Supraleitung

Supraleitung
Versuchsprotokoll
(überarbeitet)
Sven Issing
Sven Gerhard
Versuch durchgeführt am 8. März 2005
2
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung................................................................................................................ 3
2. Theoretische Grundlagen ....................................................................................... 3
2.1 Der elektrische Widerstand bei tiefen Temperaturen ........................................ 3
2.2 Das kritische Magnetfeld................................................................................... 4
2.3 Der Meissner-Ochsenfeld-Effekt ....................................................................... 4
2.4 Supraleiter 2. Art ............................................................................................... 5
2.5 Der Einfluss der Probengeometrie, Entmagnetisierungsfaktor.......................... 6
2.6 Der Isotopie-Effekt ............................................................................................ 7
2.7 Verschiedene Beschreibungen der Supraleitung .............................................. 7
2.7.1 Die London-Theorie.................................................................................... 7
2.7.2 Überblick über die BCS-Theorie ................................................................. 8
3. Versuchsaufbau...................................................................................................... 9
4. Berechnung des Magnetfeldes der verwendeten Spule ......................................... 9
5. Versuchsdurchführung und Auswertung............................................................... 13
5.1 Eichung des Kohlewiderstandes ..................................................................... 13
5.2 Beobachtung des flüssigen Heliums beim Übergang in den suprafluiden
Zustand ................................................................................................................. 15
5.3 Bestimmung des kritischen Magnetfeldes....................................................... 15
5.4 Direkte Bestimmung der kritischen Tempertatur ............................................. 18
6. Literaturverzeichnis .............................................................................................. 19
Anhang
A. x-y-Plot zur Bestimmung des krit. Magnetfelds und der krit. Temperatur
B. x-y-Plot zur direkten Bestimmung der kritischen Temperatur
3
1. Einleitung
Seit der Entdeckung des Effektes der Supraleitung bei sehr tiefen Temperaturen im
Jahr 1911 durch Kamerling Onnes wurden enorme Fortschritte auf diesem Gebiet,
sowohl auf theoretischer als auch auf praktischer Seite, erzielt. Erst über 40 Jahre
später konnte durch die BCS-Theorie das Phänomen zufriedenstellend erklärt
werden.
Seitdem
wurden
durch
konsequente
Materialforschung
Hochtemperatursupraleiter entwickelt, die mehr als das 40fache der kritischen
Temperatur aufweisen, die seinerzeit Kamerling Onnes feststellte. Auch die
kritischen Magnetfelder konnten auf diese Weise enorm erhöht werden.
Mit der Messung von beidem, kritischem Magnetfeld sowie kritischer Temperatur am
Beispiel von Zinn, beschäftigt sich dieser Praktikumsversuch.
2. Theoretische Grundlagen
2.1 Der elektrische Widerstand bei tiefen Temperaturen
Der Name „Supraleiter“ deutet schon darauf hin, dass diese Materialen bei sehr
tiefen Temperaturen einen verschwindenden Widerstand besitzen. Dies steht im
Widerspruch zum „gewohnten“ Verhalten, das Gleichung (1) beschreibt:
(1)
ρ(T)= ρ0+ ρi(T)
Dabei ist ρ0 der temperaturunabhängige Restwiderstand bei T = 0 K, verursacht von
Streuung der Leitungselektronen an Störstellen. ρi(T) Beschreibt den
temperaturabhängigen Teil, der unterhalb der Debye-Temperatur mit T5 geht und v.a.
durch Kleinwinkelstreuung an Phononen verursacht wird und oberhalb der DebyeTemperatur linear mit T ansteigt und aus Streuung an Phononen resultiert.
Das Verhalten eines Supraleiters ist in Abb. 1 dargestellt. Deutlich zu sehen ist der
Sprung auf quasi unmessbar kleinen Widerstand bei TC, der kritischen Temperatur.
Dieser Widerstand liegt mindesten 14 Größenordungen unter dem des
normalleitenden Zustands.
Abb.
1:
Schematische
Darstellung des (spezifischen)
Widerstands eines Supraleiters
in
Abhängigkeit
der
Temperatur
4
2.2 Das kritische Magnetfeld
Bringt man einen Supraleiter in ein Magnetfeld, dessen Flussdichte mindestens so
groß ist wie die kritische Flussdichte Bc, so bricht die Supraleitung ebenfalls
zusammen, auch wenn man sich weiterhin unterhalb von TC befindet. BC hängt von
der Temperatur der supraleitenden Probe ab. Der Zusammenhang zwischen
Temperatur T und kritischem Feld Bc wird in guter Näherung durch die Gleichung
⎛ T2
B c (T ) = B c , 0 ⎜⎜1 − 2
⎝ Tc
⎞
⎟
⎟
⎠
(2)
beschrieben und ist in Abbildung 2 graphisch dargestellt:
Abb. 2: Schematische Darstellung des Zusammenhangs zwischen
kritischem Magnetfeld Bc und Temperatur bei Supraleitern 1. Art
Bc,0 ist dabei das kritische Feld bei T = 0. Bc,0 und Tc sind Materialparameter, für das
in diesem Versuch verwendete Zinn gilt (aus [2]):
Bc,0 = 30,6 mT und Tc = 3,722K.
