Physik • Mechanik o Statik (Zusammensetzung und

Physik
•
Mechanik
o Statik (Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften auf ruhende Körper
o Kinematik
(reine Beschreibung von Bewegungsabläufen)
o Dynamik
(Betrachtung von Kräften als Ursache von Bewegung)
Kinematik des Massenpunktes:
Massenpunkt Modellvorstellung aber für einige, wichtige Anwendungen nahe der Realität.
Gesamte Masse eines realen Körpers in einem Punkt ohne Ausdehnung gedacht; Vorteile: nur Translation
möglich, keine Rotation, keine Deformation, keine Reibung.
Bahnbewegung:
Ort eines Objektes bestimmen Position bzgl. Referenzpunkt festlegen (Koordinaten)
Ursprung festlegen sollte günstig liegen, um Problem zu vereinfachen (Kreisbewegung, Wurf)
Damit ist Korrdinatensystem festgelegt Bezugssystem (auch mehrere möglich)
Beispiel:
Superposition
Wir haben also für die Lösung von Problemen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung 2 Gleichungen
zur Verfügung.
Für mehrdimensionale Probleme aber entsprechend mehr – 2 je Koordinatenachse!
Wichtig für die Lösung aller 2- und 3-Dimensionalen Probleme
Beispiel:
alle Wurfbewegungen
•
Dynamik
o Kinematik: „wie“ bewegt sich ein Körper Dynamit „warum“?
o Beispiel: Stoßpendel
Eindruck: Geschwindigkeit wir „übertragen“ ist falsch!
v muss mit m gewichtet werden diese Größe wird übertragen!
Die Größe „m*v“ ist der Impuls, d.h.: m1v1 + m2v1 = m1u1 + m2u2
Oft ist die Masse konstant (außer in Röhre, Rakete beim Start) , dann gilt falls p = const. v = const
Schlussfolgerung: ohne Einwirken von außen ist v=const (oder 0!)
1. Newton’sches Axiom. TRÄGHEITSPRINZIP
Eine Masse bleibt im Zustand der relativen Ruhe oder geradlinige-gleichförmigen Bewegung
Bemerkung: erstaunliche Abstraktion …
ABER: Körper bremsen, beschleunigen, fliegen aus der Kurve …
Oft p nicht const.
2. Newton’sches Axiom: wird der Impuls einer Masse von außen geändert, so heißt diese
Einwirkung Kraft
3. Newton’sches Axiom: zu jeder Kraft F12 vom Körper 1 auf Körper 22 gibt es eine gleich große,
entgegengerichtete kraft F21
Oft nicht verstanden
Kräfte
-
Dynamische Kräfte
Statische Kräfte
Elastische Kräfte
Beispiel: Feder
Reibungskräfte
verursachen Beschleunigungen (Newton Aktionsprinzip)
ändern die Form des Körpers bleibend
sind Rückwirkungen von elastisch deformierten Körpern
verursachen negative Beschleunigungen
•
Beispiel: schiefe Ebene
zw. Festkörpern Haftreibung, Gleitreibung, Rollreibung aber auch mit
Flüssigkeiten und Gasen (Luftwiderstand …)
Die bisher genannten Kräfte können im Gleichgewicht sein Bild
Falls sich die Angriffslinien der Kräfte in einem Punkte schneiden, verhält sich der Körper
so, als ob keine Kraft auf ihn wirkt.
Falls nicht: dreht sich der Körper.
Statisches Gleichgewicht
Beispiele:
statische äußere kraft = elastische Kraft
dynamische Beschleunigungskraft = Bremskraft
Beispiele:
Masse – Feder
Fahrstuhl
Trägheitskräfte
Beobachtung: es wirkt zusätzliche
Kraft während der Zeit der äußeren
Beschleunigung
Trägheitskraft
wirkt nur im beschleunigten Bezugssystem
äußere Beobachter „merkt“ nichts von dieser Kraft, sieht aber deren Wirkung
Wird diese Kraft mit in das Kräftegleichgewicht einbezogen
„statisches“ Gleichgewicht im beschleunigten Bezugssystem
dynamisches Gleichgewicht
Die Wahl des Bezugssystems ist äußerst wichtig!
Gesetzmäßigkeiten nehmen ihre einfachste mathematische Form an, wenn sie für ein Bezugssystem
aufgeschrieben werden, in dem die Geschwindigkeit eines Körpers konstant bleibt.
