Wilhelm Hallwachs (1888) machte bei Versuchen mit Licht eine

Projektdokumentation „Pluskurse am Vormittag“
Aufgabenblatt für den Mathematik-Pluskurs
STRATEGIE 7: DAS BEWEISPRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION
Aufgabenbeispiel „Alle Steine!“: Nenne die Voraussetzungen
dafür, dass bei einer „Domino-Rallye“ alle Steine umfallen!
Aufgabenbeispiel „Summe ungerader Zahlen“:
Versuche, durch systematisches Probieren einen Term A(n) für die Summe der ersten n ungeraden
Zahlen zu finden. Angenommen, du wüsstest nun, dass die Formel auch für n = 1000 gilt. Wie kannst
du dir sicher sein, dass sie dann auch für n = 1001 gilt? Versuche, das Prinzip zu verallgemeinern!
Typische Vorgehensweise:
Wir suchen den Beweis dafür, dass eine mathematische Aussage A(n) für jede natürliche
Zahl n wahr ist. Dazu überprüfen wir die folgenden beiden Sachverhalte:
Induktionsanfang:
Ist A(1) wahr, d.h. stimmt die Aussage für n = 1?
Induktionsschritt:
Folgt aus A(n) immer auch, dass A(n+1) wahr ist?
(Man nimmt also als Induktionsvoraussetzung an, dass A(n) wahr ist,
und versucht damit den Induktionsschluss A(n+1) zu beweisen!)
Treffen beide Punkte zu, so ist die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n bewiesen!
Aufgabe „Winkelsumme“: Wie groß ist die Innenwinkelsumme in einem konvexen n-Eck? Beweise!
Aufgabe „Aufteilung“: Ein (sehr langer) geradliniger Zaun zerlegt eine Wüstenfläche in zwei Gebiete.
In wie viele Gebiete können n geradlinige Zäune die Ebene höchstens zerlegen? (Dabei sind
Kreuzungen von Zäunen natürlich erlaubt.) Stelle eine Behauptung auf und beweise sie!
Aufgabe „Falsche Induktion“: Was stimmt hier nicht?
Behauptung: Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet, dann sind alle diese Tiere Elefanten.
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: n=1: Wenn das eine Tier ein Elefant ist, dann sind alle Tiere Elefanten.
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung trifft für n Elefanten zu.
Induktionsschluss: Von n+1 Tieren sei eines ein Elefant. Die Tiere werden so nebeneinander gestellt,
dass der Elefant eines der ersten n Tiere ist. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass dann alle
diese ersten n Tiere Elefanten sind. Dann ist das vorletzte Tier auch ein Elefant und die letzten n Tiere
sind gemäß Induktionsvoraussetzung allesamt Elefanten. Somit sind alle n+1 Tiere Elefanten.
(Idee aus: http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/vi/vi.html)
Aufgabe „Der Turm von Hanoi“:
Bei diesem Spiel soll pro Spielzug eine Scheibe auf eine
andere Stange versetzt werden. Dabei darf jedoch auf
einer kleineren Scheibe nie eine größere liegen. Wie
viele Züge benötigt man, um den linken Stapel auf die
rechte Stange zu versetzen?
Aufgabe „Diagonalensalat“: Wie viele Diagonalen gibt es in einem konvexen n-Eck?
Aufgabe „Das Ende der Teiler?“ (Bundeswettbewerb Mathematik 2001, Runde I, Aufg. 4.): Man
beweise: Bei jeder positiven ganzen Zahl ist die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 1
oder 9 endet, nicht kleiner als die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 3 oder 7 endet.
Projektdokumentation „Pluskurse am Vormittag“
Aufgabenblatt für den Mathematik-Pluskurs
Lösungen
Aufgabenbeispiel „Alle Steine!“:
Der erste Stein muss umgeworfen werden („Induktionsanfang“).
Die Steine müssen so stehen, dass jeder Stein umfällt, wenn der jeweils vorherige Stein umfällt
(„Induktionsschritt“).
Aufgabenbeispiel „Summe ungerader Zahlen“:
Systematisches Probieren führt schnell zur Erkenntnis das A(n) = n2 gilt.
n
A(n)
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
Angenommen, A(1000) = 1 000 000. Dann ist A(1001) = 1 000 000 + 2001 = 1 002 001 = 1001 2.
Allgemein: A(n+1) = A(n) + „(n+1)-te ungerade Zahl“ = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Aufgabe „Winkelsumme“:
Hinweis: Natürlich kann auf die Voraussetzung der Konvexität verzichtet werden. Um zunächst vom
Beweisprinzip der vollständigen Induktion nicht abzulenken, erscheint die Beschränkung auf den
Spezialfall aber sinnvoll. Die Verallgemeinerung auf beliebige n-Ecke kann anschl. behandelt werden.
Behauptung: Die Winkelsumme W(n) im n-Eck beträgt W(n) = 180° ∙ (n – 2) für alle n ≥ 3
Induktionsanfang:
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsschritt:
W(3) = 180° trifft zu
W(n) = 180° ∙ (n – 2)
Ein konvexes (n+1)-Eck lässt sich in ein n-Eck und ein Dreieck
zerlegen (Skizze!). Somit gilt W(n+1) = W(n) + 180° = 180° ∙ (n+1 – 2)
Aufgaben „Aufteilung“, „Falsche Induktion“
Vgl. z.B. http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/vi/vi.html
Aufgabe „Der Turm von Hanoi“:
Vgl. z.B. http://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/material/hanoi.pdf
Aufgabe „Diagonalensalat“:
Vgl. z.B. http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
oder ohne Induktion: http://lsgm.uni-leipzig.de/lsgm/AdM/archiv/02_03/loesungen.html
Aufgabe „Das Ende der Teiler?“ (Bundeswettbewerb Mathematik 2001, Runde I, Aufg. 4.):
http://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben/...2001/loes_01_1_e.pdf