1. Übung zu Physik für Mechatroniker

1. Übung zu Physik für Mechatroniker
WS 2008/09, 14.10.08
1) Schätzen Sie ab, um wie viel sich der Luftdruck ändert, wenn sich die Höhe um 1m ändert. Welchem
Schalldruckpegel in dB entspricht diese Luftdruckänderung? Dichte von Luft ist ~1kg/m3.
2) Ihr Lautsprecher hat auf der Rückseite die Angabe 88dB/Wm. Mit welcher Leistung müssen Sie den
Lautsprecher betreiben, um im Abstand von 1m einen Schallpegel von 76dB zu erzeugen? Welche
Ausgangsspannung muss Ihr Verstärker an die 4Ω Last des Lautsprechers liefern um diesen
Schallpegel zu erzeugen? Vergleichen Sie diesen Wert mit der Ausgangsspannung von 1V des CD
Players. Warum können Sie in den meisten Fällen ihren CD Player nicht einfach direkt an den
Lautsprecher anklemmen?
3) Skizzieren Sie die Funktion
y = log x
und berechnen Sie die erste Ableitung.
• Skizzieren Sie die Funktion
y = sin ωt sowie die ersten beiden Ableitungen der Funktion.
• Berechnen Sie die Taylorentwicklung der Funktion
y = e iϕ um ϕ=0. Hinweis: Berechnen Sie die Taylorentwicklung von y = e x um x=0 und
setzen Sie dann x=iϕ in die gefundene Formel ein. Wie hängt die Taylorentwicklung von
y = e iϕ mit den Winkelfunktionen zusammen?
1
4) Berechnen Sie die Taylorentwicklung der Funktion
, 1 + x um x=0 bis zur zweiten Ordnung.
1+ x
Welche Bedeutung haben die ersten und zweiten Ordnungen der Taylorentwicklung als Funktion von x.
* freiwillig für Lehramt-Gruppe
2. Übung zu Physik für Mechatroniker
at
t=0
r
0
x0
α0
x1
WS 2008/09, 21.10.08
5) Ein Zug fährt auf einer kreisförmigen Strecke mit dem
Radius r=1000m gleichmäßig beschleunigt an, das heißt die
Beschleunigung at in Richtung der Tangenten der Kreisbahn
ist konstant. Nach der Zeit t1 =100s hat der Zug die
Geschwindigkeit v1 = 36km/h. Wie groß ist die Radial- und
Gesamtbeschleunigung nach der Zeit t2=200s?
x
6) In einen Wasserspeicher fließt Wasser mit der Geschwindigkeit
v0=1m/s unter dem Winkel α0 = 60° gegenüber der Vertikalen
ab. Der Ausfluss befindet sich in der Höhe h=4m über den
Boden und im Abstand x0 =0.5m von der Wand. In welcher
Entfernung x1 von der Wand kommt das Wasser am Boden an?
v0
h
z
m2
m3
m1
α
Bewegung?
7) Die Körper der Masse m1=1kg, m2=1kg, und
m3=1.2kg können sich in der skizzierten Anordnung
reibungsfrei bewegen, wobei die Massen der Rollen
und Seile vernachlässigt werden. Der Winkel α der
Anordnung beträgt 30°.
• Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die
drei Körper?
• Wie groß sind die Seilkräfte während der
3. Übung zu Physik für Mechatroniker
WS 2008/09, 28.10.08
8) Eine Punktmasse m bewegt sich auf einem vertikalen Kreis mit dem Radius r. Die Punktmasse ist
dabei an einem nicht dehnbaren Faden befestigt. Am oberen Punkt soll die Fadenkraft F1 betragen.
Wie groß ist dann die Fadenkraft F2 am tiefsten Punkt der Bahn. Von Reibungseinflüssen und
Luftwiderstand ist abzusehen. Zahlenbeispiel: m=30g, F1=0,30N.
