren. Jede Zahl hat ein Inverses der Addition
und Multiplikation (ausprobieren!). Der kleine Fermatsche Satz besagt, dass für jede Primzahl p gilt: ap  a mod
p. Merkhilfe: 27= 128  2 mod 7.
C. Courant, H Robbins: Was ist Mathematik ? ; Springer 1973.
QED -Elektronen fliegen in der Zeit rückwärts und ähnliche Verrücktheiten
Richard Feynman (NP 1965) stellte die Theorie der Quantenelektrodynamik (QED) auf, die die Verwandtschaft
von Licht und Elektronen/Positronen als Basis hat. Ein e-e+ paar kann sich bekanntlich in 2 Lichtquanten
verwandeln, und aus einem energiereichen Photon kann ein solches Paar entstehen. Feynmans Idee war es, dass
solche Prozesse auch dann stattfinden, wenn die Energie E gar nicht zur Verfügung steht, sondern sich für einen
kurzen Zeitraum t über die Heisenbergsche Unschärferelation `ausgeborgt' wird: tE= h. Man kann
experimentell nicht unterscheiden, ob ein Photon einfach von A nach B fliegt, oder ob ein Paarerzeugungs-bzw.
Vernichtungsprozeß dazwischenlag (vgl. Bild). Insofern könnte man ein Positron auch als ein in der Zeit
rückwärts fliegendes Elektron auffassen.
Feynman gelang es, die elektromagnetische Wechselwirkung nur
durch `virtuelle' Photonen darzustellen die ein Elektron zu einem
anderen hinüberwirft (selbst probieren: Abstand= Wellenlänge, Kraft
= Implusänderung). Dabei taucht die interessante Naturkonstante 
(Feinstrukturkonstante 1/=137,0359...) als Wahrscheinlichkeit
dieses Teilchenaustausches auf. QED ist eine der experimentell am
besten bestätigten Theorien mit geradezu sensationeller Genauigkeit.
Viele andere Theorien basieren heute auf ähnlichen Mustern,
allerdings mit weniger Erfolg in der Messung.
Feynman: QED- the strange theory of light and matter.
Heller als tausend Sonnen- Nuklearenergie, leider nicht immer friedlich
Nachdem 1938 endlich klar wurde (NP Otto Hahn 1938), dass viele Physiker schon den
Urankern 235 gespalten hatten (er zerfällt von selbst durch Anlagerung eines langsamen
Neutrons), deutete sich eine ganz neuartige Art der Energiegewinnung an: bei der Spaltung
werden 2-3 einzelne Neutronen frei, was zu einer Kettenreaktion führt, sobald die Uranmenge
genügend groß ist (kritische Masse). Die Wirkung ist deshalb so verheerend, weil ein
meßbarer und nennenswerter Anteil der Masse des Atomkerns sich nach der Einsteinschen
Formel E= mc2 in Energie umwandelt. Weil man u.a. befürchtete, Hitler könne zuerst eine
derartige Bombe bauen, wurde in den USA 1943 ein Programm zum Bau gestartet (Manhattan
Project). Einstein spielte dabei übrigens eine untergeordnete Rolle - er unterschrieb nur einen
vorgefertigten Brief, der Präsident Roosevelt alarmieren sollte. Leider verloren die Physiker
bald die Entscheidungsbefugnis, so dass die Bombe wohl unnötigerweise in Japan zum
Einsatz kam.
Robert Jungk: Heller als tausend Sonnen. Unbedingt lesenswerte, historisch sorgfältige
Darstellung der Entwicklung der Atombombe in Los Alamos, das `Manhattan Project‘.
Werner Heisenberg: Der Teil und das Ganze
Weisser Zwerg oder Supernova ? – der Lebenslauf der Sterne
Die Fusion von leichten Atomkernen (bis hin zu Eisen) ist die Energiequelle aller Sterne.
Nachdem sich Gaswolken unter ihrer eigenen Gravitation zusammendrücken, kann im Inneren
bei hohen Temperaturen
die Fusion von Wassstoff zu Helium beginnen. Ist der Wasserstoff verbrannt, ändert der Stern
sein Größe (Roter Riese) und beginnt, Helium zu Kohenstoff und Sauerstoff zu verbrennen.
Das Spiel wiederolt sich noch ein paar Mal in immer kürzer werdenden Phasen, bis der Stern
entweder lansam ausglüht (weisser Zwerg) oder sich - das schaffen nur große- nach einer
Supernovaexplosion in einen Neutronenstern oder gar ein schwarzes Loch verwandelt.
Kaler: Sterne; Silk: Die Geschichte des Kosmos, beide Spektrum Verlag.
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 03.03.05, 14:14-17:30 Uhr,
Zi.272
Ebbinghaussche Lernkurven
Der Psychologe Ebbinghaus gilt als einer der Pioniere der Lernforschung, weil er jahrelang
sein eigenes Gedächtnis analysiert hat, meist durch auswendiglernen von sinnlosen Silben.
Ein Resultat war, dass das anfangs gelernte Material am besten behalten wird, und das kurz
vor dem Ende des Lernens eingeprägte Matrial ebenfalls. Konsequenz für Euch: durch Pausen
kann sich der Anteil des dauerhaft behaltenen vergrößern. Nach dem Aufwachen und vor dem
Einschlafen lernt man am besten. Nicht ununterbrochen das gleiche lernen, sondern besser
thematisch abwechseln.
