Tobias Hell - Einführung in die Stochastik

Stochastik
für Lehramtsstudierende
Tobias Hell
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
Density
0.10
0.12
0.14
Histogram of x
0
5
10
x
Skript zur Vorlesung
Sommersemester 2016
15
20
Inhaltsverzeichnis
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
1.1. Etwas Historisches . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Zufallsexperimente und Frequentistik . . . . . .
1.3. Axiomatisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
1.4. Ereignisräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Etwas Theorie zu Zufallsgrößen . . . . . . . . .
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1
1
2
4
6
12
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.1. Internetplattform . . . . . . .
A.2. Mehrere Wahrscheinlichkeiten
A.3. Erwartungswert des Gewinns
A.4. Tennisspiel . . . . . . . . . .
A.5. Blutgruppen . . . . . . . . . .
A.6. Brettspiele . . . . . . . . . . .
A.7. Schadstoffausbreitung . . . .
A.8. Farbenfrohe Gummibären . .
A.9. Lernen . . . . . . . . . . . . .
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15
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17
17
18
21
22
24
26
B. Lehrpläne
B.1. Lehrplan der AHS-Unterstufe .
B.2. Lehrplan der AHS-Oberstufe .
B.3. HTL Allgemeine Bildungsziele .
B.4. HAK Allgemeine Bildungsziele
B.5. HTL Elektronik . . . . . . . . .
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32
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33
35
36
36
37
C. Kompetenzkataloge
C.1. Grundkompetenzen im gemeinsamen Kern . . . .
C.2. Schulformspezifische Kompetenzen im Cluster 1a
C.3. Schulformspezifische Kompetenzen im Cluster 8 .
C.4. Schulformspezifische Kompetenzen im Cluster 9 .
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D. Eine kurze Einführung in R
39
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i
Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik
WS 1.4
17
Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben
und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten KennzahlKapitel
begründen können
1
Anmerkungen:
Entwicklung des
Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt
werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die
wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt
und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche GeInwichtungen
diesem ersten
Kapitel
gebenarithmetisches
wir zunächst
einen
ÜberblickMittels
überaus
die
zu beachten
(„gewogenes
Mittel“)
und kurzen
zu nutzen historischen
(Bildung des arithmetischen
arithmetischen Mitteln
von Teilmengen).
Entwicklung
des Wahrscheinlichkeitsbegriffs.
Nachdem wir Zufallsexperimente definiert
haben, gehen wir insbesondere auf die frequentistische Definition von WahrscheinlichWahrscheinlichkeitsrechnung
keit
und die damit verbundenen Schwierigkeiten ein. Daraufhin widmen wir uns dem
axiomatischen Zugang zum Wahrscheinlichkeitsbegriff, vgl. dazu Kapitel C.
Grundbegriffe
WS 2.1
Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben können
WS 2.2
relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können
WS 2.3
Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden
und interpretieren können
1.1 Etwas Historisches
Anmerkungen:
Seit
jeher faszinieren uns Spiele und erste verschriftliche „stochastische“ Analysen von
Die Multiplikationsregel
kann unter
Verwendung
kombinatorischen
Grundlagen
und derbei
Anwendung
Laplaceeinfachen
Würfelspielen
finden
sich der
bereits
um 20 nach
Christus
KaiserderClaudius.
Regel (auch) umgangen werden.
Zuvor beschäfigten sich die Griechen kaum mit Wahrscheinlichkeitsrechnung, da AristoWS 2.4
können der menschlichen Erkenntnis
teles’
DogmaBinomialkoeffizient
vorherrschte, berechnen
dass sichund
derinterpretieren
Zufall prinzipiell
entziehe. Auch über das Mittelalter hinweg wurde die Wahrscheinlichkeitstheorie nur
spärlich
weiterentwickelt, denn die Beschäftigung mit dem Zufall wurde überwiegend als
Wahrscheinlichkeitsverteilung(en)
gotteslästerlich angesehen.
WS 3.1
die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können
Als Geburtsstunde der (klassischen) Stochastik gilt schließlich ein Briefwechsel
2 ausVerteilung
WS 3.2 Blaise
Binomialverteilung
Modelldeeiner
diskreten
kennen
– Erwartungswert
sowie
zwischen
Pascal1 undalsPierre
Fermat
dem Jahre
1654,
in dem sie eine
LöVarianz/Standardabweichung
binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinsung für folgendes
Problem erarbeiteten:
lichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung
in anwendungsorientierten
Bereichen
Gombaud,
der auch
als Chevalier de Méré
bekannt ist, war ein begeisterter Spie-
Antoine
3.3 lud zu
Situationen
erkennen
beschreiben
können,
in denen mitgegen
Binomialverteilung
modelliert
lerWSund
Hofe, um
unter und
anderem
folgendes
Würfelspiel
ihn zu bestreiten:
werden kann
Spiel
1. Wirft
ein Gast beim der
viermaligen
Würfeln
mit einem
Würfel
WS 3.4
Normalapproximation
Binomialverteilung
interpretieren
und fairen
anwenden
könnenmindestens
eine Sechs, so gewinnt der Chevalier.
Anmerkungen:
Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n
1
und
p dannPascal,
anzuwenden
und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung n · p · (1 – p) ≥ 9 erfüllt ist. Die
Blaise
1623 ist
– 1662
2
Anwendung
derFermat,
Stetigkeitskorrektur
ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von PrüfungsbeispiePierre de
1607 – 1665
len vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ
und Standardabweichung σ . Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes
Ablesen der entsprechenden Werte.
1
2
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Die Gäste ließen sich nach einiger Zeit nicht mehr auf dieses Spiel ein, denn der Chevalier
schien damit zu erfolgreich. Daraufhin bot der Chevalier ein zweites Spiel an.
Spiel 2. Erhält ein Gast unter 24 Würfen mit zwei fairen Würfeln mindestens eine Doppelsechs, so gewinnt der Chevalier.
Der Chevalier erwartete mit dem zweiten Spiel ein und denselben Erfolg, den er mit dem
ersten hatte. Denn schließlich durfte der Gast sechsmal so oft (6 · 4 = 24) versuchen, eine
Doppelsechs zu erwürfeln – also ein Ereignis, das nur in etwa jedes 36. Mal auftreten
sollte. Im Gegensatz dazu, sollte eine Sechs mit einem fairen Würfel in etwa jedes sechste
Mal auftreten. Anders ausgedrückt: Die Anzahl der Versuche wurde auf das Sechsfache
erhöht und die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch auf ein Sechstel der bisherigen reduziert.
Wider Erwarten des Chevaliers gingen aufgrund des zweiten Spiels seine Gäste größtenteils im Bezug auf das Spiel zufrieden nach Hause. Der Chevalier konnte sich dies nicht
erklären und wandte sich mit diesem Problem an Blaise Pascal – wie bereits erwähnt
sollte der darauf folgende Briefwechsel mit Pierre de Fermat Geschichte schreiben.
Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde dann allmählich weiterentwickelt und
neben Pierre-Simon Laplace3 und der Mathematikerdynastie Bernoulli wären noch viele
weitere Namen zu nennen. Die Stochastik endgültig auf ein solides Fundament zu stellen
sollte allerdings erst Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow4 im Jahre 1933 gelingen.
1.2 Zufallsexperimente und Frequentistik
Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen „zufälligen“ Vorgang, auf den folgendes zutrifft:
B Die Bedingungen, unter denen das Experiment durchgeführt wird, die sogenannten
Versuchsbedingungen, sind genau festgelegt.
B Die Menge Ω aller möglichen Ausgänge des Experiments sind im Vorhinein bekannt.
B Das Experiment kann – zumindest theoretisch – beliebig oft unter genau denselben
Versuchsbedingungen wiederholt werden.
Man nennt ω ∈ Ω ein Elementarereignis und führen wir das Zufallsexperiment durch,
so bezeichnen wir jenes ω ∈ Ω, das wir erhalten, als den Ausgang des Zufallsexperiment.
3
4
Pierre-Simon Laplace, 1749 – 1827
Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, 1903 – 1987
Anmerkungen:
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt
werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die
wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt
und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus
arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wir beginnen auf die geforderte Kompetenz im Kompetenzkatalog für die AHS, vgl. KaGrundbegriffe
pitel
C, einzugehen.
WS 2.1
Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben können
WS 2.2
relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können
WS 2.3
Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlich-
berechnen
interpretieren
können, Additionsregel
Multiplikationsregel
Wir möchtenkeit)
einer
Mengeund
von
Elementarereignissen
A ⊂ Ωund
eine
Zahl in [0, 1] anwenden
zuordnen,
interpretieren
können 5 und identer) Durchführung des Zufallsexperiments
die bei sehr und
häufiger
(unabhängiger
inAnmerkungen:
etwa den relativen Anteil jener Ausgänge angibt, die in A liegen. Führen wir das
Zufallsexperiment
n-mal durch, wobei n ∈ N, so erhalten wir Ausgänge
Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der LaplaceRegel (auch) umgangen werden.
WS 2.4
ω1 , . . . , ωn ∈ Ω.
Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können
Für i = 1, . . . , n setzen wir xi = 1, falls ωi ∈ A gilt, und xi = 0 andernfalls. Dann liefert
Wahrscheinlichkeitsverteilung(en)
die
relative Häufigkeit
WS 3.1
n
die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung,
Erwartungswert
1X
|{i ∈ {1, . . . , n}
: ωi ∈ A}| und StandardRn (A; ωverständig
) = und einsetzen
xi = können
abweichung
1 , . . . , ωndeuten
n
WS 3.2
i=1
n
Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie
Zufallsgrößen
Wahrscheinden relativenVarianz/Standardabweichung
Anteil jener Ausgänge, binomialverteilter
die in A liegen.
Da es sichermitteln
um einkönnen,
Zufallsexperiment
∞ Binolichkeitsverteilung
binomialverteilter
Zufallsgrößen
angeben
können,
Arbeiten
mit
handelt, können wir n beliebig groß wählen und erhalten daher eine Folge (ωn )der
n=1 in Ω.
mialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen
Schließlich bezeichnet man den Grenzwert
WS 3.3
Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert
lim Rn (A; ω1 , . . . , ωn )
werden kann
WS 3.4
Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können
n→∞
im Fall seiner Existenz als die frequentistische Wahrscheinlichkeit von A.
Anmerkungen:
Kennen sehr
und Anwenden
der Faustregel,
dass die Normalapproximation
der Binomialverteilung
mit den Parametern n
Dieser
anschauliche
und modellorientierte
Zugang
zum Wahrscheinlichkeitsbegriff
und p dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung n · p · (1 – p) ≥ 9 erfüllt ist. Die
lässt allerdings einige Fragen offen:
Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ
∞ in Ω der Grenzwert lim
(1) Standardabweichung
Existiert für jede
. . , korrektes
ωn ) und
n )n=1
n→∞ Rn (A; ω1 , .und
und
σ . Folge
Arbeiten(ωmit
der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung
Ablesen
der entsprechenden
ergibt
die gleiche Werte.
Zahl in [0, 1]?
(2) Wenn man Frage (1) positiv beantworten könnte: Lassen sich Zufallsexperimente
in einer konsistenten Weise beschreiben, wenn man auf diesem Weg die frequentistische Wahrscheinlichkeit für jedes A ⊂ Ω betrachtet?
Die Antwort auf beide dieser Fragen fällt negativ aus. Insbesondere Frage (2) führt auf
eine Reihe von paradoxen Sachverhalten, die mit unserer Vorstellung von einer konsistenten Beschreibung des Zufalls nicht vereinbar sind.
5
An dieser Stelle kann nur intuitiv erfasst werden, was „unabhängig“ bedeutet.
4
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
1.3 Axiomatisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Um 1900 bereiteten eine Reihe von Entwicklungen in der Mathematik den Boden für
eine zweite Geburtsstunde der Stochastik.
B Mengenlehre: Georg Cantor, 1895 – 1897
B 6. Hilbertsches6 Problem im Jahre 1900: Axiomatisierung der Physik (implizit Forderung nach der Axiomatisierung der Stochastik)
B Maßtheorie: Émile Borel7 , 1901 – 1909
B Integrationstheorie: Henri Lebesgue8 um 1902
Beinahe drei Jahrhunderte nach der Geburtsstunde der Stochastik gelang schließlich Kolmogorow in seinem Werk Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1933 die Synthese unter anderem dieser Entwicklungen zu einer einheitlichen Theorie. Zur Beschreibung eines Zufallsexperiments mit der Ergebnismenge Ω wird der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) eingeführt. Wie man ausgehend von den definierenden Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes wiederum zur sehr anschaulichen frequentistischen
Interpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs gelangt, ist alles andere als unmittelbar
ersichtlich – wir besprechen zunächst die beiden Komponenten F und P.
Beim Ereignisraum F handelt es sich um eine sogenannte σ-Algebra, ein Element von
A ∈ F nennt man Ereignis oder auch beobachtbar.
Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ordnet jedem Ereignis in F eine Zahl in [0, 1] zu, es
handelt sich also um eine Abbildung
P : F → [0, 1] : A 7→ P(A).
Bemerkung. Der Brückenschlag hin zur frequentistischen Interpretation der Wahrscheinlichkeit gelingt mit dem Starken Gesetz der großen Zahlen: Für ein Ereignis
A ∈ F lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit P(A) wiederum als relativer Anteil der
Ausgänge in A, der sich bei häufiger Durchführung des Zufallsexperiments einstellt, interpretieren. Eine präzise Formulierung wird uns allerdings erst nach einiger Vorarbeit
gelingen.
Wie folgendes einfache Beispiel zeigt, beschreibt der Ereignisraum F die vorhandene
Information bei einem Zufallsexperiment.
6
David Hilbert, 1862 – 1943
Émile Borel, 1871 – 1956
8
Henri Lebesgue, 1875 – 1941
7
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
5
Beispiel 1.1 (Wahrscheinlichkeitsräume)
B Wir betrachten das Zufallsexperiment, welches aus dem Wurf eines Würfels besteht.
Zur Modellierung dieses Experiments wählen wir
Ω := {1, 2, . . . , 6}.
Angenommen, jemand würfelt und teilt uns lediglich mit, ob die Augenzahl gerade
oder ungerade ist, so können wir nicht entscheiden, ob ein bestimmtes Elementarereignis ω ∈ Ω eingetreten ist oder nicht. Dies wird durch die Wahl der σ-Algebra
F := {∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω} ⊂ P(Ω)
zum Ausdruck gebracht, F beschreibt also die uns zur Verfügung stehende Information. Beispielsweise sind dann {1, 2} und {6} nicht beobachtbar, also keine
Ereignisse. Soll es sich um einen fairen Würfel handeln, so werden wir intuitiv das
Wahrscheinlichkeitsmaß P durch
|A|
|A|
P (A) :=
=
für A ∈ F
|Ω|
6
definieren. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Augenzahl zu erhalten
P ({2, 4, 6}) =
3
6
= 21 .