Beispiel: Fahrstuhl
Trägheitskräfte
Die Zentrifugalkraft (Gegenkraft zur Radialkraft) ist Trägheitskraft nach außen gerichtet
Ihre Vertikalkomponente macht die Erdanziehungskraft abhängig vom Breitengrad
Ihre Horizontalkomponente ist die Corioliskraft
Einfaches Experiment: Flaschenzug
Arbeit, Energie, Leistung
Schlussfolgerung auf:
Weg verdoppelt, Kraft halbiert
Produkt bleibt konstant
W = F*s
Dabei muss F in Richtung s zeigen, sonst Komponente von F
Energieerhaltung
Die Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie und umgekehrt ist in der Mechanik vollständig die Summe mechanischer Energien ist im abgeschlossenen System konstant mechanische Energie ist
eine Erhaltungsgröße
Ekin + Epot = const.
Energieerhaltungssatz der Mechanik ist besonderer Bestandteil des allgemeinen Energieerhaltungsgesetzes
(der alle Energieformen umfasst)
Er gilt in dieser Form nicht mehr, wenn z.B. Reibung eine Rolle spielt.
Stoßprozesse
Energiesatz der Mechanik vergleicht Energieerhalt vor und nach dem Ereignis
lässt sich gut anwenden auf unübersichtliche Ereignisse, z.B. Stroßprozesse
Dabei ist die Zuhilfenahme des Impulserhaltungssatzes unerlässlich!
Erinnerung: Modell Massenpunkt
Starrer Körper
Mechanik Deformierbarer Körper
Punktmasse nur Translation; starrer Körper Translation + Rotation
Aber: keine Deformation!
In der Praxis (tägliches Leben/Technik) rufen Kraft- und Momenteneinwirkungen oft keine Translationsbzw. Rotationsbewegungen aus, sondern erzeugen Form- und Gestaltsänderungen
1. Festkörper:
Wichtige Kenngröße. Spannung S=F/A in [N/m2]
Lässt sich zerlegen in Normal- und Tangentialspannung
Welche Wirkungen sind zu beobachten?
- Dehnung/Stauchung (rechte Winkel bleiben erhalten)
ઽ=(l-l0)/l0 = ∆l/l0
- Scherung (Winkel ändern sich, Kantenlängen bleiben gleich)
- Biegung
- Torsion
In einem bestimmten Bereich (materialabhängig) beobachtet man ∆l~σ
Hooke’sches Gesetz: σ = E * ઽ
E- Elastizitätsmodul, wichtige Werkstoffkenngröße
Spannungs-Dehnung-Diagramm
2. Flüssigkeiten und Gase
- Festkörper:
Volumen fest, Gestalt fest
- Flüssigkeit:
Volumen fest, Gestalt frei
- Gas.
Volumen fest, Gestalt frei
2.1. Hydro-/Aerostatik
Spannungen rufen keine Translationsbewegungen hervor, sondern Volumenänderungen.
Es stellt sich ein einheitlicher zustand ein, der durch die Größe DRUCK bestimmt wird.
Dieser wirkt allseitig gleich (isotop), deshalb nicht mehr: σ=F/A sondern ૉ=dF/dA
Außerdem: 1/K=K
Kflüssig << Kgasförmig
∆V/V=k∆p
„K“ = Kompressibilität
Flüssigkeiten im Gegensatz zu gasen nahezu inkompressibel, aber leicht verschiebbar technische
Anwendung Hydraulik
Wegen p=const., gilt pi=po
Schweredruck in Flüssigkeiten
Flüssigkeiten haben Eigengewicht, dieses wächst am Boden mit zunehmender Höhe der Flüssigkeitssäule
ૉ=F/A=mg/A=ૉ
ૉVg/A=ૉ
ૉAhg/A=ૉ
ૉgh
Der Schweredruck (hydrostatischer Druck) hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitessäusle ab, aber nicht
von der Form des Gefäßes.
Schweredruck in Gasen
Prinzip gleich, aber Gase sind unter ihrem Eigengewicht komprimierbar Druck der Gassäule nimmt
mit zunehmender Höhe ab
Obige Gleichung gilt nur für kleine Höhenänderungen mit p=const.
Sonst: für dh über NN nimmt p um dp ab
Dp=ૉ
ૉgdh
∫dp = -∫ૉ
ૉgdh
Barometrische Höhenformel:
p(h)=p0e
-(ૉ0gh)/p0
Auftrieb (Auftriebskraft)
Ursache sind die unterschiedlichen Schweredrücke an
Ober- und Unterseite eines Körpers, der in ein Medium
eintaucht.
p1= ૉ g h1
p2= ૉ g h2
∆p=ૉ g ∆h
∆F=∆p A
∆F=ૉ g ∆h A
F=ૉ gV
Hydro- und Aerodynamik
In der Statik Volumenänderung, aber: wenn medium die Möglichkeit hat, weicht es aus, d.h. es wird
verschoben (z.B. in Rohrleitungen)
Strömungsmechanik : kompliziertes Transportproblem betrachten hier ideale, reibungsfreie Strömung
*inkompressible Flüssigkeiten (Dichte const.) Volumenstrom = const.
