V. Quantenmechanik
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QUANTENMECHANIK Inhaltsverzeichnis Einführung ................................................................. 1 Der Photoeffekt ................................................................. 2 Photonenhypothese ................................................................. 5 Experimentelle Untersuchung des Photoeffekts .......................... 7 Modellvorstellung über das Licht Impuls der Photonen ....................................... 10 ................................................................. 10 Elektronen weisen Welleneigenschaften auf De Broglie Wellen in der Atomhülle .......................... 13 ....................................... 15 Gesamtenergie des Elektrons im Wasserstoffatom ............. 17 .......................... 19 Diskrete Energiezustände .................................................... 20 Wasserstoffspektrum .................................................... 22 Der Laser ................................................................. 25 Aufgabensammlung ................................................................. 27 Formelsammlung ................................................................. 30 Die Bahnradien im Bohrschen Atommodell Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM1 QUANTENMECHANIK Einführung Gegen Ende des 19. Jahrhunderts galten die Newtonsche Mechanik und die Maxwellsche Theorie des Elektromagnetismus als die unverrückbaren Eckpfeiler des Gebäudes der klassischen Physik. Aufgrund der großen Erfolge dieser Theorien glaubten manche Physiker, dass keine weiteren größeren Entdeckungen in der Physik zu machen wären. Doch einige experimentelle Hinweise zeigten auf, dass diese Theorien nicht alles erklären konnten. So bereiteten unter anderem die Stabilität der Atome und die Emission von Linienspektren der klassischen Physik sehr große Probleme (siehe Kapitel: Wasserstoffatom). Auch die experimentell bestimmte Wärmestrahlungsleistung von glühenden Körpern in Abhängigkeit von der Frequenz konnte theoretisch nicht beschrieben werden. Max Planck (1859 – 1947) fand im Jahre 1900 durch die Verwendung der statistischen Physik die gesuchte allgemeine Strahlungsformel eines sogenannten ‚schwarzen Körpers’ (Abb. 1). Bei dieser Vorgehensweise war Planck allerdings darauf angewiesen anzunehmen, dass die atomaren Teilchen (Abb. 2) die Energie nicht kontinuierlich, sondern in Energieportionen, sogenannte EnergieQuanten, aufnehmen oder abgeben. Jedes Energiequant entspricht der Größe h⋅f. 1. Max Planck (1859 - 1947) erhielt 1920 den Nobelpreis für seine Arbeiten. Er ist bekannt u.a. durch die Strahlungsuntersuchung von sogenannten schwarzen Körper. Diese neuartige Entdeckung wurde unter anderem durch die Arbeiten von Albert Einstein (1879 – 1955) zum photoelektrischen Effekt untermauert. Im Jahre 1905 gelang es ihm, mit derselben Quantenhypothese die Energieverteilung der durch Licht an einer Metalloberfläche ausgelösten Elektronen richtig zu beschreiben. Demnach hat jede Lichtwelle auch Teilcheneigenschaften. Diese Lichtteilchen werden 2. Spur eines Elektrons, das aus Photonen genannt. Niels Bohr (1885 – 1962) erklärte wenig später mit Hilfe der Quantenhypothese die Farben des von Atomen ausgesandten Lichts. Louis de Broglie (1892 – 1987) hat 1924 den am Licht festgestellten TeilchenWelle-Dualismus auf alle materiellen Teilchen erweitert. Jedem Teilchen werden Welleneigenschaften zugeordnet und somit über sogenannte Materiewellen beschrieben. Im Jahre 1926 fand Max Born (1882 – 1970) eine Erklärung für diejenige Eigenschaft, die in einer Materiewelle ‚schwingt’: Sie ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das zu der Welle gehörende Teilchen an einer bestimmten Stelle anzutreffen. Erwin Schrödinger (1887 – 1961) entwickelte ebenfalls 1926 eine Gleichung, mit deren Hilfe das räumliche und zeitliche Verhalten der Materiewellen berechnet werden kann. Diese Schrödinger-Gleichung ist eine der fundamentalen Gleichungen der Physik. einem Wasserstoffatom herausgeschlagen wurde. Im Magnetfeld legt das Elektron eine gekrümmte Bahn zurück. Elektronen verhalten sich wie Teilchen. 3. Licht bildet ein Interferenzmuster, wenn es z.B. durch einen Spalt fällt. Licht verhält sich also wie eine Welle. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM2 Der Photoeffekt (lichtelektrischer Effekt) Heinrich Hertz (1857 – 1894) entdeckte bei Experimenten mit Funkenentladungen zur Erzeugung schneller elektrischer Schwingungen, dass Licht, insbesondere das ultraviolette Licht einen Einfluss auf die Länge der Funkenstrecke hatte. Dieser Effekt wurde von vielen Wissenschaftlern untersucht, unter anderem von Wilhelm Hallwachs (1859 – 1922). Hallwachs konnte nachweisen, dass durch ultraviolettes Licht negativ geladene Metallplatten entladen wurden, positiv geladene Metallplatten hingegen ihre Ladung behielten. Philipp Lenard (1862 – 1947) wies nach, dass bei diesem Vorgang Elektronen aus der Platte herausgeschlagen wurden. Obschon der Effekt experimentell geklärt war, stellte die theoretische Beschreibung die Physiker jedoch vor sehr große Probleme. Die durch zahlreiche Versuche untermauerte Theorie der Wellennatur des Lichtes vermochte den lichtelektrischen Effekt allerdings nicht zu beschreiben. Es war Albert Einsteins (1879 - 1955) großer Verdienst durch das Aufgreifen der Quantenhypothese von Planck den Photoeffekt vollständig zu beschreiben. Der Photoeffekt (auch äußerer photoelektrischer Effekt, oder lichtelektrischer Effekt genannt), behandelt das Freisetzen von Elektronen aus einem Metall, wenn dieses von elektromagnetischer Strahlung (etwa sichtbares oder ultraviolettes Licht) getroffen wird. Grundversuch zum Photoeffekt • An einem Elektroskop wird eine frisch abgeschmirgelte Zinkplatte befestigt und negativ geladen (Abb. 1). Bestrahlt man diese negativ geladene Zinkplatte mit dem Licht einer Quecksilberhochdrucklampe (Abb. 2), so beobachtet man die sofortige Entladung des Elektroskops; es verliert seinen Elektronenüberschuss. Dieser Vorgang wird auch noch beobachtet, wenn die Lichtintensität verringert wird; bei großer Lichtintensität geht es schneller, bei kleiner Lichtintensität langsamer. 2. Emissionsspektrum einer Hg-Dampflampe. Je nach Dampfdruck sind die Emissionslinien mehr oder weniger verbreitert und können sich unter hohem Druck bis in den UV-Bereich erstrecken. Durch eine Glasscheibe kann ein Großteil der UV-Strahlung herausgefiltert werden. 1. Experimenteller Aufbau zum photoelektrischen Effekt. Das Licht einer Quecksilberdampflampe führt zur Entladung einer negativ geladenen Zink-Platte. Wird eine Glasplatte in den Strahlengang gehalten wird keine Entladung beobachtet. Quantenmechanik QM3 13GE – 2013/14 • Eine positiv geladene Zinkplatte wird durch das Licht der Quecksilberdampflampe nicht entladen; die Elektronen, die aus der Platte gelöst werden, werden wieder zur positiv geladenen Platte zurückgezogen. Licht kann Elektronen aus einer Metallplatte freisetzen. Diese können von der negativ geladenen Platte in die Umgebung freigesetzt werden. Bei einer positiv geladenen Platte können sie diese nicht verlassen. • Absorbiert man den im Licht enthaltenen UV-Anteil, indem man zum Beispiel eine Glasplatte (Tab. 1) zwischen Quecksilberdampflampe und Metallplatte stellt, so findet keine Entladung der negativ geladenen Zinkplatte statt. Diese Beobachtung ist unabhängig von der Lichtintensität, das heißt auch wenn die Lichtintensität sehr groß ist (z. B. mehrere Lampen) entlädt die Platte sich trotzdem nicht. Folgende Beobachtungen kann mal also bei Bestrahlung einer negativ geladenen Zinkplatte mit einer Quecksilberdampflampe machen: infrarotes Licht sichtbares Licht ultraviolettes Licht → → → keine Entladung keine Entladung Entladung ! Bei einem bestimmten Material hängt die Entstehung des Photoeffekts nur von der Frequenz des beleuchtenden Lichtes ab. Gebraucht man das ‚falsche Licht’ so hilft es nichts, wenn man die Lichtintensität vergrößert; die Entladung findet trotzdem nicht statt. Die Entladung ist also unabhängig von der Lichtintensität, jedoch ist sie abhängig von der Frequenz des Lichts. Nur wenn die Frequenz des Lichtes größer als eine bestimmte Frequenz, auch Grenzfrequenz fG genannt, ist tritt der Photoeffekt ein. Bei Zink liegt diese Frequenz bei etwa 8 ⋅ 1014 Hz (genaue Werte sind schwierig anzugeben, da der Zustand der Ober-fläche einen Einfluss auf die Grenzfrequenz hat). Wie ist das bei anderen Metallen? Belichtet man eine negativ geladene Kaliumplatte mit Licht ohne UV-Anteil, so findet trotzdem eine Entladung statt (Tab. 2). Bei einer bestimmten Frequenz des Lichtes hängt das Auftreten des Photoeffekts vom Material der belichteten Platte ab. Die Grenzfrequenz fG, für die der Photoeffekt noch stattfindet, ist charakteristisch für jedes Metall. Material fG (1014 Hz) λG (nm) Farbe Cs 4,7 639 orange Rb 5,2 582 gelb K 5,4 551 grün Na 5,5 544 grün Li 5,9 504 grün Zn 8,0 375 UV Cu 10,8 278 UV 2. Grenzfrequenz und Grenzwellenlänge für verschiedene Metalle Pt 13,0 231 UV Material Glas Quarzglas LiF MgF2 λSp (nm) 350 250 110 110 1. Tabelle der Sperrwellenlänge λSp. Unterhalb der Sperrwellenlänge sind die angegebenen Materialien nicht mehr durchlässig für Licht größerer Wellenlänge. Die beiden letztgenannten Materialien können als Fenstermaterialien im fernen UVBereich benutzt werden. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM4 Einige Beobachtungen des Photoeffekts sind nicht mit der Wellenphysik erklärbar: • Experimente zeigen, dass beim Photoeffekt die ersten Elektronen stets sofort nach Einsetzen der Beleuchtung ausgesandt werden. Die Wellentheorie des Lichtes besagt, dass die Elektronen (in der Platte) durch das elektrische Feld des Lichtes in Schwingungen versetzt werden. Die Amplitude der Schwingung müsste dauernd zunehmen, wenn die Lichtwelle einfällt. Wenn die Elektronen genügend Energie gespeichert haben, können sie das Metall verlassen (siehe Beispiel). Allerdings müsste man unter normalen Bedingungen und bei geringer Lichtintensität sehr lange auf die Auslösung der ersten Elektronen warten: diese Theorie steht also in Widerspruch zu den experimentellen Befunden! Beispiel: Um die im Text beschriebene Idee zu verdeutlichen kann man das Beispiel eines Mikrowellenherds benutzen: hierbei wird Wasser durch Absorption der Strahlung nach und nach erhitzt, bis es die Siedetemperatur erreicht und verdampft. Analogie: Um ein PunchingBall aus seiner Verankerung zu lösen, reicht es nicht aus, um 1000 mal sanft dagegen zu schlagen. Im Prinzip reicht ein Es ist demnach also nicht möglich, den Photoeffekt durch das einziger (sehr) kräftiger Schlag. Wellenmodell des Lichts zu beschreiben! Um die Widersprüche aus den so unerwarteten experimentellen Ergebnissen bei der Untersuchung des Photoeffekts zu den bisherigen Vorstellungen vom Licht aufzuheben, ist die Quantenoptik entwickelt worden. • Des weiteren zeigen die Versuche auch, dass die kinetische Energie der beim Photoeffekt abgelösten Elektronen unabhängig von der Lichtintensität ist: sie hängt nämlich bloß von der Frequenz des Lichtes ab! Nach der Wellentheorie könnte es vorkommen, dass bei sehr großer Lichtintensität viele Lichtwellen auf ein Elektron wirken und ihm so sehr viel Energie übertragen (siehe Analogie). Dies wird aber nicht beobachtet. Quantenmechanik QM5 13GE – 2013/14 Photonenhypothese Zur Deutung des Photoeffekts benutzte Albert Einstein die Theorie der Korpuskularnatur des Lichtes (1905), die 5 Jahre früher von Max Planck eingeführt worden war. Sie besagt, dass jede elektromagnetische Strahlung (d.h. auch Licht) aus einzelnen Teilchen, den Photonen oder (Licht)-Quanten, besteht. Die Photonen sind allerdings keine Teilchen im klassischen Sinn: man kann sie auch als eine Art „Energiebündel“ betrachten, deren Energie proportional zur Frequenz des Lichts ist. Die Energie E eines Photons beträgt also: E=h⋅f f : Frequenz [f] = Hz h = 6,626 ⋅ 10–34 J⋅s [h] = J⋅s = W⋅s2 Plancksches Wirkungsquantum, Planck-Konstante; Bemerkung Ein Elektronvolt (eV) ist die Energie, die ein Teilchen mit 1⋅ e (Elementarladung) erhält, wenn es im Vakuum die Spannung von 1 Volt frei durchläuft. E = q ⋅U = 1 e ⋅ 1V = 1,602 ⋅ 10-19 C ⋅ 1V = 1 eV Also: 1,602 ⋅ 10-19 J = 1 eV Der Wert der Proportionalitätskonstanten h ist außerordentlich klein, so dass die Quantisierung der Lichtenergie für unsere alltäglichen Beobachtungen vernachlässigbare Auswirkungen hat. Erst für die Mikroobjekte bestimmt diese sogenannte Planck-Konstante das Ausmaß der Quanteneffekte und trennt damit unsere Alltagswelt von der Welt der Quanten. Treffen Photonen auf eine Metallplatte (Abb. 1), so treten sie in Wechselwirkung mit den Elektronen der Platte. Ein Photon gibt seine Energie h⋅f an ein Elektron ab. Dieses Elektron tritt aus der Platte, wenn die vom Photon übertragene Energie einen für das Material charakteristischen Mindestwert hat. Man nennt Ablösearbeit WA die Mindestarbeit, die benötigt wird, um überhaupt ein Elektron aus dem 1. Schematische Darstellung des Metall lösen zu können. Photoeffekts. Photonen der Energie E = h⋅ f treffen auf eine MetalloberDiese Mindestarbeit entspricht einer Mindestfrequenz (Grenzfläche. Ist deren Energie größer als frequenz) fG die das Photon besitzen muss, um ein Elektron aus der die Austrittsarbeit, wird von jedem Platte „herausschlagen“ zu können. Ist die Frequenz f des einfallenden Photon ein Elektron gelöst. Photons größer als die Grenzfrequenz fG, so wird ein Teil dieser Energie als Ablösearbeit WA gebraucht, der Rest ergibt die kinetische Energie Ekin des freigeschlagenen Elektrons: E = WA + Ekin 1 h ⋅ f = WA + mv 2 2 Wird die Mindestenergie (Tab. 2) erreicht, so werden die Elektronen gerade herausgelöst: WA = h ⋅ fG Material WA (eV) Cs Rb K Na Li Zn Cu Pt 1,94 2,13 2,25 2,28 2,46 3,31 4,48 5,36 In diesem Fall ist die Frequenz der Photonen gleich der Grenzfrequenz 2. Ablösearbeit WA für verschiedene Metalle (zu vergleichen mit Tab. 2 und das Elektron hat keine kinetische Energie. QM 3). Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM6 Zusammenfassung • Ein Photon kann einem Elektron eine bestimmte Energie erteilen. Von dieser Energie wird ein Teil zum Ablösen des Elektrons verbraucht (Ablösearbeit), der Rest tritt als kinetische Energie des abgelösten Elektrons in Erscheinung. E = WA + Ekin • Die Anzahl der emittierten Elektronen ist proportional zur Zahl der einfallenden Photonen, d.h. also zur Lichtintensität (nicht proportional zur Frequenz f). • Die kinetische Energie der Elektronen hängt bloß von der Energie der einfallenden Photonen, d.h. also von ihrer Frequenz f ab; nicht aber von der Lichtintensität! 1. Titelseite der Originalarbeit von Albert Einstein über den photoelektrischen Effekt, für den er 1921 den Nobelpreis erhielt. Beispiel: Die Kathode einer Photozelle besteht aus Caesium (WA = 1,96 eV). Im folgenden fällt nacheinander monochromatisches Licht mit der Wellenlänge λ1 = 410 nm (blaues Licht) und λ2 = 656 nm (rotes Licht) auf die Kathode. Wir wollen untersuchen, ob durch Einwirkung des Lichtes dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden. Grenzfrequenz (Mindestfrequenz) fG die für das sofortige Einsetzen des Photoeffekts notwendig ist : fG = WA 1, 96 ⋅1, 602 ⋅10 −19 Ws = h 6.626 ⋅10 −34 Ws2 2. Max Planck und Albert Einstein bei der Nobelpreisüberreichung von 1921. fG = 4,7 ⋅1014 s−1 Der Photoeffekt tritt nur bei Licht ein, dessen Frequenz größer ist als 4,7⋅1014 Hz. Frequenz des eingestrahlten Lichtes : € Albert Einstein (1905): 8 ‚Die übliche Auffassung, dass die c 3⋅10 m/s f1 = = = 7,3⋅1014 Hz Energie des Lichtes λ1 410 nm kontinuierlich über den durchstrahlten Raum verteilt sei, c 3⋅10 8 m/s 14 findet bei dem Versuch, die f2 = = = 4,6 ⋅10 Hz λ 656 nm lichtelektrischen Erscheinungen 2 € zu erklären, besonders große Schwierigkeiten. Die Das rote Licht (f2 < fG) löst keine Elektronen aus der Kathode heraus. Beobachtungen sprechen eher € Bei blauem Licht (f1 > fG) werden Elektronen emittiert. Um ein Elektron dafür, dass Licht Energie in frei werden zu lassen, bedarf es eines genügend großen Energiequants Portionen zur Verfügung stellt.’ h·f. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM7 Experimentelle Untersuchung des Photoeffekts In der bisherigen Untersuchung des Photoeffekts tauchen einige Größen auf, wie zum Beispiel die Austrittsarbeit oder die Planck-Konstante, die experimentell ermittelt werden müssen. Zur Bestimmung dieser Größen kann eine Vakuum-Photozelle benutzt werden (Abb. 1), welche mit Licht unterschiedlicher Frequenz bestrahlt wird. Über eine Gegenelektrode, an welcher unterschiedliche Spannungen angelegt werden, kann die Bewegung der aus der Photoschicht herausgeschlagenen Elektronen beeinflusst werden. Trifft Licht ausreichender Energie auf die Photozelle, so werden sofort mit der Beleuchtung Elektronen aus der Platte freigesetzt. Selbst wenn keine Spannung zwischen Photoschicht und Gegenelektrode besteht, 1. Experimenteller Aufbau zum können einige Elektronen die Gegenelektrode erreichen, es fließt ein Photoeffekt. kleiner Strom (Abb. 2 a). Die Stromstärke hängt von der angelegten Spannung und von der Beleuchtungsstärke ab. Je größer die Beleuchtungsstärke ist, um so mehr Photonen treffen die Photoschicht und um so mehr Elektronen können bei ausreichender Photonenenergie herausgelöst werden (Abb. 2 b, vergleiche beide Kurven). 2. Stromstärke in Abhängigkeit von der angelegten Spannung an der Vakuum-Photozelle für unterschiedliche Beleuchtungsstärken. • Ist die an der Gegenelektrode anliegende Spannung U positiv (Abb. 3), so können die austretenden Elektronen die Gegenelektrode erreichen: sie bilden den „Photostrom“. Je größer die Spannung, um so mehr Elektronen erreichen die Gegenelektrode. Ab einer bestimmten Spannung erreichen alle die durch die Photonen herausgelösten Elektronen die Gegenelektrode. Eine Sättigung ist erreicht, und der Photostrom steigt trotz steigender Spannung nicht mehr an (Abb. 2 c). 3. Bei positiv angelegter Spannung können die herausgelösten Elektronen die Gegenelektrode erreichen. • Ist die anliegende Spannung U negativ (Abb. 4), so stößt die Gegenelektrode die ausgetretenen Elektronen ab: diese können, auf Grund ihrer kinetischen Energie, bis zu einer gewissen Grenzspannung UG trotzdem aber noch die Gegenelektrode erreichen (Abb. 2 d). Jenseits dieser Spannung reicht die kinetische Energie der Elektronen nicht mehr aus, um diese zu erreichen. 4. Bei steigender negativ angelegter Aufgabe: Ordnen Sie die im Text beschriebenen Punkte a, b, c, d den Spannung erreichen immer weniger Elektronen die Gegenelektrode. verschiedenen Bereichen in der Abbildung 2 zu. Quantenmechanik QM8 13GE – 2013/14 Prinzip der Gegenfeldmethode Die Gegenelektrode besitzt gegenüber der Metallplatte beziehungsweise der Photoschicht eine negative, regelbare Spannung. Trifft nun Licht der Frequenz f auf die Platte, werden aus ihr Elektronen abgelöst. Diese besitzen gleich nach dem Austritt aus dem Metall eine kinetische Energie von E kin = 1 m ⋅ v2 . 2 Da diese Elektronen auf ihrem Weg zur Gegenelektrode aber durch die anliegende negative Spannung, die sogenannte Bremsspannung U abgebremst werden, erreichen mit steigender (negativer) Spannung immer weniger Elektronen die Gegenelektrode: der Photostrom I nimmt ab. Erreicht die Spannung einen (negativen) Grenzwert UG, so werden gerade alle Elektronen vollständig abgebremst (v = 0 m/s): der Photostrom wird Null, da keine Elektronen mehr die Gegenelektrode erreichen. Wenn die Elektronen die Platte verlassen, so verwandeln sie ihre kinetische Energie in elektrische Energie, die über Eel = e ⋅ U berechnet wird. Beim Abbremsen der Elektronen auf die Geschwindigkeit Null gilt : E kin = Eel 1 m ⋅ v2 = e ⋅UG 2 Weiterhin gilt nach der Energieerhaltung: h ⋅ f = WA + 1 m ⋅ v2 2 = WA + e ⋅ U G Wird im Versuch die kinetische Energie der Elektronen über die Bremsspannung in Abhängigkeit von der Frequenz gemessen, so erhält man folgendes Resultat (Abb. 1): Die kinetische Energie der Elektronen steigt mit der Frequenz des einfallenden Lichts. Unterhalb der Grenzfrequenz fG wird kein Elektron 1. Kinetische Energie aus dem Metall abgelöst! Die Grenzfrequenz hängt ihrerseits vom verwendeten Metall ab. Ekin = h ⋅ f - WA Für ein bestimmtes Metall ergibt die graphische Darstellung der kinetischen Energie der Elektronen als Funktion der Frequenz des einfallenden Lichtes eine Gerade mit der Steigung h. Die Ablösearbeit WA ist durch den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Energie-Achse gegeben. der aus der Photoschicht herausgelösten Elektronen in Abhängigkeit von der Frequenz der einfallenden Photonen für zwei unterschiedliche Metalle. Quantenmechanik QM9 13GE – 2013/14 Die Konstante h kann also leicht als die Steigung der Geraden bestimmt werden: es genügt, bei zwei Frequenzen f1 und f2 die jeweiligen Grenzspannungen UG1 und UG2 zu bestimmen: Für ein bestimmtes Material gilt : 1 m ⋅ v 2 = e ⋅U G = h ⋅ f − WA 2 Für zwei unterschiedliche Messpunkte gilt: e ⋅ U G 1 = h ⋅ f1 − W A e ⋅U G 2 = h ⋅ f 2 − WA 1. Wird die Grenzspannung UG gegen die Lichtfrequenz f aufgetragen, dann hat die zugehörige Kennlinie die Steigung h/e, unabhängig vom verwendeten Kathodenmaterial: UG = e ⋅ (U G1 − U G 2 ) = h ⋅ ( f1 − f 2 ) oder: h= e ⋅ (U G 1 − U G 2 ) f1 − f 2 h W ⋅f− A e e € Das Plancksche Wirkungsquantum h beträgt: h = 6,6262⋅10–34 J⋅s Anwendungen des Photoeffekts • Infrarot Bildumwandler Treffen Photonen mit einer Wellenlänge bis 1200 nm auf eine besonders sensibilisierte photographische Schicht (Ag-O-Cs-Schicht), so werden aus der Photokathode Elektronen herausgelöst. In einem Hochvakuum werden sie durch ein elektrisches Feld beschleunigt und durch elektrostatische und magnetische Linsen auf einen Leuchtschirm abgebildet (Abb. 2). • Photowiderstand Beim Photowiderstand wird der innere lichtelektrische Effekt 2. Infrarot Bildwandler. ausgenutzt. Bei diesem Effekt, der hauptsächlich bei Halbleitern auftritt, werden Elektronen aus einem nichtleitenden Valenzband durch Beleuchtung in ein Leitungsband gehoben. Die ausgelösten Elektronen treten nicht aus der Oberfläche aus, sondern bewirken nur eine Erhöhung der Leitfähigkeit des Materials. Photowiderstände bestehen oft aus einer Cadmiumsulfid-Schicht, diese hat etwa den gleichen Farb-Empfangsbereich wie das Auge oder Fotofilme. Daher verwendet man sie oft als Belichtungsmesser in Kameras (Abb. 3). Als weitere Anwendungen kann man auch noch den Photomultiplier oder das Photoelement nennen. 3. Photowiderstand auch LDR (light depending resistor) genannt. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM10 Modellvorstellungen über das Licht Die Erklärung vieler optischer Erscheinungen erfordert eine Einordnung in bestimmte Modellvorstellungen über das Licht (Kapitel Optik). Deshalb wollen wir die Modelle des Lichtes kurz aufzeigen : Das Modell Licht als Teilchenstrahlung wurde von Isaac Newton aufgestellt. Damit lassen sich wesentliche Lichteigenschaften, wie die geradlinige und allseitige Ausbreitung, erfassen. Diese Eigenschaften sind u.a. wesentlich bei der Beschreibung der Bildentstehung an Linsen und Spiegeln. Der Lichtstrahl ist in diesem Modell die Bahn der Teilchen. Bemerkung: Obschon im allgemeinen 300 000 km/s als Lichtgeschwindigkeit im Vakuum angenommen wird, beträgt der genaue Wert: Das Modell Licht als Welle wurde u.a. von Christian Huygens c = 299 792,458 km/s aufgestellt und ist die Basis der Wellenoptik. Damit lassen sich andere Lichteigenschaften, wie Beugung und Interferenz, erfassen. Diese Phänomene erlauben eine Wellenlängenbestimmung des Lichts. Der Einen sehr brauchbaren Wert der Lichtgeschwindigkeit konnte Ole Lichtstrahl ist in diesem Modell die Wellennormale. Römer bereits 1673 über die Das Modell Photon wurde von Albert Einstein aufgestellt und ist die genaue Beobachtung der JupiterBasis der Quantenoptik. Damit lässt sich u.a. der Photoeffekt erklären. Monde ermitteln. Impuls der Photonen Die Beziehung E = h⋅ f zeigt, dass der Energiefluss in einer Welle gequantelt ist. In dieser Gleichung ist die Energie eines Photons (Teilchenaspekt) mit der Frequenz des Lichtes (Wellenaspekt) verknüpft. Auch der Impuls eines Photons ist mit einer Welleneigenschaft verbunden, wie die folgenden Überlegungen zeigen. Energie und Impuls eines Teilchens mit der Ruhemasse m0 haben wir in der Relativitätstheorie wie folgt berechnet : E= m0 1− v2 c2 ⋅ c2 = m ⋅ c2 p= m0 v 1− v2 c2 = m⋅v Eliminieren wir die dynamische Masse m aus diesen beiden Gleichungen, so ergibt sich : p= E ⋅v c2 Da sich die Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, setzen wir v = c und für die Photonenenergie E = h ⋅ f. So kann einem Photon der Impuls€ E ⋅v h⋅ f p= 2 = c c p= € zugeordnet werden. h λ 1. Aufprallende Regentropfen üben eine Kraft auf den Boden aus. Ähnlich verhält sich auch Licht, dem Teilcheneigenschaften zugeordnet werden. