Inhaltsverzeichnis - Universität Zürich

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann
Version 28. September 2009
Inhaltsverzeichnis
3.5
3.5
Die Newton’schen Prinzipien . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 I. Newton’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 II. Newton’sche Prinzip . . . . . . . . . . . .
3.5.4 III. Newton’sche Prinzip . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Geltungsbereich der Newton’schen Prinzipien
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3.1
3.1
3.3
3.3
3.4
3.5
Die Newton’schen Prinzipien
Wir wollen uns nun mit der Ursache der Bewegungen beschäftigen, mit der Dynamik.
Im vorhergehenden Teil hatten wir uns der reinen Beschreibung der Bewegungen gewidmet, der
Kinematik.
In der historischen Perspektive befinden wir uns etwa an dem Punkt, an dem sich Isaac Newton
[1643 − 1727] am Anfang seiner Forschertätigkeit befand. Die Beobachtungen der Astronomen
Tycho Brahe [1546 − 1601] und Nikolaus Kopernikus [1473 − 1543] waren durch Johannes Kepler
[1571 − 1630] interpretiert worden und führten zu den Kepler’schen Gesetzen über Planetenbahnen. Galileo Galilei’s Untersuchungen zum freien Fall und zur Pendelbewegung boten Newton
die Möglichkeit, über die quantitative Beschreibung der Bewegung hinauszugehen und nach den
Ursachen zu forschen.
3.5.1
Kräfte
Die Formulierung der Dynamik mit Hilfe der Newton’schen Prinzipien setzt neben der Kinematik auch die Objektivierbarkeit des Kraftbegriffes voraus. Der physikalische Kraftbegriff wird
durch Vektoren (Betrag, Richtung) beschrieben, die an einem bestimmten Punkt im Raum (Angriffspunkt) wirken.
Genauer betrachtet wird die Kraft vorerst als eine Grundgrösse betrachtet. Physikalische Grundgrössen werden durch den Messprozess definiert (z.B. Federwaage).
In einem zweiten Schritt wird das Newton’sche Aktionsprinzip als Grundgesetz akzeptiert: F =
m · a. Damit wird die Kraft eine abgeleitete Grösse, deren Einheit N ewton aus Masse und
Beschleunigung hervorgeht.
3.1
Experimentell beobachten wir, dass die Wirkung von mehreren Kräften sich in der Tat wie
deren Vektorsumme verhält. Zwei Kräfte, die auf denselben Angriffspunkt wirken, addieren sich
vektoriell:
F~ = F~1 + F~2
Die Summe von zwei Vektoren ist wieder ein Vektor. Physikalisch bedeutet diese mathematische
Beziehung: Zwei Einzelkräfte F~1 und F~2 können durch eine Gesamtkraft F~ ersetzt werden, wenn
diese die gleiche Wirkung hat wie die Einzelkräfte zusammen. Diese Aussage ist nicht vollständig
trivial, wie wir sofort einsehen können:
Greifen an einem starren Körper zwei gleich starke, entgegengesetzt wirkende Kräfte an, so gilt mathematisch
F1
F2
F1
F2
F~ = F~1 + F~2 = 0
Liegen F~1 und F~2 in der gleichen Wirkungslinie, so ist ihre resultierende Wirkung in der Tat Null. Die Summe ist sinnvoll. Haben F~1 und F~2 dagegen verschiedene Wirkungslinien, so ist die
resultierende Wirkung beschleunigend, der Körper beginnt sich
zu drehen. Die Summe F~ = 0 zu bilden macht für die Drehung
keinen Sinn.
Kräfte kann man also nur vektoriell addieren, wenn sie auf den gleichen Angriffspunkt wirken.
Die Vorstellung, dass Kraftwirkungen durch Vektoren dargestellt werden dürfen, die mathematisch manipuliert werden können, erscheint plausibel und einfach. Trotzdem ist und bleibt sie
eine Hypothese, die durch eine grosse Zahl von Experimenten bestätigt wurde. Eine einfache
Überprüfung hier in der Anfangsphase der Dynamik ist das sogenannte Kräfteparallelogramm
von Abbildung 3.1.
F2
F1
F
Abbildung 3.1: Kräfteparallelogramm: Die beiden Einzelkräfte sind parallel zu den Katheten
eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Gesamtkraft
ist daher parallel zur Hypotenuse dieses Dreiecks, und ihre Grösse kann mit dem Satz von
Pythagoras ermittelt werden.
F~ + F~1 + F~2 = 0
3.2
3.5.2
I. Newton’sche Prinzip
Das Trägheitsprinzip:
Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Bewegung,
wenn auf ihn von aussen keine Kräfte wirken.
Ein kräftefreier starrer Körper führt also eine geradlinige Translationsbewegung aus, Richtungsänderungen und Änderungen der Schnelligkeit sind nicht möglich.
Klarerweise hängt diese Aussage vom Zustand des Bezugssystems (Koordinatensystem) ab. Sitzt
man zum Beispiel auf einem Karussel, dann fliegen alle Dinge nach aussen, obschon offenbar keine
Kraft vorhanden ist. Auch die Erde dreht sich bekanntlich um sich selbst und um die Sonne und
um das Zentrum der Milchstrasse. Gibt es denn überhaupt solche Bezugssyteme, in dem keine
Kraft wirkt?
