1.3M - 1. Institut für Theoretische Physik

Quantenthermodynamische
Maschinen und Prozesse
Diplomarbeit von
Peter Borowski
1.August 2002
Hauptberichter : Prof.Dr.Günter Mahler
Mitberichter : Prof.Dr.Hans-Rainer Trebin
Institut für Theoretische Physik Teil 1
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Stuttgart, 1.August 2002
Peter Borowski
Diese Diplomarbeit wurde mit dem Textsatzsystem LATEX erstellt. Die meisten Abbildungen wurden mit den Programmen gnuplot, xfig sowie Mathematica generiert.
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
v
1 Einleitung
1
2 Grundlagen
2.1 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Diskrete Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Erhaltung der Energieverteilung . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dichteoperator, von-Neumann-Gleichung . . . . . . . . . . . .
2.3 Zusammengesetzte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Verschränkungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Die Gibbssche Fundamentalform und ihre statistische Deutung
3
3
3
5
5
6
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8
9
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3 Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des
Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Üblicher Zugang zum Zweiten Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Die Gibbssche Ensembletheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz . . . . . .
3.3.1 Mikrokanonische Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Kanonische Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Hamilton-Modelle für eingebettete Zwei-Niveau-Systeme .
3.4.3 Methode der Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Eingebettetes Fünf-Niveau-Modell . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Gültigkeitsbereich; Relaxation ins Gleichgewicht . . . . . .
3.4.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
11
11
12
12
14
15
16
18
20
20
20
28
29
36
40
43
ii
Inhaltsverzeichnis
3.5
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Quantenmechanische
Einbettung: “Stationäres
QuantenManometer”
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Das Hamilton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Eindimensionales Zwei-Teilchen-Modell . . . . . . . . . . .
4.2.2 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Entwicklung des Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Vergleich der Wechselwirkungsenergie mit der Energie des
Produktzustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Berechnung des Erwartungswertes hxW i . . . . . . . . . .
4.2.6 Varianz des Erwartungswertes hxW i . . . . . . . . . . . . .
4.2.7 Verschränkung zwischen den zwei Subsystemen . . . . . .
4.2.8 Verallgemeinerung für den dreidimensionalen Fall . . . . .
4.2.9 Verallgemeinerung auf zwei nichtwechselwirkende Teilchen
verschiedener Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Quantenthermodynamische Kreisprozesse
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Herleitung des Carnot-Wirkungsgrades
5.2.2 Eindeutigkeit von ηCarnot . . . . . . . .
5.3 Carnot-Prozess in der Quantenmechanik . . .
5.3.1 Beispiel: Harmonischer Oszillator (HO)
QM
5.3.2 Allgemeiner Beweis für ηCarnot
= ηCarnot
5.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Der Maxwellsche Dämon . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Die klassische Szilard-Maschine . . . . . . . . .
6.1.3 Die Quanten-Szilard-Maschine . . . . . . . . . .
6.2 Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine . . . . . . .
6.2.1 Unvollständiges Modell . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Verbessertes Modell . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Zusammenfassung und Ausblick
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69
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77
77
77
78
80
82
82
88
94
97
Inhaltsverzeichnis
A Anhang
t
A.1 Analytische Formel für ρg00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Transformation der Ableitungen für die Transformation (4.12) . .
A.3 Ungestörte Eigenfunktionen und -energien der Einteilchensysteme
aus Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Unendlich hoher Kasten von x1 = 0 bis x1 = L . . . . . . .
A.3.2 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
jjW
zum Entwicklungskoeffizienten ersA.4 Berechnung der Beiträge 1x Ckk
W
ter Ordnung für die Störungsrechnung in Kapitel 4 . . . . . . . .
A.5 Berechnung des Wirkungsgrades ηHO der Harmonischer-OszillatorMaschine aus Abschnitt 5.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Lösung der Schrödingergleichung für den unendlich hohen Kasten
mit einer Potenzialbarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
99
99
101
102
102
102
103
105
107
Literaturverzeichnis
109
Index
112
Danksagung
115
iv
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
√
i = −1
h
~ = 2π
kB
e
Re(A)
Im(A)
[A, B] = AB − BA
⊗
∨
δ(A), δij
R
hAi
(∆A)2
Sp{A}
A+ = (A∗ )T
Ȧ = ∂A
∂t
Γ
H
D
dτ
A
t
A
H
Γ
A ,A
P
A
w
w̃
Ĥ
Ĥ W W , Ŵ
²
α
U
λn
D
imaginäre Einheit
Plancksches Wirkungsquantum
Boltzmann-Konstante
Eulersche Zahl
Realteil der Größe A
Imaginärteil der Größe A
Kommutator der Größen A und B
dyadisches Produkt
ODER
Deltadistribution, Kronecker-Delta
Menge der reellen Zahlen
Erwartungswert der Größe A
Varianz der Größe A
Spur der Matrix A
hermitesch Konjugierte der Größe A
Zeitableitung der Größe A
klassischer Phasenraum
Hilbertraum
Raum der reduzierten Dichtematrix
infinitesimales Volumenelement
Mittelwert der Größe A
Zeitmittel der Größe A
Hilbertraum- bzw. Phasenraummittel der Größe A
Pfadmittel der Größe A entlang des Pfades P
Hilbertraum- bzw. Phasenraumdichte; Wahrscheinlichkeit
grobmaschige Hilbertraum- bzw. Phasenraumdichte
Hamiltonoperator
Wechselwirkungsoperator
Maß für die Stärke der Wechselwirkung
Faktor zur Beeinflussung der Wechselwirkungsstärke
Matrix der Eigenvektoren; Potenzial; Energie
Eigenwerte
Diagonalmatrix der Eigenwerte
v
vi
|Ψi, |Φi, |ψi
|ni, |iji
an , b n , c n , ψ n
ρ̂
ρ̂g
Bc
λ, β
1
C
p
p(E)
pd (E)
n
N
P
S
T
i, j, k, l, m, n, p, r, s
t
x
M
V
A
E
Q
W
F
L
f
η
a, Xj
ξj
b
ω
A, B, D
Symbolverzeichnis
Zustandsvektor
Basisvektor; Basisvektor im Produktraum
Komponenten des Zustandsvektors
Dichtematrix
reduzierte Dichtematrix des ’Gases’
Bandbreite (im Container)
Entwicklungsparameter
Entwicklungskoeffizient erster Ordnung
Wahrscheinlichkeit
Energieverteilung
dominante Energieverteilung
Entartungsgrad; Zustandsdichte; Dimension
Entartungsgrad; Systemgröße; Normierungsfaktor
Purity; Druck
Entropie
Zeit; Zeitentwicklungsoperator; Temperatur
Quantenzahlen
Zeit
Ortskoordinate
Masse; Zustandsmaß
Volumen
Fläche
Energie
Wärmemenge
Arbeit
Kraft; unendliche Stufenfunktion
Ausdehnung
Federkonstante; Anzahl der Freiheitsgrade
Wirkungsgrad
verallgemeinerte Arbeitsvariable, verallgemeinertes Volumen
verallgemeinerte intensive Variable
verallgemeinerter Druck
Kreisfrequenz
Koeffizienten
Kapitel 1
Einleitung
In ihrem fortwährenden Bestreben, die Welt und die ’Wirklichkeit’ um sich herum immer genauer zu beschreiben, entwickelten Naturforscher und Physiker vom
Ende des 17.Jahrhunderts [1] an eine phänomenologische Theorie, die Thermodynamik, die es erlaubte, Gasausdehnungen, Wärmeflüsse, Drücke, Temperaturen,
mechanische Arbeiten usw. zu berechnen und vorherzusagen. Als wichtiges Jahr
in dieser Entwicklung sei 1775 genannt, in dem die Pariser Akademie beschloss,
keine Vorschläge für ein Perpetuum mobile mehr zu prüfen (Zu dieser Zeit war
noch keine Unterscheidung in Perpetuum mobile erster und zweiter Art bekannt
- die Pariser Akademie wollte allgemein Vorschläge für Maschinen mit immerwährender Bewegung nicht mehr annehmen.). Die Thermodynamik hat sich über
die Jahrzehnte bewährt und liefert in ihrer modernen Form die Berechnungen für
Verbrennungsmotoren, Klimamodelle, Sternevolution, magnetische Eigenschaften
fester Körper und vieles vieles mehr. Eine wesentliche Größe der Thermodynamik
ist die Entropie und damit verbunden der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik (beides eingeführt Mitte des 19.Jahrhunderts von Clausius), der postuliert,
dass thermodynamische Systeme unter bestimmten Bedingungen irreversibel in
ein nahezu stationäres Gleichgewicht streben.
Dieses in der Natur beobachtete irreversible Verhalten durch die reversiblen,
d.h. zeitumkehrinvarianten, mikroskopischen mechanischen Grundgleichungen,
die man bis Anfang des 20.Jahrhunderts für die wesentlichen Grundgleichungen
hielt, abzuleiten, war lange Zeit ein viel diskutiertes Thema unter den Physikern
des späten 19. und des frühen 20.Jahrhunderts und ist es teilweise auch heute noch. Die Fundamentalität dieser Frage lockte und lockt auch noch heute so
manchen Nichtphysiker in das Gebiet [2] [3] [4]. Gibbs entwarf in seinem Buch [5]
1902 schließlich ein von den Allermeisten akzeptiertes Bild, das den Übergang von
den reversiblen mikroskopischen Gleichungen der Mechanik zu den irreversiblen
makroskopischen Gleichungen der Thermodynamik vollzieht, dabei aber nicht
ganz ohne Zusatzannahmen auskommt.
Das Jahr 1900 kann wegen des Vortrags Plancks’ über die Quantisierung der
Hohlraumstrahlung als das Geburtsjahr einer anderen, fundamentaleren Theo1
2
Kapitel 1. Einleitung
rie angesehen werden, der Quantentheorie. Die Quantentheorie konnte mit ihrem
Teilgebiet, der Quantenstatistik [6], einige “Wolken auf der Theorie der Wärme”
(= statistische Mechanik)(Kelvin) beseitigen, schaffte es aber auf Grund der immer noch reversiblen Grundgleichungen, der Schrödinger- und der von-NeumannGleichung, auch nicht, die Ableitung irreversibler, makroskopischer Gleichungen
aus den Grundgleichungen konsistenter zu vollziehen, die oben erwähnten Zusatzannahmen in der Herleitung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik
bildeten noch ’Wölkchen’. Einen Schritt in Richtung der Beseitigung dieser ’Wölkchen’ [7] wurde in jüngerer Zeit an der Universität Stuttgart gemacht. Kapitel 3
dieser Arbeit beschäftigt sich mit diesem Versuch, die Thermodynamik auf ein
noch fundamentaleres Gerüst zu stellen. Der zentrale Begriff dabei ist die thermodynamische Einbettung eines Systems in ein größeres Umgebungssystem.
Um eine andere Form der Einbettung, nämlich die (quanten)mechanische, geht
es in Kapitel 4. Hierbei wird an Hand der Größe Druck die thermodynamische Beschreibung eines einzelnen isolierten Systems mit der rein quantenmechanischen
Beschreibung des eingebetteten Systems unabhängig von Begriffen wie Temperatur oder Entropie verknüpft. Ziel sollte es dabei sein, jetzt, da die Quantenmechanik überall etabliert ist und nun auch genaue Messungen und Präparationen
auf Skalen durchgeführt werden können, auf denen Quantenverhalten auftritt, die
Thermodynamik in ihrer Gesamtheit durch die Quantenmechanik zu beschreiben.
Dies sollte allerdings möglichst in einem ’bottom up’ denn in einem ’top down approach’ erfolgen, d.h. die bekannten Relationen und Größen der Thermodynamik
sollten abgeleitet und nicht durch Analogieschlüsse o.ä. vorausgesetzt werden, wie
dies in einigen Veröffentlichungen geschieht (s. Kapitel 5).
Kapitel 5 verbindet in gewisser Weise die beiden oben erwähnten Einbettungen, indem versucht wird, klassische thermodynamische Kreisprozesse als Paradebeispiele der Thermodynamik in die Quantenmechanik zu übersetzen. Motivation
dafür ist auch die immer weiter fortschreitende Experimentierkunst, die inzwischen auf einem Niveau angelangt ist, das so manchen Physiker und Nichtphysiker
von wesentlichen technischen Neuerungen z.B. im Bereich der Nanotechnologie
oder des Quantencomputings träumen lässt.
Kapitel 6 schließlich beschäftigt sich wieder mit einem fundamentaleren Thema, das eine sehr lange Tradition besitzt, dem Maxwellschen Dämon und der
damit verbundenen Verletzung des Zweiten Hauptsatzes. Betrachtet wird dort
eine spezielle Form des Dämons in der Quantenmechanik.
Kapitel 2 führt kurz in einige in dieser Arbeit öfters verwendete Begriffe und
Konzepte ein, speziellere Einführungen sowie mathematische Hilfsmittel werden
aber auch in den jeweiligen Kapiteln gegeben. In Kapitel 7 wird der Inhalt dieser
Arbeit zusammengefasst und ein kurzer Ausblick in weitere mit dieser Arbeit
verbundene Problematiken gegeben.
Kapitel 2
Grundlagen
Die dieser Diplomarbeit zu Grunde liegenden mathematischen und physikalischen
Methoden spielen sich auf einem relativ einfachen Niveau ab. Im Folgenden sollen
nur die häufiger in dieser Arbeit verwendeten Begriffe und Methoden erklärt werden, so die zeitabhängige und -unabhängige Schrödingergleichung [8], der Dichteoperator oder Dichtematrix [9], sowie die Beschreibung zusammengesetzter Systeme in der Quantenmechanik [10][9]. Unterkapitel 2.4 über die Gibbssche Fundamentalform [11] soll als thermodynamische Grundlage für die Kapitel 3, 4 und 5
dienen.
2.1
Die Schrödingergleichung
Die in dieser Arbeit verwendete grundlegende Gleichung der Quantenmechanik
ist die 1926 von Schrödinger formulierte Schrödingergleichung
i~
∂
|Ψ(t)i = Ĥ(t)|Ψ(t)i
∂t
(2.1)
wobei |Ψ(t)i der quantenmechanische Zustand abhängig von der Zeit ist und Ĥ(t)
der Hamiltonoperator oder Hamiltonian des betrachteten Systems.
2.1.1
Diskrete Basis
Zur Lösung der Schrödingergleichung wird eine vollständige, orthonormale Basis
|ni gewählt, nach der sich der Zustand |Ψ(t)i entwickeln lässt:
|Ψ(t)i =
N
−1
X
n=0
cn (t)|ni mit cn (t) = hn|Ψ(t)i.
(2.2)
Die Basiszustände |ni spannen den N-dimensionalen Hilbertraum H auf, durch
den sich der Zustand |Ψ(t)i bewegt. |Ψ(t)i kann also als Vektor in H aufgefasst
3
4
Kapitel 2. Grundlagen
werden. Der Hamiltonian Ĥ ist dann in dieser Darstellung eine Matrix mit den
Elementen
Hnm = hn|Ĥ|mi.
(2.3)
Im folgenden Teil dieses Unterkapitels werden nur noch zeitunabhängige Hamiltonoperatoren betrachtet.
Da Ĥ hermitesch ist (Ĥ = Ĥ + = (Ĥ ∗ )T : Das hermitesch Konjugierte (die
Transponierte des komplex Konjugierten) von Ĥ ist gleich Ĥ), sind alle Eigenwerte von Ĥ reell und der Hamiltonian lässt sich als ein Produkt dreier Matrices
schreiben:
Ĥ = U DU + .
(2.4)
Dabei ist D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λn von Ĥ als Einträgen
und U eine unitäre Matrix (U + = U −1 ), die in den Spalten die Eigenvektoren von
Ĥ in der zu D passenden Reihenfolge enthält. Die Schrödingergleichung (2.1)
∂
i
|Ψ(t)i = − Ĥ|Ψ(t)i
∂t
~
(2.5)
kann somit umgeschrieben werden in
i
∂
|Ψ(t)i = − U DU + |Ψ(t)i
∂t
~
U+
⇒
∂
i
|Ψ(t)i = − DU + |Ψ(t)i.
∂t
~
(2.6)
Die Definition
führt zu
|Φ(t)i ≡ U + |Ψ(t)i
i
∂
|Φ(t)i = − D|Φ(t)i
∂t
~
⇔
∂
i
Φn (t) = − λn Φn (t),
∂t
~
(2.7)
(2.8)
wobei die Φn (t) die Koeffizienten der Entwicklung des Vektors |Φ(t)i nach der
Basis |ni sind: Φn (t) = hn|Φ(t)i. Gleichung (2.8) kann somit durch
i
Φn (t) = e− ~ λn t Φn (t = 0)
(2.9)
gelöst werden. Für Real- bzw. Imaginärteil ergibt sich jeweils
¶
µ
¶
µ
λn
λn
Re(Φn (t)) = Re(Φn (0)) cos − t − Im(Φn (0)) sin − t ,
~
~
µ
¶
µ
¶
λn
λn
Im(Φn (t)) = Im(Φn (0)) cos − t + Re(Φn (0)) sin − t . (2.10)
~
~
Der Anfangszustand in der transformierten Darstellung |Φ(t = 0)i wird ebenso
wie der Zustand in der ursprünglichen Darstellung zur Zeit t, |Ψ(t)i, mit Hilfe
von Gleichung (2.7) gewonnen:
|Φ(0)i = U + |Ψ(0)i,
|Ψ(t)i = U |Φ(t)i.
(2.11)
2.1. Die Schrödingergleichung
5
Das Betragsquadrat der Einträge im Zustandsvektor |Ψ(t)i ist nach den Axiomen der Quantenmechanik die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Messung zum
Zeitpunkt t das System in dem zu diesem Eintrag gehörenden Basiszustand |ni
anzutreffen:
(2.2)
(2.12)
p(|ni, t) = |Ψn (t)|2 ≡ |hn|Ψ(t)i|2 ≡ |cn (t)|2 .
2.1.2
Ortsdarstellung
Interessiert die Wellenfunktion |Ψ(t)i in Abhängigkeit des Ortes x, so kann eine
kontinuierliche Basis |xi verwendet werden, bezüglich der |Ψ(t)i entwickelt wird:
Ψ(x, t) = hx|Ψ(t)i .
(2.13)
Der Hamiltonoperator für ein Teilchen der Masse M in einem ortsabhängigen
Potential V (x) ist
~2 ∂ 2
+ V (x) ,
(2.14)
Ĥ(x) = −
2M ∂x2
womit sich für die Schrödingergleichung (2.1) in Ortsdarstellung
¸
·
∂
~2 ∂ 2
i~ Ψ(x, t) = −
+ V (x) Ψ(x, t)
(2.15)
∂t
2M ∂x2
ergibt. Hier kann nun der zeitabhängige Anteil durch den Ansatz mit der Energie
i
E, Ψ(x, t) = e− ~ Et Ψ(x), gelöst werden und führt zur stationären Schrödingergleichung
¸
·
~2 ∂ 2
+ V (x) Ψ(x) .
(2.16)
EΨ(x) = ĤΨ(x) = −
2M ∂x2
2.1.3
Erhaltung der Energieverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, in einem abgeschlossenen, durch den Zustandsvektor
|Ψ(t)i beschriebenen System die Energie E anzutreffen, wird durch die Schrödingergleichung, die ja die gesamte Dynamik des Systems beschreibt, erhalten.
Dies kann folgendermaßen gezeigt werden: Für einen beliebigen Operator  und
Ĥ(t) ≡ Ĥ = const. gilt
h
i
Â, Ĥ = 0 ⇒ hÂi = const.
(2.17)
hÂi ist dabei der Erwartungswert bei einer Messung der zum Operator  gehörenden Observablen A. Werden für  die Projektionsoperatoren  = |nihn| auf
die Energie-Eigenzustände eingesetzt, und der Hamiltonoperator in der EnergieEigendarstellung geschrieben - Ĥ ist dann diagonal - , so ergibt sich für Gleichung
(2.17)
h
i
|nihn|, Ĥ = 0 ⇒ h|nihn|i ≡ hΨ|nihn|Ψi = |cn |2 = const. ,
(2.18)
6
Kapitel 2. Grundlagen
d.h. die Betragsquadrate aller Einträge eines beliebigen Zustandsvektors |Ψi in
der Energie-Eigendarstellung und somit die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten aller Energien En , bleiben konstant.
2.2
Dichteoperator, von-Neumann-Gleichung
Wenn der Zustand eines abgeschlossenen Systems nicht genau bekannt ist, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten pn , in welchem der unabhängig präparierten
Zustände |Ψ(n) i es vorliegt (die |Ψ(n) i müssen nicht notwendigerweise orthogonal
zueinander sein), so erfolgt die Beschreibung des Systems durch den Dichteoperator ρ̂:
N
−1
X
ρ̂ =
pn |Ψ(n) ihΨ(n) | .
(2.19)
n=0
Für den Dichteoperator lassen sich einige Eigenschaften angeben:
1. ρ̂ ist hermitesch: ρ̂ = ρ̂+ .
2. Die Diagonalelemente von ρ̂ geben die Wahrscheinlichkeiten an, das System
in den Basiszuständen |ji zu finden:
X
(n)
ρjj =
pn |cj |2 ,
(2.20)
n
(n)
mit cj
= hj|Ψ(n) i. Daraus folgen weitere Eigenschaften:
• ρjj ≤ 1
• Sp{ρ̂} =
P
j
ρjj = 1 .
3. Der Erwartungswert eines Operators  ist
hÂi = Sp{ρ̂Â} .
(2.21)
Der Dichteoperator eines reinen Zustands |Ψi ist
ρ̂ = |ΨihΨ| mit den Matrixelementen ρij = hi|ΨihΨ|ji = Ψi Ψ∗j .
(2.22)
Als Test, ob einem Dichteoperator ein reiner oder gemischter Zustand zu Grunde
liegt, dient folgende Eigenschaft:
½
= 1 für reine Zustände
2
(2.23)
Sp{ρ̂ }
< 1 für gemischte Zustände.
Die Dynamik des Dichteoperators wird durch die von-Neumann- oder LiouvilleGleichung beschrieben:
i
h
∂
(2.24)
i~ ρ̂(t) = Ĥ, ρ̂(t) .
∂t
2.3. Zusammengesetzte Systeme
2.3
7
Zusammengesetzte Systeme
Zwei quantenmechanische Systeme der Dimensionen n1 bzw. n2 , die, wären
sie jeweils abgeschlossen, durch die beiden Zustandsvektoren |ψ 1 i und |ψ 2 i beschrieben würden, lassen P
sich durch einen Gesamtzustandsvektor in Produktform
1
2
|Ψ(t)i = |ψ i ⊗ |ψ i = i,j hi|ψ 1 ihj|ψ 2 i · |iji beschreiben, der sich im (n1 n2 )dimensionalen Gesamt-Hilbertraum (Produkt-Hilbertraum)
H = H 1 ⊗ H2
(2.25)
bewegt. Dabei ist der erste Platz in |iji, das i, die Quantenzahl des Subsystems
Eins, der zweite (j) ist die Quantenzahl des Subsystems Zwei. Dem reinen Zustand
|Ψ(t)i kann eine Dichtematrix wie in Gleichung (2.22) zugeordnet werden.
Wenn die beiden Subsysteme in irgendeiner Form wechselwirken, so ist
es zu einem späteren Zeitpunkt im Allgemeinen nicht möglich, sie jeweils
durch einen reinen Zustandsvektor |ψ 1 i oder |ψ 2 i zu beschreiben (Theorem von
i.Allg.
d’Espagnat [12], |Ψi 6= |ψ 1 i ⊗ |ψ 2 i). Aussagen über die Subsysteme können
dann über die reduzierten Dichtematrices ρ̂(1) und ρ̂(2) gemacht werden. Diese
erhält man durch ’Ausspuren’ des jeweils anderen Subsystems, z.B. für das Subsystem Eins durch
nX
2 −1
(1)
him|ρ̂|jmi .
(2.26)
ρij =
m=0
Hierbei lässt sich nun ein grundlegender Unterschied zwischen offenen und abgeschlossenen Quantensystemen feststellen: Während ein abgeschlossenes System
mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator Ĥ immer durch einen Zustandsvektor
|Ψi oder einen Dichteoperator ρ̂ vollständig beschrieben ist und dessen Evolution
in der Zeit durch eine unitäre Transformation
|Ψ(t)i = T̂ (t)|Ψ(0)i bzw. ρ̂(t) = T̂ (t)ρ̂(0)T̂ + (t)
(2.27)
mit dem Zeitentwicklungsopertor T̂ (t) = exp(− ~i Ĥt) gegeben ist (solange keine Projektion oder Messung stattfindet), ist dies bei einem offenen System nicht
möglich. Das Gesamtsystem, in das das zu beobachtende System Eins eingebettet
ist, lässt sich zwar immer durch einen Gesamtzustandsvektor |Ψ(t)i (den ’Weltvektor’) und dessen unitäre Dynamik beschreiben, wird aber die Umgebung (Subsystem Zwei) nicht beobachtet, so können Aussagen über das beobachtete System
nur mit Hilfe der reduzierten Dichtematrix aus Gleichung (2.26) gemacht werden.
Für diese aber gibt es keine unitäre Transformation, die die Zeitentwicklung beschreibt, die Dynamik der reduzierten Dichtematrix kann, hervorgerufen durch
das ’Ausspuren’, sogar quasiirreversibel werden. In eine Umgebung eingebettete
Systeme werden deshalb oft als offene Systeme mit Hilfe der Mastergleichung
beschrieben.
8
Kapitel 2. Grundlagen
Die in dieser Diplomarbeit vertretene Auffassung eines einzigen ’Weltvektors’,
der objektiv das gesamte Universum beschreibt, ist nicht die einzig mögliche
Interpretation der Quantenmechanik. Eine abweichende Interpretation des Zustandsvektors |Ψi, die Ensemble-Interpretation, wird z.B. in [13] in Abschnitt 9.3
vorgestellt. Auch subjektive Interpretationen, die davon ausgehen, dass |Ψi nur
das subjektive ’Wissen’ eines Beobachters repräsentieren, existieren [14].
2.3.1
Verschränkung
Systeme, die miteinander wechselwirken, verschränken miteinander, d.h. sie verlieren an lokaler Information zu Gunsten der globalen Information, also Information über den Gesamtzustand [15]. Das Paradebeispiel eines maximal verschränkten
Zustands im Spin-Paar-Raum ist ein EPR-Zustand:
1
|ΨEP R i = √ (|00i + |11i) .
2
(2.28)
Dieser Zustand enthält keinerlei lokale Information über die beiden Subsysteme
(d.h., die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigenzustand einer beliebigen
lokalen Messgröße an einem Spin zu messen, ist immer gleich 0,5), sondern nur
noch die Kollektivinformation ’beide Subsysteme sind im gleichen Zustand’ und
’die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Zustand |0i sind, ist 0, 5’.
2.3.2
Verschränkungsmaße
Verschränkung zwischen Subsystemen führt dazu, dass über die Zustände der einzelnen Subsysteme nur noch Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden können, sie also nur noch in der Form einer Dichtematrix dargestellt werden können.
Um den Grad der Verschränkung eines Systems mit seiner Umgebung zu bestimmen, gibt es verschiedene Maße. Die zwei in dieser Arbeit verwendeten Maße sind
die Purity und die von-Neumann Entropie.
Purity P
Die Purity P misst die Reinheit eines Systems. Sie ist definiert als
P (ρ̂) = Sp{ρ̂2 } .
(2.29)
P (ρ̂) bewegt sich zwischen Eins für reine Zustände und N1 für einen maximal
gemischten Zustand der Dimension N . Da die Spur-Operation invariant unter
unitären Transformationen ist, kann die Purity auch über die Eigenwerte λi der
Matrix ρ̂ berechnet werden:
P (ρ̂) =
N
−1
X
i=0
λ2i .
(2.30)
2.4. Die Gibbssche Fundamentalform und ihre statistische Deutung
9
von-Neumann Entropie S
Die von-Neumann Entropie
S(ρ̂) = −kB Sp{ρ̂ ln ρ̂}
(2.31)
stellt ebenfalls ein Maß für die Reinheit eines Systems dar (kB ist die BoltzmannKonstante). Allerdings verhält sich die Entropie gerade andersherum als die Purity: Handelt es sich um einen reinen Zustand, so gilt S = 0, ein maximal gemischter
Zustand hat S = kB ln N . Wiederum kann auf Grund der Invarianz der SpurOperation unter unitären Transformationen die Entropie über die Eigenwerte λi
von ρ̂ berechnet werden:
S(ρ̂) = −kB
N
−1
X
λi ln λi .
(2.32)
i=0
Der Zusammenhang zwischen den zwei Maßen P und S lässt sich für fast reine
Zustände näherungsweise durch Entwicklung der Entropie zu
S(ρ̂) ≈ kB (1 − P (ρ̂))
(2.33)
berechnen.
2.4
Die Gibbssche Fundamentalform und ihre
statistische Deutung
Die Gibbssche Fundamentalform
dE = T dS +
X
ξj dXj
(2.34)
j
beschreibt die Änderung der inneren Energie E eines thermodynamischen Systems in Abhängigkeit der Änderungen der Entropie S und der verallgemeinerten
extensiven Arbeitsvariablen Xj . Die Temperatur T und die ξj sind die dazu konjugierten intensiven Variablen.
In der statistischen Mechanik werden thermodynamische Variablen als Erwartungswert über alle im System realisierbaren Mikrozustände interpretiert, so z.B.
die Energie mit Hilfe der Energieverteilung pi :
X
E ≡ hEi =
pi E i .
(2.35)
i
Die Entropie als Maß für die Unkenntnis bei Kenntnis des Makrozustands lässt
sich auch mit Hilfe der pi definieren:
X
S = −kB
pi ln pi .
(2.36)
i
10
Kapitel 2. Grundlagen
Im thermischen Gleichgewicht gilt für ein System mit kanonischer Kopplung die
Energieverteilung nach Boltzmann:
exp(− kB1T Ei )
pi = P
.
1
j exp(− kB T Ej )
Eingesetzt
in die Gleichungen (2.36) und (2.34) ergibt sich damit (
P
d( i pi ) = 0)
X
1 X
dpi ln pi +
ξj dXj .
dhEi = −
kB T i
j
(2.37)
P
i
dpi =
(2.38)
Demzufolge lässt sich die Energie eines Systems auf zwei verschiedene Arten ändern:
1. Durch Änderung der Energieverteilung pi . Über Gleichung (2.36) ändert
sich damit auch die Entropie des Systems. Für große thermodynamische
Systeme, bei denen die Boltzmann-Verteilung der pi erhalten bleibt, entspricht dies einer Änderung der Temperatur, also einer Zu- bzw. Abfuhr
von Wärme. In Kapitel 3 wird diese Art der Energiebeeinflussung untersucht.
2. Durch Änderung der extensiven äußeren Parameter Xj . Dadurch wird die
Lage der Energieniveaus Ei und somit das Spektrum des Systems geändert.
Dies entspricht der Verrichtung von Arbeit am oder vom System. Bleiben
die pi bei diesem Prozess konstant, so handelt es sich um eine adiabatische (dS = 0) Zustandsänderung. Kapitel 4 gibt ein Beispiel einer solchen
Änderung in einem kleinen Quantensystem.
Durch Kombination der beiden oben genannten Prozesse lassen sich thermodynamische Maschinen beschreiben, was in Kapitel 5 für Quantensysteme gezeigt
wird.
Kapitel 3
Quantenthermodynamische
Einbettung: Zur Begründung des
Zweiten Hauptsatzes der
Thermodynamik
3.1
Einleitung
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik, der auf viele verschiedene Arten formuliert werden kann, ist eine der fundamentalsten Aussagen über Prozesse in der
Natur. Es handelt sich dabei um eine ’Makroaussage’, d.h. eine Aussage über das
Verhalten makroskopischer Systeme, nämlich die, dass eine gewisse Größe, die
Entropie S eines abgeschlossenen thermodynamischen Systems nur wachsen oder
konstant bleiben kann: ∆S ≥ 0. Diese Makroaussage aus mikroskopischen Relationen abzuleiten, war lange Zeit Gegenstand intensiver physikalischer Forschung
und Diskussion und ist bis zum heutigen Tage nach Meinung vieler immer noch
nicht ausreichend konsistent und allgemein gelungen. Der ’übliche’ Zugang zu
dieser Problematik wird in Unterkapitel 3.2 beschrieben, wobei besonderes Augenmerk auf die mit den klassischen Zugängen verbundenen Probleme gerichtet
wird.
Eine neue und konsistentere Theorie zur Ableitung des Zweiten Hauptsatzes
aus den mikroskopischen Gleichungen der Quantenmechanik wird in Unterkapitel 3.3 beschrieben. Die Grundlage dieses neuen Zugangs bildet die thermodynamische Einbettung des untersuchten Systems in ein größeres System. Durch diese
Einbettung wird es mit Hilfe der Quantenmechanik möglich, jedem einzelnen lokalen Zustand eine Entropie zuzuordnen, was im Klassischen nicht ohne Weiteres
gelingt. Das Spektrum der hier behandelten Systeme bleibt während der zeitlichen
Entwicklung konstant, weswegen dieses Kapitel unter der ersten der in Unterkapitel 2.4 genannten Möglichkeiten der Energieänderung in thermodynamischen
11
12 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
Systemen einzuordnen ist.
In Unterkapitel 3.4 schließlich wird der vom Autor geleistete Teil präsentiert
- numerische Simulationen an bestimmten Modellsystemen, die die Aussagen des
Unterkapitels 3.3 bestätigen.
3.2
Üblicher Zugang zum Zweiten Hauptsatz
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik, also die Aussage, dass thermodynamische Systeme irreversibel in ein zeitlich stationäres Gleichgewicht laufen, ist
ein schönes Beispiel für verschiedene Betrachtungsebenen in der Physik. Stellt
man sich auf eine ’makroskopische’ Betrachtungsebene und kümmert sich nicht
um die mikroskopischen Beweggründe und Relationen der beobachteten Materie, so erscheint es völlig klar, dass Prozesse wie z.B. das unter Abkühlen der
Umgebung ablaufende Wiederzusammensetzen einer Tasse, nachdem diese vom
Tisch gefallen ist, extrem unwahrscheinlich sind. Stellt man sich aber andererseits
auf den Standpunkt, dass die zeitumkehrinvarianten, d.h. reversiblen mikroskopischen Grundgleichungen, die Hamiltonschen Gleichungen bzw. die Schrödingergleichung, das Verhalten physikalischer Systeme komplett beschreiben, so muss
einiges an Aufwand betrieben werden, um aus dieser mikroskopischen reversiblen
Beschreibung irreversible Makrogleichungen zu erhalten, die auch noch die thermodynamisch relevante Größe Entropie beinhalten. Dieser Aufwand kann teilweise vermieden werden, indem die Eigenschaften der Entropie postuliert werden
(Boltzmann-Postulat), was aber von einem deduktiven Standpunkt aus sicherlich
unbefriedigend ist. Ziel sollte eine Ableitung des Zweiten Hauptsatzes sein, die
sich ähnlich dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, der Energieerhaltung,
ohne Zusatzannahmen aus den mikroskopischen Gleichungen ergibt. Einer der
möglichen Wege, sicherlich der etablierteste (der allerdings nicht ohne Zusatzannahmen auskommt), der Zugang über die Gibbssche Ensembletheorie, soll im
Folgenden kurz dargestellt werden.
3.2.1
Die Gibbssche Ensembletheorie
Ein System in der klassischen Mechanik wird durch einen sich im 2f dimensionalen Phasenraum Γ bewegenden Punkt beschrieben, wobei f die Anzahl
der Freiheitsgrade ist und der Phasenraum aufgespannt wird durch die kanonisch konjugierten Variablen {q1 , ..., qf ; p1 , ..., pf }. Ein quantenmechanisches System hingegen wird durch einen Zustandsvektor |Ψ(t)i beschrieben, der sich durch
den N -dimensionalen Hilbertraum H bewegt. In beiden Fällen wird die Bewegung des Zustands im entsprechenden Raum vollkommen durch die jeweiligen
mikroskopischen Grundgleichungen determiniert und formt eine Trajektorie, die
sich auf einer durch den Anfangszustand vorgegebenen ’Energieschale’ bewegt.
In der folgenden Beschreibung werden der klassische und der quantenmechani-
3.2. Üblicher Zugang zum Zweiten Hauptsatz
13
sche Fall analog behandelt, was zwar im Detail ohne genauere Betrachtung nicht
ganz korrekt ist, für den Blick auf die in beiden Systemen existierenden gleichen
deduktiven Probleme aber ausreicht.
Die Gibbssche Ensembletheorie beschreibt des Verhalten eines Systems, dessen Makroobservablen wie Volumen, Temperatur, Druck usw. bekannt sind, durch
das gesamte Ensemble von Punkten im jeweiligen Raum Γ bzw. H, die zu diesem Makrozustand gehören. Motiviert wird diese Art der Beschreibung durch die
Tatsache, dass der wirkliche Mikrozustand, der ja nur einem einzigen Punkt in
Γ bzw. H entspricht, nie genau ermittelt werden kann. Die Entropie des Makrozustands wird definiert als proportional zum Logarithmus der Anzahl Ω der zu
diesem Makrozustand passenden Mikrozustände: S ∝ ln Ω. Für große Systeme
kann von einer diskreten Punktdichte im jeweiligen Raum übergegangen werden
zu einer kontinuierlichen Zustandsdichte w, so dass wdτ die Wahrscheinlichkeit
angibt, das System im infinitesimalen Raumelement dτ anzutreffen. Das thermodynamische System ist dann mit Kenntnis von w vollkommen beschrieben.
Um nun die makroskopischen Messgrößen - die ja Zeitmittel über eine Messzeit
TM ess sind, wobei TM ess viel größer ist als typische Zeiten in der mikroskopischen
Dynamik - mit dieser statistischen Größe w zu verknüpfen, muss eine Annahme
bezüglich des Verhaltens der Trajektorien im jeweiligen Raum gemacht werden,
die Ergoden- bzw. Quasiergodenhypothese [16]. Diese besagt, dass die Trajektorie
des Systems im Laufe ihrer Entwicklung jeden Punkt im zugänglichen Bereich
des Phasen- bzw. Hilbertraums erreicht, bzw. jedem Punkt beliebig nahe kommt
(Quasiergodenhypothese). Daraus lässt sich schließen, dass das Zeitmittel einer
Größe auf einer Trajektorie für T → ∞ gleich dem Scharmittel der Größe ist,
also
t
Γ
t
H
A = A bzw. A = A
(3.1)
wobei die überstrichenen Größen die Mittelwerte im klassischen bzw. quantenmechanischen Fall sind:
Z t2
1
t
A ≡ lim
A [{qi (t), pi (t)} bzw. |Ψ(t)i] dt
(t2 −t1 )→∞ t2 − t1 t1
Z
1
Γ bzw. H
A
≡
A [{qi , pi } bzw. |Ψi] w [{qi , pi } bzw. |Ψi] dτ .
V [Γ bzw. H] Γ bzw. H
(3.2)
Mit Hilfe des Liouvilleschen Satzes lässt sich leicht zeigen, dass w zeitlich
= 0. Dies aber widerspricht der Beobachtung. Präpariert man
konstant ist: dw
dt
ein System in einem genau vorgegebenen Mikrozustand, d.h. w(t = 0) ist eine
in Γ bzw. H scharf lokalisierte Funktion, und lässt man das System sich z.B.
unter mikrokanonischen Bedingungen entwickeln, so läuft es ganz bestimmt in
ein Gleichgewicht, das über die Ergodenhypothese durch eine über den gesamten Raum gleichmäßig verteilte Phasen- bzw. Hilbertraumdichte wmk beschrieben
wird. Die Beobachtung ist also im Widerspruch zur Theorie, dem Liouvilleschen
14 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
Satz, der eine Erhaltung von w fordert. Um dies wieder in Einklang zu bringen,
führt man eine grobmaschige Zelleinteilung (coarse graining) [17] ein und begründet diese über die Unmöglichkeit sowohl der genauen Kenntnis als auch der
genauen Messbarkeit des Systems. Gewöhnlich wird der jeweilige Raum in Zellen
eingeteilt, die wesentlich größer als h3N sind und ’schmiert’ die Zustandsdichte w
innerhalb dieser Zellen aus, um eine grobmaschige Phasen- bzw. Hilbertraumdichte w̃ zu erhalten. Für diese
P lässt sich nun eine Mastergleichung formulieren und
dafür eine Größe H = k w̃k ln w̃k (w̃k ist die Wahrscheinlichkeit, das System in
der grobmaschigen Zelle k zu finden), die tatsächlich das vom Zweiten Hauptsatz
≤ 0 (beachte das Vorzeichen im Vergleich zur Defigeforderte Verhalten zeigt: ∂H
∂t
nition der Entropie). Die grobmaschige Zelleinteilung führt also in gewisser Weise
künstlich Irreversibilität ein, indem sie über die Mastergleichung den ganzen damit verbundenen Apparat an Methoden und Formalismen für thermodynamische
Systeme nutzbar macht [18].
3.2.2
Probleme
Zwei Kernpunkte des oben kurz dargestellten Zugangs zur Irreversibilität sind
nicht voll befriedigend, um den Zugang eine Ab- oder Herleitung nennen zu können:
1. Die Ergodenhypothese bzw. Quasiergodenhypothese und die Verknüpfung zu Messgrößen ist mit einigen mathematischen wie anschaulichen
Problemen verbunden [19]. Das größte Problem ist sicherlich die Nichtbeweisbarkeit der Hypothesen für allgemeine thermodynamische Systeme.
Auch wurden thermodynamische Systeme gefunden, für die gezeigt werden
kann, dass sie eben nicht ergodisch sind. 1932 führte von Neumann eine
noch strengere Eigenschaft ein, die statt der Ergodizität für thermodynamisches Verhalten gefordert werden muss, das Mischen [20], das auch nicht
als allgemeine Systemeigenschaft abgeleitet werden kann. Ein weiteres Problem stellt die Vorstellung dar, ein Messergebnis sei Zeitmittel über eine
unendlich lange Messzeit. Die Entropie ist im klassischen Zugang eine Eigenschaft des gedanklichen Konstrukts Ensemble und nicht die Eigenschaft
eines jeden Zustands zur Zeit t. Erst nachdem der Zustand während der
Messzeit TM ess einen genügend großen Raum seines zugänglichen Bereichs
im Phasen- bzw. Hilbertraum ’besucht’ hat, kann man ihm eine Entropie
zuordnen. Schöner wäre hier eine echte Zustandsgröße S({qi , pi } bzw. |Ψi),
die jedem Punkt {qi , pi } bzw. |Ψi im entsprechenden Raum einen Wert
für die Entropie zuweist. Genau dazu ist die Quantenmechanik in der Lage
(siehe Unterkapitel 3.3).
2. Die Irreversibilität wird im oben beschriebenen Zugang künstlich über das
coarse graining eingeführt. Dabei ist die Zellgröße der grobmaschigen
Einteilung willkürlich, was für eine echte Ableitung unbefriedigend ist.
3.3. Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz
15
Neben dem beschriebenen Zugang zum Zweiten Hauptsatz finden sich in den vielen Lehrbüchern zur statistischen Mechanik noch einige weitere Zugänge, die aber
entweder nicht die reversiblen Grundgleichungen als Basis und Ausgangspunkt ihrer Analyse wählen oder, genau wie der oben beschriebene Zugang, nicht ohne
die erwähnten Zusatzannahmen auskommen. Einen guten Überblick bietet [21].
Der neue, in Unterkapitel 3.3 beschriebene Zugang, benötigt keine dieser zusätzlichen Annahmen mehr.
3.3
Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten
Hauptsatz
Der neue Zugang über die Quantenmechanik zum Zweiten Hauptsatz [22][23][24]
nutzt Aussagen über die Größe bestimmter Regionen im zugänglichen Teil des Hilbertraums H und deren lokale Eigenschaften. Grundsätzlich setzt dieser Zugang
Systeme voraus, die - und somit auch ihr Hamiltonian - sich in zwei Subsysteme,
das beobachtete System, im Folgenden ’Gas’ ’g’ genannt, und die Umgebung, den
’Container’ ’c’, aufspalten lassen:
Ĥ = (Ĥ g )0 + Ĥ c + (Ĥ W W )0 .
(3.3)
Eine solche Aufspaltung muss als generisch gelten, da es streng isolierte Systeme
nicht gibt. Selbst Systeme im Vakuum wechselwirken immer mit dem elektromagnetischen Feld. (Ĥ W W )0 ist die Wechselwirkung zwischen den beiden Subsystemen ’freies Gas’ und ’fester Container’. Um nun nur die über das ’Im-festenVolumen-halten’ hinausgehenden Wechselwirkungen im Zusatzterm zu berücksichtigen, werden zwei Terme umdefiniert:
Ĥ g ≡ (Ĥ g )0 + V̂ ,
Ĥ W W ≡ (Ĥ W W )0 − V̂
(3.4)
Ĥ = Ĥ g + Ĥ c + Ĥ W W ≡ Ĥ (0) + Ĥ W W .
(3.5)
und somit
V̂ soll dabei als effektives Potential den mittleren Effekt des ’Containers’ auf das
’Gas’ beschreiben, d.h. V̂ sorgt für das feste Volumen des ’Gases’. Die Restwechselwirkung Ĥ W W zwischen den beiden Subsystemen soll nun klein sein in dem
Sinne, dass ihr Erwartungswert zu einem beliebigen Zustand klein ist gegen die
Erwartungswerte der lokalen Hamiltonians:
hĤ W W i ¿ {hĤ g i, hĤ c i} .
(3.6)
Ein einzelnes abgeschlossenes System ist immer durch einen Zustandsvektor
beschreibbar, dessen Entropie gleich Null bzw. dessen Purity gleich Eins ist (siehe Abschnitt 2.3.2). Erst durch die Betrachtung der reduzierten Dichtematrix
16 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
eines in ein größeres System eingebetteten Subsystems kann lokale von-Neumann
Entropie ungleich Null entstehen.
Zunächst wird in [22] für die Purity und in [23] für ein allgemeines Zustandsmaß M über eine spezielle Parametrisierung des Gesamtzustands |Ψi
RT
t
gezeigt, dass das Zeitmittel M = T1 0 M (|Ψ(t)i)dt gleich dem Pfadmittel
R |Ψ(T )i
P
M = L1 |Ψ(0)i M ({Re(Ψn ), Im(Ψn )})|d|Ψi| entlang jeder beliebigen Trajektorie
ist. Dabei wird ausgenutzt, dass die effektive Geschwindigkeit des Zustands auf
jeder Trajektorie konstant ist:
´
X³
1
2
2
2
vef f =
(Re(Ψ̇n )) + (Im(Ψ̇n )) = 2 hΨ(0)|Ĥ 2 |Ψ(0)i = const. .
(3.7)
~
n
Im Folgenden wird nun zwischen mikrokanonischer und kanonischer Kopplung
zwischen den beiden Subsystemen unterschieden.
3.3.1
Mikrokanonische Kopplung
Die mikrokanonische Kopplung ist definiert durch die jeweilige Energieerhaltung
in beiden Subsystemen, d.h. die Erwartungswerte der beiden Teil-Hamiltonians
müssen konstant sein: hĤ g i = const., hĤ c i = const. Mit Gleichung (2.17) folgt
daraus
h
i
h
i
!
!
Ĥ g , Ĥ = 0 ,
Ĥ c , Ĥ = 0
(3.8)
und da Ĥ (0) ≡ Ĥ g + Ĥ c eine Diagonalmatrix ist, kann für Ĥ in Gleichung (3.8)
auch Ĥ W W eingesetzt werden. Es bleibt also bei dieser Kopplung nicht nur die
Energieverteilung des Gesamtsystems ptot (E tot ) erhalten, sondern jeweils auch die
Energieverteilungen der beiden Subsysteme pg (E g ) und pc (E c ). Die minimale, mit
diesen Randbedingungen vereinbare Purity des Subsystems ’Gas’ ist
g
=
Pmin
X (pg (E g ))2
Eg
N g (E g )
,
(3.9)
wobei die N g (E g ) die Entartungsgrade im ’Gas’ zur Energie E g sind.
Im mikrokanonischen Fall kann nun das Mittel der Purity des Subsystems
’Gas’ über den zugänglichen, durch die Bedingungen (3.8) eingeschränkten Bereich direkt berechnet werden [22] und ergibt für große Entartungsgrade N c im
’Container’
X (pg (E g ))2 X (pc (E c ))2
H
Pg ≈
+
.
(3.10)
g (E g )
c (E c )
N
N
g
c
E
E
Ist N c (E c ) À N g (E g ) und/oder die Energieverteilung pc (E c ) im ’Container’ wesentlich breiter als die im ’Gas’, so ist der zweite Term in Gleichung (3.10) vernachlässigbar gegenüber dem ersten, der genau der minimalen Purity des ’Gases’
3.3. Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz
17
(Gleichung (3.9)) entspricht. Das Hilbertraummittel der Purity des ’Gases’ P g im
zugänglichen Bereich weicht also für die oben genannten Bedingungen nur sehr
gering vom minimalen Wert der Purity ab, d.h. fast alle von der Trajektorie erreichbaren Zustände haben minimale Purity und nur wenige kleine Regionen im
zugänglichen Bereich von H eine höhere Purity bis hin zu P g = 1. Wandert nun
die Trajektorie des Systems mit konstanter Geschwindigkeit (Gleichung (3.7))
durch den zugänglichen Bereich des Hilbertraums, so ist es sehr wahrscheinlich,
g
dass sowohl das Zeitmittel als auch der momentane Wert der Purity gleich P min
sind. Eine ähnliche Betrachtung kann für die lokale von-Neumann Entropie des
’Gases’ S g (Abschnitt 2.3.2) angestellt werden und führt zu dem Ergebnis, dass
g
für die selben oben genannten Bedingungen S g ≈ Smax
für fast alle Punkte des
zugänglichen Bereichs gilt.
g
S g = Smax
ist die Aussage der klassischen Thermodynamik über das thermodynamische Gleichgewicht und somit können die in der obigen Herleitung verwendeten Bedingungen als eine mögliche Definition eines thermodynamischen
Systems aufgefasst werden, in dem Sinne, dass es einem solchen System möglich
ist, in einen Gleichgewichtszustand zu laufen, der durch die klassische Thermodynamik vorhergesagt wird:
1. Ein thermodynamisches System muss aufspaltbar sein in das eigentlich zu
beobachtende System ’Gas’ und die Umgebung ’Container’. Die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Subsystemen darf nur klein sein im Vergleich
zu den in den Subsystemen auftretenden Energien (Gleichung (3.6)).
2. Das Umgebungssubsystem muss groß sein gegenüber dem beobachteten System in dem Sinne, dass entweder die Entartungsgrade des ’Containers’ wesentlich größer sind als die des ’Gases’ oder die Energieverteilung im ’Container’ wesentlich breiter ist als im ’Gas’.
Einer der Unterschiede zwischen den beiden in den Unterkapiteln 3.2 und 3.3
dargestellten Zugängen und gleichzeitig einer der wesentlichen Vorteile des neuen Zugangs gegenüber dem alten soll in Abbildung 3.1 dargestellt werden.
Abbildung 3.1(a) zeigt die durch die Schrödingergleichung determinierte Bewegung des Zustandsvektors |Ψi im zugänglichen Bereich des Hilbertraums H 0 . Die
Trajektorie soll dabei die (Quasi-)Ergodenhypothese verdeutlichen: Für den ’üblichen Zugang’ aus Unterkapitel 3.2 ist eine Aussage über alle Punkte in H0 nötig,
nämlich die, dass |Ψi im Laufe seiner Entwicklung jedem Punkt beliebig nahe
kommt. Abbildung 3.1(b) hingegen zeigt die wesentlich schwächere Forderung
für thermodynamisches Verhalten für den neuen, in diesem Unterkapitel dargestellten Zugang: Der ganz überwiegende Teil des zugänglichen Bereichs des
Hilbertraums besitzt die lokale Eigenschaft fast minimaler Purity im Subsystem
’Gas’. Präpariert man nun das System in einem kleinen Bereich in H 0 , in dem
P g ≈ 1 gilt, so ist nur zu fordern, dass |Ψi diesen Bereich verlässt. Es ist keinerlei Aussage über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Zustands im Rest von H 0
18 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
|Ψ(t)i
ρ̂g (t)
P g ≈1
|Ψ(t)i
PSfrag replacements
ρ̂g,d
PSfrag replacements
PSfrag replacements
H0
(a) üblicher Zugang: Ergodenhypothese
g
P g,d ≈Pmin
H0
D
(b) neuer Zugang: Einbettung
(c) Verhalten des reduzierten Dichteoperators
ρ̂g
Abb. 3.1: Gegenüberstellung der beiden verschiedenen Zugänge zum Zweiten
Hauptsatz. H0 ist der zugängliche Bereich des Hilbertraums, D der reduzierte
Hilbertraum des Subsystems ’Gas’.
nötig. Sobald das System den kleinen Bereich mit P g ≈ 1 verlassen hat, ist die
Wahrscheinlichkeit, es in einem Zustand minimaler Purity also maximaler lokaler
Entropie vorzufinden, überwältigend groß. Die Irreversibilität wird offensichtlich,
wenn man sich den kleineren Raum D des reduzierten Dichteoperators ansieht
(Abbildung 3.1(c)). Die Evolution startet mit einem ganz bestimmten ρ̂ g und
läuft dann in das Gleichgewichts-ρ̂g (“dominantes” ρ̂g,d ) minimaler Purity, um um
diesen Punkt noch leicht zu fluktuieren. Die Projektion von H 0 auf D macht dies
deutlich, das große, dominante, fast den gesamten zugänglichen Bereich des Hilg
bertraums ausfüllende Gebiet mit P g,d ≈ Pmin
entspricht der kleinen grau und
schwarz gezeichneten Region in D.
3.3.2
Kanonische Kopplung
Im Falle der kanonischen Kopplung [23] zwischen ’Gas’ und ’Container’ ist Energieaustausch zwischen den beiden Subsystemen erlaubt, womit die Bedingung
(3.8) wegfällt. Einzige Einschränkung für den einem bestimmten Zustand zugänglichen Bereich im Hilbertraum ist die Erhaltung der Energieverteilung p tot (E tot )
des Gesamtsystems (siehe Abschnitt 2.1.3). Über eine Extremalrechnung mit Hilfe eines Lagrangeparameters lässt sich nun zeigen, dass es ein extremales Gebiet
in dieser zugänglichen Region von H gibt, das sich dadurch auszeichnet, dass in
ihm eine ganz bestimmte Energieverteilung vorliegt, nämlich
pd (E g , E c ) =
N g (E g )N c (E c ) tot tot
p (E ) .
N tot (E tot )
(3.11)
Des Weiteren kann über eine Untersuchung mit Hilfe einer kleinen Abweichung
² gezeigt werden, dass dieses extremale Gebiet das größte, und für große N tot
tatsächlich das dominante Gebiet im zugänglichen Teil des Hilbertraums ist.
3.3. Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz
19
Aus Gleichung (3.11) lässt sich durch Summation über den hier nicht interessierenden Teil des ’Containers’ die für das ’Gas’ lokale Wahrscheinlichkeitsverteilung der ’Gas’energien E g der dominanten Region berechnen:
pg,d (E g ) =
X
pd (E g , E c ) = N g (E g )
X N c (E c )ptot (E tot )
N tot (E tot )
Ec
Ec
.
(3.12)
Diese lokale Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch für kontinuierliche Systeme mit Hilfe der Zustandsdichten ng (E g ), nc (E c ), ntot (E tot ) schreiben:
Z ∞ tot tot
p (E ) c tot
g,d
g
g
g
n (E − E g ) dE tot .
(3.13)
p (E ) = n (E )
tot
tot
n
(E
)
Eg
Befindet sich das Gesamtsystem in einem Zustand scharfer Energie U (p tot (E tot ) =
δ(E tot − U )), so vereinfacht sich Gleichung (3.13) zu
pg,d (E g ) =
ng (E g )nc (U − E g )
.
ntot (U )
(3.14)
Dies ist genau die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auch von früheren Theorien
für das thermodynamische Gleichgewicht bei kanonischer Kopplung vorhergesagt
wird. Nun aber sind, genau wie im Fall mikrokanonischer Kopplung, keine der in
den ’üblichen’ Herleitungen nötigen problematischen Schritte wie coarse graining
oder die Quasiergodenhypothese nötig (siehe Abschnitt 3.2.2). Die Argumentation ist die gleiche wie im mikrokanonischen Fall: Bedingt durch die überragende
Dominanz eines Gebietes im der Dynamik zugänglichen Teil des Hilbertraums
mit einer bestimmten lokalen Eigenschaft, und durch die Tatsache, dass dieser
zugängliche Teil mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, das System zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb dieses dominanten Gebietes zu finden, überragend groß.
Um schließlich zu dem aus der Thermodynamik bekannten Resultat
pg,d (E g ) ∝ ng (E g )e
g
− kE T
B
(3.15)
zu gelangen, werden die Standardannahmen der Thermodynamik über große Systeme gemacht [25]:
• Der Entartungsgrad steigt exponentiell mit der Energie.
• Die Funktion
konzentriert.
ptot (E tot )nc (E tot )
ntot (E tot )
ist scharf um einen bestimmen Wert E = U
• Die Temperatur des Systems im Gleichgewicht wird eingeführt durch
d
die Definition kB1T ≡ dU
ln nc (U ).
Der genaue Weg kann in Büchern der Thermodynamik oder Statistischen
Mechanik gefunden werden.
20 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
3.4
3.4.1
Signaturen thermodynamischen Verhaltens:
Numerische Simulationen
Einleitung
Um die in Unterkapitel 3.3 dargestellte neue Herleitung des Zweiten Hauptsatzes zu verifizieren und ein Gefühl für den Gültigkeitsbereich dieser Theorie zu
bekommen, bestand ein wesentlicher Teil dieser Diplomarbeit darin, Modelle zu
entwerfen und auszuwerten, die die entsprechenden Voraussagen überprüfen können. Diese Modelle sollten möglichst abstrakt und somit allgemeingültig sein,
also möglichst wenig Bedingungen an das dem jeweiligen Modell zugrundeliegende physikalische System stellen (anders als z.B. in [26]).
Numerisch sind die folgenden Simulationen nur in dem Sinne, dass der Computer zum Auswerten von Gleichungen mit bestimmten Parametern verwendet
wird. Die Gleichungen selbst, die die beobachtete Dynamik beschreiben, sind vollständig analytisch hergeleitet, d.h. durch die Verwendung des Computers entsteht
in diesen Rechnungen kein Fehler wie das z.B. bei der numerischen Integration
einer Differentialgleichung der Fall wäre.
Wie im Folgenden gezeigt wird, bestätigen die Simulationen die Vorhersagen
der Theorie über Signaturen thermodynamischen Verhaltens in exakt lösbaren
zusammengesetzten Quantensystemen. Sie zeigen aber auch Gültigkeitsgrenzen
und Ansatzpunkte für eine weitere Untersuchung insbesondere für den Gang ins
Gleichgewicht.
3.4.2
Hamilton-Modelle für eingebettete Zwei-NiveauSysteme
Das für die Simulationen verwendete Matrix-Modell macht keinerlei Aussagen
über die tatsächliche physikalische Realisierung. Die verwendeten Methoden und
Programme sind die gleichen für die mikrokanonische und kanonische Kopplung,
das Modell an sich muss aber geringfügig verändert und somit an die verschiedenen Kopplungen angepasst werden. Dabei werden im Folgenden alle zu einer
bestimmten Energie gehörenden Niveaus in ihrer Gesamtheit als Level bezeichnet, d.h. ein Energielevel ist entartet und spaltet sich entsprechend seines Entartungsgrades in eine bestimmte Anzahl Energieniveaus auf. Energieniveaus (z.B.
des ’Gases’) sind immer nicht entartet.
Energiespektrum
Das Modellsystem ist aufgeteilt in zwei Subsysteme: Das eigentlich zu beobachtende System, das ’Gas’ g, sowie das größere Umgebungssystem, der ’Container’
c. Das denkbar einfachste Modell für das ’Gas’ ist ein Zweiniveausystem ohne
Entartung mit dem Energieabstand ∆E g .
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
PSfrag replacements
"Gas"
21
"Container"
|1ig
Nc
∆E g
|0i
g
WW
Abb. 3.2: Energiespektrum für den Fall mikrokanonischer Kopplung. N c ist der
Entartungsgrad des ’Container’levels.
Für die beiden verschiedenen Kopplungen zwischen ’Gas’ und ’Container’ werden effizienterweise verschiedene Modell-Spektren für den ’Container’ verwendet.
• Mikrokanonische Kopplung
Da kein Energieaustausch stattfindet zwischen ’Gas’ und ’Container’ und
somit auch keine energetischen Übergänge innerhalb der Subsysteme möglich sind, reicht es in diesem Fall aus, nur ein einziges Energielevel mit
N c -facher Entartung (also N c Niveaus) im ’Container’ in der Simulation
zu berücksichtigen. Abbildung 3.2 zeigt das verwendete Energiespektrum,
aufgeteilt in ’Gas’ und ’Container’.
• Kanonische Kopplung
In diesem Fall ist zur Ermittlung der Zahl der zur vollständigen Simulation zu berücksichtigenden Energielevels der Anfangszustand entscheidend. Beschränkt man sich auf Anfangszustände mit scharfer Energie im
’Container’, lässt aber eine beliebige Energieverteilung über die zwei ’Gas’Energieniveaus zu, so müssen nur zwei weitere Energielevels in das Modell
mit eingebunden werden, unabhängig davon, wie das Spektrum des ’Containers’ außerhalb dieser insgesamt dann drei Energien aussieht.
Ist E2c die anfängliche scharfe Energie im ’Container’, so treten in einem
solchen System die beiden Gesamtenergien E1tot = E1g + E2c und E2tot = E2g +
E2c auf. Diese müssen auf Grund der Erhaltung der Gesamtenergieverteilung
ptot (E tot ) (siehe Abschnitt 2.1.3) jeweils auch durch Produktzustände der
jeweils anderen ’Gas’-Zustände mit ’Container’-Zuständen realisierbar sein,
d.h.
!
!
(3.16)
E1tot = E2g + E1c und E2tot = E1g + E3c ,
woraus
E1c = E2c − ∆E g
und E3c = E2c + ∆E g
(3.17)
folgt. Das tatsächliche Energiespektrum des ’Containers’ kann durchaus
kontinuierlich sein, es können also viele Niveaus zwischen diesen drei liegen. Diese spielen auf Grund der Erhaltung von ptot (E tot ) durch die Schrödingergleichung aber keine Rolle für die Dynamik. Abbildung 3.3 zeigt das
22
Kapitel
3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
PSfrag
replacements
Hauptsatzes der Thermodynamik
"Gas"
"Container"
|1i
∆E g
|2ic
g
g
|0i WW
|1ic
|0i
c
nc3
∆E g
nc2
∆E g
nc1
Abb. 3.3: Energiespektrum für den Fall kanonischer Kopplung und scharfer Energieanfangszustände mit Energie E2c im ’Container’. Die nci sind die Entartungsgrade der entsprechenden ’Container’levels |iic .
verwendete Energiespektrum aufgeteilt in ’Gas’ und ’Container’ für diesen
Fall.
Basis
Als Basis für die Zustände des Gesamtsystems wird die Produktbasis der nichtwechselwirkenden Subsysteme gewählt.
• Mikrokanonische Kopplung
Beinhaltet der ’Container’ N c Niveaus, so lässt sich der Gesamtzustandsvektor so anordnen, dass die ersten N c Einträge zum Zustand |0ig des ’Gases’
gehören und die anderen N c zum angeregten Zustand im ’Gas’, |1ig :

