0 p pp dt dp dt dp dt dp dt dp
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Bücherflohmarkt Erinnerung 2.11.2004 Dienstag 2.11.2004 12:30 vor Studentensekretariat 4. Punktmechanik 4.1 Kinematik eines Massenpunktes Koordinatensysteme Geschwindigkeit im Raum Beschleunigung im Raum Superpositionsprinzip Schiefer Wurf, Wurfweite Versuch: Schiefer Wurf Versuch: Affenschuss Nicht konstante Beschleunigung Gleichförmige Kreisbeschleunigung Versuch: Luftkissentisch Kreisbewegung 4.2 Dynamik eines Massenpunktes Newtonsche Axiome Trägheitsprinzip und Impuls, Versuch: Trägheit Aktionsprinzip – Definition der Kraft Versuch: Luftkissenschiene Versuch: Variation von F und m 4.2 Reaktionsprinzip F12, die der Körper 1 auf den Körper 2 ausübt, dem Betrag nach gleich, der Kraft F21, die vom Wirken zwischen zwei Körpern Kräfte, so ist die Kraft Körper 2 auf den Körper 1 wirkt, aber entgegengesetzt groß m1 r r F12 = − F21 m2 dp1 dp =− 2 dt dt dp1 dp2 + =0 dt dt p = p1 + p2 = konstant Im einem abgeschlossenen System wirken keine äußeren Kräfte und somit gilt Erhaltung des Gesamtimpulses 1 4.2 Versuch: „Actio = Reactio“ F wirkt auf Masse m1 und hat ihren Ursprung an Masse m2 Masse m1 wird durch die Kraft F beschleunigt, Masse m2 wird durch die entgegengesetzte Kraft –F beschleunigt. Die Kraft 4.2 Folgerungen aus dem Reaktionsprinzip Rückstoß r r p Pistole = − p Kugel r r mPistole v Pistole = −mKugel v Kugel r r v Pistole << v Kugel 2 4.2 Wo ist hier die Gegenkraft ? FN 5 kg FG Vorsicht bei der Unterscheidung von Kräftegleichgewicht und Reaktionsprinzip ! → Rasterkraftmikroskop → Reibung Reaktionsprinzip bezieht sich auf zwei gegengleiche Kräfte der gleichen Wechselwirkungsart Gravitation, elektromagnetische Kräfte, schwache Kraft, starke Kraft zwischen zwei Körpern 4.2 Fernwirkung Das Reaktionsprinzip macht keine Aussage über Ursache und Wirkung und auch nicht über den zeitlichen Verlauf der Kraft ! → Die Gegenkraft wirkt instantan ! → Damit wäre Signalübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit möglich Ist das ein Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie ? Nein ! Es gibt in dem obigen Sinne keine Fernwirkung Wechselwirkung in 2. Quantisierung Austausch „virtueller Teilchen“, die Impuls tragen vermittelt die Wechselwirkung 3 4.3 Kräfte Impulsänderung r d pr F := dt [F ] = 1 kg m2 = 1 N s Da Masse durch Prototyp festgelegt ist ist die Kraft eine abgeleitete Größe. Kräfte sind über Masse, Länge und Zeit definiert. Fundamentale Wechselwirkungen Gravitation, Elektromagnetische Wechselwirkung, Schwache Wechselwirkung, Starke Wechselwirkung Scheinkräfte Corioliskraft Dynamik bei Beobachtung in Nicht-Inertialsystemen 4.3 Versuch: Kraftmessung Dynamische Kraftmessung: Messung der Beschleunigung → Gravimeter Statische Kraftmessung: Messung durch Kräftegleichgewicht Torsionsfederwaage Federwaage 4 4.3 Rasterkraftmikroskopie Positionierung „Cantilever“ Spitze Probenoberfläche Atome einer 7x7 rekonstruierten Si(111) Oberfläche 4.3 Kraft-Abstandskennlinie 5 4.3 Was ist die kleinste messbare Kraft ? Si(111) „cantilever“ D. Rugar et al., „Adventures in attonewton force detection“, Appl. Phys. A 72 (2001) S3 4.3 Addition von Kräften Greifen an einer Masse mehrere Kräfte an, so gibt es zwei mögliche Fälle: Wenn die vektorielle Summe der Kräfte null ist, dann verharrt die Masse in Ruhe oder gradlinig gleichförmiger Bewegung. r F1 r F4 r F3 r F1 r F2 r F4 r F2 n r ∑F i i =1 r r = FR = m ⋅ a i =1 Wichtiges Prinzip in der Statik r F3 Verbleibt eine resultierende Kraft dann beschleunigt diese die Masse. r F ∑ i =0 n r FR r m⋅a r F2 r F1 6 4.3 Kräfte bei Kreisbewegung Welche Kräfte wirken auf ein Auto bei Kurvenfahrt mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit ? 4.3 Kräftezerlegung Betrachten Sie die folgenden Kräfte: A: die Gewichtskraft B: eine Kraft entlang des Seiles in Richtung von P nach O C: eine Kraft in Bewegungsrichtung D: eine Kraft in Richtung von O nach P Welche dieser Kräfte wirken auf den Jungen wenn er in Position P ist ? 