A*v=const. A1*v1 = A2*v2 (Kontinuitätsgleichung)
Wenn Geschwindigkeit v wächst Zuwachs an kinetischer Energie --- woher?
???
Ergebins: Bernoulli-Gleichung: p+ ૉgh+1/2 ૉv2=const.
Anwendungen:
Druck- und Volumenstrommessung
Wasserstrahlpumpe
Tragfläche
Magnuseffekt
Schema zeigt Druckerhaltung
Reale Gase und Flüssigkeiten mit innerer Reibung
In realen Fluiden: Adhäsionskräfte zwischen Molekülen Innere Reibung müssen unterscheiden
zwischen gleichmäßig (laminar) und verwirbelt(turbulent)
Bild zweidimensional:
Reibungskraft:
FR=ηA(dv/dx)
Bild dreidimensional
An den Grenzflächen zwischen den Zylindern ist Druckkraft = Reibungskraft
∆pA=-ηA(dv/dx)
Hagen-Poiseuille’sches Gesetz
v(r)=(p1-p2/4ηl) *(R2-r2)
von Interesse ist oft nicht die Ströumngsgeschwindigkeit, sondern der Volumenstrom (Voluen pro Zeit)
Nach Integration über die Änderung des Massenstromes
dm=2ૈ
ૈૉv(r)rdr
folgt
….
d.h. Druckerhöhung bringt für die Förderleistung wenig, Erhöhung des Rohrquerschnittes geht zur 4.
Potenz ein !
turbulente Strömung
instationär, v ändert ständig Betrag + Richtung, Wirbelbildung
Widerstandskraft setzt sich aus Reibung und Druck zusammen:
ૉ/2*Av2
FW=cW*ૉ
Schwingungen
Jetzt greifen mindestens 2 Kräfte so an, dass weder eine translatorische noch eine rotatorische Bewegung
– sondern eine Schwingungsbewegung aufgeführt wird !
Diese muss immer einmalig
angeregt werden.
Definition:
Zeitlich-periodische Änderung einer physikalischen Größe
y(t) = y(t+T)
Periode: Zeitdauer einer Schwingung – T
Beispiele:
Uhrpendel
Schwingquarz
Schwingkreis
Atom- und Gitterschwingungen
Schall
Ebbe/Flut
Einteilung
harmonisch/anharmonisch
Frei/erzwungen
Einfachster Fall: freie, ungedämpfte Schwingung
wichtig: vorerst keine Reibung!
Aufstellen der Bewegungsgleichung und deren
Lösung
Die Summe aller wirkenden Kräfte muss Null sein!
(freier Fall, Fahrstuhl, Kreisbewegung…)
Hier: Federkraft Fel = k*x und Trägheitskraft Ft
=ma=m*((d2*x)/(d*t2‘))=mx
Mx = -kx
Mx+kx=0
x +(k/m)*x = 0
(Diff.-gleichung 2.Ordnung)
Lösung der Differentialgleichung mittels Lösungsansatz
Gedämpfte Schwingung
Zusätzliche Kraft: Reibungskraft, FR~v
FT+FR+Fel=0, d.h.
Führt zu:
Mx+bx+kx=0
X+(b/m*x)+(k/m*x)=0
Allgemeine Form:
x+2δx+ω02x=0
d.h.: Dämpfung
δ=b/2m
Eigenfrequenz ω0=|~k/m
Lösung dieser Differentialgleichung prinzipiell wie oben. Es ergeben
spezielle Fälle.
Lösung:
X(t)=x0e- δtcos(ωt)
mit: ω2= ω02-δ2
sich 3
Andere Beispiele werden grundsätzlich genauso abgehandelt
Drehschwingung:
Pendelschwingung:
Alle Lösungen der verschiedenen Schwingungn haben die selbe Form:
„Anfangsphase“ wichtig, da zwischen sin und cos bei Schwingungen kein Unterschied
Elektromagnetische Schwingung
Reihenschwingkreis bestehend aus Ohmschen Widerstand (Widerstand R),
Spule (Induktivität L) und Kondensator (Kapazität C)
Schwingungsvorgang Ansatz: Summe aller „Kräfte“ muss Null sein !?