B Eines der einfachsten Zufallsexperimente ist wohl der Wurf einer Münze. Wir wählen
Ω := {K, Z},
wobei K für Kopf und Z für Zahl steht. Als geeigneter Ereignisraum dient nun
F := P(Ω),
was bedeutet, dass alle möglichen Ereignisse beobachtbar sind. Handelt es sich um
eine faire Münze, so würde man vermutlich der Intuition entsprechend P mit
P ({K}) = P ({Z}) =
1
2
wählen. Beispielsweise wäre
Ω := {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
eine mögliche Wahl der Ergebnismenge für den Wurf zweier Münzen.
B Um die zufällige Lebensdauer einer Glühbirne zu modellieren, liegt die Wahl
Ω := [0, ∞)
nahe. Was ist in dieser Situation ein sinnvoller Ereignisraum F und welches Wahrscheinlichkeitsmaß P erscheint passend?
Diesen Fragen werden wir zu einem späteren Zeitpunkt genau beantworten können,
dazu bedarf es jedoch einiger Vorarbeit.
6
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
1.4 Ereignisräume
Wir wenden uns dem axiomatischen Zugang zum Wahrscheinlichkeitsbegriff und führen
zunächst die zweite Komponente F eines Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, F, P) ein, also
den Begriff des Ereignisraumes bzw. jenen einer σ-Algebra. Wie bereits eingangs erwähnt,
handelt es sich bei einer σ-Algebra um die Menge aller beobachtbaren Ereignisse. Darüber
hinaus sind dies die natürlichen Mengensysteme der zufälligen Ereignisse, auf denen Maße
und somit insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße in konsistenter Weise definiert werden
können.
Definition 1.2 (σ-Algebra, Algebra, messbarer Raum)
Es sei Ω eine beliebige Menge. Ein Mengensystem F ⊂ P(Ω) wird σ-Algebra auf Ω
genannt, falls die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(σ1) Ω ∈ F
(σ2) Ac := Ω \ A ∈ F für alle A ∈ F
S
∞
N
(σ3) ∞
n=1 An ∈ F für alle Folgen {An }n=1 ∈ F
(komplementstabil )
(σ-vereinigungsstabil )
Ein Element A von F wird Ereignis genannt und es tritt ein, falls ω ∈ A, es tritt nicht
ein, wenn ω ∈
/ A. Man nennt A ∈ F auch beobachtbar oder messbar. Das Paar (Ω, F)
bezeichnet man als messbaren Raum. Ein Mengensystem A ⊂ P(Ω) welches (σ1), (σ2)
und
(3) A ∪ B ∈ A für alle A, B ∈ A
(vereinigungsstabil )
erfüllt, wird Algebra auf Ω genannt.
Bemerkung. Es sei F eine σ-Algebra auf Ω.
B Man beachte, dass aufgrund der Komplementstabilität, jede σ-Algebra die leere
Menge ∅ enthält. Das unmögliche Ereignis ∅ und das sichere Ereignis Ω sind
also stets beobachtbar.
B Offensichtlich ist F auch eine Algebra auf Ω, denn aus der σ-Vereinigungsstabilität
folgt die Vereinigungsstabilität, indem man für A, B ∈ F die σ-Vereinigungsstabilität auf die Folge {An }∞
n=1 ⊂ F mit A1 = A, A2 = B und An = ∅ für n ∈ {3, 4, . . .}
anwendet.
B Ist |Ω| < ∞, so gilt
F ist σ-Algebra ⇐⇒ F ist Algebra.
Im Allgemeinen ist jedoch nicht jede Algebra eine σ-Algebra.
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
7
B Oftmals werden σ-Algebren und Algebren auch als σ-Körper und Körper bezeichnet.
Beispiel 1.3 (σ-Algebren)
B Wir beginnen mit den beiden trivialen σ-Algebren. Man überzeugt sich leicht, dass
es sich bei der Potenzmenge P(Ω) um eine σ-Algebra handelt. Diese ist bezüglich
der Mengeninklusion die größtmögliche σ-Algebra. Die kleinste σ-Algebra lautet
{∅, Ω}.
B Für jede Menge A ⊂ Ω ist {∅, A, Ac , Ω} eine σ-Algebra. Nun greifen wir den
Wurf des Würfels aus Beispiel 1.1 nochmals auf. Die Ergebnismenge lautet dabei
Ω = {1, . . . , 6} und
F = {∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω}
ist somit eine σ-Algebra auf Ω. Weiters entspricht dem Würfelergebnis “gerade
Augenzahl“ das Ereignis
A := {2, 4, 6} ∈ F.
B Mittels der Ergebnismenge
Ω := {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
kann das Werfen zweier Münzen modelliert werden, wobei als σ-Algebra die Potenzmenge F := P(Ω) gewählt werden kann. Das Ereignis
A := {(K, Z), (Z, K), (K, K)}
entspricht dem Ausgang “mindestens eine Münze fällt auf Kopf“ des Zufallsexperiments.
B Als sinnvolle Ergebnismenge, um die zufällige Lebensdauer einer Glühbirne zu modellieren, haben wir bereits Ω = [0, ∞) erkannt. Den Ausgang “die Glühbirne funktioniert länger als 200 Stunden“ könnten wir nun durch
A := (200, ∞)
ausdrücken. Was ist in diesem Fall jedoch die passende σ-Algebra? Wie wir sehen
werden, ist es jedenfalls nicht die Potenzmenge, diese wäre “zu groß“.
Beispiel 1.4 (Dreifaches Würfeln)
Wir betrachten den ersten Teil von Aufgabe A.6.
Aufgabe 7
Brettspiele
Beim Würfeln mit einem fairen Spielwürfel treten die Augenzahlen 1 bis 6
jeweils mit gleicher Wahr­scheinlichkeit auf.
8
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
a) Bei einem Brettspiel wird zu Beginn des Spiels mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt.
Um das Spiel beginnen zu können, muss man einen Sechser würfeln. In einem Durchgang
hat man maximal 3 Versuche zur Verfügung. Sobald man einen Sechser gewürfelt hat, ist die
nächste Spielerin / der nächste Spieler an der Reihe.
− Stellen Sie alle möglichen Ausgänge („Sechser“ oder „kein Sechser“) für einen Durchgang
Wir stellen
zunächst
fest, dass
es zur
Modellierung
des beschriebenen
für eine
Spielerin/einen
Spieler
in einem
Baumdiagramm
dar. [1 Punkt] Zufallsexperiments,
jedenfalls
mehrere
wobei wir zwei
genauer
diskutieren
wollen: Die
− Tragen
Sie dieMöglichkeiten
entsprechenden gibt,
Wahrscheinlichkeiten
in das
Baumdiagramm
ein. [1 Punkt]
−Variante
Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass
eine Spielerin/ein
Spieler indie
einem
Durchgang
erste
benötigt
ein gewisses Maß
mehr
an Modellierung,
zweite
wird sich
das
Spiel
beginnen
kann.
[2 Punkte]
unmittelbar an der Angabe orientiert.
Brettspiel
mit einem
fairen
b) Bei einem
Spielwürfel
gewürfelt
und wird,
man rückt
derman
SpielfiVariante
1. Wir
gehenwird
davon
aus, das
stets
dreimal
gewürfelt
alsomit
dass
nicht
gur so viele Felder vor, wie die gewürfelte Augenzahl angibt. Würfelt man im ersten Wurf einen
nach einer Sechs abbricht. Wir modellieren das Zufallsexperiment als das Werfen dreier
Sechser, so würfelt man ein zweites Mal und rückt die dabei gewürfelte Augenzahl zusätzlich
fairer Würfel und betrachten daher die Ergebnismenge
vor.
Die Zufallsvariable
die ,Anzahl
Felder,
die. .man
Ω = {1, . X. .beschreibt
, 6}3 = {(ω
ω , ω der
): ω
∈ {1,
. , 6}vorrücken
für i = darf.
1, 2, 3} .
1
2
3
i
−Ausgang
Stellen Sie ω
eine
der man alle möglichen Werte dieser Zufallsvariablen X und die
Einen
=Tabelle
(ω1 , ωauf,
2 , ω3 ) ∈ Ω interpretieren wir wie folgt: Die Augenzahl des
zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten
kann.
ersten
Würfels 7
ist ω1 , die des zweitenentnehmen
ω2 und die
des[2 Punkte]
dritten ω3 . Da wir annehmen, dass
Aufgabe
− Berechnen
Sie den Erwartungswert von X. [1 Punkt]
im Zusammenhang mit diesem Zufallsexperiment alles beobachtbar ist, wählen wir als
− Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswertes in diesem Sachzusammenhang.
Ereignisraum F = P(Ω). Also ist jede Teilmenge A ⊂ Ω ein Ereignis.
[1 Punkt]
Brettspiele
Das Ereignis, dass man mit drei Würfen mindestens einen Sechser erzielt, lautet dann
Beim Würfeln mit einem fairen Spielwürfel treten die Augenzahlen 1 bis 6
S=
{ωs∈
Ω : ωi = 6auf.
für mindestens ein i ∈ {1, 2, 3}} .
jeweils mit gleicher
Wahr­
cheinlichkeit
Variante 2. Die Ausgänge geben an, ob beim jeweiligen Versuch ein Sechser gewürfelt
wurde oder nicht und dies können wir mittels der Ergebnismenge
a) Bei einem Brettspiel wird zu Beginn des Spiels mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt.
Ω = {6, 06, 006, 000}
Um das Spiel beginnen zu können, muss man einen Sechser würfeln. In einem Durchgang
Sobaldiman
gewürfelt
hat, ist die
hat man Eine
maximal
3 Versuche
Verfügung.
beschreiben.
Sechs
an der zur
i-ten
Stelle, wobei
= 1,einen
2, 3, Sechser
steht für
einen Sechser
beim
nächste Spielerin / der nächste Spieler an der Reihe.
i-ten Wurf und eine Null für keinen Sechser.
− Stellen Sie alle möglichen Ausgänge („Sechser“ oder „kein Sechser“) für einen Durchgang
für eine Spielerin/einen Spieler in einem Baumdiagramm dar. [1 Punkt]
− Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein. [1 Punkt]
stellen,
− Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit,
Spielerin/ein Spielermittels
in einemeines
Durchgang
Wir
wie gefordert,
die Ausgängedass
des eine
Zufallsexperiments
BaumdiaSpiel beginnen
grammsdas
in Abbildung
1.1kann.
dar.[2 Punkte]
Da wir davon ausgehen, dass im Zusammenhang mit diesen
Ausgängen für uns alles beobachtbar ist, wählen wir F = P(Ω). Also ist jede Teilmenge 5
b) ΩBei
einem
Brettspiel
mit einem
fairenDurchgang
Spielwürfel gewürfelt
und man
rückt mitdem
der Spielfiöffentliches
Dokument
A⊂
ein
Ereignis.
Daswird
Spiel
in einem
zu beginnen
entspricht
Ereignis
gur so viele Felder vor, wie die gewürfelte Augenzahl angibt. Würfelt man im ersten Wurf einen
Sechser, so würfelt man ein zweites Mal
die dabei gewürfelte Augenzahl zusätzlich
{6,und
06,rückt
006}.
vor.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Felder, die man vorrücken darf.
− Stellen Sie eine Tabelle auf, der man alle möglichen Werte dieser Zufallsvariablen X und die
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnehmen kann. [2 Punkte]
− Berechnen Sie den Erwartungswert von X. [1 Punkt]
− Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswertes in diesem Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
9
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
6
0
66
666
60
660
606
06
600
066
00
060
006
000
Abbildung 1.1. Vollständiges Baumdiagramm zum Ablauf des Brettspiels, Teil a. Bei den
rot gefärbten Ausgängen wird abgebrochen.
Eine σ-Algebra ist komplementstabil, daher ist die Forderung der σ-Vereinigungsstabilität äquivalent zu jener der σ-Schnittstabilität, wie wir im Folgenden zeigen werden. Dazu
wird folgender Satz benötigt, dessen Beweis als Übung verbleibt.
Satz 1.5 (De Morgansche9 Regeln)
Es sei Ω eine Menge und es bezeichne J eine beliebige Indexmenge. Für eine Familie
{Aj }j∈J von Teilmengen von Ω gilt
!c
!c
[
\
\
[
c
Aj
=
Aj
und
Aj
=
Acj .
j∈J
j∈J
j∈J
j∈J
Ein Mengensystem G ⊂ P(Ω) wird σ-schnittstabil genannt, falls
∞
\
An ∈ G
N
für alle Folgen {An }∞
n=1 ∈ G .
n=1
Satz 1.6 (σ-∪-stabil ⇔ σ-∩-stabil)
Für ein komplementstabiles Mengensystem G ⊂ P(Ω) gilt
G ist σ-vereinigungsstabil ⇐⇒ G ist σ-schnittstabil .
Beweis. Die Aussage folgt direkt aus den De Morganschen Regeln, denn ist beispielsweise G ein σ-vereinigungsstabiles Mengensystem, so erhalten wir für die Folge
N
{An }∞
n=1 ∈ G , dass
!c
∞
∞
\
[
An =
Acn
∈ G.
n=1
n=1
Die andere Richtung zeigt man analog.
9
Augustus De Morgan, 1806–1871, englischer Mathematiker
Beim Würfeln mit einem fairen Spielwürfel treten die Augenzahlen 1 bis 6
jeweils mit gleicher Wahr­scheinlichkeit auf.
a) Bei einem Brettspiel wird zu Beginn des Spiels mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt.
Um das Spiel beginnen zu können, muss man einen Sechser würfeln. In einem Durchgang
10
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
hat man maximal 3 Versuche zur Verfügung. Sobald man einen Sechser gewürfelt hat, ist die
nächste Spielerin / der nächste Spieler an der Reihe.
Bemerkung. Ist (Ω, F) ein messbarer Raum und sind A, B ∈ F zwei Ereignisse, so
− Stellen Sie alle möglichen Ausgänge („Sechser“ oder „kein Sechser“) für einen Durchgang
ist insbesondere auch A ∩ B ∈ F ein Ereignis.
für eine Spielerin/einen Spieler in einem Baumdiagramm dar. [1 Punkt]
− TragenTeil
Sie die
in das
Baumdiagramm
ein. [1 Punkt] – es
Im zweiten
vonentsprechenden
Aufgabe A.6Wahrscheinlichkeiten
entdecken wir den
Begriff
der Zufallsvariablen
−
B
erechnen
Sie
die
Wahrscheinlichkeit,
dass
eine
Spielerin/ein
Spieler
in
einem
Durchgang eine
handelt sich hierbei um eine Funktion, die jedem Ausgang eines Zufallsexperiments
das
Spiel
beginnen
kann.
[2 Punkte]
reelle Zahl zuordnet.
b) Bei einem Brettspiel wird mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt und man rückt mit der Spielfigur so viele Felder vor, wie die gewürfelte Augenzahl angibt. Würfelt man im ersten Wurf einen
Sechser, so würfelt man ein zweites Mal und rückt die dabei gewürfelte Augenzahl zusätzlich
vor.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Felder, die man vorrücken darf.
großem
− Stellen Interesse
Sie eine Tabelle
man alle möglichen
dieser
X und die
Von
sind auf,
alsoderAbbildungen
X : ΩWerte
→ R
aufZufallsvariablen
einem messbaren
Raum
zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten
entnehmen
kann.