2.3 Der Meissner-Ochsenfeld-Effekt
Ein weiteres charakteristische Phänomen für einen Supraleiter ist die (bis auf die
Eindringtiefe) vollständige Verdrängung eines Magnetfeldes aus dem Supraleiter.
Dieser Effekt, der Meissner-Ochsenfeld-Effekt genannte wird, unterscheidet den
Supraleiter auch von einem idealen Leiter. Denn während die Möglichkeit für das
Eindringen eines Magnetfeldes in einen idealen Leiter vom Zeitpunkt des Übergangs
5
Normmalleiter – Idealleiter abhängt, ist für einen Supraleiter der Endzustand
unabhängig vom Prozess gleich, siehe dazu Abbildung 3:
Abb. 3: Zur Erklärung des Meissner-Ochsenfeld-Effekts: Ein Supraleiter ist unabhängig vom
Prozess ein idealer Diamagnet, siehe Text.
Bei einem idealen Leiter fordert das Ohmsche Gesetz: E = ρ ⋅ j .
Bei verschwindendem ρ muss also auch E = 0 sein. Zusammen mit der
Maxwellgleichung
∇ × E = −B
folgt, dass B = 0 gelten muss, sich das Magnetfeld in der ideal leitenden Probe also
nicht ändern darf. Somit ist das innere Feld eines idealen Leiters abhängig von der
Reihefolge, in der man kühlt und das Magnetfeld an- und abschaltet.
Bei einem Supraleiter ist dies nicht der Fall. In seinem Inneren ist das Magnetfeld
immer 0, er ist also ein idealer Diamagnet.
Das Herausdrängen des Magnetfelds aus dem Supraleiter braucht Energie, was eine
anschauliche Erklärung für das Zusammenbrechen des supraleitenden Zustands bei
zu hohen Magnetfeldern liefert, denn bei Bc ist der Energieaufwand zu hoch um die
Supraleitung aufrecht zu erhalten.
2.4 Supraleiter 2. Art
Die obigen Beschreibungen gelten für Supraleiter erster Art. Für sie gilt:
Für B < Bc : Supraleitend, Magnetfeld wird vollständig verdrängt.
Für B > Bc : Normalleitend, Magnefeld dringt vollständig ein.
Supraleiter 2. Art besitzen nun zwei kritische Magnetfelder Bc,1 und Bc,2, wobei
Bc,1<Bc,2.
Es gilt:
6
Für B < Bc,1: Verhalten wie Supraleiter erster Art, sog. Meissner-Phase.
Für Bc,1 < B < Bc,2 : Das Magnetfeld dringt in sog. Flussschläuchen in den Supraleiter
ein, es werden also einige Bereiche normalleitend. Dabei ist das eindringende Feld
pro Flussschlauch mit dem sog. Flussquant ( φ = h / 2e ) quantisiert. Diesen Zustand
nennt man die Shubnikov-Phase. Für den Effekt der widerstandsfreien Stromleitung
hat das Entstehen von normalleitenden Bereichen kaum eine Bedeutung, da diese
von den supraleitenden Bereichen „kurzgeschlossen“ werden.
Für B > Bc,2 bricht auch für Supraleiter 2. Art die Supraleitung zusammen, sie werden
normalleitend.
Da Zinn ein Supraleiter 1. Art ist, wird im Folgenden auch nur auf solch Supraleiter
eingegangen.
2.5 Der Einfluss der Probengeometrie, Entmagnetisierungsfaktor
Der Zusammenhang zwischen dem inneren (Hi) und dem äußeren (Ha)
magnetischen Feld eines Supraleiters ist nach [2] durch folgende Beziehung
gegeben:
Hi = Ha - nM
(3)
Dabei ist M die Magnetisierung der Probe und n der Entmagnetisierungsfaktor. Wie
oben beschrieben, ist ein Supraleiter ein idealer Diamagnet, d.h. µr = -1 und damit
M = -Hi (unter der Bedingung, dass die Probe groß gegen die Eindringtiefe ist, man
diese also vernachlässigen kann). Mit (3) ergibt sich also:
Hi =
1
Ha
1− n
(4)
Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass bei bestimmten Werten von n das innere
Feld bereits die kritische Grenze erreichen kann, obwohl das äußere Feld geringer
ist, das Feld im Inneren des Supraleiters wird also durch den
Entmagnetisierungsfaktor „verzerrt“. Da n von der Geometrie der Probe abhängt,
kann dies an bestimmten Stellen der Probe geschehen. Weil aber nicht die gesamte
Probe in den normalleitenden Zustand übergehen kann, weil dann Hi = Ha gelten
würde und somit das Feld in der Probe unterkritisch wäre, kann man folgern, dass
nur bestimmte Bereiche der Probe normalleitend werden. Die Probe „zerfällt“ also in
normalleitende und supraleitende Bereiche, den Zustand nennt man
zwischenzustand.