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM11 Auch diese Beziehung verknüpft den Impuls eines Photons (Teilchenaspekt) mit der Wellenlänge des Lichtes (Wellenaspekt). Darüber hinaus können wir unsere Vorstellung über Photonen mit Hilfe der Masse-Energie-Äquivalenz E = m ⋅ c2 insofern erweitern, dass wir rein formal einem Photon die Masse m= E h⋅ f = 2 c2 c zuordnen. Somit erhält ein Photon Teilcheneigenschaften. Über diese Teilcheneigenschaften ist aber etwas Besonderes zu sagen, was sich aus der relativistischen Formel für die dynamische Masse eines Teilchens ableiten lässt: m= m0 bzw. m0 = m ⋅ 1 − v2 c2 1. Der Komet Hale-Bopp am 6. März 1997. Der weiße Anteil des Schweifs ist Staub, der sich längst der Kometenbahn verteilt, der blaue Da sich Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, folglich v = c ist, Anteil besteht aus Ionen, die durch wird also m0 = 0. Photonen haben keine Ruhemasse, es gibt für sie kein den Sonnenwind immer von der Ruhesystem. Sonne weggerichtet ist. Nicht nur der Schweif, sondern auch die Bahn von insbesondere ‚leichten Körpern’ wird durch die Strahlung der Sonne beeinflusst. Zusammenfassung: 1− v2 c2 Photonen sind kleinste Energiebeträge des Lichtes. Sie haben keine Ruhemasse. Sie bewegen sich immer mit der gleichen Geschwindigkeit, im Vakuum mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 300 000 km/s. Die Energie E und der Impuls p der Photonen hängen mit der Frequenz f und somit auch mit der Wellenlänge λ des Lichtes zusammen. Energie des Photons: E = m ⋅ c2 = h ⋅ f und seine Frequenz: Impuls des Photons: f = p = m⋅c = m ⋅ c2 h h λ und seine Wellenlänge: λ = h m⋅c 2. Die Sonnenstrahlung kann ausgenutzt werden, um ein Raumschiff über ein Sonnensegel anzutreiben. Obschon die Antriebskraft sehr klein ist, kann sie über eine sehr lange Zeit durchgehend genutzt werden. 2010 konnte die japanische Raumsonde IKAROS diese Idee zum ersten Mal erfolgreich testen. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM12 Die Einsteinsche Hypothese vom Photon, die auf dem Boden der klassischen Physik erfolgte, ist in sich widerspruchsvoll, denn zur Definition des Photons, ausgedrückt durch seine Energie h⋅f, werden die Welleneigenschaften des Lichts benutzt; diese sind also vorausgesetzt. Einsteins provozierende Idee, dem Licht teilchenhafte Eigenschaften zuzuschreiben, war für die zeitgenössischen Physiker eine unannehmbare Vorstellung. Im Hinblick auf die durch die Wellentheorie des Lichtes sehr gut erklärbaren Interferenzerscheinungen überzeugte die bloße Erklärung des lichtelektrischen Effektes durch Einsteins Photonenhypothese keineswegs. Planck meinte, da „bedürfe es noch eines schwereren Geschützes, um die Wellentheorie ins Wanken zu bringen.“ Max Planck (1913): ‚Dass Einstein in seinen Spekulationen gelegentlich auch einmal über das Ziel hinausgeschossen haben mag, wie z.B. in seiner Photonenhypothese, wird man ihm nicht allzu sehr anrechnen dürfen. Denn ohne einmal ein Risiko zu wagen, lässt sich auch in der exakten Wissenschaft keine wirkliche Neuerung einführen.’ Es ist daher nicht so, dass die Partikelauffassung des Lichts die Auffassung von der Wellennatur abgelöst hätte; vielmehr stehen beide Bilder gleichberechtigt nebeneinander. Zwar kann man die widersprechenden Eigenschaften nicht gleichzeitig wahrnehmen. Die Beobachtung des einen macht die des anderen unmöglich. Derartige Eigenschaften der elementaren Gebilde der Natur bezeichnet man als komplementär. Die Tatsache, dass die Natur in zweierlei Weisen durch unsere Anschauung erfasst wird, heißt Dualismus. Dabei muss dieser Dualismus nicht als entweder-oder-Situation sondern als eine sowohlals-auch-Situation angesehen werden. William Bragg: ‚Am Montag, Mittwoch und Freitag ist das Licht ein Teilchen, Dienstag, Donnerstag, Samstag und Sonntag eine Welle.’ Quantenmechanik QM13 13GE – 2013/14 Elektronen weisen Welleneigenschaften auf Im Jahre 1923 stellte der französische Physiker Prinz Louis de Broglie (Abb. 1) in seiner Doktorarbeit eine Hypothese auf, für deren Gültigkeit es zunächst keinerlei experimentelle Hinweise gab. Wenn Licht Wellenund Teilcheneigenschaften aufweist, dann trifft dies vielleicht auch für Elektronen zu. Verhalten sich diese Teilchen manchmal wie Wellen? De Broglie vermutete, dass der Zusammenhang E = h⋅ f und p= h λ zwischen den Teilchengrößen E, p und den Wellengrößen f, λ nicht nur für Photonen, sondern auch für Elektronen und andere Teilchen zutrifft. De-Broglie-Wellenlänge Einem Teilchen mit dem Impuls p wird die Wellenlänge λ= h p 1. Louis de Broglie (1892 – 1987) erhielt für seine Theorie der Materiewellen 1929 den Nobelpreis für Physik. zugeordnet. c zwischen Wellenlänge und λ Frequenz gilt so nur für Photonen, nicht für Teilchen mit Ruhemasse! Bemerkung: Der Zusammenhang f = Nichtrelativistisch können€wir die Wellenlänge berechnen mittels: Ekin = m ⋅ v2 m p2 h2 ⋅ = = 2 m 2 ⋅ m 2 ⋅ m ⋅ λ2 Daraus folgt für nichtrelativistische Geschwindigkeiten: h €λ = (nur für Geschwindigkeiten v << c) 2 ⋅ m ⋅ Ekin De Broglie konnte mit seiner Hypothese einige Eigenschaften der Atome erklären und schlug auch einen experimentellen Test vor: Wenn 2. Beugung von Elektronen an einer € ein Elektronenstrahl eine sehr kleine Öffnung durchquert, so sollten Aluminiumfolie (oben) und Beugung von Röntgenstrahlen (unten) an Beugungserscheinungen auftreten (Abb. 2). derselben Folie. Wie klein müssen diese Öffnungen sein? Beugungserscheinungen treten auf, wenn der Durchmesser d einer Öffnung etwa von der gleichen Größenordnung wie die Wellenlänge λ ist. Röntgenstrahlung Röntgenstrahlung Elektron (102 km/s) Elektron (103 km/s) λ (nm) 10 0,001 7,3 0,73 Die Hypothese von de Broglie konnte experimentell bestätigt werden. Werden Elektronen durch eine Spannung von einigen Volt beschleunigt, so weisen sie Wellenlängen auf, die mit dem Atomabstand in Kristallen vergleichbar sind. Wie bei Röntgenstrahlen können Kristalle auch hier als Beugungsgitter dienen (Tab. 3). 3. Wellenlängen von harter und weicher Röntgenstrahlung und Elek- Der erste Nachweis der Elektronenbeugung gelang am 6. Januar 1927 tronen unterschiedlicher GeschwinClinton Davisson und Lester Germer (Abb. 1 folgender Seite) in den digkeiten. Laboratorien der Bell Telephone Company in New York. Sie richteten Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM14 einen Elektronenstrahl auf einen Nickelkristall mit einem Atomabstand g = 0,215 nm und beobachteten dabei unter dem Winkel von β = 50° ein Beugungsmaximum 1. Ordnung (siehe Abb. 2). Wir können die Wellenlänge der Elektronen berechnen. In der Optik haben wir die Beziehung hergeleitet: sin β = k ⋅λ g k = 0, ±1, ±2, ±3, ... Daraus folgt für k = 1 λ = g ⋅ sin β = 0,165 nm Diese Wellenlänge stimmt mit der Vorhersage de Broglies für die verwendete Beschleunigungsspannung U = 54 V überein. € 1. Experimenteller Aufbau von Germer und Davisson zum Nachweis der Beugung eines Elektronenstrahls an einem NiKristall. Aufgabe Überprüfen Sie die soeben gemachten Aussagen. Die Welleneigenschaften der Elektronen werden durch die Beugung von Elektronen an Kristallen bestätigt. Wenig später konnte George Thomson, der Sohn von Joseph Thomson, diese Ergebnisse bestätigen. Clinton Davisson und George Thomson erhielten im Jahre 1937 den Nobelpreis für Physik. Bei der Deutung der Beugungsbilder als Interferenzfigur gehen wir davon aus, dass die Elektronenquelle hinreichend viele Elektronen zur Verfügung stellt. Bei Erniedrigung der Leistung der Elektronenquelle bauen sich die Bilder stochastisch auf. Dies führte Max Born (Abb. 3) im Jahre 1927 zu folgender Deutung des Zusammenhanges zwischen Wellen- und Teilchentheorie. Nach der Teilchentheorie sind die Stellen, bei denen die Anzahl der Elektronen am größten ist die Stellen maximaler Amplituden im Interferenzbild. Es werden die einzelnen Treffer der Elektronen als Maß für die Antreffwahrscheinlichkeit sichtbar. Nach der Wellentheorie ist die Intensität einer Welle proportional zum Quadrat der Amplitude der Wellen. Born verknüpfte diese beiden Aussagen: 2. Bei einer Beschleunigungsspannung von 54 V ist ein besonders ausgeprägtes Maximum der Streustrahlung unter dem Winkel ß = 50° zu beobachten. Hierbei handelt es sich um Polardiagramme. Die Wahrscheinlichkeit, Elektronen in einem bestimmten Raumbereich anzutreffen, ist dem Quadrat der Amplitude der Welle (die den Elektronen zugeordnet wird) proportional. Diese Bornsche Deutung der Elektroneninterferenzen begründete die Vorstellung, dass die Elektronen neben dem Teilchencharakter auch einen Wellencharakter haben. Man nannte sie Welle-TeilchenDualismus. 