elektrodynamik und relativit¨atstheorie

ELEKTRODYNAMIK UND
RELATIVITÄTSTHEORIE
Kapitel 6: Elektromagnetische Felder im Vakuum
Vorlesung für Studenten der Technischen Physik
Helmut Nowotny
Technische Universität Wien
Institut für Theoretische Physik
7., von A. Rebhan korrigierte Auflage
Wien, Februar 2006
77
VI.1. Das Feld eines beliebig bewegten Teilchens
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER
IM VAKUUM
VI.1. Das Feld eines beliebig bewegten Teilchens
VI.1.A. Liénard–Wiechert–Potentiale
~
Wenn ein Punktteilchen mit der elektrischen Ladung q die Bahnkurve R(t)
durchläuft,
können wir die Quellterme für die Maxwellgleichungen in der folgenden Form angeben
(siehe Gleichung II.6a und II.6b)
~
%(~r , t) = q δ ~r − R(t)
,
~
~ (~r , t) = q ~v (t) δ ~r − R(t)
(1a)
mit ~v (t) =
~
dR(t)
dt
.
(1b)
Diese Quellfunktionen für die Maxwellgleichungen erfüllen die Kontinuitätsgleichung
div ~ + ∂%/∂t = 0.
Berechnung der Potentiale
Für die Berechnung der Potentiale verwendet man am besten direkt die Gleichungen II.41a
und II.41b
!
1
|~r − ~r 0 |
0
φ(~r , t) =
d r dt
δ
t
−
t
+
%(~r 0 , t0 ) ,
|~r − ~r 0 |
c
!
Z
0
|~
r
−
~
r
|
1
1
0
3
0
0
~ r , t) =
A(~
d r dt
~ (~r 0 , t0 ) ,
0 δ t −t+
c
|~r − ~r |
c
Z
3 0
0
(2a)
(2b)
und nicht die bereits teilweise ausintegrierten Gleichungen II.42a und II.42b, da wir in
diesen ausführlicheren Gleichungen die Volumsintegration sofort ausführen können, wenn
wir die Quellfunktionen entsprechend Gl. 1a und 1b einsetzen:
φ(~r , t) = q
Z
~ r , t) = q
A(~
Z




~ 0 )|
|~r − R(t
1

δ t0 − t +
dt0
~ 0 )|
c
|~r − R(t
~ 0 )|
|~r − R(t
1
~v (t0 )

δ t0 − t +
dt0
~ 0 )|
c
c
|~r − R(t
,
.
(3a)
(3b)
Die verbleibende Deltafunktion können wir nun noch zur Durchführung der Zeitintegration verwenden. Hiezu beachten wir, daß für die Deltafunktion die allgemeine Beziehung
δ (t0 − f (t0 )) =
δ(t0 − τ )
|1 − f 0 (τ )|
mit τ = f (τ )
(4)
gilt, wobei wir voraussetzten, daß die Bestimmungsgleichung für die Nullstelle des Argumentes der Deltafunktion nur eine Lösung besitzt. Wenden wir diese allgemeine Beziehung
78
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
Fig. 6.1 Bahnkurve eines Punktteilchens sowie direkte und retardierte Lagevektoren
4 auf die Deltafunktion in den Gleichungen 3a und 3b an, so ergibt sich


~ 0 )|
δ(t0 − τ )
|~r − R(t
=
δ t0 − t +
~ )
R(τ
~
v (τ )
c
1 − |~~rr −
~ )| · c
−R(τ
(5)
und wir können die Zeitintegration in diesen Gleichungen durchführen:
φ(~r , t) =
~ r , t) =
A(~
q
~ )| 1 −
|~r − R(τ
q
~ )| 1 −
|~r − R(τ
1
~ )
~
r −R(τ
~ )|
|~
r −R(τ
1
~ )
~
r −R(τ
~ )|
|~
r −R(τ
· ~v(τc )
· ~v(τc )
,
~v (τ )
c
.
(6a)
(6b)
Diese Gleichungen werden als Liénard–Wiechert–Gleichungen bezeichnet und geben
die Potentiale eines bewegten Punktteilchens mittels der retardierten Zeit τ an. Diese
retardierte Zeit ist aus der Bestimmungsgleichung
τ =t−
~ )|
|~r − R(τ
c
(7)
als Funktion der Zeit t und des Ortes ~r auszurechnen (siehe hiezu auch Fig. 6.1, welche die
Bahnkurve eines Punktteilchens zusammen mit den Lagevektoren zu den Zeiten t und τ
~ ) auf der rechten
zeigt). Infolge des Auftretens des retardierten Teilchenbahnpunktes R(τ
Gleichungsseite ist dies eine implizite Bestimmungsgleichung für τ und ihre Lösung wird
entscheidend durch die Bahnkurve des Teilchens bestimmt (für den einfachsten Fall eines
gleichförmig bewegten Teilchens ist diese Bestimmung im Abschnitt VI.1.C angegeben).
Führt man (auch im Hinblick auf die Berechnung der elektromagnetischen Felder) die
Kurzbezeichnungen
~
~r t = ~r − R(t)
,
~
rt = |~r − R(t)|
,
(8a)
79
VI.1. Das Feld eines beliebig bewegten Teilchens
~ )
~r τ
~r − R(τ
=
,
~ )|
rτ
|~r − R(τ
~v (τ )
β~τ =
,
c
~r τ · ~v (τ )
κ(~r , τ ) = 1 − ~nτ · β~τ = 1 −
rτ c
~nτ =
(8b)
(8c)
(8d)
ein, so können wir die Liénard–Wiechert–Potentiale in der Kurzform
q
,
rτ κ(~r , τ )
~v (τ )
q
~ r , t) =
= φ(~r , t) β~τ
A(~
rτ κ(~r , τ ) c
φ(~r , t) =
(9a)
(9b)
schreiben. Auch die Bestimmungsgleichung 7 für die retardierte Zeit τ läßt sich mit diesen
Bezeichnungen kürzer schreiben:
τ =t−
rτ
c
.
(10)
VI.1.B. Berechnung der Felder
~ r , t) und B(~
~ r , t) entsprechend den Gleichungen II.11a und II.11b
Um die Felder E(~
~ r , t) = rot A(~
~ r , t)
B(~
~ r , t)
~ r , t) = −grad φ(~r , t) − 1 ∂ A(~
E(~
c ∂t
zu berechnen, verwenden wir zweckmäßigerweise die noch nicht vollständig ausintegrierten
Gleichungen 3a und 3b
Z
1
δ t0 − t +
rt0
Z
0 1
~
A(~r , t) = q dt
δ t0 − t +
rt0
φ(~r , t) = q
dt0
rt0
c
rt0
β~t0
c
,
,
und nicht die Gleichungen 6a und 6b. Wir erhalten somit zuerst die Gleichungen
q
Z
~ r , t) = −q
E(~
Z
~ r , t) =
B(~
0
dt
"
rt0
~nt0
− 2 δ t0 − t +
rt0
c

~nt0
rt0
dt0 − 2 δ t0 − t +
rt0
c
+δ
~nt0
c rt0
~nt0 − β~t0 
c rt0
+ δ0
#
0
rt0
t −t+
c
0
rt0
t0 − t +
c
× β~t0

, (11a)
,
(11b)
in denen wir unter Verwendung der Beziehung
δ
0
rt0
t −t+
c
0
d
1
rt0
0
=
δ
t
−
t
+
κ(~r , t0 ) dt0
c
(12)
80
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
die Terme mit der Ableitung der Deltafunktion partiell integrieren:
~ r , t) = q
B(~
Z
rt0
dt0 δ t0 − t +
c
~ r , t) = q
E(~
Z
rt0
dt δ t − t +
c
0
0


β~ 0 × ~nt0
1 d β~t0 × ~nt0 
 t
+
rt20
c dt0 rt0 κ(~r , t0 )


1 d ~nt0 − β~t0 
~n 0
 t +
rt20
c dt0 rt0 κ(~r , t0 )
,
(13a)
.
(13b)
Nun kann die Integration über t0 sofort durchgeführt werden und ergibt die folgenden
Ausdrücke für die elektromagnetischen Felder eines beliebig bewegten Punktteilchens:


1 d β~τ × ~nτ 
q
β~ × ~nτ
~ r , t) =
 τ
+
B(~
κ(~r , τ )
rτ2
c dτ rτ κ(~r , τ )