Der Entmagnetisierungsfaktor n hängt, wie bereits erwähnt, von der Probegeometrie
ab und ist im allgemeinsten Fall ein Tensor. Für unendlich lange Zylinder gilt n = 0,
d.h. Hi = Ha. Aufgrund der Probengeometrie in unserem Experiment (die Zinkprobe
ist ein langer Draht, der auf einen Trovidur-Zylinder aufgewickelt ist), kann man
unsere Probe als unendlich langen Zylinder betrachten. Damit wird ein Übergehen in
einen Zwischenzustand verhindert und man kann mit einem sehr schnellen Übergang
vom supraleitenden in den normalleitenden Zustand rechnen.
7
2.6 Der Isotopie-Effekt
Untersucht man supraleitende Proben verschiedener Isotopen des gleichen
Elements, so kommt man auf folgenden Zusammenhang zwischen kritischer
Temperatur Tc und Masse des Isotops:
(5)
M β Tc = const.
β ist dabei ein materialspezifischer Parameter. Diese Tatsache lieferte einen ersten
Hinweis darauf, dass die Supraleitungseigenschaften auch vom Gitter des beteiligten
Festkörpers abhängt. Diese Tatsache wird in der BCS Theorie erklärt, einer
quantenmechanischen Theorie zur Erklärung der Supraleitung, siehe unten. Die
BCS-Theorie sagt ein β von ½ voraus, was bei vielen Elementen zutrifft. Die
Abweichungen vom vorhergesagten Wert resultieren aus der materialabhängigen
Zustandsdichte des Phononenspektrums und können erheblich sein (z.B. Uran β =
2,2 und Ruthenium β<0,05).
2.7 Verschiedene Beschreibungen der Supraleitung
2.7.1 Die London-Theorie
Die londonsche Theorie ist eine phänomenologische Theorie zur Erklärung des
Meissner-Ochsenfeld-Effektes, die 1935 von den Brüdern Fritz und Heinz London
vorgeschlagen wurde. Dabei werden die Maxwell-Gleichungen um die 2 London
Gleichungen ergänzt:
G
m G G
B = − 2 ∇× j
ne
G ne 2 G
j=
E
m
(6)
(7)
Zusammen mit den Maxwellgleichungen lässt sich aus (6) folgender Zusammenhang
ableiten:
G µ ne 2 G
(8)
∇2 B = 0
B
m
D.h. für ein ortsunabhängiges Magnetfeld in einem Supraleiter folgt
gezwungenermaßen, dass das Feld B = 0 ist, was den Meissner-Ochsenfeld-Effekt
vollständig beschreibt.
Außerdem findet man aus (6) und (7) für den Fall einer dünnen supraleitenden Platte,
die in positiver x-Richtung unendlich ausgedehnt ist und einem Magnetfeld in zRichtung die Abhängigkeit des Magnetfeldes im Supraleiter von der Eindringtiefe:
⎛ x⎞
B ( x ) = B (0) ⋅ exp⎜ − ⎟
⎝ Λ⎠
(9)
8
Das Magnetfeld fällt also im Inneren des Supraleiters exponentiell ab.
m
ist die sog. Londonsche Eindringtiefe, wobei m die Masse des Elektrons
Λ=
µ0 ne2
ist und n die Anzahldichte der supraleitenden Ladungsträger.
2.7.2 Überblick über die BCS-Theorie
Mitte der 50er Jahre wurde von Bardeen, Cooper und Schriefer eine
quantenmechanische Theorie zur Erklärung der Supraleitung, die BCS-Theorie
entwickelt. In ihr wird auch der Tatsache Rechnung getragen, dass der Effekt der
Supraleitung nur unter Mitwirkung des Kristallgitters entstehen kann.
Grundlage der BCS-Theorie ist die Kopplung zweier Leitungselektronen im
Festkörper zu einem sog. Cooper-Paar unter der Wirkung einer (relativ)
langreichweitigen attrakiven Kraft zwischen den beiden Elektronen. Um die Ursache
dieser Kraft zu verstehen, macht man folgendes Gedankenexperiment:
Bewegt sich ein Elektron durch das Kristallgitter, so zieht es die positiv geladenen
Atomrümpfe aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung an. Diese Anziehung bewirkt
eine Verzerrung des Kristallgitters, die aber aufgrund der hohen Trägheit der
Atomrümpfe (Masse M) im Vergleich zum Elektron erst einige Zeit nach dem
passieren des Elektrons ihren Maximalwert erreicht. Ein zweites Elektron sieht nun
diese Verzerrung als positive Ladungsdichte und kann in die vom ersten Elektron so
geschaffenen Potentialmulde eintreten, es folgt also der Spur des ersten Elektrons.