1: 2: 3: 4: 5: 6: Nur A A und B A und C B und C A,B, und C A, C, und D 7 4.3 Versuch: Kräfte am Pendel 4.3 Vorsicht im Umgang mit Kräften Trägheit ist keine Gegenkraft → Trägheitsprinzip Kraft und Reaktionskraft greifen nicht am gleichen Körper an → Actio = Reactio → Wechselwirkungen Die Fliehkraft ist nicht die Gegenkraft zur Zentripetalkraft → Gleichförmige Kreisbewegung → Scheinkräfte → Kräfte am Pendel Kraftrichtung und Bewegungsrichtung sind selten identisch → Senkrechter Wurf, Schiefer Wurf 8 4.3 Fundamentale Wechselwirkungen Kraft Wechselwirkung Reichweite Relative (m) Stärke Gravitationskraft zwischen Massen Gravitationsladung (Anziehend) ∞ 10-39 Coulombkraft zwischen elektrischen Ladungen (Anziehend und Abstoßend) ∞ 10-2 „Schwache“ Kraft Wechselwirkung beim β-Zerfall schwache Ladung ≤ 10-17 10-1 „Starke“ Kraft zwischen den Kernbausteinen starke Ladung (Farbladung) ≤ 10-15 1 Zusammenfassung 2.11.2004 4. Punktmechanik 4.1 Kinematik eines Massenpunktes 4.2 Dynamik eines Massenpunktes Newtonsche Axiome Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip Reaktionsprinzip Versuch: „Actio = Reactio“ Folgerungen aus dem Reaktionsprinzip Fernwirkung 4.3 Kräfte Versuch: Kraftmessung Rasterkraftmikroskopie Kraft-Abstandskennlinie Was ist die kleinste messbare Kraft ? Addition von Kräften Kräfte bei Kreisbewegung Kräftezerlegung Versuch: Kraft am Pendel Vorsicht im Umgang mit Kräften Fundamentale Wechselwirkungen 9 Erinnerung 3.11.2004 4. Punktmechanik 4.1 Kinematik eines Massenpunktes 4.2 Dynamik eines Massenpunktes Newtonsche Axiome Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip Reaktionsprinzip Versuch: „Actio = Reactio“ Folgerungen aus dem Reaktionsprinzip Fernwirkung 4.3 Kräfte Versuch: Kraftmessung Rasterkraftmikroskopie Kraft-Abstandskennlinie Was ist die kleinste messbare Kraft ? Addition von Kräften Kräfte bei Kreisbewegung Kräftezerlegung Versuch: Kraft am Pendel Vorsicht im Umgang mit Kräften Fundamentale Wechselwirkungen 4.4 Versuch: Stoß auf Luftkissenschiene Geschwindigkeit für beide Massen ? 10 4.4 Impuls • Suche nach einer gerichteten (vektoriellen) Erhaltungsgröße in einem abgeschlossenen System (ohne äußere Kräfte). • Versuch Luftkissenschiene: • Es wirken innere Kräfte (Feder) aber keine äußeren Kräfte. • Die Gesamtgeschwindigkeit wird nicht erhalten. • Aber für die Produkte aus Massen und Geschwindigkeiten finden wir: • Das Produkt nennt man Impuls. Der Impuls ist ein Vektor. • „Impuls“ ist uns aus der Alltagserfahrung wenig vertraut. Im Sprachgebrauch heißt es soviel wie „Anstoß“. Der physikalische Begriff kommt wohl aus der Beobachtung bei Stößen. 4.4 Impulserhaltung • Die Impulserhaltung ist wie die Energieerhaltung grundlegend in der Physik. Die vektorielle Summe aller Impulse in einem abgeschlossenen System wird erhalten. • Energie- und Impulserhaltungssatz sind ideal, um Aussagen über • den Bewegungszustand nach einer Wechselwirkung zu machen, • ohne die Bahnen der Massen während der Wechselwirkung zu kennen. 11 4.5 Arbeit, Energie, Potential Arbeit wird verrichtet wenn eine Masse angehoben wird. „Steine auf den Berg schleppen ist anstrengend.“ Arbeit wird aber nicht verrichtet beim Erzeugen einer Kompensationskraft zur Gewichtskraft, d.h. beim Halten einer Masse. Widerspricht Alltagserfahrung: „Steine halten ist anstrengend.“ Man kann die Steine auf einen Tisch legen, der die Kompensationskraft erzeugt. Der Tisch verrichtet dabei keine Arbeit, sondern es wirken nur Kräfte. Arbeit wird verrichtet, wenn man eine Masse gegen eine Kraft verschiebt. Keine Arbeit wird verrichtet bei waagerechtem Verschieben auf einer Luftkissenschiene, weil keine Kraft in diese Richtung wirkt. Beim Verschieben der „Steine auf dem Tisch“ wird Arbeit verrichtet, da die Verschiebung gegen die Reibungskraft verläuft. 