Ψ0
..
.



 Ψ c
|Ψi =  N −1
 ΨN c

..

.
Ψ2N c −1















zu |0ig
.
(3.18)
zu |1ig
• Kanonische Kopplung
Die zwei Hälften des |Ψi-Vektors aus Gleichung (3.18) spalten sich nun
jeweils wiederum in drei Teile auf, entsprechend den drei verschiedenen
Energielevels des ’Containers’ und deren Entartungsgraden n ci (N c = nc1 +
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
nc2 + nc3 ). Dargestellt ist hier die erste Hälfte von |Ψi:




Ψ0


..




c



.
zu
|0i







 Ψnc1 −1 









Ψnc1




..
c


zu
|1i
zu |0ig
.





 Ψ c c 


 n1 +n2 −1 



 Ψ c c 




n1 +n2 

c



.
zu
|2i

..





ΨN c −1
.
23
(3.19)
Hamilton-Matrices
Der wechselwirkungsfreie Hamiltonian des Gesamtsystems ist die Summe der beiden Subsystem-Hamiltonians, die sich immer in der Basis der Energieeigenzustände in Diagonalform aufschreiben lässt. Die Wechselwirkung zwischen ’Gas’ und
’Container’ wird auf diesen Grund-Hamiltonian aufaddiert und ist somit eine
2N c × 2N c -dimensionale hermitesche Matrix:
Ĥ = Ĥ (0) + Ĥ W W = Ĥ g ⊗ 1̂c + 1̂g ⊗ Ĥ c + Ĥ W W .
(3.20)
Da spezielle Aussagen über die Wechselwirkung der beiden Subsysteme nicht
gemacht werden können und auch nicht gemacht werden sollen - die Allgemeingültigkeit des Modells soll gewährleistet bleiben - werden als Einträge in Ĥ W W
Zufallszahlen verwendet. Dabei ist die Belegung der Matrix Ĥ W W mit Zufallszahlen abhängig von der Art der Kopplung zwischen ’Gas’ und ’Container’.
• Mikrokanonische Kopplung
Ĥ (0) kann in diesem Fall in Blockform geschrieben werden, wobei jeder der
vier diagonalen Blocks die Dimension N c × N c hat:
 g

E1 + E c 0
0
0
...
0
..
...
...


0
.
0
0




g
c
0
0
E
+
E
0
0
0


(0)
1
Ĥ = 
 . (3.21)
g
c
0
0
0
...
0
E2 + E




..
...
...


0
.
0
0
0
0
0
0
0 E2g + E c
Die mikrokanonische Kopplung erlaubt keinen Energieaustausch zwischen
den beiden Subsystemen. Aus Gleichung (3.8) folgt dann, dass Ĥ W W ebenfalls Blockform haben muss, wobei alle Elemente des rechten oberen sowie des linken unteren Blocks Null sein müssen. Für alle anderen Einträge
24 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
in Ĥ W W werden sowohl für die Real- wie auch die Imaginärteile um Null
Gauß-verteilte Zufallszahlen gewählt. Zu beachten ist, dass die Diagonalelemente der Matrix auf Grund der Hermitezität nur reell sein dürfen. (Zur
verschiedenen Verteilung der Diagonal- und Nichtdiagonalelemente siehe
weiter unten.)
Mit einer Wechselwirkungsmatrix Ĥ W W , die nur Zufallseinträge auf der
Diagonalen enthält, entsteht keine interessante Dynamik, da in diesem Fall
die Betragsquadrate der einzelnen Komponenten des Zustandsvektors erhalten bleiben: |Ψn |2 = const.. Das Nichtdiagonalelement der reduzierten
Dichtematrix des ’Gases’ ρg01 und damit auch die Purity des ’Gases’ P g
bleiben ebenfalls konstant: Mit den Gleichungen (3.34) und (3.38):
ρg01 =
N
−1
X
a0 bk a∗1 b∗k = a0 a∗1
k=0
N
−1
X
k=0
|bk |2 = const. .
(3.22)
• Kanonische Kopplung
Durch die zusätzlichen Energielevels im ’Container’ kommt es zu einer weiteren Aufspaltung in der Struktur des Hamiltonians:

Ĥ (0)













=













E1g +E1c
0
0
0
...
E1g +E2c
0
0
0
0
0
0
0
0
...
c
E1g +E3c
0
(N × N c - Matrix)
0
...
E2g +E1c
0
c

0
0
0
0
...
E2g +E2c
0
c
(N × N - Matrix)
0
0
0
0
0
...
E2g +E3c
0
(3.23)
Die Dimensionen der jeweiligen Unterräume sind die Entartungsgrade des
’Containers’ nc1 , nc2 und nc3 . Die Hauptunterteilung in die beiden zu |0ig bzw.
|1ig gehörenden Blocks bleibt erhalten.
Nun ist der Energieaustausch zwischen den beiden Subsystemen erlaubt und
somit die einzige Bedingung an Ĥ W W die Hermitezität HijW W = (HjiW W )∗ .
Um die Allgemeingültigkeit der Simulationen zu gewährleisten, werden wie-
0
...













