9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Inhalt 9. Spezielle Relativitätstheorie 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 Galilei-Transformation Lorentz-Transformation Transformation von Geschwindigkeiten Zeitdilatation Längenkontraktion Relativistischer Impuls Relativistische Energie 7. Relativistischer Impuls 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Relativbewegungen Es gilt: • Die Bahnkurve eines Objektes ist nicht eindeutig. • Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig. Sie sind Funktion des Bezugssystems. Beispiel: • Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit vZg. • Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit vFg. Frage: Wie groß ist vFahrgast ? Antwort: Das hängt vom Bezugssystem ab. 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt: vFahrgast = vFg Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt: vFahrgast = vFg + vZg v = f (Bezugssystem) 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9.1 Galilei-Transformation Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional) Annahmen: 1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B. 2. Bezugssystem A ruht. 3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit vB/A relativ zu A entlang der positiven x-Richtung. 4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-Richtung bewegt. 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Es gilt für Bahnkurve xP/A (t) von P in A: xP/A = xB/A + xP/B xP/B (t) = Bahnkurve von P in Bezugssystem B xB/A (t) = Bewegung von B relativ zu A Es gilt für Geschwindigkeit vP/A: Es gilt für Beschleunigung aP/A: 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Ein merkwürdiges Beispiel: Zug mit vZg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c relativ zum Bahndamm: vZg = 0,9 c = 0,9 . 3 . 108 m/s Fahrgast mit vFg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit relativ zum Zug: vFg = 0,3 c = 0,3 . 3 . 108 m/s Am Bahndamm ruhender Beobachter sollte messen: vFahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen! Es gilt: • Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden. • Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation) v << c ist nur gültig, falls 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 2.9. Spezielle Relativitätstheorie 9.2 Lorentz-Transformation Wir hatten: Galilei-Transformation - 2 Inertialsysteme S, S‘ - S‘ bewegt sich mit u = konstant relativ zu S in x - Zur Zeit t = t‘ = 0 gilt O = O‘ Annahme: P bewegt sich in die + x-Richtung Für Punkt P gilt: Keine zusätzlichen Kräfte, Newton gilt, Erhaltungssätze (E, p, L) gelten 2.9.1 Experimente 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Experimente 1. Zugexperiment Theorie: Experiment: 2. Teilchenexperiment (1964 CERN) Zerfall neutraler Pionen Mittlere Lebensdauer der Pionen Prinzip: π0 à γ γ τ = 10−8 s Man bringe π0 auf v ca. c Man messe vγ (vπ0 = 0,99975 c) Theorie: (Galilei) vγ = vπ0 + c = 1,99975 c Messung: vγ = c !!!! Widerspruch !!!!!!! 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Einstein hilft mit SRT Basiert auf zwei Postulaten (nicht beweisbar): 1. Die physikalischen Gesetze sind unabhängig vom betrachteten Inertialsystem 2. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht (elektromagnetische Welle) ist in allen Inertialsystemen gleich, unabhängig von der Bewegung der Sender (bzw. Empfänger): cVakuum = 300 000 km/s Einstein ersetzt Galilei-Transformation durch Lorentz-Transformation Für Punkt P (1-dim) mit 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9.3 Transformation von Geschwindigkeiten Annahme: Masse bewegt sich entlang der x-Richtung. in Zeit dt wird in S‘ Strecke dx‘ zurückgelegt. Division 1. Gl. durch 2. Gl. und Multiplikation mit dt/dt = 1 (rechte Seite) Analog: Beispiele: v << c v = c v‘ = v – u v‘ = c 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9.4 Zeitdilatation S‘ mit u relativ zu S B‘eo in S‘ misst: ∆t‘ = 2d/c (1) Beo in S misst: mit (2) 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) (1) in (2) eingesetzt: Quadrieren und nach ∆t auflösen : Tests zur Zeitdilatation 1. Makroskopische Uhr 1971 Atomuhr in Flugzeug 1 x um die Welt: ∆t = 200 ns 2. Mikroskopische Uhr (z.B. Myon) µ− à e− + 2ν Mittlere Lebensdauer τ = 2,2 10−6. s (Eigenzeit) 1968 CERN: vµ = 0,9966 c . Theorie: ∆t = 26,7 µs Messung: ∆t = 26,2 +- 0,5 µs 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9.5 Längenkontraktion Gedankenexperiment Beobachter in S‘ mit Eigenlänge l0 l Beobachter in S Länge Lineal = l Zeit: Quelle – Spiegel = ∆t1 Zeit: Spiegel − Quelle = ∆t2 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Hinweg: (Quelle-Spiegel) Rückweg: (Spiegel-Quelle) Gesamtweg: Es gilt: Längenkontraktion: von S aus erscheint Lineal kürzer als in S‘ 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Gemäß l = l0 / γ erscheint der Fahrradfahrer Verkürzt. 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Von Punkten A, B, C, D werde Licht ausgesandt Weitentfernter Beobachter sieht Licht von A, C, D 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Beobachter sieht Wagen gedreht Lorentzkontraktion führt zur Verkürzung Das würde man sehen 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Elektrisches Feld einer bewegten Punktladung v/c = 1/3 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Elektrische Feld einer bewegten Punktladung v/c = 4/5 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9.6 Relativistischer Impuls Problem falls man klassische Definition von p = mv beibehält. 1. Lorentztransformation von v 2. Existenz eines Grenzimpulses Man findet: 1. Impulserhaltung gilt 2. Es existiert kein Grenzimpuls Lösung: Man modifiziere Definition des Impulses Verletzung Impulserhaltung Widerspruch! mit 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Änderung des Impulses als Funktion von v 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 9.7 Relativistische Energie Kinetische Energie klassisch: Ekin = ½ m .v2 (folgte aus Gleichung zur Arbeit) Kinetische Energie relativistisch: (folgt aus Gleichung zur Arbeit mit relativistischer Kraft) Problem: E = 0 falls v = 0 mit T = (relativistische) kinetische Energie = T + E0 Gesamtenergie = Kinetische Energie + Ruheenergie Konsequenz: Teilchen haben Ruheenergie. 0 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Änderung der kinetischen Energie als Funktion von v 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Konsequenz: Beispiele: Masse ist äquivalent zur Energie. Kernfusion, Kernspaltung, Angabe der Masse in eV/c2 , z.B. me = 0,5 MeV/c2 9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Zusammenhang E = f(p) Klassisch: Relativistisch: Beweis: (1) Aus (2) – (1) folgt: (2)