1 d ~nτ − β~τ 
~n
q
~ r , t) =
 τ +
E(~
κ(~r , τ ) rτ2
c dτ rτ κ(~r , τ )
,
(14a)
.
(14b)
Teilweise Durchführung der τ Differentiation
Verwenden wir die Beziehung
1 d
β~τ
~nτ
~nτ
~nτ κ(~r , τ ) β~τ
~nτ =
(~nτ · β~τ ) − =
−
−
c dτ
rτ | {z } rτ
rτ
rτ
rτ
1−κ
,
(15)
so können wir die Gleichungen 14a und 14b in der folgenden Weise umformen:



β~τ
1 d 
β~τ
q
~ r , t) =

 × ~
nτ
+
B(~
κ(~r , τ ) rτ2 κ(~r , τ ) c dτ rτ κ(~r , τ )

~n − β~τ
1 d
q
~ r , t) =
 τ
+ ~nτ
E(~
2
κ(~r , τ ) rτ κ(~r , τ )
c dτ
,

!
(16a)

1
1 d 
β~τ
 . (16b)
−
rτ κ(~r , τ )
c dτ rτ κ(~r , τ )
Aus diesen Gleichungen ist direkt die Beziehung
~ r , t) = ~nτ × E(~
~ r , t)
B(~
(17)
ersichtlich, d.h. die magnetische und die elektrische Feldstärke eines bewegten Punktteilchens stehen in jedem Raumpunkt senkrecht zueinander. Wir können uns daher bei der
~ r , t) beschränken,
weiteren Rechnung auf die Berechnung der elektrischen Feldstärke E(~
~ r , t)
da mittels Gleichung 17 immer sofort die zugehörige magnetische Feldstärke B(~
angegeben werden kann. Formen wir in Gl. 16b den letzten Term um

q
~n − β~τ
1 d
~ r , t) =
 τ
+ (~nτ − β~τ )
E(~
2
κ(~r , τ ) rτ κ(~r , τ )
c dτ

!
1
1 dβ~τ 
1
−
rτ κ(~r , τ )
rτ κ(~r , τ ) c dτ
(18)
und verwenden die Beziehung
1 d
c dτ
1
rτ κ(~r , τ )
!
=
1 − βτ2
1 dβ~τ
1
~nτ
·
−
+
rτ2 κ2 (~r , τ ) rτ2 κ(~r , τ ) rτ κ2 (~r , τ ) c dτ
,
(19)
81
VI.1. Das Feld eines beliebig bewegten Teilchens
so ergibt sich




 1 − β2
q
1 dβ~τ 
~nτ
1 dβ~τ 
1
~ r , t) =
(~
E(~
nτ − β~τ ) 2 2 τ +
·
.
−
2
 r κ (~
κ(~r , τ )
r , τ ) rτ κ (~r , τ ) c dτ  rτ κ(~r , τ ) c dτ
τ
(20)
Unter Beachtung von




1 dβ
~τ
1 dβ~τ  1 dβ~τ 
= (~nτ − β~τ ) ~nτ ·
− ~nτ · (~nτ − β~τ )
~nτ × (~nτ − β~τ ) ×
c dτ
c dτ
|
{z
} c dτ
κ
(21)
können wir Gleichung 20 nun in der Form


