Formale Grundlagen

Formale Grundlagen
4. Übungsaufgaben
bis 2011-06-03, Lösungen
1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist.
2. Finden
Sie
einen
Eulerschen
Weg
im
Briefumschlag,
{ ((1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (4, 6), (3, 6) }.
d.h.
in:
3. Ein Dominostein besteht aus 2 quadratischen Feldern mit jeweils 0 bis 6 Punkten.
Ein Dominospiel hat genau einen Stein für jede mögliche Kombination. Diese Steine
sollten schlangenförmig aneinandergelegt werden, sodaß die berührenden Enden
dieselbe Punktezahl haben.
Kann man die Dominosteine zu einem Kreis auslegen, sodaß kein Stein übrig bleibt?
Was ändert sich, wenn jedes Feld bis zu 9 Punkte beinhalten kann?
Lösung: Wir verwenden die Menge { 0, 1, . . . , 6 } als Knotenmenge. Der Dominostein mit
den Punkten a und b entspricht dann einer Kante zwischen a und b. Das ganze Dominospiel entspricht daher einem vollständigen Graphen K̄ 7 auf einer 7-elementigenMenge
(inklusive Schlingen in jedem Knoten). Man kann die Steine genau dann zu einem Kreis
auslegen, wenn K̄ 7 ein Eulergraph ist. Dies ist der Fall, da K̄ 7 regulär vom Grad 8 ist,
und somit insbesondere jeder Knoten geraden Grad hat.
Wenn jedes Feld bis zu 9 Punkte haben kann, dann geht es darum, ob K̄ 10 ein Eulergraph
ist. In diesem hat aber jeder Knoten den Grad 11, sodaß das Problem für derartige
Dominosteine nicht lösbar ist.
4. Königsberg hat sich seit Eulers Zeiten stark gewandelt. Die ehemals preußische
Stadt wurde im 2. Weltkrieg heftig umkämpft und schwer zerstört. Es wurde aber
(als Kaliningrad) wieder aufgebaut. Einen modernen Stadtplan findet man z.B.
unter
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/other_
links/Konigsberg.html
Gibt es jetzt einen Spaziergang, der alle Brücken genau einmal verwendet?
Lösung: Jeder der 4 Stadtteile ist über 3 Straßenbrücken von einem anderen erreichbar.
Der entsprechende Graph hat daher in jedem Knoten Grad 3. (Tatsächlich handelt es
sich um den vollständigen Graphen K 4 .) Der Graph der Straßenbrücken ist somit nicht
Eulersch. Eine Eisenbahnbrücke verbindet aber zusätzlich den nördlichen und südlichen
Stadtteil. Der Graph, der auch diese Brücke berücksichtigt ist ein offener Eulergraph.
Die Endpunkte eines Eulerschen Kantenzugs darin müssen im östlichen Stadtteil bzw. im
Zentrum liegen.
1
5. Zeichnen Sie zwei Graphen, die gleich viele Knoten und Kanten haben, bei denen
die Grade aller Knoten übereinstimmen, und die dennoch nicht isomorph sind.
6. Betrachten Sie den Oktaeder als Graph. Wie sieht es hier mit Eulerschen und Hamiltonschen Kreisen aus?
Lösung: Einen Hamiltonscher Kreis findet man hier sehr leicht durch Probieren. Da alle
Knoten Grad 4, und damit geraden, Grad haben, existiert auch ein Eulerscher Kreis.
7. Finden Sie einen Homomorphismus von einem Weg in den folgenden Graphen:
V
S
O
N
K
St
B
W
T
Suchen Sie insbesondere einen Homomorphismus, der surjektiv ist (sowohl Knotenals auch Kantenabbildung).
Ist dieser Graph eulersch?
Lösung: Die Idee für einen derartige Homomorphismus ist durch die rote Linie im
Graphen angedeutet.
