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LINEARE FUNKTION
P. Rendulić 2009
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LINEARE FUNKTION
1.1
Geradengleichung
Eine
Geradengleichung
ist
die
mathematische Gleichung, die eine Gerade
im
kartesischen
Koordinatensystem
eindeutig beschreibt.
O ist der Koordinatenursprung. Die
horizontale Koordinatenachse bezeichnet
man
als
x-Achse.
Die
vertikale
Koordinatenachse bezeichnet man als yAchse.
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine
Gerade, die durch 2 Punkte A und B geht.
In der Geometrie nach Euklid kann durch
zwei unterschiedliche Punkte immer genau
eine Gerade konstruiert werden.
1.2
B
1
O
x
1
A
Zur y-Achse parallele Geraden
Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen
gehorchen der allgemeinen Gleichung
x =c
wobei c eine reale Zahl ist.
► Für c = 0 gilt die Gleichung x = 0 . Diese
Gleichung beschreibt eine Gerade, die auf
der y-Achse liegt.
► Für c > 0 liegt die Gerade rechts von der
y-Achse (Beispiel: x = 3 ).
► Für c < 0 liegt die Gerade links von der
y-Achse (Beispiel: x = −2 ).
1.3
y
y
x=-2
x=0
x=3
1
O
1
x
Zur x-Achse parallele Geraden
Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen
gehorchen der allgemeinen Gleichung
y =c
wobei c eine reale Zahl ist.
► Für c = 0 gilt die Gleichung y = 0 . Diese
Gleichung beschreibt eine Gerade, die auf
der x-Achse liegt.
► Für c > 0 liegt die Gerade über der xAchse (Beispiel: y = 2 ).
► Für c < 0 liegt die Gerade unter der xAchse (Beispiel: y = −1 ).
y
y=2
1
y=0
O
1
x
y=-1
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1.4
2
LINEARE FUNKTION
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Allgemeine Geradengleichung
Im allgemeinen Fall kann eine Gerade
durch die lineare Funktion beschrieben
werden:
y = m⋅x + p
m und p sind die Parameter der Gerade.
Man bezeichnet sie folgendermaßen:
► m ist die Steigung der Gerade. Sie
entspricht der senkrechten Kathete des
Steigungsdreiecks, dessen waagerechte
Kathete 1 ist. Wird die waagerechte Kathete
um das x-fache vergrößert (auf den Wert x),
so vergrößert sich auch die senkrechte
Kathete um das x-fache (auf den Wert
m ⋅ x ).
y
R(x,y)
y=2,5
m·x
p
O
m
x
1
x=3 x
1
► p ist die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum
Koordinatenursprung O. p wird auch als Achsenabschnitt bezeichnet.
Ein Punkt R, der auf der Gerade liegt und dessen x-Koordinate x beträgt, besitzt als yKoordinate den Wert m ⋅ x + p (siehe Figur). x und y sind daher die Koordinaten aller
Punkte, welche die Geradengleichung erfüllen. Diese Punkte liegen somit auf der
Geraden.
1.4.1
Beispiel
1
und der Achsenabschnitt p = 1 . Im Beispiel liegt
2
der Punkt R (x = 3, y = 2,5) auf der Geraden, denn die Geradengleichung ist wahr:
Die Steigung der Gerade beträgt m =
y = m ⋅ x + p ⇔ 2,5 =
1.5
1
⋅ 3 + 1 ⇔ 2,5 = 1,5 + 1 ⇔ 2,5 = 2,5
2
Einfluss der Parameter der Gerade auf den Graphen
y
y
m>1
m=1
p>0
0<m<1
1
O
1
m=0
1
m<0
Einfluss der Steigung
p=0
x
O
1
p<0
x
Einfluss des Achsenabschnitts
► Für m > 0 steigt die Gerade (diagonal von links unten nach rechts oben). Für m = 0 ist
die Gerade parallel zur x-Achse. Für m < 0 fällt die Gerade (diagonal von links oben nach
rechts unten).
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3
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► Für p > 0 schneidet die Gerade die y-Achse im positiven Bereich. Für p = 0 ist die
Gerade eine Ursprungsgerade (sie geht durch den Koordinatenursprung). Für p < 0
schneidet die Gerade die y-Achse im negativen Bereich.
