Brückenkurs Mathematik - Fachrichtung Mathematik

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Technische Universität Dresden
Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis
Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch
Brückenkurs Mathematik 2016
2. Vorlesung
Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen
4
Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen
4.1
Zahlenmengen
* Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
* Die Menge der ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
p
p
* Die Menge der rationalen Zahlen Q = { q | p, q ∈ Z, q 6= 0}. Zwei rationale Zahlen q und rs sind
gleich, wenn ps = qr gilt. Rationale Zahlen sind durch endliche oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellbar.
* Die Menge der reellen Zahlen R. Reelle Zahlen sind durch Dezimalbrüche darstellbar. Die nicht
rationalen reellen Zahlen, das sind die Elemente von R \ Q, heißen irrationale Zahlen.
* Die Menge der komplexen Zahlen C (wird später behandelt). Die komplexen Zahlen sind durch
Paare reeller Zahlen darstellbar, es gilt C = {(a, b) | a, b ∈ R}.
Mit der entsprechenden Interpretation gilt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C .
4.2
Algebraische Eigenschaften
Es sei K ∈ {Q, R}.
Die Addition + besitzt folgende Eigenschaften:
∀ x, y ∈ K :
∀ x, y, z ∈ K :
∀x ∈ K :
∀ x ∈ K∃=1 − x ∈ K :
x+ y = y+ x
x + ( y + z ) = ( x + y) + z
x+0 = x
x + (− x) = 0
(Kommutativgesetz),
(Assoziativgesetz)
(neutrales Element bzgl. Addition)
(additiv inverse Zahl)
Bezüglich der Multiplikation · gelten:
∀ x, y ∈ K :
∀ x, y, z ∈ K :
∀x ∈ K :
∀ x ∈ K \ {0} ∃=1 x−1 ∈ K :
x· y = y· x
x · ( y · z ) = ( x · y) · z
x·1 = x
x · x−1 = 1
(Kommutativgesetz)
(Assoziativgesetz)
(neutrales Element bzgl. Multiplikation)
(multiplikativ inverse Zahl)
2
4
ZAHLENMENGEN UND DER KÖRPER DER REELLEN ZAHLEN
Addition und Multiplikation sind verbunden durch:
∀ x, y, z ∈ K :
x · ( y + z) = x · y + x · z
(Distributivgesetz)
Subtraktion - und Division : sind über Addition bzw. Multiplikation definiert:
x − y := x + (− y) ,
x : y := x · y−1 ,
die Division aber nur für y 6= 0.
Weitere Gesetze wie 0 · x = 0 und −1 · x = − x folgen aus den obigen Gesetzen.
Bemerkung 4.1. Wenn man unter Beibehaltung der bisherigen Eigenschaften von Addition und Multiplikation eine Division durch 0 definieren will, dann folgt 0 = 1 und weiter K = {0}, was nicht sehr
nützlich ist.
4.3
Ordnungseigenschaften
Auf K ∈ {Q, R} gibt es eine Ordnungsrelation ≤ und eine Relation < definiert durch
x< y
:⇔
x ≤ y und
x 6= y
mit folgenden Eigenschaften:
∀x ∈ K :
∀ x, y ∈ K :
∀ x, y, z ∈ K :
∀ x, y ∈ K :
∀ x, y ∈ K :
∀ x, y, z ∈ K :
∀ x, y, z ∈ K :
x≤x
( x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y
( x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z
x ≤ y∨ y ≤ x
x < y ⇒ ∃ u ∈ K( x < u < y)
x < y ⇔ x+ z < y+ z
z > 0 ⇒ ( x < y ⇔ x · z < y · z)
(Reflexivität)
(Antisymmetrie)
(Transitivität)
(totale Ordnung)
(Dichtheit)
(Verträglichkeit mit der Addition)
(Verträglichkeit mit der Multiplikation)
Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft: Für je zwei Zahlen x, y ∈ K gilt genau eine der drei Beziehungen
x < y, x = y, x > y.
Eine Zahl x ∈ K heißt positiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw. negativ, wenn x > 0, x ≥ 0, x ≤ 0 bzw.
x < 0.
Definition 4.2. Ein Körper K mit einer Ordnungsrelation mit obigen Eigenschaften heißt total angeordneter Körper.
Q und R sind also total angeordnete Körper. Der Körper C der komplexen Zahlen wird sich hingegen
als nicht anordenbar erweisen.
