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Spezielle Relativitätstheorie
Die SRT behandelt Ereignisse, die von einem Inertialsystem (IS) beobachtet werden und gemessen werden. Dabei handelt es sich um Bezugssyteme, in denen das erste Newton’sche Axiom gilt.
Die Erde ist strenggenommen kein IS (sie rotiert), kann aber trotzdem näherungsweise als solches betrachtet werden. Rotierende oder anderweitig beschleunigte Bezugssysteme (BS) sind keine
IS und werden hier nicht weiter behandelt. Ein BS, das sich relativ zu einem IS mit konstanter
Geschwindigkeit bewegt, ist selbst ebenfalls ein IS.
Galilei-Newton’sches Relativitätsprinzip
Das Relativitätsprinzip besagt, dass die Grundgesetze der Physik in allen IS gleich sind. Dies wird
an folgendem Beispiel erläutert:
Angenommen, man befindet sich in einem Auto, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Lässt man im Auto einen Ball aus Kopfhöhe fallen, fällt der Ball in Bezug auf das Auto senkrecht
herunter und trifft den Boden genau unter dem Punkt, an dem der Ball losgelassen wurde. Für
einen Beobachter am Straßenrand folgt der Ball einer Parabell. Die vom Ball verfolgte Kurve
unterscheidet sich für verschiedene BS. Diese Tatsache verletzt das Relativitätsprinzip nicht, da
dieses Prinzip nur besagt, dass die Gesetze in jedem IS gleich sind. Dasselbe Gravitationsgesetz
und dieselben Bewegungsgleichungen sind in beiden BS anwendbar. Die Beschleunigung ist in
beiden BS gleich. Der Unterschied in den Betrachtungsweisen besteht darin, dass der Ball im
Bezugssystem Erde eine Anfangsgeschwindigkeit besitzt (gleich der Geschwindigkeit des Autos).
Die physikalischen Gesetze sagen voraus, dass der Ball einer Parabolischen Kurve folgt. Im BS
Auto gibt es keine Anfangsgeschwindigkeit, die physikalischen Gesetze sagen den senkrechten Fall
des Balles voraus. Die Gesetze sind in beiden BS dieselben, obwohl die speziellen Bahnkurven
verschieden sind.
Das Relativitätsprinzip beinhaltet außerdem bestimmte unbeweisbare Annahmen, die aus der
täglichen Erfahrung heraus sinnvoll sind. Es wird angenommen, dass sich die Länge eines Körpers
in allen BS gleich ist und die Zeit in verschiedenen BS mit gleicher Geschwindigkeit abläuft. In
der klassischen Mechanik werden Raum und Zeit als absolut angesehen.
Die Postulate der speziellen Relativitätstheorie
Die Inkonsistenzen innerhalb der elektromagnetischen Theorie ergaben sich deshalb, weil man von
der Existenz eines absoluten Raumes ausging (Stichwort: Äther). Das erste Postulat ist eine Erweiterung des Newton’schen Relativitätsprinzip, die nicht nur die Gesetze der Mechanik, sondern
auch die übrige Physik, einschließlich der Elektrizität und des Magnetismus:
Erstes Postulat (das Relativitätsprinzip): die Gesetze der physik haben in allen
Inertialsystemen dieselbe Form.
Zweites Postulat (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit): Licht breitet sich im Vakuum mit einer bestimmten Geschwindigkeit c aus, die unabhängig von der Geschwin1
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digkeit der Lichtquelle oder des Beobachters ist.
Das zweite Postulat scheint schwer zu akzeptieren sein, weil es die Vorstellung der klassischen
Physik in Bezug auf die Wellenausbreitung verletzt. Zunächst muss man sich vorstellen, dass sich
Licht im Vakuum ausbreitet. Sich von der Vorstellung des Äthers zu lösen ist nicht so schwierig weil
er im Grunde niemals nachgewiesen wurde. Aber das zweite Postulat besagt außerdem, dass die
Lichtgeschwindigkeit immer dieselbe ist, nämlich 3 · 108 m/s, unabhängig von der Geschwindigkeit
des Beobachters oder der Lichtquelle. So wird eine Person, die sich auf die Lichtquelle zu oder
von ihr weg bewegt, dieselbe Ausbreitungsgeschwindigkeit für das Licht messen, wie jemand, der
sich relativ zur Lichtquelle in Ruhe befindet. Dies widerspricht der klassischen Physik, die besagt,
dass man die Geschwindigkeit des Beobachters addieren muss. Das Michelson-Morley-Experiment
kann durch die Vorhersage der klassischen Physik nicht erklärt werden, es steht aber in vollem
Einklang mit dem zweiten Postulat der SRT.
