m2l___60.odt 10.10.11 2. Klausur 12/I Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene B 1. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen. 3 6 2. Gegeben seien die Geraden: g AB : x = 2 s⋅ −3 5 −4 5 BE , −1 1 11 10 g AC : x = 1,5 t⋅ 2 , g BC : x = 3 u⋅ 5 7 0 1 −4 a) Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen. 2 BE 1 b) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte jeweils zweier Geraden. 4 BE c) Durch die Schnittpunkte entsteht ein Dreieck. Überprüfen Sie rechnerisch, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist. 4 BE 2 3. Eine gerade Pyramide PABCDS, deren Grundfläche ein Rechteck RABCD in der x-y-Ebene ist, dessen Kanten parallell zu den Achsen verlaufen (Fehler: Referenz nicht gefunden), ist gegeben durch A(0 | 0 | 0) und C(4 | 3 | 0). Die Höhe der Pyramide beträgt 8LE. Durch die Ebene ℇ: x + y + 2z = 8 wird die Spitze der Pyramide abgeschnitten. a) Geben Sie die Durchstoßpunkte von ℇ mit den Koordinatenachsen an. Bestimmen Sie eine Gleichung Abbildung 1: nicht maßstäblich von ℇ in Parameterform. 4 BE 1 Bewertung: Ansatz für einen Schnittpunkt und 3 Schnittpunkte. 2 Gerade heißt eine Pyramide immer dann, wenn ihre Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. ©F. Müller 1/6 m2l___60.odt 10.10.11 b) Berechnen Sie die Kantenlänge AS . 2 BE c) Berechnen Sie den Winkel MAS. 2 BE d) Geben Sie die restlichen Punkte B, D, M (als Mittelpunkt der Grundfläche) und S an. 4 BE 3 e) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte E, F, G, H der Ebene mit den Kanten der Pyramide. 5 BE f) Zeichnen Sie den verbleibenden Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein (1cm = 1LE). 4 BE Zeichnen Sie die Spurgeraden der Ebene E ein. 2 BE 4. Das Geradenbüschel ga und die Ebene E sind gegeben: (a, r, s, t ℝ) 15 3 0 1 0 g a : x = 0 r⋅ a E : x = 0 s⋅ 3 t⋅ 5 20 5 1 0 1 a) Berechnen Sie die Schnittpunkte Sa von Gerade und Ebene in Abhängigkeit von a. 5 BE b) Gibt es eine Gerade ga, die die Ebene nicht schneidet? Falls ja, für welche ist das? Begründen Sie Ihre Meinung ausführlich. 4 BE c) Welche Punktmenge entsteht beim Schnitt des Geradenbüschels mit der Ebene? 1 BE 6 3 5. Die Gerade g : x = 38 r⋅ 34 5 5 (r ℝ) und der Punkt P mit 15 = 0 seien gegeben. Ein beliebiger Punkt R(r) auf der Gerade wird OP 20 erreicht, indem ein Wert für r (z. B. r=1) eingesetzt wird. a) Geben Sie den Punkt R(1) an. 1 BE b) Berechnen Sie den Abstand von P zu R(1). 3 BE c) Berechnen Sie den Abstand von P zu einem beliebigen Punkt R(r). 3 BE d) Für welchen Wert re wird der Abstand minimal? (Aufzufassen als Extremwertaufgabe). Welche Koordinaten hat R(re)? Wie groß ist der 3 Bewertet wird: Ansatz für einen Punkt und 4 Punkte. ©F. Müller 2/6 m2l___60.odt Abstand? ©F. Müller 10.10.11 5 BE 3/6 m2l___60.odt 10.10.11 2. Klausur 12/I Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene A 6. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen. 5 6 7. Gegeben seien die Geraden: g AB : x = 4,5 s⋅ −3 4 −4 1 1 g AC : x = 4 t⋅ 2 6 0 5 BE , 13 10 , g BC : x = 5,5 u⋅ 5 0 −4 a) Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen. 2 BE 4 b) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte jeweils zweier Geraden. 4 BE c) Durch die Schnittpunkte entsteht ein Dreieck. Überprüfen Sie rechnerisch, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist. 4 BE 8. Eine gerade5 Pyramide PABCDS, deren Grundfläche ein Rechteck RABCD in der x-y-Ebene ist, dessen Kanten parallell zu den Achsen verlaufen (Fehler: Referenz nicht gefunden), ist gegeben durch A(0 | 0 | 0) und C(4 | 3 | 0). Die Höhe der Pyramide beträgt 8LE. Durch die Ebene ℇ: x + y + z = 8 wird die Spitze der Pyramide abgeschnitten. a) Geben Sie die Durchstoßpunkte von ℇ mit den Koordinatenachsen an. Bestimmen Sie eine Gleichung Abbildung 2: nicht maßstäblich von ℇ in Parameterform. 4 BE 4 Bewertung: Ansatz für einen Schnittpunkt und 3 Schnittpunkte. 5 Gerade heißt eine Pyramide immer dann, wenn ihre Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. ©F. Müller 4/6 m2l___60.odt 10.10.11 b) Berechnen Sie die Kantenlänge AS . 2 BE c) Berechnen Sie den Winkel MAS. 2 BE d) Geben Sie die restlichen Punkte B, D, M (als Mittelpunkt der Grundfläche) und S an. 4 BE 6 e) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte E, F, G, H der Ebene mit den Kanten der Pyramide. 5 BE f) Zeichnen Sie den verbleibenden Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein (1cm = 1LE). 4 BE Zeichnen Sie die Spurgeraden der Ebene E ein. 2 BE 9. Das Geradenbüschel ga und die Ebene E sind gegeben: (a, r, s, t ℝ) 19 3 4 1 0 g a : x = −1 r⋅ a E : x = −1 s⋅ 3 t⋅ 5 24 5 5 0 1 a) Berechnen Sie die Schnittpunkte Sa von Gerade und Ebene in Abhängigkeit von a. 5 BE b) Gibt es eine Gerade ga, die die Ebene nicht schneidet? Falls ja, für welche ist das? Begründen Sie Ihre Meinung ausführlich. 4 BE c) Welche Punktmenge entsteht beim Schnitt des Geradenbüschels mit der Ebene? 1 BE 10 3 10. Die Gerade g : x = 37 r⋅ 34 9 5 (r ℝ) und der Punkt P mit 19 = −1 seien gegeben. Ein beliebiger Punkt R(r) auf der Gerade wird OP 24 erreicht, indem ein Wert für r (z. B. r=1) eingesetzt wird. a) Geben Sie den Punkt R(1) an. 1 BE b) Berechnen Sie den Abstand von P zu R(1). 3 BE c) Berechnen Sie den Abstand von P zu einem beliebigen Punkt R(r). 3 BE d) Für welchen Wert re wird der Abstand minimal? (Aufzufassen als Extremwertaufgabe). Welche Koordinaten hat R(re)? Wie groß ist der 6 Bewertet wird: Ansatz für einen Punkt und 4 Punkte. ©F. Müller 5/6 m2l___60.odt Abstand? ©F. Müller 10.10.11 5 BE 6/6