Literatur: F. Vester: Denken, Lernen, Vergessen
Wenn die Entfernungen nicht mehr stimmen - Was ist eine Metrik ?
In einem kartesischen Koordinatensystem (links) berechnet sich ein (infinitesimal) kleiner
Abstand ds einfach mit Phytagoras: ds2 = dx2+dy2. Verwendet man dagegen Polarkoordinaten
(mitte) mit x = r cos , y= r sin  , so ergäbe sich ds2 = dr2+r2 d2 , obwohl es sich
(physikalisch) noch um die gleiche, ebene Fläche handelt. Entscheidend ist jedoch, dass man
verzerrte und gekrümmte Flächen ebenfalls durch eine Metrik beschreiben kann, im
einfachsten Fall das 'gedehnete' kartesische System (rechts): ds2 = 4dx2+dy2.
Die spezielle Reletivitätstheorie läßt sich elegant beschreiben, indem man einen
raumzeitlichen Abstand in vier Dimensionen definiert: ds2 = c2dt2 - dx2- dy2- dz2. Räumliche
Abstände sind dabei negativ, zeitliche positiv, und Licht bewegt sich genau mit der
Bedingung ds=0!
Kugelgeometrie - Kopfschmerzen für Euklid
Die Geometrie der Kugel hat bei näherem Hinsehen
schon einige bemerkenswerte Eigenschaften, z.B.
sind die kürzestzen Wege nicht entlang der
Breitenkreise (man betrachte die Flugroute von
Berlin nach New York auf einem Globus), sondern
auf den sog. Großkreisen mit dem Erdradius. Auch
Dreiecke auf der Kugel haben immer eine größere
Innenwinkelsumme ++ als 180°, wie aus dem
Bild leicht erkennbar. Übrigens ist der Winkelexzeß
= ++-180° gerade proportional zur Fläche. Dies
gilt bei jedem Dreieck auf der Kugel! Die kürzesten
Wege (Geodäten) in einer raumzeitlichen Geometrie
spielen eine wichtige Rolle in der Relativitätstheorie:
sie stellen die Teilchenbahnen dar!
Lichtablenkung: wofür Einstein 1919 gefeiert wurde
Schwerkraft wirkt auch auf Licht. Diese schon früher geäußerte Vermutung konnte Einstein
4GM
1915 als erster richtig berechnen. Für den Ablenkungswinkel gilt =
(r Abstand von der
rc 2
Sonne).Er ist gerade doppelt so groß, als wenn man annehmen würde, ein Lichtteilchen werde
GM
durch die Newtonsche Schwerkraft F= 2 abgelenkt. Der britische Physiker Eddington
r
(man beachte: England und
die Einsteinsche Vorhersage bestätigten. Mit dieser
Deutschland befanden sich damals
sensationellen Beobachtung wurde in einer
im Kriegszustand) bereitete eine
berühmten Sitzung in London die neue Theorie als
Expedition zu einer
Ersatz für die Newtonsche anerkannt, obwohl jene
Sonnenfinsternis vor, deren Daten
natürlich näherungsweise gültig bleibt. Wie bei allen
allgemeinrelativistischen Effekten
2GM
taucht hier die Größe rs= 2 , der
c
sog Schwarzschildradius auf.
A. Fölsing: Einstein-Biographie; Sexl/Urbantke: Gravitation und Kosmologie
Grüße von Mars und Venus: Die Radarechoverzögerung, von der Einstein noch nichts wusste
In den 60er Jahren kam zum ersten Mal L. Schiff auf den Gedanken, dass nach der
allgemeinen Relativitätstheorie Licht beim Vorbeiflug an der Sonne nicht nur abgelenkt wird,
sondern auch eine Zeitverzögerung erfährt. Diese setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
zum einen vergeht im Gravitationsfeld die Zeit langsamer (um den Faktor ca. 1-rs/R, s.o.),
zum anderen wird der Raum wie bei einem eingebeulten Tischtuch gedehnt, so dass effektiv
ein längerer Weg zurückgelegt werden muss. In den 60er Jahren konnte man dies zum ersten
Mal messen, indem man ein Radarsignal zur Venus schickte und einen winzigen reflektierten
Anteil detektieren konnte. Ging der Radarstrahl knapp an der Sonne vorbei, sah man die
errechnete Verzögerung. Der gleiche Effekt, aber mit um ein Vielfaches größerer Genauigkeit
wurde durch die Vicking-Lander-Sonden gemessen, die auf dem Mars landeten und von dort
Lichtsignale auf die Erde sendeten. Es handelt sich um einen der quantitativ besten Tests, die
Theorie und Beobachtung stimmen mit weniger als 0,1% Abweichung überein. Einstein selbst
hat so einen test nie vorgeschlagen, wohl weil er die technologische Entwicklung nicht ahnen
konnte. Dieser sogenannte 4. Test seiner Theorie hätte ihn aber wohl tief befriedigt.
C. Will: Hatte Einstein Recht ?
Schwarzschildmetrik- das schwarze Loch in der Raumzeit
Der Astronom Karl Schwarzschild wusste 1916 noch nichts davon, dass John Wheeler sehr
viel später dan Begriff "schwarzes Loch" prägen würde, als er eine Lösung der Einsteinschen
Gleichungen fand, die heute sehr oft benutzt wird. Einstein selbst hatte seine Vorhersagen auf
mathematisch umständlicherem Wege hergeleitet.
