Lösungen zum Mikro 1 Tutorium

Lösungen zum Mikro 1 Tutorium
Thomas Rupp∗
Aufgaben 12 und 13
1. Dezember 2000
Aufgabe 12
Die Nutzenfunktion ist U = y12 y2 . Weiterhin sind gegeben B = 90, p1 = 6, p2 = 1.
a)
Wir wenden wieder die bereits bekannte Lagrangeoptimierung an. Optimiere den Nutzen U unter der Bedingung, dass das Budget voll ausgeschöpft wird:
L = y12 y2 + λ(90 − p1 y1 − p2 y2 ).
Das Ergebnis kennen wir bereits; alles verhält sich so, wie bei der optimalen Faktorallokation: Verhältnis der Preise entspricht dem Verhältnis der Grenznutzen:
p1
=
p2
∂U
∂y1
∂U
∂y2
⇒
6
2y1 y2
⇔ 3y1 = y2
=
1
y12
Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Grenznutzen nicht sinken müssen, was
aber an der Rechnung und dem Ergebnis nichts ändert (kann man durch eine etwas
längere Rechnung beweisen).
Setzen wir das in unsere Budgetgleichung ein:
90 = 6y1 + y2 = 6y1 + 3y1 = 9y1 ⇒ y1 = 10 ⇒ y2 = 30 ⇒ U = 102 · 30 = 3000.
b)
Wenn wir die Nutzenfunktion umstellen, erhalten wir: y2 = y902 (eine Hyperbel); man
1
nennt sie auch Indifferenzkurve, weil sie alle möglichen Kombinationen angibt, mit
denen der gleiche Nutzen erzielt wird. Weiterhin können wir die Budgetgleichung umstellen: y2 = 90 − 6y1 (eine Gerade):
Das Optimum liegt im Berührpunkt der Budgetgeraden und der Indifferenzkurve. Denn
gäbe es keinen gemeinsamen Punkt, könnte die Optimale Güterkombination nie getroffen werden. Würde die Gerade teilweise echt über der Indifferenzkurve liegen, so könnten wir uns mehr leisten, als wir für Optimum bräuchten, was auch einen Widerspruch
ergibt. Durch nachrechnen kann man sich überzeugen, dass die eben berechneten Werte
wirklich genau den Schnittpunkt (y1 = 10, y2 = 30) ergeben.
∗ [email protected]
1
2
180
160
140
120
100
y2
80
60
40
20
0
2
4
6
8
10
y1
12
14
16
18
20
Da die Budgetgerade die Indifferenzkurve genau im optimalen Punkt berührt, hat die
Indifferenzkurve die gleiche Steigung wie die Budgetkurve. Die Steigung ist ja gerade jeweils die Ableitung der Funktion. Der optimale Punkt ergibt sich also auch dann, wenn
man die beiden Ableitungen gleichsetzt: Steigung der Indifferenzkurve: −2 · 3000y1−3 ,
Steigung der Budgetgeraden: −6. Beides gleichsetzen bringt −6000 = −6y13 ⇔ y1 = 10.
Allerdings muss dann U (oder y1 ) bekannt sein.
Eine Funktion ist immer dann konvex, wenn ihre 2. Ableitung positiv ist. Denn dann
steigt die Steigung der Funktion (hier fällt die Funktion, ihre Fallgeschwindigkeit wird
aber immer langsamer; ihre Steigung, die zwar negativ ist, steigt, denn die negativen
Steigunswerte werden immer kleiner): Unsere Indifferenzkurve hat ja die Form y2 =
f (y1 ) = yU2 = U y1−2 . Also gilt f 0 (y1 ) = −2U y1−3 und somit f 00 (y1 ) = 6U y1−4 > 0.
1
Wir können aber auch allgemein zeigen, das jede Indifferenzkurve konvex verläuft. Denn
wenn jede Erhöhung einer Gütermenge auch zu einer Erhöhung des Nutzens führt, dann
muss folgendes gelten (wir verwenden wieder die Vereinfachung auf 2 Güter y1 und y2 ):
Die Indifferenzkurve gibt alle y1 , y2 Kombinationen an, die den gleichen Nutzen ergeben. Dieser sei nun vorgegeben (und somit konstant).
• Wenn y1 gegen unendlich geht, dann geht die Indifferenzkurve gegen Null (denn
dann sind ↓ 0 Einheiten von y2 notwendig um den vorgegebenen Nutzen zu
erreichen). Geht y2 gegen unendlich, dann ebenso die Indifferenzkurve (weil ↓ 0
Einheiten von y1 notwendig sind).