.













3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
25
derum hermitesche Zufallsmatrices benutzt, die nun auf dem Raum der
hermiteschen Matrices gleichverteilt sein sollen.
Diese Forderung führt zu zwei Bedingungen an die Wahrscheinlichkeitsverteilung
P (Ĥ W W ) der Wechselwirkungsmatrices [27][28]:
• Die Verteilung P (Ĥ W W ) soll invariant sein unter unitären Transformationen
der Matrices.
• Die einzelnen, frei wählbaren Einträge einer Diagonalhälfte der Matrices sollen völlig unkorreliert sein, was zu einem Produktansatz für die Verteilung
der Matrices führt:
Y
P (Ĥ W W ) =
Pij (ĤijW W ) .
(3.24)
i,j; i≤j
Die Verteilung
Ã
Sp{(Ĥ W W )2 }
P (Ĥ W W ) = C exp −
2σ 2
!
(3.25)
erfüllt diese beiden Bedingungen, wobei C eine Normierungskonstante ist und σ
die Breite der Verteilung angibt und damit die Energieskala festlegt. Die Spur in
Gleichung (3.25) kann umgeschrieben werden:
X
X
X
ĤijW W (ĤijW W )∗
Sp{(Ĥ W W )2 } =
hi|Ĥ W W |jihj|Ĥ W W |ii =
(ĤiiW W )2 + 2
i,j
=
X
i
i<j
i
(ĤiiW W )2 + 2
X
i<j
(Re(ĤijW W ))2 + 2
X
(3.26)
(Im(ĤijW W ))2
(3.27)
i<j
und durch Vergleich mit dem Produktansatz aus Gleichung (3.24) erhält man daraus die folgenden Verteilungen der Matrixelemente mit verschiedenen Varianzen
σ und σ̃ (σ̃ 2 = 12 σ 2 ) für die Diagonal- bzw. Nichtdiagonalelemente:
µ
¶
1
(HiiW W )2
WW
exp −
PHiiW W (Hii ) = √
(3.28)
2σ 2
2πσ 2
à ¡ ¡
¢¢2 !
¡ ¡ W W ¢¢
Re HijW W
1
= √
PRe(H W W ) Re Hij
exp −
(3.29)
ij
2σ̃ 2
2πσ̃ 2
à ¡ ¡
¢¢2 !
¡ ¡ W W ¢¢
Im HijW W
1
. (3.30)
exp −
PIm(H W W ) Im Hij
= √
ij
2σ̃ 2
2πσ̃ 2
Erzeugt werden die Zufallszahlen jeweils mit der Routine float gasdev(long
*idum) der numerical recipes [29], die um Null mit der Standardabweichung Eins
26 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
normal/Gauß-verteilte Zufallszahlen liefert. Die Zufallszahlen die für die Diagonalelemente eingesetzt
werden, werden entsprechend den obigen Verteilungen mit
√
einem Faktor 2 multipliziert. Ein weiterer, im Programm WW_Staerke genannter Faktor α, mit dem alle Zufallszahlen multipliziert werden, legt die Breite σ̃
der Verteilung fest.
Ein Maß für die Gesamtstärke der Wechselwirkung stellt somit der Mittelwert
aller Beträge der Einträge in Ĥ W W dar (2N c ×2N c ist die Dimension der Matrix):
2
² =
P
|HijW W |
.
(2N c )2
(3.31)
Für die von der Routine der numerical recipies (σ̃ = 1) gelieferten Zufallszahlen
W
gilt für große N c und kanonische Ĥ Wq
(Einträge ungleich Null in allen Elementen
2
der Wechselwirkungsmatrix): ²2 ≈
. Mit dem Faktor α zum Einstellen der
π
q
Stärke der Wechselwirkung ²2 ≈ π2 α.
Durch die Wechselwirkung wird die ursprüngliche Entartung innerhalb der
Energielevels aufgehoben, die oben definierten Basisvektoren sind keine Eigenvektoren des Gesamt-Hamiltonians Ĥ mehr. Da die Wechselwirkung aber klein
gegenüber den lokalen Energien im System ist (Gleichung (3.6)), werden die ursprünglich entarteten Energien nur leicht aufgespalten. Die zu Beginn von Abschnitt 3.4.2 beschriebene Unterscheidung in ’Levels’ und ’Niveaus’ wird beibehalten.
Anfangszustand
Als Anfangszustände zur Zeit t = 0 werden nur Produktzustände der Subsystemzustände |ψ g i und |ψ c i verwendet:
|Ψ(t = 0)i = |ψ g i ⊗ |ψ c i (= |iig ⊗ |jic = |iji)
(3.32)
wobei der eingeklammerte Teil nur für Zustände mit scharfer Energie gilt. Mit
dem zweidimensionalen Zustandsvektor |ψ g i und dem N c -dimensionalen Zustandsvektor |ψ c i
g
|ψ i =
µ
a0
a1
¶
,



|ψ c i = 

b0
b1
..
.
bN c −1





(3.33)
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
lässt sich der Anfangszustand folgendermaßen schreiben:

a0 b 0
 a0 b 1

..

.


 ab c
|Ψ(t = 0)i = |ψ g i ⊗ |ψ c i =  0 N −1
 a1 b 0

 a1 b 1

..

.
a1 bN c −1
27







.





(3.34)
Zu einem späteren Zeitpunkt t lässt sich im Allgemeinen der Gesamtzustandsvektor |Ψi nicht mehr als ein solches Produkt schreiben. Aussagen über die Subsysteme sind dann nur noch mit Hilfe der reduzierten Dichtematrices möglich (siehe
Unterkapitel 2.3).
Um einen Zerfall des Nichtdiagonalelements der reduzierten Dichtematrix und
damit der Purity des ’Gases’ zu beobachten, muss mit einer unscharfen Energieverteilung im ’Gas’ gestartet werden, d.h. |a0 |2 und |a1 |2 müssen ungleich Null
sein (vergleiche Gleichungen (3.34) und (3.38)).
Berechnung der relevanten Subsystem-Größen
|Ψi ist der Zustand des Gesamtsystems und bleibt während der gesamten Evolution immer ein reiner Zustand. Die Dichtematrix des Gesamtzustands ist also
ρ̂ = |ΨihΨ| : 2N c × 2N c -Matrix mit den Einträgen ρij = Ψi Ψ∗j .
(3.35)
Wie in Gleichung (2.26) lässt sich die reduzierte Dichtematrix des Subsystems
’Gas’ berechnen:
X
ρgij =
hik|ρ̂|jki .
(3.36)
k
Für die vier Komponenten ergibt sich
c
ρg00
c
N
−1
N
−1
X
X
X
=
h0k|ρ̂|0ki =
ρkk =
|Ψk |2
k
ρg01 = (ρg10 )∗ =
X
h0k|ρ̂|1ki =
k
ρg11 =
X
h1k|ρ̂|1ki =
k
k=0
c −1
N
X
ρkk+N c =
k=0
c −1
2N
X
k=N c
k=0
c −1
N
X
ρkk =
k=0
c −1
2N
X
k=N c
Ψk Ψ∗k+N c
|Ψk |2 .
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Die Purity des Subsystems g (Abschnitt 2.3.2) ist die Spur des Quadrats der
reduzierten Dichtematrix:
P g = Sp{(ρ̂g )2 } = (ρg00 )2 + 2ρg01 ρg10 + (ρg11 )2
(3.40)
28 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
und
P2N c −1unter 2 Ausnutzung
|Ψk | = 1:
k=0
Pg = 1 − 2
c −1
N
X
k=0
2
der
|Ψk | + 2
Normierung
ÃN c −1
X
k=0
|Ψk |
2
!2
des
Gesamtzustandsvektors,
¯N c −1
¯2
¯X
¯
¯
¯
∗
+ 2¯
Ψk Ψk+N c ¯ .
¯
¯
(3.41)
k=0
Analog kann ein Ausdruck für die lokale von-Neumann Entropie gefunden werden
(Gleichung (3.50)).
3.4.3
Methode der Berechnung
Berechnet wird die volle und exakte Schrödinger-Dynamik des Zustandsvektors
|Ψ(t)i des gesamten Systems. Daraus können dann die Dichtematrix ρ̂ des Gesamtsystems, die reduzierte Dichtematrix des ’Gases’ ρ̂g und daraus die ’Purity’
P g des ’Gases’, die von-Neumann Entropie S g des ’Gases’ oder die Besetzungswahrscheinlichkeiten pg im ’Gas’ berechnet werden.
Für die Generierung des Anfangszustands |Ψ(t = 0)i wurde das C++Programm Psi_0_Generierer.cc [30] geschrieben, in dem die Dimension des Gesamtsystems 2N c (Dim), die anfängliche Besetzungswahrscheinlichkeit des ’Gas’Subsystems im Zustand |0ig , |a0 |2 (a0_betragsquadrat), sowie eine NiveauNummer j innerhalb des Energielevels mit der Energie E 2c im ’Container’ (bzw.
irgendein j im mikrokanonischen Fall) eingegeben werden. Das Programm erzeugt
eine Datei Psi_0.dat, die den Vektor |Ψ(t = 0)i enthält.
Der Hamiltonian Ĥ wird durch das C++-Programm Matrixgenerierer.cc [30] erzeugt, in dessen Programmcode die Eingaben 2N c (Dim), α
(WW_Staerke), die Energien des ’Gases’ E1g , E2g sowie die Entartungsstruktur des
’Containers’ eingegeben werden müssen. Das Programm erzeugt die den Hamiltonian enthaltende Datei Hamiltonian.dat in für das Programm octave lesbarer
Form.
Dieses octave [31] berechnet durch das Script Eigen [32] [30] die Eigenwerte
λn sowie die Eigenvektoren des Hamiltonians und gibt sie in den Dateien lambda.dat bzw. U.dat aus.
Diese beiden Dateien wiederum werden vom C++-Programm Schroedinger.cc [30] eingelesen, welches des weiteren die Parameter Dim, die Anzahl der
auszuwertenden Zeitpunkte, Anz_Zeitschritte, sowie die Gesamtzeit der Berechnung T benötigt. Das Programm vollführt die Transformation (2.11) des Anfangszustands sowie die Berechnung der Dynamik nach den Gleichungen (2.10)
mit ~ = 1. Nachdem durch Rücktransformation nach Gleichung (2.11) |Ψ(t)i
ermittelt ist, werden daraus die relevanten Größen berechnet und in der Datei
Schroedinger.dat zusammen mit der Zeit ausgegeben. Was genau berechnet
und ausgegeben werden soll, wird im Programmcode festgelegt.
Alternativ wurden zur Berechnung der interessierenden Größen innerhalb eines Zweiniveau-’Gases’ noch zwei andere, schnellere Verfahren programmiert:
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
29
Zum einen kann der Umweg über die Dichtematrix des Gesamtzustands vermieden werden, indem die Gleichungen (3.37) bis (3.39) verwendet werden, zum
anderen können die in Anhang A.1 hergeleiteten Formeln benutzt werden, wenn
nur das Zeitmittel der Simulation interessiert. Die Berechnung solcher Zeitmittel
erfordert nur die Kenntnis der Eigenvektoren des Hamiltonians sowie des Anfangszustands (Gleichung A.19), es handelt sich also gar nicht mehr um eine
Simulation. Der numerische Vergleich dieser drei verschiedenen Verfahren zeigte
gute Übereinstimmung.
3.4.4
Ergebnisse
Die Ergebnisse werden hauptsächlich in Form von Diagrammen der relevanten
Größen über der Zeit aufgetragen, wobei wieder zwischen mikrokanonischer und
kanonischer Kopplung unterschieden wird. Der Schwerpunkt der Untersuchungen
liegt auf dem interessanteren Fall der kanonischen Kopplung.
Für die Simulationen wurde sowohl ~ = 1 als auch die Energie einheitenlos
gewählt. Da die Einheit der Zeit die Einheit von ~ durch die Einheit der Energie
~
ist, wird auch die Zeit einheitenlos, bzw. lässt sich schreiben in Einheiten von ∆E
g,
g
da in allen Simulationen der Energieabstand im ’1-Spin-Gas’ ∆E = 1 gewählt
ist.
Mikrokanonische Kopplung
Abbildung 3.4 zeigt die drei Größen Purity des ’Gases’ P g , von-Neumann Entropie des ’Gases’ S g und
p Betrag des Nichtdiagonalelements der reduzierten Dichtematrix des ’Gases’ |ρg01 |2 für eine Simulation mit den folgenden Parametern:
Entartungsgrad des einzigen ’Container’levels N c = 50, Besetzungswahrscheinlichkeit des ’Gas’niveaus |0ig , |a0 |2 = 0, 15, Startniveau im ’Container’ j= 17. Das
’Container’-Startniveau ist im Fall mikrokanonischer Kopplung für das Ergebnis
der Simulation nicht relevant, die Niveaus sind ja alle untereinander näherungsweise entartet. j wird hier nur der Vollständigkeit halber angegeben. Alle drei
beobachteten Größen zeigen einen kurzen Bereich der Relaxation und schwanken
dann um einen Gleichgewichtswert. Das Nichtdiagonalelement zerfällt auf einen
Wert um Null, die Entropie steigt bis zu einem gewissen Wert und die Purity
zerfällt auf einen Wert P g ≈ 0, 751, wobei P g der Durchschnittswert aller Punkte
nach der Hälfte der Simulation (hier zur Zeit 150) ist. Der minimale Wert der Pug
≈ 0, 7451. Der von der Theorie
rity in der zweiten Hälfte der Simulation ist Pmin
vorausgesagte minimale Wert nach Gleichung (3.9) ist in diesem Fall
g
Pmin,th
=
(pg (E g = 1))2 (pg (E g = 2))2
+ g g
= |a0 |4 +|a1 |4 = (0, 15)2 +(0, 85)2 = 0, 745 .
N g (E g = 1)
N (E = 2)
(3.42)
PSfrag replacements
30 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
1
Pg
g
p gS
|ρ01 |2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
~
Zeit [ ∆E
g]
200
250
300
Abb. 3.4: Purity P g , Entropie S g (in Einheiten von kB ) und Betrag des Nichtdiagonalelements der reduzierten Dichtematrix des ’1-Spin-Gases’ g für N c = 50
und |a0 |2 = 0, 15.
Die Simulation bestätigt also für diese Parameter die Theorie insofern, dass kein
g
P g der Simulation kleiner ist als Pmin,th
und dass der Durchschnittswert P g der
Simulation nur wenig größer als dieser Minimalwert ist.
Abbildung 3.5 zeigt eine weitere Simulation mit den Parametern N c = 25,
|a0 |2 = 0, 4 und wieder Startniveau im ’Container’ j= 17. Wieder relaxieren alle
drei Größen in ein Gleichgewicht, das nun für P g und S g aber ein anderes ist. P g
g
beträgt nun circa 0, 5402 und Pmin
= 0, 52. Der theoretische Wert aus Gleichung
(3.9) ist
g
Pmin,th
= (0, 4)2 + (0, 6)2 = 0, 52 ,
(3.43)
d.h. auch für diesen zweiten Parametersatz wird die Theorie bestätigt. Nun jedoch ist der Durchschnittswert der Purity P g auf Grund der größeren Schwankung
g
(verursacht durch die kleinere Systemgröße) weiter vom Minimalwert Pmin,th
entfernt als im ersten mikrokanonischen Fall. Im Vergleich zur Abbildung 3.4 fallen
zwei Dinge auf:
• Die Schwankungen der drei beobachteten Größen sind in der zweiten Simulation mit N c = 25 wesentlich größer als in der ersten mit N c = 50. Diese
Abhängigkeit der Schwankung von der Systemgröße wird im Folgenden im
Zusammenhang mit den Ergebnissen bei kanonischer Kopplung näher untersucht werden.
• Die Relaxationszeit, also die Zeit, die benötigt wird, um den Gleichgewichtswert zu erreichen, ist im zweiten Fall größer als im ersten. Dies
ist in erster Linie auf eine Verkleinerung der Zufallseinträge in Ĥ W W
PSfrag replacements
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
1
31
Pg
g
p gS
|ρ01 |2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
~
Zeit [ ∆E
g]
200
250
300
Abb. 3.5: Wie Abbildung 3.4, nun aber für N c = 25 und |a0 |2 = 0, 4.
in der zweiten Simulation gegenüber der ersten zurückzuführen. Im ersten Fall wurden alle Einträge in Ĥ W W mit einem Faktor αmk = 0, 01
(WW_Staerke_mikrokanonisch) multipliziert, was zu einer Gesamtwechselwirkungsstärke von (Gleichung (3.31))
P WW
|Hij |
2
² =
≈ 0, 004061
(3.44)
(2N c )2
führte. Im zweiten Fall betrug αmk = 0, 0075 und dadurch ²2 ≈ 0, 003114.
Größere Einträge in der Wechselwirkungsmatrix sorgen also für schnelleres Relaxieren ins Gleichgewicht. ²2 beträgt hier nur die Hälfte des in Abschnitt 3.4.2 für kanonische Ĥ W W angegebenen Wertes, da bei mikrokanonischen Ĥ W W nur die Hälfte der Einträge ungleich Null ist.
Der durch die Theorie vorhergesagte Gleichgewichtswert der Purity aus Gleichung
(3.9) wird auch für viele andere Anfangswerte reproduziert, womit die Theorie
zumindest für den Fall der mikrokanonischen Kopplung als numerisch verifiziert
gelten kann.
Kanonische Kopplung
Für Systeme mit kanonischer Kopplung zwischen den beiden Subsystemen macht
die in Unterkapitel 3.3 beschriebene Theorie eine Aussage über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Energien im beobachteten Subsystem. In Abbildung 3.6 ist
das erste Diagonalelement der reduzierten Dichtematrix des ’Gases’ (die Besetzungswahrscheinlichkeit des Subsystemniveaus |0ig , pg (|0ig ) gegen die Zeit aufgetragen für ein System wie in Abbildung 3.3. Die Parameter für diese Simulation
32 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
waren ²2 ≈ 0, 006014, |a0 |2 = 0 und ’Container’-Startniveau j= 27. Das Entartungsschema:
nc (E c )
20
.
20
100
PSfrag replacements
Ec
1
2
3
Der Faktor α (WW_Staerke) wurde für alle Einträge in Ĥ W W gleich groß gewählt (0, 0075). Auch hier sieht man eine Relaxation, diesmal der Besetzungs0.9
0.8333
0.8
ρg00
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
~
Zeit [ ∆E
g]
200
250
300
Abb. 3.6: Kanonischen Kopplung; theoretisch berechneter Wert: ρ g,d
00 ≈ 0, 8333.
wahrscheinlichkeit des unteren ’Gas’niveaus |0ig von anfangs pg (|0ig ) = 0 in ein
Gleichgewicht mit pg ≈ 0, 8234. Da die anfängliche Energieverteilung scharf ist
(E tot = 4), kann zur Berechnung des zu erwartenden Wertes Gleichung (3.14)
verwendet werden:
ng (E g = 1)nc (E c = 4 − 1)
1 · 100
p (E = 1) =
= c
tot
tot
g
n (E = 4)
n (2) · n (2) + nc (3) · ng (1)
100
=
≈ 0, 8333 .
(3.45)
20 + 100
g,d
g
Dieser berechnete Gleichgewichtswert ist auch in Abbildung 3.6 eingetragen und
ist in guter Übereinstimmung mit dem Simulationsergebnis p g ≈ 0, 8234.
Der Gleichgewichtswert pg ist weitgehend unabhängig von der speziellen Wahl
der Wechselwirkungsmatrix Ĥ W W , was Abbildung 3.7 zeigt. Hier wurden verschiedene Wechselwirkungsmatrices Ĥ W W für die drei Simulationen gewählt. Für
die zwei schnell ansteigenden Kurven wurde das gleiche α = 0, 0075 verwendet
PSfrag replacements
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
33
0.9
0.8333
0.8
ρg00
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
~
Zeit [ ∆E
g]
200
250
300
Abb. 3.7: Simulation zur kanonischen Kopplung mit drei verschiedenen Ĥ W W .
aber verschiedene Zufallszahlen (²2 ≈ 0, 005995 bzw. 0, 005999). Für die langsamer ansteigende Kurve wurden α = 0, 002 und ebenfalls verschiedene Zufallszahlen gewählt (²2 ≈ 0, 001599). Die zeitlichen Dynamiken der drei Simulationen unterscheiden sich zwar, die Gleichgewichtswerte der Besetzungszahlen sind aber innerhalb der Schwankungen gleich, nämlich pg (|0ig ) ≈ 0, 8025, 0, 8054 und 0, 8204.
Bemerkenswert ist hier, dass keiner der Durchschnittswerte über dem theoretisch
vorausgesagten liegt. Vermutlich handelt es sich dabei um einen finite-size-Effekt.
Für die folgenden Simulationen wird eine neue Entartungsstruktur des ’Containers’ verwendet, die von der in Abschnitt 3.3.2 beschriebenen Annahme über
die Entartungsstruktur großer Systeme ausgeht. Der Entartungsgrad der Energielevels steigt exponentiell mit der Energie:
E c nc (E c )
c
1
50
nc (E c ) = 25 · 2E
2
100
3
200
In diesem ’thermodynamischen Fall’ sind die Gleichgewichts-Besetzungszahlen
im ’Gas’ nicht nur unabhängig von der speziellen Form der Wechselwirkung, sondern auch von der Anfangsenergieverteilung ptot (E tot ), wie folgende Rechnung
nach Gleichung (3.12) zeigt (N g (E g ) = 1):
nc (3) tot
nc (2)
nc (3)
nc (2) tot
tot
p
(3)
+
p
(4)
=
p
(3)
+
ptot (4)
tot
tot
c
c
c
c
n (3)
n (4)
n (2) + n (1)
n (3) + n (2)
c
nc (2)
2n
(1)
2
=
(ptot (3) + ptot (4)) = c
= .
(3.46)
c
c
n (2) + n (1)
2n (1) + nc (1)
3
pg,d (1) =
Der vorletzte Schritt dieser Rechnung ist nur bei Entartungsgraden der obigen
34 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
PSfrag replacements
Struktur möglich, im letzten Schritt wird ausgenutzt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist.
Abbildung 3.8 zeigt diese Unabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeit
im ’Gas’ vom Anfangszustand. Gezeigt sind drei Simulationen, jeweils mit der
gleichen Wechselwirkungsmatrix Ĥ W W (α = 0, 005 → ²2 ≈ 0, 004002) für die
verschiedenen Anfangsbesetzungszahlen des unteren ’Gas’niveaus |a 0 |2 = 0; 0, 5
und 0,9. Die Durchschnittswerte betragen jeweils pg (|0ig ) ≈ 0, 6608; 0, 6689 bzw.
0,6739 in Übereinstimmung mit dem Wert aus Gleichung (3.46).
0.9
0.8
2/3
ρg00
0.6
0.4
0.2
|a0 |2 =0
|a0 |2 =0.5
|a0 |2 =0.9
0
0
50
100
150
~
Zeit [ ∆E
g]
200
250
300
Abb. 3.8: Drei verschiedene Anfangszustände |a0 |2 = 0; 0, 5; 0, 9 führen zum gleichen Gleichgewichtswert.
Als weitere Verbindung zur Thermodynamik kann die von-Neumann Entropie
der reduzierten Dichtematrix des ’Gases’ berechnet werden (Abschnitt 2.3.2).
Die Eigenwerte der 2 × 2-Matrix
µ
¶
ρg00 ρg01
g
ρ̂ =
(3.47)
(ρg01 )∗ ρg11
lassen sich unter Verwendung der Purity (Gleichung (3.40))
¡
¢
P g = Sp{(ρ̂g )2 } = 1 + 2 (ρg00 )2 − ρg00 + |ρg01 |2
(3.48)
als
√
1
λg1/2 = (1 ± 2P g − 1)
2
ausdrücken. Mit diesen Eigenwerten ergibt Gleichung (2.32)
√
¶¸
·
µ
√
kB
1 + 2P g − 1
g
g
√
S =−
ln(1 − P ) − ln 2 + 2P − 1 ln
.
2
1 − 2P g − 1
g
(3.49)
(3.50)
PSfrag replacements
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
35
0.7
0.6365
S g [kB ]
0.6
0.4
0.2
|a0 |2 =0
|a0 |2 =0.5
|a0 |2 =0.9
0
0
50
100
150
~
Zeit [ ∆E
g]
200
250
300
Abb. 3.9: Von-Neumann Entropie in Einheiten von kB für die drei Simulationen
mit den Anfangszuständen |a0 |2 = 0; 0, 5; 0, 9 aus Abbildung 3.8.
Dieser Wert ist in Abbildung 3.9 in Einheiten der Boltzmann-Konstante kB für
die drei Simulationen aus Abbildung 3.8 gegen die Zeit aufgetragen. Der Entropiewert für die reduzierte Gleichgewichts-Dichtematrix
¶
µ 2
0
g,d
3
(3.51)
ρ̂ =
0 31
beträgt nach Gleichung (3.50)
S
g,d
= kB
µ
2
ln 3 − ln 2
3
¶
≈ 0.6365kB
(3.52)
und ist auch in Abbildung 3.9 eingetragen.
Eine weitere Analogie zur Thermodynamik bietet die Betrachtung der
Schwankungen der relevanten Werte im Gleichgewicht. Analytisch kann gezeigt
werden [33], dass die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Gleichgewichtswert, die Varianz, sich invers proportional zur Systemgröße verhalten sollte,
wie es auch in der Thermodynamik der Fall ist. Um diese Eigenschaft am hier
verwendeten Modellsystem zu untersuchen, wurden Systeme verschiedener Größe,
sowie teilweise verschiedener Wechselwirkungsmatrices und Anfangsbedingungen
2
simuliert, die alle das selbe Entartungsmuster, das zu ρ g,d
00 = 3 führt, besitzen. Mit
dem Programm Varianz.cc [30] wurde aus den verschiedenen Zeitreihen nach einer gewissen Vorlaufzeit (der Zeit, bis das System ins Gleichgewicht gelaufen ist)
jeweils der Mittelwert ρg00 sowie dessen Varianz
(∆ρg00 )2
N
´2
1 X³ g
=
ρ00,i − ρg00
N i=1
(3.53)
PSfrag replacements
36 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
berechnet. N ist dabei die Zahl der berücksichtigten Datenpunkte ρg00,i . Untersucht wurden 13 verschiedene Systeme, deren Mittelwerte von ρ g00 ≈ 0, 6446 bis
0, 6767 reichten. Die Varianzen sind in Abbildung 3.10 über den Entartungsgrad
nc (E2c ) des mittleren ’Container’energielevels als Maß für die Größe des Systems
1
aufgetragen. Trägt man die Varianzen über nc (E
c ) auf, so ergeben die Datenpunk2
0.003
Simulationen
least square fit
0.0025
(∆ρg00 )2
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
50
100
150
nc (E2c )
200
250
300
Abb. 3.10: Abhängigkeit der Varianz der Besetzungswahrscheinlichkeit p g im
Gleichgewicht von der Systemgröße (dem Entartungsgrad des mittleren Energielevels im ’Container’).
te näherungsweise eine Ursprungsgerade, deren Steigung sich durch einen ’least
square fit’ berechnen lässt. Umgeformt in die ursprüngliche Auftragung ergibt
dies die genäherte Kurve
(∆ρg00 )2 ≈
0, 05169
,
nc (E2c )
(3.54)
die auch in Abbildung 3.10 eingetragen ist.
3.4.5
Eingebettetes Fünf-Niveau-Modell
Um die Verbindung zur Thermodynamik, insbesondere die kanonische
Boltzmann-Besetzung der Energielevels, weiter zu verdeutlichen, werden in den
folgenden Simulationen mehr als zwei - nämlich fünf - Energielevels im ’Gas’
berücksichtigt. Beschränkt man sich auf ausschließlich scharfe Energieverteilungen im Gesamtsystem (anfangs also jeweils nur ein einziges Niveau im ’Gas’
und ’Container’ besetzt), so erfordert die Erhaltung der Energieverteilung durch
die Schrödingergleichung (Abschnitt 2.1.3) die Berücksichtigung nur so vieler
Energielevels im ’Container’ wie auch im ’Gas’ vorhanden sind. Diese Levels im
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
37
’Container’ müssen eine spiegelbildliche Anordnung bezogen auf die ’Gas’niveaus
PSfrag replacements
haben. Der Entartungsgrad der ’Container’levels, also die Anzahl der Niveaus
pro Level, wird wieder ’thermodynamisch’ gewählt, d.h. exponentiell steigend
mit der Energie. Abbildung 3.11 zeigt das für die erste Simulation verwendete
Modell mit dem Startzustand. Mit den modifizierten Programmen MatrixgeE g "Gas"
5
∆E g
"Container" c
n
|4ig
5
4
|3ig
∆E g c
n4
3
|2ig
nc3
2
|1ig
nc2
1
|0ig
nc1
WW
Abb. 3.11: Für die ersten zwei Simulationen mit mehr als zwei Energielevels im
’Gas’ verwendetes Modell. Die Punkte im ’Gas’ und ’Container’ deuten die jeweils
scharfe Startenergieverteilung an.
nerierer_Boltzmann.cc, Psi_0_Generierer_Boltzmann.cc und Schroedinger_Boltzmann.cc [30] wird die Simulation durchgeführt, wobei jetzt nicht mehr
die gesamte reduzierte Dichtematrix des ’Gases’ ρ̂g berechnet wird, sondern nur
noch die Besetzungswahrscheinlichkeiten der ’Gas’niveaus, d.h. die Diagonalelemente der reduzierten Dichtematrix:
c
g
g
p (|0i ) ≡
ρg00
N
−1
X
X
=
h0g mc |ΨihΨ|0g mc i =
|Ψm |2
m
pg (|1ig ) ≡ ρg11 =
..
.
P
X
h1g mc |ΨihΨ|1g mc i =
m
.
m=0
c −1
2N
X
m=N c
|Ψm |2
(3.55)
(3.56)
(3.57)
Dabei gilt N c = i nci . Für die erste Simulation wird folgendes Entartungsschema
im ’Container’ gewählt:
E c ncSim1 (E c )
1
6
c
c
2
12
.
ncSim1 (E c ) = 3 · eln 2E = 3 · 2E
24
3
4
48
5
96
Der Startvektor |Ψ(t = 0)i hat nur einen einzigen Eintrag an Position 400:
|Ψ400 (t = 0)|2 = 1, d.h. E g = 3 und E c = 3. Abbildung 3.12 zeigt als Ergebnis
dieser Simulation die Besetzungswahrscheinlichkeiten der ’Gas’niveaus aufgetragen über die Zeit. Wie erwartet, ’zerfällt’ die Wahrscheinlichkeit, das ’Gas’-
PSfrag replacements
38 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
1
ρg00
ρg11
0.9
ρg22
0.8
ρg33
0.7
ρg44
ρgii
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
500
1000
1500
2000
2500
~
Zeit [ ∆E
g]
3000
3500
4000
4500
5000
Abb. 3.12: Besetzungswahrscheinlichkeiten der fünf Energieniveaus des ’Gases’
für Simulation1.
Subsystem im Zustand |2ig anzutreffen, mit der Zeit von 1 auf einen Gleichgewichtswert. Entsprechend wachsen die Wahrscheinlichkeiten, das ’Gas’ in den
anderen Zuständen vorzufinden von Null auf ihre jeweiligen Gleichgewichtswerte.
Deren Durchschnitte (nach 500 Zeiteinheiten ’Vorlauf’; ’Simulation1’) sind zusammen mit den Gleichgewichtswerten einer analogen Simulation (’Simulation2’)
mit folgendem Entartungsspektrum des ’Containers’
E c ncSim2 (E c )
1
17
c
c
2
29
ncSim2 (E c ) ≈ 10 · eln(1,7)E = 10 · (1, 7)E
49
3
4
84
5
142
in Abbildung 3.13 eingetragen. Trägt man von diesen Daten den Logarithmus
über die Energie auf, so ergeben sich näherungsweise Geraden, deren Steigungen
und Achsenabschnitte wiederum durch einen ’least square fit’ gefunden werden
können. Zurückgerechnet in die ursprüngliche Darstellung ergeben sich die Näherungskurven
pg (E g ) ≈ 1, 105 exp(−0, 7272E g )
pg (E g ) ≈ 0, 7347 exp(−0, 5184E g )
für Simulation1
für Simulation2.
(3.58)
(3.59)
Als weiteres Beispiel kann für das ’Fünf-Niveau-Gas’ das Energieniveauschema der ersten fünf Terme eines Teilchens im Kasten angenommen werden
(E g ∝ n2 ⇒ E g = 1, 4, 9, 16, 25). Die entsprechenden fünf für die Dynamik zu
berücksichtigenden Energielevels im ’Container’ müssen dann dem Energieniveauschema im ’Gas’ angepasst werden. Abbildung 3.14 zeigt das Modell für diesen
PSfrag replacements
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
39
0.6
Simulation1
0.5
least square fit 1
0.4
pg
Simulation2
0.3
least square fit 2
0.2
0.1
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Eg
Abb. 3.13: Gleichgewichtsbesetzungswahrscheinlichkeiten für die fünf
’Gas’niveaus für zwei verschiedene Entartungsspektren im ’Container’ (’Simulation1’ und ’Simulation2’) mit ’least square fits’.
PSfrag replacements
Fall. Der ’Container’ muss alle möglichen ’Sprünge’ des Subsystems ’Gas’ inner"Gas"
Eg
25
"Container"
Ec
|4ig
25 nc5
22 nc4
16
|3ig
9
|2ig
4
|1ig
17 nc3
WW
1
|0ig
10 nc2
1
nc1
Abb. 3.14: Modell für ein Teilchen im unendlich hohen Kasten. Die beiden Punkte
in den beiden Subsystemen deuten die scharfe Anfangsenergie an.
halb dessen Energieniveauschema erlauben, was zu folgenden ’Container’energien
und -entartungen führt:
E c nc (E c )
1
11
c
c
26
10
nc (E c ) ≈ 10 · eln(1,1)E = 10 · (1, 1)E
.
17
51
22
81
25
108
Die nach der gleichen Vorlaufzeit erhaltenen Durchschnittswerte der Beset-
PSfrag replacements
40 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
zungswahrscheinlichkeiten der fünf ’Gas’levels sind in Abbildung 3.15 zusammen
mit der ’least square fit’ Kurve
eingetragen.
pg (E g ) ≈ 0, 4368 exp(−0, 09726E g )
(3.60)
0.4
Simulation
0.35
least square fit
0.3
pg
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
Eg
Abb. 3.15: Gleichgewichtsbesetzungswahrscheinlichkeiten für das ’Fünf-NiveauGas’ aus Abbildung 3.14 mit ’least square fit’.
Für den Fall kanonischer Kopplung zwischen den beiden Subsystemen wird
also tatsächlich eine Boltzmann-Verteilung der Besetzungswahrscheinlichkeiten
auf den Energieniveaus des ’Gases’ reproduziert (siehe z.B. Gleichung (5.7)). Den
verschiedenen Kurven in den Abbildungen 3.13 und 3.15 können somit über die
Exponenten in den ’least square fit’ Kurven Temperaturen zugeordnet werden
(0, 7272; 0, 5184; 0, 09726 =
b kB1T ). Diese sind direkt durch die Entartungsstruktur
im ’Container’ vorgegeben.
3.4.6
Gültigkeitsbereich; Relaxation ins Gleichgewicht
Um einen möglichen Unterschied in den Relaxationszeiten der Diagonal- (’Thermalisierung’) bzw. Nichtdiagonalelemente (’Dekohärenz’) der reduzierten Dichtematrix zu untersuchen, wurde der Wechselwirkungs-Hamiltonian Ĥ W W strukturiert, d.h. die mikrokanonischen Zufallseinträge in den Diagonalblocks wurden
anders gewichtet (αmk ) als die ’nicht-mikrokanonischen’ Zufallseinträge in den
Nichtdiagonalblocks (αnmk ). Dies aber zerstört bei zu großen Unterschieden recht
schnell das thermodynamische Verhalten der Simulation: Zwar findet noch eine
Relaxation in einen Gleichgewichtswert statt und die Schwankungen um diesen
entsprechen denen im thermodynamischen Fall, der erreichte Gleichgewichtswert
3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen
PSfrag replacements
"Gas"
41
"Container"
|1i
g
|0i
g
∆E g
B c Nuc
∆E g
WW
B c Noc
Abb. 3.16: Energiespektrum zur Untersuchung der Relaxation. Die Entartung ist
aufgehoben, die Nuc bzw. Noc Niveaus im ’Container’ werden über das Energiec
c
= NBc
intervall B c äquidistant verteilt, was zu den Niveau-Abständen ∆Eu/o
u/o
führt.
stimmt aber nicht mehr mit dem in Unterkapitel 3.3 angegebenen überein und ist
zudem abhängig von den Anfangsbedingungen. Um einen Ansatzpunkt zur Deutung dieses Problems zu erhalten, wurde ein Spezialfall des bisher verwendeten
Modells untersucht und eine Theorie der Relaxation ins Gleichgewicht entworfen [34] von der hier aber nur das Ergebnis präsentiert und überprüft werden
soll.
Modell
Im Folgenden werden als Anfangszustände nur Produktzustände gewählt, deren
’Gas’-Anteil scharfe Energie (im Grundzustand) besitzt und deren ’Container’Anteil über ein Energieintervall der Breite B c verteilt ist (im entsprechenden
angeregten Zustand). Das Nichtdiagonalelement der reduzierten Dichtematrix ist
daher anfangs Null (Gleichung (3.38)). Das zur vollständigen Dynamik benötigte
Spektrum zeigt Abbildung 3.16. Es gibt nur zwei ’Energiebänder’ im ’Container’
mit dem Abstand der Mitten ∆E g und jeweils der Bandbreite B c . Die Niveauzahlen der beiden Bänder werden mit Nuc bzw. Noc bezeichnet und die einzelnen Niveaus sollen äquidistant über das jeweilige Intervall verteilt sein mit den Abständen
c
c
∆Eu/o
= NBc . Diese Aufspaltung der Entartung im ’Container’ soll in gewisser
u/o
Weise die Wirkung mikrokanonischer Elemente im Wechselwirkungs-Hamiltonian
simulieren. Der für die Berechnung der Dynamik verwendete WechselwirkungsHamiltonian hat dem zur Folge nur noch Elemente ungleich Null in den ’nichtmikrokanonischen’ Nichtdiagonalblocks. Ein Maß für die Größe der Wechselwirkung wird somit (vergleiche Gleichung (3.31))
²2 =
1 X WW 2
|Hij |
Nuc Noc i,j
(3.61)
wobei die Summe über einen der beiden Nicht-Diagonalblocks läuft.
Die Theorie [34] besagt nun, dass der Zerfall der Besetzungswahrscheinlichkeit
42 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
des Grundzustandes des ’Gases’ folgender Formel gehorcht:
1
(R1 + R2 exp(−(R1 + R2 )t)) .
ρg00 (t) =
R1 + R 2
Die Raten R1 und R2 sind dabei definiert als
R1 =
2π ²2
,
~ ∆Euc
R2 =
2π ²2
,
~ ∆Eoc
(3.62)
(3.63)
wobei die Formel gültig sein sollte für
²
4π 2
≥
1
und
R
τ
=
1 1
∆Euc
Nuc
µ
²
∆Euc
¶2
¿ 4π 2 .
(3.64)
Diese Bedingungen gelten auch für das Erreichen des ’richtigen’ thermodynamischen Gleichgewichtszustands nach Gleichung (3.14).
Ergebnisse
Für alle Simulationen wird wieder ein ’thermodynamischer’ Fall N uc = 2Noc gewählt, wobei Noc zwischen 25 und 400 liegt. Die Energien im ’Container’ betragen
E1c = 1 und E2c = 2, die Breite der Bänder B c wurde zwischen 0,2 und 0,0125
gewählt.
Als Schlussfolgerung aus den mit verschiedenen Werten für Noc , ² und B c
durchgeführten Simulationen können zwei Bedingungen für das Erreichen des
’richtigen’ Gleichgewichtswertes (Gleichung (3.14)) angegeben werden (ρg00 ≈
2
± 0.03):
3
1. Das Verhältnis ∆E² c muss größer als ungefähr 0,8 sein und kann beliebig
u
groß sein, so lange
2. R1 τ1 . 5.
Für die Untersuchung der Relaxation ins Gleichgewicht wurden verschiedene
Simulationen mit verschiedenen Niveauzahlen Nuc = 50, 100, 200, 400, 800 und
jeweils - durch Anpassung von B c - ∆E² c ≈ 1 durchgeführt. Die zu erwartende
u
Kurve aus Gleichung (3.62) ist somit für alle Simulationen ungefähr die gleiche,
nämlich mit ~ = 1
1
ρsoll
(3.65)
00 ≈ (2 + exp(−0, 002364t)) .
3
Diese Kurve ist zusammen mit den fünf Simulationsergebnissen in Abbildung 3.17
eingetragen.
Man erkennt gut, wie sich die Simulation dem theoretischen Ergebnis mit
steigender Systemgröße und damit abfallendem Parameter R1 τ1 annähert. Die
Zerfallskurve, deren Beginn für kleine Systeme eher einer Gauß-Kurve gleicht,
ähnelt mit steigender Niveauzahl immer mehr dem vorausgesagten exponentiellen
Abfall. Die Kurve aus Gleichung (3.65) gilt ab einer Zeit τ1 = N c2π~
c , was die
u ∆Eu
Verschiebung der Kurven mit kleinem Nuc zu größeren Zeiten hin erklärt.
PSfrag replacements
3.5. Zusammenfassung
43
1
Theorie
Nuc =50
0.95
Nuc =100
0.9
Nuc =200
Nuc =400
ρg00
0.85
Nuc =800
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0
500
1000
~
Zeit [ ∆E
g]
1500
2000
Abb. 3.17: Relaxation für verschieden große Systeme zusammen mit der theoretisch vorhergesagten Kurve aus Gleichung (3.65); Nuc = 2Noc .
3.4.7
Zusammenfassung
Die in den vorigen Abschnitten dargestellten Simulationen zu einem sehr allgemeinen Modellsystem bestätigen die Vorhersagen aus Unterkapitel 3.3 sowohl
für allgemeine Fälle (Abbildung 3.6) als auch für bezüglich der Entartungsstruktur thermodynamische Fälle (Abbildungen 3.8 und 3.13). Simulationen wurden
sowohl zum Fall mikrokanonischer Kopplung als auch zum Fall kanonischer Kopplung zwischen den beiden Subsystemen gemacht. Auch die erhaltenen Fluktuationen um den Gleichgewichtswert (Abbildung 3.10) entsprechen der Erwartung
aus der Theorie.
Der letzte Abschnitt 3.4.6 beschreibt den ersten Schritt hin zur Untersuchung
der Bedingungen für ein thermisches Gleichgewicht und des Weges in dieses
Gleichgewicht. Der für große thermodynamische Systeme erwartete exponentielle Zerfall ins Gleichgewicht konnte für ein sehr spezielles Modell reproduziert
werden.
3.5
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurde ein neuer Zugang zum Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik aus der Quantenmechanik vorgestellt und dessen Vorzüge gegenüber
dem ’üblichen’ Zugang herausgestellt. Der neue Zugang - basierend auf einer Einbettung des Systems in ein größeres Umgebungssystem - kommt sowohl ohne die
problematische Annahme der Quasiergodenhypothese als auch ohne das ’künstliche’ Verfahren des coarse graining aus und stellt somit eine wirkliche Ableitung
des Zweiten Hauptsatzes aus den mikroskopischen Grundgleichungen dar, ohne
44 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begründung des Zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik
den statistischen Charakter dieses Satzes zu vernachlässigen. Auch der Begriff der
Entropie als Zustandsgröße wird durch die Verwendung der lokalen von-Neumann
Entropie wesentlich klarer als z.B. in der Ensembletheorie.
Um besseren Einblick in das Verhalten von durch diese Theorie beschriebene
quantenthermodynamische Systeme zu gewinnen, wurden Simulationen zu hinreichend ’großen’ Quantensystemen numerisch berechnet, deren Ergebnisse in gutem
Einklang mit den Aussagen der Theorie stehen.
Als weitere Schritte hin zu einem noch besseren Verständnis thermodynamischen Verhaltens quantenmechanischer Systeme wären vor allem zwei Punkte
zu nennen: Um noch ’näher an die Physik’ zu kommen, wäre es interessant, die
Umgebung (den ’Container’) nicht einfach durch ein Energiespektrum zu modellieren, sondern dieses ’thermodynamische’ Energiespektrum aus konkreten physikalischen Systemen zu erhalten. Würde man das hier behandelte abstrakte Modell zu Gunsten eines echten physikalischen Modells aufgeben, so würde man
die Wechselwirkung zwischen den beiden Subsystemen auch nicht mehr durch
eine Zufallsmatrix beschreiben, sondern durch eine tatsächlich physikalisch motivierte ’strukturierte’ Matrix. Empirische Untersuchungen am hier vorgestellten
Modellsystem zeigen, dass eine Zufallsmatrix mit einer gewissen Struktur zu Fällen führen kann, in denen das vorhergesagte Gleichgewicht nicht mehr eintritt,
was zum zweiten interessanten Punkt führt: Inwieweit sind Abweichungen von
einer homogenen Zufallswechselwirkungsmatrix erlaubt, um noch thermodynamische Resultate zu erhalten, und lässt sich aus der Struktur des Hamiltonians
alleine schon eine Aussage über das Eintreten eines Gleichgewichts und dessen
Eigenschaften treffen? In Abschnitt 3.4.6 wurde ein erster analytischer Versuch
zur Klärung dieser Frage für ein spezielles System numerisch verifiziert. Die Verallgemeinerung steht aber noch aus.
Kapitel 4
Quantenmechanische Einbettung:
“Stationäres
Quanten-Manometer”
4.1
Einleitung
Kapitel 3 hat gezeigt, dass schon kleine quantenmechanische Systeme thermodynamisches Verhalten zeigen können, wenn sie geeignet eingebettet werden. Das
einfachste thermodynamische System ist sicherlich das ideale Gas in einem Kasten
und wird dieses klein gewählt, so gelangt man zum ’Ein-Teilchen-Gas’ in einem
Potenzialtopf auf Nanometerskala. Inwieweit in einem solchen quantenmechanischen System thermodynamische Größen eine Bedeutung haben und thermodynamische Relationen Gültigkeit besitzen, soll in diesem Kapitel anhand einer Größe,
dem Druck, an einem Modellsystem, dem ’Quanten-Manometer’, untersucht werden.
Dabei lässt sich das hier vorgestellte System als Beispiel einer (quanten)mechanischen Einbettung auffassen. Es werden Energiespektren betrachtet
und deren Verschiebung infolge einer Änderung äußerer Parameter, ganz unabhängig von eventuellen Besetzungszahlen. Dies entspricht der zweiten in Unterkapitel 2.4 genannten Möglichkeit der Energieänderung in thermodynamischen
Systemen und ist als Gegensatz zur quantenthermodynamischen Einbettung aus
Kapitel 3 zu verstehen.
In der klassischen Mechanik bzw. Thermodynamik ist der Druck P über die
negative Ableitung der Energie nach dem Volumen definiert. Dies entspricht im
eindimensionalen Fall mit der eindimensionalen Ausdehnung L einer Kraft F :
P =−
∂E
,
∂V
F =−
∂E
.
∂L
(4.1)
Es ist sicherlich nicht falsch und wird auch gemeinhin so gehandhabt [35][36],
diese Definition in einem solchen Sinne zu verwenden, dass die Größe P integriert
45
46 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
PSfrag replacements
V
’W’
’Ka’
0
f
L + xW
x
Abb. 4.1: Ein eindimensionales ’Manometer’ (Druckmessgerät).
über das Volumen wieder eine Energie, also eine Arbeit, ergibt. Ob es aber sinnvoll ist, diesen Größen auch im Quantenmechanischen die Namen ’Druck’ und
’Kraft’ zu geben, ob sie sich also wie klassische Drücke und Kräfte verhalten, ist
nicht von vornherein klar. Kann also auch im Quantenmechanischen eine Druckmessung wie im Klassischen über eine Ortsmessung mit Hilfe eines Manometers
∂E
erfolgen? Die Größe − ∂V
ist sicherlich keine einfache Messgröße. Es wird aber im
Folgenden gezeigt werden, dass diese Größe unter bestimmten Bedingungen wie
im Klassischen durch eine ’Ortsmessung’ bestimmbar sein kann.
4.2
4.2.1
Das Hamilton-Modell
Eindimensionales Zwei-Teilchen-Modell
Betrachtet wird zuerst ein eindimensionales System bestehend aus zwei quantenmechanischen Teilchen, die Quantenversion eines klassischen makroskopischen
Manometers (Abbildung 4.1):
1. Subsystem 1 (Teilchen im Kasten ’Ka’): Teilchen mit Masse M 1 und Ortskoordinate x1 in einem unendlich hohen Potenzialtopf von x1 = 0 bis
x1 = L + xW . Der Einteilchenzustand dieses Teilchens sei |jiKa .
2. Subsystem 2 (Wand ’W’ als harmonischer Oszillator ’HO’): Unendlich hohe
Wand als Teilchen mit Masse MW und Position xW in einem harmonischen
Potenzial V (xW ) = 12 f x2W mit der Federkonstante f . Der Einteilchenzustand der Wand sei |jW iHO .
Ohne Wechselwirkung ist der Hamiltonian des Systems die Summe der Hamiltonians der beiden Einzelsysteme Ĥ 0 = Ĥ Ka + Ĥ HO und der Gesamtzustand ein
einfacher Produktzustand: |j, jW i0 = |jiKa ⊗ |jW iHO , die Gesamtenergie ergibt
(0)
sich als Summe der einzelnen Einteilchenenergien: E j,jW = EjKa + EjHO
W
Wechselwirken die beiden Einteilchensysteme in irgendeiner Weise über den
Wechselwirkungsoperator Ŵ (Ĥ = Ĥ 0 + Ŵ ), so kann der resultierende Gesamt-
4.2. Das Hamilton-Modell
47
zustand |j, jW iW näherungsweise durch zeitunabhängige (stationäre) Störungsrechnung (1.Ordnung) gefunden werden (z.B. [37]):
|j, jW iW ≈ |j, jW i0 +
X
1
k,kW
k6=j ∨ kW 6=jW
jjW
|k, kW i0 .
Ckk
W
(4.2)
jjW
die Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung, die nach folDabei sind die 1 Ckk
W
gender Formel mit Hilfe des Wechselwirkungsoperators Ŵ berechnet werden:
1
jjW
Ckk
W
0
=
hk, kW |Ŵ |j, jW i0
(0)
(0)
Ej,jW − Ek,kW
0
hk, kW |Ŵ |j, jW i0
= Ka
.
Ej + EjHO
− EkKa − EkHO
W
W
(4.3)
Die Energiekorrekturen erster und zweiter Ordnung ergeben sich zu
(1)
Ej,jW = 0 hj, jW |Ŵ |j, jW i0
(2)
Ej,jW =
X 0 hj, jW |Ŵ |k, kW i00 hk, kW |Ŵ |j, jW i0
(0)
k,kW
(0)
Ej,jW − Ek,kW
(4.4)
.
(4.5)
Für den wechselwirkungsfreien Hamiltonian gilt:
Ĥ(x1 , xW ) = −
wobei
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
−
+ 1 f x2 + U (x1 )
2M1 ∂x21 2MW ∂x2W 2 W