9) Ein Körper der Masse m=2kg startet aus Position
A mit der Anfangsgeschwindigkeit v0=8m/s . In
B
Position B ist die Geschwindigkeit auf v0/2
abgeklungen. Anschließend rutscht der Körper
die schiefe Ebene hinab, die einen Winkel α mit
v0
α
der Horizontalen bildet (sinα=0.6). Der
C
Gleitreibungskoeffizient bei der Bewegung von
A nach C beträgt µ=0.15. Man bestimme mit g=10m/s2:
die Länge der schiefen Ebene BC, wenn im Punkt C die Geschwindigkeit wieder v0 ist? (Hinweis:
Energieerhaltung!)
die aufgrund der Reibungskräfte auf der gesamten Strecke ABC in Wärme umgewandelte
mechanische Energie (mechanische Arbeit).
die Höhe h, die der Körper erreicht, wenn er im Punkt C mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 entlang
der schiefen Ebene wieder nach oben rutscht.
v0
A
•
•
•
x
x3
0
x1
m
v0/2
10) Eine Feder wird vertikal im Schwerefeld aufgestellt. Als Koordinatensystem wird
eine x-Achse gewählt die ebenfalls senkrecht im Schwerefeld gerichtet ist,
positive x-Werte werden nach oben gerechnet. Als Nullpunkt des
Koordinatensystems soll die Ruhelage der Feder dienen (Skizze links).
Nun wird eine Punktmasse m auf die Feder gelegt, so dass diese bis zum Punkt x1
gestaucht wird. Bis zu welchem Punkt x2 muss die Feder weiter gestaucht werden,
damit der Körper in der Höhe x3 über der Ruhelage der Feder die Geschwindigkeit v
hat? Zahlenbeispiel: x1=-50 mm, x3=100 mm; v=1 m/s.
x2
Bitte beachten: Grundsätzlich erst algebraisch rechnen, dann Zahlenwerte einsetzen!
4. Übung zu Physik für Mechatroniker
l2
l1
D1
m
WS 08/09, 04.11.08
11) Eine Masse m ist an zwei Federn mit den Federkonstanten D1
und D2 und den Ruhelängen l1 und l2 befestigt. Mit welcher
Kreisfrequenz ω0 schwingt die Anordnung wenn man die
D2
Masse m auslenkt?
• Von einer Feder mit der Federkonstanten D und der Ruhelänge l wird ein Stück der Länge l/4
abgeschnitten. Welche Federkonstanten haben die beiden neu entstandenen Federn der Längen l/4
und 3l/4?
12) Ein Federpendel besteht aus einer Feder mit der Federkonstanten D und der bewegten Masse m.
Die Auslenkung eines Federpendels ist mit
x = x m cos(ω 0 t + ϕ )
als Funktion der Zeit gegeben. Zum Zeitpunkt t=0 wird für die bewegte Masse die Auslenkung x0
und die Geschwindigkeit v0 bestimmt. Berechnen Sie mit den Angaben die Amplitude xm und die
Phase ϕ des Federpendels. Zahlenbeispiel: D=8100N/m; m=1kg; x0=20mm; v0=300cm/s.
x=0
g
Öl
x
13) Eine Eisenkugel mit dem Radius r und der Dichte ρ1 wird in ein mit Öl
der Dichte ρ2 und Viskosität η gefülltes Rohr fallen gelassen, welches
sich im Schwerefeld der Erde befindet. Auf die Kugel wirkt die
Stokes’sche Reibungskraft FR = 6πrηv ein, wobei v die
Geschwindigkeit der Kugel ist.
•
•
Welche Endgeschwindigkeit v0 erreicht die Kugel?
Wie hängt die Geschwindigkeit vom Kugelradius r ab? Skizzieren Sie v0
als Funktion von r.
• Leiten Sie die Geschwindigkeit v(t) und den Ort x(t) der Kugel ab, wenn zum Zeitpunkt t=0 die
Bewegung im Zylinder bei x(t=0)=0 und v(t=0)=0 beginnt. Zahlenbeispiel: r=5mm; ρ1=8,3g/cm3;
ρ2=0,8g/cm3; η=1,5Pas.
5. Übung zu Physik für Mechatroniker
WS 2008/09, 11.10.08
14) Eine Masse m gleitet reibungsfrei aus der Ruhelage A auf
einer kreisförmigen Bahn mit Radius r und trifft in C auf
D
eine entspannte masselose Feder mit der Federkonstanten
φ
D.
•
Wie groß ist die Geschwindigkeit der Masse im tiefsten
C
Punkt B der Bahn?