Hier Kirchhoff: in einer Masche ist die Summe aller Spannungen unter Berücksichtigung des Vorzeichnes
gleich Null!
UL=UL+UC
-L*(dI/dt)=RI+(1/C)*∫Idt
L*(d2I/dt2)+R*(dI/dt)+(1/C)I=0
[15.06.09]
FELDER
Physikalische Größe, die nicht nur in einem Punkt, sondern im ganzen Raum messbar ist. Kräfte
wirken ohne direkten Kontakt Fernwirkung
Ursachen (Beispile). Massen, Ladungen, magnet. Dipole
Einteilung:
* skalares Feld Temperaturfeld
* Vektorfeld Gravitation g, elektr. Feld E, Magnetfeld H
* homogenes Feld E im Plattenkondensator
H in langer Spule
* inhomogenes Feld Fast Alle !
Feldlinien (als Hilfsmittel) beschreiben die Wirkungslinien von Kräften, Dichte der Feldlinien ist
Maß für die Feldstärke, Tangente an FL gibt Kraftrichtung an.
Speziell für elektrische Felder: FL besitzen Anfang und Ende, schneiden sich nicht, Ladungen
in Leitern sind frei beweglich: werden so verschoben, dass keine tangentiale Kraft wirkt FL
stehen senkrecht auf Leiteroberflächen.
Beispiele für typische Feldlinienbilder:
 Die Feldlinien
enden bei weit
entfernten negativen
Ladungen
Für die Kraft
zwischen zwei Ladungen gilt das COULOMB-Gesetz:
Wird eine Probeladung q1 in das Feld der Ladung q2 gebracht, so spürt
sie die Kraft F, d.h.
F=q1*E und damit:
Milikan-Versuch: ladung ist „gequantelt“,
Elementarladung e-=1,602*10-19 As ist kleinste Ladung, alle Ladungen sind ganzzahlige
Vielfache von eAnwendung:
Tintenstrahldrucker
G: Zerstäuber
C: Belegung der Tröpfchen mit Ladung
E: Ablenkung durch Spannung
Oszillographenröhre
Arbeit und Energie im Feld:
Um punktförmige Ladung Q im elektrischen Feld E von AB zu verschieben, muss Arbeit
geleistet werden
WAB = -∫F(s)ds
WAB = -∫Q*E(s)ds
Quotient aus negativer Arbeit und verschobener Ladung Q ist die elektrische potentielle Energie
die Potentialdifferenz (Spannung)
Magnetfeld
2 Ursachen:
* atomare Elektronenströme sind speziell ausgerichtet Permanentmagnet
* stromdurchflossener Leiter
Die Ursache „Strom“ und das entstehende Magnetfeld bildern „Rechtssystem“
Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld:
I=∫jdA = ∮Hds = Φ
Beispiele:
* gerader Leiter
* lange, gerade Spule
Kraftwirkungen im Magnetfeld
Es galt für das elektrische Feld:
E=FE/q
Gäbe es magnetische Monopole, wäre die Definition äquivalent, man stellt aber im Experiment
fest, dass eine Kraft nur auf bewegte Ladungen wirkt.
Folgt:
B=FB/|q|*v
FB=q*v×B
[22.06.2009]
Elektrischer Strom und Widerstand
Was ist Strom?
Bewegte Ladungen!
I = dq/dt
in 1 A = 1C/s
Da die Ladung erhalten bleibt, muss der Strom an einer Verzweigung des Leiters in
Teilströme aufgespalten werden (Kirchhoff’sche Knotenregel)
Dabei beträgt die Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger nur ~ mm/s unter Einfluss eines
elektr. Feldes, die regellose Wärmebewegung dagegen ~ 106 m/s
bei gleicher Potentialdifferenz fließen in verschiedenen Stoffen verschiedene Ströme der
Quotient wird Widerstand genannt R=U/I
Der Widerstand ist materialabhängig, wächst mit der Leiterlänge und nimmt mit
steigendem Querschnitt ab.
R=ૉ*l/A
ૉ = spezifischer Widerstand des Stoffes
Arbeit, Energie, Spannung
Definition der Spannung: U=dW/dq
(bild1)
In: J/C = Nm/As = kgm2/As3 = V
Die Spannung ist gleich der Arbeit, die an einer Ladung zu verrichten ist, um sie vom Pol nieren
Potentials zum Pol höheren Potentials zu transportieren (DEF)
Reale Spannungsquelle hat eigenen Innenwiderstand, dieser ist oft nicht zu vernachlässigen
(Autobatterie beim Starten, Solarzellen)
Kirchoff’sche maschenregel: Die Summe aller Quellspannungen und aller Spannungsabfälle in
einer Masche ist Null. UE–I*r–I*R=0 I = UE/r+R
Parallelschaltung von Widerständen
Legt man eine Potentialdifferenz U an eine Parallelschaltung von Widerständen, so besteht über
jedem Widerstand die gleiche Potentialdifferenz
Eine Parallelschaltung von Widerständen kann man durch äquivalenten Widerstand Räq ersetzen,
durch den ein Strom fließt, der gleich dem Gesamtstrom durch die parallel geschalteten
Widerstände ist.