 ∞ x1 < 0
∞ x1 > L
U (x1 ) =
.

0 0 ≤ x1 ≤ L
(4.6)
(4.7)
Die einzige in diesem System stattfindende Wechselwirkung ist die Veränderung
der Randbedingungen für das Teilchen im Kasten bei Verschiebung der Wand aus
deren Potenzialminimum bei xW = 0. Im System mit Wechselwirkung gilt also
folgender Hamiltonian:
Ĥ(x1 , xW ) = −
mit
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
+ 1 f x2 + V (x1 , xW )
−
2M1 ∂x21 2MW ∂x2W 2 W

 ∞ x1 < 0
∞ x1 > L + x W
V (x1 , xW ) =
.

0 0 ≤ x1 ≤ L + xW
(4.8)
(4.9)
48 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
Daraus ergibt sich der Wechselwirkungsoperator Ŵ als Differenz der Gleichungen
(4.8) und (4.6):

¾
∞
L
+
x
<
x
<
L

W
1

xW < 0

0 sonst
¾
.
Ŵ = −U (x1 ) + V (x1 , xW ) =
−∞ L < x1 < L + xW


xW > 0

0 sonst
(4.10)
PSfrag
replacements
Abbildung 4.2 zeigt diesen Wechselwirkungsoperator für den Fall xW < 0 zusammen mit der Grundzustandsfunktion des Subsystems 1 (Teilchen im Kasten). Aus
W
0
xW < 0
L + xW L
x1
Abb. 4.2: Wechselwirkungsoperator für xW < 0. Das Überlappintegral ist unendlich.
Abbildung 4.2 wird ersichtlich, dass mit diesem Wechselwirkungsoperator alle relevanten Wechselwirkungsintegrale (z.B. in Gleichung (4.4)) entweder Unendlich
oder Null sind:
½
Z Z
∞ xW < 0
0
0
Ka ∗
HO ∗
Ka HO
.
hj, jW |Ŵ |j, jW i =
(ψj ) (ψjW ) Ŵ ψj ψjW dx1 dxW =
0 xW > 0
(4.11)
Das gleiche Problem tritt auf, wenn man Teilchen 2, die Wand, als eine für Teilchen 1 endliche Potenzialstufe oder -wall modelliert und deren Höhe später gegen
Unendlich gehen lässt. Auch das Ritzsche Verfahren zum Auffinden einer Näherungslösung des Grundzustandes des zusammengesetzten Systems führt bei dieser
Art Wechselwirkung nicht zu vernünftigen Lösungen.
4.2.2
Koordinatentransformation
Es ist möglich, durch eine Koordinatentransformation die Wechselwirkungsterme
im Hamiltonian aus den Potenzialtermen in Transformationen der auftretenden
Ableitungen zu übertragen. Abbildung 4.3(a) zeigt das Potenzial in Abhängigkeit der beiden Variablen x1 und xW , wobei man sich das Zwei-Teilchensystem
als ein sich in dieser zweidimensionalen Potenziallandschaft bewegendes einzelnes Teilchen vorstellen kann, dass allerdings in den verschiedenen Richtungen
verschiedene Massen besitzt. Die Transformation
x1
y1 =
L
xW + L
yW = x W
(4.12)
4.2. Das Hamilton-Modell
49
0
xW
0
0
x1
yW
0
y1
L
−L
PSfrag replacements
L
−L
PSfrag replacements
0
(a)
Potenziallandschaft
{x1 , xW }-System
V
0
im
(b)
Potenziallandschaft
{y1 , yW }-System
V
im
Abb. 4.3: Veranschaulichung der Koordinatentransformation (4.12).
führt diese Potenziallandschaft in die in Abbildung 4.3(b) gezeigte über.
Mathematisch lässt sich der Vorzug dieser Transformation mit Hilfe einer
unendlich hohen Stufenfunktion
½
0 z≤0
F (z) =
(4.13)
∞ z>0
zeigen: Im {x1 , xW }-Koordinatensystem sieht der Potenzialterm des GesamtHamiltonians folgendermaßen aus:
V 0 (x1 , xW ) = 12 f x2W + F (x1 − xW − L) + F (−x1 ) .
(4.14)
Durch die Transformation (4.12) geht Gleichung (4.14) über in
µ
¶
´
³ yy
1
1 W
2
0
1
V (y1 , yW ) = 2 f yW + F
(y1 − L)(yW + L) + F −
− y1
L
L
2
+ F ((y1 − L)(yW + L)) + F (−y1 (yW + L)) .
(4.15)
= 21 f yW
Macht man nun die Annahme
yW ¿ L ,
(4.16)
d.h. die Auslenkung der Wand aus dem Potenzialminimum ist klein gegenüber der
Kastengröße (schwere Wand und harte Feder (großes f )), so separiert der Potenzialterm des transformierten Hamiltonians in eine Summe von Potenzialtermen
der einzelnen Variablen:
(4.16)
V 0 (y1 , yW ) ≈
2
1
f yW
2
+ F (y1 − L) + F (−y1 ) ,
(4.17)
was dem Weglassen des unendlich hohen Potenzialgebietes für 0 ≤ y1 ≤ L und
yW < −L in Abbildung 4.3(b) entspricht.
50 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
Transformation der Ableitungen
Geht man durch Anwendung der Transformation (4.12) in das {y1 , yW }Koordinatensystem über, müssen auch die im Hamiltonian auftretenden Ableitungen transformiert werden. Der ausführliche Weg zum folgenden Ergebnis ist
in Anhang A.2 wiedergegeben.
∂ 2 f (x1 , xW )
=
∂x21
∂ 2 f (x1 , xW )
=
∂x2W
4.2.3
µ
µ
L
yW + L
¶2
∂ 2 f (y1 , yW )
∂y12
(4.18)
¶2 2
y1
∂ f (y1 , yW )
2y1 ∂ 2 f (y1 , yW )
−
yW + L
∂y12
yW + L ∂y1 ∂yW
2y1
∂f (y1 , yW ) ∂ 2 f (y1 , yW )
+
+
(4.19)
2
(yW + L)2
∂y1
∂yW
Entwicklung des Hamiltonians
Mit den Gleichungen (4.18), (4.19) und (4.15) geht der ursprüngliche Hamiltonian
aus Gleichung (4.8) in
∂2
1
~2
¡
¢
2M1 yW + 1 2 ∂y12
L
"
³ y ´2
1
~2
1
2y1
∂2
∂
1
−
¡ yW
¢ 2 2 + 2 ¡ yW
¢2
2MW
L
L
+ 1 ∂y1
+ 1 ∂y1
L
L
#
2y1 1
∂2
∂2
−
+
2
L yLW + 1 ∂y1 ∂yW ∂yW
Ĥ(y1 , yW ) = −
+V 0 (y1 , yW )
(4.20)
über. Für yLW ¿ 1 (Gleichung (4.16)) lassen sich die Terme in Gleichung (4.20)
entwickeln und ergeben zusammen mit Gleichung (4.17)
yW ´ ∂ 2
~2 ³
1−2
2M1
L ∂y12
"
³ y ´2 ³
~2
yW ´ ∂ 2
2y1 ³
yW ´ ∂
1
−
1−2
+
1
−
2
2MW
L
L ∂y12
L2
L ∂y1
#
yW ´ ∂ 2
∂2
2y1 ³
1−
+ 2
−
L
L ∂y1 ∂yW ∂yW
Ĥ(y1 , yW ) ≈ −
2
+ F (y1 − L) + F (−y1 )
+ 21 f yW
und geordnet
(4.21)
4.2. Das Hamilton-Modell
51
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
2
+ 12 f yW
Ĥ(y1 , yW ) ≈ −
+
F
(y
−
L)
+
F
(−y
)
−
1
1
2
2
2M1 ∂y1
2MW ∂yW
|
{z
}
Ĥ (0)
~
−
2MW
|
{z
2
y12
L2
Ŵa
2
2
Ŵc
Ŵe
Ŵd
2
~ y1 ∂
~ y1 yW ∂
.
−
MW L ∂y1 ∂yW MW L2 ∂y1 ∂yW
|
{z
}|
{z
}
2
+
Ŵb
y12 yW
L3
~
~2 2y1 yW ∂
~ yW ∂
∂2
+
+
M L ∂y 2 M
∂y12 MW L3 ∂y1
{z
}
} |
| 1 {z 1} | W {z
2
+
~ y1 ∂
∂
−
2
∂y1 MW L2 ∂y1
{z
}
}|
2
2
2
Ŵf
2
(4.22)
Ŵg
Ĥ (0) ist dabei die Summe der ungestörten Einteilchenhamiltonians für ein Teilchen der Masse M1 in einem unendlich hohen Kasten von y1 = 0 bis y1 = L und
eines Teilchens der Masse MW in einem harmonischen Potenzial. Mit den sieben
zusätzlichen Termen Ŵa , ..., Ŵg lässt sich nun gewöhnliche stationäre Störungsrechnung nach Gleichung (4.2) betreiben. Die schlecht zu handhabende Störung
in Form der Änderung der Randbedingung wurde durch die Transformation in
’gewöhnliche’ Störterme abhängig von verschiedenen Kombinationen der Ableitungen umgewandelt. Um nun die Wichtigkeit der einzelnen Störterme beurteilen
zu können, werden im Folgenden jeweils die Matrixelemente 0 hk, kW |Ŵx |j, jW i0
für x = a, ..., g berechnet und mit Hilfe der beiden dimensionslosen Entwicklungsparameter
r
1
M1
~2
,
β
=
λ=
(4.23)
1
1
M
4
W
4
M f L
W
verglichen. Die Gleichungen (4.24) bis (4.29) treten bei diesen Berechnungen häufiger auf:
¶
µ
¶
µ
Z L
4(−1)i+l ilL3
πi
πl
2
y1 sin
y1 dy1 = 2
(4.24)
y1 sin
L
L
π (i − l)2 (i + l)2
0
Z
L
0
µ
¶
µ
¶
πl
πi
(−1)i+l lL2
y1 cos
y1 dy1 =
y1 sin
L
L
π(i2 − l2 )
µ
¶
µ
¶
Z L
πl
πl
L2
y1 sin
y1 cos
y1 dy1 =
L
L
4lπ
0
yW |0i0HO
1
=√
2
µ√
MW f
~
¶− 21
|1i0HO
(4.25)
(4.26)
(4.27)
52 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
∂
1
|0i0HO = − √
∂yW
2
yW
µ√
MW f
~
¶ 12
|1i0HO
(4.28)
∂
1
1
|0i0HO = − √ |2i0HO − |0i0HO .
∂yW
2
2
(4.29)
Die |ni0HO sind die Eigenfunktionen eines harmonischen Oszillators, von denen
die ersten 6 (n = 0, ..., 5) im Anhang A.3 stehen.
Die Berechnung der Matrixelemente der einzelnen Störterme sowie die daraus
jjW
resultierenden Beiträge zum Entwicklungskoeffizienten 1 Ckk
in den gestörten EiW
genfunktionen werden nach Gleichung (4.3) im Anhang A.4 berechnet und durch
die Entwicklungsparameter (4.23) ausgedrückt. Die Berechnung muss jeweils getrennt für die Fälle gleicher und verschiedener Quantenzahlen {j, k} des Teilchens
im Kasten erfolgen. Für die Störterme Ŵc bis Ŵg werden nur Anregungen aus
dem Grundzustand jW = 0 des harmonischen Oszillators betrachtet.
Durch bestimmte Wahl der Modellparameter M1 , MW , f und L lassen sich die
zwei Entwicklungsparameter zu λ ≈ β ¿ 1 einstellen. In diesem Fall sind dann
nur 2 der 7 Störterme relevant, da alle anderen proportional zu einer höheren PojjW
zum
tenz als der ersten in den beiden Parametern {λ, β} sind. Die Beiträge 1x Ckk
W
Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung, die linear in {λ, β} sind, entstehen aus
folgendem Störoperator, der ab jetzt als Störoperator erster Ordnung bezeichnet
wird:
Ŵ (1) = Ŵc + Ŵf .
(4.30)
4.2.4
Vergleich der Wechselwirkungsenergie mit der
Energie des Produktzustands
Um die Richtigkeit der dargestellten Störungsrechnung zu überprüfen, wird die
Wechselwirkungsenergie des Störoperators erster Ordnung mit der Summe der
Energien der Einteilchensysteme verglichen (ungestörtes System). Dieser Vergleich findet auch nur für jW = 0 statt. Dies ist gleichzeitig ein Test für die
Richtigkeit der Annahme, der Ausgangszustand für die Störungsrechnung sei ein
Produktzustand aus den beiden Einzelzuständen des Teilchens im Kasten und
der Wand als harmonischer Oszillator.
Für den nichtwechselwirkenden Fall ergibt sich die Gesamtenergie nullter Ordnung zu (vergleiche Anhang A.3)
1
(0)
Ej,jW
(0)
Ej,0
=
=
EjKa
+
EjHO
W
³
~2 π 2 j 2 +
2M1 L2
¢
π 2 ~2 j 2
f2 ¡
1
j
+
=
+
~
W
1
2
2M1 L2
2
MW
´
2
β
λ2
.
(4.31)
(4.32)
4.2. Das Hamilton-Modell
53
Für die Energiekorrektur erster Ordnung gilt
(1)
Ej,0 = 0 hj, 0|Ŵ (1) |j, 0i0
(A.40),(A.48)
=
0
(4.33)
und zweiter Ordnung
(2)
Ej,jW =
(2)
Ej,0 =
=
X 0 hj, jW |Ŵ (1) |k, kW i00 hk, kW |Ŵ (1) |j, jW i0
(0)
(4.34)
(0)
k,kW
Ej,jW − Ek,kW
k,kW
Ej,0 − Ek,kW
¯2
¯
¯
¯
X ¯0 hj, 0|Ŵc |k, kW i0 + 0 hj, 0|Ŵf |k, kW i0 ¯
(0)
(0)
¯2
¯
¯
¯0
¯ hj, 0|Ŵc |j, 1i0 + 0 hj, 0|Ŵf |j, 1i0 ¯
(0)
+
(0)
Ej,0 − Ej,1
¯2
¯
¯
¯
X ¯0 hj, 0|Ŵc |k, 1i0 + 0 hj, 0|Ŵf |k, 1i0 ¯
(0)
(0)
Ej,0 − Ek,1
k6=j
1
π 4 j 4 ~4
2j 2 k 2 ~M1 f 2
~2
.
−
+
−
=
1
3
2
2
6
1
β2
8M
L
2M
f
L
2
2
2
2
2
2
2
2
4
W
1
2
2M1 MW f L
(π (j − k ) − 2 λ2 )MW (j − k )
(4.35)
π 2 j 2 ~3
Der Vergleich der Gleichungen (4.35) und (4.32) ergibt
(2)
Ej,0
(0)
Ej,0
= ³
π2j 2
1
2
´
³
λ
−
2
π 2 j 2 + βλ2
4 π2j 2 +
π4j 4
λ4
2
³
´
´
β
−
2
2
β2
π 2 j 2 + βλ2 β
λ2
4j 2 k 2
´³
+³
2
π 2 (j 2 − k 2 ) − 2 βλ2
π2j 2 +
´
2
β
λ2
β4
,
2
(j 2 − k 2 )2 λ
(4.36)
das heißt, die Energiekorrektur, hervorgerufen durch den Störoperator, ist immer
um den Faktor {λ, β}2 kleiner als die ursprüngliche Energie der beiden Teilsysteme. Die Annahme eines Produktzustands als Ausgangsfunktion für die Störungsrechnung ist also korrekt.
4.2.5
Berechnung des Erwartungswertes hxW i
Der Erwartungswert der Wand hxW i wird nun im wechselwirkenden System berechnet:
Z ∞ Z xW +L
W
W
hxW i = hj, jW |xW |j, jW i =
Ψ∗ (x1 , xW )xW Ψ(x1 , xW ) dx1 dxW .
−L
0
(4.37)
54 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
Da die Zustandsfunktionen des wechselwirkenden Systems nur im {y 1 , yW }Koordinatensystem vorliegen, muss das Integral in Gleichung (4.37) auch in dieses
Koordinatensystem transformiert werden. Dabei ist bei der Transformation der
beiden Differenziale dx1 und dxW die Funktionaldeterminante zu beachten.
¯
¯
¯ ∂(x1 , xW ) ¯
¯ dy1 dyW
hxW i =
Ψ (y1 , yW )yW Ψ(y1 , yW ) ¯¯
∂(y1 , yW ) ¯
−L 0
µ 2
¶
Z ∞Z L
yW
∗
Ψ (y1 , yW )
=
+ yW Ψ(y1 , yW ) dy1 dyW
L
−L 0
#
Z ∞Z L"
¢∗ ¡ HO
¢∗
¡ Ka
¢∗ ¡ HO
¢∗ X ¡1 jjW ¢∗ ¡ Ka
CkkW
ψk (y1 ) ψkW (yW )
·
ψj (y1 ) ψjW (yW ) +
≈
Z
∞
−L
·
≈
Z
Z
−L
∗
0
µ
∞
L
2
yW
+ yW
L
ψjHO
(yW )
W
¶"
µ
k,kW
(yW ) +
ψjKa (y1 )ψjHO
W
X
1
HO
jjW
(yW ) dy1 dyW
ψ Ka (y1 )ψm
Cmm
W
W m
m,mW