1.6
Bestimmung der Steigung einer Gerade (2-Punktmethode)
Die Steigung m einer Geraden kann durch
Bildung des Differenzquotienten bestimmt
werden. Dazu wählt man 2 beliebige,
verschiedene Punkte R (x1 ,y1) und S (x2, y2)
der Geraden und berechnet den Quotienten
m=
y
∆y y 2 − y1
=
∆x x2 − x1
Im nebenstehenden Beispiel wurden die
Punkte R (x1 = -2, y1 = -1) und S (x2 = 2, y2 =
2) gewählt. Die Steigung der Gerade beträgt
dementsprechend
∆y y 2 − y1 2 − ( −1) 3
= = 0,75
=
=
m=
∆x x2 − x1 2 − ( −2) 4
S(x2,y2)
y2
1
x1
O
1
x2
x
y1
R(x1,y1)
Anmerkung: Für eine senkrechte Gerade (parallel zur y-Achse) tendiert die Steigung
gegen Unendlich.
1.7
Parallele Geraden
Zwei Geraden g und g’ sind parallel zueinander, wenn sie in einem beliebigen
kartesischen Koordinatensystem die gleiche Steigung m besitzen.
1.8
Schnittpunkt von 2 Geraden
Zwei beliebige Geraden g und g’, die nicht parallel zueinander sind, besitzen einen
gemeinsamen Schnittpunkt M.
1.8.1
Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts
Die Koordinaten xM und yM des
Schnittpunkts können leicht bestimmt
werden. Die Geraden g und g’ werden
durch
die
folgenden
Funktionen
beschrieben:
g a yg = m ⋅ x + p
g ' a y g ' = m'⋅x + p'
Da der Schnittpunkt M ein Punkt beider
Geraden ist können beide Funktionen gleich
gesetzt werden. Es gilt für yM:
g'
y
g
M(xM,yM)
1
x
O
1
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4
yM = yg = yg '
⇔
m ⋅ xM + p = m'⋅xM + p'
⇔
m ⋅ xM − m'⋅xM = p'− p
⇔
( m − m ' ) ⋅ x M = p' − p
p' − p
m − m'
Dementsprechend ist die x-Koordinate des Schnittpunkts bekannt. Die y-Koordinate kann
bestimmt werden, indem xM in die Geradengleichung von g eingesetzt wird:
xM =
⇔
yM = yg
⇔
y M = m ⋅ xM + p
⇔
yM = m ⋅
⇔
yM =
mp'−mp p ⋅ (m − m' )
+
m − m'
m − m'
⇔
yM =
mp'−mp + pm − pm'
m − m'
p' − p
+p
m − m'
mp'− pm'
m − m'
Die Koordinaten des Schnittpunkts M sind daher:
⇔
yM =
⎛ p'− p mp'− pm' ⎞
,
M⎜
⎟
⎝ m − m' m − m' ⎠
1.8.2 Beispiel
Im gezeigten Beispiel werden die Geraden g und g’ durch diese Funktionen beschrieben:
g a yg = 3 ⋅ x − 1
g ' a y g ' = −1 ⋅ x + 3
Daher besitzt der Schnittpunkt M die Koordinaten:
⎛ p'− p mp'− pm' ⎞
,
M⎜
⎟
⎝ m − m' m − m' ⎠
⇔
⎛ 3 − ( −1) 3 ⋅ 3 − ( −1) ⋅ ( −1) ⎞
M ⎜⎜
,
⎟⎟
3 − ( −1)
⎠
⎝ 3 − ( −1)
⇔
⎛4 8⎞
M⎜ , ⎟
⎝4 4⎠
⇔
M (1,2)
Dies sind in der Tat die Koordinaten, die aus der Graphik bestimmt werden können.
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1.8.3 Praktische Anwendung: Wahl des richtigen Telefonabonnements
Ein Mobilanbieter hat die folgenden zwei Abonnements im Angebot:
Abonnement 1
Abonnement 2
Grundgebühr
keine
5 € / Monat
Preis pro Min.
0,12 € / Minute
0,07 € / Minute
Während wievielen Minuten muss man pro Monat mindestens telefonieren, damit das
Abonnement mit Grundgebühr günstiger wird als das Abonnement ohne Grundgebühr?