[2 Punkte]
(Ω, F). Als entscheidend wird sich hierbei herausstellen, dass Urbilder
− Berechnen Sie den Erwartungswert von X. [1 Punkt]
−1
− Interpretieren Sie die
Erwartungswertes
diesem
{a Bedeutung
< X < b} des
=X
((a, b)) fürinalle
a <Sachzusammenhang.
b
[1 Punkt]
beobachtbar sind, dass also {a < X < b} ∈ F gilt. Ist dies erfüllt, so wird X als Zufallsvariable oder Zufallsgröße bezeichnet. Zunächst wollen wir allerdings alle Urbilder
erfassen, die unter dieser Bedingung beobachtbar sind. Genauer suchen wir die kleinste
σ-Algebra auf dem Bildbereich R, die alle Intervalle (a, b) mit a < b enthält, und konstruieren somit die sogenannte Borel-σ-Algebra auf R, die mit B(R) bezeichnet wird.
Diese und viele andere σ-Algebren können nicht explizit angegeben werden, jedoch kann
man nichtsdestotrotz in der Praxis sehr gut mit ihnen umgehen. Etwa liefert nachfolgender Satz ein Konstruktionsverfahren für σ-Algebren.
Satz 1.7 (Schnitte von σ-Algebren)
Es sei {Fj }j∈J eine Familie von σ-Algebren auf Ω, wobei J 6= ∅ eine beliebige Indexmenge
bezeichnet. Dann ist
\
F :=
Fj
j∈J
5
ebenfalls eine σ-Algebra auf Ω.
öffentliches Dokument
Beweis. Wir weisen die drei definierenden Eigenschaften einer σ-Algebra nach.
(σ1) Da Ω ∈ Fj für alle j ∈ J gilt, ist
Ω∈
\
Fj = F.
j∈J
(σ2) Komplementstabilität: Es sei A ∈ F. Dann ist A ∈ Fj und somit Ac ∈ Fj für
alle j ∈ J, woraus unmittelbar Ac ∈ F folgt. Somit ist F komplementstabil.
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
11
(σ3) σ-∪-Stabilität: Es sei {An }∞
n=1 eine Folge in F. Für jedes j ∈ J gilt F ⊂ Fj und
N , somit gilt
daher ist {An }∞
∈
F
n=1
j
∞
[
An ∈ Fj ,
n=1
denn Fj ist eine σ-Algebra und daher insbesondere σ-vereinigungsstabil. Dies gilt
für alle j ∈ J und somit ist
∞
[
An ∈ F,
n=1
folglich auch F σ-vereinigungsstabil.
Damit ist gezeigt, dass der Durchschnitt von σ-Algebren wieder eine σ-Algebra ist.
Bemerkung. Die Vereinigung zweier σ-Algebren ist im Allgemeinen keine σ-Algebra.
Obiger Satz gibt Anlass die von einem Mengensystem erzeugte σ-Algebra zu definieren.
Satz und Definition 1.8 (Erzeugte σ-Algebra)
Zu G ⊂ P(Ω) existiert eine bezüglich der Mengeninklusion kleinste σ-Algebra, die G
enthält. Setzt man JG := {F ist σ-Algebra auf Ω mit G ⊂ F}, so ist diese durch
\
σ(G) :=
F
F ∈JG
gegeben und wird von G erzeugte σ-Algebra genannt. Das Mengensystem G heißt dann
Erzeuger von σ(G).
Beweis. Die Menge JG ist nicht-leer, denn P(Ω) ist eine σ-Algebra auf Ω, die G enthält.
Nach Satz 1.7 ist somit
\
σ(G) =
F
F ∈JG
eine σ-Algebra und es bleibt noch zu zeigen, dass dies die kleinste ist, die G enthält.
Jede σ-Algebra F mit G ⊂ F liegt in JG und daher gilt σ(G) ⊂ F, was den Beweis
vollendet.
Bemerkung. Insbesondere gilt für G1 , G2 ⊂ P(Ω) mit G1 ⊂ G2 , dass σ(G1 ) ⊂ σ(G2 ).
Der σ-Operator ist also inklusionserhaltend.
Wir sind jetzt in der Lage die bereits angekündigte Borel-σ-Algebra auf R zu definieren.
12
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik
16
Definition 1.9 (Borel10 -σ-Algebra)
Man nennt
B(R) := σ ({(a, b) : a < b})
Inhaltsbereich
Wahrscheinlichkeit
und BStatistik
die
Borel-σ-Algebra
auf R. Ein Element
∈ B (R)(WS)
wird als Borel-Menge oder als
Borel-messbar bezeichnet.
Bildungstheoretische Orientierung
Satz 1.10 (Erzeuger der Borel-σ-Algebra)
Mathematiker/innen
wie auch Anwender/innen
bedienen sich häufig der Begriffe, der Darstellungsformen
Die
folgenden Mengensystem
erzeugen B(R):
und der (grundlegenden) Verfahren der Beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der
Schließenden
FürRallgemeingebildete
Laien wirdGes im
Hinblick auf die Kommunikationsfähigkeit
GOStatistik.
= {O ⊂
offen} ,
A = {A ⊂ R abgeschlossen} ,
vor allem darauf ankommen, die stochastischen Begriffe und Darstellungen im jeweiligen Kontext angeG1 = {(a, b) : a < b} ,
G2 = {[a, b] : a < b} ,
messen interpretieren
und deren Aussagekraft bzw. Angemessenheit
einschätzen und bewerten zu könG3 = {(a, b] : a < b} ,
G4 = {[a, b) : a < b} ,
nen.
G5 = {(−∞,
x) von
: x statistischen
∈ R} ,
{(−∞,wird
x] : sich
x ∈auf
R}Situationen
.
6 =Grafiken
Die eigenständige
Erstellung
Tabellen G
und
geringer
Komplexität und auf einfache Grafiken beschränken (z. B. bei der Kommunikation mit der Allgemeinheit),
Mit
derErmittlung
Einführung
von Ereignisräumen
haben
wir die Basisgiltfür
eine grundlegende Forfür die
statistischer
Kennzahlen (Zentralund Streuungsmaße)
Ähnliches.
derung im Kompetenzkatalog geschaffen, denn durch die Wahl des Ereignisraums fixieren
Auch
bei der Wahrscheinlichkeit
kann man sich auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen,
Die den
standardisierte
schriftliche
Reifeprüfung in Mathematik
16
wir
vorhandenen
Informationsstand.
auf grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion,
Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung) und Konzepte (Binomialverteilung, Normalverteilung)
sowie einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen beschränken; wichtig hingegen erscheint es, Wahrscheinlichkeit als eine (vom jeweiligen Informationsstand) abhängige Modellierung und Quantifizierung des
Zufalls sowie als unverzichtbares Bindeglied zwischen den beiden Statistiken zu verstehen.
Inhaltsbereich
Wahrscheinlichkeit
Statistik
(WS)
Der
Begriff der (Zufalls-)Stichprobe
ist bereitsund
bei der
Wahrscheinlichkeit,
aber natürlich auch in der
Beispiel
1.11
(Ergzeugter
Ereignisraum)
Schließenden
Statistik
grundlegend und
zentral.
Bildungstheoretische
An
einem Ort wird anOrientierung
vier aufeinanderfolgenden Tagen erhoben, ob es regnet, ob die
Von den zwei grundlegenden Konzepten der Schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und
Sonne
scheint
und
ob
es
windstillistist.
Person gibt besonderer
an, dass sie
beobachten
kann,aufob
der
Hochrechnung (Konfidenzintervall),
dieEine
Hochrechnung
Bedeutung.
Im Hinblick
Mathematiker/innen
wie auch Anwender/innen
bedienen sich von
häufig der Begriffe,
der Darstellungsformen
esdie
an
keinem
dieser
Tage
regnet
sowie
ob
es
an
mindestens
einem
Tag
gleichzeitig
windwird es
hier wenigerStatistik,
darum gehen,
Konfidenzintervalle zu ermitteln,
und Kommunikationsfähigkeit
der (grundlegenden) Verfahren
derauch
Beschreibenden
der Wahrscheinlichkeitstheorie
und der
still
ist und
die
Sonne
Was
kann
diese
(aufgrund
dieser Information)
sondern
vorrangig
darum,
Ergebnisse
dieses
Verfahrens
imim
jeweiligen
Kontext
angemessen
zu deuten
Schließenden
Statistik.
Für scheint.
allgemeingebildete
Laien
wird Personen
es
Hinblick
auf die Kommunikationsfähigkeit
jedenfalls
noch
beobachten?
und
zu
bewerten.
Dabei
spielen
Begriffe
wie
Sicherheit/Irrtumswahrscheinlichkeit
und
deren
Zusammenvor allem darauf ankommen, die stochastischen Begriffe und Darstellungen im jeweiligen Kontext ange- hang mitinterpretieren
der Intervallbreite
(„Genauigkeit“)
und bzw.
dem Angemessenheit
Stichprobenumfang
eine zentrale
sodass
entmessen
und deren
Aussagekraft
einschätzen
und Rolle,
bewerten
zu könsprechende
Kompetenzen
unverzichtbar
sind.
nen.
1.5 Etwas Theorie zu Zufallsgrößen
Die eigenständige Erstellung von statistischen Tabellen und Grafiken wird sich auf Situationen geringer
Grundkompetenzen
Komplexität
einfache Grafiken beschränken
B. bei
mit der
Allgemeinheit),
Beim
Begriffund
deraufZufallsvariablen
handelt es (z.
sich
umder
einKommunikation
grundlegendes
Konzept:
für die Ermittlung statistischer Kennzahlen (Zentral- und Streuungsmaße) gilt Ähnliches.
Beschreibende Statistik
Auch bei der Wahrscheinlichkeit kann man sich auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen,
auf
(Zufallsgröße,
Dichte- und
Verteilungsfunktion,
WS grundlegende
1.1
WerteBegriffe
aus tabellarischen
undWahrscheinlichkeitsverteilung,
elementaren grafischen Darstellungen
ablesen
(bzw. zusamErwartungswert
und Varianz/Standardabweichung)
und Konzepte
Normalverteilung)
mengesetzte
Werte ermitteln) und im jeweiligen
Kontext(Binomialverteilung,
angemessen interpretieren
können
sowie einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen beschränken; wichtig hingegen erscheint es, WahrAnmerkungen:
scheinlichkeit als eine (vom jeweiligen Informationsstand) abhängige Modellierung und Quantifizierung des
(un-)geordnete
Liste,
Strichliste, Piktogramm,
Säulen-,
Balken-,
Punktwolkendiagramm,
Histo10
Zufalls
sowie
als
unverzichtbares
Bindeglied
zwischen
denLinien-,
beidenStängel-Blatt-,
Statistiken
zu
verstehen.
Félix
Édouard
Justin Émile Borel,
1871–1956,
französischer
Mathematiker
und Politiker
gramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
Der Begriff der (Zufalls-)Stichprobe ist bereits bei der Wahrscheinlichkeit, aber natürlich auch in der
WS 1.2
Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln
Schließenden Statistik grundlegend und zentral.
können
Von den zwei grundlegenden Konzepten der Schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und
WS 1.3
statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median,
der Hochrechnung (Konfidenzintervall), ist die Hochrechnung von besonderer Bedeutung. Im Hinblick auf
Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kondie Kommunikationsfähigkeit wird es auch hier weniger darum gehen, Konfidenzintervalle zu ermitteln,
text interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln
sondern vorrangig darum, Ergebnisse dieses Verfahrens im jeweiligen Kontext angemessen zu deuten
können
und zu bewerten. Dabei spielen Begriffe wie Sicherheit/Irrtumswahrscheinlichkeit und deren Zusammenhang mit der Intervallbreite („Genauigkeit“) und dem Stichprobenumfang eine zentrale Rolle, sodass entsprechende Kompetenzen unverzichtbar sind.
Grundkompetenzen
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
13
Es sei (Ω, F) ein messbarer Raum und X : Ω → R eine Abbildung. Wie wir bereits
eingeführt haben, handelt es sich bei X um eine Zufallsvariable, falls
∀ a < b : {a < X < b} ∈ F
gilt. Wir werden nun verschiedene Charakterisierungen dieser Bedingung erarbeiten und
insbesondere zeigen, dass
X Zufallsvariable ⇐⇒ ∀ B ∈ B(R) : {X ∈ B} = X −1 (B) ∈ F
gilt.
Lemma 1.12 (Von einer Abbildung erzeugte σ-Algebra)
Es sei (Ω B , F B ) ein messbarer Raum und X : Ω D → Ω B eine Abbildung. Dann ist
σ(X) := X −1 (F B ) := X −1 (B) : B ∈ F B
eine σ-Algebra auf Ω D und diese wird die von X erzeugte σ-Algebra auf Ω D genannt.
Beweis. Wir weisen die definierten Eigenschaften einer σ-Algebra nach.
(σ1) Da Ω B ∈ F B und X −1 (Ω B ) = Ω D , gilt Ω D ∈ X −1 (F B ).
(σ2) Komplementstabilität: Zu A ∈ X −1 (F B ) gibt es ein B ∈ F B mit A = X −1 (B).
Dann ist
c
Ac = X −1 (B) = X −1 (B c ) ∈ X −1 (F B ),
da B c ∈ F B .
−1 (F )
(σ3) σ-∪-Stabilität: Es sei {An }∞
B
n=1 ∈ X
N
N
. Dann gibt es {Bn }∞
n=1 ∈ F B mit
An = X −1 (Bn ) für alle n ∈ N.
Aus
S∞
n=1 Bn
∈ F B folgt somit
∞
[
n=1
An =
∞
[
X −1 (Bn ) = X −1
n=1
∞
[
Bn ∈ X −1 (F B ).
n=1
Wir interessieren uns nun für Abbildungen, die die Struktur der Ereignisräume erhalten.
Definition 1.13 (Messbare Abbildungen)
Es seien (Ω D , F D ) und (Ω B , F B ) zwei messbare Räume. Eine Abbildung X : Ω D → Ω B
heißt (F D , F B )-messbar (kurz: messbar), falls
∀ B ∈ F B : X −1 (B) ∈ F D ,
also wenn σ(X) = X −1 (F B ) ⊂ F D gilt.
14
1. Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Bemerkung.
B Für eine Abbildung zwischen messbaren Räumen ist auch die Schreibweise
X : (Ω D , F D ) → (Ω B , F B )
üblich.
B Für B ∈ F B schreiben wir {X ∈ B} := X −1 (B).
Satz 1.14 (σ ↔ X −1 )
Es sei X : Ω D → Ω B eine Abbildung und G ⊂ P(Ω B ). Dann gilt
σ X −1 (G) = X −1 (σ(G)) .
Beweis. Es gilt X −1 (G) ⊂ X −1 (σ (G)) und somit σ X −1 (G) ⊂ X −1 (σ (G)) . Um die
umgekehrte Inklusion zu zeigen, weisen wir nach, dass
Σ := B ∈ σ (G) : X −1 (B) ∈ σ X −1 (G)
eine σ-Algebra auf Ω B ist.