Für M ⊆ R definieren wir
M>a := { x ∈ M | x > a} ,
M≥a := { x ∈ M | x ≥ a} ,
... .
4.4
Vollständigkeitseigenschaft von R
3
Intervalle:
[a, b] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
4.4
abgeschlossenes Intervall,
]a, b[ = (a, b) = { x ∈ R | a < x < b}
offenes Intervall,
]a, b] = (a, b] = { x ∈ R | a < x ≤ b}
links halboffenes Intervall,
[a, b[ = [a, b[ = { x ∈ R | a ≤ x < b}
rechts halboffenes Intervall.
Vollständigkeitseigenschaft von R
Definition 4.3. Für a ∈ R≥0 und n ∈ N>0 ist die n-te Wurzel
Lösung der Gleichung x n = a.
p
n
a definiert als die nichtnegative
Die entstehende Frage ist, für welche Zahlen a ∈ R≥0 und n ∈ N>0 ist die n-te Wurzel aus a existiert.
Beispiel 4.4. Wir betrachten die Zahlenfolge ( xn )n∈N , bei der die Folgenglieder xn definiert sind als
die größte Dezimalzahl mit n Nachkommastellen, deren Quadrat kleiner oder gleich 2 sind.
Es gelten also x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.41, . . . , x10 = 1.414 213 562, . . .
Die Folge ( xn )n∈N ist monoton wachsend, das heißt, es gilt xn+1 ≥ xn für jedes n ∈ N.
Sie ist auch von oben beschränkt, das heißt, es gibt eine Zahl b mit xn ≤ b für jedes n ∈ N. (Konkret
können wir b = 2 wählen, da 22 > 2 gilt.)
Die Menge der reellen Zahlen besitzt eine bestimmte Vollständigkeitseigenschaft, wegen der jede
monoton wachsende, von oben beschränkte reelle Zahlenfolge einen Grenzwert in R besitzt.
Der Grenzwert w
p der in Beispiel 4.4 betrachteten Folge existiert also in R. Man kann zeigen, dass
w2 = 2, also w = 2 gilt.
p
Man kann zeigen, dass 2 keine rationale Zahl ist.Damit gilt:
Die Menge der rationalen Zahlen besitzt diese Vollständigkeitseigenschaft nicht, da nicht jede monoton wachsende, von oben beschränkte rationale Zahlenfolge einen Grenzwert in Q besitzt.
Wie dieses Beispiel zur Quadratwurzel aus 2 andeutet, erlaubt die Vollständigkeit der reellen Zahlen,
Wurzeln, Potenzen und die uns interessierenden (elementaren) Funktionen im Reellen zu definieren.
p
Insbesondere existiert n a als reelle Zahl für jedes a ∈ R≥0 und jedes n ∈ N>0 .
5
5.1
Rechnen mit Zahlen und Termen
Formale Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Es seien p, q, r, s reelle Zahlen mit q, s 6= 0. Dann gelten
p r p·s+q·r
+ =
,
q s
q·s
p r p·s−q·r
− =
,
q s
q·s
p r p·r
· =
,
q s q·s
p r p·s
: =
q s q·r
4
5
RECHNEN MIT ZAHLEN UND TERMEN
wobei für die letzte Beziehung noch r 6= 0 vorausgesetzt werden muss.
Das Ausmultiplizieren zu Summen ergibt sich aus Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz:
h
(a + b) · ( c + d ) = (a + b) · c + (a + b) · d = c · (a + b) + d · (a + b) = ( c · a + c · b) + ( d · a + d · b)
¡
¢
¡
¢
= (a · c + b · c) + (a · d + b · d ) = (a · c + b · c) + a · d + b · d = a · c + ( b · c + a · d ) + b · d
i
¡
¢
¡
¢
= a · c + (a · d + b · c) + b · d = (a · c + a · d ) + b · c + b · d
= a· c+a·d+b· c+b·d,
wobei man sich nur den Übergang vom ersten zum letzten Ausdruck merken muss. (Überlegen Sie
sich bei obigen Umformungen, welche der Gesetze wo gerade angewendet werden.)
Das Zusammenfassen zu Produkten ergibt sich aus Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz:
a · c + b · c = (a + b) · c .
Spezielle Formeln sind die binomischen Formeln
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 ,
( a − b )2 = a 2 − 2 · a · b + b 2 ,
( a + b ) · ( a − b ) = a2 − b 2
für a, b ∈ R ,
deren eigentliche Anwendung nicht im trivialen Ausmultiplizieren von links nach rechts, sondern im
Zusammenfassen von rechts nach links besteht.