#
¶
2
X
 HO
yW
+ yW 
ψ
(y
)
+
2
W
 jW
L
k
W
kW 6=jW
1


jjW HO
 dyW .
ψ
(y
)
Cjk
W
W kW

(4.38)
Wiederum wird im Folgenden die Rechnung nur für jW = 0 durchgeführt. Dazu
benötigt man außer Gleichung (4.27) noch
2
yW
1
|0i0HO = √
L
2L
µ√
MW f
~
¶−1
|2i0HO
1
+
2L
µ√
MW f
~
¶−1
|0i0HO .
(4.39)
Die Ausweitung der unteren Integrationsgrenze in Gleichung (4.38) von −L nach
−∞ (näherungsweise erlaubt unter der Bedingung (4.16)) ergibt dann
#
¶"
2
X
y
W
1 j0
|0i0HO + 2
CjkW |kW i0HO
hxW i ≈ 0 h0|HO
+ yW
L
kW 6=0
"
#
µ√
¶− 21
µ√
¶−1
µ√
¶−1
1
MW f
M
f
1
M
f
1
W
W
0
0
0
= √
h2|HO +
h0|HO ·
h1|HO + √
~
~
2L
~
2
2L
"
#
X
j0
1
· |0i0HO + 2
CjkW |kW i0HO
µ
1
=
2L
µ√
kW 6=0
MW f
~
¶−1
+
√
2
µ√
MW f
~
¶− 12
1
j0
Cj1
√ µ√
¶−1
2
MW f
1 j0
Cj2
+
L
~
(4.40)
4.2. Das Hamilton-Modell
55
und mit den benötigten Koeffizienten
1
j0
=
Cj1
=
i
−1 h0
hj, 1|Ŵ (1) |j, 0i0
0
0
0
=
hj,
1|
Ŵ
|j,
0i
+
hj,
1|
Ŵ
|j,
0i
c
f
EjKa + E0HO − EjKa − E1HO
~ω
0
1 j0
c Cj1
π 2 j 2 λ3
1
j0
+ 1f Cj1
= √
− √ λ
2
2 β
2 2
3
1
1
4
~2
π 2 j 2 ~ 2 MW
− √
= √ 3
1
2f 4 L3 M1 2 2M 4 f 41 L
W
1
j0
Cj2
=
1 j0
c Cj2
(4.41)
j0
+ 1f Cj2
=0
(4.42)
ergibt sich
hxW ij =
π 2 ~2 j 2
.
M1 L 3 f
(4.43)
Allein durch die gemeinsame Behandlung der zwei Einteilchensysteme verschiebt
sich also der Erwartungswert der Position der Wand aus der Nulllage (Einteilchenproblem) heraus, hin zu positiven Werten. Für eine solche Auslenkung ist im
harmonischen Potenzial (Federkonstante f ) die Kraft
Fj = f hxW ij =
π 2 ~2 j 2
M1 L 3
erforderlich.
Für ein isoliertes Teilchen im Kasten der Länge L mit Energie EjKa =
ergibt sich nach der klassischen Definition der Kraft aus Gleichung (4.1)
FjKa = −
∂EjKa (L)
π 2 ~2 j 2
=
,
∂L
M1 L 3
(4.44)
π 2 ~2 j 2
2M1 L2
(4.45)
was exakt dem durch quantenmechanische Einbettung gewonnenen Resultat entspricht (Gleichung (4.44)):
FjKa ≡ f hxW ij .
(4.46)
Es ist also gelungen, für bestimmte Parameterbereiche (für die die Störungsrechnung gültig ist) zwei völlig verschiedene Größen miteinander zu verknüpfen.
Für {λ, β} ¿ 1 entspricht die einfache, aus dem isolierten Einzelsystem berechenbare ’klassische’ Kraftdefinition dem tatsächlichen quantenmechanischen Resultat, dass durch eine quantenmechanische Einbettung des ursprünglichen Systems
gefunden werden kann.
4.2.6
Varianz des Erwartungswertes hxW i
Die Varianz einer Größe A ist
(∆A)2 = hA2 i − hAi2 .
(4.47)
56 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
hxW i wird aus Gleichung (4.43) übernommen, hx2W i = W hj, jW |x2W |j, jW iW muss
noch berechnet werden. Die Rechnung erfolgt analog zu Gleichung (4.38) und
ergibt
µ 3
¶
yW
2
2
W
2
W
W
+ yW |jW iW
hxW i = hj, jW |xW |j, jW i ≈ hjW |HO
(4.48)
HO .
L
Mit Gleichung (4.39) und
√ µ√
¶− 32
µ√
¶− 23
3
3
MW f
MW f
3
0
0
yW |0iHO =
|3iHO + √
|1i0HO
2
~
~
2 2
(4.49)
sowie Gleichung (4.2) ergibt sich
µ 3
¶
¶
µ 3
X
yW
yW
1 j0 0
0
2
2
2
0
CjkW h0|HO
+ yW |0iHO + 2
+ yW |kW i0HO
hxW i ≈ h0|HO
L
L
kW 6=0
√
3
3
1 ~
~ 1 j0
3
~ 2 1 j0 √
3 ~ 2 1 j0
=
+√
Cj1 + 2 1 1 Cj2 +
C .
3
2 M 12 f 12
L M 34 f 43 j3
2
2L M 4 f 34
2
M
f
W
W
W
W
(4.50)
j0
j0
Die Koeffizienten 1 Cj2
und 1 Cj3
sind beide Null (siehe Anhang A.4). Somit folgt
(∆xW )2 ≈
8
3π 2 j 2 λ6 2 1 2 2 3 4 2
4 4λ
L
+
L
λ
−
λ
L
−
π
j
L2 .
2 β2
2
4
β4
(4.51)
Zum Vergleich: Die Varianz der Position der Wand im ungestörten Grundzustand
(ohne Teilchen im Kasten) beträgt
³
´2
1
(0)
∆xW = 0 h0|HO x2W |0i0HO = L2 λ2 .
(4.52)
2
Die Varianz besitzt also die selbe Größenordnung in den Entwicklungsparametern
wie der Erwartungswert der Größe selbst:
hxW i = π 2 j 2 L
λ4
.
β2
(4.53)
Für kleine L (10−9 m) aber ist die Varianz wesentlich kleiner als der Erwartungswert.
4.2.7
Verschränkung zwischen den zwei Subsystemen
Die Verschiebung der Wand auf eine zur thermodynamischen Definition des
Drucks passende Position beruht auf Wechselwirkung zwischen den beiden Subsystemen. Wechselwirkung führt grundsätzlich zu Verschränkung, aus dem ursprünglichen Produktzustand |j, jW i0 = |ji0Ka ⊗ |jW i0HO wird eine nicht mehr als
4.2. Das Hamilton-Modell
57
Produkt darstellbare Summe von Produktzuständen (Gleichung (4.2)), die noch
normiert werden muss:


|j, jW iW ≈
1 
|j, jW i0 +
N
X
1
k,kW
k6=j ∨ kW 6=jW

jjW
|k, kW i0 
Ckk
W
.
(4.54)
!
Der Normierungsfaktor N ergibt sich aus W hj, jW |j, jW iW = 1 zu
v
X
u
jjW 2
N =u
(1 Ckk
) .
1
+
W
t
(4.55)
k,kW
k6=j ∨ kW 6=jW
Ein Maß für die Verschränkung ist die Purity eines Teilsystems (Abschnitt 2.3.2),
z.B. der Wand (harmonischer Oszillator). Um diese zu berechnen, muss zuerst die
reduzierte Dichtematrix des Teilsystems gefunden werden (Gleichung (2.26)):
X
0
ρ̂HO =
hl|Ka ρ̂|li0Ka .
(4.56)
l
Wird die Dichtematrix des reinen Zustands des Gesamtsystems
1
|j, jW iW W hj, jW |
(4.57)
2
N
in Gleichung (4.56) eingesetzt, so ergibt sich
"
X
X
1
1 jjW
1 jjW
ρ̂HO = 2 |jW i0HO 0 hjW |HO +
CjnW |jW i0HO 0 hnW |HO +
CjnW |nW i0HO 0 hjW |HO
N
nW 6=jW
n 6=j
 W W
ρ̂ =
X
+
1
nW ,n0W ,k
{nW 6=jW ,n0W 6=jW } ∨ k6=j


jjW 1 jjW
0 0
0
|
|n
i
hn
Ckn
C
W HO  .
kn0W W HO
W

(4.58)
Wird diese reduzierte Dichtematrix quadriert und davon die Spur genommen, so
ergibt sich nach längerer Rechnung die Purity des Subsystems Wand zu
X
¡
¢2
¡
¢2
0
P HO = Sp{ ρ̂HO } =
hm|HO ρ̂HO |mi0HO
=
"
m
X¡
1
1+2
N4
k6=j
+
X
pW 6=jW ∨ k6=j
p0W 6=jW ∨ k0 6=j
1
1
jjW
Ckj
W
¢2
+2
X ¡
1
jjW
Cjp
W
pW 6=jW
¢2

+4

jjW 1 jjW 
C
Ckjj0 pW0 1 Ckjj0 pWW 1 Ckp
0
kp
W
.
W
W
X
1
jjW 1 jjW
Cjp
CkpW
W
pW 6=jW ,k6=j
(4.59)
58 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
Diese Gleichung kann für den niedrigsten Zustand des Systems (j = 1, jW =
j0 1 j0
j0
0) ausgewertet werden, wobei dann nur die Beiträge 1c Cj1
, f Cj1 und 1f Ck1
zum
Störungskoeffizienten erster Ordnung berücksichtigt werden müssen. Es ergibt
sich dann
·
¸
6
4
1 2
1
4λ
2λ
HO,0
Ka,0
P
≡P
≈ 4 1+π 4 −π 2 + λ
(4.60)
N
β
β
8
mit
X
1
N ≈ 1 + π 4 − π 2 + λ2 + 2
³
β
β
8
k6=1
4
4λ
6
2λ
8k 2
4
2
π 2 (1 − k 2 ) − 2 βλ2
´2
(1 − k 2 )
β4
. (4.61)
2
2λ
Die letzte Summe in dieser Gleichung kann noch analytisch zusammengefasst
werden.
Wird nun λ = β gesetzt, so folgt für die Purity des Subsystems Wand
P HO,0 ≈
1 + 87, 6645λ2
1 + 87, 672λ2
λ=10−3
≈
1 − 8 · 10−9 .
(4.62)
Entsprechend bleibt die durch die Verschränkung entstehende Entropie verschwindend gering.
4.2.8
Verallgemeinerung für den dreidimensionalen Fall
Druck ist Kraft dividiert durch die Fläche, auf die diese Kraft wirkt: P = FA . Für
einen Quader als ’Kasten’ und somit Begrenzung für das Teilchen 1 ist diese Verallgemeinerung zum dreidimensionalen Fall recht einfach, da die zusätzlichen, von
der Bewegungsmöglichkeit der einen Wand nicht beeinflussten zwei Dimensionen
einfach zwei weitere Freiheitsgrade konstanter Energie beisteuern.
PSfrag replacements
f
x3
x2
x1
0
L1 + x W
Abb. 4.4: Modell des dreidimensionalen Manometers.
Ist
V
Ka
(x; y, z) =
½
0 y≤x≤z
∞ sonst
(4.63)
4.2. Das Hamilton-Modell
59
ein unendlich hohes Kastenpotenzial der Breite (z − y) in der einen Dimension
x, so lässt sich das durch den Quader in Abbildung 4.4 gezeigte Potenzial in drei
Dimensionen folgendermaßen schreiben:
V (x1 , x2 , x3 ; xW ) = V Ka (x2 ; 0, L2 ) + V Ka (x3 ; 0, L3 ) + V Ka (x1 ; 0, L1 + xW ) + 12 f x2W .
(4.64)
Der Hamiltonian des dreidimensionalen Problems besteht somit aus der Summe
des eindimensionalen Hamiltonians aus Gleichung (4.8) mit zwei Einteilchenhamiltonians eines Teilchens der Masse M1 in den jeweils festen Kästen in x2 und
x3 . Die Energie ohne Wechselwirkung ist einfach die Summe der Energien des
Teilchens im Kasten sowie der Wand im harmonischen Potenzial:
µ
¶
¢
¡
j22
j32
π 2 ~2 j12
1
.
(4.65)
+
+
E=
+
~ω
j
+
W
2
2M1 L21 L22 L23
Dabei sind die ji die jeweiligen Quantenzahlen in der i-Richtung. Die Energie des
Teilchens im Kasten lässt sich mit V = L1 L2 L3 umschreiben in
µ
¶
π 2 ~2 j12 L22 L23
j22
j32
Ka
E{j} =
+ 2+ 2 ,
(4.66)
2M1
V2
L2 L3
womit sich formal für den Druck des isolierten Kastens
Pj1 = −
Ka
∂E{j}
∂V
=
π 2 ~2 j12 L22 L23
M1 V 3
(4.67)
ergibt.
Das Ergebnis für den Erwartungswert der Position der Wand bleibt von der
Erweiterung auf drei Dimensionen unberührt (Gleichung (4.43)):
hxW ij1 =
π 2 ~2 j12
M1 L31 f
(4.68)
und somit stimmt auch in diesem Fall (mit der Fläche A = L2 L3 ) die Formel
des quantenmechanischen ’Drucks’ - gewonnen durch die Einbettung - mit der
klassischen Gleichung (4.67) des isolierten Kastens überein:
Ka
∂E{j}
f hxW ij1
Fj1
π 2 ~2 j12
π 2 ~2 j12 L22 L23
Pj1 =
=
≡
−
.
=
=
A
L2 L3
M1 L31 L2 L3
M1 V 3
∂V
4.2.9
(4.69)
Verallgemeinerung auf zwei nichtwechselwirkende
Teilchen verschiedener Masse
Die Störungsrechnung, wie sie in den vorhergehenden Abschnitten für ein ZweiTeilchen-Problem (Teilchen im Kasten und Wand als harmonischer Oszillator)
60 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
behandelt wurde, gelingt auch für ein Drei-Teilchen-Problem (2 Teilchen verschiedener Masse im Kasten plus Wand), wobei hier nur der Fall nichtwechselwirkender
Teilchen im Kasten untersucht werden soll.
Ist x2 die Koordinate des zweiten Teilchens im Kasten und M2 6= M1 dessen
Masse, so hat der Hamiltonian dieses Problems die folgende Form (alle anderen
Koordinaten und Massen wie in Abschnitt 4.2.1):
Ĥ(x1 , xW ) = −
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
+ 12 f x2W +V (x1 , x2 , xW ) , (4.70)
−
−
2
2
2
2M1 ∂x1 2M2 ∂x2 2MW ∂xW
mit V (x1 , x2 , xW ) = F (x1 − xW − L) + F (−x1 ) + F (x2 − xW − L) + F (−x2 ) und
F (z) aus Gleichung (4.13).
Transformiert werden muss nun jede der Teilchen-im-Kasten-Koordinaten:
yW = x W
x1
L;
y1 =
xW + L
x2
L;
y2 =
xW + L
(4.71)
y1
x1 = (yW + L)
L
y2
x2 = (yW + L) ,
L
(4.72)
(4.73)
was wiederum zu einer Separierung des Potenzialterms V (x 1 , x2 , xW ) führt, diesmal für beide Koordinaten x1 und x2 . Die Abbildungen 4.3(a) und 4.3(b) gelten
nun also für jede der Koordinaten x1 , y1 bzw. x2 , y2 unabhängig voneinander.
Bei der Transformation der Ableitungen im Hamiltonian muss darauf geachtet
werden, dass statt Gleichung (A.21) eine Funktion abgeleitet wird, die von drei
Koordinaten abhängt:
f = f (x1 , x2 , xW ) = f (x1 (y1 , y2 , yW ), x2 (y1 , y2 , yW ), xW (y1 , y2 , yW )) .
(4.74)
Die Ableitungen nach den beiden Koordinaten x1 und x2 bleiben davon unberührt, die zweite Ableitung nach der Wandkoordinate x W aber ’verdoppelt’ sich
und erhält einen Zusatzterm:
2
X
∂ 2f
=
x2W
k=1
µ
+2
yk
yW + L
¶2
∂f
∂ 2f
2yk
2yk
∂ 2f
∂ 2f
+
+
−
2
∂yk2
yW + L ∂yk ∂yW (yW + L)2 ∂yk ∂yW
∂ 2f
y1 y2
.
(yW + L)2 ∂y1 ∂y2
(4.75)
Die Entwicklung des Hamiltonians im transformierten Koordinatensystem für
4.2. Das Hamilton-Modell
yW
L
61
¿ 1 führt dann auf folgenden Ausdruck:
Ĥ(y1 , y2 , yW ) ≈
2
X
|k=1
−
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
Ka
2
+
V
(y
;
0,
L)
−
+ 21 f yW
k
2
2Mk ∂yk2
2MW ∂yW
{z
}
Ĥ (0)

2 
2
2
2
2
X

 − ~ yk ∂ − ~ yk ∂
+
 2MW L2 ∂y 2 MW L2 ∂yk
k |
k=1 |
{z
}
{z
}
Ŵb,k
Ŵa,k
+
~2 yk2 yW ∂ 2
~2 2yk yW ∂
~ 2 yW ∂ 2
+
+
M L ∂y 2 M
L3 ∂yk2 MW L3 ∂yk
{z
}
| k {z k} | W {z
} |
Ŵc,k
Ŵe,k
Ŵd,k

~ 2 yk ∂ 2
~ 2 yk yW ∂ 2 

+
−

2
MW L ∂yk ∂yW MW L ∂yk ∂yW 
{z
}|
{z
}
|
Ŵf,k
Ŵg,k
~ y1 y2 ∂
~ 2y1 y2 yW ∂ 2
−
+
M L2 ∂y ∂y
M
L3 ∂y1 ∂y2
| W {z 1 2} | W
{z
}
2
2
2
Ŵh
(4.76)
Ŵi
(V Ka aus Gleichung (4.63)).
Die neuen ungestörten Drei-Teilchen-Zustände lassen sich nun in der folgenden
Form aufschreiben:
|j1 , j2 ; jW i0 = |j1 iKa ⊗ |j2 iKa ⊗ |jW iHO .
(4.77)
Für die Störungsrechnung analog zu Gleichung (4.3) gilt:
X
1 j1 ,j2 ,jW
|j1 , j2 ; jW iW ≈ |j1 , j2 ; jW i0 +
Cm1 ,m2 ,mW |m1 , m2 ; mW i0 ,
(4.78)
m1 ,m2 ,mW
1
j1 ,j2 ,jW
=
Cm
1 ,m2 ,mW
0
hm1 , m2 ; mW |Ŵ |j1 , j2 ; jW i0
(0)
(0)
Ej1 ,j2 ,jW − Em1 ,m2 ,mW
.
(4.79)
Für die neuen Terme Ŵh und Ŵi im Störoperator werden nun analog zu Anhang A.4
q die´Beiträge zum Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung berechnet
³
βi ≡ MMWi :
• Ŵh :
0
hm1 , m2 ; mW |Ŵh |j1 , j2 ; jW i0 = 0 hm1 , m2 |Ka Ŵh |j1 , j2 i0Ka δmW jW
(4.80)
62 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
– m1 6= j1 , m2 6= j2 :
0
hm1 , m2 |Ka Ŵh |j1 , j2 i0Ka
Z LZ L
³ πm ´
³ πm ´
~2 4
1
2
y
y2 ·
y
y
sin
sin
=−
1
1 2
MW L 4 0 0
L
L
µ
¶
µ
¶
πj1
πj2
∂2
sin
y1 sin
y2 dy1 dy2
·
∂y1 ∂y2
L
L
~2 4 π 2 j1 j2 (−1)m1 +j1 m1 L2 (−1)m2 +j2 m2 L2
(4.25)
= −
MW L 4 L 2
π(j12 − m21 )
π(j22 − m22 )
1 j1 ,j2 ,jW
h Cm1 ,m2 ,mW
=−
(4.81)
j1 ,j2 ,jW
≡ 1h Cm
1 ,m2 ,jW
8(−1)j1 +m1 +j2 +m2 j1 j2 m1 m2
£
¤ (4.82)
π 2 (j12 − m21 )(j22 − m22 ) β1−2 (j12 − m21 ) + β2−2 (j22 − m22 )
– m1 6= j1 , m2 = j2 : mit Gleichung (4.26) ergibt sich
1 j1 ,j2 ,jW
h Cm1 ,j2 ,jW
=
2(−1)j1 +m1 j1 m1 2
β
π 2 (j12 − m21 )2 1
(4.83)
und mit m1 = j1 , m2 6= j2 das entsprechend symmetrische Resultat.
jjW
im An– mk = jk , ml = jl : kein Beitrag, da jW = mW (vergleiche 1a Cjj
W
hang A.4).
• Ŵi nur für jW = 0:
0
hm1 , m2 ; mW |Ŵi |j1 , j2 ; 0i0
2~2 0
∂2
=
hm
,
m
|
y
y
|j1 , j2 i0Ka 0 hmW |HO yW |0i0HO
1
2 Ka 1 2
MW L 3
∂y1 ∂y2
µ
¶
Z L
5 √
³ πm ´
2
πj1
(4.27) ~ 2 4 2π j1 j2
1
y1 cos
y1 dy1 ·
=
y1 sin
5
1
L
L
4
0
MW
f 4 L7
µ
¶
Z L
³ πm ´
πj2
2
·
(4.84)
y2 sin
y2 cos
y2 dy2 δmW 1
L
L
0
– m1 6= j1 , m2 6= j2 : mit Gleichung (4.25):
√
4 2(−1)j1 +m1 +j2 +m2 j1 j2 m1 m2
=
·
5
1
(j12 − m21 )(j22 − m22 )
M 4 f 4 L3
3
1 j1 ,j2 ,0
i Cm1 ,m2 ,1
~2
W
·
π2 ~
2L2
h
1
1
(j 2
M1 1
− m21 ) +
1
(j 2
M2 2
i q
− m22 ) − MfW
(4.85)
4.2. Das Hamilton-Modell
63
– m1 6= j1 , m2 = j2 : mit den Gleichungen (4.25) und (4.26):
√
2 2(−1)j1 +m1 j1 m1
1
1 j1 ,j2 ,0
2
2 β λ
i Cm1 ,j2 ,1 = −
2
2
2 β1 1
2
2
j1 − m 1
j −m − 2 2
1
1
(4.86)
π λ
und mit m1 = j1 , m2 6= j2 das entsprechend symmetrische Resultat.
– m1 = j1 , m2 = j2 : mit Gleichung (4.26):
1 j1 ,j2 ,0
i Cj1 ,j2 ,1
1
= − √ λ3 .
2 2
(4.87)
Wird in den Gleichungen (4.82) und (4.85) M1 ≈ M2 gesetzt, so sieht man,
dass die entsprechenden Terme proportional zu β12 bzw. β12 λ sind. Somit sind alle
durch die zwei zusätzlichen Terme im Hamiltonian hervorgerufenen Beiträge zum
Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung höherer Ordnung als der ersten und
damit vernachlässigbar.
Die weitere Rechnung erfolgt nun analog zu Abschnitt 4.2.5:
hxW i = W hj1 , j2 ; jW |xW |j1 , j2 ; jW iW
¯
¯
Z ∞Z LZ L
¯ ∂(x1 , x2 , xW ) ¯
∗
¯
¯ dy1 dy2 dyW
=
Ψ (y1 , y2 ; yW )yW Ψ(y1 , y2 ; yW ) ¯
¯
∂(y
,
y
,
y
)
1 2 W
−L 0
0


µ 3
¶
Z ∞
2
X
yW
yW

 HO
1 j1 ,j2 ,jW
HO
(y
)
≈
ψjHO
(yW ) dyW .
(y
)
+
2
Cj1 ,j2 ,mW ψm
+
2
+
y
ψ

W
W
W
jW
W
W
2
L
L
−L
mW
mW 6=jW
(4.88)
Mit der Verschiebung der Integrationsgrenze von −L auf −∞ und für jW = 0 gilt
also


