Induktivität Vollständige Induktion Archimedische Eigenschaft von ℕ

Induktivität
Beispiel für vollständige Induktion
Definition: Eine Menge M heißt induktiv :
(i)
1 ∈𝑀
(ii)
𝑥 ∈𝑀
2
𝑥+1 ∈𝑀
Bemerkung:
1. ℝ , 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 > 0 sind induktive Mengen
2. Durchschnitt beliebig vieler induktiver
Mengen ist induktiv
ℕ≔
𝑀 ∈𝐹 𝑀
⊂ ℝ
ist die Menge der natürlichen Zahlen
(iii)
(iv)
∀𝑛 ∈ℕ∶𝑛 ≥1
∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚 > 𝑛 ∶ 𝑚 − 𝑛 ≥ 1
∅ ≠𝑀 ⊂ ℕ
𝑀 besitzt ein kleinstes
Element
ℕ ist nicht nach oben beschränkt
Vollständige Induktion
Die Aussage 𝐴(𝑛) sei für alle natürlichen Zahlen
𝑛 ≥ 𝑛0 definiert und es gelte:
(i)
(ii)
𝐴(𝑛0 ) ist richtig
Ist 𝐴(𝑘) richtig für 𝑘 = 𝑛0 , 𝑛0 + 1, … , 𝑛
𝐴(𝑛 + 1) ist richtig
Dann ist 𝐴(𝑛) richtig ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑛0
Archimedische Eigenschaft von ℕ
(i)
(ii)
Beweis:
Induktionsanfang (IA) mit A(1) = 1 stimmt
Induktionsvoraussetzung (IV): A(n) stimmt für ein
bestimmtes n, d.h.
𝑛
𝑖=
𝑖=1
𝐹 ≔ {𝑀 ⊂ ℝ 𝑀 𝑖𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣}
Definition:
Satz:
(i)
(ii)
Satz:
Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Die Summe der
1
ersten n natürlichen Zahlen ist gleich 𝑛(𝑛 + 1).
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 ∙ 𝑎 > 𝑏
1
∀ℰ > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 < 𝐸
1
𝑛(𝑛 + 1)
2
Induktionsschritt(IS): A(n + 1) stimmt auch
𝑛+1
𝑛
𝑖=
𝑖=1
1
𝑖+ 𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 + 𝑛+1
2
𝑖=1
1
= 𝑛+1 𝑛+2
2