Aus Einsteins Theorie ergab sich die notwendigkeit, sich von den gängigen Vorstellungen von Raum
und Zeit zu verabschieden.
Gleichzeitigkeit
Eine der wichtigsten Konsequenzen der SRT ist, dass die Zeit nicht länger als absolut angesehen
werden kann. Die Zeitdifferenzen zwischen zwei Ereignissen hängen von dem BS des Beobachters
ab, selbst wenn die beiden Ereignisse gleichzeitig stattfinden.
Man sagt, dass zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden, wenn sie genau zur selben Zeit stattfinden.
Aber wie kann man feststellen, dass zwei Ereignisse genau zur selben Zeit stattfinden? Wenn sie
am selben Ort stattfinden ist das einfach. Wenn die beiden Ereignisse aber an weit voneinander
entfernten Stellen stattfinden, ist es viel schwieriger festzustellen, ob zwei Ereignisse gleichzeitig
sind, weil die Zeit eingerechnet werden muss, die das Licht zum Beobachter braucht. Da sich
Licht mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet, muss eine Person, die zwei Ereignisse beobachtet,
zurückrechnen, um festzustellen, wann sie tatsächlich stattgefunden haben. Wenn z.B. zwei Ereignisse gleichzeitig beobachtet werden, das eine aber viel weiter vom Beobachter entfernt stattfand
als das Andere, dann muss das entferntere eher stattgefunden haben und beide Ereignisse waren
nicht gleichzeitig.
Man stellt also fest, dass zwei Ereignisse, die für den einen Beobachter gleichzeitig sind, für einen
anderen Beobachter nicht notwendigerweise gleichzeitig sein müssen. Man fragt sich: "Wer hat
Recht?". Die Antwort der SRT lautet, dass sie beide Recht haben. Es gibt kein "besseres"BS, das
man wählen könnte um zu bestimmen, welcher Beobachter recht hat. Beide BS sind gleich gut.
Man kann also festhalten:
Gleichzeitigkeit ist kein absolutes Konzept, sondern hängt von der Wahl des Bezugssystems ab.
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Zeitdilatation
Das Problem mit der Gleichzeitigkeit legt nahe, dass die Zeit selbst nicht absolut ist. Abbildung
blablabla zeigt ein Raumschiff, das it hoher Geschwindigkeit an der Erde vorbeifliegt. Die Person
im Raumschiff misst die Zeit, die das Licht für den Weg im Raumschiff hin und zurück benötigt.
Das Licht legt die Strecke von 2h mit der Geschwindigkeit c zurück, so dass die benötigte Zeit
gleich
2h
c
ist. Der Beobachter auf der Erde nimmt denselben Prozess wahr. Für ihn bewegt sich das Raumschiff jedoch. Somit legt das Licht den diagonalen Weg hin und zurück. Obwohl sich das Licht mit
derselben Geschwindigkeit ausbreitet (zweites Postulat), legt es eine Größere Entfernung zurück.
Somit ist die von der Erde aus gemessene Zeit größer als die vom Beobachter im Raumschiff gemessene Zeit. Das von der Erde aus gemessene Zeitintervall ∆t lässt sich wie folgt berechnen.
In der Zeit ∆t legt das Raumschiff mit der Geschwindigkeit
v eine Entfernung von 2∆s = v∆t
√
zurück. Das Licht legt also eine Gesamtentfernung von 2 h2 + ∆s2 zurück und deshalb gilt:
!