µ 3
¶
2
X
yW
yW


1 j1 ,j2 ,0
hxW i = h0|HO
Cj1 ,j2 ,mW |mW iHO  . (4.89)
|0i
+
2
+
2
+
y

HO
W
2
L
L
mW
mW 6=0
Mit den Gleichungen (4.27), (4.39) und (4.49) und unter Berücksichtigung nur
der nichtverschwindenden Entwicklungskoeffizienten ergibt sich
·
µ
¸¶
√
√
3 3
2
1 j1 ,j2 ,0
hxW i = L λ + Cj1 ,j2 ,1
2λ + √ λ
(4.90)
≈ Lλ2 + 2Lλ 1 Cjj11,j,j22,1,0
2
³ 2
´
2 3
j
j2
und mit 1 Cjj11,j,j22,1,0 = c,11 Cjj11,j,j22,1,0 + f,11 Cjj11,j,j22,1,0 + c,21 Cjj11,j,j22,1,0 + f,21 Cjj11,j,j22,1,0 = π√λ2 β12 + β22 −
1
√1 λ
2
hxW ij1 ,j2
π 2 ~2
= 3
Lf
µ
j2
j12
+ 2
M1 M2
¶
.
2
(4.91)
64 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
Auch in diesem Fall gelingt also die Ableitung der Größe ’Kraft’ bzw. ’Druck’ aus
der quantenmechanischen Einbettung. Die ’klassische’ Kraft für zwei Teilchen mit
den Quantenzahlen j1 und j2 in einem Kasten ist
FjKa
1 ,j2
µ
·
¶¸
∂EjKa
∂ π 2 ~2 j12
j22
1 ,j2
=−
=−
+
∂L
∂L 2L2 M1 M2
(4.92)
was wiederum genau dem Erwartungswert der Wandkoordinate multipliziert mit
der Federkonstanten f entspricht:
FjKa
≡ f hxW ij1 ,j2 .
1 ,j2
(4.93)
Die Einschränkung auf zwei Teilchen verschiedener Massen resultiert aus dem
zusätzlichen Term Ŵh im Hamiltonian und dem damit verknüpften Beitrag zum
Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung (Gleichung (4.82)). Gilt M1 = M2 und
damit β1 = β2 , so divergiert der Beitrag aus Gleichung (4.82) für bestimmte
Kombinationen der Quantenzahlen j1 , j2 , m1 , m2 . Dies wiederum folgt aus der
Tatsache, dass die Zustände |j1 , j2 ; jW i und |j2 , j1 ; jW i für M1 = M2 zum selben
Energieeigenwert gehören, die entsprechenden Energien also entartet sind. Treten
entartete Energien in einer Störungsrechnung auf, so darf die Störungstheorie,
so wie sie hier gezeigt wurde, nicht verwendet werden. Sie muss ersetzt werden
durch die Störunstheorie für Systeme mit Entartung, was den Rechenaufwand
aber wesentlich steigert.
Diese bei Mehrteilchensystemen auftretenden Entartungen sind auch der
Grund dafür, dass eine weitere Verallgemeinerung auf N nichtwechselwirkende
Teilchen im Kasten mit dieser simplen Störungsrechnung nicht gelingt, obwohl
gegenüber dem Problem der zwei Teilchen im Kasten keine wesentlichen weiteren
Schwierigkeiten auftreten (keine weiteren Störterme im transformierten Hamiltonian, die Funktionaldeterminante lässt sich analytisch berechnen und es lässt sich
numerisch zeigen, dass deren Beiträge vernachlässigbar sind). Eventuell könnte
es möglich sein, die Zustände der N Teilchen im Kasten zu einem einzigen Zustand mit entsprechendem statistischen Gewicht zusammenzufassen und dann ein
Zwei-Teilchen-Problem mit der Wand zu lösen. Für dieses Vorgehen fehlte aber
leider die Zeit.
4.3
Zusammenfassung
Anhand des Modellsystems Quanten-Manometer konnte explizit gezeigt werden,
∂E
dass der Name ’Druck’ für die klassische Größe − ∂V
eines isolierten Systems auch
in der Quantenmechanik Sinn macht. Sie korrespondiert in gewissen Parameterbereichen mit der rein quantenmechanischen, durch eine mechanische Einbettung
mit Hilfe quantenmechanischer stationärer Störungsrechnung gewonnenen Größe
4.3. Zusammenfassung
65
des Erwartungswertes der Ortskoordinate. Entsprechend kann - wie in einem thermodynamischen System (vergleiche Punkt 2 in Unterkapitel 2.4) - durch Variation
äußerer Parameter die Energie des Systems über die Beeinflussung des Spektrums
verändert werden. Dieses Gelingen der (quanten)mechanischen Einbettung in diesem Fall ist ein weiterer Schritt hin zu einer allgemeineren Verbindung zwischen
Thermodynamik und Quantenmechanik.
Weiterhin ist es z.B. vorstellbar, tatsächlich den Druck eines in einem Potenzialkasten gefangenen Teilchens durch eine Vielzahl von Ortsmessungen (Ensemblemessung bei großer Varianz) zu bestimmen.
Die hier gezeigte Berechnung ist nur in gewissen Parameterbereichen gültig
und untersuchte nur hinreichende Bedingungen. Es ist nicht ausgeschlossen, dass
die Herleitung auch für andere Parameterbereiche der Entwicklungsparameter λ
und β gültig ist, insbesondere für λ 6≈ β.
Entgegen den Folgerungen aus Kapitel 3 und entgegen den Annahmen aus Kapitel 5 bezüglich der Besetzung der Energielevel wurden hier keine thermischen
Zustände vorausgesetzt bzw. untersucht. Die Ableitung gilt also streng nur für
T → 0. Für die Anschauung ist es auch wichtig zu betonen, dass das behandelte
Zwei-Teilchen-System das abgeleitete Verhalten nur dann dynamisch zeigen kann,
wenn eine genügend große Umgebung mit dem richtigen Energiespektrum angekoppelt wird. Wird das abgeschlossene System z.B. im Zustand |ji Ka und |0iHO
präpariert, so wird es im Produktzustand aus diesen beiden Einteilchenzuständen
verweilen. Der Gesamtzustand kann sich erst verändern und die Subsysteme miteinander verschränken, wenn eine Umgebung angekoppelt wird, die entsprechende
’Übergangslevel’ bereitstellt. Diese dynamische Sichtweise soll hier aber bewusst
außen vor gelassen werden um den Unterschied zwischen thermodynamischer und
(quanten)mechanischer Einbettung zu betonen.
Die Varianz der für den Druck relevanten Ortskoordinate der Wand wurde
berechnet und das Modell auf drei Dimensionen verallgemeinert. Die Verschiebung der Wand und somit der Druck hat ihren Ursprung in der Wechselwirkung
der beiden Subsysteme ’Teilchen im Kasten’ und ’Wand’, was zu Verschränkung
führen muss. Als Maß für diese sehr geringe Verschränkung wurde die Purity des
Subsystems Wand berechnet.
Auch für zwei Teilchen im Kasten mit verschiedenen Massen gelingt die Ableitung. Eine weitere Verallgemeinerung auf N Teilchen macht aber nur Sinn für
Teilchen gleicher Massen (man denke an N in der Größenordnung von 1023 ).
Dann aber treten Entartungen der Energien auf, deren Entartungsgrad für große
N sehr groß sind. Für Systeme mit Entartung reicht die Behandlung in der hier
gezeigten Weise nicht aus, die rechenintensivere Störungstheorie mit Entartung
müsste angewendet werden, was aber in dieser Arbeit nicht gemacht wurde. Zu
erwarten für einen solchen Übergang aus der Quantenmechanik hin zur klassichen Mechanik (viele Teilchen), wäre ein Abfallen des Verhältnisses Varianz zu
2
W)
. Dies allerdings wurde ebenfalls nicht untersucht.
Erwatungswert, (∆x
hxW i
66 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Stationäres Quanten-Manometer”
Weitere interessante Verallgemeinerungen des hier gezeigten Modells wären
die Berücksichtigung von
• Ausgangszuständen des harmonischen Oszillators mit jW > 0 sowie
• thermischer Besetzung der Basiszustände.
Kapitel 5
Quantenthermodynamische
Kreisprozesse
5.1
Einleitung
Wie schon im vorigen Kapitel geht es hier wiederum um die ’Miniaturisierung’
von in der klassischen Thermodynamik häufig verwendeten Systemen und Prozessen. Thermodynamische Kreisprozesse stellen in gewisser Weise die Fortführung
des im vorigen Kapitel Beschriebenen dar, wobei die allgemeinen Ergebnisse aus
Kapitel 3 dabei nicht außer Acht gelassen werden dürfen, wie dies z.B. in einigen Publikationen geschieht [35]. In diesem Kapitel werden nun die beiden in
Unterkapitel 2.4 beschriebenen Einbettungen aus den Kapiteln 3 und 4 miteinander vereint, was einen weiteren Schritt in Richtung Thermodynamik darstellt.
Thermodynamische Maschinen stehen per Definition zumindest zeitweise mit einem großen Umgebungssystem in Kontakt (thermodynamische Einbettung (Kapitel 3)) was zu typisch thermodynamischem Verhalten (Boltzmann-Verteilung)
und dem Gebrauch der Temperatur zur Beschreibung der Systeme führt. Sie leisten aber auch Arbeit bzw. an ihnen wird Arbeit verrichtet, beides durch Variation
äußerer Parameter ((quanten)mechanische Einbettung (Kapitel 4)).
Den ersten Teil der folgenden Untersuchung bildet eine kurze Betrachtung
zur wichtigsten thermodynamischen Maschine, der Carnot-Maschine in der klassischen Thermodynamik. Danach wird dieser Prozess in die Quantenmechanik
’übersetzt’, wobei neue Definitionen der Begriffe ’adiabatisch’ und ’isotherm’ entsprechend den beiden Einbettungen aufgestellt werden müssen. Ein Beispiel für eine verallgemeinerte thermodynamische Maschine liefert der Carnot-Prozess eines
quantenmechanischen Harmonischen Oszillators (Abschnitt 5.3.1) und anschließend wird allgemein gezeigt, dass mit den hier gemachten Annahmen bezüglich
der Entropie und Energieverteilung in quantenthermodynamischen Systemen kein
vom klassischen Carnot-Wirkungsgrad abweichender Wirkungsgrad einer Quantenmaschine zu erwarten ist. Wäre dies der Fall, so würde eine solche Maschine
67
PSfrag replacements
68
Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse
P
➀
IV
TH
I
➁
➃
III
II
TC ➂
0
V
Abb. 5.1: Der Carnot-Kreisprozess im Druck-Volumen-Diagramm. Die Adiabaten
sind gestrichelt, die Isothermen durchgezogen.
den Zweiten Hauptsatz verletzen, wie sich schon durch klassische Überlegungen
leicht zeigen lässt [39] (Abschnitt 5.2.2).
5.2
Carnot-Prozess
Der Carnot-Prozess ist ein aus vier Schritten bestehender reversibler Kreisprozess,
der zwischen den beiden Wärmereservoirs der jeweils konstanten Temperaturen
TH und TC < TH mit dem Wirkungsgrad ηCarnot Wärmeenergie in mechanische
Arbeit umwandelt. Die vier Prozessschritte sind (Abbildung 5.1):
I Isotherme (T = TH ) Ausdehnung von Punkt ➀ nach Punkt ➁ unter Abgabe
der Arbeit WI und Aufnahme der Wärmeenergie QI aus dem wärmeren
Wärmereservoir.
II Adiabatische Ausdehnung von Punkt ➁ nach Punkt ➂ unter Abgabe der
Arbeit WII .
III Isotherme (T = TC ) Kompression von Punkt ➂ nach Punkt ➃ unter Aufnahme der Arbeit WIII und Abgabe der Wärmeenergie QIII an das kältere
Wärmereservoir.
IV Adiabatische Kompression von Punkt ➃ nach Punkt ➀ unter Aufnahme
der Arbeit WIV .
Der Wirkungsgrad der Maschine ist die Effizienz der Umwandlung der aufgenommenen Wärme zu verrichteter mechanischer Arbeit, d.h. der Koeffizient der
beiden Größen:
P
W
WI + WII + WIII + WIV
η=
=
.
(5.1)
QI
QI
5.2. Carnot-Prozess
5.2.1
69
Herleitung des Carnot-Wirkungsgrades
Aus dem Energieerhaltungssatz ergibt sich
η=
P
W = QI − QIII und somit
QIII
QI − QIII
=1−
.
QI
QI
(5.2)
An die klassische Carnot-Maschine werden nun die folgenden drei Bedingungen
gestellt:
1. Es handelt sich um einen Kreisprozess, d.h. die Entropie der Maschine darf sich nach dem Durchlaufen eines Zyklus nicht verändert haben:
∆SM aschine = 0 .
2. Die Entropieaufnahme und -abgabe erfolgt reversibel, d.h. es gilt die Glei.
chung dS = dQ
T
3. Die Entropieaufnahme und -abgabe erfolgt isotherm (für die adiabatischen
Schritte gilt per Definition ∆Sadiabatisch = 0).
Aus den Bedingungen 2 und 3 ergibt sich
Z
Z
1
dQ
=
dQ
S=
T
T
also
∆SI =
QI
,
TH
⇒
SIII =
∆S =
∆Q
T
(5.3)
QIII
TC
(5.4)
QIII
TC
=1−
QI
TH
(5.5)
und mit Bedingung 1: ∆SI = ∆SIII
QI
QIII
=
TC
TH
⇒
ηCarnot = 1 −
[25].
Dass dieses ηCarnot der einzig mögliche Wirkungsgrad für reversibel arbeitende
Maschinen ist, kann recht schnell gezeigt werden:
5.2.2
Eindeutigkeit von ηCarnot
Eine Carnot-Maschine arbeitet als Wärmekraftmaschine mit dem Wirkungsgrad
η (1) zwischen zwei Wärmereservoirs mit den Temperaturen TH und TC . Die dabei
erzeugte mechanische Arbeit W (1) wird von einer zweiten Maschine mit Wärmekraftmaschinenwirkungsgrad η (2) teilweise dazu verwendet, die durch Maschi(1)
(2)
ne 1 dem warmen Wärmereservoir entzogene Wärmemenge QH = QH wieder
zuzuführen. Maschine 2 arbeitet als reversible Wärmepumpe (Umkehrung der
Wärmekraftmaschine). Für die verbleibende mechanische Arbeit ∆W gilt
∆W = W (1) − W (2) = (η (1) − η (2) )QH
(5.6)
70
Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse
(η: Wärmekraftmaschinenwirkungsgrad; Wärmepumpenwirkungsgrad ηW P =
− QWH = − η1 ). Für η (1) 6= η (2) folgt ∆W 6= 0, d.h. es geschieht nichts anderes
(dem wärmeren Wärmebad wird genau die gleiche Wärmemenge zugeführt wie
abgeführt), als die Erzeugung mechanischer Arbeit unter Abkühlung eines Wärmebades. Dies aber ist ein Widerspruch zum Zweiten Hauptsatz (Verbot eines
Perpetuum mobiles 2.Art). Somit existiert nur ein Wirkungsgrad für reversibel
arbeitende Wärmekraftmaschinen, nämlich ηCarnot .
5.3
Carnot-Prozess in der Quantenmechanik
Für eine Quantenversion des Carnot-Prozesses werden die einzelnen Prozessschritte wie im Klassischen gewählt. Die Bedeutung von ’adiabatisch’ und ’isotherm’ in der Quantenmechanik muss jedoch genauer betrachtet werden.
Das Arbeitsmedium, das mindestens zwei Energieniveaus verschiedener Energie besitzen muss, wird im quasistatischen Carnot-Prozess mit Wärmereservoirs
in Kontakt gebracht und muss auch in irgendeiner Form von seiner Umgebung
(’Kasten’) fixiert sein. Ein kleines System, gekoppelt an eine große Umgebung,
geht nach Kapitel 3 in ein thermisches Gleichgewicht über, in dem Sinne, dass die
Besetzungswahrscheinlichkeiten auf den Energieniveaus des Systems Boltzmannverteilt sind. Anzunehmen, man könne ein System in einem reinen Zustand scharfer Energie präparieren und mit diesem unendlich lange dauernde Prozesse in
Kontakt mit einer Umgebung fahren (wie z.B. in [35]), ist also Unsinn bzw. gilt
näherungsweise nur für T → 0. Die beiden Arten der Prozessführung werden nun
folgendermaßen definiert:
1. adiabatisch: Die Besetzungswahrscheinlichkeiten pn (En ) der Energieniveaus En bleiben konstant (adiabatic following [40] [13]).
2. isotherm: Die Besetzungswahrscheinlichkeiten pn (En ) dürfen sich ändern,
bleiben aber während des Prozesses Boltzmann-verteilt zur Temperatur T
der Umgebung:
³
´
En
exp − kB T
´.
³
pn (En ) = pnBoltzmann (En ) ≡ P
(5.7)
∞
Em
exp
−
m=1
kB T
Die spezielle Variable Volumen V wird im Folgenden durch eine allgemeine Arbeitsvariable a, das ’verallgemeinerte Volumen’ , ersetzt. Für die vier Schritte des
Quanten-Carnot-Prozesses gilt also (vergleiche Abbildung 5.1)
I Isotherme Ausdehnung: pn = pn (a, TH = const.),
II Adiabatische Ausdehnung: pn = const. = pn (a➁ , TH ) = pn (a➂ , TC ),
5.3. Carnot-Prozess in der Quantenmechanik
71
III Isotherme Kompression: pn = pn (a, TC = const.),
IV Adiabatische Kompression: pn = const. = pn (a➃ , TC ) = pn (a➀ , TH ).
Da der Gesamtprozess reversibel ablaufen soll, d.h. es dürfen keine Sprünge in
den Besetzungswahrscheinlichkeiten pn (En ) auftreten, ergeben sich Anschlussbedingungen zwischen den einzelnen Prozessschritten:
1. Nach der adiabatischen Expansion (Schritt II) muss die Besetzungswahrscheinlichkeit Boltzmann-verteilt zur Temperatur T C sein:
!
pn (a➁ , TH ) = pn (a➂ , TC ) = pnBoltzmann (En (a➂ ), TC ) .
(5.8)
2. Nach der adiabatischen Kompression (Schritt IV) muss die Besetzungswahrscheinlichkeit Boltzmann-verteilt zur Temperatur T H sein:
!
pn (a➃ , TC ) = pn (a➀ , TH ) = pnBoltzmann (En (a➀ ), TH ) .
(5.9)
Die zum verallgemeinerten Volumen a konjugierte intensive Größe, der ’verallgemeinerte Druck’ b, soll mit der Energie E analog zu Kapitel 4 definiert sein:
∂En
∂E
; für die diskreten Energieniveaus: bn = −
.
(5.10)
∂a
∂a
Damit lässt sich die Arbeit in einem Prozessschritt berechnen:
Z a2 X
Z a2
X Z a2 ∂En
pn
pn bn da = −
b da =
W =
da
∂a
a
a1
a1
1
n
n
µ
¶ X Z a2
Z a2
X
∂p
∂pn
part.Int.
n
a2
= −
[pn En ]a1 −
En da =
En da − E(a2 ) + E(a1 ) .
∂a
∂a
a
a
1
1
n
n
(5.11)
b=−
Bei den adiabatischen Schritten II und IV bleiben die Besetzungswahrscheinlichn
keiten konstant, d.h. ∂p
= 0, es gilt also
∂a
WII = E(a➁ ) − E(a➂ ) = E➁ − E➂ ,
WIV = E(a➃ ) − E(a➀ ) = E➃ − E➀ .
Für die isothermen Schritte I und III gilt
Z a➁ X
∂pn (a, TH )
WI =
En (a)da − E➁ + E➀
∂a
a➀
Z a➃ X
∂pn (a, TC )
WIII =
En (a)da − E➃ + E➂ .
∂a
a➂
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
72
Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse
und die in Schritt I aufgenommene Wärme QI ergibt sich über die Energieerhaltung:
QI = WI + ∆EI = WI + E➁ − E➀ , .
(5.16)
Damit lässt sich für den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses in der Quantenmechanik (Gleichung (5.1)) die folgende Formel angeben:
R a➃ P ∂pn (a,TC )
En (a) da
∂a
a
QM
ηCarnot = 1 + R a➂➁ P ∂pn (a),T
.
(5.17)
H
En (a) da
∂a
a➀
5.3.1
Beispiel: Harmonischer Oszillator (HO)
Im Folgenden soll als Beispiel ein harmonischer Oszillator als thermodynamische
Maschine betrachtet werden, indem die Eigenkreisfrequenz ω als verallgemeinerte
Arbeitsvariable a gewählt wird. Dieses ω stelle man sich analog zum Volumen V
in den üblichen Gas-Maschinen vor, d.h. es soll möglich sein, ω von außen zu
ändern.
Die Eigenenergien eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators sind
En = ~ω(n + 12 ) .
(5.18)
Damit kann die Zustandssumme (der Nenner in der Boltzmann-Verteilung aus
Gleichung (5.7)) berechnet werden:
∞
X
−
~ω(m+ 1
2)
kB T
=e
− 2k~ω T
∞ ³
X
− k~ωT
´m
=
e
− 2k~ω T
B
.
(5.19)
1−e B
Im letzten Schritt wurde dabei die Formel für die unendliche geometrische Reihe [41]
∞
X
1
qn =
(5.20)
1−q
n=0
m=1
e
B
m=1
e
B
− k~ωT
verwendet. Für die Besetzungswahrscheinlichkeiten ergibt sich somit
³
´
− k~ωT n
− k~ωT
B
B
pn = e
1−e
.
(5.21)
Ausgehend davon kann der Wirkungsgrad ηHO für die Harmonische-OszillatorMaschine nach Gleichung (5.17) berechnet werden. Dabei müssen die Anschlussbedingungen (5.8) und (5.9) berücksichtigt werden, die zu den folgenden Bedingungen führen:
TH
TC
ω2 =
ω3 ,
ω4 =
ω1 .
(5.22)
TC
TH
Die recht aufwändige Rechnung findet sich im Anhang A.5. Das Ergebnis ist der
Carnot-Wirkungsgrad
TC
QM
ηHO
= ηCarnot = 1 −
.
(5.23)
TH
5.3. Carnot-Prozess in der Quantenmechanik
5.3.2
73
QM
Allgemeiner Beweis für ηCarnot
= ηCarnot
Im Folgenden wird gezeigt, dass für eine allgemeine quantenmechanische CarnotMaschine in einem zweidimensionalen thermodynamischen Zustandsraum (S =
S(T, a); T : Temperatur, a: Arbeitsvariable) unter gewissen thermodynamischen
Bedingungen der Carnot-Wirkungsgrad gilt [34]. Diese beiden Bedingungen können wir folgt formuliert werden:
1. Das Arbeitsmedium der Maschine steht in den isothermen Schritten in thermodynamischem Kontakt mit seiner Umgebung, dem ’Kasten’, und geht somit in den Zustand maximaler lokaler Entropie über (vergleiche Kapitel 3),
d.h. die Wahrscheinlichkeiten pn (En ), das System im Zustand der Energie
En anzutreffen, sind Boltzmann-verteilt (Gleichung (5.7)).
2. Die lokale von-Neumann
P Entropie der reduzierten Dichtematrix des Arbeitsmediums, S = −kB pn ln pn , entspricht der thermodynamischen Entropie.
Wenn nun gezeigt werden kann, dass für reversible Prozesse unter diesen beiden
gilt, kann weiter wie in
Annahmen die thermodynamische Relation dS = dQ
T
Abschnitt 5.2.1 argumentiert werden und es gilt dann
QM
.
ηCarnot = ηCarnot
(5.24)
dS ist ein vollständiges Differenzial und kann mit der Arbeitsvariablen a folgendermaßen aufgelöst werden:
¯
¯
∂S ¯¯
∂S ¯¯
dS =
da +
dT .
(5.25)
∂a ¯T
∂T ¯a
Mit der von-Neumann Entropie ergibt das
!
Ã
!
Ã
X ∂pn ¯¯
X ∂pn ¯¯
X ∂pn ¯¯
X ∂pn ¯¯
¯ ln pn +
¯
¯ ln pn +
¯ dT .
da−k
dS = −kB
¯
¯
¯
¯
∂a
∂a
∂T
∂T
T
T
a
a
n
n
n
n
(5.26)
Setzt man
=
³ in ´diese Gleichung die Boltzmann-Verteilung mit Z
P∞
Em
ein, so ergibt sich mit
m=1 exp − kB T
ln pn = −
En
− ln Z
kB T
(5.27)
und unter Beachtung von
X ∂pn
n
∂ X
=
pn = 0
∂X
∂X n
Ã
X
n
pn = 1 = const.
!
(5.28)
74
Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse
¯
¯
1 X ∂pn ¯¯
1 X ∂pn ¯¯
dS =
En da +
En dT .
T n ∂a ¯T
T n ∂T ¯a
(5.29)
Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dem Energieerhaltungssatz, ergibt sich mit der Arbeit W
¯
¯
¯
¯
∂E ¯¯
∂E ¯¯
∂W ¯¯
∂W ¯¯
dQ = dE − dW =
da +
dT −
da −
dT .
(5.30)
∂a ¯T
∂T ¯a
∂a ¯T
∂T ¯a
a ist die ’Arbeitsvariable’. Bleibt
a konstant, wird keine Arbeit verrichtet (analog
¯
∂W ¯
zum Volumen), weshalb ∂T a = 0 gilt. W ist die Arbeit und als solche wie in
Gleichung (5.11) definiert. Damit ergibt sich
¯
X ∂En
∂W ¯¯
.
(5.31)
da
=
−
pn
∂a ¯T
∂a
n
¯
n¯
Da ∂E
= 0 (die Eigenenergien des Quantensystems sind temperaturunabhän∂T a
gig), gilt
¯
¯
X ∂pn ¯
X ∂pn ¯
¯
¯ En dT
(5.32)
dQ =
¯ En da +
¯
∂a
∂T
T
a
n
n
und durch Vergleich mit Gleichung (5.29)
dS =
dQ
.
T
(5.33)
Für die von-Neumann Entropie gilt also bei thermischer Besetzung der Eigenenergien die gleiche thermodynamische Relation wie in der klassischen Mechanik.
Mit Abschnitt 5.2.1 ist somit auch gezeigt, dass eine Quanten-Carnot-Maschine
den gleichen Wirkungsgrad wie in der klassischen Thermodynamik hat.
5.4
Zusammenfassung
Der letzte Abschnitt zeigt, dass detaillierte Betrachtungen wie in Abschnitt 5.3.1 eigentlich nicht gemacht werden müssen, da vom klassischen CarnotWirkungsgrad abweichende Wirkungsgrade unter den in Abschnitt 5.3.2 gemachten Annahmen nicht zu erwarten sind. So muss z.B. die näherliegende aber viel
aufwändigere Untersuchung eines Carnot-Prozesses eines Teilchens im Kasten,
dem Quanten-Analogon eines Gases in einem Behälter, gar nicht erst durchgeführt werden.
In Abschnitt 5.3.2 wurde der Beweis ’differenziell’ geführt. Es sollte eigentlich
auch möglich sein, diesen Beweis ’integral’ zu führen, d.h. aus Gleichung (5.17)
mit den entsprechenden Anschlussbedingungen auf Grund der Reversibilität des
Prozesses den Carnot-Wirkungsgrad abzuleiten. Sollte dies gelingen, sind dafür
5.4. Zusammenfassung
75
sicherlich Symmetriebetrachtungen - ähnlich denen in Anhang A.5 gemachten nötig.
Bei ’direkt übersetzten’ Quantenversionen üblicher klassischer thermodynamischer Maschinen ist also nicht mit höheren Wirkungsgraden und somit einer
Verletzung des Zweiten Hauptsatzes zu rechnen. Es bleiben dennoch zwei zu betrachtende Fälle:
1. Die in Abschnitt 5.3.2 gemachte Ableitung ist nur unter den dort genannten
Bedingungen gültig. So wird keine Aussage über den Wirkungsgrad einer
Maschine gemacht, bei der entweder die von-Neumann Entropie nicht mit
der thermodynamischen Entropie übereinstimmt, noch über den Fall einer Besetzung der Energieniveaus, die nicht der Boltzmann-Besetzung entspricht. Die Realisierung der Boltzmann-Besetzung ist an gewisse Annahmen bezüglich des Umgebungssystems gebunden (wie in Kapitel 3 teilweise
erläutert wird). Für kleine quantenmechanische Systeme wären eventuell
auch abweichende Besetzungen der Energieniveaus denkbar, wurden in dieser Arbeit aber nicht behandelt.
2. Durch tieferes Greifen in die ’Quanten-Trickkiste’, d.h. die Ausnutzung spezieller Quanten-Eigenschaften und Möglichkeiten von Quantensystemen,
sind Systeme denkbar, die zumindest vordergründig neue, über die klassische thermodynamische Beschreibung herausreichende Phänomene zeigen [42]. Eine dieser Eigenschaften ist der ’spukhafte’ quantenmechanische
Messprozess, dessen Anwendung auf Maschinen im folgenden Kapitel 6 behandelt werden soll.
76
Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse
Kapitel 6
Kreisprozess und Information:
Die Szilard-Maschine
6.1
Einleitung
Dieses Kapitel befasst sich mit Überlegungen zu einer Quantenversion der SzilardMaschine, die wiederum eine mögliche Realisierung des Konzeptes des Maxwellschen Dämons ist. Zuerst sollen diese Begriffe in der folgenden Einleitung erläutert
werden. In dem darauffolgenden Unterkapitel wird anhand eines unvollständigen
sowie eines verbesserten Modells der ’asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine’
gezeigt, wie durch unvollständige Betrachtung eines physikalischen Systems Widersprüche zu Beschreibungen auf anderen Betrachtungsebenen auftreten können
und wie diese durch die Berücksichtigung von “mehr Physik” teilweise aufgelöst
werden können.
Auch in diesem Kapitel geht es wieder um den Zweiten Hauptsatz und dessen
mögliche Verletzung in der Quantenwelt, wobei gleich vorab bemerkt werden soll,
dass auch diesmal keine Bauanleitung für ein Perpetuum mobile 2.Art angegeben
werden kann.
6.1.1
Der Maxwellsche Dämon
Maxwell erwähnte erstmals öffentlich 1871 in seinem Buch ’Theory of Heat’ [43]
ein Wesen - später von Thomson Dämon genannt - das zwar keine Arbeit verrichten, aber Ventile reibungs- und trägheitsfrei öffnen und schließen kann [44]. Er
erfand dieses sehr kleine Wesen (Abbildung 6.1), um den statistischen Charakter
des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik deutlich zu machen, indem er den
Dämon in einen zweigeteilten Gasbehälter setzte, in dem dieser die herumfliegenden Gasmoleküle oder -atome beobachtete und immer dann, wenn ein solches
Teilchen mit einer größeren als der Durchschnittsgeschwindigkeit auf die Wand
zuflog, eine Tür zwischen den beiden Gasbehältern öffnen ließ. Stehen die beiden
Hälften des Gasbehälters anfangs im thermodynamischen Gleichgewicht, d.h. die
77
78
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Gasteilchen haben jeweils die gleiche Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, so
sorgt der Dämon dafür, dass nach einer gewissen Zeit dem nicht mehr so ist. In der
einen Hälfte des Behälters werden sich die Teilchen hoher Geschwindigkeit häufen
und in der anderen - lässt man ihn auch noch die langsameren Teilchen in der anderen Hälfte beobachten und entsprechend entgegengesetzt behandeln - die Teilchen mit niedriger Geschwindigkeit. Die Entstehung einer inhomogenen Energieoder Temperaturverteilung aus einem thermodynamischen Gleichgewicht heraus
ist aber eine Verletzung des Zweiten Hauptsatzes.
Abb. 6.1: Der Maxwellsche Dämon bei der ’Arbeit’ (aus [44]).
6.1.2
Die klassische Szilard-Maschine
Szilard machte in seinem Artikel von 1929 [45] die Verletzung des Zweiten
Hauptsatzes noch offensichtlicher. Er setzt in einem Gedankenexperiment den
Maxwellschen Dämon dazu ein, mit einem Ein-Teilchen-Gas in einem zyklischen
Prozess nichts anderes zu machen, als ein Wärmebad abzukühlen und mit der
Wärmeenergie mechanische Arbeit zu verrichten. Dies ist ein direkter Verstoß
gegen den Zweiten Hauptsatz in der Thomsonschen Formulierung. Eine Form der
von Szilard erdachten Maschine ist in Abbildung 6.2 gezeigt.
W
PSfrag replacements
Bad
➀
Messung
➁
➂
➃
Abb. 6.2: Eine Form der Szilard-Maschine.
6.1. Einleitung
79
Das erste Bild zeigt das Ein-Teilchen-Gas eingesperrt in einen Behälter, das
an ein großes Wärmereservoir (das Bad) einer bestimmte Temperatur T angekoppelt ist. Das Teilchen befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit dem
Behälter und hat somit auch eine der Temperatur T entsprechende Energie. Nun
wird im Schritt ➀ das Bad abgekoppelt und in der Mitte des Behälters eine
für das Teilchen undurchdringliche Trennwand eingeschoben. Dies erfordert im
Klassischen keine Arbeit. Im Schritt ➁ misst nun ein Beobachter, der Dämon, in
welcher der zwei Hälften sich das Teilchen befindet (Information) und verbindet
die jeweilige Seite der Trennwand mit einer Feder (Information → physikalische
Korrelation). Das Teilchen arbeitet nun mit seiner thermischen Energie gegen die
Feder und spannt diese, bis die Trennwand an der Behälterwand angelangt ist.
An diesem Punkt (Schritt ➃) wird die Trennwand wieder ohne Arbeit herausgezogen und der Behälter wieder an das Bad angekoppelt. (Denkbar ist auch, dass
das Bad während des gesamten Zyklus an den Behälter gekoppelt ist. Es würde sich dann um eine isotherme statt um eine adiabatische Expansion handeln.)
Nach Durchlaufen eines solchen Zyklus befindet sich das System also wieder im
Ausgangszustand, der Effekt des Zyklus ist ein leicht abgekühltes Bad sowie eine
gespannte mechanische Feder.
Szilard berechnet nun in seiner Veröffentlichung [45] den Entropiebetrag, der
irgendwo in diesem Zyklus - seiner Meinung nach bei der Messung - entstehen
muss, damit der Zweite Hauptsatz nicht verletzt wird. Des Weiteren beschreibt
er ein Modell für eine klassische Messung und zeigt, dass bei diesem Modell
tatsächlich mindestens dieser von ihm geforderte Entropiebetrag entsteht.
Der Maxwellsche Dämon und besonders Szilards Vorschlag einer Maschine und deren Eingliederung in die Thermodynamik waren und sind immer noch
Gegenstand ausführlicher Diskussionen. (Einen Überblick inklusive einer Chronologie der Veröffentlichungen zum Thema bietet [44].) Die Verbindung MessungInformation-Arbeit veranlasste viele, darunter auch Philosophen wie z.B. Popper, sich neue Maschinen und Prozesse auszudenken, unter anderem deshalb,
um den anscheinend entropieerzeugenden Messprozess bei der Szilard-Maschine
zu umgehen. Die Abbildungen 6.3 und 6.4 zeigen Vorschläge von Popper (1974)
und Feyerabend (1966) bzw. Rothstein (1979). In Abbildung 6.3 stellen A
und B Massen dar, die durch die spezielle Aufhängung nur nach oben bewegt werden können. Bewegt sich der Teller C bzw. D nach unten, tut sich an den Massen
A bzw. B nichts. Somit wird unabhängig von der Position des Teilchens M immer
eine der Massen nach oben gehoben. Die Kenntnis der Position des Teilchens und
damit eine Messung ist dafür nicht nötig. Um das System in seinen ursprünglichen Zustand zurückzuversetzen, wird die Klappe O geöffnet und der Stempel P
arbeitsfrei in die Mitte geschoben. Dort wird dann O wieder geschlossen.
Der in Abbildung 6.4 gezeigte Vorschlag verfügt auch über eine solche (nicht
eingezeichnete) Klappe, um den Stempel (’Piston’) arbeitsfrei in die Mitte zurückbewegen zu können. In diesem Beispiel ist wiederum keine Messung nötig.
Der Stempel wird, unabhängig von der Position des Teilchens, von diesem in eine
80
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Abb. 6.3: Maschine (erdacht von Popper und Feyerabend), die ohne Messung
der Teilchenposition auskommt (aus [44]). Das kleine Bild in der Mitte ist eine
dreidimensionale Darstellung der Teile A,C bzw. B,D.
Abb. 6.4: Maschine (erdacht von Rothstein), die ohne Messung der Teilchenposition auskommt (aus [44]). Der Stempel (’Piston’) enthält schließbare Löcher
wie in Abbildung 6.3.
der beiden Richtungen gedrückt und zieht dabei über das Zahnrad (’Shaft’) eine
Feder immer in die selbe Richtung auf.
Die Argumentation zur ’Rettung’ des Zweiten Hauptsatzes erfolgt bei Maschinen dieser Art über einen Entropiezuwachs beim Rückstellen des Stempels, d.h.
beim Wiederherstellen des Ausgangszustandes. Abstrakter kann vom Löschen eines Informationsspeichers gesprochen werden [46], d.h. dem Vergessen der Information (die zwar nicht durch eine Messung aber durch die Position des Stempels
am Ende der Expansion gewonnen wurde), auf welcher Seite des Stempels sich
das Teilchen zu Beginn der Expansion befand.
6.1.3
Die Quanten-Szilard-Maschine
Da die Szilard-Maschine mit einem Ein-Teilchen-Gas arbeitet, d.h. mit einem
einzigen Teilchen (Atom oder Molekül) in einem Behälter, und da offenbar die
6.1. Einleitung
81
Messung, also der Messprozess, eine entscheidende Rolle spielt, ist es sicherlich
sinnvoll für eine genauere Betrachtung das Modell auf der Ebene der QuantenPSfrag replacements
mechanik zu behandeln. Meines Wissens nach wurde erstmals von Zurek eine Quantenversion der Szilard-Maschine genauer betrachtet [47]. Abbildung 6.5
Bad
Messung
➀
➁
VW
➂
V
0
L
W
d
x
➅
➃
➄
Abb. 6.5: Quantenversion der Szilard-Maschine.
zeigt ein Schema einer solchen Quantenversion. Der Behälter ist nun ein eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten von der x-Koordinate 0 bis L.
Das Teilchen wird durch seine Wellenfunktion repräsentiert, im ersten Bild der
Abbildung angedeutet durch die ersten zwei Eigenfunktionen des Kastens. Das
Teilchen soll anfangs an ein Bad (Wärmereservoir) gekoppelt sein, was zu einer
Boltzmann-Besetzung der Energieniveaus führt (Kapitel 3). In Schritt ➀ wird
nun als Trennwand eine Potenzialbarriere der Breite d in der Mitte des Behälters
hochgefahren bis (3.Bild) auf eine Höhe VW , die viel größer ist als das höchste
noch wesentlich besetzte Energieniveau. Während des Hochfahrens des Trennpotenzials ändern sich die Eigenfunktionen, bis sie schließlich - in Bild 3 angedeutet
angenähert wer- wiederum als Kasteneigenfunktionen der jeweiligen Länge L−d
2
den können. In Schritt ➂ erfolgt nun eine quantenmechanische binäre Messung
mit der Ergebnismenge {Teilchen links, Teilchen rechts}. Diese Messung projiziert
die Wellenfunktion des Teilchens mit jeweils 50%iger Wahrscheinlichkeit in den
linken bzw. rechten Teil des Behälters und macht es so zur Arbeitsverrichtung
verfügbar (Schritt ➃). Durch Herunterfahren des Trennpotenzials, wenn dieses
durch die Expansion am Behälterrand angekommen ist (➄) und Ankoppeln an
das Bad (➅), erreicht man wieder den Ausgangszustand.
Zurek geht nun auf den Schritt ➂ der quantenmechanischen Messung näher
ein und modelliert den Messapparat - den Dämon - als ein Quantensystem mit
zwei Niveaus. Betrachtet man dessen Wechselwirkung (über einen entsprechenden Kopplungshamiltonian) mit dem System, so zeigt sich in der Analyse, dass
der Prozess zwar wie oben beschrieben ablaufen kann, der Dämon aber sich nach
der Messung in einem gemischten Zustand befindet. Dieser gemischte Zustand
hat eine höhere von-Neumann Entropie als der ursprünglich reine Zustand des
82
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Dämons, den dieser vor der Messung besaß. Um also das System wirklich zyklisch
arbeiten lassen zu können, d.h. um nach Schritt ➅ wirklich wieder den Anfangszustand vorzufinden, muss auch der Dämon wieder in seinen ursprünglichen reinen
’ready to measure’-Zustand gebracht werden. Dies erfordert, wie Zurek zeigt,
eine Entropieentnahme aus dem System von der Größe kB ln 2, was genau der
Entropieerniedrigung im Gas bei der Expansion entspricht. Die Gesamtentropiebilanz für einen Zyklus der Maschine ∆S = 0 genügt also wiederum dem Zweiten
Hauptsatz.
Dass die Löschung der bei der Messung gewonnenen Information der entropieerzeugende Prozess des Zyklus ist, ist häufig angezweifelt worden und Zurek
selbst zeigt [49], dass diese Vorstellung - durch ’effizientere Speicherung’ der Information - dazu führen kann, dass der Zweite Hauptsatz doch verletzt ist (auch
wenn er diese Konsequenz seiner Abhandlung nicht explizit erwähnt). Interessant
wäre also ein Zyklus, der ohne eine Messung auskommt, zum einen weil ohne Messung auch keine Information gewonnen und wieder gelöscht werden muss, zum
anderen, weil der quantenmechanische Messprozess noch immer nicht vollständig
verstanden ist (zumindest von mir). Ein solcher Zyklus ohne Messung wird in den
folgenden zwei Unterkapiteln untersucht.
6.2
6.2.1
Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
Unvollständiges Modell
Die Betrachtungen aus Kapitel 4 zur mechanischen Einbettung und zum ’Druck’
auf Potenzialwände führen zur Überlegung, die Trennwand außerhalb der Mitte
des Kastens, d.h. asymmetrisch bei der Position x0 6= L2 einzufügen. Im Folgenden wird gezeigt, dass in einer ersten groben Betrachtung tatsächlich mit dieser
Überlegung eine Kraft auf die Trennwand resultiert und eine Maschine denkbar ist, die mechanische Arbeit verrichtet, ohne Information in irgendeiner Weise
anzuhäufen, deren eventuelles Löschen Entropie erzeugen würde. In einer genaueren Betrachtung dieses Prozesses in Abschnitt 6.2.2 wird dann aber gezeigt, dass
dieses Bild falsch ist und der Zweite Hauptsatz doch gilt.
In diesem ersten groben Bild wird von zwei Annahmen ausgegangen, die sich
in Abschnitt 6.2.2 als unhaltbar herausstellen werden:
1. Die Trennwand (hier unendlich dünn mit d = 0) lasse sich instantan und
ohne Verrichtung von Arbeit an der Position x0 in den Kasten einfügen.
2. Die Wahrscheinlichkeiten, das Gasteilchen auf den jeweiligen Seiten links
bzw. rechts der Trennwand anzutreffen, änderen sich durch das Einschieben
der Wand nicht, sie sind also durch die Wellenfunktion vor Einschieben der
Wand vorgegeben.
PSfrag replacements
6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
Bad
wl (x0 )
83
Bad
wr (x0 )
➀
➁
V
0
x0
L
x0
x0
E➁
x
➂
W
E➄
➄
➃
x1
Abb. 6.6: Modell der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine.
Diese zwei Annahmen resultieren aus der Betrachtung eines solchen Prozesses in
der klassischen Mechanik, wo sie beide gültig sind.
Abbildung 6.6 zeigt den Zyklus der asymmetrischen Quanten-SzilardMaschine. Das erste Bild zeigt den unendlich hohen eindimensionalen Kasten
an das Wärmereservoir mit der Temperatur T (Bad) gekoppelt. Das Teilchen der
Masse M wird durch die ersten beiden Eigenfunktionen im Kasten angedeutet,
wobei die jeweiligen Eigenfunktionen im thermischen Gleichgewicht mit dem Bad
mit den Boltzmann-Wahrscheinlichkeiten (Gleichung (5.7)) besetzt sind. An der
Stelle x0 wird in Schritt ➀ die unendlich hohe und unendlich dünne Trennwand
eingesetzt unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeiten das Teilchen links
bzw. rechts von x0 zu finden, w l (x0 ) bzw. w r (x0 ), erhalten bleiben. Diese werden
also schon ausgehend vom Zustand im ersten Bild von Abbildung 6.6 berechnet.
Nach Einfügen der Trennwand werden in Schritt ➁ beide Teilbehälter wieder an
das Bad der Temperatur T angekoppelt. Durch Aufnahme der Wärmeenergie E➁
aus dem Bad werden die Energieniveaus beider Teile des Kastens jeweils wieder
Boltzmann-besetzt. In Schritt ➂ wird an die der Mitte des Kastens abgewandten
Seite der Trennwand eine mechanische Feder montiert, welche durch eine resultierende Gesamtkraft, wie später gezeigt werden wird, zur Mitte hin bis zu einer
optimalen Position x1 ausgedehnt wird. Dabei wird an der Feder die mechanische Arbeit W verrichtet. An der Position x1 wird nun die Trennwand wieder
instantan aus dem Kasten entfernt (Schritt ➃), was zu einer typischerweise nicht
Boltzmann-verteilten Besetzung der ursprünglichen Energieeigenfunktionen des
gesamten Kastens führt. Um den Ausgangszustand wieder zu erreichen, wird unter Aufnahme der Wärmeenergie E➄ das Bad angekoppelt (Schritt ➄).
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem bestimmten Energieniveau n
des gesamten Kastens (von 0 bis L) links von x0 anzutreffen beträgt (mit den
84
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Energieeigenfunktionen eines Teilchens im unendlich hohen Kasten (Gleichung
(A.25)))
Z x0
Z
³
2 x0 2 ³ π ´
x0
1
x0 ´
2
l
|ψn | dx =
sin n x dx =