Die 'normale', 'flache', d.h. nichtgekrümmte Metrik des dreidimensionalen Raumes in
Kugelkoordinaten ist nur wenig komplizierter als jene in Polarkoordinaten (s.o.): ds2 = dr2+r2
(sin )2d2 + r2 d2 ,, wobei d den Längen-, und  den im Breitengrad angibt. In der
Umgebung einer Masse M ist die Raumzeit so verzerrt, als wenn man eine kleine Kugel mit
2GM
dem Schwarzschildradius rs=
'herausgeschnitten' hätte; dies darf dann bei der
c2
Längenmessung in Richtung des Radius nicht mehr mitgerechnet werden. Bei dr2 taucht also
ein Korrekturfaktor (1-rs/r)-1 auf. Da der Zeitablauf in einem Gravitationsfeld ebenfalls
beeinflusst ist (vgl. 021024), erhält dt2 den Korrekturfaktor (1-rs/r), so dass sich ergibt
ds2 = (1-rs/r)c2dt2= (1-rs/r)-1 dr2+r2 (sin )2d2 + r2 d2. Sieht schlimm aus, beschreibt aber nur
mathematisch eine ähnliche Geometrie, als wenn man eine Nadel durch ein Stück Stoff
gesteckt hätte (alle 'geradlinigen' Fäden werden beeinflusst). Sehr viel später hat man die
ersten Objekte beobachtet, deren Masse sich auf den Radius zusammengezogen hatte
-schwarze Löcher (vgl. 041118), aus denen kein Licht etweichen kann, und in denen die Zeit
nicht mehr vergeht- verrückt!
Sexl/Urbantke: Gravitation und Kosmologie
Drehen eines Vektors beim Spaziergang - Was ist eine Konnexion ?
Mathematiker suchen ständig nach Möglichkeiten, gekrümmte Geometrien wie z.B. die einer
Kugeloberfläche zu messen, ohne dass man sich aus ihr herausbegibt. Folgende Überlegung
kann aber auch eine intelligente Ameise ausführen: Man gehe entlang eines geschlossenen
Weges und versuche dabei, einen Regenschirm (Vektor) stets in der gleichen Richtung zu
halten (sog. Paralleltransport). Führt der Weg vom Pol zum Äquator, entlang des Äquators
und wieder zurück, hat sich der Vektor gedreht,
obwohl man ihn die ganze Zeit in der 'gleichen'
Landau-Lifschitz II Kap.83 ff.
Richtung gehalten hat! Das Symbol der Konnexion
xxy bezeichnet z.B. die (unsichtbare, nur durch die
Geometrie hervorgerufene) Drehung in der xy-Ebene
(obere Indizes), wenn man sich in x-Richtung bewegt
hat. Als erste haben dies italienische Mathematiker wie
Levi-Civita im 19. Jahrhundert entdeckt. Einstein
benützte diesen Formalismus für seine allgemeine
Relativitätstheorie. Es stelt sich heraus, dass die
Konnexion sogar mit den Ableitungen der Metrik
zusammenhängt..., aber davon später ...
Wie krumm ist die Haut eines Luftballons ?- Das Theorem von Gauß-Bonnet (vgl. 021114)
Im Sinne der Differentialgeometrie ist eine Fläche nur dann gekrümmt, wenn man sie nicht
ohne Überlappung oder Falten auf eine Ebene legen kann, wie z.B. die Schale einer Orange.
Der Mantel eines Zylinders ist also z.B. nicht gekrümmt! Die Krümmung einer Fläche läßt
sich in Zahlen ausdrücken, wenn man zwei Kreise einen Punkt der Fläche berühren läßt, die
aufeinenader senkrecht stehen. Sind r1 und r2 die Radien dieser Kreise, so nennt man das
Produkt 1/( r1 r2) die Gaußsche Krümmung der Fläche (in einem Punkt).
Interessant wird es, wenn man die Krümmung von allen kleinen Flächenstücken, die
zusammen einen geschlossene Fläche (z.B. Luftballon) formen, addiert (mathematisch:
Integration der Krümmung über die Fläche). Es zeigt sich, dass unabhängig von der
Verformung des Luftballons die Gesamtkrümmung immer 4  (Krümmung 1 mal Fläche der
Einheitskugel !) ist. Dies gilt für alle geschlossene Flächen, die sich zu einer Kugeloberfläche
deformieren lassen (nicht: Fahrradschlauch, Torus)
Stichwort: Gauss-Bonnet, Euler-Charakteristik
Riemannscher Krümmungstensor- physikalisch wiederentdeckt von Einstein
Auch dieses schrecklich kompliziert aussehende Symbol benötigte Einstein in seiner
 1 0  2


allgemeinen Relativitätstheorie. Eine Zahlenmatrix wie  3 1 0  (vgl.031113) kann man
  1 2  1


bekanntlich als aik abkürzen (zeile i, Spalte k, z.B. a21 = 3). Eine Konnexion (s.o.) wäre
demnach ein 'Würfel' aus Zahlen und der Krümmungstensor Riklm
ein entsprechend vierdimensionales Objekt... Glücklicherweise gibt es ein paar
Vereinfachungen, man kann ihn sich mit Hilfe der Vektordrehungen der Konnexion (s.o.)
vorstellen: Rxyxz bedeutet z.B. eine Drehung in der x-y-Ebene, wenn man gerade eine Fläche
umrundet hat, die in der x-y-Ebene lag usw. Diese Zahlen hängen übrigens mit der Gaußschen
Krümmung zuswmmen, deshalb war dieser wohl von seinem Schüler Riemann begeistert...