Der Abstand der beiden Elektronen und damit die Ausdehnung des Cooper-Paars
kann auf folgende Weise abgeschätzt werden:
aCooper = vElektron ⋅ TPhonon.
(10)
Setzt man für die Elektronengeschwindigkeit die Fermigeschwindigkeit ein und für die
Schwingungsdauer des Phonons TPhonon=2π/ωDebye, so erhält man eine Ausdehnung
der Cooper-Paare von ~100 nm. Die Coulombabstoßung ist auf diese Entfernungen
praktisch vollständig abgeschirmt und die große Ausdehung hat weitreichende
Konsequenzen:
Da aus Symmetriebetrachtungen folgt, dass die beiden das Cooper-Paar bildenden
Elektronen entgegengesetzten Spin besitzen folgt, dass das so neu entstandene
Quasi-Teilchen den Gesamtspin von S=0 besitzt, es ist also ein Boson. Es unterliegt
somit der Bose-Verteilung und durch die große Ausdehnung und damit die große
Überlappung der Wellenfunktionen ergibt sich, dass sich alle Cooper-Paare in einem
Grundzustand befinden können und eine vollständig kohärente Wellenfunktion über
den ganzen Festkörper verteilt beschreiben.
Da sie dadurch nicht einzeln am Gitter gestreut werden können, ergibt sich daraus
die dissipationsfreie Stromleitung, die die Supraleitung ausmacht.
Abschließend sei gesagt, dass die theoretisch abgeleiteten Aussagen der BCSTheorie sehr gut mit den experimentellen Ergebnissen übereinstimmen.
9
3. Versuchsaufbau
Abbildung 6 zeigt schematisch den für den Versuch verwendeten Glaskryostaten. Die
Mäntel 1 und 3 werden vor Versuchsbeginn evakuiert um die Apparatur gegen
Wärmeleitung zu isolieren. Im Mantel 2 befindet sich flüssiger Stickstoff zum
Vorkühlen. Im Inneren (4) ist die Zinnprobe, ein Kohlewiderstand zur
Temperaturmessung, die das Magnetfeld erzeugende Spule, die elektrischen
Anschlüsse sowie flüssiges Helium zur Kühlung.
Abb. 6: Schematischer Aufbau des im
Versuch verwendeten Kryostaten
Da es sich um einen Glaskryostaten handelt, kann man die Vorgänge im Inneren gut
beobachten. Dies macht es auch möglich den Übergang des Heliums in den
suprafluiden Zustand zu beobachten und zu beschreiben (siehe 5.2).
Die Zinn-Probe ist ein um einen hohlen Trovidur-Zylinder gewickelter Draht, der so
orientiert ist, dass in guter Näherung als sehr langer und dünner Zylinder gesehen
werden kann, der parallel zum Magnetfeld steht. Wie unter 2.5 beschreiben wurde,
hat dies ein sehr schnelles Übergehen vom supraleitenden in den normalleitenden
Zustand zur Folge, d.h. in einem sehr engen Temperaturbereich.
Details zum Aufbau sowie die Beschaltung der einzelnen Geräte findet man in [1]
und [2].
4. Berechnung des Magnetfeldes der verwendeten Spule
Das zum Messen der kritischen Flussdichte nötige Magnetfeld wird durch eine Spule
aus Kupferdraht erzeugt, deren Geometrie und Abmessungen Abbildung 8 zeigt.
Im Versuch wird der Strom durch die Spule gemessen und das daraus resultierende
Magnetfeld (besser: die magnetische Flussdichte) über folgende Formel aus [2]
berechnet:
B( I Spule ) = µ 0
⎛ r + r 2 + L2
a
ln⎜ a
2
2
⎜
10(ra − ri )
⎝ ri + ri + L
2πNI Spule
⎞
⎟
⎟
⎠
(11)
10
Zu den Bezeichnungen siehe Abbildung 8.