• Die Funktion fällt stetig. Denn erhöhen wir y1 , dann erhöht sich auch der Nutzen
(nach Voraussetzung). Damit der Nutzen konstant bleibt, muss y2 sinken.
Da stetigkeit vorausgesetzt wird, muss die Indifferenzkurve konvex sein.
c)
Die Veränderungen sind also p1 : 6 7→ 3 und B : 90 7→ 135. Da das Verhältnis der
Preise dem Verhältnis der Grenzkosten entspricht, haben wir nun
p1
2y2
3
y2
=
⇒ =
⇔ 3y1 = 2y2 .
p2
y1
2
y1
Klar, da sich der Preis von y1 halbiert hat, verdoppelt sich seine Menge im Verhältnis zu
y2 . Da die Budgetgleichung erfüllt ist, können wir jetzt y2 bestimmen: 135 = 3y1 +y2 ⇔
135 = 3y2 ⇔ y2 = 45 ⇒ y1 = 30 ⇒ U = 302 · 45 = 40500.
3
An folgendem Bild ist zu sehen, was die einzelnen Änderungen bewirken: eine Erhöhung
des Budgets führt zu einer gleichmäßigen Verschiebung der Budgetgeraden. Eine Änderung von p1 verschiebt den Schnittpunkt der Budgetgeraden auf der y1 Achse (bei
Änderung von p2 auf der anderen Achse):
180
160
140
120
100
y2
80
60
40
20
0
10
20
y1
30
40
Hier schön zu sehen. Die Gerade wird gleichmäßig nach oben geschoben, danach der
Schnittpunkt auf der y1 Achse.
d)
Substitutionseffekt Wenn nur der Preis eines Gutes angehoben wird, der Gesamtnutzen aber weiterhin optimal sein soll, muss der Nutzen des teurer gewordene
Gut teilweise durch den Nutzen anderer Güter ersetzt werden.
Das heisst insbesonder nicht, dass die Nachfrage nach anderen Gütern steigt oder
sinkt.
Einkommenseffekt Wenn der Preis eines Gutes steigt, sinkt aber auch das Realeinkommen (für die gleiche Menge Geld kann jetzt insgesamt weniger gekauft
werden).
Diese beiden Effekte möchte man getrennt untersuchen können. Angenommen p1 steigt,
dann klappt die Budgetgerade ein und der Gesamte Nutzen sinkt (die Indifferenzkurve
verschiebt sich entsprechend), wie im ersten Bild zu sehen. Als Beispiel nehme ich die
bereits gegebenen Zahlen. Ausgangszustand ist p1 = 3 (und B = 135). Da hatten wir
das Optimum in y1 = 30, y2 = 45. Erhöht sich der Preis auf 6, so haben wir das neue
Optimum bei y1 = 15, y2 = 45. Insgesamt hat sich also die Nachfrage nach y1 von 30
auf 15 verringert.
4
180
160
140
120
100
y2
80
60
40
20
0
10
20
y1
30
40
Wenn wir das Budget jetzt soweit erhöhen, bis wir das alte Nutzenniveau erreichen,
müssen wir die Budgetgerade entsprechend verschieben, bis sie die alte Indifferenzkurve
berührt. Denn dann haben wir eigentlich das Einkommen so angepasst,
das der alte
√
Nutzen wieder erreicht wird. Unser optimales y1 ist jetzt aber bei 13500 ≈ 23.8 (und,
der Form halber, y2 ≈ 71.4, B ≈ 214.3).
180
160
140
120
100
y2
80
60
40
20
0
10
20
y1
30
40
Der gesamte Nachfragerückgang von y1 war also von 30 auf 15. Der Rückgang von 30 auf
23.8 kommt durch den Substituitionseffekt zustande, denn der Rückgang von 23.8 auf
15 entsteht dadurch, das einfach das Realeinkommen zurückgegangen ist (würde man
dieses Erhöhen, bis der alte Nutzen wieder erreicht wird, würde nur dieser Rückgang
kompensiert).
Dieses Verhalten ist typisch. Es trifft auf alle superioren Güter1 zu (dazu in der nächsten
Aufgabe mehr).
1 bei
sinkendem Realeinkommen sinkt auch die Nachfrage nach diesem Gut
5
Aufgabe 13
a)
∆y
y
εy,p = − ∆p = −
p
∆y p
∆p y
Die Preiselastizität der Nachfrage gibt an, wie sich prozentual die Nachfrage auf eine
prozentuale Änderung des Preises reagiert. Da ein positiver Wert praktisch ist und die
Nachfrage normalerweise negativ auf eine Preiserhöhung reagiert, wird der Ausdruck
mit einem Minus versehen.