Man nennt ein Bezugssystem, in dem das erste Newton’sche Prinzip gilt, ein Inertialsystem. Ein
solches kommt auch zustande, wenn sich die Wirkung aller auf den Körper wirkenden Kräfte
gerade aufhebt (“Gleichgewicht”). Die wesentliche Aussage des ersten Newton’schen Prinzips ist
also eigentlich, dass es solche Inertialsysteme tatsächlich gibt.
3.5.3
II. Newton’sche Prinzip
Das Aktionsprinzip:
Wirkt auf ein Teilchen (Massenpunkt) eine Kraft F~ , so ändert
sich der Impuls p~ ≡ m~v des Teilchens (Massenpunkts).
Die Impulsänderung pro Zeiteinheit ist gleich der Kraft.
Dieses Prinzip gibt den Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Geschwindigkeitsänderung.
Es besagt mit anderen Worten, dass die Aenderung der Bewegung proportional zur Einwirkung
der Kräfte ist.
Wir haben dabei neu den Begriff Impuls (momentum) eingeführt:
Impuls p~ = m~v
Da ~v eine Vektorgrösse ist, ist auch p~ eine Vektorgrösse.
Bei dem Begriff der Masse handelt es sich hier eigentlich um die träge Masse. Für genügend
kleine Geschwindigkeiten ist die Masse (mass) m konstant, somit ist
d~
p
d(m~v )
d~v
F~ =
=
=m
= m~a
dt
dt
dt
3.3
Die träge Masse beschreibt also wie stark sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt.
Sie erlaubt eine quantitative Beschreibung der Trägheit.
Abgesehen from Vektorpfeil haben wir hier die bekannte Beziehung aus der Mittelschulphysik
“Kraft = Masse × Beschleunigung” gefunden. Ist speziell
X
F~i = 0
so folgt
m~a = 0 →
i
d~v
= 0 → ~v (t) = const.
dt
Was bedeutete die Einschränkung “kleine Geschwindigkeiten” ? Die korrekte Definition des
Impulses in der Einstein’schen, speziellen Relativitätstheorie lautet
m
~v
1 − v 2 /c2
Das Aktionsgesetz ist immer noch in der Form F~ = d~
p/dt gültig. c ist die Lichtgeschwindigkeit
8
im Vakuum, c = 3 × 10 m/s.pUm z. B. eine Abweichung von etwa 1 % von der Newton’schen
Formel zu erreichen, d. h. 1/ 1 − v 2 /c2 = 1.01, muss mit 1 − v 2 /c2 = 0.98 gelten: v/c = 0.14,
d. h. v = 42000 km/s. Diese Geschwindigkeit ist etwa 400 × grösser als die Geschwindigkeit,
die man einer Rakete im Minimum geben muss, damit sie Kurs auf Mars oder Venus nehmen
kann. Andererseits muss man die relativistischen Korrekturen schon berücksichtigen, wenn man
die Bahn eines Elektronenstrahls in einer Fernsehröhre berechnen will.
p~ = p
Diese Gleichung F = ma wird als Definitionsgleichung für die Einheit der Kraft verwendet:
[F ] = [Masse · Länge/Zeit2 ] = kg · m/s2 = Newton = N
Die Einheitskraft 1 Newton erteilt einer Masse, die derjenigen des Urkilogramms entspricht, die
Beschleunigung 1 m/s2 .
3.5.4
III. Newton’sche Prinzip
Das Reaktionsprinzip:
Übt irgendein Körper 1 auf einen Körper 2 eine Kraft F~12 aus,
so übt der Körper 2 auf den Körper 1 auch eine Kraft F~21 aus,
so dass gilt
F~12 = −F~21
Dieses Prinzip macht eine Aussage über Kräfte die an verschiedenen Körpern angreifen. Es spielt
dabei keine Rolle, ob sich die beiden Körper berühren oder beliebig weit voneinander entfernt
sind, ob sie gleiche oder verschiedene Masse und Form besitzen. Immer ist F~12 = −F~21 .
Wichtig ist die Einsicht, dass die beiden Reaktionspartner F~12 und F~21 an verschiedenen Körpern
angreifen. Sie heben sich in ihrer Wirkung nicht auf. Es wäre sinnlos sie zu addieren, wenn wir
die Bewegungen der Körper einzeln untersuchen wollten. F~12 greift im Körper 2 an und F~21 im
Körper 1, oder allgemeiner definiert kürzen wir ab:
F~von i auf k ≡ F~ik
3.4
3.5.5
Geltungsbereich der Newton’schen Prinzipien
Obwohl die Newton’sche Mechanik nicht in allen Bereichen der Physik die korrekte Antwort
gibt, ist der Bereich, in dem sie die experimentellen Befunde mit grosser Genauigkeit vorhersagt,
riesig. Er erstreckt sich von einzelnen Molekülen bis zu astrophysikalischen Systemen.
Im atomaren Bereich müssen wir, wenn wir z. B. die Bewegung der Elektronen im Atom beschreiben, die Newton’sche Mechanik durch die Quantenmechanik ersetzen.
Wenn die Geschwindigkeiten der Teilchen merkbare Bruchteile der Lichtgeschwindigkeit erreichen, muss die Newton’sche Mechanik durch die Einstein’sche, spezielle Relativitätstheorie ersetzt werden.
Bei grossen Abständen muss man berücksichtigen, dass sich die Kraftfelder höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Es dauert also eine Weile, bis der Reaktionspartner merkt, dass die
Kraft geändert wurde.
Die Physiker sehen die Newton’sche Mechanik als Spezialfall dieser beiden, allgemeiner gültigen
Theorien an, allerdings als einen für das Verständnis unserer Umwelt extrem wichtigen Spezialfall.
3.5