1 dβ~τ 
q
q
2
~
~
~ r , t) =

(~
n
−
β
)
×
(1
−
β
)
(~
n
−
β
)
+
~
n
×
E(~
τ
τ
τ
τ
τ
τ
rτ2 κ3 (~r , τ )
rτ κ3 (~r , τ )
c dτ
(22)
schreiben. Dieser Ausdruck für die elektrische Feldstärke weist zwei Terme auf, von
denen der erste im wesentlichen mit dem Kehrwert des Quadrates der Entfernung vom
Punktteilchen abnimmt und somit das aus der Elektrostatik bekannte Verhalten zeigt,
während der zweite Term nur mit dem Kehrwert der Entfernung abnimmt, dafür aber nur
bei einer Geschwindigkeitsänderung des bewegten Teilchens auftritt. Dieser zweite Term
beschreibt die elektromagnetischen Felder, die bei jeder beschleunigten (oder verzögerten)
Bewegung eines geladenen Teilchens abgestrahlt werden (Strahlungsfelder nehmen nur mit
dem Kehrwert der Entfernung ab).
VI.1.C. Beispiel: gleichförmig bewegtes Teilchen
Wir betrachten nun ein gleichförmig mit der Geschwindigkeit ~v = β~ c bewegtes Teilchen.
~
Die Bahnkurve R(t)
dieses Teilchens können wir bei geeigneter Wahl des Koordinatenursprungs immer in der Form
~
R(t)
= ~v t = β~ c t
(23)
angeben. Hiemit ergeben sich aus Gleichung 8a die Abstandsvektoren ~r t und ~r τ zu
~r t = ~r − ~v t ,
~r τ = ~r − ~v τ
,
(24)
wobei die retardierte Zeit τ aus der Bestimmungsgleichung 7 zu berechnen ist. Die Verwendung dieser Gleichung ergibt die Beziehung
~r t = ~r − ~v τ − ~v (t − τ ) = ~r τ − β~ rτ
,
(25)
welche wir für die folgende Umformung verwenden können:
rt2 − ~r t × β~
2
= ~r τ − β~ rτ
2
− ~r τ × β~
2
= rτ − ~r τ · β~
2
.
(26)
82
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
Potentialberechnung
Geben wir nun die Liénard–Wiechert–Potentiale entsprechend den Gleichungen 9a und
9b an, so erhalten wir unter Beachtung von
rτ κ(~r , τ ) = rτ − ~r τ · β~ =
r
rt2 − ~r t × β~
sofort das Ergebnis
q
φ(~r , t) = r
2
rt2 − ~r t × β~
,
2
~ r , t) = φ(~r , t) β~
A(~
(27)
,
(28)
welches keine retardierten Größen mehr enthält. Diese Potentiale sind somit nur Funktionen der Variablenkombination ~r − ~v t , d.h. diese Potentiale bewegen sich so wie das
Teilchen gleichförmig mit der Geschwindigkeit ~v .
Äquipotentialflächen
Betrachten wir Flächen mit φ(~r , t) = konstant (sogenannte Äquipotentialflächen), so
lautet die zugehörige Flächengleichung
rt2 − ~r t × β~
2
= constant ,
die bei einer Zerlegung von ~r t in eine zur Geschwindigkeit ~v parallele Komponente ~r k
und eine dazu senkrechte Komponente ~r ⊥
~r t = ~r k + ~r ⊥
sofort die Form
mit ~r ⊥ · β~ = 0 ,
~r k × β~ = 0 ,
~r 2k + (1 − β~ 2 ) ~r 2⊥ = constant
(29)
(30)
annimmt. Diese Gleichung beschreibt die√Oberfläche eines Rotationsellipsoids, welches in
Bewegungsrichtung eine um den Faktor 1 − β 2 kürzere Ausdehnung besitzt.
Berechnung des elektrischen Feldes
Berücksichtigen wir die konstante Geschwindigkeit des Teilchens, so verbleibt in Gleichung
22 nur der erste Term
q
~ r , t) =
(1 − β 2 ) (~r τ − β~ rτ ) .
E(~
3
3
rτ κ (~r , τ )
Den Nenner dieses Ausdruckes haben wir bereits in Gleichung 27 ausgewertet und der
letzte Klammerausdruck entspricht dem Vektor ~r t (siehe Gl. 25)
1 − β2
~ r , t) = q r
E(~
~r
2 3 t
2
rt − ~r t × β~
.
(31)
~ zeigt also immer entlang der momentanen Verbindungslinie
Die elektrische Feldstärke E
zum Teilchen.
83
VI.1. Das Feld eines beliebig bewegten Teilchens
Berechnung des magnetischen Feldes
Zur Berechnung des magnetischen Feldes verwenden wir Gl. 17. Zuerst berechnen wir ~nτ
aus den Gl. 8b und 25
~nτ =
~r τ
~r t + β~ rτ
~r t ~
=
=
+β
rτ
rτ
rτ
~ r , t) proportional zu ~r t ist. Somit ergibt sich bei der
und dann beachten wir, daß E(~
Auswertung von Gl. 17 die Beziehung
~ r , t) = β~ × E(~
~ r , t) .
B(~
(32)
Kraft auf ein gleichförmig mitbewegtes Teilchen
Auf ein gleichförmig mitbewegtes Teilchen, welches dann ebenfalls die Geschwindigkeit
~v = c β~ besitzt, wirkt die Lorentzkraft
~ + β~ × B
~
F~ = Q E
,
~ und B
~ sind die vom
wenn dieses zweite Teilchen die Ladung Q besitzt. Die Felder E
ersten Teilchen erzeugten Felder, die wir bereits ausgerechnet haben. Unter Beachtung
von
~ = φ(~r − ~v t) β~ ,
φ = φ(~r − ~v t) ,
A
folgt aus den allgemeinen Gleichungen
~ ,
~ = −grad φ − 1 ∂ A
E
c ∂t
sofort
~ = −∇
~ φ + β~ ∇φ
~ · β~
E
und hiemit
~ = rot A
~
B
,
~ = ∇φ
~ × β~
B
~ + β~ × B
~ = −∇
~ φ + β~ ∇φ
~ · β~ + β~ × ∇φ
~ × β~ = − (1 − β 2 ) ∇φ
~
E
,
(33)
d.h. die Lorentzkraft auf ein gleichförmig mitbewegtes Teilchen zeigt in Richtung der
Flächennormalen der Äquipotentialflächen.
84
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
VI.2. Bewegte Ladungen: Abstrahlung von Wellen
VI.2.A. Berechnung der Felder für r → ∞
Haben wir eine lokalisierte zeitabhängige Ladungs– und Stromverteilung vorliegen, so
~ bei Vorliegen natürkönnen wir aus der allgemeinen Lösung für das Vektorpotential A
licher Randbedingungen (siehe Gleichung II.42b)
~ r , t) = 1
A(~
c
Z
d3r
~ ~r 0 , t −
0
|~
r −~
r 0|
c
0
|~r − ~r |
~ entsprechend der Formel B
~ = rot A
~ ausrechnen. Nehmen wir in weiter
das Magnetfeld B
Entfernung ~r von den lokalisierten Quellen eine Reihenentwicklung nach Potenzen von 1r
vor, so ergibt sich
~ r , t) = − 1 ~r ×
B(~
cr cr
Z
r ~r · ~r 0
3 0
d r ~ ~r , t − +
c
cr
•
0
!
1
+ O 2
r
.
(34)
Wir haben hiebei die Zeitableitung durch einen Punkt gekennzeichnet
•
~ (~r , t) =:
∂~ (~r , t)
∂t
(35)
und im Zeitargument der Stromdichte die Reihenentwicklung
1
~r · ~r 0
+O
|~r − ~r | = r −
r
r
0
verwendet, um in Gleichung 34 den Term erster Ordnung in 1r von den restlichen Termen
~ s des
abzuspalten. Diesen Term erster Ordnung bezeichnen wir als den Strahlungsanteil B
Magnetfeldes. Er ist durch die Gleichung
••
~ s (~r , t) = ~q × ~r
B
c2 r 2
(36)
gegeben, wobei wir die Abkürzung
•
~q (~r , t) =:
Z
r ~r · ~r 0
d r ~ ~r , t − +
c
cr
3 0
0
!
(37)
eingeführt haben. Der Vektor ~q kann als allgemeines Strahlungsmoment der beliebig
bewegten lokalisierten Quellen angesprochen werden. Er legt die elektromagnetischen
Felder in der Wellenzone (Strahlungszone) eindeutig fest. In der einfachsten Näherung
entspricht dieses Strahlungsmoment dem zeitabhängigen elektrischen Dipolmoment der
Quellen.
85
VI.2. Bewegte Ladungen: Abstrahlung von Wellen
~s
Berechnung von E
Den Strahlungsanteil des elektrischen Feldes, d.h. den Term der Ordnung 1r , berechnet
man im quellenfreien Gebiet zweckmäßigerweise direkt aus der Maxwellgleichung
~
1 ∂E
~
= rot B
c ∂t
Aus
.
•••
1 ~•
~q × ~r
~r
×
E s (~r , t) = −
c
cr
c2 r 2
folgt für den Strahlungsanteil des elektrischen Feldes
~ s (~r , t) =
E
• •
~q × ~r
× ~r
c2 r 3
.
(38)
Die Strahlungsanteile der elektromagnetischen Felder erfüllen somit die Gleichungen
~s = B
~ s × ~r
E
r
,
~s = 0 ,
~r · E
~s = 0 ,
~r · B
(39)
d.h. sie sind senkrecht zueinander und stehen senkrecht auf den Ortssvektor ~r . Wir
~ s und
finden somit das bei ebenen Wellen (siehe Kap. V.1.A) vorhandene Verhalten: ~r , E
~ s bilden ein Rechtssystem von orthogonalen Vektoren.
B
VI.2.B. Abstrahlungsleistung
Berechnen wir in weiter Entfernung von den lokalisierten Quellen die Energiestromdichte,
~ so erhalten wir
d.h. den Poyntingvektor S,
~ s (~r , t) × B
~ s (~r , t) + O 1
~ r , t) = c E
S(~
4π
r3
.
(40)
Die gesamte abgestrahlte Leistung erhalten wir entsprechend dem Energieerhaltungssatz
(siehe Gleichung II.49) durch ein Oberflächenintegral über diese Energiestromdichte. Da
nun die Oberfläche einer Kugel mit größer werdenden Radius mit der Potenz r 2 ansteigt,
ergibt für r → ∞ nur der explizit angeschriebene Term von Gleichung 40, welcher wie
1
kleiner wird, einen endlichen Beitrag zu diesem Oberflächenintegral, d.h. zu der abger2
strahlten Leistung.
Wir können uns daher bei der Berechnung der abgestrahlten Leistung auf die Strahlungsterme der elektromagnetischen Felder beschränken. Verwenden wir die Beziehungen von
Gl. 39 und von Gl. 36, so ergibt sich der die Abstrahlungsleistung bestimmende Poyntingvektor zu
!2
••
~r
c 1
c ~ 2 ~r
~r
~
~q ×
=
.
(41)
Bs
S(~r , t) =
4
2
4π
r
4π c r
r
r
Berechnen wir die in den Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung dP , so ergibt sich unter
Beachtung des Flächenelementes
d2f~ =
~r 2
r dΩ
r
86
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
sowie von Gl. 41 der folgende Ausdruck
~r
~q ×
r
~ ·df = 1
dP = S
4π c3
••
2~
!2
dΩ .
(42a)
Diese Gleichung kann auch in der folgenden Form geschrieben werden
~r
~q ×
r
1
dP
=
dΩ
4π c3
••
!2