−
sin 2πn
wn (x0 ) =
.
L 0
L
L
2πn
L
0
(6.1)
Die entsprechende Wahrscheinlichkeit, das Teilchen rechts anzutreffen
Z L
r
wn (x0 ) =
|ψn |2 dx = 1 − wnl (x0 ) .
(6.2)
x0
Mit dem Boltzmann-Faktor erhält man die Gesamtwahrscheinlichkeiten
∞
X
l/r
pn (En )wnl/r (x0 ) .
w (x0 ) =
(6.3)
m=1
Dabei sind die En die Energieeigenwerte des Teilchens im gesamten Kasten (Gleichung (A.26)). Diese Gesamtwahrscheinlichkeiten bleiben über den gesamten Zyklus bis zum Herausziehen der Trennwand erhalten, die einzelnen Besetzungszahlen der jeweiligen Niveaus links und rechts aber ändern sich nach dem Ankoppeln
des Bades in Schritt ➁. Die neuen Eigenenergien links bzw. rechts nach Einfügen
der Wand in Schritt ➀ sind
π 2 ~2
π 2 ~2 2
r
m2 ,
(6.4)
n
;
E
=
Enl =
m
2M x20
2M (L − x0 )2
woraus sich entsprechende neue Boltzmann-Verteilungen nach Ankoppeln des Bades in Schritt ➁ ergeben (analog zu Gleichung (5.7)):
pln (Enl ) ;
r
).
prm (Em
(6.5)
Diese sind nun aber nicht auf Eins normiert, sondern so, dass die Summe über alle
Faktoren auf jeder Seite jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeiten aus Gleichung
(6.3) ergeben:
∞
X
!
pln (Enl ) =
l
w (x0 ) ;
∞
X
!
r
prm (Em
) = wr (x0 ) .
(6.6)
m=1
n=1
Die Wärmeenergie E➁ kann nun als Differenz der Energien der Systeme in den
Bildern 3 und 1 berechnet werden:
∞
∞
X
X
l
l
l
r
r
r
E➁ = E 3 − E 1 =
pn (En )En + pn (En )En −
pn (En )En .
(6.7)
n=1
n=1
Analog ergibt sich für die Wärmeenergie E➄ (die Ausdehnung in Schritt ➂ erfolgt
adiabatisch, d.h. unter Erhaltung der Besetzungszahlen, siehe Unterkapitel 5.3):
E➄ = E 1 − E 4 =
∞
X
n=1
pn (En )En −
∞
X
pln (Enl (x0 ))Enl (x1 ) + prn (Enr (x0 ))Enr (x1 ) .
n=1
(6.8)
PSfrag replacements
6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
85
wl
1
0.8
0.6
T1 = 1K
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
T2 = 100K
x0 [nm]
0.8
1
Abb. 6.7: Wahrscheinlichkeit, das Teilchen links der Position x0 anzutreffen für
den unendlich hohen Kasten ohne Trennwand der Länge L = 1nm.
Energieerhaltung fordert
E➁ + E ➄ + W = 0 .
(6.9)
Aus Gleichung (6.4) lassen sich die Kräfte auf die Trennwand berechnen (vergleiche Kapitel 4):
Fnl = −
π 2 ~2 2
∂Enl
=
n ;
∂x0
M x30
Fmr = −
r
∂Em
π 2 ~2
m2 .
=−
∂x0
M (L − x0 )3
(6.10)
Dabei wirken die Fnl von links auf die Trennwand, die Fmr von rechts.
Multipliziert mit den entsprechenden Boltzmann-Faktoren aus Gleichung (6.5)
und summiert über jeweils alle Quantenzahlen ergeben sich die Gesamtkräfte
Fl =
∞
X
n=1
pln (Enl )Fnl
und F r =
∞
X
r
)Fmr .
prm (Em
(6.11)
m=1
Alle diese Terme sind aufgrund der unendlichen Summen und der BoltzmannFaktoren unschön in der Handhabung, lassen sich aber mit einem Programm wie
Mathematica berechnen und veranschaulichen. Dabei werden in den auftretenden Summen jeweils nur die ersten 50 Terme berücksichtigt, wobei darauf zu
achten ist, dass die darauf folgenden Terme tatsächlich klein sind im Vergleich zu
den berücksichtigten.
Die folgenden Rechnungen sind für ein Proton (M = mP ≈ 1.673 · 10−27 kg)
in einem Kasten der Länge 1nm = 10−9 m durchgeführt. Abbildung 6.7 zeigt
die Gesamtwahrscheinlichkeit w l , das Teilchen links der Position x0 der Wand
anzutreffen aus Gleichung (6.3) in Abhängigkeit von x0 für die Temperaturen
T1 = 1K und T2 = 100K. Die Kurve für die höhere Temperatur T2 = 100K
kommt der zu erwartenden Kurve, würde das Teilchen klassich behandelt, einer
Geraden, schon sehr nahe.
Mit w l und den Gleichungen (6.11) lässt sich das Verhältnis der Beträge der
beiden Kräfte auf die Trennwand von links und von rechts berechnen. Dies zeigt
PSfrag replacements
86
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
|F l |
|F r |
6
T1 = 10K
4
T2 = 100K
2
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x0 [nm]
Abb. 6.8: Verhältnis der Beträge der Kräfte von den verschiedenen Seiten auf die
Trennwand in Abhängigkeit der Einschubposition x0 .
für die beiden Temperaturen T1 = 10K und T2 = 100K die Abbildung 6.8 in
Abhängigkeit der Position x0 , an der die Wand eingefügt wird. Würden die oben
genannten Annahmen bezüglich des Einfügens der Wand sowie der Erhaltung
der Wahrscheinlichkeiten links und rechts zutreffen, so zeigt Abbildung 6.8, dass
auf die an der Position x0 6= L2 eingesetzte Trennwand tatsächlich eine Kraft zur
Mitte des Gesamtbehälters wirkt: Ist x0 < L2 , so ist F l , die Kraft von links, größer
als F r . Ist x0 > L2 , ist das Verhältnis genau andersherum. Nur wenn die Wand
exakt bei x0 = L2 eingeschoben wird, kompensieren sich die Kräfte von links und
rechts.
Wird nun die Wand von der Stelle x0 weg adiabatisch verschoben, so ändern
sich die Energieterme und damit die Kräfte auf den beiden Seiten, nicht aber die
l/r
Besetzungswahrscheinlichkeiten. pn = const. folgt aus der adiabatischen Annahme [40][13], also dem Prozess, der im Allgemeinen am wenigsten Arbeit erfordert
bzw. am meisten Arbeit verfügbar macht. x0 wird also zu einem Parameter wie
dies auch die Temperatur T ist:
³ l/r ´
0)
exp − EnkB(x
T
l/r
l/r
³ l/r ´ = const. .
pn (x0 , T ) = w (x0 ) P
(6.12)
∞
Em (x0 )
exp
−
m=1
kB T
Die neuen Kräfte nach einer Verschiebung der Wand, die bei der Position x 0
eingefügt wurde, zur Position x sind also
F
l/r
(x; x0 , T ) = −
∞
X
pl/r
n (x0 , T )
n=1
∂ l/r
E (x)
∂x n
(6.13)
mit den neuen Energien
Enl (x) =
π 2 ~2 2
n ;
2M x2
r
=
Em
π 2 ~2
m2 .
2M (L − x)2
(6.14)
PSfrag replacements
6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
F l + F r [10−12 N]
87
T1 = 10K
2
T2 = 100K
1
0.2
0.3
0.4
0.5
x[nm]
−1
−2
PSfrag replacements
Abb. 6.9: Summe der Kräfte auf die Trennwand von links und rechts nach Einschieben bei der Position x0 = 0.1 · 10−9 m in Abhängigkeit der Position x.
W [10−22 J]
T1 =10K
T2 =100K
1.6
1.2
0.8
0.4
0.2
0.3
0.4
0.5
x[nm]
−0.4
Abb. 6.10: Arbeit im Expansionsprozess für x0 = 0, 1 · 10−9 m in Abhängigkeit der
Position x der Wand.
Die Wand wird nun so lange von der Einschubposition x 0 zur Mitte des Gesamtkastens hin verschoben, bis an der Stelle x1 Kräftegleichgewicht zwischen
den Kräften von links und rechts herrscht: F l (x1 ; x0 , T ) = −F r (x1 ; x0 , T ). Abbildung 6.9 zeigt die Summe der beiden Kräfte für ein x0 = 0, 1 · 10−9 m und
die Temperaturen T1 = 10K und T2 = 100K zu Beginn der Verschiebung. Für
den in Abbildung 6.9 gezeigten Fall betrüge die Endposition der Verschiebung
x1 ≈ 1, 60 · 10−10 m bei T1 = 10K und x1 ≈ 1, 32 · 10−10 m bei T2 = 100K.
Die durch eine solche Verschiebung der Wand extrahierbare Arbeit beträgt
Z x1
¡ l
¢
F (x; x0 , T ) + F r (x; x0 , T ) dx
(6.15)
W (x1 ; x0 , T ) = −
x0
und ist in Abbildung 6.10 wiederum für x0 = 0, 1 · 10−9 m und die zwei Temperaturen T1 = 10K und T2 = 100K dargestellt. Negative Werte in Abbildung 6.10
bedeuten, dass Arbeit aus dem System entnommen wird. Deren Maximum liegt
genau bei x1 , der Nullstelle aus Abbildung 6.9. Die Arbeit im Expansionsprozess
88
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
PSfrag replacements
2
0.5
0
−1
0.3
W [10−23 J]
0.5
x[nm]
0.3
0.1
0.1
x0 [nm]
Abb. 6.11: Arbeit im Expansionsprozess in Abhängigkeit von x0 und x für die
Temperatur T = 10K. Die horizontalen Flächen im positiven Bereich der Arbeit
sind darstellungsbedingt und stehen für noch größere Arbeitswerte.
kann auch abhängig von x und x0 aufgetragen werden (Abbildung 6.11). Die Abbildungen zeigen, dass es unter diesen Annahmen tatsächlich Parameterbereiche
mit W < 0 gibt, d.h. Bereiche, in denen die Maschine nichts anderes tut, als
Wärmeenergie des Reservoirs in mechanische Arbeit umzuwandeln. Ein Dämon,
der z.B. die Teilchenposition feststellt, ist für dieses System nicht mehr nötig,
man benötigte ausschließlich einen Mechanismus, der eine Trennwand an einer
zu ermittelnden optimalen Stelle x0 in den Kasten einfügt und diese an einer
anderen optimalen Stelle x1 wieder herausnimmt. Diese beiden optimalen Stellen sind abhängig von der Temperatur und der Kastengröße L und entsprächen
dem Minimum der Auftragung in Abbildung 6.11. Der beschriebene Kreisprozess
besitzt dann Ähnlichkeit mit dem Carnot-Prozess.
6.2.2
Verbessertes Modell
Die grobe Betrachtung der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine in Abschnitt 6.2.1 führt also zu einer offensichtlichen Verletzung des Zweiten Hauptsatzes, die nicht mehr wie in [47] durch eine eventuelle Informationslöschung, ein
Zurücksetzen des Dämons, korrigierbar wäre. Um diesen Umstand weiter zu untersuchen, werden im Folgenden zuerst die beiden zu Beginn des Abschnitts 6.2.1
genannten Annahmen und anschließend der gesamte Prozess genauer untersucht.
Die beiden Annahmen, die Trennwand lasse sich ohne Verrichtung von Arbeit in den Kasten einfügen und verändere die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
des Teilchens nicht, sind in der klassischen Mechanik gültig, ihre Gültigkeit in
der Quantenmechanik darf aber nicht ohne eingehendere Untersuchung vorausgesetzt werden. In dem in den vorigen Kapiteln entwickelten Bild der verschiede-
6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
PSfrag replacementsV
∞
I
II
d
VW (t)
0
x0
89
∞
III
L
x
Abb. 6.12: Potenzial für das Einfügen der Trennwand mit den drei Bereichen I,
II, III.
nen Einbettungen handelt es sich beim bis jetzt beschriebenen, unvollständigen
Modell um eine thermodynamische (Boltzmann-Verteilung!), nicht aber um eine
quantenmechanische Einbettung. Um die Beschreibung näher an die Realität zu
bringen, soll im Folgenden ein Schritt in Richtung quantenmechanische Einbettung gemacht werden, indem der Prozess des Einfügens der Trennwand in den
Kasten quantenmechanisch behandelt wird. Die Trennwand ist in diesem eindimensionalen Fall ein rechteckiger Potenzialwall der Breite d und Höhe VW (t),
der von Null auf einen Wert VW,0 hochgefahren wird. Dieses Hochfahren soll wieder adiabatisch (d.h. dem ’adiabatic following’ genügend) passieren, so dass die
Besetzungszahlen pn (En ) der einzelnen Niveaus En konstant bleiben. Was sich
ändern wird, sind die Eigenfunktionen Ψn (x; t) und -energien En (t), es muss also die Schrödingergleichung für das in Abbildung 6.12 gezeigte Potenzial gelöst
werden.
Die stationäre Schrödingergleichung für das Teilchen der Masse M (Gleichung
(2.16))
~2 ∂ 2
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
(6.16)
−
2M ∂x2
lässt sich aufspalten in die drei Bereiche
¾
I)
0 ≤ x ≤ x0 − d2
V (x) = 0
II)
x0 + d2 ≤ x ≤ L
(6.17)
d
d
III) x0 − 2 ≤ x ≤ x0 + 2 V (x) = VW .
Die Ansätze zur Lösung der Schrödingergleichung in diesen Bereichen sind
I) ψI (x) = A1 eB1 x + D1 e−B1 x
II) ψII (x) = A2 eB2 x + D2 e−B2 x
III) ψIII (x) = A3 eB3 x + D3 e−B3 x .
Dazu kommen
(6.18)
90
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
1. die Randbedingungen durch das unendlich hohe Potenzial:
!
(6.19)
!
(6.20)
ψ(0) = 0
ψ(L) = 0 ,
2. die Anschlussbedingungen an den Grenzen der verschiedenen Bereiche (die
Schrödingergleichung erlaubt nur stückweise stetige Funktionen als Lösung):
ψI (x0 − d2 )
∂ψI
(x0 − d2 )
∂x
ψII (x0 + d2 )
∂ψII
(x0 + d2 )
∂x
3. die Normierung
Z
L
0
!
= ψII (x0 − d2 )
∂ψII
!
=
(x0 − d2 )
∂x
!
= ψIII (x0 + d2 )
∂ψIII
!
=
(x0 + d2 ) ,
∂x
!
|ψ(x)|2 dx = 1 .
(6.21)
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
Die komplette Lösung dieses Problems findet sich im Anhang A.6. Im Folgenden
soll zuerst eine qualitative Betrachtung angeführt werden, danach werden die
Ergebnisse aus Anhang A.6 grafisch dargestellt.
Qualitative Betrachtung
Die Schrödingergleichung links und rechts der Trennwand (in den Bereichen I
und III) ist die gleiche, d.h. die Abschnitte der Wellenfunktion in diesen Bereichen werden die gleichen Wellenlängen haben. Wird nun ein Rechteckpotenzial
z.B. an der Stelle x0 > L2 eingefügt und sehr hoch gewählt, wird die Amplitude
der Wellenfunktion in diesem Bereich II der Breite d sehr klein werden gegenüber
den anderen Bereichen. Bei der Grundzustandswellenfunktion n = 1 des freien
Kastens, der halben Sinuswelle, kann dann die Anschlussbedingung (6.23) nur
gewährleistet werden, wenn auch die Amplitude der Wellenfunktion im kleineren
Teil des Kastens, Bereich III, sehr klein wird und für VW → ∞ gegen Null geht.
Ähnliche Überlegungen können für die höheren Eigenfunktionen mit kürzeren
Wellenlängen angestellt werden: Wann immer die Trennwand rechts des letzten
Maximums der Wellenfunktion des Kastens ohne Trennwand eingesetzt wird und
hoch genug ist, wird die Amplitude im kleineren Teil des Kastens gegen Null gehen. Über das Verhalten der Wellenfunktion beim Einfügen der Wand an anderen
Positionen ist eine solche abschätzende Aussage schwieriger zu machen.
6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
PSfrag replacements
91
Im(ψ)
Im(ψ)
Im(ψ)
1.4
1.5
1.5
1.2
1.25
1.25
1
1
0.8
0.6
PSfrag replacements
0.75
PSfrag replacements
1
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(a) VW = 500
0.2
0.4
0.6
0.8
(b) VW = 2500
1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(c) VW = 12500
Abb. 6.13: Grundzustandsfunktion n = 1 nach Einfügen der Trennwand bei x0 =
0, 8 für drei verschiedene Wandhöhen.
Rechnerische Lösung
In Anhang A.6 sind die Gleichungen für die Eigenenergien sowie die Koeffizienten der Lösung der Schrödingergleichung (6.18) gegeben. Die Eigenenergien
En können durch numerische Lösung von Gleichung (A.68) durch ein Programm
wie Mathematica gefunden werden. Diese Lösungen für En werden dann in
die Gleichungen (A.70), (A.65), (A.66) und (A.67) eingesetzt und die zugehörigen Eigenfunktionen bestimmt. Dies und das Plotten der Funktionen geschieht
ebenfalls mit Mathematica.
In den folgenden Diagrammen wurde ~ = 1, M = 1 und L = 1 gesetzt. Dies
ändert nichts am qualitativen Verlauf der Wellenfunktionen. Mit diesen Einheiten
wird die Energie dann in der Längeneinheit hoch minus Zwei gemessen ([E] =
[L]−2 ) und da die Längeneinheit auch gleich Eins gewählt wurde, entfällt die
Einheit für die Energie ebenso. Die Trennwanddicke d wurde zu d = 0, 01 gewählt,
also einem Hundertstel der Kastengröße.
Die Abbildungen 6.13(a) bis 6.13(c) zeigen die Grundzustandsfunktion des
Kastens (n = 1) mit einem Trennwand-Rechteckpotenzial an der Stelle x 0 = 0, 8
für die drei verschiedenen Trennwandpotenzialhöhen VW = 500, 2500 und 12500,
die Abbildungen 6.14(a) bis 6.14(c) die entsprechenden Eigenfunktionen für
n = 2. Aufgetragen ist jeweils der Imaginärteil von ψ(x). Der Realteil ist auf
Grund der speziellen Wahl in A.6 für alle drei Bereiche für diesen einen Zeitpunkt Null. Die Eigenenergien für die drei Trennwandpotenziale betragen für
n = 1 E1 ≈ 6, 540; 7, 394 und 7,675, für n = 2 E2 ≈ 25, 52; 29, 50 und 30,70.
2
Die entsprechenden Eigenenergien ohne Trennwand sind E 10 = π2 ≈ 4, 935
2
und E20 = π2 22 ≈ 19, 74. Die Eigenenergien eines Kastens ohne Trennwand
π2
der Länge L = x0 = 0, 8 betragen E10 (L = 0, 8) = 2·(0,8)
≈ 7, 711 und
2
2
π
2
E20 (L = 0, 8) = 2·(0,8)
2 2 ≈ 30, 84.
Die Bilder bestätigen die zuvor gemachten qualitativen Aussagen: Die Wellenfunktion wird für wachsendes Trennpotenzial in diesen beiden Fällen aus dem
kleineren Teil des Kastens verdrängt, das Einfügen einer Trennwand kommt al-
92
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Im(ψ)
1.5
PSfrag replacements
Im(ψ)
Im(ψ)
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
x
PSfrag replacements
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PSfrag replacements
x
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2
1
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
(a) VW = 500
0.4
0.6
0.8
1
x
-0.5
-0.5
-0.5
(b) VW = 2500
(c) VW = 12500
Abb. 6.14: Erste angeregte Eigenfunktion n = 2 nach Einfügen der Trennwand
bei x0 = 0, 8 für drei verschiedene Wandhöhen.
so einer adiabatischen Kompression des Kastens von der Länge L auf x0 gleich.
Folglich kann durch einen Arbeitsschritt, wie er im Zyklus der Quanten-SzilardMaschine vorgesehen ist, nur genau die Arbeit aus dem System extrahiert werden,
die durch das Einfügen der Trennwand in das System gesteckt wurde.
Im Folgenden soll die Betrachtung abhängig von der Temperatur gemacht
werden. Durch die Ankopplung des Bades mit der Temperatur T vor Einfügen der
Trennwand nimmt die Besetzung der Energieniveaus im Kasten eine BoltzmannVerteilung zur Temperatur T an:
³
´
0
exp − kEBnT
³
´.
pn (En0 ) = P
(6.26)
0
∞
Em
exp
−
m=1
kB T
Diese Besetzungszahlen ändern sich beim adiabatischen Einfügen der Wand nicht,
solange das Einfügen nicht zur Entartung vorher nicht entarteter Energieniveaus
führt (wovon vorerst ausgegangen werden soll). Der Boltzmann-Faktor k B wird
gleich Eins gesetzt, wodurch die Temperatur einheitenlos wird.
1. T → 0: In sehr tiefen Temperaturbereichen dominiert die Besetzung des
Grundzustandes: p1 (E1 ) ≈ 1. In diesem Fall wird eine arbeitende asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine auf keinen Fall möglich sein, da für
die Eigenfunktion mit n = 1 das Wandeinfügen bei x0 6= L2 immer genau
die gleiche Arbeit erfordert wie die adiabatische Expansion von x 0 auf L
(vergleiche Abbildungen 6.13(a) bis 6.13(c)).
2. T → ∞: Dies entspricht dem klassischen Fall. Abbildung 6.15 zeigt die
Wahrscheinlichkeit w l , das Teilchen links der bei x0 = 0, 7 eingefügten
Trennwand (d = 0, 05) zu finden für verschiedene Temperaturen T . Die Kastenlänge beträgt auch hier L = 1, die Trennwandpotenzialhöhe VW = 2500.
Für T → ∞ geht die Wahrscheinlichkeit gegen den klassisch zu erwartenden
l
Wert wklass.
= x0 − d2 = 0, 675 und somit ist auch kein dominanter Druck
von einer der beiden Seiten zu erwarten. Existiert aber kein resultierender
6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine
93
wl
200
400
600
800
1000
T
0.95
0.9
0.85
0.8
PSfrag replacements 0.75
0.7
Abb. 6.15: Übergang zum Klassischen, dargestellt als die Wahrscheinlichkeit, das
Teilchen links der Trennwand bei x0 = 0, 7 anzutreffen in Abhängigkeit der Temperatur.
Druck bzw. keine Kraft auf die Trennwand, so ist der Arbeitsprozess der
Quanten-Szilard-Maschine nicht möglich.
3. Mittlere T : Für Trennwandpositionen x0 6= L2 kann es durchaus für bestimmte Eigenfunktionen zur Quantenzahl n vorkommen, dass die Wellenfunktion durch das Hochfahren des Potenzials nicht aus dem kleineren, sondern aus dem größeren Teil des Kastens ’verdrängt’ wird. So z.B. für n = 2
und L2 < x0 < 23 L (Abbildung 6.16(a)) oder für n = 9 (Abbildung 6.16(b)).
Die Untersuchung der anderen zu diesen Parametern gehörenden Eigenfunktionen zeigt aber, dass die meisten - insbesondere die tiefliegenden und
damit höher besetzten - Eigenfunktionen aus dem kleineren Teil des Kastens
’verdrängt’ werden. Es dominiert also auch für diesen Fall mittlerer Temperaturen für thermische Besetzungen die Kraft von der Kastenmitte weg.
Ein einfaches Gleichsetzen der nötigen bzw. freiwerdenden Arbeiten zum
Einfügen der Trennwand und bei der adiabatischen Expansion ist in diesem Fall nicht mehr möglich. Ohne eingehendere Untersuchung kann aber
hierbei davon ausgegangen werden, dass bei einer adiabatischen Expansion
und thermischer Besetzung der Energieniveaus nicht mehr Arbeit dem System entzogen werden kann, als ihm durch das Trennwandeinfügen zugeführt
wurde.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass zum Trennwandeinfügen (endliche
Dicke d 6= 0) immer - egal wie die Energieniveaus des Kastens besetzt sind Arbeit nötig ist. Das Maximum an Arbeit, das aus dieser neuen Wellenfunktion
nach Einfügen der Trennwand gewonnen werden kann, ist für jede Quantenzahl
n die Differenz der Energien des neuen Zustands und des Zustands mit geringster
Energie zur Quantenzahl n. Dies aber ist der ursprüngliche Zustand im Kasten
94
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Im(ψ)
Im(ψ)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
2
-0.5
1
-1
0.2
PSfrag replacements -1.5
PSfrag replacements
0.4
0.6
0.8
1
x
-1
-2
-2
(a) n = 2; x0 = 0, 6
(b) n = 9; x0 = 0, 8
Abb. 6.16: Fälle, in denen die Wellenfunktion durch das Hochfahren des Trennwandpotenzials aus dem größeren Teil des Kastens ’verdrängt’ wird (L = 1; d =
0, 01; VW = 10000).
ohne Trennwand, d.h. maximal kann bei einer adiabatischen Expansion genau
die Arbeit dem System entnommen werden, die ihm vorher durch Einfügen der
Wand zugeführt wurde.
6.3
Zusammenfassung
Aus den vorhergehenden Betrachtungen lässt sich Folgendes schließen:
1. Eine zu grobe, ’zu klassische’ Betrachtungsweise eines mikroskopischen Systems kann leicht zu verfrühten Schlüssen und Ableitungen führen. Auch
das in Abschnitt 6.2.2 beschriebene System kann durchaus noch Raum für
Überraschungen bieten, denn selbst dieses detaillierte Bild ist immer noch
weit entfernt von einer voll quantenmechanischen Behandlung. Es ist noch
insofern semi-klassisch, als die auftretenden Potenziale der Wände und der
Trennwand nicht durch quantenmechanische Teilchen oder quantisierte Felder beschrieben werden.
Dieser Punkt ist in gewisser Weise analog zur Diskussion um die SzilardMaschine und besonders deren Quantenversion zu verstehen. Auch dort trat
so lange eine Verletzung des Zweiten Hauptsatzes ein, so lange der Messprozess in der Modellierung ’vom Himmel fiel’ und nicht auch modelliert
wurde. Erst als Zurek genau diesen Schritt machte [47], funktionierte die
Maschine wieder in Einklang mit der ’globalen’ Beschreibung durch die
Thermodynamik. Entsprechend klären sich vielleicht andere Unklarheiten
spezieller Gedankenexperimente, wenn ein konsistentes Modell des quantenmechanischen Messprozesses aufgestellt wurde (so fern so eines existiert).
6.3. Zusammenfassung
95
2. Für eine Quantenversion der Szilard-Maschine nach Zurek können zwei
Forderungen abgeleitet werden:
(a) Die Trennwand der Quanten-Szilard-Maschine muss exakt in der Mitte des Kastens bei x0 = L2 eingefügt werden. Ist dies nicht der Fall, so
werden zumindest bei tiefen Temperaturen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Teilchens im linken bzw. rechten Teil des Kastens stark
verändert und unter Umständen ist sehr viel Energie notwendig, um
die Wand einzufügen. Dies wiederum heißt, dass die Quanten-SzilardMaschine nach Zurek für T → 0 nicht robust ist, d.h. selbst infinitesimale Abweichungen der Wandeinschubposition von x 0 = L2 lassen
die Maschine nicht mehr im ursprünglichen Sinne laufen.
(b) Es muss eine Messung erfolgen. Erst die Messung macht die Energie
des Teilchens verfügbar und ausnutzbar für eine Expansion. Die Messung steckt zwar keine Energie in das System, sie macht aber durch
die Konzentration (Projektion) der Wellenfunktion in einem der beiden Teile des Kastens die vorhandene Energie nutzbar.
Die obige Beschreibung der asymmetrischen Quanten-SzilardMaschine ist also keine Realisierung des Maxwellschen Dämons, da
im gesamten Zyklus keine Messung auftaucht. Die ganze mit der Messung und der darauf folgenden Löschung der Information verbundene,
bei der Szilard-Maschine auftretende Problematik bleibt hier außen
vor, was im Nachhinein den Namen ’asymmetrische Quanten-SzilardMaschine’ etwas unglücklich gewählt erscheinen lässt.
Das in diesem Kapitel beschriebene Modell scheint eine interessante Analogie zum quantenmechanischen Messprozess zu bieten: Wird die Wand z.B. für
den Grundzustand des Teilchens n = 1 nur minimal von der Mitte L2 abweichend
eingefügt und hoch genug gewählt, so wird die Wellenfunktion des Teilchens praktisch vollständig im größeren Teil des Kastens lokalisiert, was einer Messung mit
der Ergebnismenge {Teilchen links, Teilchen rechts} gleich kommt. Es wäre also
möglich, ein Arbeitsäquivalent der Messung zu definieren.
Wie schon in der Einleitung zu diesem Kapitel erwähnt, scheitert auch dieser
Versuch, den Zweiten Hauptsatz zu verletzen. Die Untersuchung der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine erbrachte zwar zwei recht rigorose Bedingungen
für eine Maschine nach Zurek, sie kann aber - wie schon oben beschrieben - die
Frage, ob der zum Erhalt des Zweiten Hauptsatzes nötige Entropiebetrag nun
bei der Messung oder bei der Löschung des Dämonspeichers entsteht, nicht klären. Eine endgültige Entscheidung würde wohl erst ein konsistentes Modell der
quantenmechanischen Messung liefern. Man darf aber, so lange dieses konsistente
Modell noch nicht existiert, schonmal vermuten, dass ein physikalisch vollständiges Modell des Maxwellschen Dämons den Zweiten Hauptsatz nicht verletzen
kann.
96
Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine
Kapitel 7
Zusammenfassung und Ausblick
Diese Arbeit befasste sich mit der in letzter Zeit wieder neu auflebenden Verbindung eines alten Gebietes der Physik, der Thermodynamik, und des inzwischen
etablierten Gebietes, der Quantenmechanik. Mit der zunehmenden Miniaturisierung in der Elektronik und Mechanik bis hin zur inzwischen möglichen Manipulation und Präparation einzelner Quantenobjekte wie z.B. Atome oder Moleküle,
wird es immer wichtiger, diesen Grenzbereich zwischen Quantenmechanik und
klassischer Mechanik genauer zu untersuchen und nach eventuell bestehenden,
anschaulichen Analogien zu suchen. Unabhängig davon bietet die Untersuchung
solcher Systeme Ansätze zur Lösung und klareren Darstellung alter Probleme der
klassischen Physik.
Dieser letzte Punkt war die Motivation für das Kapitel 3 dieser Arbeit. Zu
einer in jüngerer Zeit entworfenen neuen Herleitung des Zweiten Hauptsatzes
der Thermodynamik aus der Quantenmechanik wurden numerische Simulationen
kleiner Modellsysteme gemacht und gezeigt, dass thermodynamisches Verhalten
in erster Linie aus der Kopplung eines Systems an eine Umgebung entsteht, d.h.
durch thermodynamische Einbettung des kleinen Systems in ein größeres. Durch
die Verschränkung der beiden Subsysteme entsteht Quasi-Irreversibilität im beobachteten Subsystem, obwohl die die Dynamik beschreibende Gleichung des Gesamtsystems, die Schrödingergleichung, reversibel ist.
Die Kapitel 4 und 5 setzten sich mit Analogien klassischer thermodynamischer
Größen und Prozesse - dem Druck sowie dem Carnot-Prozess - in der Quantenmechanik auseinander. Dabei wurde für die Größe Druck ein Modellsystem, das
’Quanten-Manometer’, untersucht, und es konnte gezeigt werden, dass unter bestimmten Umständen die klassische Größe Druck mit ihrer Definition auch in der
Quantenmechanik klassisch zu verstehen ist. Die Verbindung zur Thermodynamik
wird hier durch die mechanische Einbettung des interessierenden Systems in eine
Umgebung hergestellt. Die exakte Behandlung des aus System und Umgebung
gebildeten Gesamtsystems zeigt, dass unter gewissen Umständen thermodynamische, ’globale’ Gleichungen zur Beschreibung des Subsystems verwendet werden
können, ohne die Umgebung weiter zu berücksichtigen. In Kapitel 5 wurden,
97
98
Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick
quasi als Verbindung der thermodynamischen mit der mechanischen Einbettung,
der quantenmechanische Carnot-Prozess betrachtet, Definitionen für die verschiedenen Prozessführungen gegeben (die in anderen Publikationen anders gewählt
werden) und nach Betrachtung eines speziellen Beispiels einer verallgemeinerten
Maschine allgemein gezeigt, dass für thermodynamische Fälle im Quantenregime
kein Unterschied zur Klassik zu erwarten ist.
Kapitel 6 schließlich schloss den Bogen, indem eine quantenmechanische Maschine betrachtet wurde, die den Zweck hat, den Zweiten Hauptsatz (Kapitel 3)
zu verletzen. In einer ersten groben Überlegung gelingt dies mit Hilfe der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine. Diese grobe Überlegung stellt sich aber
bei näherer Betrachtung als falsch heraus und wird durch eine genauere Modellierung ersetzt, die wiederum dem Zweiten Hauptsatz genügt. Aus der genaueren
Betrachtung konnten zwei Forderungen an eine funktionierende Quanten-SzilardMaschine nach Zureks Modell gestellt werden und gezeigt werden, dass diese
nicht robust ist.
Die neue, hier teilweise dargestellte Sichtweise auf die klassische Thermodynamik eröffnet ein weites Feld für weitere interessante Untersuchungen. Es ist
sicherlich lohnenswert, nach weiteren Analogien zwischen klassischen, anschaulichen und quantenmechanisch bestimmbaren Größen zu suchen und deren Verwendung auf ein solides Fundament zu stellen. Ein weiterer interessanter Punkt
ist die Untersuchung, unter welchen Umständen (Hamiltonian) ein System ins
thermodynamische Gleichgewicht läuft und wie sich dies für technische Anwendungen wie z.B. einen Quantencomputer verhindern lässt. Die Untersuchungen in
Kapitel 3 legen natürlich auch nahe, den bisher nur schwer zugänglichen Weg ins
Gleichgewicht genauer zu untersuchen und vielleicht lassen sich dadurch Aussagen
treffen über das große Gebiet der Nichtgleichgewichtsphysik, das ganz offensichtlich dominant in der Natur vertreten ist.
Auch die Suche nach dem Perpetuum mobile 2.Art ist immer noch nicht
ganz aufgegeben, sie erhält sogar neuen Schwung durch die ’wunderbare Welt
der Quanten’. Gibt es Systeme, die stabil in einem Nichtgleichgewichtszustand
bleiben? Und ließen sich daraus ’verallgemeinerte Maschinen’ bauen, die anders
als die in Kapitel 5 und 6 vorgestellten Maschinen arbeiten?
Anhang A
Anhang
A.1
Analytische Formel für ρg00
t
Die folgende Herleitung gilt für ein ’Gas’ mit zwei und eine Umgebung mit N c
Energieniveaus, wobei im Gesamtsystem keine Entartung auftreten darf (λ k 6= λk0
für k 6= k 0 ). Die reduzierte Dichtematrix des ’Gases’ hat die Dimension 2 × 2.
Mit der Transformationsmatrix U lässt sich der Zustandsvektor |Ψ(t)i in den
Zustandsvektor |Φ(t)i transformieren (Gleichung (2.11)):
|Ψ(t)i = U |Φ(t)i
Ψm (t) =
Umk Φk (t) .
(A.1)
(Gleichung (3.37)) mit Gleichung (2.9)
¯2
¯
c −1
c −1 2N c −1
N
N
¯
¯X
X
X
i
¯
¯
=
|Ψm |2 =
Umk e− ~ λk t Φk (0)¯ .
¯
¯
¯
m=0
m=0
(A.2)
Damit ergibt sich für
ρg00
⇒
c −1
2N
X
k=0
ρg00
k=0
Für eine komplexe Zahl dk gilt
¯2
¯ c
!2
!2 Ã2N c −1
Ã2N c −1 ! Ã2N c −1
Ã2N c −1 !
−1
¯
¯2N
X
X
X
X
X
¯
¯
.
Im(dk )
Re(dk ) +
dk =
dk +Im2
dk ¯ = Re2
¯
¯
¯
k=0
k=0
k=0
k=0
k=0
(A.3)
Es seien a, b, c drei komplexe Zahlen mit
a = a1 + ia2
b = b1 + ib2
c = c1 + ic2
(A.4)
(A.5)
(A.6)
{a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 } ∈ R. Damit wird
abc = a1 b1 c1 −a2 b2 c1 −a1 b2 c2 −a2 b1 c2 +i(a1 b2 c1 +a2 b1 c1 +a1 b1 c2 −a2 b2 c2 ) . (A.7)
99
100
Anhang A. Anhang
Mit der Eulerschen Formel
¢
¡
¢
¡
i
e− ~ λk t = cos − ~1 λk t + i sin − ~1 λk t
(A.8)
ergibt sich mit Gleichung (A.7)
³
´
¢
¡
− ~i λk t
Re Umk e
Φk (0) = [Re(Umk )Re(Φk (0)) − Im(Umk )Im(Φk (0))] cos − ~1 λk t
¡
¢
− [Re(Umk )Im(Φk (0)) + Im(Umk )Re(Φk (0))] sin − ~1 λk t
(A.9)
´
³
¡
¢
i
Im Umk e− ~ λk t Φk (0) = [Re(Umk )Im(Φk (0)) + Im(Umk )Re(Φk (0))] cos − ~1 λk t
¡
¢
+ [Re(Umk )Re(Φk (0)) − Im(Umk )Im(Φk (0))] sin − ~1 λk t .
(A.10)
Definition:
Amk ≡ Re(Umk )Re(Φk (0)) − Im(Umk )Im(Φk (0))
Bmk ≡ Re(Umk )Im(Φk (0)) + Im(Umk )Re(Φk (0)) .
(A.11)
(A.12)
Mit Gleichung (A.3)
Ã2N c −1
!2
Ã2N c −1
!
³
´ 2
X
X £
¡ 1 ¢¤
¡ 1 ¢
− ~i λk t
.
Re Umk e
=
Φk (0)
Amk cos − ~ λk t − Bmk sin − ~ λk t
k=0
k=0
(A.13)
Wird nun das Zeitmittel gebildet:
t
ρg00
1
= lim
T →∞ T
Z
T
0
ρg00 (t) dt
(A.14)
so verschwinden die folgenden Terme aus Gleichung (A.13), da sie im Zeitmittel
gleich Null sind:
¢
¡
¢¢
¡ ¡
1. Amk1 Bmk2 cos(..) sin(..) ∝ 21 sin − ~1 (λk2 − λk1 ) − cos − ~1 (λk2 + λk1 )
¡
¢
2. Amk1 Bmk1 cos(..) sin(..) ∝ 21 sin −2 ~1 λk1 t
¢
¡
¢¢
¡ ¡
3. Amk1 Amk2 cos(..) cos(..) ∝ 12 cos − ~1 (λk1 − λk2 ) + cos − ~1 (λk1 + λk2 )
¢
¡
¢¢
¡ ¡
4. Bmk1 Bmk2 sin(..) sin(..) ∝ 12 cos − ~1 (λk1 − λk2 ) − cos − ~1 (λk1 + λk2 ) .
Für das Zeitmittel von Gleichung (A.13) ergibt sich somit
Ã2N c −1
X
k=0
!2 t
³
´
i
Re Umk e− ~ λk t Φk (0)
=
=
c −1
2N
X
¡
¢t
¢t
¡
2
A2mk cos2 − ~1 λk t + Bmk
sin2 − ~1 λk t
k=0
c −1
2N
X
1
2
k=0
2
A2mk + Bmk
(A.15)
A.2. Transformation der Ableitungen für die Transformation (4.12)
101
¢t
¢t
¡
¡
mit cos2 − ~1 λk t = sin2 − ~1 λk t = 21 . Entsprechend ergibt sich für die Imaginärteile aus Gleichung (A.3)
Ã2N c −1
X
³
Im Umk e
k=0
− ~i λk t
Φk (0)
!t
´ 2
c
2N −1
1 X 2
2
A + Bmk
=
2 k=0 mk
(A.16)
und somit für
t
ρg00
=
=
c −1 2N c −1
N
X
X
m=0 k=0
c −1 2N c −1
N
X
X
m=0
=
k=0
c −1 2N c −1
N
X
X
m=0
k=0
2
A2mk + Bmk
¡
¢
Re2 (Umk ) Re2 (Φk (0)) + Im2 (Φk (0))
¡
¢
+ Im2 (Umk ) Re2 (Φk (0)) + Im2 (Φk (0))
|Umk |2 |Φk (0)|2
und mit
Φk (0) =
c −1
2N
X
Ukl+ Ψl (0)
(A.17)
(A.18)
l=0
t
ρg00
=
¯
¯
¯
¯
c −1 2N c −1
2N
¯X
X
k=0
l=0
¯2 N c −1
¯ X
¯
Ukl+ Ψl (0)¯
|Umk |2 .
¯ m=0
(A.19)
In analoger Weise ergibt sich für das Nichtdiagonalelement
t
ρg01
=
k=0
A.2
¯
¯
¯
¯
c −1 2N c −1
2N
¯X
X
l=0
¯2 N c −1
¯ X
¯
∗
Ukl+ Ψl (0)¯
Umk Um+N
ck .
¯ m=0
(A.20)
Transformation der Ableitungen für die
Transformation (4.12)
f = f (x1 , xW ) = f (x1 (y1 , yW ), xW (y1 , yW ))
∂f
∂f ∂y1
∂f ∂yW
=
+
∂x1
∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1
∂f
∂f ∂y1
∂f ∂yW
=
+
∂xW
∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW
(A.21)
(A.22)
102
Anhang A. Anhang
µ
¶
∂ ∂f
∂f ∂y1
∂ 2f
∂
∂f ∂yW
=
=
+
∂x21
∂x1 ∂x1
∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1
µ
¶
µ
¶
∂y1 ∂
∂f ∂y1
∂f ∂y1
∂yW ∂
∂f ∂yW
∂f ∂yW
=
+
+
+
∂x1 ∂y1 ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1
∂x1 ∂yW ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1
(A.23)
µ
¶
2
∂f ∂y1
∂ ∂f
∂
∂f ∂yW
∂ f
=
=
+
2
∂xW
∂xW ∂xW
∂xW ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW
µ
¶
µ
¶
∂y1 ∂
∂f ∂y1
∂f ∂y1
∂yW ∂
∂f ∂yW
∂f ∂yW
=
+
+
+
∂xW ∂y1 ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW
∂xW ∂yW ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW
(A.24)
x1
L;
xW +L
Transformation (4.12): y1 =
yW = xW
⇔
∂y1
L
=
∂x1
xW + L
y1
x1 L
∂y1
=−
=−
2
∂xW
(xW + L)
yW + L
2
∂ y1
y1
=
∂yW ∂xW
(yW + L)2
A.3
A.3.1
y1 yW
L
+ y1
∂yW
=0
∂x1
∂yW
=1
∂xW
1
∂ 2 y1
=−
∂y1 ∂xW
yW + L
Ungestörte Eigenfunktionen und -energien
der Einteilchensysteme aus Kapitel 4
Unendlich hoher Kasten von x1 = 0 bis x1 = L
|ni0Ka
=
r
³ πn ´
2
sin
x1
L
L
EnKa =
A.3.2
x1 =
π 2 ~2 2
n
2M1 L2
(A.25)
(A.26)
Harmonischer Oszillator
aus [38]
¡
¢
|mi0HO = Am Hm (ξ) exp − 12 ξ 2
HO
Em
¡
= ~ω m +
Am ist ein Normierungsfaktor und Hm
Am =
µ
MW ω
π~
¶ 14 µ
1
m!2m
¶ 21
¢
r
f
MW
die Hermiteschen Polynome:
1
2
;
ω=
; Hm (ξ) =
m −ξ 2
m ξ2 d e
(−1) e
dξ m
(A.27)
(A.28)
(A.29)
jjW
zum Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung
A.4. Berechnung der Beiträge 1x Ckk
W
für die Störungsrechnung in Kapitel 4
103
|0i0HO
|1i0HO
|2i0HO
|3i0HO
|4i0HO
|5i0HO
¶
¶1
µ
1 MW ω 2
MW ω 4
(A.30)
=
exp −
xW
π~
2 ~
√ µ
¶3
¶
µ
1 MW ω 2
2 MW ω 4
= 1
xW
(A.31)
xW exp −
~
2 ~
π4
µ
¶
µ
µ
¶1
¶
MW ω 4 1
1 MW ω 2
MW ω 2
√ 2
=
xW − 1 exp −
xW
(A.32)
π~
~
2 ~
2
µ
¶3 µ
¶
¶
µ
MW ω 4
MW ω 3
1 MW ω 2
1
2
xW − 3xW exp −
xW
(A.33)
=√ 1
~
~
2 ~
3π 4
!
¶1 Ã
¶2
µ
µ
µ
¶
MW ω 4
1 MW ω 2
MW ω 2
MW ω
1
4
3 − 12
xW exp −
xW + 4
xW
= √ 1
~
~
~
2 ~
2 6π 4
(A.34)
Ã
!
3
µ
µ
µ
¶
¶2
¶
1
MW ω 3
1 MW ω 2
MW ω
MW ω 4
5
= √
15xW − 20
xW + 4
xW
xW exp −
1
~
~
~
2 ~
2 15π 4
(A.35)
µ
jjW
zum EntBerechnung der Beiträge 1xCkk
W
wicklungskoeffizienten erster Ordnung für
die Störungsrechnung in Kapitel 4
A.4
• Ŵa :
– j 6= k:
0
2
~2 0
2 ∂
hk,
k
|y
|j, jW i0
W 1
2MW L2
∂y12
2
~2
0
2 ∂
hk|
y
δ
|ji0
= −
Ka 1
k j
2MW L2 W W
∂y12 Ka
µ
¶
µ
¶
Z L
πk
πj
~2 2π 2 j 2
2
y1 sin
δ kW j W
y1 sin
y1 dy1
−
2MW L2 L3
L
L
0
4~2 (−1)k+j j 3 k
(4.24)
δk j
(A.36)
=
MW L2 (j − k)2 (j + k)2 W W
hk, kW |Ŵa |j, jW i0
(A.25)
=
=
1 jjW
a CkjW
−
8 j 3 k(−1)j+k
= 2
β2
3
3
π (j − k) (j + k)
(A.37)
– j = k: kommt nicht vor, da jW = kW (HO) und da mindestens eines der
beiden Quantenzahlen-Paare verschieden sein muss (Gleichung (4.2)).
104
Anhang A. Anhang
• Ŵb :
– j 6= k:
0
(4.25)
hk, kW |Ŵb |j, jW i0 = ... = −
1 jjW
b CkjW
=−
2~2 (−1)k+j jk
δk j
MW L2 (j 2 − k 2 ) W W
4(−1)j+k
jk
β2
2
2
π
(j − k 2 )2
(A.38)
(A.39)
– j = k: kommt nicht vor, da jW = kW (HO)
• Ŵc : nur für jW = 0
5
0
~ 2 π2j 2
(4.27)
0
hk, kW |Ŵc |j, 0i = ... = − √
δkW 1 δjk
1
1
4
2M1 MW
L3 f 4
1 j0
c Cj1
(A.40)
π 2 j 2 λ3
= √
2 β2
(A.41)
• Ŵd : nur für jW = 0
– j 6= k:
0
hk, kW |Ŵd |j, 0i = ... = −
1 j0
d Ck1
– j = k:
√ 5
4 2~ 2 (−1)j+l j 3 k
(4.27)
0
5
4
MW f
1
4
L3 (j
−
k)2 (j
+
k)2
δ kW 1
√
−8 2(−1)j+k j 3 k
i
β 2λ
=h
2
β
π 2 (j 2 − k 2 ) − 2 λ2 (j − k)2 (j + k)2
1 j0
d Cj1
2π 2 j 2 − 3 3
√
=
λ
6 3
(A.42)
(A.43)
(A.44)
• Ŵe : nur für jW = 0
– j 6= k:
0
hk, kW |Ŵe |j, 0i
1 j0
e Ck1
0 (4.25)
(4.27)
= ... =
√ 5
2 2~ 2 (−1)j+k jk
5
1
4
MW
f 4 L3 (j 2 − k 2 )
δ kW 1
√
4 2jk(−1)j+k
i
=h
β 2λ
β2
2
2
2
2
2
π (j − k ) − 2 λ2 (j − k )
(A.45)
(A.46)
A.5. Berechnung des Wirkungsgrades ηHO der Harmonischer-Oszillator-Maschine aus
105
Abschnitt 5.3.1
– j = k:
1 j0
e Cj1
1
= √ λ3
2
(A.47)
• Ŵf : nur für jW = 0
– j 6= k:
0
hk, kW |Ŵf |j, 0i
1 j0
f Ck1
– j = k:
(4.28)
0 (4.25)
= ... = −
√
3
1
2~ 2 f 4 (−1)j+k jk
3
4
L(j 2 − k 2 )
MW
δ kW 1
√
2 2jk(−1)j+k
β2
i
= −h
2
π 2 (j 2 − k 2 ) − 2 βλ2 (j 2 − k 2 ) λ
1 j0
f Cj1
1
=− √ λ
2 2
(A.48)
(A.49)
(A.50)
• Ŵg : nur für jW = 0
– j 6= k:
0
(4.25)
(4.29)
hk, kW |Ŵg |j, 0i0 = ... =
1 j0
g Ck2
~2 (−1)j+k jk √
( 2δkW 2 +δkW 0 ) (A.51)
MW L2 (j 2 − k 2 )
√
2 2(−1)j+k jk
i
= −h
β2
2
β
π 2 (j 2 − k 2 ) − 4 λ2 (j 2 − k 2 )
1 j0
g Ck0
=
– j = k:
1 j0
g Cj2
A.5
(A.52)
2(−1)j+k jk 2
β
π 2 (j 2 − k 2 )2
(A.53)
1
= − √ λ2
4 2
(A.54)
Berechnung des Wirkungsgrades ηHO der
Harmonischer-Oszillator-Maschine aus Abschnitt 5.3.1
Mit Gleichung (5.21):
´
~ω
~ − k~ωT (n+1) ³
∂pn
1 + n − ne kB T .
=
e B
∂ω
kB T
(A.55)
106
Anhang A. Anhang
Damit
∞
X
∂pn
n=0
∂ω
En
"
´X
~ω
1 X − k~ωT n 1 ³
− ~ω n
kB T
B
e
3−e
+
ne kB T
2 n=0
2
n=0
#
∞
³
´
X
~ω
− ~ω n
.
(A.56)
+ 1 − e kB T
n2 e k B T
~2 ω − k~ωT
=
e B
kB T
∞
∞
n=0
Mit einem Programm wie Mathematica findet man die folgenden Relationen:
∞
X
nq n =
n=0
∞
X
q
,
(q − 1)2
n2 q n =
n=0
−q(q + 1)
.
(q − 1)3
(A.57)
Zusammen mit Gleichung (5.20) und der Definition des sinh(x) lässt sich Gleichung (A.56) folgendermaßen schreiben:
∞
X
∂pn
n=0
∂ω
En =
− k2~ωT