Das Problem kann leicht gelöst werden, indem man erkennt, dass der Preis pro Minute für
die beiden Abonnements durch die folgenden linearen Funktionen beschrieben werden
kann:
y 1 = 0,12 ⋅ x
y 2 = 0,07 ⋅ x + 5
y steht für die am Monatsende zu zahlende Geldsumme, x entspricht der Zeitdauer in
Minuten, während derer telefoniert wurde. Für eine gewisse Zeitdauer xM kosten beide
Abonnements gleich viel. Um diese zu bestimmen werden die Preise y1 und y2 gleich
gesetzt und die resultierende Gleichung wird nach xM gelöst:
y1 = y 2
⇔
0,12 ⋅ xM = 0,07 ⋅ xM + 5
⇔
0,12 ⋅ xM − 0,07 ⋅ xM = 5
⇔
(0,12 − 0,07) ⋅ xM = 5
⇔
0,05 ⋅ xM = 5
⇔
xM =
5
= 100 Minuten
0,05
18
16
14
y (Preis in Euro)
Mit dem Abonnement mit Grundgebühr
telefoniert man günstiger, wenn man
monatlich mehr als 100 Minuten
telefoniert.
Darunter
ist
das
Abonnement
ohne
Grundgebühr
günstiger.
Die nebenstehende Graphik zeigt den
Preisverlauf der beiden Abonnements.
Für x = 100 Minuten schneiden sich
beide Geraden.
12
mit Grundgebühr
10
8
6
4
ohne Grundgebühr
2
0
0
20
40
60
80
100
x (Zeitdauer in Minuten)
120
140
160
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1.9
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Aufgaben
1.9.1 Geraden zeichnen
Zeichne die gegebenen Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem!
y = −3 ⋅ x + 2
y = −2 ⋅ x − 3
y = 0,5 ⋅ x − 1,5
y = 10 ⋅ x − 20
y = 0,1⋅ x + 0,4
y = 2,2 ⋅ x
6
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1.9.2 Bestimmung der Steigung
Die folgende Graphik zeigt den linearen Zusammenhang zwischen 2 physikalischen
Größen. Bestimme die Steigung der Geraden!
6
y
4
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4
5
6
x
-4
-6
1.9.3 Kühlschränke
Beim Kühlschrankkauf bieten sich die folgenden Modelle an:
Kühlschrank
Energieklasse
Preis
(in €)
Stromverbrauch
(in kWh / Jahr)
Modell 1 (150l)
A
295
230
Modell 2 (150l)
A+
415
157
Modell 3 (150l)
A++
485
84
Strompreis: 0,15 € / kWh
Berechne, nach wie vielen Jahren sich der Kauf des teureren, jedoch stromsparenden
Geräts, in Bezug zu den billigeren Geräten amortisiert hat!
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1.9.4 Verschiedene Glühlampen
Um zu Hause in normalen Leuchten (mit E27-Gewinde) Licht zu erzeugen bieten sich
verschiedene Techniken an: die konventionelle Glühlampe, die Halogen-Glühlampe und
die Kompaktleuchtstofflampe (die sogenannte Energiesparlampe). In einigen Jahren wird
auch die LED-Technik in großem Rahmen verfügbar sein.
Glühlampe
Halogenlampe
Kompaktleuchtstofflampe
Es soll untersucht werden, welche Kosten beim Betrieb der unterschiedlichen Lampen
anfallen.
Lampentyp
Leistung
Anschaffungspreis
Lebensdauer
Lebensdauer *
Glühlampe
60 W
0,50 €
1 000 h
1 Jahr
Halogenlampe
45 W
2,50 €
2 000 h
2 Jahre
Kompakleuchtstofflampe
12 W
15 €
8 000 h
8 Jahre
* bei einer Einschaltdauer von ungefähr 3 Stunden am Tag
Alle angegebenen Lampen besitzen die gleiche Lichtausbeute
dementsprechend gleich hell. Der Strompreis beträgt 0,15 € / kWh.
und
leuchten
a. Berechne die Gesamtkosten, die anfallen, wenn jede Lampe während 1 000 Stunden
betrieben wird!
b. Bestimme die Gesamtkosten, die anfallen, wenn mit jedem Lampentyp während 8 000
Stunden Licht erzeugt werden soll! Was stellst du fest?
c. Stelle die anfallenden Kosten über einen Zeitraum von 8 Jahren graphisch dar! Nach
welcher Betriebsdauer amortisiert sich der in der Anschaffung jeweils teurere
Lampentyp?