!2 
~r • •
1 • •2
~
q
−
=
· ~q
4π c3
r

.
(42b)
Die gesamte abgestrahlte Leistung ergibt sich durch Integration über den gesamten Raumwinkel
!2
Z
Z
Z
••
dP
1
~r
P = dP = dΩ
=
.
(43)
dΩ ~q ×
dΩ
4π c3
r
Wie aus Gleichung 37 zu ersehen ist, ist das Strahlungsmoment ~q(~r , t) als Funktion des
Ortes und der Zeit nur eine Funktion der retardierten Zeit t − rc und der Richtung
~
r
. Somit verbleibt nach der Winkelintegration für die Berechnung der gesamten abger
strahlten Leistung nur noch eine Abhängigkeit von der retardierten Zeit t − rc :
r ~r
~q(~r , t) = ~q t − ,
c r
!
r
P =P t−
c
−→
.
(44)
VI.2.C. Berechnung des Vektors ~q
Machen wir in der Definitionsgleichung 37 für die Zeitableitung des Abstrahlungsmomentes ~q
!
!
Z
•
r ~r
r ~r · ~r 0
0
3 0
~q t − ,
= d r ~ ~r , t − +
(45)
c r
c
cr
~
r ·~
r0
cr
im Hinblick auf das Argument
r ~r
~q t − ,
c r
•
!
=
Z
eine Taylorreihenentwicklung
r
d r ~ ~r , t −
+
c
3 0
0
Z
r
d r ~ ~r , t −
c
3 0
•
0
~r · ~r 0
+ ...
cr
,
(46)
so können wir unter Verwendung der aus der Kontinuitätsgleichung
•
~ 0 · ~ (~r 0 , tr ) = 0
%(~r 0 , tr ) + ∇
folgenden Beziehungen
•
~ 0 · ~ (~r 0 , tr ) ~r 0 ,
~ (~r 0 , tr ) = %(~r 0 , tr ) ~r 0 + ∇
•
•
1
1 ••
0
0
0
0
~ (~r , tr ) (~r · ~r ) =
~r × ~ (~r , tr ) × ~r + % (~r 0 , tr ) (~r · ~r 0 ) ~r 0
2
2
1 ~0 • 0
+
∇ · ~ (~r , tr ) (~r · ~r 0 ) ~r 0 ,
2
(47a)
(47b)
87
VI.2. Bewegte Ladungen: Abstrahlung von Wellen
diese Reihenentwicklung in der folgenden Form schreiben:
~r
~q tr ,
r
•
!
Z
=
3 0
d r ~r
1
(~r , tr ) +
2c
•
0 %
0
Z
Z
3 0
dr
0
•
0
~r × ~ (~r , tr ) ×
~r
r
••
1
+
d3r 0 % (~r 0 , tr ) (~r · ~r 0 ) ~r 0 .
(48)
2cr
Wir haben hiebei für die retardierte Zeit t − rc die Kurzbezeichnung tr verwendet und
das Verschwinden aller Oberflächenintegrale berücksichtigt.
Unter Einführung der Abkürzungen
p~(tr ) =
Z
d3r 0 ~r 0 %(~r 0 , tr ) ,
(49a)
Z
1
d3r 0 ~r 0 × ~ (~r 0 , tr ) ,
2c
!
~
r
~
r ↔
~ tr ,
Q
·Q
=
r
r
m(t
~ r) =
mit Qij (tr ) =
Z
(49b)
(49c)
d3r 0 3 x0i x0j %(~r 0 , tr ) ,
(49d)
können wir Gleichung 48 nun in der Form
~r
~q tr ,
r
••
!
~r
~r
1 • ~• •
= ~p (tr ) + m
~ (tr ) × +
Q tr ,
r
6c
r
••
••
!
+ ...
(50)
schreiben und entsprechend den Gleichungen 36 und 38 zur Berechnung der Strahlungsfelder verwenden. Die in dieser Entwicklung auftretenden Beiträge zu den Strahlungsfeldern werden als elektrische Dipolstrahlung, magnetische Dipolstrahlung, elektrische
Quadrupolstrahlung, . . . bezeichnet.
Voraussetzungen für die Näherungsentwicklung
Die im vorstehenden angegebene Näherungsentwicklung für das Abstrahlungsmoment ~q
0
setzt voraus, daß sich die Stromdichte ~ in der Zeit ~rc·~rr nicht wesentlich ändert. Ist die
für die Änderung von ~ charakteristische Zeit durch T gegeben, so muß
d
~r · ~r 0
≈
T
(51)
cr
c
gelten, wenn d eine charakteristische Abmessung der lokalisierten Quellen darstellt.
Ist die Größenordnung der Geschwindigkeit der bewegten Ladungen durch v gegeben, so
gilt
d
, woraus v c folgt,
(52)
v≈
T
d.h. wir betrachten nichtrelativistische Bewegungen der Ladungsträger.
Bei periodischen Vorgängen gilt
cT ≈ λ ,
woraus d λ folgt,
(53)
d.h. wir betrachten hier den Fall, daß die Ausdehnung der Quellen viel kleiner als die
Wellenlänge λ der periodischen Strahlung ist (man bezeichnet dies auch als den Grenzfall langer Wellenlängen).
88
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
~
VI.2.D. Hertzscher Vektor Z
~ auch in der Form
Im Rahmen der Lorenzeichung kann man die Potentiale φ und A
~ r , t)
~ r , t) = 1 ∂ Z(~
A(~
c ∂t
~ r , t) ,
φ(~r , t) = − div Z(~
(54)
darstellen, wodurch die Eichbeziehung (siehe Gl. II.15)
~ r , t) + 1 ∂ φ(~r , t) = 0
div A(~
c ∂t
(55)
~ r , t) wird als Hertzscher Vektor bezeichnet. Er
automatisch erfüllt ist. Der Vektor Z(~
ist durch die inhomogenen Maxwellgleichungen (siehe Gl. II.16a,b)
~ r , t) = −
2A(~
2φ(~r , t) = −4π %(~r , t) ,
4π
~ (~r , t)
c
(56)
~ gemäß der Gleichung 54 durch den Hertzschen
bestimmt, indem die Potentiale φ und A
~ ausgedrückt werden. Hiebei ist es zweckmäßig, die Quellterme in der Form
Vektor Z
%(~r , t) = − div P~ (~r , t) ,
~ (~r , t) =
∂ ~
P (~r , t)
∂t
(57)
darzustellen, wodurch die Kontinuitätsgleichung
div ~ (~r , t) +
∂
%(~r , t) = 0
∂t
(58)
gleichfalls automatisch erfüllt ist. Der Vektor P~ wird als Polarisationsvektor bezeichnet
~ dar:
und stellt den Quellterm für den Hertzschen Vektor Z
~ r , t) = − 4π P~ (~r , t) .
2Z(~
(59)
Die retardierte Lösung dieser Gleichung kann sofort angegeben werden
~ r , t) =
Z(~
Z
r 0|
P~ (~r 0 , t − |~r −~
)
c
dr
0
|~r − ~r |
3 0
.
(60)
~ und E
~ können bei Kenntnis des Hertzschen Vektors Z
~
Die elektromagnetischen Felder B
(und des Polarisationsvektors P~ ) aus den Gleichungen
~ r , t) = 1 ∂ rot Z(~
~ r , t) ,
B(~
c ∂t
~ r , t) = rot rot Z(~
~ r , t) − 4π P~ (~r , t)
E(~
berechnet werden.
(61a)
(61b)
89
VI.2. Bewegte Ladungen: Abstrahlung von Wellen
Berechnung der Strahlungsfelder
Für die Berechnung der Strahlungsfelder aus den Gl. 61a und 61b nehmen wir analog
zur Vorgangsweise in Kapitel VI.2.A. wieder in weiter Entfernung ~r von den lokalisierten
Quellen eine Reihenentwicklung nach Potenzen von 1r vor. Für das Magnetfeld in der
Strahlungszone ergibt sich
Z
••
0
~ r , t) = − 1 ~r × d3r 0 P~ ~r 0 , t − r + ~r · ~r
B(~
cr cr
c
cr
!
+ O
1
r2
.
(61c)
Der Vergleich mit den Gl. 36 und 37 zeigt, daß das allgemeine Strahlungsmoment ~q durch
r ~r
~q (t − , ) =
c r
Z
r ~r · ~r 0
d r P~ ~r 0 , t − +
c
cr
3 0
!
(61d)
gegeben ist. Entwickeln wir direkt die Bestimmungsgleichung 60 für den Hertzschen
Vektor nach Potenzen von 1r , so ergibt sich die Beziehung
~q (t − rc , ~rr )
1
~
Z(~r , t) =
+ O 2
r
r
,
(61e)
~ r , t) kann man das allgemeine Strahlungsmoment ~q (t− r , ~r )
d.h. aus dem 1r –Anteil von Z(~
c r
ablesen und hiemit die Strahlungsfelder berechnen. Man erhält so für das magnetische
Strahlungsfeld
~r
1 •~•
~
(61f)
Bs (~r , t) = 2 Z (~r , t) ×
c
r
und analog für das elektrische Strahlungsfeld
~ s (~r , t) =
E
1 •~•
~r
Z (~r , t) ×
2
c
r
Hiebei sind immer die höheren Ordnungen O
1
r2
!
×
~r
r
.
(61g)
~ r , t) zu vernachlässigen.
von Z(~
~ ergibt sich der zu Gl. 41 analoge Ausdruck
Für den Poyntingvektor S
~ r , t) = 1
S(~
4πc3
••
~ (~r , t) × ~r
Z
r
!2