Beispiel 5.1. Es gilt
4 · a2 + 9 · b2 − 12 · a · b = (2 · a)2 + (3 · b)2 − 2 · (2 · a) · (3 · b) = (2 · a)2 − 2 · (2 · a) · (3 · b) + (3 · b)2 = (2 · a − 3 · b)2 .
5.2
Schriftliche Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Aus der Schule sollten Methoden für die schriftliche Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
ganzer Zahlen (Grundschule) und endlicher Dezimalbrüche (Sekundarstufe 1) bekannt sein.
Beispiel 5.2.
1 2, 3 4
+ 2 3, 5 7
+ 3, 1 4
3 9, 0 5
8 3 4, 9
− 2 3 5, 7
− 3 1, 4
5 6 7, 8
8 3, 4 9 · 2 3 , 7
1 6 6 9, 8
2 5 0, 4 7
5 8, 4 4 3
1 9 7 8, 7 1 3
8 1, 0 0 0 : 3 7 , 5 = 2 , 1 6
− 7 5, 0
6, 0 0
− 3, 7 5
2, 2 5 0
− 2, 2 5 0
0
Hier insbesondere zur richtigen Bestimmung des Kommas, aber auch für andere Zwecke, sollte man
Überschlagsrechnungen sinnvoll anwenden können: Hier gelten 83,49 ≈ 80 und 23,7 ≈ 20 und daher
83,49 · 23,7 ≈ 1 600
5.3
Potenzgesetze
Die Potenzen zu positiven Basen a, b genügen folgenden Potenzgesetzen:
∀a, b ∈ R>0 ∀ r, s ∈ R : a r · a s = a r+s ,
a r : a s = a r−s ,
a r · b r = (a · b)r ,
a r : b r = (a : b)r ,
(a r )s = a r·s .
5.4
Rechnen mit Beträgen
5
Insbesondere sollte folgender Zusammenhang von Wurzeln und Potenzen beachtet werden:
∀a ∈ R≥0 ∀ n ∈ N>0 :
p
n
1
a=an .
Bemerkung 5.3. Die Potenzgesetze gelten nicht für negative Basen.
Zum Beispiel gilt
p
für x ∈ R und nicht
p
x2 = | x|
1
2
x2 = ( x2 ) = x (häufiger Fehler!), z. B.
p
(−1)2 = 1.
Bemerkung 5.4. Andere als die aufgeführten fünf Potenzgesetze gibt es nicht. Insbesondere gibt es
keine Potenzgesetze bezüglich der Summe von Basen.
Zum Beispiel gilt, auch wenn es oft Klausuren steht, eben nicht
p
p
a2 + b2 = (a + b)2 = a + b .
5.4
Rechnen mit Beträgen
Definition 5.5. Für eine reelle Zahl a wird der Betrag |a| von a festgesetzt durch |a| := a, falls a ≥ 0
und |a| := −a, falls a < 0.
Beispiel 5.6. Es gilt |3| = 3, aber auch | − 3| = 3 = −(−3).
Rechenregeln:
Für alle a, b, c ∈ R gelten
2
2
| − a| = | a| ,
¯|a1|¯ = a1 ,
|a · b| = |a| · | b| , ¯ a ¯ = |a| für a 6= 0 ,
|a − b| ≤ c ⇔ b − c ≤ a ≤ b + c .
5.5
p
a2 = | a| ,
aber |a + b| ≤ |a| + | b| (Dreiecksungleichung)
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division von Termen
Das Rechnen mit Termen folgt dem Rechnen mit ganzen bzw. rationalen Zahlen, weswegen man dieses
beherrschen muss.
Beispiel 5.7. Addition von Bruchtermen (Addition gebrochenen-rationaler Funktionen)
2 · x + 1 5 · x + 6 (2 · x + 1) · (7 · x + 8) + (3 · x + 4) · (5 · x + 6)
+
=
3· x+4 7· x+8
(3 · x + 4)(7 · x + 8)
14 · x2 + 16 · x + 7 · x + 8 + 15 · x2 + 18 · x + 20 · x + 24
=
21 · x2 + 24 · x + 28 · x + 32
2
29 · x + 61 · x + 32
=
.