I1 = U/R1 I2=U/R2 I3=U/R3
I = I1+I2+I3= U(1/R1+1/R2+1/R3)=U/Räq
Strom- und Spannungsmessung
Amperemeter werde in Reihe geschaltet und haben einen sehr kleinen Innenwiderstand, um den
fließenden Strom möglichst wenig zu beeinflussen.
Voltmeter werden parallel zum Widerstand geschaltet und haben einen möglichst großen
Innenwiderstand, um nicht selbst zum „Verbraucher“ zu werden.
In Abhängigkeit von der Größe de Verbraucherwiderstandes muss zwischen Strom- und
Spannungsrichtiger Schaltung unterschieden werden!
RC-Kreise
Bisher war der Strom zeitlich konstant, kommen Kondensatoren in den Kreis, wird der Strom
zeitabhängig.
(Bild4)
Schalter in Stellung a: Kondensator wird geladen
Schalter in Stellung b: Kondensator entlädt sich über den Widerstand R
Der Strom erhöht die Ladung auf den Kondensatorplatten und damit die Potentialdifferenz über
dem Kondensator, bis die Spannung gleich der Spannung der Quelle ist.
q=C*UC
Maschenregel: UE=R*I+q/C
von Interesse sind die Zeitabhänigkeit von Ladung, Spannung und Strom
mit: I=dq/dt
folgt: UE=R*dq/dt+q/C
Die Lösung der Differentialgleichung liefert q(t):
q(t)=CUE(1-e –t/RC)
und damit für den Strom I:
I = dq/dt=UE/R*e–t/RC
Für die Spannung am Kondensator folgt:
UC=q/C=UE(1- e–t/RC)
Man sieht: UC = 0 bei t=0 und UC = UE (voll geladen) für t= unendlich
Entladen des Kondensators:
diesmal ohne Spannungsquelle:
R*dq/dt+q/C=0
[29.06.2009]
Wechselstromwiderstand
Es liegt eine Wechselspannung an: U = U0sinωt
Am ohmschen Widerstand R lässt die Spannung den Strom l fließen:
I=U0/Rsinωt = I0 sinωt
Strom und Spannung sind
phasengleich!
Am Kondensator gilt: I=C*dU/dt=ωCU0cosωt = I0cossωt
Der Strom eilt der Spannung voraus!
An der Spule gilt:
U=-L*dI/dt=-cLI0cosωt = -U0cosωt
Der Strom läuft der Spannung hinterher!
Anwendung des Ohmschen Gesetzes R=U0/I0 auf die beiden Ausdrücke führt zu:
Rc=1/ωC und RL=ωL
Die sogenannten Wechselstromwiderstände werden frequenzabhängig!
Treten Wirkwiderstände R (Wsirkung: Umwandlung elektr. Energie in Wärme) und
Blindwiederstände RC und RL gemeinsam auf, muss die Phasenverschiebung berücksichtigt
werden (Zeigerdiagramm!)
Der Gesamtwiderstand wird durch eine komplexe Zahl dargestellt: Z=R+j(ωL-1/ωC)
Der Scheinwiderstand (Impendanz) ist dann der Betrag der kompl. Zahl ( Zeigerdiagramm)
|Z|=|~R2+(ωL-1/ωC)2
Ladungen im elektrostatischen Feld
In homogenen Feldern erfolgt die Bewegung von geladenen Teilchen (q, m) völlig analog zum
Schwerefeld der Erde (anstelle „g“ steht elektrische Beschleunigung)
Damit können Bahnbewegungen von Elektronen e- behandelt werden wie „Würfe“ in der
Mechanik.
Von Interesse oft die Geschwindigkeit von e- im elektr. Feld:
Beispiel: Oszillographenröhre
Die Überlegungen zum „waagerechten Wurf“ hatten zur y-Ablenkund am Ende des Querfeldes
geführt:
y=qEL2/2mv2
am Magnetfeld erfuhr die Ladung die Lorenzkraft:
FB=|q|vBsinφ
φ
Experiment nach Thomson: (bild)
[29.06.2009]
Wechselstromwiderstand