(σ1) Offensichtlich ist Ω B ∈ Σ.
(σ2) Komplementstabilität: Für B ∈ Σ ist
c
X −1 (B c ) = X −1 (B) ∈ σ X −1 (G)
und somit B c ∈ Σ.
N
(σ3) σ-∪-Stabilität: Für jede Folge {Bn }∞
n=1 ∈ Σ gilt
!
∞
∞
[
[
−1
X
Bn =
X −1 (Bn ) ∈ σ X −1 (G)
n=1
und daher
S∞
n=1 Bn
n=1
∈ Σ.
Aus G ⊂ Σ folgern wir Σ = σ (G) und damit die Aussage.
Anhang A
Zentralmaturaaufgaben 2015
A.1 Internetplattform
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, AHS, 11. Mai 2015,
Mathematik, Teil-1-Aufgabe, Aufgabe 19, S. 23
https://www.bifie.at/node/3014
Aufgabe 19
Internetplattform
Die Nutzung einer bestimmten Internetplattform durch Jugendliche wird für Mädchen und
Burschen getrennt untersucht. Dabei wird erfasst, wie oft die befragten Jugendlichen diese
Plattform pro Woche besuchen. Die nachstehenden Kastenschaubilder (Boxplots) zeigen das
Ergebnis der Untersuchung.
Besuche pro Woche
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Burschen
Mädchen
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Der Median der Anzahl von Besuchen pro Woche ist bei den Burschen
etwas höher als bei den Mädchen.
Die Spannweite der wöchentlichen Nutzung der Plattform ist bei den
Burschen größer als bei den Mädchen.
Aus der Grafik kann man ablesen, dass genauso viele Mädchen wie
Burschen die Plattform wöchentlich besuchen.
Der Anteil der Burschen, die mehr als 20-mal pro Woche die Plattform
nützen, ist zumindest gleich groß oder größer als jener der Mädchen.
Ca. 80 % der Mädchen und ca. 75 % der Burschen nützen die Plattform genau 25-mal pro Woche.
15
23
öffentliches Dokument
16
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.2 Mehrere Wahrscheinlichkeiten
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, AHS, 11. Mai 2015,
Mathematik, Teil-1-Aufgabe, Aufgabe 21, S. 25
https://www.bifie.at/node/3014
Aufgabe 21
Mehrere Wahrscheinlichkeiten
In einer Unterrichtsstunde sind 15 Schülerinnen und 10 Schüler anwesend. Die Lehrperson wählt
für Überprüfungen nacheinander zufällig drei verschiedene Personen aus dieser Schulklasse aus.
Jeder Prüfling wird nur einmal befragt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schülerinnen
15
25
14 13
25 25
auswählt, kann mittels ––– ∙ ––– ∙ ––– berechnet werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson als erste Person
10
25
einen Schüler auswählt, ist ––– .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson bei der Wahl von drei
24
Prüflingen als zweite Person eine Schülerin auswählt, ist 25 .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schüler aus10
25
9
8
24 23
wählt, kann mittels ––– ∙ ––– ∙ ––– berechnet werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den von der Lehrperson
ausgewählten Personen genau zwei Schülerinnen befinden, kann
15 14
25 24
23
23
mittels ––– ∙ ––– ∙ ––– berechnet werden.
25
öffentliches Dokument
17
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.3 Erwartungswert des Gewinns
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, AHS, 11. Mai 2015,
Mathematik, Teil-1-Aufgabe, Aufgabe 23, S. 27
https://www.bifie.at/node/3014
Aufgabe 23
Erwartungswert des Gewinns
Bei einem Gewinnspiel gibt es 100 Lose. Der Lospreis beträgt € 5. Für den Haupttreffer werden
€ 100 ausgezahlt, für zwei weitere Treffer werden je € 50 ausgezahlt und für fünf weitere Treffer
werden je € 20 ausgezahlt. Für alle weiteren Lose wird nichts ausgezahlt.
Unter Gewinn versteht man Auszahlung minus Lospreis.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns aus der Sicht einer Person, die ein Los kauft!
A.4 Tennisspiel
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, AHS, 11. Mai 2015,
Mathematik, Teil-1-Aufgabe, Aufgabe 24, S. 28
https://www.bifie.at/node/3014
Aufgabe 24
Tennisspiel
Stefan und Helmut spielen im Training 5 Sätze Tennis. Stefan hat eine konstante Gewinnwahrscheinlichkeit von 60 % für jeden gespielten Satz.
Aufgabenstellung:
Es wird folgender Wert berechnet:
()
5
∙ 0,43 ∙ 0,62 = 0,2304
3
Geben Sie an, was dieser Wert im Zusammenhang mit der Angabe aussagt!
27
öffentliches Dokument
18
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.5 Blutgruppen
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, AHS, 11. Mai 2015,
Mathematik, Teil-2-Aufgabe, Aufgabe 3, S. 8
https://www.bifie.at/node/3014
Aufgabe 3
Blutgruppen
Die wichtigsten Blutgruppensysteme beim Menschen sind das AB0-System und das Rhesussystem. Es werden dabei die vier Blutgruppen A, B, AB und 0 unterschieden. Je nach Vorliegen
eines bestimmten Antikörpers, den man erstmals bei Rhesusaffen entdeckt hat, wird bei jeder
Blutgruppe noch zwischen Rhesus-positiv (+) und Rhesus-negativ (–) unterschieden. A– bedeutet
z. B. Blutgruppe A mit Rhesusfaktor negativ.
In den nachstehenden Diagrammen sind die relativen Häufigkeiten der vier Blutgruppen in Österreich und Deutschland und im weltweiten Durchschnitt ohne Berücksichtigung des Rhesusfaktors
dargestellt.
Österreich
Österreich Österreich
B
B
15 % 15 %
A
A
41 % 41 %
A
41 %
AB
7%
Deutschland
Deutschland
Deutschland
0
0
37 % 37 %
AB
7%
0
37 %
A
A
43 % 43 %
AB
7%
A
43 %
AB
5%
weltweitweltweit
B
11 %
B
B
11 % 11 %
B
15 %
B
B
11 % 11 %
0
0
41 % 41 %
AB
5%
0
41 %A
A
40 % 40 %
AB
5%
A
40 %
AB
4%
weltweit
B
11 %
0
0
45 % 45 %
AB
4%
0
45 %
AB
4%
Die nachstehende Tabelle enthält die relativen Häufigkeiten der Blutgruppen in Deutschland und
Österreich zusätzlich aufgeschlüsselt nach den Rhesusfaktoren.
A–
B+
B–
Deutschland
37 %
A+
6%
9%
2%
35 %
0+
0–
6%
AB+
4%
AB–
1%
Österreich
33 %
8%
12 %
3%
30 %
7%
6%
1%
Aufgrund von Unverträglichkeiten kann für eine Bluttransfusion nicht Blut einer beliebigen Blutgruppe verwendet werden. Jedes Kreuz (X) in der nachstehenden Tabelle bedeutet, dass eine
Transfusion vom Spender zum Empfänger möglich ist.
Spender
Empfänger
0–
0+
B–
B+
A–
A+
AB–
AB+
AB+
X
X
X
X
X
X
X
X
AB–
X
A+
X
A–
X
B+
X
B–
X
0+
X
0–
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Datenquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Blutgruppe [26.11.2014]
8
öffentliches Dokument
X
X
X
X
19
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
Aufgabenstellung:
a) A Geben Sie diejenigen Blutgruppen an, die laut der abgebildeten Diagramme sowohl in Österreich als auch in Deutschland häufiger anzutreffen sind als im weltweiten Durchschnitt!
Jemand argumentiert anhand der gegebenen Diagramme, dass die Blutgruppe B in Deutschland und Österreich zusammen eine relative Häufigkeit von 13 % hat.
Entscheiden Sie, ob diese Aussage richtig ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
b) Eine in Österreich lebende Person X hat Blutgruppe A–.
Geben Sie anhand der in der Einleitung angeführten Daten und Informationen die Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Person X als Blutspender/in für eine zufällig ausgewählte, in Österreich lebende Person Y geeignet ist!
Wie viele von 100 zufällig ausgewählten Österreicherinnen/Österreichern kommen als Blutspender/in für die Person X in Frage? Geben Sie für die Anzahl der potenziellen Blutspen­der/innen näherungsweise ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall mit 90 % Wahr­
scheinlichkeit an!
c) In einer österreichischen Gemeinde, in der 1 800 Einwohner/innen Blut spenden könnten,
nahmen 150 Personen an einer freiwilligen Blutspendeaktion teil. Es wird angenommen, dass
die Blutspender/innen eine Zufallsstichprobe darstellen. 72 Blutspender/innen hatten Blutgruppe A.
Berechnen Sie aufgrund dieses Stichprobenergebnisses ein symmetrisches 95-%-Konfi­denz­
intervall für den tatsächlichen (relativen) Anteil p der Einwohner/innen dieser Gemeinde mit
Blutgruppe A, die Blut spenden könnten!
Die Breite des Konfidenzintervalls wird vom Konfidenzniveau (Sicherheitsniveau) und vom Umfang der Stichprobe bestimmt. Geben Sie an, wie jeweils einer der beiden Parameter geändert
werden müsste, um eine Verringerung der Breite des Konfidenzintervalls zu erreichen! Gehen
Sie dabei von einem unveränderten (gleichbleibenden) Stichprobenergebnis aus.
Bitte umblättern!
9
öffentliches Dokument
20
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
d)Blutgruppenmerkmale werden von den Eltern an ihre Kinder weitervererbt. Dabei sind die
Wahrscheinlichkeiten in der nachstehenden Tabelle angeführt.
Blutgruppe
der Eltern
mögliche Blutgruppe des Kindes
A
B
AB
0
A und A
93,75 %
–
–
6,25 %
A und B
6,25 %
18,75 %
18,75 %
56,25 %
A und AB
50 %
12,5 %
37,5 %
–
A und 0
75 %
–
–
25 %
6,25 %
B und B
–
93,75 %
–
12,5 %
50 %
37,5 %
–
–
75 %
–
25 %
AB und AB
25 %
25 %
50 %
–
AB und 0
50 %
50 %
–
–
–
–
–
100 %
B und AB
B und 0
0 und 0
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/AB0-System [26.11.2014]
Eine Frau mit Blutgruppe A und ein Mann mit Blutgruppe 0 haben zwei (gemeinsame) leibliche
Kinder.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder die gleiche Blutgruppe haben!
Ein Kind aus der Nachbarschaft dieser Familie hat Blutgruppe 0.
Gibt es eine Blutgruppe bzw. Blutgruppen, die der leibliche Vater dieses Kindes sicher nicht
haben kann? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der gegebenen Daten!
10
öffentliches Dokument
21
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.6 Brettspiele
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, BHS, 11. Mai 2015,
Angewandte Mathematik, Teil B (Cluster 9), Aufgabe 6, S. 5
https://www.bifie.at/node/3028
Aufgabe 7
Brettspiele
Beim Würfeln mit einem fairen Spielwürfel treten die Augenzahlen 1 bis 6
jeweils mit gleicher Wahr­scheinlichkeit auf.
a) Bei einem Brettspiel wird zu Beginn des Spiels mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt.
Um das Spiel beginnen zu können, muss man einen Sechser würfeln. In einem Durchgang
hat man maximal 3 Versuche zur Verfügung. Sobald man einen Sechser gewürfelt hat, ist die
nächste Spielerin / der nächste Spieler an der Reihe.
− Stellen Sie alle möglichen Ausgänge („Sechser“ oder „kein Sechser“) für einen Durchgang
für eine Spielerin/einen Spieler in einem Baumdiagramm dar. [1 Punkt]
− Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein. [1 Punkt]
− Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Spielerin/ein Spieler in einem Durchgang
das Spiel beginnen kann. [2 Punkte]
b) Bei einem Brettspiel wird mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt und man rückt mit der Spielfigur so viele Felder vor, wie die gewürfelte Augenzahl angibt. Würfelt man im ersten Wurf einen
Sechser, so würfelt man ein zweites Mal und rückt die dabei gewürfelte Augenzahl zusätzlich
vor.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Felder, die man vorrücken darf.
− Stellen Sie eine Tabelle auf, der man alle möglichen Werte dieser Zufallsvariablen X und die
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnehmen kann. [2 Punkte]
− Berechnen Sie den Erwartungswert von X. [1 Punkt]
− Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswertes in diesem Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
5
öffentliches Dokument
22
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.7 Schadstoffausbreitung
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, BHS, 11. Mai 2015,
Angewandte Mathematik, Teil B (Cluster 1), Aufgabe 6, S. 3–4
https://www.bifie.at/node/3023
Aufgabe 6
Schadstoffausbreitung
Eine Messstation registriert täglich zu einem bestimmten Zeitpunkt die Konzentration der von
einer Fabrik emit­tierten Schadstoffe (in mg/m3). Es wird angenommen, dass diese Schadstoff­
konzentrationen annähernd normalverteilt sind.
a) Es werden Messungen an 10 Tagen vorgenommen:
Schadstoffkonzentration
in mg/m3
152
166
149
153
172
147
157
164
157
168
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median. [1 Punkt]
– Erklären Sie den Unterschied dieser Mittelwerte hinsichtlich des Einflusses von Ausreißerwerten. [1 Punkt]
b) Die Verteilung der Schadstoffkonzentration kann sowohl mithilfe der Dichtefunktion als auch
mithilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschrieben werden. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der Dichtefunktion dargestellt.
Abbildung 1
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
Schadstoffkonzentration in mg/m3
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Abbildung 2
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
Schadstoffkonzentration in mg/m3
– Zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion in Abbildung 2 ein. [1 Punkt]
– Veranschaulichen Sie die in Abbildung 1 schraffiert dargestellte Wahrscheinlichkeit in Abbildung 2. [1 Punkt]
– Erklären Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen.
[1 Punkt]
3
öffentliches Dokument
c) Die Fabriksleitung geht vom Erwartungswert μ = 160 mg/m3 und von der Standardabweichung σ = 10 mg/m3 aus.
– Ermitteln Sie den symmetrisch um μ gelegenen Bereich, in den erwartungsgemäß 99 % aller
Messwerte fallen (99-%-Zufallsstreubereich). [1 Punkt]
– Geben Sie an, wie sich die Breite dieses Zufallsstreubereichs verändert, wenn anstelle von
99 % nur noch 95 % aller Messwerte in diesen Bereich fallen sollen. [1 Punkt]
4
öffentliches Dokument
24
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.8 Farbenfrohe Gummibären
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, BHS, 11. Mai 2015,
Angewandte Mathematik, Teil A, Aufgabe 1, S. 3–4
https://www.bifie.at/node/3022
Aufgabe 1
Farbenfrohe Gummibären
Gummibären werden in 5 unterschiedlichen Farben bzw. 6 unterschiedlichen Geschmacksrichtungen hergestellt: rot (Himbeere und Erdbeere), gelb (Zitrone), grün (Apfel), orange
(Orange) und weiß (Ananas).
a) Die nachstehende Tabelle enthält eine Auflistung, wie viele weiße Gummibären in den untersuchten Packungen waren.