V
S
O
N
K
St
B
W
T
Etwas
formaler
ausgedrückt:
Wir
verwenden
einen
Weg
der
Länge 16 und bezeichnen dessen Knoten der Reihe nach mit mit
V, T, S, K, T 0 , S 0 , K 0 , St, S 00 , O, St0 , B, N, St00 , O0 , N 0 , W . Unseren Homomorphismus h
definieren wir dann durch h(V ) = V , h(T ) = T , h(S) = S, h(K) = K, h(T 0 ) = T ,
h(S 0 ) = S, h(K 0 ) = K, h(St) = St,. . . .
Dieser Homomorhismus verwendet manche Kanten mehrmals, was sich auch nicht vermeiden läßt, weil viele Knoten ungeraden Grad haben und der Graph damit nicht Eulersch
ist.
8. Wieviele Bäume mit 4 Knoten gibt es?
Lösung: Zwei. Und zwar:
2
9. Zeigen Sie, daß ein kreisfreier Graph, der nur einen Knoten mehr hat als Kanten,
ein Baum sein muß.
Lösung: Wegen der Kreisfreiheit gilt als m − n + p = 0. Die andere Bedingung besagt
n + 1 = m, woraus sich p = 1 ergibt, also ein zusammenhängender kreisfreier Graph, und
das ist ein Baum.
10. Finden Sie ein paar Spannbäume im Graphen aus Beispiel 7.
11. Finden Sie einen minimalen Spannbaum im Graphen:
130
60
N
W
92
27
4
O
1
198
30
V
127
249
5
25
226
S
T
345
K
St
228
B
246
Beginnen Sie mit verschiedenen Knoten und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Lösung: Egal in welchem Knoten wir beginnen, wir erhalten in jedem Fall den folgenden
minimalen Spannbaum:
127
130
O
60
N
W
92
249
4
27
1
30
198
V
226
25
5
S
T
345
K
St
228
B
246
12. Welches graphentheoretische Problem muß ein Auto-Routenplaner typischerweise
lösen.
13. Finden Sie einen kürzesten Weg vom Ort Aratz zum Ort Hull mit dem Algorithmus
von Dijkstra. Das Straßennetz von Aratz nach Hull ist wie folgt beschaffen:
• Von Aratz gibt es Verbindungen zu folgenden Orten: Buchte (2 km), Celle (5
km), Felden (20 km).
• Von Buchte gibt es außerdem Verbindungen zu folgenden Orten: Celle (5 km),
Ducham (3 km), Ergen (3 km).
• Von Ducham gibt es außerdem Verbindungen zu folgenden Orten: Ergen (2
km), Felden (7 km), Grutz (8 km).
• Von Ergen gibt es außerdem Verbindungen zu folgenden Orten: Grutz (5 km),
Hull (15 km).
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• Von Felden gibt es außerdem Verbindungen zu folgenden Orten: Grutz (1 km),
Hull (2 km)
• Die Straße von Grutz nach Hull ist 7 km lang.
Alle Verbindungsstraßen sind in beiden Richtungen befahrbar.
14. Zeichnen Sie ein Sechseck und verbinden Sie jeden Eckpunkt mit dem
gegenüberliegenden. Finden Sie eine 2-Färbung für diesen Graphen. Warum nennt
man diesen Graphen einen vollständigen bipartiten Graphen.
15. Ist die Landkarte mit den österreichischen Bundesländern 2-färbbar? Ist sie 3färbbar?
Lösung: Wegen der vorhandenen Dreiecke, ist sie nicht 2-färbbar. Es ist nicht schwer,
mit Probieren eine 3-Färbung zu finden.
16. Wieviele Farben braucht man für die Landkarte der EU?
Lösung: 4.
Luxembourg und dessen Nachbarländer bilden einen K4 .
17. Zeichnen Sie ein 5-Eck und verbinden Sie darin jeweils jeden Eckpunkt mit dem 2
Seiten weiter entfernten Eckpunkt durch eine Kante. Bestimmen Sie die chromatische Zahl dieses Graphen. Ist er planar?
Dasselbe für 6-Eck, 7-Eck, 8-Eck?
Lösung: Bei gerader Eckenzahl ergibt sich ein planarer Graph, bei ungerader nicht.