B
• Wie groß ist die Geschwindigkeit der Masse im Punkt C?
• Wie stark wird die Feder maximal zusammengedrückt?
3
Zahlenwerte: m=1kg, r=0.5m, D=10 N/m, φ=45°.
A
L
r
ϕ
L/2
15) Bei einem mathematischen Pendel wird die Fadenlänge L beim
Schwingen auf die rechte Seite auf L/2 verkürzt.
• Bestimmen Sie die Schwingungsdauer des Pendels.
• Fertigen Sie ein Diagramm an für den Auslenkungswinkel als Funktion
der Zeit.
• Was geschieht, wenn die Fadenlänge auf L/4 verkürzt wird, und das
Pendel aus der Lage 3/4L, 1/2L, und 1/4L vom Aufhängepunkt losgelassen wird?
L/2
16) In der Physik wird gerne mit linearisierten Modellen gerechnet, das tägliche Leben zeigt dann, dass
dies oft eine unzulässige Näherung ist. So wird bei großen Deformationen durch externe Kräfte das
Kraft-Weg Gesetz von Federn nichtlinear
Fext = c( x ) x
Es soll angenommen werden dass für die nichtlineare Federkonstant c( x ) = c1 + c2 x 2 gilt mit c1=103N/m
und c2=107N/m3.
Um welche Länge wird eine solche nichtlineare Feder zusammengedrückt, wenn ein Körper mit der
kinetischen Energie Ekin=0.3J in x-Richtung aufprallt?
6. Übung zu Physik für Mechatroniker
WS 2008/09, 18.11.08
17) Eine Masse m hängt an einem Seil der Länge l und führt gedämpfte Schwingungen aus. Nach 10
Schwingungen ist der maximale Auslenkungswinkel ϕ10, nach 15 Schwingungen ϕ15.
• Mit welchem Auslenkungswinkel ϕ0 hat die Schwingung begonnen?
• Berechnen Sie die Abklingkonstante γ wenn für die Schwingung in guter Näherung ω = ω0 gilt.
Zahlenwerte: ϕ10=0.2, ϕ15=0.15, l=1m, g=10m/s2.
18) Eine Masse m ist an einer Feder der Federkonstanten D aufgehängt, Um gedämpfte Schwingungen
zu realisieren befindet sich die Masse m in einem Wasserbad. Für die Reibungskraft gilt F=-bv. Die
Orts-Zeitfunktion der gedämpften Schwingung lautet
x(t ) = ~
x e − γt sin(ωt + α )
• Berechnen Sie die Abklingkonstante γ und die Frequenz ω der gedämpften Schwingung.
• Bestimmen Sie ~
x und α aus den Anfangsbedingungen x(t=0)=0 und v(t=0)=v0>0,
• Zu welchen Zeitpunkten treten Maxima in der Auslenkung der Masse m auf?
~
• Wie müssen Sie die Federkonstante D wählen, damit der aperiodische Grenzfall eintrifft?
Zahlenwerte: m=125g, D=25N/m, b=188g/s, v0=1m/s.
m
mR
mR
mR
mR
19) Die Federn und Stossdämpfer eines kleinen Lastwagens werden
so dimensioniert, dass sich der Wagen bei voller Beladung der
Masse m um die Strecke s senkt. Bei Stößen schwingen die
Räder mit der Radmasse mR im aperiodischen Grenzfall. Alle
vier Räder seien gleich belastet, jedes Rad sei einzeln gefedert
und gedämpft. Wie muss man die Federkonstante D und die
Dämpfungskonstante b für aperiodische Dämpfung wählen?
7. Übung zu Physik für Mechatroniker
D
D
M
x1
x2
x3
x4
WS 2008/09, 02.12.08
20) Eine Masse m=2kg befindet sich zwischen zwei Federn mit den
Federkonstanten D=100N/m. Die Masse gleitet auf einer Unterlage
F = µ FN
. FN ist die
hin und her, dabei wirkt die Reibungskraft R
Normalkraft. Der Gleitreibungskoeffizient sei µG=0.3, der
Haftreibungskoeffizient µM=0.9.
• Ist die Schwingung der Masse harmonisch?