21 · x2 + 52 · x + 32
6
6
GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
Beispiel 5.8. Polynomdivision mit Rest:
(3 · x3 + 2 · x2 −
−| 3 · x3 − 9 · x2
x + 1) : ( x − 3) = 3 · x2 + 11 · x + 32 + „Rest 97“ .
11 · x2 −
x
−| 11 · x2 − 33 · x
32 · x + 1
−| 32 · x − 96
97
6
Gleichungen und Ungleichungen
Ein Grundproblem der Mathematik ist die Ermittlung aller Lösungen von Gleichungen und Ungleichungen.
Wir betrachten hier nur reelle Gleichungen in einer reellen Variablen. Zur Lösung einer Gleichung
werden typischerweise Umformungsschritte durchgeführt, um zum Beispiel nach der gesuchten Variablen aufzulösen, wobei man unter einem Umformungsschritt die Anwendung einer geeigneten Operation auf beide Seiten der Gleichung versteht. Nicht alle Umformungen sind zulässig.
6.1
Zulässige und äquivalente Umformungen bei Gleichungen
Definition 6.1. Der Übergang von einer Gleichung G 1 zu einer Gleichung G 2 heißt
• eine zulässige Umformung auf D , wenn
∀ x ∈ D : G 1 ( x) =⇒ G 2 ( x),
• eine äquivalente Umformung auf D , wenn: ∀ x ∈ D : G 1 ( x) ⇐⇒ G 2 ( x),
Zulässige Umformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge beibehalten oder vergrößern. Durch das Vergrößern kommen Lösungen der neuen Gleichung hinzu, die keine Lösung der
Ausgangsgleichung sind, sogenannte Scheinlösungen. Um die Scheinlösungen ausschließen, ist zu
prüfen, welche erhalten Lösungen tatsächlich Lösung der Ausgangsgleichung sind, es ist also eine
Probe durch Einsetzen zu machen.
Äquivalente Umformungen sind spezielle zulässige Umformungen, welche die Lösungsmenge beibehalten. Wenn nur äquivalente Umformungen durchgeführt wurden, ist eine Probe nicht erforderlich.
Übergang von L( x) = R ( x) zu
zulässige Umformung
L ( x) ± T ( x) = R ( x) ± T ( x)
L ( x) · T ( x) = R ( x) · T ( x)
wenn T auf D definiert ist
wenn T auf D definiert ist
wenn zusätzlich T ( x) 6= 0 für
x ∈ D gilt
wenn T ( x) 6= 0 für x ∈ D gilt
wenn U : R → R gilt
wenn U zusätzlich injektiv ist
Beispiel: L( x)2 = R ( x)2
Beispiel: eL( x) = eR ( x)
L ( x) : T ( x) = R ( x) : T ( x)
U (L( x)) = U (R ( x))
äquivalente Umformung
6.3
6.2
Nicht zulässige Umformungen
7
Zulässige und äquivalente Umformungen bei Ungleichungen
Definition 6.2. Der Übergang von einer Ungleichung U1 zu einer Ungleichung U2 heißt
• eine zulässige Umformung auf D , wenn
∀ x ∈ D : U1 ( x) =⇒ U2 ( x),
• eine äquivalente Umformung auf D , wenn: ∀ x ∈ D : U1 ( x) ⇐⇒ U2 ( x),
Übergang von L( x) ≤ R ( x) zu
zulässige Umformung
L ( x) ± T ( x) ≤ R ( x) ± T ( x)
L ( x) · T ( x) ≤ R ( x) · T ( x)
L ( x) : T ( x) ≤ R ( x) : T ( x)
U (L( x)) ≤ U (R ( x))
wenn T auf D definiert ist
wenn T ( x) ≥ 0 für x ∈ D gilt
wenn T ( x) > 0 für x ∈ D gilt
wenn T ( x) > 0 für x ∈ D gilt
wenn U : R → R monoton
wenn U streng mon.
wachsend ist
wachsend ist
6.3
äquivalente Umformung
Nicht zulässige Umformungen
Nicht zulässige Umformungen wie die Division durch einen Term, der 0 werden kann, führen zum
Verlust von Lösungen. Verlorengegangene Lösungen können nicht durch eine Probe oder eine andere
Untersuchung zurückgewonnen werden. Solche Umformungen dürfen also nicht angewandt werden.
Wenn keine zulässigen Umformungen zur Lösung einer Gleichung oder Ungleichung auf einer Menge
D gefunden werden, kann man versuchen, D in geeignete Teilmengen zu zerlegen, also eine Fallunterscheidung zu machen, und die Lösungen auf diesen Teilmengen durch zulässige (äquivalente)
Umformungen zu bestimmen.