2
••
1 •~•
~r
~ (~r , t) · ~r
Z
(~
r
,
t)
−
=
Z
r
4π c3
r
!2 

~r
r
.
(61h)
~
Man erkennt aus den obigen Gleichungen, daß der Hertzsche Vektor Z eine geeignete
Größe zur Beschreibung von Abstrahlungsproblemen ist. Der Hertzsche Vektor wird auch
als Superpotential oder Potential der Potentiale bezeichnet, da mit seiner Hilfe die
~ und φ berechnet werden können.
Potentiale A
90
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
VI.2.E. Beispiel: gleichmäßige Abbremsung eines Teilchens
Wir betrachten nun ein Punktteilchen mit der elektrischen Ladung q, welches sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit vo in die Richtung ~e bewegt und in der Zeit zwischen t = 0
und t = T mit der gleichförmigen Verzögerung a zum Stillstand gebracht wird. Es gilt
somit für die Zeitableitung der Bahnkurve, d.h. für die Geschwindigkeit dieses Teilchens,
voraussetzungsgemäß
•
~
R(t)
= ~v (t) =



vo ~e
(vo − a t) ~e


0
für 0 > t
für 0 < t < T
für T < t
mit T =
vo
a
.
(62)
Die zugehörige Stromdichte können wir in der Form (siehe Gleichung 1b)
~ 0)
~ (~r 0 , t0 ) = q ~v (t0 ) δ ~r 0 − R(t
(63)
schreiben und zur Berechnung des Strahlungsmomentes ~q verwenden.
Unter der Voraussetzung vo c können wir uns auf die elektrische Dipolnäherung
beschränken und erhalten



0
~q (tr ) = −q a ~e


0
••
für 0 > tr
für 0 < tr < T
für T < tr
.
(64)
Hiemit kann sofort die gesamte abgestrahlte Leistung entsprechend Gleichung 43 berechnet werden:
1
P =
4π c3
Z
~r
dΩ ~q ×
r
••
!2
=
2 2 2
q a
3 c3
für 0 < tr < T
.
(65)
Abgestrahlte Energie
Die gesamte abgestrahlte Energie Ws erhalten wir durch Zeitintegration über die abgestrahlte Leistung. In dem betrachteten Fall entspricht dies einfach der Multiplikation der
abgestrahlten Leistung mit der Zeitdauer T der Abbremsung
2 2 2
2
1
q a T = 3 q 2 vo2
.
(66)
3
3c
3c
T
Bilden wir das Verhältnis dieser Abstrahlungsenergie zu der gesamten kinetischen Energie
des Teilchens vor der Abbremsung
Ws = P T =
Wkin =
m vo2
2
,
(67)
so erhalten wir
2 q2 2
Ws
τs
=
=2
3
Wkin
3mc T
T
mit
τs =
2 q2
3 m c3
.
(68)
Für ein Elektron kann die Zeit τs leicht ausgerechnet werden. Es ergibt sich τs = 6·10−24 s.
Vergleicht man diese Zeit mit physikalisch möglichen Abbremszeiten T eines Elektrons,
so erkennt man, daß die abgestrahlte Energie immer nur einen verschwindend kleinen Teil
der kinetischen Energie des Teilchens darstellt.
91
VI.3. Abstrahlung bei periodischer Zeitabhängigkeit
VI.3. Abstrahlung bei periodischer Zeitabhängigkeit
VI.3.A. Näherungsentwicklung
Haben wir bei den Quelltermen eine mit der Kreisfrequenz ω periodische Zeitabhängigkeit
vorliegen
1
%(~r ) e−iωt + c.c. ,
2
1
~ (~r , t) =
~ (~r ) e−iωt + c.c. ,
2
(69a)
%(~r , t) =
(69b)
so können wir unter Einführung des Wellenzahlvektors ~k
~k =: ω ~r
c r
(70)
das allgemeine Dipolmoment des Strahlungsfeldes entsprechend Gleichung 37 in der Form
r ~r
~q t − ,
c r
•
!
r
= e−iω(t− c )
1 Z 3 0 −i~k·~r 0
dr e
~ (~r 0 ) + c.c.
2
(71)
schreiben. Im Grenzfall langer Wellenlängen, d.h. wenn die maximalen räumlichen
Ausdehnungen d der Quellen viel kleiner als die Wellenlänge λ = c/f = 2πc/ω sind, gilt
~k · ~r 0 ≤ 2π d 1
λ
(72)
und wir können die Exponentialfunktion im Integranden in eine Taylorreihe entwickeln:
~ 0
e−ik·~r = 1 − i~k · ~r 0 − . . .
.
(73)
Der erste Term dieser Entwicklung ergibt die elektrische Dipolnäherung, während
der zweite Term (analog der Rechnung im Kapitel VI.2.C) in die Summe eines magnetischen Dipoltermes und eines elektrischen Quadrupoltermes aufspaltet (diese
beiden Terme entsprechen bei dieser Entwicklung somit der gleichen Größenordnung).
Die Verwendung der Gleichungen 69a und 69b ergibt nun die Entwicklungsterme (siehe
Gl. 49a bis 49d)
−iωtr
~p (tr ) = e
m
~ (tr ) = e−iωtr
↔
Q (tr ) = e−iωtr
Z
1
1
~p + c.c. = e−iωtr
d3r 0 ~r 0 %(~r 0 ) + c.c. ,
(74a)
2
2
Z
1
1 1
d3r 0 ~r 0 × ~ (~r 0 ) + c.c. , (74b)
m
~ + c.c. = e−iωtr
2
2 2Z c
1↔
1
Q + c.c. = e−iωtr
d3r 0 3 ~r 0 ◦ ~r 0 %(~r 0 ) + c.c. . (74c)
2
2
Hiemit ergibt sich aus Gleichung 50
~r
~q tr ,
r
!
−iωtr
=e
1
2
"
#
i k ~r ↔
~r
· Q + . . . + c.c. .
~p + m
~ × −
r
6 r
(75)
92
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
VI.3.B. Elektrische Dipolstrahlung
Unter Verwendung des zeitunabhängigen elektrischen Dipolmomentes
~p =
Z
d3r 0 ~r 0 %(~r 0 )
(76)
können wir den elektrischen Dipolbeitrag zum Abstrahlungsmoment ~q in der Form
~q = e−iωtr
1
p~ + c.c.
2
(77)
schreiben, woraus sich die elektromagnetischen Strahlungsfelder
~s
E
!
!
eikr 1 ~r
× ~p + c.c. ,
=
e
k
c2 r
r 2 r
"
#
!
ikr
~
r
e
~
r
~
r
1
−iωt
2
~s × = e
= B
+ c.c.
k
× ~p ×
r
r 2
r
r
~s =
B
1
~r
~q ×
r
••
−iωt
2
(78a)
(78b)
ergeben.
Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung
Bei der Berechnung der in den Raumwinkelbereich dΩ abgestrahlten Leistung entsprechend Gleichung 42b haben wir nun wieder die Gleichung V.21 zu berücksichtigen. Hiemit
ergibt sich sofort

2
dP
c 4 1  ~r
=
k
×p
~ + e−i2ωt ei2kr
dΩ
4π 4  r
!2 

~r
× p~
r

+ c.c. .
(79)
i der abgestrahlten Leistung (wobei die zeitliche MitBerechnen wir das Zeitmittel h dP
dΩ
telung über eine oder mehrere Perioden durchgeführt werden kann), so ergibt sich
dP
c 41
h
i=
k
dΩ
2π 4
~
r
r
× p~
2
.
(80)
Hat der Vektor p~(t) eine feste Richtung (’schwingender’ elektrischer Dipol), die wir als zAchse wählen, so können wir die Winkelabhängigkeit der mittleren abgestrahlten Leistung
explizit angeben:
c 41
dP
i=
k |~p |2 sin2 ϑ .
(81)
h
dΩ
2π 4
Durch Integration über den Raumwinkel erhalten wir die gesamte abgestrahlte Leistung
im Zeitmittel zu
c k4
ω4
hP i =
|~p |2 = 3 |~p |2 .
(82)
3
3c
Dieses Ergebnis kann auch direkt aus Gl. 80 hergeleitet werden und gilt somit ganz allgemein.
93
VI.3. Abstrahlung bei periodischer Zeitabhängigkeit
VI.3.C. Magnetische Dipolstrahlung
Unter Verwendung des zeitunabhängigen magnetischen Dipolmomentes
1 Z 30 0
m
~ =
d r ~r × ~ (~r 0 )
2c
(83)
können wir den magnetischen Dipolbeitrag zum Abstrahlungsmoment ~q in der Form
−iωtr
~q = e
1
2
~r
m
~ ×
r
!
+ c.c.
(84)
schreiben, woraus sich die elektromagnetischen Strahlungsfelder
~s
E
!
"
ikr
1 ~r
~r
~r
~r
−iωt 2 e
×
=
e
k
× m
~ ×
m
~
×
s
2
c r
r
r
r 2 r
r
!
ikr
~r
~ s × ~r = e−iωt k 2 e 1 m
= B
~ ×
+ c.c.
r
r 2
r
~s =
B
1
••
!#
+ c.c. ,
(85a)
(85b)
ergeben.
Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung
Bei der Berechnung der in den Raumwinkelbereich dΩ abgestrahlten Leistung entsprechend Gleichung 42b ergibt sich nun