Zählt man die Komponenten des Krümmungstensors in einem bestimmten System zusammen
(Verjüngung), so erhält man die Massen- und Impulsdichte der Raumzeit. Diese Rückführung
der Gravitation auf die Geometrie war der Triumph, der Einstein am meisten befriedigte.
Sexl/Urbantke: Gravitation und Kosmologie ; Landau-Lifschitz II Kap.83 ff.
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 14.04.05, 14:14-17:30 Uhr, Zi.272
Wärmetransport
Wärme ist bekanntlich nur kinetische Energie der sich bewegenden mikroskopischen Teilchen. Prinzipiell kann
Wärme auf verschiedene Weisen übertragen werden. Durch Vermischung von Substanzen verschiedener
Temperatur, durch Wärmeleitung (auch in festen Stoffen), und durch Strahlung. Denn jeder Körper besitzt mit
bewegten Teilchen auch bewegte Ladungen, die elektromagnetische Wellen und damit Licht abstrahlen. Im
Weltraum sind die Moleküle sehr kalt, aber weil sehr wenige da sind, spielt Wärmeleitung fast keine Rolle,
sondern nur Strahlung. Weitere Formen der Wärmeübertragung sind Kondensations- und Erstarrungswärme
(bei Phasenübergängen). Die Wärmestrahlung s (W/m2) folgt dem Gesetz von Stefan-Boltzmann: s =  T4
(T Kelvintemperatur,  = 5,6710-8 W/(m2 K4)).
Gehrtsen Physik, 19. Aufl.
Hawking-Strahlung eines schwarzen Loches
Der bekannte, übrigens schwerbehinderte britische Physiker Hawking arbeitete an Theorien, die die größten und
kleinsten Objekte der Physik miteinander verbindet. In einem Gedankenexperiment fand er heraus, dass ein
schwarzes Loch nicht nur Materie zerreisst und 'verschlingt' sondern auch theoretisch Strahlung abgeben kann.
Da auch das Vakuum spontan Teilchenpaare bilden kann (man kann den Energiesatz für einen kurze Zeit t um
den Betrag E verletzen, wenn t E= h, PlanckschesWirkungsquantum), ist es möglich, dass ein Teilchen
diese Paares im SL verschwindet, während das andere es gerade noch schafft, zu entkommen. Netto verliert
dabei das SL Energie. Hawking berechnete zu dieser Strahlung eine fiktive Temperatur des SL sund eine
Lebensdauer, während der es vollständig zerstrahlt. Diese ist allerdings unvorstellbar groß (1065 a, Weltalter:
1010 a!), so dass man diese Vorhersagen schwer testen kann.
S. Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit
Musik mathematisch zerlegt: Fourieranalyse (vgl. 030508)
Macht man die von einer Stimmgabel
erzwugten Schallwellen auf dem Schirm eines
Osziloskops sichtbar, das an ein Mikrofon
angeschlossen ist, sieht man eine einfache
Sinuswelle, deren Amplitude die Lautstärke
und deren Frequenz die Tonhöhe angibt. Ein
Musikinstrument bzw. die menschliche
Sprache bildet jedoch noch weit kompliziertere
Muster, die z.B. jenem im untersten Bild
ähneln können. Es stellt sich heraus, dass jede
Klangabfolge (mathematisch: jede periodische
Funktion als eine Überlagerung von einfachen
Sinus- und Cosinuswellen mit verschiedenen
Frequenzen dargestellt werden können. Das 1.
Bild kann man etwa als Überlagerung eines
Grundtons (z.B. A= 220 Hz) mit der 3.
Oberschwingung (660 Hz, e) lesen.
Bemerkenswert ist, dass das menschliche Ohr
zwar die Frequenzen sehr gut unterscheiden
kann (naja, jedenfalls am Pestalozzi), aber
nicht die Phase (Sin/Cos) erkennen kann. Bild
2 würde daher als der gleich Ton wie Bild 1
empfunden. Die Fourieranalyse, d.h. das bestimmen der
Frequenzanteile aus einem gegebenen Signal, hat vielfältige
Anwendungen, u.a. in der Medizin beim EKG. Als
mathematische Technik benötigt man Integralrechnung, und
außerdem besteht ein sehr subtiler Zusammenhang mit
Vektorräumen.
1
0
.
5
0
.
5
2
4
6
8
1
0
1
2
1
1. sin x + 0.5 sin 3x
1
0
.
5
0
.
5
2
4
1
2. sin x + 0.5 cos 3x
6
8
1
0
1
2
2
3. sin x + 0.3 sin 2x - 0.5 sin 3x +0.4 cos 5x +
0.2 cos 19x
1
2
4
6
8
1
0
1
2
1
2
Rubik’s cube- Kombinatorik und Beispiel für eine nichtkommutative Gruppe (030327)
Man definiert die Drehungen nach den Seiten des Würfels, den man vor sich liegen hat: Oben, Unten, Rechts,
Links, Vorne, Hinten jeweils im Uhrzeigersinn und die Rückdrehungen im Gegenuhrzeigersinn als O-1, R-1,
usw. Dann ist der Würfel z.B. nach den Zügen V-1 R V R-1 nicht mehr im Grundzustand, was man bei
normalen Zahlen mit 3-1 5 3  5-1 =1 erwarten könnte. Die Zustände des Rubik`s cube stellen mathematisch
eine sog. Gruppedar. Vergleiche auch Thema `Drehungen im dreidimensionalen Raum´ vom 24.10.02!