Abb. 8: Abmessungen der verwendeten Kupferspule nach [1]
Mit der aus [1] entnommenen Windungszahl N = 4865 errechnet sich aus (11) ein
Umrechnungsfaktor von Strom auf Flussdichte von
B
T
= 0.0481497
I
A
Um nun im Folgenden die Gültigkeit von (11) zu überprüfen, betrachtet man eine
einzelne Leiterschleife:
Abb. 9: Skizze zur Berechnung des Magnetfeldes in einer
stromdurchflossenen Leiterschleife
Aus Symmetriegründen besitzt das Feld auf der x-Achse nur eine Komponente in xRichtung, die sich nach dem Biot-Savart-Gesetz errechnen lässt:
B x ( x0 ) =
µ0 I
2
⋅
(x
R2
2
0
+ R2
)
3/ 2
(12)
Die in unserem Versuch verwendete Spule stellt man sich nun als viele
aneinandergereihte Einzelschleifen nach Abbildung 9 vor und addiert diese auf. Dazu
ist zu beachten, dass die Spule nicht nur aus einer Schicht Wicklungen entlang der xAchse besteht, sondern auch Windungen übereinander liegen, also in y-Richtung.
Um die einzelnen Feldstärken richtig aufsummieren zu können, muss man wissen,
wie viele Schleifen sich in x-Richtung befinden (Nx) und wie viele übereinander liegen
(also in y-Richtung, Ny). Dazu benutzt man, dass die gesamt Windungszahl konstant
ist: N = Nx⋅Ny = 4865. Aus geometrischen Betrachtungen erhält man Nx/Ny = 2L/(ra-ri).
Mögliche Werte für Nx und Ny zeigt Tabelle 1:
11
Graph
1
2
3
dx /⋅10-4m
5,45
4,81
6,09
dy /m ⋅10-3m
1,18
1,34
1,06
Nx
286
324
256
Ny
17
15
19
N
4862
4860
4864
Nx/Ny
16,8
21,6
13,5
Tab. 1: Anzahl der für die Simulation angenommenen Wicklungen in x- und yRichtung sowie der Abstand er Wicklungen Laut Angabe sollte Nges = 4865 und
Nx/Ny = 2L/(ra-ri) = 15,5 sein.
Den Abstand der Wicklungen in x-Richtung (dx) und in y-Richtung (dy) erhält man
dabei daraus, dass die Abmessungen der Spule trotz unterschiedlich angenommener
Wicklungszahen konstant bleiben müssen, also:
dx =
Ny
Nx
, dy =
15,6cm
2,01cm
Wenn man nun beachtet, dass alle Leiterschleifen, die in x-Richtung neben der
ersten liegen um den Abstand dx verschoben sind, und der Radius der Schleifen, die
in y-Richtung auf die erste Schicht gewickelt wurden um den Abstand dy größer wird,
kann man die einzelnen Schleifen aufsummieren. Es ergibt sich folgende
Doppelsumme:
B( x) µ0
=
I
2
(d y ⋅ n y + R ) 2
Nx Ny
∑∑ ((d
nx
ny
y
⋅ n y + R ) 2 + ( d x ⋅ nx + x ) 2
)
(13)
3/ 2
Mit Hilfe von Mathematica kann man die Summen nun ausführen und Plotten.
Abbildung 10 zeigt das Ergebnis:
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Abb. 10: Ergebnis der numerischen Berechnung des Magnetfeldes mittels Mathematica. Der Wert
x=0 bezeichnet die Spulenmitte, die durchgezogene waagrechte Linie ist der aus (11) berechnete
Wert. Der Graph 1 ist dabei der fein gestrichelte, 2 der grob gestrichelte und 3 der mit der
durchgezogenen Linie.
12
Wie man sieht ist das numerische ermittelte Magnetfeld geringer als das durch
Formel (11) berechnete. Dies ist wahrscheinlich auf die Näherungen zurückzuführen,
die in Formel (11) gemacht wurden. Um ein Maß für die Inhomogenität des
Magnetfelds über den Bereich zu bekommen, in der die Probe sitzt (Probelänge 5
cm), schätzt man diese folgendermaßen ab:
B(0) B (2,5cm)
−
0.0399254 T/A - 0.0394605 T/A
I
I
=
= 1,16%
B(0)
0.0399254 T/A
I
Die Inhomogenität de Magnetfelds beträgt über die Länge der Probe gesehen als
etwa 1,2%. Zur Berechnung wurde dabei die numerische Ableitung des
Zusammenhangs zwischen Magnetfeld und Strom nach Gleichung (13) verwendet.
13
5. Versuchsdurchführung und Auswertung
5.1 Eichung des Kohlewiderstandes
Wie oben erwähnt, wird ein Kohlewiderstand benutzt, um die Temperatur der Probe
zu bestimmen. Dieser befindet sich dazu in unmittelbarer Umgebung der Probe, um
evtl. Temperaturgradienten im He-Bad aus der Messung zu eliminieren, siehe dazu
auch den Versuchsaufbau in [2].
Da der Widerstand nach jedem Aufwärmen seine innere Struktur ändert, kann man
keine entgültige Abhängigkeit des Widerstandswertes von der Temperatur angeben,
sondern er muss nach jedem Aufwärmen des Kryostaten geeicht werden. Dies soll
im folgenden geschehen.