2
~r dP
c 4 1 
m
~ × + e−i2ωt ei2kr
=
k
dΩ
4π 4 
r
~r
m
~ ×
r
!2 


+ c.c. ,
(86)
also eine der elektrischen Dipolstrahlung vollkommen entsprechende Winkelverteilung.
i der abgestrahlten Leistung ergibt sich daher der zu Gleichung 80
Für das Zeitmittel h dP
dΩ
analoge Ausdruck
2
~r c 4 1 dP
~ × .
(87)
h
i=
k m
dΩ
2π 4 r
Hat der Vektor m(t)
~
eine feste Richtung und wählen wir unser Koordinatensystem wieder
so, daß die z-Achse in diese feste Richtung zeigt, so ist die explizite Winkelabhängigkeit
der mittleren abgestrahlten Leistung durch
h
dP
c 41
i=
k |m
~ |2 sin2 ϑ
dΩ
2π 4
(88)
gegeben. Durch Integration über den Raumwinkel erhalten wir wieder die gesamte ausgestrahlte Leistung im Zeitmittel zu
hP i =
ω4
c k4
|m
~ |2 = 3 |m|
~ 2
3
3c
.
(89)
Diese Beziehung ist wieder allgemein gültig, wie durch direkte Winkelintegration von Gl.
87 gezeigt werden kann.
94
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
VI.3.D. Elektrische Quadrupolstrahlung
Unter Verwendung des zeitunabhängigen elektrischen Quadrupolmomentes
Qij =
Z
d3r 0 3 x0i x0j %(~r 0 )
(90)
können wir den elektrischen Quadrupolbeitrag zum Abstrahlungsmoment ~q in der Form
i k −iωtr 1 ~r ↔
e
· Q + c.c.
(91)
~q = −
6
2 r
schreiben, woraus sich die elektromagnetischen Strahlungsfelder
!
!
3 ikr
••
↔ ~r
e
1
1
i
k
~
r
~
r
−iωt
~s =
B
=e
+ c.c. ,
(92a)
·Q×
~q ×
c2 r
r
6 r 2 r
r
"
!
#
3 ikr
~r ↔ ~r
1
~r
~r
−iωt i k e
~
~
·Q×
Es = Bs × = e
×
+ c.c.
(92b)
r
6 r 2
r
r
r
↔
ergeben. Diese Felder bleiben unverändert, wenn man zum Tensor Q ein Vielfaches des
Einheitstensors hinzufügt. Wir können daher bei der Berechnung des Quadrupoltensors
anstelle von Gleichung 90 auch die Gleichung
Qij =
Z
d3r 0
2
3 x0i x0j − r 0 δij %(~r 0 )
(93)
verwenden, welche der entsprechenden Definition in der Elektrostatik entspricht.
Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung
Die Berechnung der in den Raumwinkelbereich dΩ abgestrahlten Leistung ergibt nun

