2. Klausur 12/I

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2. Klausur 12/I
Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene
B
1. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren
Lagebeziehung eine Aussage zu treffen.
  
 
3
6
2. Gegeben seien die Geraden: g AB : x = 2  s⋅ −3
5
−4
  
5 BE
,
−1
1
11
10
g AC : x = 1,5  t⋅ 2 , g BC : x = 3  u⋅ 5
7
0
1
−4
a) Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen.
2 BE
1
b) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte jeweils zweier Geraden.
4 BE
c) Durch die Schnittpunkte entsteht ein Dreieck. Überprüfen Sie
rechnerisch, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
4 BE
2
3. Eine gerade Pyramide PABCDS,
deren Grundfläche ein Rechteck
RABCD in der x-y-Ebene ist, dessen
Kanten parallell zu den Achsen
verlaufen (Fehler: Referenz nicht
gefunden), ist gegeben durch A(0 |
0 | 0) und C(4 | 3 | 0). Die Höhe
der Pyramide beträgt 8LE. Durch
die Ebene ℇ: x + y + 2z = 8 wird
die Spitze der Pyramide
abgeschnitten.
a) Geben Sie die
Durchstoßpunkte von ℇ mit
den Koordinatenachsen an.
Bestimmen Sie eine Gleichung Abbildung 1: nicht maßstäblich
von ℇ in Parameterform. 4 BE
1 Bewertung: Ansatz für einen Schnittpunkt und 3 Schnittpunkte.
2 Gerade heißt eine Pyramide immer dann, wenn ihre Spitze senkrecht über dem
Mittelpunkt der Grundfläche liegt.
©F. Müller
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b) Berechnen Sie die Kantenlänge AS .
2 BE
c) Berechnen Sie den Winkel MAS.
2 BE
d) Geben Sie die restlichen Punkte B, D, M (als Mittelpunkt der
Grundfläche) und S an.
4 BE
3
e) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte E, F, G, H der Ebene mit
den Kanten der Pyramide.
5 BE
f) Zeichnen Sie den verbleibenden Pyramidenstumpf in ein
Koordinatensystem ein (1cm = 1LE).
4 BE
Zeichnen Sie die Spurgeraden der Ebene E ein.
2 BE
4. Das Geradenbüschel ga und die Ebene E sind gegeben:
(a, r, s, t  ℝ)
15
3
0
1
0
g a : x = 0  r⋅ a E : x = 0  s⋅ 3  t⋅ 5
20
5
1
0
1
  
  
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte Sa von Gerade und Ebene in
Abhängigkeit von a.
5 BE
b) Gibt es eine Gerade ga, die die Ebene nicht schneidet? Falls ja, für welche
ist das? Begründen Sie Ihre Meinung ausführlich.
4 BE
c) Welche Punktmenge entsteht beim Schnitt des Geradenbüschels mit der
Ebene?
1 BE
 
6
3
5. Die Gerade g : x = 38  r⋅ 34
5
5
(r  ℝ) und der Punkt P mit

15
 = 0 seien gegeben. Ein beliebiger Punkt R(r) auf der Gerade wird
OP
20
erreicht, indem ein Wert für r (z. B. r=1) eingesetzt wird.
a) Geben Sie den Punkt R(1) an.
1 BE
b) Berechnen Sie den Abstand von P zu R(1).
3 BE
c) Berechnen Sie den Abstand von P zu einem beliebigen Punkt R(r). 3 BE
d) Für welchen Wert re wird der Abstand minimal? (Aufzufassen als
Extremwertaufgabe). Welche Koordinaten hat R(re)? Wie groß ist der
3 Bewertet wird: Ansatz für einen Punkt und 4 Punkte.
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Abstand?
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5 BE
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Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene
A
6. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren
Lagebeziehung eine Aussage zu treffen.
   
  
5
6
7. Gegeben seien die Geraden: g AB : x = 4,5  s⋅ −3
4
−4
 
1
1
g AC : x = 4  t⋅ 2
6
0
5 BE
,
13
10
, g BC : x = 5,5  u⋅ 5
0
−4
a) Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen.
2 BE
4
b) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte jeweils zweier Geraden.
4 BE
c) Durch die Schnittpunkte entsteht ein Dreieck. Überprüfen Sie
rechnerisch, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
4 BE
8. Eine gerade5 Pyramide PABCDS,
deren Grundfläche ein Rechteck
RABCD in der x-y-Ebene ist, dessen
Kanten parallell zu den Achsen
verlaufen (Fehler: Referenz nicht
gefunden), ist gegeben durch A(0 |
0 | 0) und C(4 | 3 | 0). Die Höhe
der Pyramide beträgt 8LE. Durch
die Ebene ℇ: x + y + z = 8 wird
die Spitze der Pyramide
abgeschnitten.
a) Geben Sie die
Durchstoßpunkte von ℇ mit
den Koordinatenachsen an.
Bestimmen Sie eine Gleichung Abbildung 2: nicht maßstäblich
von ℇ in Parameterform. 4 BE
4 Bewertung: Ansatz für einen Schnittpunkt und 3 Schnittpunkte.
5 Gerade heißt eine Pyramide immer dann, wenn ihre Spitze senkrecht über dem
Mittelpunkt der Grundfläche liegt.
©F. Müller
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b) Berechnen Sie die Kantenlänge AS .
2 BE
c) Berechnen Sie den Winkel MAS.
2 BE
d) Geben Sie die restlichen Punkte B, D, M (als Mittelpunkt der
Grundfläche) und S an.
4 BE
6
e) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittpunkte E, F, G, H der Ebene mit
den Kanten der Pyramide.
5 BE
f) Zeichnen Sie den verbleibenden Pyramidenstumpf in ein
Koordinatensystem ein (1cm = 1LE).
4 BE
Zeichnen Sie die Spurgeraden der Ebene E ein.
2 BE
9. Das Geradenbüschel ga und die Ebene E sind gegeben:
(a, r, s, t  ℝ)
19
3
4
1
0
g a : x = −1  r⋅ a E : x = −1  s⋅ 3  t⋅ 5
24
5
5
0
1
  
   
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte Sa von Gerade und Ebene in
Abhängigkeit von a.
5 BE
b) Gibt es eine Gerade ga, die die Ebene nicht schneidet? Falls ja, für welche
ist das? Begründen Sie Ihre Meinung ausführlich.
4 BE
c) Welche Punktmenge entsteht beim Schnitt des Geradenbüschels mit der
Ebene?
1 BE
 
10
3
10. Die Gerade g : x = 37  r⋅ 34
9
5
(r  ℝ) und der Punkt P mit
 
19
 = −1 seien gegeben. Ein beliebiger Punkt R(r) auf der Gerade wird
OP
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erreicht, indem ein Wert für r (z. B. r=1) eingesetzt wird.
a) Geben Sie den Punkt R(1) an.
1 BE
b) Berechnen Sie den Abstand von P zu R(1).
3 BE
c) Berechnen Sie den Abstand von P zu einem beliebigen Punkt R(r). 3 BE
d) Für welchen Wert re wird der Abstand minimal? (Aufzufassen als
Extremwertaufgabe). Welche Koordinaten hat R(re)? Wie groß ist der
6 Bewertet wird: Ansatz für einen Punkt und 4 Punkte.
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Abstand?
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