• Nach welcher Gesetzmäßigkeit nehmen die Amplituden der
Schwingungsmaxima ab?
Hinweis: Energiesatz an den Umkehrpunkten xn, xn+1.
• An welcher Stelle kommt die Masse zur Ruhe, wenn sie bei einer Auslenkung von 22cm losgelassen
wird?
Hinweis: Der Klotz bleibt stecken, wenn im Umkehrpunkt die Rückstellkraft kleiner wird als die
Haftreibungskraft.
21) Eine Masse m bewegt sich am Ende einer masselosen Feder mit der
Ruhelänge l0=10cm und der Federkonstanten D=100N/m. Das andere
Ende der Feder ist an einer Achse auf einem reibungsfreien Tisch
l
befestigt, so dass das Feder-Masse-System um diese Achse rotieren
ω
kann. (Skizze)
•
Bestimmen
und skizzieren Sie die Länge l der Feder, wenn das Federl0
Masse-System mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert.
ω = D / m des
Was geschieht, wenn Sie die Rotationsfrequenz ω nahe an derEigenfrequenz 0
Feder-Masse Systems wählen?
m
•
22) Auf einer Strasse befinden sich Bodenwellen mit der Höhe h im gleichen Abstand l. Ein PKW der
Masse m fährt auf der Strasse mit der konstanten Geschwindigkeit v. Die Federkonstante aller
Stoßdämpferfedern ist D, die gesamte Dämpfungskonstante sei b. Durch die Bodenwellen wird der
PKW zu erzwungenen Schwingungen angeregt.
• Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz der erzwungenen Schwingungen.
• Bei welcher Geschwindigkeit v werden die Schwingungen des PKW am größten?
• Wie groß ist die maximale Schwingungsamplitude?
Zahlenbeispiel: l=10m; h=4cm; D=1.6.105N/m; b=6.103 kg/s; m=1000kg.
8. Übung zu Physik für Mechatroniker
WS 2008/09, 04.12.08
23) Zwei mathematische Pendel der Länge L an denen Massen m befestigt sind werden im Abstand l
von der Aufhängung mit einer masselosen Feder der Federkonstanten D gekoppelt. Für die beiden
Eigenschwingungen des gekoppelten Systems findet man für die Resonanzfrequenzen:
g
g
Dl 2
2
ω = und ω 2 = + 2 2 .
L
mL
L
2
1
Welche Resonanzfrequenz ergibt sich wenn beide Pendel in Phase schwingen bzw. wenn beide Pendel
gegenphasig schwingen?
Wie groß ist der maximale Frequenzunterschied wenn die Pendellänge L=1 m beträgt, die angehängte
Masse m=100 g und die Federkonstante D=0.1 N/m2 betragen.
ϕ0
(cos(ω1t ) + cos(ω2t )) .
2
Erklären Sie an Hand dieser Beziehung wie es zu Schwebungen kommt. Wie groß ist die maximale
Schwebungsfrequenz der Anordnung?
Eine mögliche Lösung für den Auslenkungswinkel des ersten Pendels ist ϕ1 =
24) Auf einem unendlich langen Seil läuft eine Transversalwelle der Wellenlänge λ, der Frequenz f und
3
1
x = λ ein Wellental.
der Amplitude zm in positive z-Richtung. Zum Zeitpunkt ~
ist am Ort ~
t =
2f
4
Bestimmen Sie mit diesen Angaben die Funktion der Welle z (t , x) = z m cos(ωt − kz + α ) .
25) Auf einem unendlich langen Seil läuft eine Transversalwelle in positive x-Richtung mit der
3
x = λ beobachtet, wo eine
Wellenlänge λ und der Frequenz f. Die Welle wird an der Stelle ~
4
~
Zeitfunktion z (t , x ) = z m sin ωt ermittelt wird. Können Sie daraus die zeitliche Funktion der
Seilauslenkung im Ursprung des Koordinatensystems bei x=0 bestimmen?
9. Übung zu Physik für Mechatroniker
WS 2008/09, 16.12.08
26) Die Wellengleichung lautet allgemein:
∂ 2 u( x, t ) 1 ∂ 2 u( x, t )
= 2
c
∂t 2
∂x 2
Zeigen Sie durch Differenzieren, dass jede beliebige zwei mal differenzierbare Funktion f der Form
f = f ( x ± ct ) diese Gleichung erfüllt.