Nach [1] werden dazu zwei verschiedene Verfahren angewandt: Zum Einen wurde
während des Abkühlens eine Wertetabelle (Tabelle 2) mit Widerstandwerten in
Abhängigkeit der Temperatur aufgenommen. Die eigentliche Messgröße war dabei
der Spannungsabfall am Widerstand, da dieser aber über den ganzen Versuch aus
einer Konstantstromquelle mit 10 µA gespeist wurde, lässt sich mit dem ohmschen
Gesetz, RWid = UWid/IWid leicht der Widerstand errechnen.
Uwid/mV
Rwid
p/Torr
T/K
3,50
3,54
3,57
3,58
3,59
3,62
3,65
3,68
3,72
3,75
3,78
3,82
3,86
3,90
3,94
3,98
4,02
4,05
4,16
4,30
4,45
4,63
4,83
5,07
350,00
354,00
357,00
358,00
359,00
362,00
365,00
368,00
372,00
375,00
378,00
382,00
386,00
390,00
394,00
398,00
402,00
405,00
416,00
430,00
445,00
463,00
483,00
507,00
761,25
742,50
727,50
720,00
712,50
697,50
682,50
667,50
652,50
637,50
622,50
607,50
592,50
577,50
562,50
547,50
532,50
525,00
487,50
450,00
412,50
375,00
337,50
300,00
4,22
4,19
4,17
4,16
4,15
4,13
4,10
4,08
4,06
4,03
4,01
3,99
3,96
3,93
3,91
3,88
3,86
3,84
3,78
3,71
3,63
3,54
3,46
3,36
Uwid/mV
5,36
5,72
6,17
6,97
7,20
7,78
8,13
8,53
8,78
9,03
9,30
9,61
9,95
10,36
10,84
11,36
11,90
11,99
12,53
12,67
12,84
13,01
13,28
13,36
Rwid
536,00
572,00
617,00
697,00
720,00
778,00
813,00
853,00
878,00
903,00
930,00
961,00
995,00
1036,00
1084,00
1136,00
1190,00
1199,00
1253,00
1267,00
1284,00
1301,00
1328,00
1336,00
p/Torr
262,50
225,00
187,50
130,00
120,00
100,00
90,00
80,00
75,00
70,00
65,00
60,00
55,00
50,00
45,00
40,00
35,00
34,00
33,00
32,00
31,00
30,00
28,50
28,00
T/K
3,26
3,15
3,02
2,79
2,74
2,64
2,58
2,52
2,49
2,45
2,42
2,38
2,34
2,29
2,25
2,20
2,14
2,13
2,12
2,11
2,09
2,08
2,06
2,05
Tab. 2: Daten zur Eichung des Kohlewiderstands. Der fett gedruckte Wert ist der Siedepunkt (4,22K)
des He.
14
Die zweite Möglichkeit die Temperaturabhängigkeit des Kohlewiderstand zu
eichen ist den Siedepunkt sowie den λ-Punkt des Heliums zu benutzen und eine
exponentielle Abhängigkeit nach der Formel
⎛γ ⎞
R (T ) = α ⋅ Exp ⎜ ⎟
⎝T ⎠
(14)
anzunehmen. Dies ist gerechtfertig, weil sich der Kohlewiderstand bei den tiefen
Temperaturen, die ja während der Messung herrschen, wie ein Halbleiter verhält und
damit eine exponentielle Abhängikeit seines Widerstands von der Temperatur zeigt
(nach [1]). Es wurden also folgende Gleichungen aufgestellt:
⎛ γ ⎞
⎟⎟
RSP (T ) = α ⋅ Exp⎜⎜
⎝ TSP ⎠
und
⎛γ
Rλ (T ) = α ⋅ Exp⎜⎜
⎝ Tλ
⎞
⎟⎟
⎠
(15)
(16)
Für den Siedepunkt (SP) wurde der Wert aus Tabelle 2 und für den λ-Punkt den
Literaturwert (aus [6]), Tλ = 2,18 K eingesetzt. So erhält man 2 Gleichungen für 2
Unbekannte, nämlich α und γ, deren Lösung ergibt:
α = 99,46 Ω,
γ = 5,309 K.
Des weiteren wurde nach der ersten Methode an die ganzen Messpunkte aus
Tabelle 2 eine Funktion, die ebenfalls die Form von (14) hat angefittet. Die
Ergebnisse beider Methoden zeigt Abbildung 11:
Abb. 11: Messwerte zur Eichung der Temperaturmessung. Die durchgezogene Linie ist
der Fit an alle Messwerte, die gestrichelte zeigt die nach (15), (16) berechnete Kurve.
15
Der Fit liefert außerdem die Parameter (mit Fehler):
α = (100,70 ± 9,82) Ω,
γ = (5,347 ± 0,028) K.