2
c k 6 1  ~r ↔ ~r dP
· Q × − e−i2ωt ei2kr
=
dΩ
4π 36 4  r
r
~r ↔ ~r
·Q×
r
r
!2 

Für das Zeitmittel h dP
i der abgestrahlten Leistung ergibt sich
dΩ

+ c.c. .
(94)
2
c k 6 1 ~r ↔ ~r dP
h
i=
·Q× .
(95)
dΩ
2π 36 4 r
r
↔
Sind die Hauptachsen von Q(t) zeitunabhängig (’schwingender’ elektrischer Quadrupol)
und wählen wir unser Koordinatensystem so, daß die Koordinatenachsen mit diesen
Hauptachsen zusammenfallen, so ergibt sich die folgende explizite Winkelabhängigkeit
der mittleren abgestrahlten Leistung
h
dP
c k6 1 n
|Qzz − Qxx |2 cos2 ϑ sin2 ϑ cos2 ϕ
i=
dΩ
2π 36 4
o
+ |Qzz − Qyy |2 cos2 ϑ sin2 ϑ sin2 ϕ + |Qxx − Qyy |2 sin4 ϑ sin2 ϕ cos2 ϕ
.
(96)
Durch Integration über den Raumwinkel erhalten wir die gesamte abgestrahlte Leistung
im Zeitmittel zu
c k6 X
hP i =
|Qii |2 ,
(97)
360 i
↔
wobei die Beziehung Spur Q = 0 verwendet wurde (siehe Gl. 93).
95
VI.4. Multipolstrahlung
VI.4. Multipolstrahlung
~ und ~r · E
~
VI.4.A. Berechnung von ~r · B
Machen wir eine zeitliche Fouriertransformation (siehe hiezu auch Gl. II.25 und II.26)
Z
~ r , t) = 1
~ r , ω) ,
E(~
dω e−iωt E(~
2π
~ r , ω) =
E(~
Z
~ r , t) ,
dt eiωt E(~
(98)
so lauten die Maxwellgleichungen (alle Größen sind in gleicher Weise transformiert)
~ r , ω) = 4π %(~r , ω) ,
div E(~
~ r , ω) = 0
div B(~
,
~ r , ω) = i ω B(~
~ r , ω) ,
rot E(~
c
~ r , ω) = 4π ~ (~r , ω) − i ω E(~
~ r , ω)
rot B(~
c
c
(99a)
(99b)
und die Kontinuitätsgleichung ergibt die Beziehung
div ~ (~r , ω) − iω %(~r , ω) = 0 .
(100)
~ρ
Führen wir das elektrische Feld E
~ ρ (~r , ω) = E(~
~ r , ω) − 4π ~ (~r , ω)
E
iω
(101)
~ unterscheidet,
ein, welches sich nur im Bereich der Quellen von dem elektrischen Feld E
so können wir die Maxwellgleichungen in der Form
~ ρ (~r , ω) = 0 ,
div E
~ r , ω) = 0 ,
div B(~
~ r , ω) = −i ω E
~ ρ (~r , ω) ,
rot B(~
c
~ ρ (~r , ω) = i ω B(~
~ r , ω) − 4π rot ~ (~r , ω)
rot E
c
iω
(102a)
(102b)
(102c)
(102d)
schreiben. Durch Rotorbildung bei den beiden letzten Gleichungen erhalten wir die
Helmholtzgleichungen
!
4π
ω2 ~
r , ω) = −
rot ~ (~r , ω) ,
4 + 2 B(~
c
c
!
ω2 ~
4π i
4 + 2 Eρ (~r , ω) = −
rot rot ~ (~r , ω) .
c
ω
(103a)
(103b)
Diese Helmholtzgleichungen entsprechen den Wellengleichungen (der Zusammenhang ist
durch die zeitliche Fouriertransformation gegeben).
Wir können aus den Gleichungen 103a und 103b sofort Bestimmungsgleichungen für
~ und ~r · E
~ ρ erhalten, wenn wir die wegen der Gleichungen 102a und 102b gültigen
~r · B
Beziehungen
~ = ~r · 4B
~ ,
~ ρ = ~r · 4E
~ρ ,
4 ~r · B
4 ~r · E
(104)
96
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
~ = −i(~r × ∇)
~ (siehe Gleichung IV.35) verwenden:
sowie die Definition des Operators L
!
ω2
~ · ~ (~r , ω) ,
~ r , ω) = − 4π i L
4 + 2 ~r · B(~
c
c
!
ω2
~ · rot ~ (~r , ω) .
~ ρ (~r , ω) = 4π L
4 + 2 ~r · E
c
ω
(105a)
(105b)
Unter Verwendung der zu der Greenfunktion von Gleichung II.39 zeitlich fouriertransformierten Greenfunktion
|~
r −~
r 0|
1
iω c
,
(106)
Dret (~r − ~r 0 , ω) =
0 e
|~r − ~r |
die die Gleichung
!
ω2
4 + 2 Dret (~r − ~r 0 , ω) = −4π δ(~r − ~r 0 )
c
(107)
erfüllt, können wir sofort die Lösungen zu den Gleichungen 105a und 105b angeben:
0
i Z 3 0 eik|~r −~r | ~ 0
~
dr
L · ~ (~r 0 , ω) ,
~r · B(~r , ω) =
c
|~r − ~r 0 |
Z
ik|~
r −~
r 0|
1
3 0 e
0
~
~0
dr
~r · Eρ (~r , ω) = −
 (~r 0 , ω) .
0 L · rot ~
ω
|~r − ~r |
Wir haben hiebei die Bezeichnung k =
ω
c
(108a)
(108b)
eingeführt.
Verwenden wir den Entwicklungssatz (siehe Anhang A.3.4)
0
X
eik|~r −~r |
(1)
∗
jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (ϑ, ϕ)Ylm
(ϑ0 , ϕ0 ) ,
0 = 4π i k
|~r − ~r |
lm
(109)
~ ρ = E)
~ die Gleichungen 108a
so können wir außerhalb der Quellen (r< = r 0 , r> = r, E
und 108b in der Form
~ r , ω) =
~r · B(~
X
lm
~ r , ω) = −
~r · E(~
q
l(l + 1)
X
lm
k
q
(M )
l(l + 1)
k
(1)
alm hl (kr) Ylm (ϑ, ϕ) ,
(E)
(1)
alm hl (kr) Ylm (ϑ, ϕ)
(110a)
(110b)
(M )
schreiben, wobei wir die magnetischen Multipolkoeffizienten alm
(M )
alm (ω)
=−
4π k Z 3 0
∗
~ 0 · ~ (~r 0 , ω)
d r jl (kr 0 ) Ylm
(ϑ0 , ϕ0 ) L
l(l + 1) c
k
q
(111a)
(E)
und die elektrischen Multipolkoeffizienten alm
4π i
k
(E)
alm (ω) = q
l(l + 1) c
eingeführt haben.
Z
∗
~ 0 · rot 0~ (~r 0 , ω)
d3r 0 jl (kr 0 ) Ylm
(ϑ0 , ϕ0 ) L
(111b)
97
VI.4. Multipolstrahlung
VI.4.B. Elektrische Multipolfelder
Als elektrische Multipolfelder bezeichnet man Lösungen der Maxwellgleichungen, welche
~ (E) aufweisen, für die also
ein transversales magnetisches Feld B
~ (E) (~r , ω) = 0
~r · B
(112)
gilt. Zusammen mit der Maxwellgleichung
~ ·B
~ (E) (~r , ω) = 0
∇
führt dies auf die Gleichung
~ (E) (~r , ω) =
B
X
(E)
~ lm (ϑ, ϕ) ,
Blm (r, ω) X
(113)
lm
~ lm (siehe Gl. IV.38) auf Grund der Definition
da die vektoriellen Kugelflächenfunktionen X
~ (siehe Gl. IV.35) sowohl die Transversalitätsgleichung 112 als auch die
des Operators L
~ = 0 erfüllen.
Maxwellgleichung div B
(E)
Bestimmung von Blm
Bilden wir auf beiden Seiten der Maxwellgleichung 102c das innere Produkt mit ~r , so
ergibt sich im quellenfreien Gebiet die Beziehung
~ · B(~
~ r , ω) = − ω ~r · E(~
~ r , ω) ,
L
c
(114)
welche mittels der Gleichungen 113 und 110b (sowie A.52b) in der Form
X
(E)
Blm (r, ω)
lm
q
l(l + 1) Ylm (ϑ, ϕ) =
ω
c
X
lm
q
l(l + 1)
k
(E)
(1)
alm hl (kr) Ylm (ϑ, ϕ)
geschrieben werden kann, woraus sofort die Beziehung
(E)
(E)
(1)
Blm (r, ω) = alm hl (kr)
(115)
folgt.
~ (E)
Berechnung von E
Das zu dem magnetischen Feld von Gleichung 113, welches mit Gleichung 115 auch in der
Form
X (E) (1)
~ (E) (~r , ω) =
~ lm (ϑ, ϕ)
B
alm hl (kr) X
(116)
lm
~ (E) kann am einfachsten direkt aus
geschrieben werden kann, gehörige elektrische Feld E
der Maxwellgleichung 102c
~ (E) (~r , ω) = i ∇
~ ×B
~ (E) (~r , ω)
E
k
berechnet werden.
(117)
98
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
VI.4.C. Magnetische Multipolfelder
Als magnetische Multipolfelder bezeichnet man Lösungen der Maxwellgleichungen, welche
~ (M ) aufweisen, für die also
ein transversales elektrisches Feld E
~ (M ) (~r , ω) = 0
~r · E
(118)
gilt. Zusammen mit der Maxwellgleichung (im quellenfreien Gebiet)
~ ·E
~ (M ) (~r , ω) = 0
∇
führt dies analog zu Gleichung 113 auf die Darstellung
~ (M ) (~r , ω) =
E
X
(M )
~ lm (ϑ, ϕ) .
Elm (r, ω) X
(119)
lm
(M )
Bestimmung von Elm
Analog wie bei den elektrischen Multipolfeldern bilden wir nun mit beiden Seiten der
Maxwellgleichung 102d das innere Produkt mit ~r und erhalten im quellenfreien Gebiet
die Beziehung
~ r , ω) ,
~ · E(~
~ r , ω) = ω ~r · B(~
(120)
L
c
welche mittels der Gleichungen 119 und 110a (sowie A.52b) wieder in der Form
X
(M )
Elm (r, ω)
lm
ω X
l(l + 1) Ylm (ϑ, ϕ) =