Kombinatorisch ist der Rubik`s cube ebenfalls interessant: es gibt 8! Positionen für die Anordnung der 8
Kantensteine (überlegen!) und 12! für die Anordnung der Ecken. Da man jede Ecke in 3 Orientierungen drehen
kann und jede Kante in zwei, kommen noch die Faktoren 123 und 28 hinzu: insgesamt also
8!12!312  28=5,2 1020 Möglichkeiten ! Nur 1/6 davon läßt sich durch Würfeldrehungen realisieren, der Rest
durch Zusammenbauen.
Hubble Ultra Deep Field
Das Hubble-Weltraumteleskop sendet seit seiner Reparatur im Jahre 1993 spektakuläre Bilder zur Erde. Eine
dieser Aufnahmen wurde gewonnen, indem man das Teleskop stundenlang auf eine völlig 'schwarze' Stelle des
Himmels richtete (keine Sterne, keine bekannten Galaxien). Nach langer Belichtung und Überlagerung durch
Bildverarbeitung wurden schließlich extrem leuchtschwache und weit entfernte (ca. 9 Lj) Galaxien aus der
Frühzeit des Kosmos sichtbar. Die Helligkeit betrug nur ca. 1 Photon pro Minute (Tageslicht: ca. 1021
Photonen/s/m2!)
Google: APOD, Hubble Ultra Deep Field
Nervenzellen und Synapsen im Gehirn- warum wir 10-dimensional denken (021024)
In einer Dimension Einkaufsschlange hat man 2 nächste Nachbarn (vorne und hinten). In 2 Dimensionen (Plätze
im Klassenzimmer) dagegen schon 8 (rechts hinten, hinten, links hinten usw.). In 3 Dimensionen entsprechend
26 (Würfel 33-1). Je höherdimensional Information ist, desto besser kann man sie sich merken. Bei der
speziellen Anatomie des menschlichen Gehirns hat jede der 1010 Nervenzellen ca. 1000-10000 Verbindungen zu
anderen (sog. Synapsen), die gewissermaßen als nächste Nachbarn angesehen werden können. Insofern könnte
man sagen, dass das Gehirn in ln 10000/ln3 =ca. 8 Dimensionen denkt.
Schmidt/Thews: Physiologie des Menschen (Springer), Kap. 6 Zentrales Nervensystem, Kap. 6.5
Lernen/Gedächtnis (sehr interessant!);Frederic Vester: Denken, Lernen, Vergessen, (dtv Taschenbuch); Oliver
Sacks: Der Mann der seine Frau mit einem Hut verwechselte (rororo)
Die dreidimensionale Cellosaite oder die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms (040429)
Schwingungen auf einer Dimension kann man sich als schwingende Saite vorstellen. Die verschiedenen
Schwingungsarten (hier: Töne) entstehen, wenn man Punkte (0-dimensional) auf der Saite nicht schwingen läßt
(Finger drauflegen). Mathematisch: Sin und Cos.
Verschiedene Schwingungsarten in zwei Dimensionen (schwingende Membran) kann man erzeugen, indem
man Kotenlinien (1-dimensional) nicht schwingen läßt. Mathematisch: sog. Besselfunktionen (Bild links oben).
Die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms sind schließlich die einfachsten Schwingungsarten in drei
Dimensionen. Man Kann sie durch Knotenflächen (2-d) verwirklichen. Diese Funktionen sind allerdings
komplexwertig. Mathematisch: Kugelflächenfunktionen und sog. Laguerre-Polynome
Sehr merkwürdig ist, dass diese einfachsten Schwingungszustände des Raumes als Elektronen aufgefasst
werden können. Diese müssen daher elementare Teilchen sein. Die dreidimensionalen Bilder sind vereinfachte
Darstellungen der Wellenfunktion, die den Ort der maximalen Aufenthaltswahrscheinlichkeit anzeigen. Das
einfachste Orbital (s) ist kugelsymmetrisch (nicht dargestellt), links unten und mitte sind die beiden 2p-Orbitale.
Rechts zwei Beispiele für Orbitale aus der 3. (d) und 4.(f) Schale.
Knotenflächen: Gerthsen/Vogel Physik (Springer) 19.Aufl , Kap. 16.4.1
Komplexe Zahlen: C. Courant, H Robbins: Was ist Mathematik ? (Springer 1973) Kap.II 5
Math. Funktionen: Haken/ Wolf Atom- und Quantenphysik 4. Aufl., Kap
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 12.05.05, 14:14-17:30 Uhr, Zi.272
Experiment Kohlebogenlampe
Die Kohlebogenlampe erzeugt ein besonders intensives kontinuierliches Spektrum, das man sehr schön
mit einem Prisma sichtbar machen kann. Man erzeugt beim Zünden zwischen zwei Kohlestäben einen
Funkenübersprung, so dass durch den Sromfluss ein sehr heller Lichtbogen entsteht. Die
Kohlebogenlampe hat auch einen hohen UV-Anteil.
Max Plancks Mathetrick, der zur Quantenmechanik führte - Schwarzkörperstrahlung
Salopp gesprochen, läßt sich jede Funktion als Summe von Polynomfunktionen schreiben, manchmal
benötigt man allerdings eine unendliche Summe. Bekanntestes Beispiel ist dafür die Exponentialfunktion,
die gleich
1
1
1 4 1 5
ihrer eigenen Ableitung ist: ex = 1+x+ x2+ x3+
x+
x +...