Anzahl weißer Gummibären
Anzahl der Packungen
17
2
20
3
21
3
22
1
24
4
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Anzahlen weißer Gummibären pro Packung.
[1 Punkt]
b) Mehrere Packungen wurden hinsichtlich der Anzahl der gelben Gummibären pro Packung
untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist im nachstehenden Boxplot dargestellt.
300 g Packung enthalten sind.
Anzahl der
gelben Gummibären
Eine der untersuchten Packungen wird zufällig ausgewählt. Sie gehört zu jenem Viertel aller
untersuchten Packungen, in dem die meisten gelben Gummibären zu finden waren.
– Lesen Sie aus dem Boxplot ab, in welchem Bereich die Anzahl der gelben Gummibären in
der ausgewählten Packung liegen muss. [1 Punkt]
c) In einer Packung sind alle Geschmacksrichtungen in gleichen Anteilen zu finden.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Gummibären in dieser Packung die Farbe Rot haben.
[1 Punkt]
3
öffentliches Dokument
d) Die Masse von Gummibären ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 2,3 g
und der Standardabweichung σ = 0,1 g. Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte ist in der
unten stehenden Abbildung dargestellt.
– Tragen Sie die fehlenden Beschriftungen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. [1 Punkt]
Gummibären, die zu leicht oder zu schwer sind, werden aussortiert. Abweichungen von bis zu
± 0,25 g vom Erwartungswert werden toleriert.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein zufällig ausgewählter Gummibär aussortiert wird. [1 Punkt]
4
öffentliches Dokument
26
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
A.9 Lernen
Quelle: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung, BHS, 11. Mai 2015,
Angewandte Mathematik, Teil B (Cluster 9), Aufgabe 6, S. 3–4
https://www.bifie.at/node/3028
Aufgabe 6
Lernen
a) In einer Schülergruppe wurden die jeweilige Lernzeit (in Minuten) und die erreichte Punktezahl
bei einer Leistungsüberprüfung notiert:
Lernzeit in Minuten
erreichte Punktezahl
20
64
34
84
27
88
18
72
16
61
23
70
32
92
22
77
− Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Regressionsgeraden. (Die erreichte Punktezahl
soll in Abhängigkeit von der Lernzeit beschrieben werden.) [1 Punkt]
− Interpretieren Sie die Steigung der Regressionsgeraden in diesem Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
− Berechnen Sie mithilfe dieses Modells, welche Punktezahl man erwarten kann, wenn man
30 Minuten lernt. [1 Punkt]
b)Die Vergessenskurve nach Ebbinghaus veranschaulicht, wie viel Wissen nach einer bestimmten
Zeit noch vorhanden ist.
Im Internet findet man dazu die folgende Grafik:
Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AVergessenskurve.png
Namensnennung: Rdb [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/
licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons [23.12.2014]
− Lesen Sie ab, nach welcher Zeit die korrekte Wiedergabe auf 30 % gesunken ist. [1 Punkt]
− Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der korrekten Wiedergabe im Zeitintervall von
20 Minuten bis 9 Stunden. [1 Punkt]
3
öffentliches Dokument
A. Zentralmaturaaufgaben 2015
c) Jugendliche wurden befragt, in welcher Körperhaltung sie Vokabeln lernen.
Folgende Kategorien standen zur Auswahl: sitzend (S), liegend (L) oder gehend (G).
Mehrfachnennungen waren möglich.
Im nachstehenden Venn-Diagramm sind die vollständigen Ergebnisse dieser Erhebung dargestellt:
– Kennzeichnen Sie die Menge (S ∪ G)\L im oben stehenden Venn-Diagramm. [1 Punkt]
– Erklären Sie die Bedeutung der Null im oben stehenden Venn-Diagramm im Sachzusam­
men­hang. [1 Punkt]
– Lesen Sie aus dem oben stehenden Venn-Diagramm ab, wie viele Jugendliche sich nur für
eine Kategorie entschieden haben. [1 Punkt]
4
öffentliches Dokument
27
– Winkel mit dem Winkelmesser (Geodreieck) zeichnen können;
Den Schülerinnen und Schülern ist an geeigneten Themen Einblick in die Entwicklung mathe– einfache symmetrische Figuren erkennen und herstellen können.
matischer Begriffe und Methoden zu geben. Sie sollen einige Persönlichkeiten der Mathematikgeschichte
1.4 Arbeiten
mit Modellen,
Statistik
kennen
lernen. Die
Mathematik
soll als dynamische Wissenschaft dargestellt und ihre Bedeutung bei der
– direkte
(zB Warenmenge
Geld, Zeit –der
Weg),
Entwicklung
derProportionalitäten
abendländischen erkennen
Kultur gezeigt
werden. Die–Bedeutung
Mathematik in der Gegen– entsprechende
Fragestellungen
wart soll
in den Unterricht
einfließen. finden und Berechnungen durchführen können,
– Modelle mit realen Gegebenheiten vergleichen,
Der Zeitrahmen für Schularbeiten ist dem Abschnitt „Leistungsfeststellung“ des dritten Teils zu
– grundlegende Überlegungen zur Sinnhaftigkeit von Modellen für die Praxis anstellen,
entnehmen.
– Tabellen und graphische Darstellungen zum Erfassen von Datenmengen verwenden können.
Lehrstoff:
2. Klasse
Kernbereich:
2.1 Arbeiten mit Zahlen und Maßen
Die
Schülerinnen
und Schüler
sollen beim
praxisorientierte
unter dem
Aspekt
der
– Festigen
und Vertiefen
der Fähigkeiten
Arbeiten mit Aufgaben
positiven rationalen
Zahlen,
um vielModellbildung
möglichst
oft rechnerisch,
geometrisch undbearbeiten
graphisch
fältige und
komplexere
Probleme in Sachsituationen
zu darstellen,
können, lösen und kritisch
betrachten
können.mit
Dabei
sollen(mit
sie kleinen
von ihrerZählern
unmittelbaren
Erlebniswelt ausgehen
und ihre Erfahrungen
– Rechnen
Brüchen
und
die Rechenregeln
im Hinblick
BGBl.
II – Ausgegeben
am
11.Nennern),
Mai 2000 damit
– Nr. 133
1053
auch in fächerübergreifende
Vorhaben
einbringen.
auf die Algebra sicher
beherrscht
werden,
Anhang B
Die
Schülerinnen
undGrundschule
Schüler
sollen
ebensobegründen
grundlegendes
Wissen
Können
– diese
Rechenregeln
für
dasIIBruchrechnen
können,
BGBl.
Ausgegeben
am
11.
Mai
2000mathematisches
Nr.
133
1053
aufbauend
auf die
Kenntnisse
über
grundlegende
geometrische
Begriffeund
gewinnen,
1054
BGBl.
II ––formale
Ausgegeben
am
11.
Mai
2000
––Sie
Nr.
133
erwerben
und abstraktes
Denken
und
Fähigkeiten
entwickeln.
sollen
präzisen können,
Arbeiten und
– Bruchdarstellung
in Dezimaldarstellung
überführen
und und
umgekehrt,
Skizzen
von Rechtecken,
Kreisen,
Kreisteilen,
Quadern
ihren
Netzenimanfertigen
1054
BGBl.
IIund
– Ausgegeben
am
Mai
2000
– Nr.
133 vertraut
Argumentieren
ausgebildet
werden
mit
mathematischen
Darstellungsformen
werden.
aufbauend
auf zum
die Grundschule
Kenntnisse
über11.
grundlegende
geometrische
Begriffe
gewinnen,
wichtige
Teilbarkeitsregeln
kennen
und
anwenden
können;
Zeichengeräte
Konstruieren
von
Rechtecken,
Kreisen
und
Schrägrissen
gebrauchen
können,
–– relative
Häufigkeiten
ermitteln
können,
–
Skizzen
von
Rechtecken,
Kreisen,
Kreisteilen,
Quadern
und
ihren
Netzen
anfertigen
können,
Maßstabszeichnungen
anfertigen
und Längen
daraus
ermitteln
können;betrachten
Sie
sollen
elektronische
Hilfen
und
(auch
selbst
erstellte)
Formelsammlungen
in
steigendem
Ausmaß
–– entsprechende
graphische
Darstellungen
lesen,
anfertigen
und
kritisch
können,
Rechnen
mit
Prozenten
in
vielfältigen
Zusammenhängen;
relative
Häufigkeiten
ermitteln können,
Zeichengeräte
zum Konstruieren
von
Rechtecken,
Kreisen
und Schrägrissen gebrauchen
können,
ab der –––1.Manipulationsmöglichkeiten
Klasse
verwenden
und
wiederholt
Gelegenheit
haben,
ihr
Vorstellungsvermögen
auch
computererkennen.
Umfangsund
Flächenberechnungen
an
Rechtecken
(und
einfachen
daraus
zusammengesetzten
graphische
Darstellungen
lesen,daraus
anfertigen
und in
kritisch
betrachtenwie
können,
Maße verwenden
und anfertigen
Umwandlungen
durchführen
können
dem Ausmaß,
es die Bear– entsprechende
Maßstabszeichnungen
und Längen
ermitteln
können;
unterstützt
zu schulen.
Figuren),
– Manipulationsmöglichkeiten
erkennen.
B.1
Lehrplan
der
AHS-Unterstufe
beitung
von Sachaufgaben
und
geometrischen Aufgaben erfordert und es dem Vorstellungs3. Klasse
– UmfangsundSchülerinnen
Flächenberechnungen
Rechtecken
(und
einfachen
daraus zusammengesetzten
sowie
Volumsund
an Quadern
(und
daraus
zusammenUm
den Schülerinnen
undOberflächenberechnungen
Schülern
einenan
kontinuierlichen
Aufbau
ihrereinfachen
Kenntnisse
und Fähigkeiten
vermögen
der
und Schüler
entspricht.
Figuren),
3.1
Arbeiten
mit
Zahlen
und
Maßen
3.
Klasse
gesetzten
Körpern)
durchführen
können,
zu
ermöglichen,
sind
Stoffangaben
der
unteren
Klassen
in
den
oberen
Klassen
mit
zu
berücksichtigen.
Quelle:
der
allgemeinbildenden
höheren
Schulen,
2000, S. (und
44–49,
2.2 Lehrpläne
Arbeiten
mit
Variablen
sowie
Volumsund
Oberflächenberechnungen
an
Quadern
einfachen
daraus zusammen– rationale
Zahlen
inUmfangs-,
verschiedenen
Formen deuten
können,
Formeln
für
diese
FlächenVolumsberechnungen
aufstellen
können;
3.1 Die
Arbeiten
mit
Zahlen
und
Maßen
Abfolge
der
Stoffangaben
ist können,
nicht und
als
Hinweis auf die Reihenfolge
für
die unterrichtliche
https://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblPdf/2000_133_2/2000_133_2.pdf
–
mit
Variablen
allgemeine
Sachverhalte
beschreiben,
gesetzten
Körpern)
durchführen
–– als
Zustände
gegenüber
einem
Nullpunkt,
rationale
inFormeln
verschiedenen
Formen
deuten können,
Winkel
imZahlen
Umfeld
finden
und
skizzieren,
Planung
zu
betrachten.
–
Gleichungen
und
aufstellen,
insbesondere
auch
in
Sachsituationen,
Formeln
fürauf
diese
Umfangs-,
Flächenund Volumsberechnungen aufstellen können;
–– als
Punkte
einer
Zahlengeraden,
als
Zustände
gegenüber
einemkennen,
Nullpunkt,
Gradeinteilung
von von
Winkeln
unter
Verwendung
Umkehroperationen
einfache lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
1. Klasse:
––– Erkennen
und
Beschreiben
von
Kleiner-Größer-Beziehungen;
Winkel
im
Umfeld
finden
und
skizzieren,
als
Punkte
auf
einer
Zahlengeraden,
mitFormeln
dem
Winkelmesser
(Geodreieck) zeichnen können;
lösen
und
umformen,
1.1 Arbeiten
mitZahlen
Zahlen
Maßen
Gradeinteilung
von
Winkeln
kennen,
rationale
fürund
Darstellungen
in Koordinatensystemen
verwenden können;
–– Erkennen
und
Beschreiben
von
Kleiner-Größer-Beziehungen;
Formeln symmetrische
interpretieren.
einfache
Figuren
erkennen
herstellen
können.
– Kenntnisse
und Winkelmesser
Fähigkeiten
im(Geodreieck)
Umgangund
mit
natürlichen
Zahlen vertiefen, dabei auch große
Winkel
mit
dem
zeichnen
können;
die Regeln
für für
dasund
Rechnen
mitinrationalen
Zahlen wissen
und bei
Rechenbeispielen (mit
– rationale
Darstellungen
Koordinatensystemen
verwenden
können;
2.3
mitZahlen
Figuren
Körpernund
1.4 Arbeiten
Modellen,
Statistik
natürliche
Zahlen
verwenden
mehrstellige
Multiplikationen
und Divisionen durchführen
einfache
symmetrische
Figuren
erkennen
undkönnen;
herstellen
können.
Zahlen)
mit
Sicherheit
anwenden
–– einfachen
die
Regeln
für das
Rechnen
mit
rationalen
Zahlen– Geld,
wissen
beiEigenschaften
Rechenbeispielen
(mit
Dreiecke,
Vierecke
und
regelmäßige
Vielecke
untersuchen,
wesentliche
feststellen,
direkte
Proportionalitäten
erkennen
(zB
Warenmenge
Zeitund
– Weg),
können,
1.4 Arbeiten
mitmit
Modellen,
Statistik
– einfachen
Verketten
der
vier
Grundrechnungsarten
und
derart entstehende
Terme
auch und
mit elektronischen
Zahlen)
mit
Sicherheit
anwenden
können;
die
Figuren
skizzieren
undUmwandlungen
konstruieren
können,
entsprechende
Fragestellungen
finden
und
Berechnungen
durchführen
können,
Rechnen
Maßen
und
zur
Bearbeitung
von Sachaufgaben
geometrischen
direkte
erkennen
(zB
Warenmenge
– Geld,nicht
ZeitTerme
–inWeg),
berechnen
können,
Erkennen,
obrealen
Angaben
mehrdeutig
sind,
oder
überhaupt
Konstruktionen
umgesetzt
ModelleProportionalitäten
mit
Gegebenheiten
vergleichen,
Berechnungen,
–– Rechenhilfsmitteln
Verketten
der
vier
Grundrechnungsarten
und
derart
entstehende
auch mit elektronischen
entsprechende
Fragestellungen
finden
und
Berechnungen
durchführen
können,
– Sicherheit
im
Kopfrechnen
gewinnen;
werden
können,
grundlegende
Überlegungen
zur
Sinnhaftigkeit
von
Modellen
für
die
Praxis
anstellen,
anhand
von
Teilern
und
Vielfachen
Einblicke
in
Zusammenhänge
zwischen
natürlichen
Zahlen
Rechenhilfsmitteln berechnen können,
Modelle
realen
Gegebenheiten
vergleichen,
kongruente
Figuren
herstellen
können,
die
begründen
können;verwenden können.