2
2
√
2
2
2 h2 + v (∆t)
2 h + ∆s
4
c=
=
∆t
∆t
Beide Seiten quadrieren und nach ∆t auflösen, führt zu:
∆t0 =
c2 =
4h2
2h
+ v 2 ⇔ ∆t = "
2
(∆t)
c 1 − v 2 /c2
Kombiniert man das mit der obigen Gleichung für ∆t0 = 2h/c erhält man die Gleichung für die
Zeitdilatation:
∆t = "
∆t0
1 − v 2 /c2
(1)
In Worten ausgedrückt, besagt der Effekt der Zeitdilatation, dass
relativ zu einem Beobachter bewegte Uhren für diesen Beobachter langsamer laufen
als Uhren, die sich im Vergleich dazu in Ruhe befinden.
Längenkontraktion
Auch Längen und Entfernungen unterscheiden sich nach der SRT. Angenommen, ein Beobachter
auf der Erde betrachtet ein Raumschiff, das sich mit der Geschwindigkeit v von der Erde zu einem entfernten Planeten bewegt. Der Beobachter auf der Erde misst für die Entfernung zwischen
den Planeten den Wert L0 . Die für die Reise notwendige Zeit ist, von der Erde aus gemessen
∆t = L0 /v. Im Bezugssystem Raumschiff befindet sich dieses in Ruhe, Erde und Planet bewegen
sich mit der Geschwindigkeit v. Die Zeit zwischen der Abreise von der Erde und der Ankunft am
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Planeten (vom Raumschiff aus betrachtet) ist die Eigenzeit, da beide Ereignisse am selben Ort
stattfinden, in diesem Fall im Raumschiff. Deshalb ist wegen der Zeitdilatation das Zeitintervall
für den Beobachter im Raumschiff kleiner als für den Beobachter auf"
der Erde. Aus Gleichung 1
erhält man für die Reisedauer vom Raumschiff aus gesehen ∆t0 = ∆t 1 − v 2 /c2 . Weil der Beobachter im Raumschiff die gleiche Geschwindigkeit, aber eine kleinere Zeitdifferenz zwischen den
beiden Ereignissen misst, muss er auch eine kleinere Entfernung messen. Wenn L die Entfernung
zwischen den Planeten vom Raumschiff
aus gesehen ist, gilt dann L = v∆t0 . Außerdem gilt eben"
falls wie oben angeführt ∆t0 = ∆t 1 − v 2 /c2 und ∆t = L0 /v. So erhält man die Gleichung für die
Längenkontraktion:
L = v∆t0 = v∆t
!
!
1 − v 2 /c2 = L0 1 − v 2 /c2
(2)
Diese Gleichung ist allgemein gültig und sowohl auf Längen als auch auf Enrfernungen anwendbar.
In Worten ausgedrückt, besagt der Effekt der Längenkontraktion, dass
wenn sich ein Körper relativ zum Beobachter bewegt, man für dessen Länge ein kleineres Messergebniss erhält als wenn er sich relativ zum Beobachter in Ruhe befindet.
Relativistische Energie-Impuls.Beziehung
Auch andere physikalische Größen müssen durch die SRT modifiziert werden, wie z.B. Impuls und
Energie. Diese wird im folgenden kurz hergeleitet.
Nach der Energie-Masse-Beziehung gilt:
E = mc2 .
(3)
Außerdem gilt für die relativistische Massenzunahme:
m= "
m0
1 − v 2 /c2
.
In der klassischen Physik bleibt der Impuls erhalten. Er ist definiert als
p = mv → v = p/m .
Ersetz man nun die Geschwindigkeit in der relativistische Massenzunahme erhält man:
m= "
Umstellen und quadrieren führt zu:
m
2
#
p2
1− 2 2
m c
$
=
m20
m0
1 − p2 /m2 c2
.
p2
→ m − 2 = m20 → m =
c
2
%
m20 +
p2
c2
Setzt man nun m in Gleichung 3 ein, erhält man das bekannte Ergebnis, der relativistischen
Energie-Impuls-Beziehung:
E=
!
m20 c4 + p2 c2 .
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(4)
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Galilei- und Lorentz-Transformationen
Um Größen in einem IS mit den äquivalenten Größen in einem anderen in Bezug zu setzen, müssen
Orte und Geschwindigkeiten transformiert werden. Die Galilei-Transformation zwischen einem
IS und einem dazu mit der Geschwindigkeit v relativ bewegten BS lässt sich wie folgt durchführen:
x! = x − vt
y! = y
z! = z
t! = t
Diese Gleichungen bestimmen die Koordinaten eines Ereignisses im BS O’ wenn die Koordinaten
im BS O bekannt sind.
