Trigonometrische Funktionen - mathe

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Trigonometrische Funktionen
Wir beginnen mit der Sinusfunktion:
f(x) = sin(x)
Wir schränken den Definitionsbereich auf eine Periode ein, d.h. xœ 0,2
bzw. 0≤ x ≤ 2p.
Hier ist der Graph:
Folgendes sollte beachtet werden: Der Taschenrechner muss bei trigonometrischen
Funktionen auf RAD (Bogenmaß) gestellt sein (sofern man die Funktionen im Rahmen der
Analysis betrachtet und keine Winkel oder Längen in einem Dreieck über Winkel in Grad
berechnen möchte).
Nullstellen:
sin(x) = 0
|sin-1
x = 0 fl x1= 0
Der Taschenrechner liefert uns immer nur eine Nullstelle des Sinus (allgemein im Intervall
[-p/2; p/2]).
D.h. x1= 0 ist nur eine Nullstelle. Die restlichen Nullstellen liegen bei
x2 = p
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x3 = 2p
sin(x) hat, wenn der Definitionsbereich nicht eingeschränkt wird (wie oben) und gleich Ñ ist,
die Nullstellen x = kÿp mit kœÙ, d.h. bei …, -2ÿp, -p, 0, p, 2ÿp, … , also bei ganzzahligen
Vielfachen von p.
sin(aÿx) hätte die Nullstellen x= p. (für a∫ 0), denn:
aÿx = kÿp
|:a
x= p
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion g mit g(x) = sin(2x) und xœ 0, 2p .
Hier ist der Graph von g:
Nullstellen von g sind: x1= 0; x2= p; x3= p; x4= p; x5= 2p
Die Nullstellen ergeben für 2x = kÿp, also x = k/2ÿp. Nun muss man verschiedene k einsetzen
und prüfen, welche Nullstellen im Definitionsbereich [0, 2ÿp] liegen. Wenn der
Definitionsbereich wieder alle reellen Zahlen, also Ñ wäre, so gäbe es unendlich viele
Nullstellen: …,-2ÿp, -3/2ÿp, -p, -1/2ÿp, 0, 1/2ÿp, p, 3/2ÿp, 2ÿp, …
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sin(x) nimmt maximal den Wert 1 und minimal den Wert -1 an (siehe Graph oben).
Der maximale Wert wird auch Amplitude genannt.
h(x) = 2ÿsin(x) würde maximal den 2 und minimal den Wert -2 annehmen.
Hier ist der Graph von h:
Die Periodenlänge von sin(x) ist 2p, d.h. auf den Intervall von 0 bis 2p sieht der Graph der
Sinusfunktion so aus, wie auf dem Intervall von 2p bis 4p, oder von 4p bis 6p, oder auch von
-2p bis 0.
Graph von sin(x) (in einem Ausschnitt):
Es gilt also sin(x) = sin(x+2p).
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f(x)= bÿsin(aÿx) hat die Periodenlänge
p
. So hätte g(x) = sin(2pÿx) die Periodenlänge 1. Hier
ist der Graph von g (bzw. ein Ausschnitt davon):
Der maximalen Wert ergibt sich durch den Faktor b, d.h. f hat maximal den Wert b und
minimal den Wert –b (für b > 0).
Nun kann man den Graph auch verschieben. f(x) = sin(x - c) ergibt sich aus dem Graph von
sin(x), wenn man diesen bei c > 0 nach rechts (d.h. in x-Richtung) verschiebt und bei c < 0
p
nach links, jeweils um den Betrag von c. Es folgt der Graph von f(x) = sin(x - ), der sich aus
dem Graph von sin(x) durch Verschiebung um p/2 nach rechts ergibt:
p
Hier ist der Graph von f(x)= sin(x + ) (Verschiebung des Graphen von sin(x) um
links):
Diese Funktion wird auch als Kosinusfunktion bezeichnet, d.h.:
p
nach
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p
cos(x) = sin(x + )
Auf cos kann man alles bisher gezeigte übertragen und die Nullstellen liegen durch die
Verschiebung bei …, - p, - p, p, p,… .