Da der Fit an alle Messwerte aus Tabelle 2 den genaueren Wert ergeben müsste, da
sich dabei statistische Fehler besser herausmitteln, wird im folgenden der zweite
Parametersatz für α und γ verwendet. Vor allem die schwierige Bestimmung des λPunktes des Heliums kann als große Fehlerquelle für die zweite Methode, die
Errechnung aus dem Siedepunkt und dem λ-Punkt, angenommen werden. Denn
aufgrund der vielen Siedeblasen im Stickstoff war die Sicht auf das Helium während
des Übergangs alles andere als gut. Dies wird auch ein Grund sein, warum der
gemessene λ-Punkt bei 34 Torr liegt und damit um fast 12% vom Literaturwert (38,55
Torr) abweicht, also wesentlich mehr als die Ungenauigkeit der Druckmessung von
3% (aus [1]).
Da im folgenden die Temperatur aus der Messung des Spannungsabfalls am
Widerstand bestimmt wird, also nach der Formel (14) nach T aufgelöst, kann man
den relativer Fehler in der Temperaturmessung abschätzen. Nach dem
Fehlerfortpflanzungsgesetz gilt:
2
⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂T ⎞
σ T = ⎜ ⎟ σ 2α + ⎜⎜ ⎟⎟ σ γ2
⎝ ∂α ⎠
⎝ ∂γ ⎠
2
(17)
Setzt man die durch den Fit gegebenen Werte für die Fehler in α und γ ein und
wendet man dies auf alle Widerstandwerte an, so erhält man einen maximalen Fehler
von 6%. Im folgenden sollen alle Temperaturwerte mit einem Fehler von 6%
abgeschätzt werden.
5.2 Beobachtung des flüssigen Heliums beim Übergang in den
suprafluiden Zustand
Bei ca. 40 Torr beruhigte sich die Oberfläche des Heliums. Es stiegen auch keine
weiteren Blasen mehr auf und man konnte kein Sieden mehr beobachten. Leider war
die Beobachtung durch das heftige Sieden des Stickstoffs behindert.
5.3 Bestimmung des kritischen Magnetfeldes
Als nächstes soll das kritische Magnetfeld für Zinn bei verschiedenen Temperaturen
bestimmt werden. Durch Extrapolation auf ein kritisches Magnetfeld von 0 T kann so
auch die Sprungtemperatur errechnet werden.
Mit der Messung wurde begonnen, nachdem sich durch längeres Abpumpen die
Apparatur genügend stark abgekühlt hatte. Es wurde dann die Pumpleistung
gedrosselt, damit sich die Probe wieder langsam erwärmte. Während des Erwärmens
wurden verschiedene Magnetfeldstärken an die Probe gelegt und der Übergang vom
supraleitenden in den normalleitenden Zustand beobachtet. Dazu wurde die
16
Stromstärke durch die Spule langsam zwischen –600 mA und +600 mA mit Hilfe
eines Dreiecksgenerators durchgefahren und auf dem x-y-Schreiber sowohl der
Spannungsabfall an der Probe (y-Achse) als auch der Spulenstrom (x-Achse)
aufgezeichnet. Der Spulenstrom wurde dabei nicht direkt gemessen, sondern der
Spannungsabfall über einen 1 Ω Widerstand. Der Maßstab der x-Achse betrug
0,05V/cm , der der y-Achse 0,5 V/cm.
Die so aufgenommenen Kurven befindet sich im Anhang (Anhang A) diese
Protokolls.
Dabei ist als Fehlerquelle vor allem das schlechte Stabilisieren der Temperatur bei
sehr tiefen Drücken zu nennen. Denn da eine Messung eine gewisse Zeit dauerte,
war es vor allem bei tiefen Temperaturen sehr schwierig, die Pumpleistung so zu
drosseln, dass der Druck und damit die Temperatur über die gesamte Messung
konstant blieb. Das scheint auch der Grund zu sein, warum man verschiedene Werte
für das Magnetfeld bei Übergang Supraleiter-Normalleiter und umgekehrt erhält,
sowie für verschiede Stromrichtungen (+ I und – I). Denn bei höheren Temperaturen,
als man den Druck leichter stabilisieren konnte, verschwinden die verschiedenen
Äste der Messung fast vollständig, was man auf dem Graphen (Anhang A) gut
erkennt.
Wir behalfen uns damit, dass wir den Widerstandswert am Anfang und am Ende der
Messung notierten und den Mittelwert bildeten. Auch aus den verschiedenen
Magnetfeldern einer Messung wurde der Mittelwert genommen.
Zur Umrechnung vom Spulenstrom in das Magnetfeld wurde Gleichung (11)
herangezogen (siehe dazu Abschn. 4).
