1 Prüfung ohne Taschenrechner

1
OHNE TASCHENRECHNER
Querschnittsprüfung 2007 Mathematik
Aufgaben:
Bewertung:
Dauer:
Hilfsmittel:
Ablauf:
Prüfung ohne Taschenrechner
1. Vereinfachen Sie so weit als möglich:
(a)
a3 + a2 b a3 − ab2
:
c2 − 1
c2 − c
(b)
KSK, xx November, 2007
Teil 1 à 4 Aufgaben ohne Taschenrechner, Teil 2 à 4 Aufgaben mit Taschenrechner.
Alle 8 Aufgaben werden gleich bewertet.
60 Minuten.
Formelsammlung für Teil 1; Formelsammlung und Taschenrechner für Teil 2.
Sie lösen Teil 1 ohne Taschenrechner, geben ihn ab und erhalten Teil 2.
Name, Klasse:
1
1
25z 4
z 4 + 10z 2 + 25
1
OHNE TASCHENRECHNER
2
2. (a) Lösen Sie untenstehendes Gleichungssystem
2ax
x
−
+
3y
3y
=
=
b
5
1
(b) Wählen Sie a = − und geben Sie die Anzahl der Lösungen das Systems in Abhängigkeit von
2
b an.
1
OHNE TASCHENRECHNER
3
3. Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC mit den Höhenfusspunkten P und Q.
C
(a) Beweisen Sie, dass gilt: AB : AQ = AC : AP
Q
A
B
P
Abbildung 1: Aufgabe 3
(b) Was lässt sich über die Dreiecke AP Q und ABC sagen? Begründen Sie Ihre Aussage.
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OHNE TASCHENRECHNER
4
y
y=2
5
y
kx
4
4
3
3
c)
d)
5
b)
–3
–2
–1
2
2
1
1
0
a)
x
1
2
–2
3
(a) Graph der Funktion y = 2kx
–1
0
1
x
2
(b) Graphen von vier Exponentialfunktionen
Abbildung 2: Exponentialfunktionen.
4. (a) Abb. 2(a) zeigt den Graphen der Funktion y = 2k·x . Bestimmen Sie k.
(b) Abb. 2(b) zeigt die Graphen der vier in Tabelle Tab.1 gegebenen Exponentialfunktionen.
Geben Sie in der Tabelle an, welcher der Graphen a) - d) zu welcher Funktionsgleichung gehört:
Tabelle 1: Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graphen?
Funktionsgleichung
zugehöriger Graph
y = 2x
y = ex
y = 2−x
x
y = 22
2
2
MIT TASCHENRECHNER
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Prüfung mit Taschenrechner
80 cm 80 cm 80 cm 80 cm
5. Im Schulzimmer: Die hinterste Schülerreihe ist 4 Meter
vom Lehrer entfernt. Der Abstand zwischen benachbarten
Schülern beträgt 80 cm.
4 Meter
Berechne die beiden Winkel α und β, unter denen der Lehrer
die Abstände zwischen den benachbarten Schülern A und B
bzw. B und C sieht.
A
B
C
Schüler
α β
Lehrer
Abbildung 3: Der Lehrer sieht benachbarte Schüler unter dem Winkel α bzw.
β.
2
MIT TASCHENRECHNER
6
6. Berechnungen am Dreieck: Gegeben sind die Punkte A(−19, 0, 1); B(9, −15, z ) und C(7, −6, z ).
(a) Berechne z so, dass das Dreieck ABC in C einen rechten Winkel hat.
(b) Berechne die Fläche des Dreiecks ABC. (Eine Lösung genügt.)
2
MIT TASCHENRECHNER
7
y
7. Multiplikations-Parabel: Die Punkte A und B liegen auf
der Parabel y = x 2 . Der x -Wert von A ist: xA = −3, jener
von B: xB = 4. Legt man durch die Punkte A und B eine
Gerade g, so schneidet sie die y -Achse an der Stelle y = 12.
y = x2
g
B
Lege durch den Parabelpunkt C mit dem x -Wert xC = −2
und den Punkt D mit xD = 3 eine zweite Gerade h und
bestimme rechnerisch den Schnittpunkt von h mit der y Achse.
12
A
D
C
x
-6
-4 -3 -2
0
2
3
4
6
Abbildung 4: Die Gerade g schneidet die y Achse an der Stelle y = 12.
2
MIT TASCHENRECHNER
8
8. Windenergie: Die Leistung P einer Windturbine ist proportional
zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit v :
P ∼ v 3 ; (P gemessen in Watt W, v in m
s)
Bei einer Windgeschwindigkeit von v = 10 m
s hat jede der abgebildeten Turbinen eine Leistung
P (10) = 2, 5 · 106
(a) Gib den Zusammenhang zwischen der Leistung P und der
Windgeschwindigkeit v in Form einer Funktionsgleichung
an.
Abbildung
Windenergie,
Irland
(b) Übersteigt die Leistung der Turbine den Wert Pmax =
4 · 106 W wird sie wegen Zerstörungsgefahr gestoppt. Für
welche maximale Windgeschwindigkeit ist die Turbine ausgelegt?
5:
OffshoreArklow
Bank,