2
6
24
120
Um 1900 war die sog. Schwarzkörperstrahlung bereits gut bekannt und experimentell genau erforscht.
Sie besagt, dass jeder Körper Licht aussendet, dessen Intensität bei der ensprechnden Wellenlänge nur
von der Temperatur abhängt. Dieses kontinuierliche Spektrum wird durch die Wärmebewegung der
Atome verursacht und hat nichts mit dem einfarbigen Licht zu tun das für jedes Atom charakteristisch ist
und durch Elektronensprünge zwischen den Schalen entsteht. Der bekannteste `schwarze Strahler‘ ist die
Sonne, deren Oberflächentemperatur von ca. 6000 K genau der apektralen Verteilung des Sonnenlichts
entspricht. Die Intensität als Funktion der Lichtfrequenz hat etwa die im Bild gezeigte Form. Wien
(Nobelpreis 1911) und Rayleigh (NP 1904) hatten durch vergleich der Kurven schon die
Näherungsformeln I(f,T)= a f3
 bfT
e
bzw. I(f,T)= 8  k T f3 b /c3 herausgefunden, die die Form der
Kurven für große und kleine Frequenzen f ganz gut annähern. Planck erinnerte sich nun, dass ex ungefähr
gleich 1+x ist, und setzte für x den Bruch hf/kT ein. Dann lassen sich beide Formeln zusammenfassen
und das Strahlungsgesetz lautet I(f,T)= 8  h f3/c3
1
hf
kT
e 1
. Die genaueste Messung einer
Schwarzkörperstrahlung ist die der kosmischen Hintergrundstrahlung.
Die neu auftretende Konstante h nannte er
Wirkungsquantum Planck war sich bewußt,
dass er im Grunde den mathematischen Trick
der Taylorreihe angewendet hatte, und
entschuldigte sich fast für die seiner Ansicht
nach formale Herleitung. Seine neue Formel
suggeriert nämlich, dass ein Licht nur in
`Portionen´ der Energie hf auftritt. Diese
revolutionäre Bedeutung wurde aber erst von
Einstein erkannt (dafür erhielt er den NP
1921), aber Planck selbt glaubte lange nicht
daran.
(rechts Spektrum für 6000 K, 5000 K, 4000 K)
I
1.
75
1
.5
1.
25
1
0.
75
0
.5
0.
25
f@HzD
14
14
2
´1
014 4´10
6´1
014 8
´10
1´1
015
Stichwort: Taylorreihe; C. Courant, H Robbins: Was ist Mathematik ? (Springer 1973) Erg. zu VIII § 3.1
Standardlehrbücher der Physik, z..B. Gerthsen/Vogel Physik (Springer) 19.Aufl , Kap. 11.2.2.
Algebra- das Gerüst der Mathematik
Das primitivste Objekt, an dem man Rechenoperationen ausführen kann, nennt man eine Gruppe. Z. B.
sind schon die Drehungen des Rubikc cube, die man hintereinander ausführen kann, eine Gruppe. Oder
auch die Addition mit ganzen Zahlen , denn zwei ganze Zahlen addiert ergeben wieder eine ganze, und
es gibt ein neutrales (0) und ein inverses Element (-x). Das nächstbessere Zahlensystem nennt man einen
Ring,  ist mit der Multiplikation auch ein Ring. Weitere Beispiele für Ringe sind übrigens Polynome.
Man kann sie addieren, multiplizieren, fertig! Das einzige, was ihnen (wie ) fehlt, ist ein inverses
Element der Multiplikation (1/3 ist invers zu 3, aber nicht in ). Kommt dies auch vor, dann hat man
schon einen sog. Körper, wie die rationalen Zahlen  oder die reellen .
Komplexe Zahlen
Das primitivste Objekt, an dem Einen besonders interessanten Körper bilden die komplexen Zahlen , die
man sich wie Vektoren in der xy-Ebene vorstellen kann, nur mit dem interessanten Zusatz, dass sich eine
Multiplikation definieren läßt. Einzelheiten dazu findet ihr in der kurzen, aber sehr guten
Zusammenfassung in Courant/Robbins, die Ihr separat als komplexeZ.pdf herunterladen könnt.
Zusammenfassung des AG Euler- treffens am 30.06.05, 14:14-17:30 Uhr, Zi.272
Entfernungsbestimmung mit Cepheiden - Maßband zur nächsten Galaxie
Seit langem kennt man verän derliche Sterne, eine Art davon
sind die sog. Cepheiden, deren Helligkeit in der
Größenordnung von Tagen schwankt. Henrietta Levitt
entdeckte 1912 bei Cepheiden in der Magellanschen Wolke
(einer Begleitgalaxie der Milchstraße), dass die (mittlere)
Helligkeit eines Sterns mit der Periodendauer
zusammenhängt. Da alle diese Sterne
etwa gleich weit weg sind, konnte die
unterschiedliche Helligkeit nicht ein
Effekt der Entfernung sein. (Die
Leuchtkraft nimmt ~ 1/r2 mit der
Entfernung ab, weil sie sich auf einer Kugeloberfläche
verteilen muss).