3. Max Born (1882 – 1970) erhielt 1954 für seine statistische Deutung der Quantenmechanik den Nobelpreis. Quantenmechanik QM15 13GE – 2013/14 Physik der Atomhülle De-Broglie-Wellen in der Atomhülle Wir betrachten nun die Elektronen in der Atomhülle. Den Kreisbahnen der Elektronen entsprechen Wellen, die um den Atomkern laufen. Diese Wellenform ist möglich, weil λ mit r zunimmt. Besonders ausgezeichnete Zustände ergeben sich, wenn der Umfang der Kreisbahn ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt. In diesem Fall existieren stehende Wellen auf einem Kreis, deren Schwingungsform sich im Laufe der Zeit nicht verändert. De Broglie vermutete, dass diese stehenden Wellen um den Atomkern die Stabilität des Atoms erklären. Die Amplitude einer stehenden Welle in einem gegebenen Raumpunkt ist zeitlich konstant. Bei stehenden Wellen um den Atomkern ist der Bahnumfang ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen ist zeitlich konstant. 1. Modell von stehenden Wellen um den Atomkern. De Broglie trug dazu bei, dass damalige Atomvorstellungen erweitert wurden. Nach der klassischen Theorie des Elektromagnetismus sollten Elektronen auf ihrer Bahn um den Atomkern elektromagnetische Strahlung aussenden und dadurch Energie verlieren. Durch diesen Energieverlust müssten sie allmählich in den Atomkern hineinstürzen und das Atom wäre nicht stabil. Die zeitlich konstante Verteilung der Elektronen nach dem Prinzip der stehenden Wellen im Atom führt nicht zur Abstrahlung elektromagnetischer Wellen. In einem Gas erhalten Atome etwa eine Milliarde Stöße pro Sekunde. Jeder dieser Stöße würde die Elektronen auf stets neue Bahnen bringen und den Radius des Atoms verändern. Die Elektronenverteilung im Atom lässt sich nicht durch kleine Stöße beeinflussen, da stehende Wellen nur bei ganz bestimmten Bahnradien und Energien existieren. Damit ist geklärt, warum sich die Radien der Atome nicht bei jedem Stoß verändern. Stehende Wellen entsprechen den möglichen stabilen Zuständen des Elektrons im Atom. Für diese Zustände gilt: 2π ⋅ r = n ⋅ λ mit λ = h p und Bemerkung: Setzen wir voraus, dass das Elektron mit einer punktförmigen Masse me eine kreisförmige Bewegung mit dem Radius r zurücklegt, so können wir dem Elektron folgenden Bahndrehimpuls zuordnen: L = J ⋅ω = me ⋅ r 2 ⋅ ω n = 1, 2, 3, ... = me ⋅ r ⋅ v Somit lässt sich die Quanten€ Die Zahlen n nennt man Quantenzahlen. Damit erhalten wir die bedingung für stehende Wellen Quantenbedingung für die stehenden Wellen: 2π ⋅ r = n ⋅ € h p ⋅ p 2π € folgendermaßen hinschreiben: L = n⋅ mit = h r⋅ p =n⋅ = n⋅ 2π € h 2π Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM16 Mit dem Ausdruck p = me · v für den Impuls des Elektrons finden wir die Bohr’sche Quantenbedingung: me ⋅ r ⋅ v = n ⋅ h 2π Daraus folgt für die Geschwindigkeit des Elektrons mit Bahnradius r: € v =n⋅ h 2π ⋅ me ⋅ r Diese Quantenbedingung war bereits im Jahre 1913 von dem dänischen Physiker Niels Bohr (Abb. 1) aufgestellt worden (siehe Bemerkung). Er war von € der Annahme ausgegangen, dass sich die Elektronen im Atom nur auf Bahnen bewegen dürfen, die der obigen Beziehung genügen. Damit konnte Bohr die Spektrallinien des Wasserstoffes in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen berechnen. Er war aber nicht in der Lage anzugeben, warum sich die Elektronen im Atom nur auf Bahnen bewegen sollten, welche der Quantenbedingung genügen. Erst de Broglie konnte das Bohr’sche Atommodell durch die Annahme stehender Wellen auf einem Kreis deuten. 1. Niels Bohr (1885 - 1962) leistete wichtige Beiträge zur Erforschung des Aufbaus der Atome und der von Atomen ausgesandten Strahlung. Hierfür erhielt er 1922 den Nobelpreis. Quantenmechanik QM17 13GE – 2013/14 Das Wasserstoffatom Gesamtenergie des Elektrons im Wasserstoffatom Die Gesamtenergie des Elektrons im elektrischen Feld des Kerns besteht aus der kinetischen Energie Ekin = ½ me · v2 und der potentiellen Energie Epot. Um die potentielle Energie des Elektrons zu berechnen, betrachten wir die Ionisationsenergie, welche der Arbeit W entspricht, die benötigt wird, um das Elektron vom Atom zu trennen. Coulombkraft im Wasserstoffatom 1. Ablenkung eines Elektronen- Zwischen zwei elektrischen Ladungen Q1 und Q2 unterschiedlichen strahls zwischen elektrisch geVorzeichens wirkt die anziehende Coulombkraft Fel mit dem Betrag: ladenen Platten, an denen eine Spannung von 1,66 kV anliegt. Fel = Q ⋅Q 1 ⋅ 12 2 4π ⋅ ε 0 r Bemerkung ε0: elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854⋅10-12 C/(Vm) Im Wasserstoffatom gilt: Ladung des Atomkerns: Q1 = +e Ladung des Elektrons: Q2 = −e (einzelnes Proton) Ionisationsenergie im Wasserstoffatom Wir berechnen die Arbeit der Kraft F, um das Elektron gegen die abstandsabhängige Coulombkraft Fel vom Atomkern unendlich weit zu entfernen. ∞ W= ∫ F ⋅ dr r ∞ = ∫( −Fel ⋅ dr ) r ∞ = 1 ∫ 4π ⋅ ε r Fel = ⋅ 0 e2 dr r2 = ∞ e2 dr ⋅∫ 2 4π ⋅ ε 0 r r = e2 # 1 & ⋅ %− ( 4π ⋅ ε 0 $ r 'r = e2 $ 1 1 ' ⋅ &− + ) 4π ⋅ ε 0 % ∞ r ( = 1 e2 ⋅ 4πε 0 r ∞ >0 1 e2 · 2 4⇡✏0 r 2. Die Kraft F, die das Elektron vom Atomkern entfernt, ist der Coulombkraft Fel entgegengesetzt. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 Die Arbeit, die verrichtet werden muss, ist positiv; die potentielle Energie des Elektrons nimmt bei der Ionisierung zu: Epot,∞ > Epot(r) Es gilt: Epot,∞ = Epot(r) + W Gegenüber dem ionisierten Zustand, dem die Energie Epot,∞ = 0 zugeordnet ist, hat das vom Wasserstoffkern gebundene Elektron im Abstand r die potentielle Energie: E pot (r ) = E pot ,∞ − W = 0 −W =− 1 e2 ⋅ 4πε 0 r Gesamtenergie des Elektrons im Wasserstoffatom Unter Verwendung der vorher genannten Formeln ergibt sich für die Gesamtenergie: E = E kin + E pot 1 1 e2 E = ⋅ me ⋅ v 2 − ⋅ 2 4πε 0 r QM18 Quantenmechanik QM19 13GE – 2013/14 Die Bahnradien im Bohr’schen Atommodell Nach der Bohr’schen Atomvorstellung gehen wir davon aus, dass die Elektronenbahnen Kreisbahnen sind. Niels Bohr nahm an, dass die Elektronen sich strahlungsfrei auf diesen Bahnen bewegen (1. Bohr’sches Postulat). Zur Berechnung der möglichen Radien der Elektronenbahnen im Wasserstoffatom liefert die Coulombkraft Fel die nötige Radialkraft Fr für die Kreisbahn (Abb. 1). Die folgende Berechnung wird mit dem Ansatz Fel = FR Fel = 1 e2 · 2 4⇡✏0 r durchgeführt: 1 4πε 0 ⋅ e 2 me ⋅ v 2 = r r2 1. Die Radialbeschleunigung wird durch die Coulombkraft Fel hervorgerufen. Nach Einfügen der Quantenbedingung für stehende Wellen v= h⋅n 2π ⋅ me ⋅ r erhält man: 1 4πε 0 ⋅ me ⋅ h 2 ⋅ n 2 e2 = r 2 r ⋅ 4π 2 ⋅ me 2 ⋅ r 2 Daraus ergeben sich die möglichen Bahnradien rn (Abb. 2): rn = h2 ⋅ ε0 π ⋅ me ⋅ e 2 ⋅ n2 2. Die Radien der Elektronenbahnen, bei denen stehende Wellen möglich sind nehmen mit n2 zu. wobei der sogenannte Bohr’sche Radius r1 ( n = 1 ) gegeben ist durch: r1 = h2 ⋅ ε0 π ⋅ me ⋅ e 2 Nach Einsetzen der Größenwerte ergibt sich: Bemerkung Eine veraltete Längeneinheit ist das Ångström: 1 Å = 10-10 m r1 = 0,529 ⋅10−10 m Dieser Wert gilt für die innerste Elektronenbahn (Grundzustand). Außerdem vermittelt dieser Wert eine Größenvorstellung vom € Wasserstoffatom und stimmt gut mit auf anderen Wegen gefundenen Werten überein. Für die weiteren Elektronenbahnen gilt (Tab. 3): rn = r1 ⋅ n 2 n 1 2 3 4 5 rn (10-10 m) 0,53 2,12 4,76 8,47 13,23 3. Radius der Elektronenbahnen in Abhängigkeit von der Quantenzahl n Quantenmechanik QM20 13GE – 2013/14 Diskrete Energiezustände Da sich das Elektron nur auf Bahnen mit bestimmten Radien rn bewegt, ergeben sich auch nur wenige mögliche Werte der Elektronenenergie En. Diese Energiewerte können wir wie folgt berechnen (Abb. 2): E= 1 1 e2 ⋅ me ⋅ v 2 − ⋅ 2 4πε 0 r Nach Einsetzen der Quantenbedingung für stehende Wellen v= h⋅n 2π ⋅ me ⋅ r 1. Mögliche Interpretation des Bohrschen Postulates. erhalten wir: En = h2 ⋅ n2 8π 2 ⋅ me ⋅ rn 2 − e2 4πε 0 ⋅ rn Setzen wir weiterhin die Bahnradien rn rn = h2 ⋅ ε0 π ⋅ me ⋅ e 2 ⋅ n2 ein, so erhalten wir die Energiewerte En = me ⋅ e 4 − 2 8ε 0 h 2 ⋅ n 2 En = − me ⋅ e 4 2 8ε 0 h 2 ⋅ me ⋅ e 4 2 4ε 0 h 2 ⋅ n 2 1 n2 Die Energie des Grundzustandes beträgt: E1 = −13,6 eV Für die weiteren Elektronenbahnen gilt (Tab. 3): € 2. Die Energiewerte En des Elektrons sind die Summe aus der kinetischen und der potentiellen Energie. En = −13,6 eV ⋅ 1 n2 Diese Energien En nennt man Energieniveaus oder Energiestufen. Das negative Vorzeichen der Energiewerte bedeutet, dass Energie € ist, um das Elektron aus dem Atom zu entfernen, weil es aufzuwenden durch anziehende elektrische Kräfte, Coulombkräfte, an den Atomkern gebunden ist. Die niedrigste Energie, die Nullpunkts- oder Lokalisierungsenergie, erhält man für n = 1. Diese bezeichnet man als Grundzustand des Atoms. Er ist der Zustand geringst möglicher Energie und entspricht der innersten Bahn des Elektrons um den Wasserstoffkern. 