Beim 5-Eck ergibt sich ein vollständiger Graph, weshalb 5 Farben benötigt werden. Beim
6-Eck reichen drei Farben, beim 8-Eck benötigt man tatsächlich 4 Farben. Ebenso beim
7-Eck.
18. Zeigen Sie daß die beiden Kuratowski-Graphen nicht planar sind.
Lösung: Der K5 erfüllt nicht m + 6 ≤ 3n. Der K3,3 erfüllt nicht m + 4 ≤ 2n und hat auch
keine Dreiecke.
19. Überprüfen Sie für die folgenden Graphen die Planarität mittels Eulerscher Polyederformel und suchen Sie dann möglichst systematisch eine überschneidungsfreie Einbettung in die Ebene oder identifizieren Sie darin einen Kuratowski-Graphen.
4
20. Bestimmen Sie alle Maschen im Graphen
Dasselbe für eine überschneidungsfreie Variante desselben Graphen.
Lösung: In der überschneidungsfreien Variante entsprechen die Maschen genau den Gebieten.
21. Gegeben sei der Graph mit den Adjazenzlisten
0
1
2
3
4
5
6
1, 2
4, 3, 2, 0
0, 1, 3, 5, 6
1, 5, 6, 2
1, 5
6, 2, 3, 4
2, 5
Bestimmen Sie alle Maschen in diesem Graphen und vergleichen Sie mit der Eulerschen Polyederformel. Zeichnen Sie den Graphen und vergleichen Sie die Gebiete
mit den Maschen.
Lösung: Die Kante 36 lassen wir weg.
0145620
0210
13541
1231
2532
2652
Wir erhalten somit 6 Maschen, was genau zur Eulerschen Polyederformel paßt: 11−7+2 =
6.
22. Zeichnen Sie einen nicht-planaren Graphen ohne Überschneidungen auf ein Kaffeehäferl.
(Hinweis: Die Becher des Kaffeeautomaten vor dem HS 9 sind für die Lösung dieser
Aufgaben nicht geeignet.)
23. Ein Krug ist mit 8 Liter Wein gefüllt. Zwei weitere Krüge, die 5 bzw. 3 Liter fassen,
stehen daneben, sind aber leer. Durch Umschütten sollten 4 Liter ausgemessen
werden. Erstellen Sie einen Graphen, der dieses Problem modelliert, und finden Sie
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darin einen Weg von der Ausgangssituation in eine, in der ein Krug genau 4 Liter
beinhaltet.
Lösung: Mit dem Tripel (a1 , a2 , a3 ) beschreiben wir die Situation, daß der i-te Krug ai
Liter Wein enthält. Offenbar müssen alle ai N sein, wobei a1 ≤ 8, a2 ≤ 5, a3 ≤ 3, und
a1 + a2 + a3 = 8. Jedes Zahlentripel mit diesen Eigenschaften entspricht einem Knoten in
unserem Graphen. Sei m = min(a1 , 3 − a3 ). Wenn m > 0, dann kann man m Liter von
a1 nach a3 umschütten und findet sich dann in der Situation (a1 − m, a2 , a3 + m) wieder.
Analog für alle anderen Paare von Krügen. In dem Graphen der Abbildung 1 (die weniger
interessanten Kanten sind grau oder rosa gezeichnet) findet man dann leicht einen Weg zu
einer der 3 erreichbaren Konfigurationen, in denen mindestens ein Krug 4 Liter enthält.
(In diesem Graphen sind die Kanten gerichtet, weil sich nicht jeder Schritt umkehren
läßt.)
5,0,3
8,0,0
5,3,0
5,2,1
5,1,2
4,3,1
6,1,1
2,3,3
2,5,1
7,0,1
7,1,0
4,1,3
6,2,0
6,0,2
1,5,2
1,4,3
4,4,0
3,3,2
2,4,2
4,2,2
3,4,1
0,5,3
3,5,0
3,2,3
Abbildung 1: Ein Graph für das Umschütten von Krügen mit 8/5/3 Litern
6