Tabellen mit
und
graphische
Darstellungen
zumKongruenz
Erfassen von
Datenmengen
gewinnen;
Potenzschreibweise
kennen
und
anwenden
können,
–– Sicherheit
im
Kopfrechnen
gewinnen;
grundlegende
Überlegungen
zur
Sinnhaftigkeit
von Modellen
für die Praxis anstellen,
––– Zahlen,
vor allem
Sachsituationen,
unter
Verwendung
von Zehnerpotenzen
darstellen können.
Eigenschaften
von
Streckenundanwenden
Winkelsymmetralen
kennen,
Vorstellungen
mit in
positiven
rationalen
Zahlen
verbinden,
kennen
und
2. Klasse
–– Potenzschreibweise
Tabellen
und graphische
Darstellungen
zumkönnen,
Erfassen
von Datenmengen verwenden können.
und
für
Konstruktion
anwenden
können;
mit der mit
Darstellung
inSachsituationen,
Dezimal- und Bruchschreibweise
vertraut
sein,
3.2
Arbeiten
Variablen
–
Zahlen,
vor
allem
in
unter
Verwendung
von
Zehnerpotenzen
darstellen können.
2.1 Arbeiten
mit
Zahlen und Maßen
– Formeln
einfache
Ungleichungen
zum Einschranken
benutzen;
2.
Klasse
–
(bzw.
Terme)
umformen
und
durch
Rechenregeln
begründen
können,
Flächeninhalte
von
Figuren
berechnen
können,
die
sich
durch
Zerlegen
oder
Ergänzen
auf
– Festigenmit
und
Vertiefen der Fähigkeiten beim Arbeiten mit positiven rationalen Zahlen,
um viel3.2 Arbeiten
Variablen
–– mit
einfachen
Potenzen
arbeiten
können,
Rechtecke
zurückführen
lassen,
denund
positiven
rationalen
Zahlen
Rechnungen
mit
leicht
abschätzbaren
2.1 Arbeiten
mit
Zahlen
und
Maßen
fältige
komplexere
Probleme
in
Sachsituationen
bearbeiten
zu können,
Formeln
(bzw.
Terme)
umformen
und
durch Rechenregeln
begründen
können,Ergebnissen durch–– Formeln
in
Sachsituationen
und
in
der
Geometrie
aufstellen
können,
Volumina
von
Prismen
berechnen,
möglichst
inArbeiten
Anwendungsaufgaben.
führen
und
zur
Lösung (mit
von
inbeim
Sachsituationen
anwenden
können,
Festigen
und
Vertiefen
der Problemen
Fähigkeiten
mitvielfältig
positiven
rationalen
Zahlen,
um vielRechnen
mit
Brüchen
kleinen
Zählern
und
Nennern),
damit die
Rechenregeln
im Hinblick
mit
einfachen
Potenzen
arbeiten
können,
–– Aufgaben
aus
Anwendungsbereichen
und
aus die
deraufstellen
Geometrie
durch
Umformungen
von Formeln
Rechnen
mit
Brüchen,
nur
inund
einfachen
Fällen,
anschaulich
deutbar
sind,
fältige
komplexere
Probleme
inder
Sachsituationen
bearbeiten
zu können,
auf die und
Algebra
sicherStatistik
beherrscht
Formeln
in
Sachsituationen
inwerden,
Geometrie
können,
2.4 Arbeiten
mit
Modellen,
können,
grundlegende
Sicherheit
imBruchrechnen
Kopfrechnen
Rechnen
mit
Brüchen
kleinen
und
Nennern),
damit
dieUmformungen
Rechenregelnanvon
imBeispielen
Hinblick
dieseTermen
Rechenregeln
für (mit
das
begründen
können,
–– oder
Aufgaben
auslösen
Anwendungsbereichen
undgewinnen,
aus
derund
Geometrie
durch
Formeln
charakteristische
Kennzeichen
vonZählern
indirekten
direkten
Proportionalitäten
–– dabei
auch
Aufgaben
variieren
und
graphische
Darstellungen
nutzen können,
elektronische
Rechenhilfsmittel
einsetzen
können,
auf
die
Algebra
sicher
beherrscht
werden,
Bruchdarstellung
inkönnen,
Dezimaldarstellung
überführen
und umgekehrt,
oder
Termen
lösen
angeben
können,
–– Lösen
von
linearen
Gleichungen
mitgraphische
einer
Unbekannten.
Kenntnisse
über Umkehroperationen
erweitern,
diese
Rechenregeln
fürvariieren
das
Bruchrechnen
begründen
können,
wichtige
Teilbarkeitsregeln
kennen
und
anwenden
können;
dabei
auch
Aufgaben
und
nutzenund
können,
einfache
Fragestellungen
dazu
formulieren,
sie Darstellungen
graphisch
darstellen
lösen können,
die
Regeln
über in
die
Reihenfolge
von
Rechenoperationen,
einschließlich
der Klammerregeln,
Bruchdarstellung
Dezimaldarstellung
überführen
undProportionalitäten
umgekehrt,
3.3 Arbeiten
mit
Figuren
und
Körpern
––– Lösen
von
linearen
Gleichungen
mit
einer
Unbekannten.
Fragen
zu
sinnvollen
Anwendungsbereichen
für solche
stellen;
Rechnen
mit
Prozenten
in
vielfältigen
Zusammenhängen;
anwenden
können.
wichtige Teilbarkeitsregeln
kennen
und anwenden können;
–
Vergrößern
und
Verkleinern
von
Figuren,
3.3
mit Figurenund
und Umwandlungen
Körpern
1054 Arbeiten
BGBl.
IIund
– Ausgegeben
am 11. Maikönnen
2000 –in
Nr.dem
133Ausmaß, wie es die Bear– ähnliche
Maße verwenden
durchführen
Figuren
erkennen
1.2 Arbeiten
mit
Variablen
Rechnen
mit
Prozenten
in vielfältigen
Zusammenhängen;
–– Vergrößern
und
Verkleinern
vonbeschreiben;
Figuren,
beitung
von
Sachaufgaben
und
geometrischen
Aufgaben
erfordert
und es Rechenabläufe,
dem Vorstellungs–
mit
Variablen
allgemeine
Sachverhalte
beschreiben
können,
zB
gleichartige
die
1054 –– ähnliche
BGBl.
IIund
–von
Ausgegeben
am
11.Vierecken
Maikönnen
2000 begründen
–in
Nr.dem
133Ausmaß,
Formeln
für
Flächeninhalte
Dreiecken
und
und damit
Figuren
erkennen
beschreiben;
relative
Häufigkeiten
ermitteln
können,
Maße
verwenden
und
Umwandlungen
durchführen
wieFlächeninhalte
es die Bearvermögen
der
Schülerinnen
und
Schüler
entspricht.
sich
nur
durch
unterschiedliche
Zahlen
unterscheiden,
oder
allgemeine
Beziehungen
zwischen
berechnen
können,
entsprechende
graphische Darstellungen
lesen,
und
kritisch betrachten
können,
beitung von
Sachaufgaben
und Dreiecken
geometrischen
Aufgaben
erfordert
und
dem
Vorstellungs––– Formeln
für
Flächeninhalte
von
undanfertigen
Vierecken
begründen
undesdamit
Flächeninhalte
2.2 Arbeiten
mit
Variablen
Häufigkeiten
ermitteln
können,
Größen,
– relative
Umkehraufgaben
lösen
können,
Manipulationsmöglichkeiten
erkennen.
vermögen der
Schülerinnen
und
Schüler entspricht.
berechnen
können,
mit VariablenFormeln
allgemeine
Sachverhalte
beschreiben,
–– entsprechende
graphische
Darstellungen
lesen,
anfertigen
und kritisch
betrachten
können,
insbesondere
bzw.
Gleichungen
aufstellen,
Gegenstände,
die
die Gestalt
eines Prismas
oder
einer Pyramide
haben,
zeichnerisch
darstellen
Umkehraufgaben
lösen
können,
2.2Klasse
Arbeiten
mitzu
Variablen
Gleichungen
und
Formeln
aufstellen,
insbesondere
in Sachsituationen,
–– Manipulationsmöglichkeiten
erkennen.
Lösungen
einfachen
linearen
Gleichungen
findenauch
können,
3.
können,
––– Gegenstände,
die
die
Gestalt
eines
Prismas
oder
einer
Pyramide
haben,
zeichnerisch
darstellen
mit
allgemeine
Sachverhalte
beschreiben,
unterVariablen
Verwendung
von
Umkehroperationen
einfache lineare
mit einer
Unbekannten
Formeln
anwenden
undMaßen
interpretieren
– Oberfläche,
Rauminhalt
und
Gewicht können.
von
Gegenständen,
dieGleichungen
die Gestalt eines
Prismas
oder einer
3.1
Arbeiten
mit
Zahlen
und
3. Klasse
– können,
Gleichungen
und
Formeln
aufstellen,
insbesondere
auch
in
Sachsituationen,
lösen
und
Formeln
umformen,
Pyramide
haben,
berechnen
1.3 Arbeiten
mitZahlen
Figuren
und Körpern
rationale
in
verschiedenen
Formen
deuten
können,
––– Oberfläche,
Rauminhalt
undkönnen;
Gewicht
von Gegenständen,
dieGleichungen
die Gestalt eines
Prismas
oder einer
unter
Verwendung
von
Umkehroperationen
einfache
lineare
mit einer
Unbekannten
Formeln
interpretieren.
3.1 Arbeiten
mit
Zahlen
und
Maßen
ausgehend
von
Objekten
derkönnen;
Umwelt
durch Idealisierung
und Abstraktion
geometrische Figuren
–– als
Zustände
gegenüber
einem
Nullpunkt,
den
Lehrsatz
des
Pythagoras
für
Berechnungen
in
ebenen
Figuren
nutzen
können.
Pyramide
haben,
berechnen
lösen
und
Formeln
umformen,
–– rationale
inihre
verschiedenen
deuten
2.3 Arbeiten
mitZahlen
Figuren
und
Körpern Formen
und
Körper
sowie
Eigenschaften
erkennen
undkönnen,
beschreiben können,
als
Punkte
auf
einer
Zahlengeraden,
Formeln
interpretieren.
3.4 Arbeiten
mit
Modellen,
Statistik
–– den
Lehrsatz
des
Pythagoras
fürNullpunkt,
Berechnungen
in ebenen Figuren
nutzenEigenschaften
können.
als
Zustände
gegenüber
einem
Dreiecke,
Vierecke
und
regelmäßige
Vielecke untersuchen,
wesentliche
feststellen,
Erkennen
und
Beschreiben
von
Kleiner-Größer-Beziehungen;
–
lineare
Wachstumsund
Abnahmeprozesse
mit
verschiedenen
Annahmen
unter Zuhilfenahme
als
Punkte
auf
einer
Zahlengeraden,
2.3
Arbeiten
mit
Figuren
und
Körpern
die FigurenModellen,
skizzierenStatistik
und konstruieren können,
3.4 –– rationale
Zahlen
fürRechenhilfsmitteln
Darstellungen
in Vielecke
Koordinatensystemen
verwenden
können;
von
elektronischen
untersuchen
können (zB
Zinssätze),
–– Erkennen
und
von Kleiner-Größer-Beziehungen;
Dreiecke,
Vierecke
und
untersuchen,
wesentliche
Eigenschaften
feststellen,
Erkennen,
ob Beschreiben
Angaben
mehrdeutig
sind,
oder
überhaupt
nicht
in Konstruktionen
umgesetzt
lineare
Wachstumsundregelmäßige
Abnahmeprozesse
mit
verschiedenen
Annahmen
unter Zuhilfenahme
––– funktionale
Abhängigkeiten
erkennen,
formelmäßig
und
graphisch
darstellen;
die
Regeln
für
das
Rechnen
mit
rationalen
Zahlen
wissen
und
bei
Rechenbeispielen (mit
Figuren
skizzieren
und
konstruieren
können,
werden
können,
von
elektronischen
untersuchen können (zB
Zinssätze),
rationale
Zahlen fürRechenhilfsmitteln
Darstellungen in Koordinatensystemen
verwenden
können;
einfachen
mit
Sicherheit
anwenden
können;
Erkennen,
ob
Angaben
mehrdeutig
sind,
oder überhaupt
nichtkönnen;
in Konstruktionen umgesetzt
kongruenteZahlen)
Figuren
herstellen
können,
die Kongruenz
begründen
Untersuchen
und
Darstellen
von
Datenmengen.
–– funktionale
Abhängigkeiten
erkennen,
formelmäßig
und
graphisch
darstellen;
die
Regeln
für
das
Rechnen
mit
rationalen
Zahlen
wissen
und
bei Rechenbeispielen (mit
werden
können,
–– Verketten
der
vier
Grundrechnungsarten
und
derart
entstehende
Terme
auch mit elektronischen
Eigenschaften
von
Streckenund
Winkelsymmetralen
kennen,
Untersuchen
und
Darstellen
von
Datenmengen.
einfachen
Zahlen)
mit
Sicherheit
anwenden
können;
4. Klasse
– Rechenhilfsmitteln
kongruente Figurenberechnen
herstellen können,
können, die Kongruenz begründen können;
– und für Konstruktion
anwenden können;
–– Verketten
vierund
Grundrechnungsarten
und derart entstehende
4.1Klasse
Arbeiten
mit der
Zahlen
Maßen
4.
Sicherheit
im
Kopfrechnen
gewinnen;
Eigenschaften
von
Streckenund Winkelsymmetralen
kennen, Terme auch mit elektronischen
–
Flächeninhalte
von
Figuren
berechnen
können,
die
sich durch
Zerlegen oder Ergänzen auf
Rechenhilfsmitteln
berechnen
können,
–– durch
Betrachten
das Zahlenverständnis
vertiefen,
und fürzusammenfassendes
Konstruktion
anwenden
4.1 Arbeiten
mit
Zahlen
und
Maßen
Potenzschreibweise
kennen
und können;
anwenden
können,
Rechtecke
zurückführen
lassen,
–– Sicherheit
im
Kopfrechnen
gewinnen;
anhand
einfacher
Beispiele
erkennen,
dass
es
Rechensituationen
gibt, die nicht
mit Hilfe
der
–– durch
zusammenfassendes
Betrachten
daskönnen,
Zahlenverständnis
vertiefen,
Zahlen,
vorvon
allem
in Sachsituationen,
unter
Verwendung
vondurch
Zehnerpotenzen
darstellen
können.
Flächeninhalte
von
Figuren
berechnen
die sich
Zerlegen oder
Ergänzen
auf
Volumina
Prismen
berechnen,
möglichst
in Anwendungsaufgaben.
rationalen
Zahlen
lösbar
sind,
–– Potenzschreibweise
kennen
und
anwenden
können,
anhand
einfacher
Beispiele
erkennen,
dass
es
Rechensituationen
gibt,
die
nicht
mit
Hilfe
der
Rechtecke
zurückführen
lassen,
3.2
mit
Variablen
2.4 Arbeiten
Modellen,
Statistik
– Näherungswerte
oder
Schranken
für irrationale
Zahlen angeben
können, auchdarstellen
unter Verwendung
Zahlen,
vorvon
allem
in Sachsituationen,
unter Verwendung
von Zehnerpotenzen
können.
rationalen
Zahlen
lösbar
sind,
Volumina
Prismen
berechnen,
möglichst
in Anwendungsaufgaben.