Schaut man sich marginale Änderungen an, so kann man ∆ durch d ersetzen:
dy
y
εy,p = − dp = −
p
dy p
dp y
Also die Ableitung der Nachfragefunktion multipliziert mit dem gegebenen
p
y.
Soweit es möglich ist, sind marginale Änderungen immer zu präferieren, da sie alleine das Verhalten einer stetigen Funktion wiederspiegeln. Einsetzen von prozentualen
Änderungen sind immer nur grobe Annäherungen des Sachverhalts. Also: wenn es nicht
anders geht (z.B. in der letzten Teilaufgabe (und nur da)) die Prozente bzw. feste Werte
einsetzen. Ansonsten immer mit marginalen Änderungen (Ableitung) rechnen.
b)
1. εy,p ist nicht definiert. Denn ein Nichtraucher hat nichts mit der Nachfrage nach
Zigaretten zu tun.
2. εy,p = ∞ Denn sobald sich der Preis ändert (so muss man die 1 Pfennig Grenze sehen), kauft der Konsument garkeine Zigaretten mehr. Egal wie klein der
Preiszuwachs ist, die Nachfrage sinkt sofort auf Null.
3. εy,p = 0 Denn die Nachfrage reagiert überhauptnicht (dy = 0).
4. εy,p = 1 Denn wir haben die Nachfragefunktion y = 20
p . Dann ist
Setzen wir das alles ein, so erhalten wir
’
“
dy p
20 p
εy,p = −
= − − 2 20 = 1
dp y
p
p
dy
dp
= − p202 .
5. Da die Zigaretten vorher 4 DM gekostet haben, steigt der Preis um 25 Prozent
∆p
p = 0.25. Wenn der Konsument nurnoch die Hälfte raucht, geht sein Konsum
um 50 Prozent zurück
∆y
y
= −0.5. Einsetzen bringt
εy,p = −
∆y
y
∆p
p
=−
−0.5
=2
0.25
Anhand der Einkommenselastizität der Nachfrage lassen sich auch grundsätzlich 3 verschiedene Güter klassifizieren. Sie ist fast genauso definiert, wie die Preiselastizität der
Nachfrage:
Ei (B) =
∂y
y
∂B
B
Sie gibt an, wie sich die Nachfrage von einem Gut ändert, wenn sich das zur Verfügung
stehende Budget ändert.
6
Relativ superiore Ei (B) > 1 Die Nachfrage reagiert also stärker als die Budgetänderung.
Absolut superiore 0 < Ei (B) < 1 Die Nachfrage reagiert schwächer als die Budgetänderung (aber noch in der gleichen Richtung). Abolut superiore Güter sind
dasselbe wie relativ inferiore Güter.
Absolut inferiore Ei (B) < 0 Die Nachfrage reagiert gegenläufig zur Einkommensänderung (z.B. Einkommen vermindert sich, die Nachfrage nach diesem Gut steigt
aber).
c)
1. Die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage gibt an, wie stark sich die Nachfrage nach
Gut i ändert, wenn sich der Preis von Gut j verändert (jeweils in Prozent).
2.
εyi ,pj =
∆yi
yi
∆pj
pj
=
∆yi pj
∆pj yi
Ist sie positiv, so steigt die Nachfrage von Gut i, wenn der Preis von j steigt.
Denn Gut j wird durch Gut i substituiert werden. Es handelt sich also um substitutionale Güter (z.B. BMW, Mercedes). Ist die Elastizität negativ, so tritt das
Gegenteil ein: steigt der Preis von j, so sinkt die Nachfrage nach i. Dies sind
komplementäre Güter (z.B. Benzin, Auto).
Das Ganze geht natürlich immer auch in die andere Richtung (Preis von j sinkt
⇒ Nachfrage von i sinkt/steigt).
Wie schon gesehen lässt sich ∆ bei marginalen Änderungen durch d ersetzen.
Dabei gilt wieder das die marginalen Änderungen vorzuziehen sind, will man das
Verhalten der Funktion untersuchen. Feste Werte sind nur grobe Abschätzungen.
3.
εyi ,pj = 2 =
∆yi pj
∆yi
∆pj
⇔2
=1
∆pj yi
pj
yi
Wenn also der Preis von j um ein Prozent steigt, steigt die Nachfrage von i um
2 Prozent (also doppelt so stark).