Da man von Cepheiden in der Nähe unabhängig die Entfernung mit Parallaxen messen kann, kann man
auf diese Weise aus der Periode der Helligkeitsschwankung die Entfernung berechnen. Dies ist eine
außerordentlich wichtige Methode für große Distanzen, Hubble bestimmte damit erstmals die Distanz zu
Andromeda, unserer Nachbargalaxie (ca. 2,2 Mio. Lj). Unten ein Beispiel der regelmäßigen
Helligkeitskurve.
Tensoren (1) - der Trägheitstensor eines (kreiselnden) Gegenstandes
Tensoren sind zunächst quadratische
 1 0  2


Zahlengebilde wie z.B.  3 1 0  , auch
 1 2 1


Matrix genannt. Man kürzt dies manchmal als aij
ab, wobei hier z.B. a31 = -2 und a12 = 3 ist.
Multipliziert man einen Vektor mit diesem, ist das
Ergebnis wieder ein Vektor (s. 031113). Bei
kreiselnden Gegenständen kommt es vor, dass der
Vektor der Winkelgeschwindigkeit  (zeigt in
Richtung der Drehachse) nicht parallel zum Vektor
des Drehimpulses L (Symmetrieachse der ganzen
Bewegung) ist. Es gilt aber L= I , wobei I der
Trägheitstensor genannt wird. Er ist symmetrisch
(d.h. aij= aji) und gibt darüber Auskunft, wie ein
Gegenstand, den ich auf einer Tischfläche drehe,
'herumeiert'.
Landau-Lifschitz, TheoretischePhysik I, § 35ff.
Tensoren (2) - Elektromagnetisches Feld, in der Raumzeit gedreht
Bewegt man sich auf als Ladung neben einem
Magnetfeldes B und der Lorentzkraft
ungeladenen, stromdurchflossenen Draht in Richtung der
beschreiben läßt.
negativen Ladungen, dann erscheinen einem aufgrund der
relativistischen Längenkontraktion die Abstände
zwischen den positiven Ladungen verkürzt, und der
Draht erscheint geladen. Daher wird man angezogen, was
sich auch anders mit der Rechten-Hand-Regel des
E x bewegten
Ey
EzBezugssystem
 0aus einem

Im Grunde ist aber ein B-feld nur ein elektrisches (E-)feld,
betrachtet.


 E x antisymmentrischen
0
 Bz B y  (Fij= - Fji) Tensor, so
Schreibt man die Komponenten der Felder wie unten ineinen
läßt sich die relativistische Elektrodynamik sehr elegentbeschreiben.
 Ey
Bz Eine
0 Drehung
 Bx  im ' normalen' Raum,
 Ein bewegtes
sagen wir um 90° um die z-Achse, vertauscht x- und y- Richtung (und Vorzeichen).


E

B
B
0
z
y
x
 in der x-t-Ebene der Raumzeit

Bezugssystem (z.B. in x-Richtung) kann man als Drehung
auffassen (die
Zeit t ist hier die 0. Komponente, F02= Ey usw.). Was bedeutet das ? E-und B-felder vermischen sich bei
diesen sog. Lorentz-transformationen genau in der oben beschriebenen Weise.
Landau-Lifschitz, TheoretischePhysik II, § 23ff.
Mathematik der Ellipse- Planeten folgen ihr
Einen Einheitskreis beschreibt man bekanntlich
mit der Gleichung x2+y2 =1 (Pythagoras!)
Quetscht man ihn, ergibt die Gleichung
x2/a2+y2/b2 eine Ellipse mit Halbachsen a und b
(s. Bild.). e nennt man Exzentrizität, F die
Brennpunkte. Der Abstand Brennpunkt F1Planet-F2 ist übrigens immer gleich 2a (schwer
zu beweisen, probieren!).
Planetenbahnen sind Ellipsen, was auch nicht leicht aus dem Gravitationsgesetz und der Energie- und
Drehimpulserhaltung hergeleitet werden kann.
Courant/Robbins: Was ist Mathematik ? Landau-Lifschitz, TheoretischePhysik I, § 14ff.
Tensoren (3) -Riemannscher Krümmungstensor- physikalisch wiederentdeckt von Einstein
Auch dieses schrecklich kompliziert aussehende Symbol benötigte Einstein in seiner allgemeinen
Relativitätstheorie. Eine Zahlenmatrix wie oben kann man bekanntlich als aik abkürzen, ein Tensor 3.
Stufe aijk (Bsp: Konnexion , AGE 050303) wäre demnach ein 'Würfel' aus Zahlen und der
Krümmungstensor Riklm sogar ein entsprechend vierdimensionales Objekt... Glücklicherweise gibt es ein
paar Vereinfachungen, man kann ihn sich mit Hilfe der Vektordrehungen beim Paralleltransport (050303)
vorstellen: Rxyxz hängt z.B zusammen mit einer Drehung in der x-y-Ebene, wenn man gerade eine Fläche
umrundet hat, die in der x-y-Ebene lag usw.
Integriert man Rxyxz über eine Fläche (wobei wieder 2
Komponenten verbrannt werden), so erhält man eine Drehmatrix,
die die angedeutete Drehung des Vektors besorgt. Zählt man die
Komponenten des Krümmungstensors in einem bestimmten
System zusammen (Verjüngung), so erhält man die Massen- und
Impulsdichte der Raumzeit. Diese Rückführung der Gravitation auf
die Geometrie war der Triumph, der Einstein an der Allgemeinen
Relativitätstheorie am meisten befriedigte.
Sexl/Urbantke: Gravitation und Kosmologie ; Landau-Lifschitz II
Kap.83 ff.