–– Formeln
(bzw.
Terme)
umformen
und
durch Rechenregeln
begründen
können,
charakteristische
Kennzeichen
von
indirekten
und
direkten
Proportionalitäten
anVerwendung
Beispielen29
elektronischer
Hilfsmittel,
– Näherungswerte
oder
Schranken
für
irrationale
Zahlen
angeben
können,
auch
unter
3.2
Arbeiten
mit
Variablen
mit
einfachen
Potenzen
arbeiten können,
2.4 Arbeiten
mit
Modellen,
Statistik
angeben
können,
–– bei
Anwendungen
Überlegungen
zur
sinnvollen
Genauigkeit
anstellen.können,
elektronischer
Hilfsmittel,
Formeln
(bzw.
Terme)
umformen
und
durch
Rechenregeln
begründen
– Formeln
in Sachsituationen
undformulieren,
in
derindirekten
Geometrie
aufstellen
können,
charakteristische
Kennzeichen
von
und
direkten
Proportionalitäten
an Beispielen
einfache
Fragestellungen
dazu
sie
graphisch
darstellen
und lösen können,
4.2 Arbeiten
mit aus
Variablen
–– bei
Anwendungen
Überlegungen
zur sinnvollen
Genauigkeit
anstellen.
mit
einfachen
Potenzen
arbeiten können,
Aufgaben
Anwendungsbereichen
und aus
Geometrie
durch Umformungen
von Formeln
angeben
Fragen zukönnen,
sinnvollen
Anwendungsbereichen
fürder
solche
Proportionalitäten
stellen;
–
Sicherheit
beim
Arbeiten
mit
Variablen,
Termen,
Formeln
und
Gleichungen
steigern,
in Variablen
Sachsituationen
undformulieren,
in der Geometrie
aufstellen
können,und lösen können,
4.2 Arbeiten
mit
oder
Termen
lösen können,
– Formeln
einfache
Fragestellungen
dazu
sie graphisch
darstellen
–– Arbeiten
mit
einfachen
Bruchtermen,
Aufgaben
aus
Anwendungsbereichen
und
aus
der
Geometrie
durch
Umformungen
Sicherheit
beim
Arbeiten
mit Variablen,
Termen,
Formeln
undnutzen
Gleichungen
steigern,von Formeln
dabei
Aufgaben
variieren
und graphische
können,
Fragenauch
zu sinnvollen
Anwendungsbereichen
fürDarstellungen
solche
Proportionalitäten
stellen;
–– lineare
Gleichungen
mit
zwei
Variablen
graphisch
darstellen
und
Lösungen
angeben
können,
oder
Termen
lösen
können,
Arbeiten
mit
einfachen
Bruchtermen,
Lösen von linearen Gleichungen mit einer Unbekannten.
–– dabei
auch
Aufgaben
variieren
und
graphische
Darstellungen
nutzen
können,
lineare mit
Gleichungen
mitKörpern
zwei Variablen graphisch darstellen und Lösungen angeben können,
3.3 Arbeiten
Figuren und
– Lösen von
linearen
Gleichungen
mit einer Unbekannten.
– Vergrößern und Verkleinern von Figuren,
3.3 Arbeiten
mit
Figuren
und
Körpern
– ähnliche Figuren erkennen und beschreiben;
– Vergrößern und Verkleinern von Figuren,
Formeln Figuren
für Flächeninhalte
vonbeschreiben;
Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte
–– ähnliche
erkennen und
berechnen können,
Lehrpläne
- Lösen von linearen und quadratischen
Gleichungen
in 2004
einer –Variablen
II – Ausgegeben
am 8. Juli
Nr. 277 Funktionsbegriff48
von 159
– durch das Arbeiten BGBl.
mit funktionalen
Abhängigkeiten
einen intuitiven
erarbeiten.
- Lösen von linearen Gleichungssystemen in zwei Variablen, Untersuchen der Lösbarkeit dieser
4.3 Arbeiten
mit Figuren und
Körpern Interpretation
Gleichungssysteme,
geometrische
BGBl.
II – Ausgegeben am 8. Juli 2004 – Nr. 277
48 von 159
–- Anwenden
den Lehrsatzder
desoben
Pythagoras
für Berechnungen
in ebenen
Figuren und inauf
Körpern
können,
genannten
Gleichungen und
Gleichungssysteme
inner- nutzen
und außerma– thematische
eine Begründung
des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen,
Probleme
von Folgen zurmit
Beschreibung
diskreter können;
Prozesse in anwendungsorientierten Berei–- Verwenden
Berechnungsmöglichkeiten
Variablen darstellen
Funktionen
chen (insbesondere Geldwesen)
–- Beschreiben
Schranken fürvon
Umfang
und Inhalt des
angeben
können, in einer Variablen erfassbar sind
Abhängigkeiten,
die Kreises
durchdiskreter
reelle
Funktionen
zur Beschreibung
Prozesse des
in anwendungsorientierten
BereiGleichungen,
Ungleichungen,
Gleichungssysteme
–- Verwenden
Formeln
fürvon
die Folgen
Berechnung
von
Umfang
und Flächeninhalt
Kreises wissen
anwenden
(mittels
Termen,
Tabellen
und
Graphen),
Reflektieren
über
den Modellcharakter
vonund
Funktionen
chen
(insbesondere
Geldwesen)
Arbeiten
einfachen
Ungleichungen
(Abschätzungen,
Fallunterscheidungen)
können, mit und
-- Beschreiben
Untersuchen
von linearen
und einfachenUmformungen,
nichtlinearen Funktionen
a/x, a/x2,
30 Gleichungen,
B. (zB
Lehrpläne
2
Ungleichungen,
Gleichungssysteme
–- ax
Formeln
die Länge
eines
Kreisbogens
die Flächeninhalte
von Kreisteilen
herleiten
Lösen
vonfür
linearen
Gleichungssystemen
mitund
drei für
Gleichungen
in drei Variablen
+bx+c,
abschnittweise
definierte
Funktionen)
und anwenden
können;
Arbeiten
mit einfachen
Ungleichungen
Umformungen,
Fallunterscheidungen)
Kennenlernen
von
Näherungsverfahren
zum
von Gleichungen
--- Untersuchen
von
Formeln
im Hinblick(Abschätzungen,
auf Lösen
funktionale
Aspekte, Beschreiben
von direkten und
Lösen
vonfür
linearen
Gleichungssystemen
mitFunktionen
drei Gleichungen
in drei Variablen
Formeln
die Berechnung
und des Volumens
von Drehzylindern und
indirekten
Proportionalitäten
mit der
HilfeOberfläche
von
Reelle –-Funktionen
-- Arbeiten
Kennenlernen
von
Näherungsverfahren
zum
Lösen
von
Gleichungen
Drehkegeln
sowie
für
die
Kugel
erarbeiten
und
nutzen
können.
mitDarstellen
Funktionen
in anwendungsorientierten
Bereichen von Exponential- und LogarithDefinieren,
und
Untersuchen von Potenzfunktionen,
Reelle
Funktionen
musfunktionen
sowie von
Winkelfunktionen (Bogenmaß)
4.4 Arbeiten
mit Modellen,
Statistik
Trigonometrie
–- Definieren,
Wachstums-Darstellen
und Eigenschaften
Abnahmeprozesse
Annahmen
unter
Zuhilfenahme
von
und Untersuchen
vonverschiedenen
Potenzfunktionen,
von
Exponentialund
LogarithUntersuchen
von
reellermit
Funktionen
(Monotonie,
globale
und lokale
Extremstel- len,
Definieren
vonRechenhilfsmitteln
sin
,von
cos Winkelfunktionen
, und
tan von
fürBeziehungen
0° (Bogenmaß)
360°
elektronischen
untersuchen
können,
musfunktionen
sowie
Symmetrie,
Periodizität)
zwischen Funktionen (Umkehrfunktionen)
–- Beschreiben
funktionale Abhängigkeiten
untersuchen
und darstellen;
Untersuchen
von
Eigenschaften
reeller
Funktionen
(Monotonie,
globale
undÄnderung,
lokale
Extremstelvon
durch
Änderungsmaße
(absolute
und
relative
Differen- Durchführen
von Änderungen
Berechnungen
an rechtwinkligen
und
allgemeinen
Dreiecken,
an Figuren
und
len,
Symmetrie,
Periodizität)
und
von
Beziehungen
zwischen
Funktionen
(Umkehrfunktionen)
zenquotient)
– Körpern
Untersuchen
und
Darstellen
von
Datenmengen
unter
Verwendung
statistischer
Kennzahlen
(zB
(auch mittels Sinus- und Kosinussatz)
Beschreiben
von
Änderungen
durch
Änderungsmaße
(absoluteProzesse,
und relative
Änderung,
DifferenAnwenden
Funktionen
Beschreibung
kontinuierlicher
Vergleichen
von
ModelMittelwert, von
Median,
Quartil,zur
relative
Häufigkeit,
Streudiagramm).
-- Kennenlernen
von
Polarkoordinaten
zenquotient)
len, Erkennen der Grenzen von Modellbildungen
Vektoren
und analytische Geometrie
der Ebene am 8. Juli 2004 – Nr. 277
Erweiterungsbereich:
BGBl. IIzur
– Ausgegeben
49 von
159
- Anwenden
vonvon
Funktionen
Beschreibung
kontinuierlicher Prozesse, Vergleichen von
ModelKennenlernen
Verallgemeinerungen
des Funktionsbegriffs
Addieren
von
Vektoren
und
Multiplizieren
von Vektoren
mit reellen
geometrisches
VerDie
Inhalte
des
Erweiterungsbereichs
werden unter
Berücksichtigung
derZahlen,
Bildungsund Lehraufgabe
len,
Erkennen
der Grenzen von Modellbildungen
- Verketten
von
Funktionen
anschaulichen
dieser
Rechenoperationen
sowie der
Didaktischenvon
Grundsätze
festgelegt (siehe
den Abschnitt „Kern- und Erweiterungsbereich“ im
- Kennenlernen
Verallgemeinerungen
des Funktionsbegriffs
Analytische
Geometrie
des
Raumes
Ermitteln
von
Einheitsvektoren
und Normalvektoren
dritten -Teil).
Verketten
von Funktionen
B.2 Lehrplan
der
AHS-Oberstufe
Übertragen
Begriffe
und Ermitteln
Methodendes
ausWinkels
der zweidimensionalen
-- Arbeiten
mitbekannter
dem skalaren
Produkt,
zweier Vektorenanalytischen Geomet- Kennenlernen
weiterer
Anwendungen
der Differentialrechnung
Analytische
Geometrie
des
Raumes
rie, Erkennen
der
Grenzen
dieser Übertragbarkeit
- Beschreiben von Geraden durch Parameterdarstellungen und durch Gleichungen, Schneiden von
GEOMETRISCHES
Quelle:
Lehrpläne
der
allgemein
bildenden
höheren
Schulen,
S. 44–49,
Übertragen
bekannter
Begriffe
und
Methoden
ausZEICHNEN
der2004,
zweidimensionalen
analytischen Geomet- Geraden
Ermitteln
von
Normalvektoren,
Definieren
des
vektoriellen
Produkts
Nichtlineare
analytische
Geometrie
rie,und
Erkennen
derKreisen,
GrenzenKugeln
dieser
Übertragbarkeit
https://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblAuth/BGBLA_2004_II_277/BGBLA_2004_II_277.pdf
BildungsLehraufgabe:
Geraden
und
Ebenen
durch
Parameterdarstellungen
bzw.
Gleichungen
-- Beschreiben
von
und
Kegelschnittslinien
durch
Gleichungen
Lösen von geometrischen Aufgaben, gegebenenfalls unter Einbeziehung der Elementargeometrie
Ermitteln
von
Definieren
des vektoriellen
Produkts
vonNormalvektoren,
Geraden
undWartung
Ebenen,
Untersuchen
von
Lagebeziehungen
Kreisenund
bzw.
Kegelschnittslinien
mit
Geraden,
Ermitteln
–-- Schneiden
Richtige Handhabung
fachspezifischer
Werkzeuge,
jeweilsvon
in Tangenten
Abstimmung mit der
6. Klasse:
Beschreiben
von ebenen
GeradenKurven
und
Ebenen
durch
Parameterdarstellungen
bzw.der
Gleichungen
Lösen
von geometrischen
Aufgaben,
unter Einbeziehung
Elementargeometrie
-- Beschreiben
von
durchgegebenenfalls
Parameterdarstellungen
Aufgabenstellung;
Potenzen,
Wurzeln,
Logarithmen
Schneiden
von
undgeeignete
Ebenen,
Untersuchen
von
Lagebeziehungen
und
der Trigonometrie
–-- Beschreiben
Informationsgewinn
durch
Ausfertigung
graphischer
Arbeiten;
vonGeraden
Raumkurven
und Flächen
durch Parameterdarstellungen
vonStrukturen
Potenzen mit
natürlichen,
ganzen,
rationalen
und reellen der
Exponenten,
Definieren
Lösen
vonvon
geometrischen
Aufgaben,
gegebenenfalls
unter Einbeziehung
Elementargeometrie
–-- Definieren
Erkennen
und
Eigenschaften
geometrischer
Objekte;
Stochastik
Stochastik
Wurzeln
und Logarithmen
und
der
Trigonometrie
–- von
Erkennen
geometrischer
Grundfiguren
in
größeren
Zusammenhängen;
Arbeitender
mitBegriffe
Darstellungsformen
und Kennzahlen
der beschreibenden
Statistik
- Kennen
diskretevon
Zufallsvariable
und diskrete
Verteilung
undObjekten
Beweisen
Rechengesetzen
für Modellieren;
Potenzen,
Wurzeln und Logarithmen; Um–-- Formulieren
Entwickeln
von
durch Transformieren
und
Stochastik
Kennen
des
Begriffes
Zufallsversuch,
Beschreiben
von
Ereignissen
durch
Mengen
BGBl.
II
–
Ausgegeben
am
8.
Juli
2004
–
Nr.
277
49 von 159
Kennen
der geometrischer
Zusammenhänge
von relativen Häufigkeitsverteilungen
und und
Wahrscheinlichkeitsverentsprechender
Terme
–-- formen
Anwenden
Grundkenntnisse
auf naturwissenschaftliche
technische ProblemArbeiten
mit
Darstellungsformen
und Kennzahlen
dervon
beschreibenden
Statistik
- teilungen;
Kennen der
Problematik
AuffassenVarianz
von Wahrscheinlichkeiten
von
Mittelwert des
und Wahrscheinlichkeitsbegriffs;
Erwartungswert
sowie
empirischer
und Varianz
Folgen stellungen;
BGBl.