Damit hätte cos(aÿx) die Nullstellen x=
ÿp
/ p
= p+
p mit ganzzahligen k (d.h. k œÙ).
Aufgaben:
1)
f(x)= 3ÿsin(pÿx); xœ 0,4
Gesucht sind die Nullstellen und die Amplitude (maximaler Wert der Funktion).
Lösung:
Amplitude = 3
Nullstellen liegen bei x = ÿp = k, also bei …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… .
p
Da aber der Definitionsbereich eingeschränkt ist, liegen die Nullstellen bei x1 = 0; x2 = 1,…,
x5= 4. Es folgt der Graph:
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2)
p
f(x) = sin(2x - ) mit xœ 0, p (d.h. 0≤ x≤ p).
Gesucht sind die Nullstellen.
Lösung:
Nullstellen:
p
2x - = kÿp
2x= kÿp +
x= p +
p
p
|+
p
|: 2
, kœÙ.
Jetzt müssen wir prüfen, welche Nullstellen in das Intervall 0, p fallen.
 k= 0: x=
p
 k= 1: x= p+ p = p
k= 2: x= p + p = p
– 0, p
k= -1: x= - p + p = − p – 0, p
p
Also nur x1 = und x2 = p sind Nullstellen.
Damit hat h(x) = bÿsin(aÿx-c) die Nullstellen x= p + , denn:
aÿx – c = kÿp
aÿx = kÿp + c
x
|+c
|: a
= p+
Bemerkung für Oberstufe:
Ableitungen von sin und cos sind:
f(x) = sin(x) fl f ´(x) = cos(x)
f(x) = cos(x) fl f ´(x) = -sin(x)
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Allgemein kann man folgende Verschiebungen und Streckungen/Stauchungen vornehmen:
f(x) = cÿ sin(aÿx + b) + d
Der Graph folgender Funktion wäre z.B. d = 1 in positive y-Richtung verschoben:
f(x) = sin(x) + 1
Weiteres Beispiel:
f(x) = 2ÿsin(2x - p) + 4
Der Graph von sin(x) wurde mit dem Faktor b = 2 in y-Richtung gestreckt, um p nach rechts
verschoben und dann mit dem Faktor a = 2 in x-Richtung gestaucht und danach nochmal um 4
nach oben verschoben.
Die Verschiebung und Stauchung in x- Richtung (durch a und b) kann man auch anders
interpretieren:
p
f(x) = 2ÿsin(2ÿ(x - )) + 4
Dann würde man erst mit dem Faktor 2 in x- Richtung stauchen und den gestauchten Graphen
p
(der nun die Periodenlänge p hat) um nach rechts verschieben (siehe Graph unten).
Allgemein gilt also:
c (∫1) bewirkt eine Streckung/Stauchung in y- Richtung (negative c würden auch eine
Spiegelung an der x-Achse bewirken).
a (∫1) bewirkt eine Streckung/Stauchung in x- Richtung (für a>1 ist der Graph
zusammengestaucht, d.h. die Periode ist dann kleiner als 2p und für 0<a<1 ist er
auseinandergezogen (gestreckt in x- Richtung).
p
Der Graph von f(x)= 2ÿsin(2ÿ(x - )) + 4 (bzw. ein Ausschnitt davon):
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Bemerkung zum Tangens:
Es gilt tan(x) =
( )
( )
Damit hat die Tangensfunktion die Nullstellen wie Sinusfunktion. Bei den Nullstellen der
Kosinusfunktion liegen Polstellen vor (hier gehen die Funktionswerte gegen +∞ oder -∞,
siehe Graph), d.h. hier ist die Tangensfunktion nicht definiert. tan(x) hat die Periodenlänge p.
Es folgt der Graph der Tangensfunktion (natürlich nur ein Ausschnitt des gesamten Graphen):