6.4
Beispiele
Beispiel 6.3. Zu lösen ist die Ungleichung
log10 (2 · x) ≤ 2 · log10 ( x)
(1)
auf D = R>0 .
Lösung: Durch Anwendung der Logarithmengesetze erhalten wir die auf D äquivalente Ungleichung
log10 (2 · x) ≤ log10 ( x2 ) .
Da die Exponentialfunktion zur Basis 10 streng monoton wachsend ist, entsteht durch ihre Anwendung die auf R>0 äquivalente Ungleichung
2 · x ≤ x2 .
Auf R>0 ist die Division durch x eine äquivalente Umformung, welche
2≤x
ergibt. Daher ist R≥2 = [2, ∞[ die Lösungsmenge der Ungleichung.
Beispiel 6.4. Zu lösen ist die Ungleichung | x + 1| + | x − 1| ≤ 2 auf D = R.
Lösung: Zur Beseitigung der Beträge machen wir Fallunterscheidung und wenden dann äquivalente
Umformungen an:
8
6
GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN
1. Fall: Es gelte x < −1. Dann gilt
| x + 1| + | x − 1| ≤ 2
−( x + 1) − ( x − 1) ≤ 2
⇔
⇔
x ≥ −1 ,
und daher ist L 1 = ] − ∞, −1[ ∩ [−1, ∞[ = ; die Lösungsmenge der Ungleichung auf ] − ∞, 1 − [.
2. Fall: Es gelte −1 ≤ x < 1. Dann gilt
| x + 1| + | x − 1| ≤ 2
⇔
( x + 1) − ( x − 1) ≤ 2
⇔
2 ≤ 2,
und daher istL 2 = [−1, 1[ ∩ R = [−1, 1[ die Lösungsmenge der Ungleichung auf [−1, 1[.
3. Fall: Es gelte 1 ≤ x. Dann gilt
| x + 1| + | x − 1| ≤ 2
⇔
( x + 1) + ( x − 1) ≤ 2
⇔
x ≤ 1,
und daher ist L 3 = [1, ∞[ ∩ ] − ∞, 1] = {1} die Lösungsmenge der Ungleichung auf [1, ∞[.
Zusammengefasst erhalten wir L 1 ∪ L 2 ∪ L 3 = [−1, 1] als die Lösungsmenge der Ungleichung auf R.
Beispiel 6.5. Zu Lösen ist die Gleichung
x·
p
x2 + 3 =
p
3 · x2 + 1
auf D = R.
Lösung: Die quadratische Funktion ist zwar auf R (und damit auf dem Wertebereich der linken und
rechten Seite definiert), jedoch nicht injektiv. Das Quadrieren beider Seiten ist daher zwar eine zulässige, aber nicht notwendig eine äquivalente Umformung. Es ist daher eine Probe zu machen. Wir
erhalten
x2 · ( x2 + 3) = 3 · x2 + 1
und die hierzu äquivalente Gleichung
x4 = 1 ,
welche auf D = R nur die Lösungen x = 1 und x = −1 besitzt.
Die Probe durch Einsetzen zeigt, dass x = 1 eine Lösung ist, x = −1 jedoch nicht. Daher ist nur x = 1
Lösung der Ausgangsgleichung.
Beispiel 6.6. Zu lösen ist die Gleichung
( x2 − 2) · ( x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6) = (2 · x + 1) · ( x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6)
auf D = R.
Lösung: Wir wollen durch x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6 dividieren und bestimmen dazu zum Beispiel durch
Probieren die Lösungen −2, 1 und 3 der Gleichung x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6 = 0. Diese drei Zahlen sind
Lösungen auf R.
Auf D 0 = D \ {−2, 1, 3} ist die Division durch x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6 eine äquivalente Umformung, welche zu
der auf D 0 äquivalenten Gleichung
x2 − 2 = 2 · x + 1
führt. Diese Gleichung hat auf R die Lösungen −1 und 3, auf D 0 daher nur die Lösung −1. Zusammengefasst erhalten wir mit −2, −1, 1 und 3 alle Lösungen der Ausgangsgleichung.
(Hätte man sofort durch x3 − 2 · x2 − 5 · x + 6 dividiert, so hätte man die Lösungen 1 und −2 verloren.)