Angenommen, der Punkt P stellt ein bewegtes Teilchen dar. Die Komponenten seines Geschwindigkeitsvektors in O’ seien wx! = dx! /dt! , wy! = dy ! /dt! , wz! = dz ! /dt! und in O wx , wy , wz . Somit
ergeben sich die Gleichungen für die Galilei-Transformation der Geschwindigkeiten:
wx! = wx − v
wy! = wy
wz! = wz
Die Galilei-Transformationen sind nur gültig wenn die beteiligten Geschwindigkeiten wesentlich
kleiner als c sind. Die Galilei-Transformation der Geschwindigkeiten ist nicht mit dem zweiten
Postulat vereinbar: für Licht, das sich in O’ mit der Geschwindigkeit wx! = c ausbreitet, erhält
man in O die Geschwindigkeit c + v, während die SRT auch in O die Geschwindigkeit c verlangt.
Es sind offensichtlich neue Transformationsgleichungen notwendig um relativistisch korrekt in unterschiedlichen BS rechnen zu können.
Angenommen es handelt sich um eine lineare Transformation der Form
bzw.
x = γ(x! + vt! ) , y = y ! , z = z !
(5)
x! = γ(x − vt) .
(6)
Wenn ein Lichtpuls den gemeinsamen Ursprung von O und O’ zur Zeit t = t! = 0 verlässt, hat
er zur Zeit t eine Entfernung von x = ct oder x! = ct! entlang der x-Achse zurückgelegt. Deshalb
ergibt sich aus den Gleichungen 5 und 6
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Es wird
t!
Evangelos Nagel
ct = γ(ct! + vt! ) = γ(c + v ! )t! ,
(7)
ct! = γ(ct − vt) = γ(c − v ! )t .
(8)
aus Gleichung 8 in Gleichung 7 eingesetzt. Dies führt zu
ct = γ(c + v) · γ(c − v)(t/c) = γ 2 (c2 − v 2 )t/c .
Division durch t und nach γ auflösen führt zu
γ="
1
1 − v 2 /c2
.
Es fehlt nur noch eine Beziehung zwischen t und t! . Dazu wird x = γ(x! + vt! ) in x! = γ(x − vt)
eingesetzt:
x! = γ(x − vt) = γ(γ[x! + vt! ]) .
Auflösen nach t führt zu t = γ(t! + vx! /c2 ). Damit sind die Gleichungen für die LorentzTransformation vollständig:
x = γ(x! + vt! ) = "
y! = y
1
1 − v 2 /c2
(x! + vt! )
z! = z
t! = γ(t! +
vx!
1
)= "
2
c
1 − v 2 /c2
(9)
#
t! +
vx!
c2
$
Die korrekten relativistischen Gleichungen für die Geschwindigkeiten erhält man, indem man die
Gleichungen 9 nach der Zeit ableitet. Mithilfe der Kettenregel erhält man folgende Transformationen der relativistischen Geschwindigkeiten:
wx! + v
1 + vwx! /c2
"
wy! 1 − v 2 /c2
wy =
1 + vwx! /c2
"
wz! 1 − v 2 /c2
wz =
1 + vwx! /c2
wx =
Es ist zu beachten, dass die Geschwindigkeit v und die x-Komponente der Geschwindigkeit eines Teilchens die Transformation aller Komponenten der Geschwindigkeit eines Teilchens beeinflusst, auch wenn die Relativgeschwindigkeit v nur in x-Richtung zeigt. Dies traf auf die GalileiTransformation nicht zu. Mit diesen Gleichungen sind auch keine Geschwindigkeiten größer als
Lichtgeschwindigkeit zu erreichen. Im Grenzfall von v << c führen diese Gleichungen auf die bekannten Galilei-Transformationen.
Quellenangaben
-
Nolting, Theoretische Physik 4 Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/SRT/
Skript von Prof. Dr. Schmelcher
http://en.wikipedia.org/wiki/Special_ relativity
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