c lm
q
q
l(l + 1)
k
(M )
(1)
alm hl (kr) Ylm (ϑ, ϕ)
geschrieben werden kann, woraus sofort die Beziehung
(M )
(M )
(1)
Elm (r, ω) = alm hl (kr)
(121)
folgt.
~ (M )
Berechnung von B
Das zu dem elektrischen Feld von Gleichung 119, welches mit Gleichung 121 auch in der
Form
X (M ) (1)
~ lm (ϑ, ϕ)
~ (M ) (~r , ω) =
alm hl (kr) X
(122)
E
lm
~ (M ) kann wieder am einfachsten
geschrieben werden kann, gehörige magnetische Feld B
aus der Maxwellgleichung 102d (im quellenfreien Gebiet)
~ ×E
~ (M ) (~r , ω)
~ (M ) (~r , ω) = 1 ∇
B
ik
berechnet werden.
(123)
99
VI.4. Multipolstrahlung
VI.4.D. Berechnung der Strahlungsfelder
Durch Zusammenfassen der Gleichungen 116 und 123 bzw. 122 und 117 erhält man die
Gesamtfelder
~ r , ω) =
B(~
X
(E)
alm
lm
~ r , ω) =
E(~
X
(M )
alm
lm
i (M )
− alm
k
i (E)
+ alm
k
(124a)
(124b)
(1)
~
~ lm (ϑ, ϕ) ,
∇×
hl (kr) X
(1)
~
~ lm (ϑ, ϕ) .
∇×
hl (kr) X
Für r → ∞ kann das asymptotische Verhalten der sphärischen Hankelfunktion 1. Art
verwendet werden (siehe Anhang A.3.4):
(1)
hl (kr)
= (−i)
l+1
eikr
1
+ O 2
kr
r
.
(125)
Verwenden wir noch die Darstellung
~ = ~r
∇
r
|
~r ~
·∇
r
!
{z
}
∂
∂r
−
i
~ ,
~r × L
r2
(126)
~ verifiziert werden
welche direkt mittels der Definitionsgleichung des Vektoroperators L
1
kann, so können wir die Strahlungsfelder (alle Terme der Ordnung r ) aus den Gleichungen
124a und 124b ausrechnen:
"
#
,
(127a)
"
#
.
(127b)
ikr X
r
(E) ~
(M ) ~
~ s (~r , ω) = e
~ lm (ϑ, ϕ)
B
(−i)l+1 alm X
×X
lm (ϑ, ϕ) + alm
kr lm
r
ikr X
r
(M ) ~
(E) ~
~ lm (ϑ, ϕ)
~ s (~r , ω) = e
(−i)l+1 alm X
×X
E
lm (ϑ, ϕ) − alm
kr lm
r
Die Strahlungsfelder weisen somit die bereits in Gleichung VI.39 angegebenen Eigenschaften
~s = B
~ s × ~r ,
~ s = 0 , ~r · B
~s = 0
E
~r · E
(128)
r
auf, d.h. sie sind senkrecht zueinander und stehen senkrecht auf den Ortssvektor ~r .
Abstrahlungsleistung
Die Abstrahlungsleistung erhalten wir durch Berechnung der Energiestromdichte mittels
der Strahlungsfelder
c ~
~ s (~r , t)
Es (~r , t) × B
4π
1 Z
c
0
00
~ s (~r , ω 0) × B
~ s (~r , ω 00) .
dω 0 dω 00 e−i(ω +ω )t E
=
2
4π (2π)
~ r , t) =
S(~
(129)
100
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
Haben wir periodische Quellen entsprechend der Gleichung
~ (~r , t) =
1
~ (~r , ω) e−iωt + c.c.
2π
(130)
vorliegen, so weisen die Strahlungsfelder eine analoge Zeitabhängigkeit auf
~ s (~r , ω) e−iωt + c.c.
~ s (~r , t) = 1 B
B
2π
(131)
und wir erhalten für die zeitlich gemittelte Abstrahlungsleistung den Ausdruck
c
dP
1
i=
h
2
dΩ
2π k (2π)2
"
X
(E)
l+1
(−i)
alm
~ lm (ϑ, ϕ) +
X
(M )
alm
lm
~r
~ lm (ϑ, ϕ)
×X
r
Wegen der Orthonormierung der vektoriellen Kugelflächenfunktionen
Z
Z
∗
~ lm
~ l0 m0 (ϑ, ϕ) = δll0 δmm0
dΩ X
(ϑ, ϕ) · X
"
~r
∗
~ lm
~ l0 m0 (ϑ, ϕ)
dΩ X
(ϑ, ϕ) ·
×X
r
#
#2
.
,
= 0 ,
(132)
(133a)
(133b)
kann das Zeitmittel der gesamten abgestrahlten Leistung leicht ausgerechnet werden
1 X (E) 2
c
(M ) 2
2 alm + 2 alm hP i =
8π k 2 (2π)2 lm
.
(134)
Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung für ein Multipolmoment
Für ein Multipolmoment der Ordnung lm ist die Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung durch den Ausdruck
h
2
c
1
dPlm
2 ~
i=
|2
a
|
X
(ϑ,
ϕ)
lm
lm
dΩ
8π k 2 (2π)2
(135)
gegeben. Diese Winkelverteilung ist für die elektrische und die magnetische Multipolstrahlung gleich. Die Unterscheidung zwischen elektrischer und magnetischer Multipolstrahlung erfolgt durch die Betrachtung der Polarisation der Strahlung.
Für die niedrigsten Multipolmomente ergeben sich die folgenden Winkelverteilungen:
~ lm |2 :
|X
l=1
l=2
m=0
sin2 ϑ
15
sin2 ϑ cos2 ϑ
8π
3
8π
m = ±1
(1 + cos2 ϑ)
5
(1 − 3 cos2 ϑ + 4 cos4 ϑ)
16π
3
16π
m = ±2
5
16π
(1 − cos4 ϑ)
Es gilt
+l 2
X
~
Xlm (ϑ, ϕ)
m=−l
=
2l + 1
4π
,
d.h. bei einer Mittelung über alle zu einem festen Wert von l gehörigen Multipolfelder
ergibt sich ein richtungsunabhängiger Wert.
101
VI.4. Multipolstrahlung
VI.4.E. Multipolkoeffizienten
Der in Gleichung 111a definierte magnetische Multipolkoeffizient
(M )
alm (ω)
:= −
4π k Z 3
∗
~ · ~ (~r , ω) ,
d r jl (kr) Ylm
(ϑ, ϕ) L
l(l + 1) c
k
(136)
q
kann unter Verwendung der Beziehung
~ · ~ = −i (~r × ∇)
~ · ~ = i (∇
~ × ~r ) · ~ = i ∇
~ · (~r × ~ )
L
(137)
folgendermaßen geschrieben werden:
(M )
alm (ω)
4π k 2
1
= −i q
l(l + 1) c
Z
∗
~ · (~r × ~ (~r , ω))
d3r jl (kr) Ylm
(ϑ, ϕ) ∇
.
(138)
Etwas aufwendiger ist die Umformung des in Gleichung 111b definierten elektrischen Multipolkoeffizienten
4π i
k
(E)
alm (ω) := q
l(l + 1) c
Z
∗
~ · rot ~ (~r , ω) .
d3r jl (kr) Ylm
(ϑ, ϕ) L
(139)
~ sowie der KontinuitätsDie Verwendung der Definitionsgleichung des Vektoroperators L
gleichung 100 ergibt
~ · rot ~ = −i(~r × ∇)
~ · (∇
~ × ~ ) = −i~r · ∇
~ × (∇
~ × ~ ) = −i~r · ∇
~ (∇
~ · ~ ) + i~r · 4~
L
~ (div ~ ) + i4(~r · ~ ) − 2i div ~ = ∇
~ · ~r ω% − ω% + i4(~r · ~ ) ,
= −i ~|r {z
·∇
}
~ · ~r − 3
∇
sodaß die Gleichung 139 mittels des Gaußschen Integralsatzes unter Berücksichtigung des
Verschwindens aller Oberflächenintegrale in der Form
4π k 2
(E)
alm (ω) = i q
l(l + 1)
4π k 2
= −i q
l(l + 1)
Z
Z
∗
~ · ~r %(~r , ω) − %(~r , ω) + i 4 (~r · ~ (~r , ω))
d3r jl (kr) Ylm
(ϑ, ϕ) ∇
ω
~ +%(~r , ω) − i ~r · ~ (~r , ω) 4 jl (kr) Y ∗ (ϑ, ϕ)
d r %(~r , ω) ~|r {z
·∇
lm
}
ω
∂
r
∂r
3
(140)
geschrieben werden kann. Die Verwendung von
4 jl Ylm = −k 2 jl Ylm
,
∂
∂
r jl = r
jl + jl
∂r
∂r
ergibt nun die folgende Gleichung für den elektrischen Multipolkoeffizienten
(E)
alm (ω)
4π k 2
= −i q
l(l + 1)
Z
3
dr
∗
Ylm
(ϑ, ϕ)
"
∂
ik
%(~r , ω)
r jl (kr) +
jl (kr) ~r · ~ (~r , ω)
∂r
c
#
.
(141)
102
VI. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER IM VAKUUM
Näherungsentwicklung: Quellenausdehnung Wellenlänge
In diesem Fall gilt für den die Quellen umfassenden Integrationsbereich
k r = 2π
r
1
λ
(142)
und wir können die sphärischen Besselfunktionen jl durch den ersten Term ihrer Taylorreihenentwicklung (siehe Anhang A.3.4)
jl (x) =
1
xl + O xl+1
(2l + 1)!!
(143)
approximieren. Hiemit ergibt sich aus Gleichung 141
4π k l+2
(E)
alm (ω) = −i
(2l + 1)!!
s
Z
l+1
∗
d3r r l Ylm
(ϑ, ϕ) %(~r , ω) + O k l+3
l |
{z
}
∗
qlm (siehe Gl. III.35)
,
(144)
d.h. die elektrischen Multipolkoeffizienten sind direkt mit den sphärischen elektrischen
Multipolmomenten (siehe Kap. III.2.B) verknüpft.
Analog ergibt sich bei den magnetischen Multipolkoeffizienten unter Verwendung von
Gleichung 138 eine direkte Verknüpfung mit den sphärischen magnetischen Multipolmomenten (siehe Kap. IV.2.B):
(M )
alm (ω)
4π k l+2
=i
(2l + 1)!!
s
Z
l+1
−1
∗
~ · (~r × ~ (~r , ω)) + O k l+3
d3r r l Ylm
(ϑ, ϕ) ∇
l
(l + 1) c
|
∗
Mlm
{z
(siehe Gl. IV.33)
}
(145)
.