Testen Sie ob folgende Funktionen f ( x, t ) die Wellengleichung erfüllen und geben Sie den Grund dafür
an:
•
•
•
•
f1 ( x, t ) = 5( x − ct )
f 2 ( x, t ) = x 2 − 2 xct + c 2 t 2
f 3 ( x, t ) = x 2 + c 2 t 2
f 4 ( x, t ) = 5 sin (( x − ct ) 2 )
27) Zwei identische Lautsprecher A, B strahlen in 2m Entfernung gleichphasig Schallwellen aus. Die
Frequenz der Wellen sei f=440Hz, Schallgeschwindigkeit in Luft: vLuft=340m/s. Ein kleines Mikrophon
wird nun entlang einer Linie bewegt, die senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden Lautsprecher steht
und beim Lautsprecher B beginnt. (Skizze)
A Lautsprecher
L=2m
• In welchen Entfernungen von B mißt das Mikrophon jeweils geringe
Lautstärken wegen destruktiver Interferenz?
B
Lautsprecher Mikrophon
28) Bestimmen Sie den Grundton und die ersten vier harmonischen Obertöne für eine 15cm lange
Orgelpfeife, wenn
• die Pfeife an beiden Enden offen ist,
• die Pfeife an einem Ende geschlossen ist vLuft=340m/s.
• Wie ändern sich die Frequenzen, wenn die Pfeife mit Helium gefüllt ist? vHe=970m/s.
• Um wieviel Grad Celsius muß die Lufttemperatur ansteigen, damit die Frequenzänderung des
Grundtons der offenen Pfeife 5% beträgt?
10. Übung zu Physik für Mechatroniker
B
x
d/2
A
d/2
s
WS 2008/09, 20.01.09
29) Zwei Lautsprecher die im Abstand von d=2,5 m angeordnet sind
senden kohärent einen nicht bekannten Meßton der Frequenz f ab. Die
Schallgeschwindigkeit im Messlabor betrage c=345 m/s. Um die
Frequenz des Meßtons zu ermitteln machen Sie folgendes Experiment:
Im Abstand s=3,5 m gehen Sie parallel zu der Verbindungslinie der
Lautsprecher vom Punkt A nach B, bis Sie minimale Lautstärke des
Meßtons hören. Aus der gemessenen Entfernung x=1,55 m können Sie
nun die Frequenz bestimmen. Wie machen Sie das und welche Frequenz
senden die Lautsprecher?
30) Eine ebene Schallwelle der Frequenz f=15 kHz
breitet sich in einem Medium mit der
Schallgeschwindigkeit c=340 m/s aus. Die
d
Schallwelle trifft auf ein Hindernis aus
schallabsorbierenden Elementen, zwischen denen
s
sich kleine Öffnungen im Abstand d=6 cm
α
x
befinden.
Im Abstand s=16 m steht ein Tontechniker und weist den
Schall mit seinem Ohr nach. Um welche Strecke muss
unser Tontechniker nach links oder nach rechts gehen,
Elementarwellen
damit er wieder das Schallsignal möglichst laut hört?
Muss er bei tiefen Frequenzen weniger oder mehr nach links oder nach rechts gehen um den Schall
wieder möglichst laut zu hören?
ebene Welle
31) In der nächsten Vorlesung werden Sie Newton’sche Ringe im
Vorlesungsexperiment sehen können. Hierzu legt man auf
eine Glasplatte eine Linse mit Kümmungsradius r. Auf die
Anordung trifft Licht der Wellenlänge l=590 nm senkrecht
Licht
auf. Zur Erklärung der Interferenzerscheinungen dürfen Sie
h
annehmen dass nur die Höhe h der durchlaufenen Luftschicht
den Gangunterschied bestimmt. Beachten Sie bei der
X
Bestimmung des Gangunterschiedes auch den Phasensprung
um eine halbe Wellenlänge wenn die Reflexion am optisch dichteren Medium stattfindet.
Berechnen Sie den Krümmungsradius r wenn im Abstand x der zwanzigste helle Ring gesehen wird.