1 2 3 4 5 En (eV) –13,60 –3,40 –1,51 –0,85 –0,54 3. Energiestufen der Elektronenbahnen in Abhängigkeit von der Quantenzahl n Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM21 Das Elektron bewegt sich strahlungsfrei auf einer Kreisbahn um den Wasserstoffkern. Es gibt nur bestimmte diskrete Bahnen. Die Coulombkraft zwischen Kern und Elektron stellt die dazu notwendige Radialkraft dar. Die Radien dieser Kreisbahnen sind durch folgende Beziehung bestimmt: rn = r1 ⋅ n2 r1 heißt Bohr’scher Radius und beträgt: r1 = 0,529 ⋅10−10 m € n ist eine Quantenzahl, die die Bahn bestimmt. Die Energiebeträge des Elektrons sind gequantelt, wobei: € En = E1 ⋅ 1 n2 E1 ist die Energie des Grundzustandes und beträgt: E1 = −13,6 eV € € 1. Ansicht einer Silizium (111) Oberfläche, aufgenommen mit einem Rastertunnelmikroskop. Quantenmechanik QM22 13GE – 2013/14 Wasserstoffspektrum Jede dieser Energiestufen entspricht einer stehenden de Broglie-Welle. Wie gelangt das Elektron von einer Energiestufe zur anderen? Dazu muss eine Energiemenge aufgenommen oder abgegeben werden, die genau dem Unterschied zwischen den beiden Energiestufen entspricht. Eine mögliche Form dieser Energieänderung (Quantensprung) ist die Emission oder Absorption eines Photons, dessen Energie E = h⋅ f den erforderlichen Wert aufweist: % ( 1 1 * ΔE = EEnd − EAnf = −13,6 eV ⋅ ' − 'n 2 n 2 * Anf ) & End Mit nAnf und nEnd bezeichnen wir die Energiestufen. ΔE = EEnd – EAnf symbolisiert den Übergang von der Energiestufe nAnf zur Stufe nEnd. € • Falls ΔE positiv ist, dann absorbiert das Atom beim Übergang ein Photon gleicher Energie (EEnd > EAnf, Energiezunahme des Atoms). • Falls ΔE negativ ist, dann strahlt das Atom ein Photon mit der Energie h⋅ f = –ΔE ab (EEnd < EAnf, Energieabnahme des Atoms). Atome können also nicht Photonen beliebiger Frequenz absorbieren oder emittieren, sondern nur solche, die dem Unterschied zwischen den 1. Energieniveaus im WasserEnergiestufen entsprechen. So erklärt sich das Auftreten der Spektral- stoffatom. Der Grundzustand liegt bei –13,6 eV. Eingetragen sind auch linien. verschiedene Serien. Spektrallinien entsprechen den Übergängen zwischen den möglichen Energiestufen im Atom. Betrachten wir zunächst den Grundzustand des Wasserstoffatoms (n=1). Weil es keine tiefere Energiestufe gibt, kann das Wasserstoffatom in diesem Zustand Energie nur aufnehmen, also Photonen absorbieren. Die Energien dieser Photonen ergeben sich aus den Differenzen zwischen den Energiestufen zu 10,20 eV, 12,09 eV, ... (Abb. 1 und Tabelle). Sie entsprechen Licht im ultravioletten Spektralbereich. Bringt man Wasserstoff in den Strahlengang einer Lichtquelle, die ultraviolettes Licht aussendet, so erhält man ein Absorptionsspektrum (siehe Abb. 1 folgender Seite), wobei nur Photonen mit den oben berechneten Energiewerten aus dem Licht herausgefiltert werden. Wir wenden uns nun den angeregten Zuständen n = 2, 3, ... zu. Um die Wasserstoffatome in diese Energiestufen zu bringen, müssen wir Energie zuführen. Das kann z. B. durch Erhitzen des Wasserstoffgases auf einige Tausend Kelvin geschehen. Bei diesen hohen Temperaturen stoßen die Wasserstoffatome mit so großen Geschwindigkeiten zusammen, dass die Energie ausreicht, um eines der Elektronen in einen angeregten Zustand zu heben. Der Stoß der beiden Wasserstoffatome verläuft dann unelastisch, denn ihre kinetische Energie wurde zur Anregung des Atoms verbraucht. Die kinetische Energie muss dabei zumindest 10,2 eV sein. Bei geringerer Energie können die Atome nicht angeregt werden. Es gibt nur elastische Stöße. Lyman 1–2 1–3 1–4 E (eV) 10,20 12,09 12,75 λ (nm) 121,6 102,6 97,3 Balmer 2–3 2–4 2–5 2–6 2–7 E (eV) 1,89 2,55 2,86 3,02 3,12 λ (nm) 656,4 486,2 434,1 410,3 397,1 Paschen 3–4 3–5 3–6 E (eV) 0,66 0,97 1,13 λ (nm) 1875,5 1282,0 1094,0 2. Alle Übergänge vom Grundzustand (n = 1) gehören zur LymanSerie, alle Übergänge vom ersten angeregten Zustand (n = 2) gehören zur Balmer-Serie, usw. Während die Lyman-Serie im UV-Bereich liegt, liegt die Balmer-Serie im sichtbaren Bereich und die PaschenSerie im Infraroten. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM23 Dies erklärt, warum sich die Atome und Moleküle vieler Gase bei Zimmertemperatur wie kleine Kugeln verhalten, die nur elastische Stöße bekommen. Die Energie der Stöße reicht nicht aus, um die Elektronen in den nächsthöheren Zustand zu heben. So verstehen wir auch, warum Atome Milliarden von Stößen pro Sekunde erhalten können, ohne sich dabei im Geringsten abzunutzen. Wechselwirken Atome mit einer Energie, die geringer als die Anregungsenergie ist, so sind nur elastische Stöße möglich Bei hohen Temperaturen führen die Stöße stets zur Anhebung von Elektronen in angeregte Zustände. Diese Elektronen kehren nach kurzer Zeit in den Grundzustand zurück und geben dabei Energie in Form von Photonen ab. Die Energie dieser Photonen entspricht der Differenz zwischen den Energiestufen des Atoms. Wir erhalten die Spektrallinien eines Emissionsspektrums (Abb. 2). Steigert man die Temperatur noch mehr, so reicht die Energie mancher Stöße aus, um ein Elektron völlig von seinem Atom loszulösen. Das Atom wird ionisiert. Das nunmehr freigesetzte Elektron kann jede beliebige Energie annehmen. Es gibt hier keine festen Energiestufen, denn das Elektron ist nicht mehr auf den begrenzten Bereich eines Atoms eingeschränkt. Bei der Ionisation von Atomen kann jede Energie oberhalb einer Mindestenergie absorbiert werden. Wir erhalten ein kontinuierliches Absorptionsspektrum. Fangen die Atomkerne die freien Elektronen wieder ein so wird ein kontinuierliches Emissionsspektrum ausgesendet, denn die kinetischen Energien der Elektronen können vor dem Einfang beliebig groß gewesen sein. 1. Wird ein kühles Gas von einer Lichtquelle beleuchtet, so sind in dem kontinuierlichen Spektrum der Lichtquelle Absorptionslinien zu erkennen. Diese entsprechen den Anregungsenergien der im Gas enthaltenen Atome und sind charakteristisch für die Atomart. Sendet ein Wasserstoffatom beim Übergang eines Elektrons vom Energiezustand nAnf auf den Energiezustand nEnd ein Lichtquant aus (Quantensprung), so erhält man als Energiedifferenz % ( 1 1 * ΔE = EEnd − EAnf = −13,6 eV ⋅ ' − 'n 2 n 2 * Anf ) & End Die Ionisationsenergie des Wasserstoffs aus dem Grundzustand beträgt: € E = 13,6 eV. 2. Ein angeregtes Gas aus Atomen sendet Licht bestimmter Frequenzen aus. Die beobachteten Spektrallinien Wie wir gesehen haben, hat das Wasserstoffatom eine ganze Serie von entsprechen den verschiedenen, im charakteristischen Übergängen. Da sowohl bei Absorption als auch bei Atom möglichen Übergängen. Emission die gleichen Übergänge beteiligt sind, sind die beobachteten Wellenlängen der Absorptions- und Emissionslinien identisch. Neben dem Wasserstoff hat jede andere Atom- und Molekülart ihre charakteristischen Übergänge, so dass aus einem gewonnenen Spektrum eindeutig auf die beteiligte Atom- oder Molekülart geschlossen werden kann. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 Leistungen und Grenzen des Bohr’schen Atommodells Niels Bohr erkannte, dass eine Beschreibung der Atomhülle allein auf der Grundlage mechanischer und elektrodynamischer Vorstellungen, nicht möglich ist. Die Bohr’schen Postulate ergeben ein mathematisch beschreibbares Modell des Wasserstoffatoms mit dessen Hilfe sein Spektrum und das wasserstoffähnlicher Gase beschrieben werden können. Das Modell lieferte erstmals eine Erklärung für die Stabilität eines Atoms und für den energetischen Zusammenhang bei der Emission von Licht mit einfachen atomaren Systemen. Das Bohr’sche Atommodell führt nur beim Wasserstoff und wasserstoffähnlichen Systemen zu befriedigenden Ergebnissen. Das Bohr’sche Atommodell benutzt eine zu anschauliche Vorstellung von der Gestalt der Atome. In ihm ist die gleichzeitige Angabe von Ort und Impuls eines Elektrons möglich; das widerspricht der Heisenberg’schen Unschärferelation. Weiterhin kann das Bohr’sche Atommodell die Intensität verschiedener Spektrallinien nicht richtig erklären. Trotz der Mängel aus heutiger Sicht muss man anerkennen, dass mit den im Bohr’schen Atommodell eingebrachten Postulaten erstmals quantenhafte Vorstellungen zur Beschreibung der Atomhülle benutzt wurden. QM24 Albert Einstein (1924): ‚Der Gedanke, dass ein Elektron aus freiem Entschluss den Augenblick und die Richtung wählt, in der es fortspringen will, ist mir unerträglich. Wenn schon, dann möchte ich lieber Schuster oder gar Angestellter einer Spielbank sein, als Physiker.’ Niels Bohr: ‚Die Begriffe Teilchen und Welle ergänzen sich, indem sie sich widersprechen. Sie sind komplementäre Bilder des Geschehens.’ Beispiele • Emissionsspektrum des Wasserstoffs Zu erkennen sind die vier Emissionslinien der Balmer-Serie. • Spektrum der Sonne Im Sonnenspektrum sind neben atmosphärischen Absorptionslinien ebenfalls Absorptionslinien von H, Na, Mg, Ca, Ca+, Ti, Fe und Mn zu erkennen. Richard Feynman: ‚... ich denke, ich kann davon ausgehen, dass niemand die Quantentheorie versteht.’ Quantenmechanik QM25 13GE – 2013/14 Der Laser Spontane und induzierte Emission von Lichtquanten Atome können durch Stöße von Elektronen hoher Geschwindigkeit oder durch Licht, dessen Wellenlänge dem eigenen Spektrum entspricht, zu einem höheren Energiezustand angeregt werden. Der Anregungzustand der Atome hat in der Regel eine Lebensdauer von 10-8 Sekunden bevor die Atome über die spontane Emission in den Grundzustand übergehen (Abb. 1). Es gibt jedoch bei Atomen mit mehreren Elektronen auch Zustände, die über längere Zeit bestehen können. Solche Energiezustände werden als metastabil bezeichnet. Aus diesen Zuständen findet die Energieabgabe durch spontane Emission von Licht nur sehr selten statt. Damit wird es möglich, eine große Anzahl von Atomen in Anregungszustände zu bringen und dort zu halten. Wie können diese ihre Energie wieder abgeben? Ein solch angeregtes Atom kann von einem Lichtquant beeinflusst werden, das von einem anderen, in gleicher Weise angeregten Atom 1. Schematische Darstellung der Absorption, spontanen Emission und ausgestrahlt wird, und zur Emission gezwungen werden. Ein solcher induzierten Emission. Vorgang bezeichnet man als induzierte Emission. Die Wellenzüge, die dem einfallenden und dem neu entstehenden Quant zugeordnet sind, schwingen danach in gleicher Phase und verstärken sich. Die induzierte Emission führt zu einer Verstärkung des ausgestrahlten Lichtes. Das Prinzip des Lasers Laser ist die Abkürzung für ‚light amplification by stimulated emission of radiation’ – Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung. Die Energiequelle (Abb. 2) hat die Funktion, eine große Anzahl von Atomen des Lasermediums in metastabile Anregungszustände zu bringen. Dieser Vorgang wird als Pumpen bezeichnet. Ein Lichtquant, das bei einer der seltenen spontanen Emissionen entsteht, löst eine Folge von induzierten Emissionen aus. 2. Schematischer Beim kontinuierlichen Betrieb kommt es zum Gleichgewicht zwischen Lasers. Energiezufuhr und Energieabgabe. Beim Impulsbetrieb wird die gespeicherte Anregungsenergie in einem Lichtblitz abgegeben. Anschließend muss erneut gepumpt werden. Ein optischer Resonator bewirkt, dass die Verstärkung des Lichtes nur in einer Richtung und nur für ganz bestimmte Wellenlängen erfolgt. Der Resonator besteht im einfachsten Fall aus zwei parallelen Planspiegeln. Dazwischen befinden sich zahlreiche Atome des Lasermediums im angeregten Zustand. Verstärkt werden nur solche Lichtwellen, die senkrecht auf den Spiegel treffen; alle anderen sind für den Laservorgang ohne Bedeutung. Ist nämlich der Abstand der beiden verspiegelten Flächen genau ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge der Laserstrahlung, so kommt es zur Interferenz der einfallenden und der reflektierten Wellen. Es bildet sich eine stehende Welle aus, bei der die Amplituden sich maximal verstärken. Für alle anderen Abstände würden die Wellen sich als Ergebnis vieler Reflexionen durch Interferenz auslöschen. Damit die Laserstrahlung den Resonator verlassen kann, muss einer der beiden Planspiegel teildurchlässig sein. Aufbau eines Quantenmechanik QM26 13GE – 2013/14 Besondere Merkmale der Laserstrahlung Laserstrahlung (Abb. 1) hat gegenüber dem Licht herkömmlicher Lichtquellen besondere Merkmale: • Kohärenz: Die Wellenzüge können mehrere hundert Kilometer lang sein; über den gesamten Querschnitt eines Laserbündels ist die gleiche Phase der ausgesendeten Wellen erreichbar. • Scharfe Bündelung: Der Öffnungswinkel eines Bündels von Laserstrahlung beruht im Wesentlichen auf der Beugung an der Austrittsblende. Bei einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d beträgt das Bogenmaß für den halben Öffnungswinkel α: α =1,22 ⋅ λ d • Große Energiekonzentration: Mit Laserblitzen lassen sich für sehr 1. He-Ne-Lasers. In der ersten Abbildung ist neben der Elektronik kurze Zeitintervalle Leistungen von mehr als 1012 Watt übertragen. die Röhre mit dem He-Ne-Gas€ gemisch zu erkennen. Dieser Teil ist in der zweiten Abbildung vergrößert dargestellt. Der Helium-Neon Laser Für diesen Gaslaser wird ein Gemisch von rund zehn Teilen Helium und einem Teil Neon bereitgestellt, bei einem Druck von etwa 1,5 hPa. Mit einer elektrischen Gleichspannung oder auch einem hochfrequenten Wechselfeld wird ähnlich wie bei einer Leuchtstofflampe eine Gasentladung erzeugt. Bei der Gasentladung entstehen durch die Ionisation von Helium- und Neonatomen freie Elektronen. Diese Elektronen können die nichtionisierten Heliumatome durch Stöße in den Anregungszustand von etwa 25 eV versetzen. Durch spontane Emission eines Teils ihrer Anregungsenergie gelangen diese Heliumatome in den metastabilen Anregungszustand von 20,61 eV (Abb. 2). Bei ihren Zusammenstößen mit den Neonatomen wird diese Anregungsenergie übertragen. Das ist möglich, weil Neonatome auch einen metastabilen Anregungszustand mit nahezu gleicher Energie (20,66 eV) besitzen. Die induzierte Emission führt bei den Neonatomen zu einem tiefer gelegenen Energiezustand (18,70 eV). Daraus folgt für die Wellenlänge der Laserstrahlung: ΔE = λ= h⋅c λ ⇒ λ= h⋅c ΔE 6,626 ⋅10−34 ⋅ 3⋅10 8 m = 633 nm (20,66 −18,70) ⋅1,6 ⋅10−19 Das Energieniveau von 18,70 eV muss laufend entleert werden. Dies geschieht zunächst durch den spontanen Übergang der Neonatome auf € der Energie von 16 eV. Von hier aus gehen die Neonatome ein Niveau dann in den Grundzustand zurück, und zwar durch Stöße gegen die Gefäßwand, wobei die Atome des Gefäßes die freiwerdende Energie aufnehmen und in Wärme umsetzen. 2. Prinzip des He-Ne-Lasers. Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM27 AUFGABENSAMMLUNG – QUANTENMECHANIK 1. Die Abbildung zeigt eine Photozelle, die zur Lichtmessung dient (Belichtungsmesser). Licht fällt auf eine Photokathode und löst Elektronen aus. Die auf positiver Spannung liegende Anode sammelt diese Elektronen. a) Die Photokathode besteht aus Cs3Sb. Sie spricht auf Licht mit λ < 670 nm an. Wie groß ist die Austrittsarbeit WA der Elektronen bei diesem Kathodenmaterial? b) Gelbes Licht (λ = 500 nm) fällt auf die Photokatode. Zeigen Sie, dass der Anodenstrom proportional zur Lichtintensität ist, wenn jedes Photon mit nur einem Elektron wechselwirken kann. c) Wie groß ist der Anodenstrom, wenn gelbes Licht mit 1 Watt Leistung auf die Katode fällt und jedes Photon ein Elektron auslöst? d) Welchen Anodenstrom ruft blaues Licht (λ = 400 nm) mit gleicher Leistung hervor? (WA = 1,85 eV; I = 402,5 mA; I = 322,0 mA) 2. Die Kathode einer Photozelle besteht aus Caesium (Austrittsarbeit 1,96 eV). Es fällt nacheinander violettes Licht der Wellenlänge 410 nm und rotes Licht der Wellenlänge 656 nm auf die Kathode. Können durch Einwirkung des Lichts dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden? (λG = 633,9 nm) 3. Um aus einer Wolframschicht durch kurzwelliges Licht gerade Elektronen herauszuschlagen, sind 4,57 eV erforderlich. a) Berechne die dazugehörige Grenzwellenlänge! b) Welche maximale Geschwindigkeit besitzen die ausgelösten Elektronen, wenn die Wellenlänge des einfallenden Lichtes 200 nm beträgt? c) Welche Gegenspannung ist erforderlich um den Photostrom vollständig zu unterbinden? (λG = 271,9 nm; v = 7,59 ⋅ 105 m/s; UG = 1,64 V) 4. Eine Vakuumphotozelle wird nacheinander mit grünem Licht der Wellenlänge 546 nm und blauem Licht der Wellenlänge 436 nm bestrahlt. Bei Anwendung der Gegenfeldmethode kommt der Elektronenstrom jeweils bei den Spannungen 0,915 V (grün) und 1,490 V (blau) zum Erliegen. a) Welchen Wert liefern die Messergebnisse für das Plancksche Wirkungsquantum? b) Berechne die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials in eV! c) Welche Wellenlänge muss das Licht besitzen, das bei Bestrahlung der Kathode Elektronen der maximalen Geschwindigkeit 1000 km/s ablöst? (h = 6,65 ⋅ 10–34 J⋅s; WA = 2,17 ⋅ 10–19 J; λ = 295,4 nm) 5. Eine 100 W-Lampe sendet blau-grünes Licht der Wellenlänge λ = 500 nm aus. a) Berechnen Sie Energie, Impuls und dynamische Masse der Photonen. b) Welche Zahl von Photonen geht pro Sekunde von der Lampe aus, wenn 1 % der zugeführten Leistung im sichtbaren Bereich abgestrahlt wird? c) Nimmt die Masse der Lampe infolge der Aussendung der Photonen ab? Eine normale Glühlampe wandelt nur etwa 5 % bis 10 % der eingesetzten Energie in Licht um; der Rest wird in Wärme umgesetzt und an die Umgebung abgegeben. (E = 2,48 eV; p = 1,325 ⋅ 10–27 kg⋅m/s; m = 4,418 ⋅ 10–36 kg; N = 2,515 ⋅ 1018 1/s ) Quantenmechanik 13GE – 2013/14 QM28 6. Ein Scheinwerfer sendet ein paralleles Lichtbündel mit einer Leistung von 100 W aus. a) Welchen Impuls haben die pro Sekunde ausgesendeten Photonen? b) Welche Rückstoßkraft kommt durch die Lichtaussendung zustande? c) Das Licht des Scheinwerfers wird durch einen Spiegel reflektiert. Wie groß ist die Kraft, die auf diesen Spiegel wirkt? (p = 3,33 ⋅ 10–7 kg⋅m/s; F = 3,33 ⋅ 10–7 N; F = 6,67 ⋅ 10–7 N) 7. Ein Elektronenblitzer sendet einen Blitz mit einer Dauer von 10–3 Sekunden aus, der 10 Joule Lichtenergie enthält. Das austretende Licht sei parallel. a) Wie groß ist der Gesamtimpuls der Photonen? b) Hängt der Gesamtimpuls von der Wellenlänge ab? c) Mit welcher Geschwindigkeit müsste sich ein Sandkörnchen (m = 1 mg) bewegen, damit es den gleichen Gesamtimpuls hat? d) Wie groß ist die Rückstoßkraft, die während des Blitzes auf das Blitzgerät wirkt? (p = 3,33 ⋅ 10–8 kg⋅m/s; v = 0,033 m/s; F = 3,33 ⋅ 10–5 N) 8. Ein Positron trifft mit der Geschwindigkeit v auf ein ruhendes Elektron. Es kommt zu einer PaarZerstrahlung oder Elektron-Positron-Annihilation, bei der zwei Photonen entstehen. Das erste Photon bewegt sich in die Bewegungsrichtung des Positrons, das zweite in die entgegengesetzte Richtung. a) Schreibe den Energie- und den Impulssatz wenn v = 2,106 m/s ist. Zeige, dass in diesem Fall die Frequenzen der beiden Photonen fast identisch sind. Berechne dann die Frequenzen und Wellenlängen der Photonen! b) Schreibe den Energie- und den Impulssatz wenn v = 0,9 c ist. Berechne dann auch die Frequenzen und Wellenlängen der Photonen! (f = 4,34 ⋅ 1011 Hz; f1 = 3,31 ⋅ 1020 Hz; f2 = 7,60 ⋅ 1019 Hz) 9. Auf jedes Quadratzentimeter einer absolut schwarzen Oberfläche fallen je Sekunde 3,6⋅1017 Photonen der Wellenlänge 450 nm. Welchen Druck in µPa erzeugt diese Strahlung? (p = 5,3 µPa) 10. Berechnen Sie die Wellenlänge der de Broglie-Welle für: a) einen Tennisball b) ein Geschoss c) ein Proton d) ein Elektron m = 60 g m=1g m = 1,67 ⋅ 10-27 kg m = 9,1 ⋅ 10-31 kg v = 10 m/s v = 90 m/s U = 2,5 ⋅ 105 V U = 250 V U ist die beschleunigende Spannung, die das Proton bzw. das Elektron vom Zustand der Ruhe aus durchlaufen muss, um die erforderliche Geschwindigkeit zu erhalten. (λa = 1,10 ⋅ 10–33 m; λb = 7,36 ⋅ 10–33 m; λc = 5,72 ⋅ 10–14 m; λd = 7,76 ⋅ 10–11 m) 11. In einem Fernsehgerät werden Elektronen durch eine Spannung von U = 15 kV beschleunigt. Welche de Broglie-Wellenlängen haben diese Elektronen (relativistische Berechnung)? (λ = 9,94 ⋅ 10–12 m) 12. Elektronen, die durch einen Doppelspalt fliegen, erzeugen auf einem Schirm ein Interferenzmuster. Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn die beschleunigende Spannung von 50 V auf 5000 V erhöht wird (klassische Berechnung)? (d’ = 0,1 d) Quantenmechanik QM29 13GE – 2013/14 13. Ein Elektron bewegt sich mit 85 % der Lichtgeschwindigkeit. a) Welche Beschleunigungsspannung hat das Elektron durchlaufen? b) Bestimme die de Broglie-Wellenlänge des Elektrons! (U = 4,60 ⋅ 105 V; λ = 1,50 ⋅ 10–12 m) 14. Auch bei Elektronen zeigen sich hinter einem Doppelspalt Interferenzstreifen wie beim Licht. Mit welcher Spannung muss man Elektronen beschleunigen, damit nach Beugung an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstand 10 µm, der Ablenkungswinkel 10. Ordnung genau 1,0° beträgt? (U = 4,94 mV) 15. Ein Elektronenstrahl wird mit einer Anodenspannung von 12 kV beschleunigt. a) Welche Geschwindigkeit und welche Masse erhalten die Elektronen (relativistisch)? b) Wie groß sind Impuls und de Broglie-Wellenlänge? c) Welchen Ablenkungswinkel zeigt das 2. Nebenmaximum beim Durchgang des Elektronenstrahls durch eine Folie, deren Atome im Gitter mit einem Abstand von 3⋅10–8 cm angeordnet sind? (v = 6,39 ⋅ 107 m/s; m = 9,32 ⋅ 10–31 kg; p = 5,95 ⋅ 10–23 kg⋅m/s; λ = 1,11 ⋅ 10–11 m; α = 4,26°) 16. a) Wie groß sind im Bohr’schen Atommodell des Wasserstoffatoms die Bahngeschwindigkeiten im Grundzustand und in den beiden ersten Anregungszuständen? b) Vergleiche die Bahngeschwindigkeit der Elektronen im Grundzustand mit der Lichtgeschwindigkeit! c) Wie viele Umläufe je Sekunde macht das Elektron im Grundzustand? d) Welcher Energiebetrag muss dem Atom zugeführt werden, damit das Elektron von der 4. Bahn auf die nächsthöhere Bahn wechselt? (v1 = 2,19 ⋅ 106 m/s = 0,729 % c; 6,58 ⋅ 1015 Umläufe; ΔE = 0,306 eV) 17. Um Wasserstoffatome aus dem Grundzustand in angeregte Zustände zu versetzen, werden sie mit Fremdelektronen bestrahlt, die eine Beschleunigungsspannung von 12,8 V durchlaufen haben. a) Wie viele verschiedene Spektrallinien kann das so angeregte Wasserstoffatom aussenden? b) Berechne die größte und die kleinste Wellenlänge dieser Spektrallinien! c) Welche dieser Spektrallinien fallen in den sichtbaren Bereich? (6 Linien; λmax = 1880 nm; λmin = 97 nm; f3→2 = 4,57 ⋅ 1014 Hz und f4→2 = 6,17 ⋅ 1014 Hz) 18. Welche Energie ist erforderlich, um ein Elektron des Wasserstoffatoms völlig von seinem Kern zu lösen? Welche Wellenlänge und Frequenz muss das dazu benötigte Photon besitzen? (ΔE = 13,6 eV; λ = 91,1 nm; f = 3,29 ⋅ 1015 Hz) 19. Ein Atom soll die folgenden Energieniveaus haben: 0,0 eV (n → ∞); –3,0 eV (n = 3); –5,0 eV (n = 2); –8,0 eV (n = 1) Atome dieser Art werden mit einem Elektronenstrahl der Energie 11 eV beschossen. a) Welche Energie können die Fremdelektronen aufweisen, die nach der Kollision austreten? b) Welches sind die möglichen Frequenzen der Photonen, die von den bombardierten Atomen ausgesandt werden? ;-) 20. Das Spektrum eines Wasserstoffatoms wird mit einem Rowland-Gitter mit 570 Strichen je mm abgebildet. In der 2. Ordnung beobachtet man eine Linie der Balmer-Serie unter dem Winkel 33,6°. Von welcher höheren Bahn ist das Elektron auf die 2. Bahn zurückgefallen? (Balmer: 4 → 2) Quantenmechanik 13GE – 2013/14 FORMELSAMMLUNG – QUANTENMECHANIK E = h⋅ f E: Photonenenergie h: Planck-Konstante f: Frequenz h ⋅ f = WA + WA: Austrittsarbeit m: Masse des austretenden Elektrons v: Geschwindigkeit des Elektrons 1 ⋅ m ⋅ v2 2 Eel: elektrische Energie Q: Ladung U: elektrische Spannung E el = Q ⋅ U p= λ λ= € p: Impuls λ: de Broglie-Wellenlänge h h 2 ⋅ m ⋅ Ekin me ⋅ r ⋅ v = n ⋅ € Fel = λ: nichtrelativistische de Broglie-Wellenlänge m: Masse des Teilchens Ekin: kinetische Energie des Teilchens (nur für v << c) n: Quantenzahl v: Geschwindigkeit des Elektrons r: Bahnradius me: Masse des Elektrons h 2π Fel: Coulombkraft Q: elektrische Ladung r: Abstand der Ladungen ε0: elektrische Feldkonstante Q ⋅Q 1 ⋅ 1 2 2 4 πε 0 r € E pot = − Epot: potentielle elektrische Energie e: Elementarladung 1 e2 ⋅ 4πε 0 r E: Gesamtenergie des Elektrons im H-Atom 1 1 e2 E = ⋅ me ⋅ v 2 − ⋅ 2 4πε 0 r rn = h2 ⋅ ε0 π ⋅ me ⋅ e 2 En = − me ⋅ e 4 2 8ε 0 h 2 ⋅ n2 ⋅ 1 n2 rn = r1 ⋅ n 2 E n = E1 ⋅ 1 n2 rn : Bohr’scher Radius im H-Atom r1 = 0,529 ⋅ 10-10 m En: Energie des Elektrons im H-Atom E1 = –13,6 eV QM30 Quantenmechanik ΔE = EEnd − EAnf α =1,22 ⋅ € € λ d % ( 1 1 * ' = −13,6 eV ⋅ − 'n 2 n 2 * Anf ) & End 13GE – 2013/14 EAnf , EEnd : Energie des Elektrons im H-Atom nAnf , nEnd : Quantenzahlen α : Öffnungswinkel λ : Wellenlänge d : Durchmesser der kreisförmigen Öffnung QM31