2 sinh
³
~ω
kB T
´
~ω
e B
.
´2 1 + − ~ω
³ ~ω
kB T − kB T
kB T
−
1
e
−1
e
2
(A.58)
Diese Gleichung lässt sich nun mit Mathematica integrieren:
µ
µ
³ ~ωx
´¶
kB T
Z ωy X
~ ωx 1 − e
+ ωy e
−1
∞
∂pn (ω, T )
¶
En (ω) dω =
´ µ ~ωy
³ ~ωx
∂ω
ωx n=0
kB T
kB T
−1
−1
e
e
· ³
µ ~ω
¶¸
´
− k~ω xT
− k yT
+kT ln e B − 1 − ln e B − 1
. (A.59)
~ω y
kB T
¶
Diese Gleichung ist antisymmetrisch gegenüber der Vertauschung von ωx und ωy ,
d.h. bei der Vertauschung wechselt das Vorzeichen. Wird nun für ωx ω3 bzw.
ω1 , für ωy ω4 bzw. ω2 und für T TC bzw. TH eingesetzt, die beiden resultierenden Terme in Gleichung (5.17) eingesetzt und die Anschlussbedingungen (5.22)
berücksichtigt, so ergibt sich auf Grund der Asymmetrie
QM
ηHO
=1−
TC
TH
also genau der Carnot-Wirkungsgrad einer klassischen Carnot-Maschine.
(A.60)
A.6. Lösung der Schrödingergleichung für den unendlich hohen Kasten mit einer
Potenzialbarriere
107
A.6
Lösung der Schrödingergleichung für den
unendlich hohen Kasten mit einer Potenzialbarriere
Das Einsetzten der drei Ansätze aus Gleichung (6.18) in die entsprechende Schrödingergleichung ergibt direkt die Wellenlängen von ψ in den drei Bereichen:
i√
B1 = B 3 =
2M E
(A.61)
~
ip
B2 =
2M (E − VW ) .
(A.62)
~
Aus der ersten Randbedingung (6.19) folgt A1 = −D1 . Damit lässt sich der
Ansatz für Bereich I umformen in
Ã√
!
2M E
0
ψI (x) = A1 i sin
x
(A.63)
~
mit A01 = 2A1 . Die zweite Randbedingung (6.20) führt
ähnlicher
Weise mit
³ in
´
√
2 2M E
wesentlich mehr Rechenaufwand über A3 = −D3 exp −i ~ L zu
!
Ã√
2M
E
(x − L)
(A.64)
ψIII (x) = D30 sin
~
h ³√
´
³√
´i
2M E
2M E
0
mit D3 = −2D3 sin
L + i cos
L . Die Gleichungen (A.63) und
~
~
(A.64) zusammen mit ψII aus Gleichung (6.18) beinhalten also die fünf Unbekannten A01 , D30 , A2 , D2 und E, die mit den vier Anschlussbedingungen (6.21) bis
(6.24) sowie der Normierung (6.25) gefunden werden können. Gleichung
(6.21)
√
2M E
multipliziert mit B2 und addiert zu Gleichung (6.22) ergibt mit a = ~
A2 =
A01 i B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 ))
2B2
exp(B2 (x0 − d2 ))
(A.65)
und Gleichung (6.21) multipliziert mit B2 minus Gleichung (6.22)
D2 =
A01 i B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))
.
2B2
exp(−B2 (x0 − d2 ))
(A.66)
Setzt man diese beiden Ausdrücke für A2 und D2 in Gleichung (6.23) ein, so
erhält man eine Gleichung für D30 , die nur noch von A01 und E (über a und B2 )
abhängt:
D30 =
£ B2 d
A01 i
1
e (B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 )))
2B2 sin(a(x0 + d2 − L))
¤
+e−B2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))) .
(A.67)
108
Anhang A. Anhang
Setzt man dieses D30 zusammen mit A2 und D2 in Gleichung (6.24) ein, so kürzt
sich A01 heraus und übrig bleibt eine Beziehung, aus der sich die gequantelten
Eigenenergien des Problems als Nullstellen des Terms bestimmen lassen:
¸
·
£ B2 d
a cos(a(x0 + d2 − L))
e (B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 )))
−
1
0 =
B2 sin(a(x0 + d2 − L))
¤
+e−B2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))) .
(A.68)
Im p
Folgenden werden nur noch Fälle mit
E < VW betrachtet, d.h. mit B2 =
√
1
2M E
− ~ 2M (V − E). Zusammen mit a = ~ bietet Gleichung (A.68) also eine
Möglichkeit, numerisch die Eigenenergien En zu berechnen.
Um die Koeffizienten der Wellenfunktionsabschnitte ψI bis ψIII zu bestimmen,
muss noch die Normierung (6.25) ausgenutzt werden:
Z
x0 − d2
0
2
|ψI (x)| dx +
Z
x0 + d2
x0 − d2
2
|ψII (x)| dx +
Z
L
x0 + d2
!
|ψIII (x)|2 dx = 1 .
(A.69)
Werden diese Integrale mit den Ansätzen (A.63), (A.64) und ψII aus Gleichung
(6.18) gelöst, sowie die Beziehungen (A.65), (A.66) und (A.67) eingesetzt, so
ergibt sich eine Beziehung für |A01 |2 , man besitzt also eine gewisse Freiheit in der
Wahl der komplexen Zahl A01 . Hier wurde A01 ∈ R reell gewählt, was zu folgenden
Beziehungen führt: Re(A2 ) = Re(D2 ) = Re(D30 ) = 0 und Re(D2 A∗2 ) = −D2 A2 .
Damit ergibt sich für A01
·
1
1
x0 d
0 2
− −
sin (2a(x0 − d2 )) +
·
|A1 | =
2
2
2
4 4a
4B2 sin (a(x0 + d2 − L))
£
· eB2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 ))) + e−B2 d (B2 sin(a(x0 − d2 ))
·
¸
x0 d L
1
2
d
d
−a cos(a(x0 − 2 )))] − − + +
sin (2a(x0 + 2 − L))
2
4
2 4a
B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 )) 1 B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))
+2d
d
d
4B22
eB2 (x0 − 2 )
e−B2 (x0 − 2 )
¶2
µ
¢ 1
e2B2 x0 ¡ B2 d
B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 ))
−B2 d
+
e
−e
d
2B2
4B22
eB2 (x0 − 2 )
¶2 #−1
µ
¢ 1
e−2B2 x0 ¡ −B2 d
B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))
B2 d
−
e
−e
.
d
2B2
4B22
e−B2 (x0 − 2 )
(A.70)
Die anderen Koeffizienten A2 , D2 und D30 ergeben sich aus den Gleichungen
(A.65), (A.66) und (A.67).
Literaturverzeichnis
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[21] P.Davies: The physics of time asymmetry, Univ. of Calif. Pr. 1974 15
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Second Law of Thermodynamics, Phys.Rev.Lett. 86, 1927 (2001) 15, 16
[23] J.Gemmer, G.Mahler: Distribution of local entropy in the Hilbert space of
bi-partite quantum systems: Origin of Jaynes’ principle, quant-ph/0201136
(2002), eingereicht bei Eur. Phys. J. D 15, 16, 18
[24] H.Tasaki: From Quantum Dynamics to the Canonical Distribution: General
Picture and a Rigorous Example, Phys.Rev.Lett. 80, 1373 (1997) 15
[25] C.Kittel, H.Kroemer: Thermal Physics, W.H.Freeman and Company 2nd ed.
1980 19, 69
[26] R.Jensen, R.Shankar: Statistical Behavior in Deterministic Quantum Systems with Few Degrees of Freedom, Phys.Rev.Lett. 54, 1879 (1985) 20
[27] A.Otte: Separabilität in Quantennetzwerken, Dissertation, Universität Stuttgart 2001 25
[28] F.Haake: Quantum Signatures of Chaos, Springer 1991 25
[29] z.B. http://lib-www.lanl.gov/numerical/bookcpdf/c7-2.pdf 25
[30] Vom Autor erstellte und in dieser Diplomarbeit verwendete Programme, die
vermutlich irgendwann auf irgendeiner CD in hoffentlich funktionstüchtiger
und allgemeinverständlicher Form vorliegen werden. 28, 35, 37
[31] http://www.octave.org/ 28
Literaturverzeichnis
111
[32] load -force Hamiltonian.dat H;
[U,lambda] = eig(H);
save U.dat U;
save lambda.dat lambda; 28
[33] J.Gemmer: Dissertation, Universität Stuttgart 2003 35
[34] J.Gemmer: persönliche Mitteilung 41, 73
[35] C.Bender, D.Brody, B.Meister: Quantum mechanical Carnot engine,
J.Phys.A: Math.Gen. 33, 4427 (2000) 45, 67, 70
[36] C.Bender, D.Brody, B.Meister: Entropy and Temperature of a Quantum Carnot Engine, Proc.R.Soc.London A458, 1519 (2002) 45
[37] J.Gemmer: Dynamik von Quanten-Netzwerken: Zur Kontrolle von Verschränkung, Diplomarbeit, Universität Stuttgart 2000 47
[38] G.Joos: Lehrbuch der Theoretischen Physik, AULA-Verlag 1989 102
[39] C.Gerthsen, H.Vogel: Physik, 17.Aufl. 5.5.6, Springer 1993 68
[40] L.Schiff: quantum mechanics, McGraw-Hill, 3rd ed. 1968 70, 86
[41] I.Bronstein, K.Semendjajew, G.Musiol, H.Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch 1997 72
[42] M.Scully: Quantum Afterburner: Improving the Efficiency of an Ideal Heat
Engine, Phys.Rev.Lett. 88, 050602 (2002) 75
[43] J.Maxwell: Theorie der Wärme, Maruschke Berendt 1877 77
[44] H.Leff, A.Rex: Maxwell’s Demon - Entropy, Information, Computing, Adam
Hilger 1990 77, 78, 79, 80, 111
[45] L.Szilard: Über die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen, Zeitschrift für Physik 53, 840-856
(1929) 78, 79
[46] C.Bennett: Demons, Engines and the Second Law, Sci.Am. 257, 108-116
(1987) 80
[47] W.Zurek: Maxwell’s Demon, Szilard’s Engine and Quantum Measurements,
in [48] (S.151-161) und [44] (S.249-259) 81, 88, 94
[48] G.Moore, M.Scully: Frontiers of Nonequilibrium Statistical Physics, Plenum
Press 1986 111
[49] W.Zurek: Quantum Discord and Maxwell’s Demons, quant-ph/0202123 82
Index
Adiabate, 68
in der QM, 70
Anfangszustand, 26
Arbeitsvariable
verallgemeinerte, 72
Gültigkeitsbereich, 40
Boltzmann
-Postulat, 12
-Verteilung, 10, 37, 38, 40, 70, 83,
92
Isotherme, 68
in der QM, 70
harmonischer Oszillator, 46, 72, 102
Hermitezität, 4
Hilbertraum, 3, 12, 15, 17
Kastenpotenzial, 39, 46, 84, 102
Kopplung
kanonische, 18, 31
mikrokanonische, 16, 29
Kraft, 45, 85
Carnot
-Prozess, 68
-Prozess in der QM, 70
-Wirkungsgrad, 68, 72, 105
coarse graining, 14
Level, 20
Liouville-Gleichung, 6
Liouvillescher Satz, 13
Dämon
Maxwellscher, 77
Dichtematrix, 6
reduzierte, 7, 37, 57
Druck, 45, 58
verallgemeinerter, 71
Maschine, 67, 77
Mastergleichung, 7, 14
Maxwellscher Dämon, 77
Messung, 7, 82, 95
Mischen, 14
Einbettung, 2, 11, 43, 45, 55, 64, 67,
89, 97
Energiespektrum, 20, 70
Energieverteilung, 18
Erhaltung der, 5
Entropie, 11, 29, 30, 34, 35, 44
von-Neumann, 9
Entwicklungsparameter, 51
Ergodenhypothese, 13, 14, 17
Niveau, 20
Perpetuum mobile, 1, 70, 77, 98
Phasenraum, 12
Purity, 8, 16, 28–30, 57
Quanten-Manometer, 46
Quantencomputer, 2, 98
Quasiergodenhypothese, 13, 14
Reihe
geometrische, 72
Reinheit, 8
finite-size-Effekt, 33
Fundamentalform, 9
Funktionaldeterminante, 54
112
INDEX
Relaxation, 30, 40
Schrödingergleichung, 3, 28
stationäre, 5, 89
Schwankung, 30
Störungsrechnung, 46
Systeme
offene, 7
zusammengesetzte, 7, 15
Szilard-Maschine
asymmetrische Quanten-, 82
klassische, 78
Quanten-, 80
Tasse, 12
Thermodynamik, 19
Transformation, 4, 48, 99, 101
unitäre, 7
Varianz, 36, 55
Verschränkung, 8, 56
Volumen
verallgemeinertes, 70
von-Neumann-Gleichung, 6
Wahrscheinlichkeit, 5, 18, 84
Wechselwirkung, 23
Weltvektor, 7, 8
Zeitmittel, 29, 99
Zelleinteilung, 14
Zufallsmatrix, 25
Zustand
EPR-, 8
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, 68, 70, 77
klassischer Zugang, 12
numerische Simulationen zum, 20
quantenmechanischer Zugang, 15
Verletzung des, 75, 77, 88, 95
113
Danksagung
Diese Diplomarbeit würde in dieser Form nicht existieren ohne die Mithilfe einiger Personen, denen im Folgenden gedankt sei:
Prof.Dr.Günter Mahler für die gewährte Freiheit, die vielen Vorschläge und Diskussionen, die viele in mich investierte Zeit, das Interesse an meiner Arbeit,
die freundliche, vertrauensvolle und lockere Art sowie die Ermöglichung meiner
’Dienstreise’ nach Princeton, NJ,
Jochen Gemmer für die hervorragende Betreuung, wie sie nicht besser hätte sein
können, die vielen Stunden, die er in mich investiert hat, die Geduld, die er walten ließ (besonders bezüglich Perpetuum mobile 2.Art), die Unverkrampftheit,
die er an den Tag legt, die Spagetti sowie nicht zuletzt für die Möglichkeit, an
revolutionären, inhärent besseren Ideen in der Physik teilhaben zu können,
Prof.Dr.Günter Wunner, Rosemarie Bund und allen Institutsmitgliedern für die
freundliche Aufnahme ans Institut sowie dessen hervorragende Ausstattung,
Prof.Dr.Hans-Rainer Trebin für die Übernahme des Mitberichts,
meinen temporären Zimmerkollegen im Zimmer 4/556, Dr.Alexander Otte und
Michael Hartmann für die gute Atmosphäre, Diskussionen und Hilfestellungen
vor allem bezüglich Mathematica (A.O.),
meinen Kommilitonen am Institut, Harry Schmidt und Mathias Michel für die
vielen Tipps und Vorlagen bezüglich diverser Computerprobleme (Linux, LATEX,
C++) sowie die aufmunternden Worte,
den übrigen Mitgliedern der Arbeitsgruppe, Marcus Stollsteimer, Friedemann
Tonner und Thomas Haury für interessante Diskussionen sowie physikalische und
computerbezogene Hilfestellungen,
meinen Eltern Renate und Wolfgang Borowski für die jahrelang gewährte finanzielle und ideelle Unterstützung (auch wenn sie es so manches Mal recht gut verstanden, die letztere sehr gut zu verbergen), das Vertrauen in mich, die Freiheit,
das Erdulden meiner öfters nicht allzuguten Laune, die unzähligen wochenendlichen Fresspakete sowie das Korrekturlesen dieser Arbeit (R.B.),
meinen Freunden, die ein offenes Ohr für mich hatten und für ordentlich Zerstreuung sorgten, insbesondere Michael Willmer.
115