4.5 Versuch: Flaschenzug Zum Anheben der Masse hat man viele Möglichkeiten: z.B. Flaschenzug Hubarbeit r F r s r F r s Will man die Kraft verkleinern, muss man einen größeren Weg in Kauf nehmen um das Gewicht gleich hoch zu heben. r F r s 12 4.5 Definition der Arbeit Arbeit = Kraft · Weg r r W = F ⋅s [W ] = 1 Nm = 1 J Die Arbeit ist eine skalare Größe. Sie wird aus zwei Vektoren berechnet. → Skalarprodukt r r r r F ⋅ s = F s cos α Das Skalarprodukt berücksichtigt nur die Komponente des einen Vektors, die in die Richtung des anderen Vektors zeigt und multipliziert mit dem Betrag des anderen Vektors. r F α r F⊥ r F|| r s 4.5 Arbeit bei ortsabhängiger Kraft Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werden. Die Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert. r r2 r ∆s r F r r1 Grenzübergang zu W= r r r W = ∑ F ⋅ ∆s ∆s → 0 liefert Integral r ∫ F ⋅ ds Die Arbeit ist das Wegintegral der Kraft Kurve 13 4.5 Kinetische Energie Arbeit wird an einem Massenpunkt verrichtet Dies impliziert, dass die Arbeit noch irgendwie in dem Massenpunkt steckt Ein Massenpunkt werde aus der Ruhelage mit einer konstanten Kraft beschleunigt Die verrichtete Arbeit nach der Strecke Gleichzeitig gilt: a= s= 1 W = m v2 2 F m 1F 2 t 2m s ist dann W = Fs F t m 2ms ⇒ t= F ⇒ v= Kinetische Energie 2F s 2W = ⇒ v = m m Beziehung gilt auch für nicht gleichförmige Beschleunigung 4.5 Leistung 14 4.5 Kraftfelder 4.5 Konservative Kraftfelder Beispiel: schiefe Ebene ohne Reibung (konstante Kraft) r r2 r ∆s r F r r1 Wenn die verrichtete Arbeit unabhängig vom Verlauf des Weges r r zwischen zwei beliebigen Punkten r1 und r2 ist, nennt man das Kraftfeld konservativ. Hier zählt nur die Aufwärtskomponente des Weges, d.h. die Komponente der Verschiebung in Richtung der Kraft. 15 4.5 Konservative Kraftfelder Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn die verrichtete Arbeit entlang jeder geschlossenen Kurve gleich Null ist. r r F ∫ ⋅ ds = 0 (Linienin tegral) Auch folgende Formulierung ist äquivalent: Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn in jedem Punkt die Wirbelstärke gleich Null ist. (Wirbelstärke wird r dem r mit r mathematischen Operator rot F = ∇ × F berechnet.) r In einem Wirbelfeld (rot F ≠ 0 ) wird auf einer geschlossenen Bahn Arbeit verrichtet. 4.5 Vektoranalysis: Rotation Was bedeutet r r r rot F = ∇ × F 16 4.5 Wegunabhängigkeit im Alltag ? Der physikalische Arbeitsbegriff ( zur täglichen Erfahrung = ) steht oft im Gegensatz 4.5 Dissipative Kraftfelder Beispiel: schiefe Ebene mit Reibung r r2 r F r ∆s r r1 Die verrichtete Arbeit ist wegabhängig ! Ein Teil der Arbeit wird in Reibungswärme umgewandelt und liegt nicht mehr als mechanische Energie vor. 17 4.5 Potentielle Energie Voraussetzung: konservatives Kraftfeld Verrichtete Arbeit hängt nur von Startpunkt nicht vom Wegverlauf dazwischen. Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um den Körper vom Startpunkt zum Endpunkt im Kraftfeld (z.B. Schwerefeld) zu verschieben Hier ist eine Haltekraft r r r1 und Endpunkt r2 ab, r r2 r r r W = − ∫ F (r ) ⋅ d s r r1 r r r r − F (r ) auf den Körper wirksam, die F (r ) kompensiert, damit Körper nicht beschleunigt wird. Vorzeichen: So gewählt, dass dem Körper zugeführte Arbeit positiv ist. r Wählt man den Startpunkt als Referenzpunkt rRef , kann man jedem Ort eine potentielle Energie zuordnen. r r r r r E pot (r ) = − ∫ F ⋅ ds r rRe f 4.5 Beispiel 18 4.5 Bestimmung der Kraft aus dem Potential analog Berechnung der Feldstärke aus dem Potential: Gradient in kartesischen Koordinaten: Der Gradient (Vektor!) gibt Richtung und Betrag der Steigung eines s Feldes an. Vorstellung: Potentielle Energie = Berglandschaft Gradient zeigt bergauf Kraft wirkt bergab = 4.5 Vektoranalysis: Gradient Was bedeutet r grad Φ = ∇ Φ → Vektoranalysis: Divergenz 19 4.5 Energieerhaltung 4.6 Stöße 20