Die aus dem Graphen des x-y-Schreibers abgelesenen Werte sind in folgender
Tabelle wiedergegeben:
T in K
2,02
2,04
2,05
2,12
2,22
2,36
2,46
2,79
3,07
3,36
3,56
3,67
Bc in mT
26,48
26,24
25,33
24,80
24,32
22,77
20,22
15,55
11,51
6,64
3,51
1,11
Tab. 3: Kritisches Magnetfeld in
Abhängigkeit der Temperatur
Abbildung 12 zeigt die Daten geplottet und mit einem Fit nach Gleichung (2):
17
Abb. 12: Kritisches Magnetfeld in Abh. der Temperatur. Die durchgezogene
Linie ist ein Fit nach Gleichung (2), die gestrichelte die nach (2) theoretisch
erwartete mit den Literaturwerten.
Aus dem y-Achsenabschnitt (also bei T = 0) lässt sich nun das kritische Magnetfeld
Bc,0 für Zinn bestimmen und aus dem x-Achsenabschnitt (also ohne B-Feld) die
kritische Temperatur. Der Fit liefert:
Bc,0 = (37,0 ± 2,6) mT, Literaturwert : 30,6 mT
Tc = (3,72 ± 0,22) K, Literaturwert : 3,722 K
Für den Fehler in der Temperatur wurden die oben schon abgeschätzten 6%
verwendet. Für den Fehler im B-Feld wurde die Ablesegenauigkeit aus dem Plot des
x-y-Schreibers verwendet, die zu 4% abgeschätzt wurde. Da aber auch der Fehler
der Temperaturmessung das gemessene Magnetfeld verfälscht, wie aus Gleichung
(2)
ersichtlich
wird,
wurden
beide
relativen
Fehler
nach
dem
Fehlerfortpflanzungsgesetz miteinander verrechnet:
⎛σI
= ⎜ Spule
⎜I
Bc
⎝ Spule
σB
c
2
2
⎞
σ
⎛
⎞
T
⎟ + 4⎜ ⎟
⎟
⎝T ⎠
⎠
(18)
Man erhält einen Fehler von 7% für das kritische Magnetfeld. Der Fehler durch den
Fit wurde dabei nicht berücksichtigt, da der Fehler der Fitparameter wesentlich
kleiner ist als die Ungenauigkeiten in der Temperaturmessung und der
Ablesegenauigkeit.
18
Während der Wert für die kritische Temperatur sehr gut mit dem Literaturwert
übereinstimmt, weicht das ermittelte kritische Magnetfeld leider sehr stark ab und
stimmt auch innerhalb der Fehlergrenzen nicht mit dem Literaturwert überein.
Vergleicht man in Abb. 12 die ermittelte mit der theoretisch erwarteten Kurve aus den
Literaturwerten, so legt das die Vermutung nahe, dass eine systematische
Abweichung gerade bei tiefen Temperaturen vorliegt. Ein Grund dafür könnte das
oben beschriebene Problem der Stabilisierung des Druckes sein.
5.4 Direkte Bestimmung der kritischen Tempertatur
Um die kritische Temperatur direkt bestimmen zu können, wurde die Probe nach der
Messung in 5.3 wieder unter die Sprungtemperatur abgekühlt.
Wieder wurden die Daten mit dem x-y-Schreiber aufgenommen, diesmal wurde
jedoch der Spannungsabfall am Widerstand (und damit die Temperatur der Probe)
gegen den Spannungsabfall an der Probe aufgetragen. Der Maßstab der x-Achse
betrug 0,1 mV/cm , der der y-Achse 0,5 V/cm.
Das Ergebnis ist in Anhang B zu finden.
Außerdem wurde in Abbildung 13 der vom x-y-Schreiber aufgetragene Plot
digitalisiert und mit Hilfe eines Bildbearbeitungsprogramms die Skalen eingefügt:
Abb. 13: Plot der Probenspannung über der Spannung am Widerstand zur direkten
Bestimmung der kritischen Temperatur Tc.
Als Übergangspunkt wurde dabei die halbe Höhe des Spannungssprungs an der
Probe genommen. Mit dem oben diskutierten Fehler in der Temperaturmessung
erhält man:
Tc = (3,73 ± 0,22) K,
was sehr gut mit dem Wert aus 5.3 und dem Literaturwert übereinstimmt.
19
6. Literaturverzeichnis
[1] Prof. Dr. E. Batke: Fortgeschrittenenpraktikum SS 2005
[2] Betz, Prüfung für das Lehramt an Gymnasien, 1973
[3] Ibach, Lüth, Festkörperphysik, 3. Aufl., Springer 1990
[4] Kittel, Festkörperphysik, 12. Aufl., Oldenbourg 1999
[5] Vorlesungsskript Prof. Dr. Geurts, Universität Würzburg, WS 04/05