Berryphase- wunderschöne Geometrie in der Quantenmechanik
Licht, das sich in x-Richtung ausbreitet, schwingt in y-oder z- Richtung. Schwingt der Vektor des E-feldes nur
in einer Richtung, nennt man es linear polarisiert, dreht er sich, handelt es sich um zirkulare Polarisation. Wir
können die Arten der Polarisation auf eine Kugeloberfläche abbilden, indem wir die Pole mit dem zirklarem
Licht identifizieren (je nach Drehrichtung), den Äquator mit linear polarisiertem Licht (in entsprechender
Richtung), und die dazwischen liegenden Gebiete mit Mischformen, die man elliptisch polarisiert nennt. Wir
machen nun folgendes Gedankenexperiment: Wir ändern die Polarisation einer Lichtwelle, z.B in einem
Glasfaserkabel, stetig auf einem geschlossenen Weg auf der Kugel, d.h. am Ande soll wieder die gleiche
Polarisation wie anfangs vorliegen. Die Frage ist nun: welche Phasenverschiebung hat dabei die Lichtwelle
erfahren ? Wir können ja nicht erwarten, dass die 'Berge' und Täler der Sinuskurve im Vergleich zu einer
konstanten Polarisation nicht geändert hat. Antwort: die Phasenverschiebung ist gleich der von dem Weg
eingeschlossenen Fläche auf der Einheitskugel! (ganze Kugel: 4, siehe Bild bei Riemanntensor!). Diese
bemerkenswerte Parallele zur Geometrie entdeckte 1984 Michael Berry.
Stichworte: Berryphase, geometric phases, connection, polarization
Einstein ärgerte seine Kollegen- das EPR-Paradoxon
Einstein erfand mit seinen Mitarbeitern Podolsky und Rosen 1935 ein Gedankenexperiment, mit dem der die
Gültigkeit der Uqntentheorie in Frage stellen wollte. Nach der Quantenmechanik existiert z.B. ein System von 2
Elektronen, von denen je der Spin nicht bekannt ist; es ist jedoch sicher, dass die beiden entgegengesetzten Spin
haben. Erst mit der Messung wird praktisch mit einem Zufallsexperiment entschieden, ob der Spin 'auf' oder 'ab'
ist. Wenn die beiden Elektronen nun 1000 km voneinander entfernt sind, wüßte man durch die Messung des
einen Spins bereits nach einer Millisekunde, wie der entfernte Spin steht. Dann hätte sich aber die 'Information'
mit Überlichtgeschwindigkeit ausgebreitet, was, so Einstein, nicht sein könne. Inzwischen glauben die Physiker,
dass man hier zwischen den begriffen 'Materie' und 'Information' unterscheiden muss. Ein modifiziertes
Experiment würde übrigens tatsächlich durchgeführt (Aspen, 1989 ?), und es scheint, dass Einstein hier einfach
Unrecht hatte.
Stichworte: Bellsche Ungleichungen, EPR, Nichtlokalität
Was mit der Hubble-Expansion nicht stimmt, Dunkle Energie, und Einsteins 'Eselei'(031016)
Ein Stein den man in die Höhe wirft, verliert kinetische und gewinnt gleichzeitig potenzielle Energie. Man kann
leicht berechnen, welche Geschwindigkeit nötig ist, um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen (GMm/r
=mv2/2 usw.). Ist er schneller, überwiegt die kinetische, andernfalls die potenzielle Energie. Ebenso kann man
bei der Expansion des gesamten Weltalls die Frage aufwerfen, welche Energieart überwiegt, demzufolge es
ewig weiterexpandiert (Ekin überwiegt, sog. offenes Universum) oder wieder in sich zusammenstürzt
(geschlossenes U.), oder gerade zwischen diesen Möglichkeiten liegt (dafür gibt es momentan Hinweise, sog.
Einstein-de Sitter-Universum). Niemand zweifelte aber ernsthaft daran, daß das die Expansion durch das
Ankämpfen gegen die Schwerkraft gebremst wird. Gerade das Gegenteil scheint aber der Fall zu sein: Entfernte
Supernovaexplosionen scheinen viel weiter entfernt zu sein als die Berechnungen zur Expansion erlauben. Man
geht daher seit 1998 davon aus, daß die Expansion des Weltalls beschleunigt ist. Eine Erklärung wird
momentan mit der sog. dunklen Energie versucht, die abstoßende Eigenschaften haben soll. Lustigerweise ist
dies verwandt mit einem Term, den Einstein 1917 zu seinen Gleichungen hinzufügte, weil er fest an ein
statisches Universum glaubte. Als sich die Expansion durch die Messungen von Hubble herausstellte,
bezeichnete er dies als 'seine größte Eselei'. Neuerdings wird dieser Gedanke wieder aufgegriffen, man ist
allerdings von einem guten theoretischen Verständnis noch sehr entfernt. Nach neuesten Messungen soll die
Dunkle Energie 73% der kritischen Dichte (10-27 kg/m3) ausmachen, die ebenfalls Dunkle Materie 23%, und nur
der Rest, 1% sei sichtbar. Vielleicht sind diese ' dunklen' Effekte aber auch nur ein Indiz dafür, dass das
Gravitationsgesetz für kosmische Distanzen geändert werden muss.
Sexl/Urbantke: Gravitation und Kosmologie, neuere Artikel zu 'Dunkle Energie', WMAP
de.arxiv.org/gr-qc/0308087