II – Ausgegeben
am
8. als
Juli
2004
Nr.Vertrauen
277
49 von 159
- Arbeiten
Kennen
desAnteile,
Begriffes
Beschreiben
von
Ereignissen
durch Mengenin anwendungsals relative
alsZufallsversuch,
relative
Häufigkeiten
und
subjektives
(insbesondere
mit
der –Binomialverteilung)
–-- rekursives
Erkennenmit
und
Verwenden
der Geometrie
als Sprache;
Einsetzen
von Handskizzen
als Hilfsmittel
unddiskreten
explizitesVerteilungen
Darstellen
von
Folgen
Kennen
dervon
Problematik
des Wahrscheinlichkeitsbegriffs;
Auffassen von Wahrscheinlichkeiten
- orientierten
Berechnen
Wahrscheinlichkeiten
aus gegebenen
Wahrscheinlichkeiten;
Arbeiten mit der
Bereichen
bei der Entwurfsarbeit,
aber
als selbstständige
Darstellungsform;
- Untersuchen
vonund
Folgen
auf auch
Monotonie,
Beschränktheit
und Konvergenz,
Erfassen und
als
relative Anteile,
als
Häufigkeiten
und des
als subjektives
Multiplikationsderrelative
Additionsregel;
Kennen
Begriffs
derVertrauen
bedingtenintuitives
Wahrscheinlichkeit
8. Klasse:
–- Kennenlernen
Anwendung
geeigneter
Abbildungsverfahren;
Definieren desweiterer
BegriffesAnwendungen
Grenzwert der Differentialrechnung
Berechnen
aus gegebenen
Wahrscheinlichkeiten; Arbeiten mit der
Arbeiten
mitvon
demWahrscheinlichkeiten
Satz
von Bayes
–-- Definieren
Interpretation
Weiterentwicklung
geometrischer
Darstellungen;
Integralrechnung
derund
Eulerschen
Zahl
Nichtlineare
analytische
Geometrie
Multiplikationsund
der
Additionsregel;
Kennen
des
Begriffs
der bedingten Wahrscheinlichkeit
Kennenlernen
weiterer
Anwendungen
der
Differentialrechnung
– Ermitteln
Anwendung
geeigneter
Unterrichtssoftware (2D-Systeme, 3D-Systeme).
7. Klasse:
vonvon
Stammfunktionen
-- Beschreiben
Arbeiten
mit
arithmetischen
und geometrischen
Folgen und
Reihen,
Erkennen des ZusammenKreisen,
und Kegelschnittslinien
durch
Gleichungen
Arbeiten mit
dem
Satz von Kugeln
Bayes
Nichtlineare
Geometrie
Algebraische
Gleichungen
undbzw.
komplexe
Zahlen
hangs
zwischen
arithmetischen
Folgen
und
linearen
Funktionen
sowie
zwischen
geometrischen
Beitrag--Definieren
zu
denanalytische
Aufgabenbereichen
derKegelschnittslinien
Schule:
Schneiden
von
Kreisen
mit
Geraden,
Ermitteln
von
Tangenten
des
bestimm
ten
Integrals,
Deuten
einer
Summ
e
von
„sehr
kleinen
7. Klasse:
- Beschreiben
von Kreisen,
Kugelnvon
undPolynomen
Kegelschnittslinien durch Gleichungen
Folgen
und
Exponentialfunktionen
Abspalten
reeller
Linearfaktoren
-Produkten“
Beschreiben
vonGeometrischem
ebenenf(x)
Kurven
durch
Parameterdarstellungen
Form
x als
Näherungswert
desVorstellung
bestimm ten
Integrals
Der
Unterricht der
in
Zeichnen
verknüpft die
von
den Erscheinungen der
Algebraische
Gleichungen
komplexe
Zahlen
- uns
Schneiden
von
Kreisen
bzw.
Kegelschnittslinien
mit Geraden,
Ermitteln
von Tangenten
Reflektieren
über
dieund
Zweckmäßigkeit
des
Erweiterns
der reellen
Zahlentragen
Welt
in
und
das
Verständnis
für
Raum
und
Figur.
Diese
Grunderfahrungen
zur Erkenntnis bei,
Beschreiben
von
Raumkurven
und
Flächen
durch
Parameterdarstellungen
www.ris.bka.gv.at
-- Kennen
Zusammenhangs
zwischen
Differenzieren
und Integrieren
sowie des
der
Abspalten
reeller
Linearfaktoren
vonvon
Polynomen
Beschreiben
von
ebenen
Kurven
durch
Parameterdarstellungen
Rechnendes
mit
komplexen
Zahlen
dass Phänomene
existieren,
die unabhängig
der augenblicklichen
Befindlichkeit
des Hauptsatzes
Menschen sind.
Stochastik
Differentialund
Integralrechnung
Reflektieren
über
die
Zweckmäßigkeit
des
Erweiterns
der
reellen
Zahlen
Raumkurven
und Flächen
durch
Parameterdarstellungen
Die oder
der Einzelnevon
gewinnt
Gestaltungsfreiheit
und
kann
sein technisches Grundwissen in den Dienst
- Beschreiben
Kennenlernen
des
Fundamentalsatzes
der Algebra
Kennen
Begriffe
diskrete
Zufallsvariable
und diskrete
Verteilung
--- Berechnen
von
bestimmten
Integralen
mit Hilfe
von Stammfunktionen
unter Verwendung eleder Gemeinschaft
stellen.
Rechnender
mit
komplexen
Zahlen
Stochastik
Differentialrechnung
-- mentarer
Kennen
der
Zusammenhänge
von
relativen
Häufigkeitsverteilungen
und WahrscheinlichkeitsverIntegrationsregeln
Kennenlernen
des
Fundamentalsatzes
der
Algebra
- Kennen
dervon
Begriffe
diskrete
und
diskrete
Verteilung vom
Definieren
des
Differentialquotienten
(Änderungsrate),
ausgehend
Differenzenquotienten
Beiträge
zu den Bildungsbereichen:
teilungen;
Mittelwert
undZufallsvariable
Erwartungswert
sowie
von(insbesondere
empirischer
Varianz
und Varianz
- Arbeiten
mit
verschiedenen
Deutungen
des Integrals
Flächeninhalt,
Volumen,
Differentialrechnung
(mittlere
Änderungsrate),
Deuten
dieser
Begriffe
als
Sekantensteigung
bzw.
Tangentensteigung,
Kennen
der
Zusammenhänge
von
relativen
Häufigkeitsverteilungen
und
WahrscheinlichkeitsverArbeiten
mit diskreten
Verteilungen (insbesondere mit der Binomialverteilung)
in anwendungsDeutungen)
Sprache- physikalische
und Kommunikation:
weiteres Deuten
in außermathematischen
Bereichen
von
Mittelwert
und Erwartungswert
sowie von ausgehend
empirischervom
Varianz
und Varianz
- teilungen;
Definieren
des
Differentialquotienten
(Änderungsrate),
Differenzenquotienten
orientierten
Bereichen
Dynamische
Prozesse
Sprache
alsdes
Kommunikationsmittel
dasBegriffe
Beschreiben
und
Erklären geometrischer
Objekte und
(mittlere
Änderungsrate),
Deuten für
dieser
alsmit
Sekantensteigung
bzw. Tangentensteigung,
Kennen
Begriffes
Berechnen
von
elementarer
- Arbeiten
mit
diskretenAbleitungsfunktion,
Verteilungen
(insbesondere
derAbleitungen
Binomialverteilung)
in Funktionen
anwendungs8.
Klasse:
Vorgänge,
die Zeichnung
Sprachemit
derHilfe
Technik,
Präzision
im sprachlichenFlussdiagrammen,
Ausdruck; Zeichnungen
als
- Beschreiben
voninals
Systemen
von
Wirkungsdiagrammen,
Differenweiteres
Deuten
außermathematischen
Bereichen
orientierten
Bereichen
- Deuten der zweiten Ableitung in inner- und außermathematischen Bereichen
Mittel der
interkulturellen
Verständigung.
zengleichungen
oder
Differentialgleichungen
Integralrechnung
-- Kennen
Begriffes
Ableitungsfunktion,
von Ableitungen
elementarer
Funktionen
Herleitendes
von
Differentiationsregeln
zur Berechnen
Ableitung von
Polynomfunktionen,
Kennen
weiterer
8. Klasse:
-- Untersuchen
des
dynamischen
Verhaltens
Systemen
Ermitteln
Stammfunktionen
Deuten
dervon
zweiten
Ableitung
in
innerundvon
außermathematischen
Bereichen
Differentiationsregeln
(sofern
sie
für
Funktionsuntersuchungen
verwendet
werden)
Integralrechnung
-- Lösen
vonvon
einfachen
Differentialgleichungen,
insbesondere
y’ = k.y
Herleiten
Differentiationsregeln
zurauf
Ableitung
vonSumm
Polynomfunktionen,
Kennen
weiterer
Untersuchen
einfacher
undten
im Integrals,
Hinblick
Anwendungen
sinnvoller
bezüglich
Modes
bestimm
Deuten
einer
e vonFunktionen
„sehr kleinen
--Definieren
Ermitteln
von
Stammfunktionen
Stochastik
Differentiationsregeln
(sofern
sie
für
Funktionsuntersuchungen
verwendet
werden)
notonie und der
Krümmungsverhalten,
von Extremund Wendestellen
Produkten“
Form f(x) x als Ermitteln
Näherungswert
des bestimm
ten Integrals
des
bestimm
Integrals,
Deuten
einerVerteilung
Summ
e vonFunktionen
„sehr kleinen
--Definieren
Kennen
derExtremwertaufgaben
Begriffe
stetige
Zufallsvariable
und
stetige
Untersuchen
einfacher
undten
im
Hinblick auf
Anwendungen
sinnvoller
bezüglich MoLösen von
-Produkten“
Kennen
des der
Zusammenhangs
Differenzieren
undbestimm
Integrieren
des Hauptsatzes der
Form
f(x) xzwischen
als in
Näherungswert
des
tensowie
Integrals
notonie
und
Krümmungsverhalten,
Ermitteln
von
Extremund
Wendestellen
- Arbeiten
mit
der
Normalverteilung
anwendungsorientierten
Bereichen
Präzisieren einiger
Grundbegriffe und Methoden der Differentialrechnung (insbesondere des
Differentialund Integralrechnung
Lösen von
Extremwertaufgaben
Grenzwert)
untervon
Einbeziehung
desHypothesentests
Begriffesund
Stetigkeit
Kennen
und
Interpretieren
statistischen
und von Konfidenzintervallen
--- Begriffes
Kennen
des
Zusammenhangs
zwischen
Differenzieren
Integrieren
sowie
desVerwendung
Hauptsatzeseleder
Berechnen von bestimmten Integralen
mit Hilfe von Stammfunktionen
unter
Präzisieren
einiger
Grundbegriffe
und
Methoden
der
Differentialrechnung
(insbesondere des
Differentialund
Integralrechnung
Wiederholung
mentarer Integrationsregeln
Grenzwert)
unter Einbeziehung
desHilfe
Begriffes
Stetigkeit
-- Begriffes
Berechnen
von
bestimmten
Integralen
mit
von
Stammfunktionen
unter Verwendung
eleumfassendes
Wiederholen,
Vertiefen
und
Vernetzen
von
Stoffgebieten Flächeninhalt,
Arbeiten
mit
verschiedenen
Deutungen
des Integrals
(insbesondere
Volumen,
www.ris.bka.gv.at
mentarer
Integrationsregeln
physikalische Deutungen)
- Arbeiten mit verschiedenen
Deutungen
Integrals (insbesondere Flächeninhalt, Volumen,
www.ris.bka.gv.at
BIOLOGIE
unddes
UMWELTKUNDE
Dynamische Prozesse
physikalische Deutungen)
- Beschreiben von Systemen mit Hilfe von Wirkungsdiagrammen, Flussdiagrammen, DifferenDynamische
Prozesse oder Differentialgleichungen
zengleichungen
-- Beschreiben
vondynamischen
Systemen mit
Hilfe vonvon
Wirkungsdiagrammen,
Flussdiagrammen, DifferenBildungsund
Lehraufgabe:
Untersuchen
des
Verhaltens
Systemen
zengleichungen
oder Differentialgleichungen
Der
Unterrichtsgegenstand
Biologie
und
Umweltkunde
sieht
in
der
Oberstufe
die Beschäftigung mit
- Lösen von einfachen Differentialgleichungen, insbesondere y’ = k.y
- Untersuchen des
dynamischen
Verhaltens
von Systemen und Naturerkenntnis, Ökologie und Umden
Themenbereichen
Mensch
und
Gesundheit,
Weltverständnis
Stochastik
- Lösen
von einfachen
Differentialgleichungen,
insbesondere y’ = k.y
welt sowie
Biologie
und Produktion
vor.
- Kennen der Begriffe stetige Zufallsvariable und stetige Verteilung
Stochastik
Der
Biologie-mit
und
hat, aufbauend auf dem
Wissen und den Kompetenzen,
- Arbeiten
derUmweltkundeunterricht
Normalverteilung in anwendungsorientierten
Bereichen
die die -Schülerinnen
und Schüler
in der
Unterstufe erworben
haben,
folgende Ziele:
Kennen der Begriffe
stetige
Zufallsvariable
und stetige
Verteilung
- Kennen und Interpretieren von statistischen Hypothesentests und von Konfidenzintervallen
- Arbeiten
mit der
Normalverteilung
anwendungsorientierten
Bereichen – zentrale biologische
Die
Schülerinnen
und
Schüler sollen –inim
Sinne biologischer Grundbildung
Wiederholung
Erkenntnisse
gewinnen,
Prinzipien,von
Zusammenhänge,
Kreisläufe undund
Abhängigkeiten
in lebenden Syste- Kennen
und Interpretieren
statistischen Hypothesentests
von Konfidenzintervallen
- umfassendes
Vertiefen
Vernetzen von
men sehen
lernen undWiederholen,
damit Grundzüge
einesund
biologischen
bzw.Stoffgebieten
naturwissenschaftlichen WeltverständWiederholung
nisses erwerben.
BGBl. II - Ausgegeben am 7. September 2011- Nr. 300
22 von 34
- können Stammfunktionen von grundlegenden und im Fachgebiet relevanten Funktionen
bestimmen, bestimmte Integrale berechnen und das bestimmte Integral mittels Flächeninhalt
veranschaulichen;
- können Methoden der numerischen Mathematik mit unterstützenden technischen Hilfsmitteln zur
näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen von Funktionen und zur näherungsweisen
Berechnung von bestimmten Integralen einsetzen;
- können in Natur und Technik auftretende Änderungsraten mit dem Differentialquotient darstellen
und können die Differential- und Integralrechnung zur Lösung von Aufgaben des Fachgebietes
einsetzen.
B. Lehrpläne
31
Lehrstoff:
III. Jahrgang:
Unendliche Folgen und Reihen:
Grenzwert, konvergente und divergente Folgen, rekursive Definition von Folgen; elementarer
zur
Reihenbegriff, Grenzwert von Funktionen, Stetigkeit, Unstetigkeitsstellen, Iterationsverfahren
B.3 HTL Allgemeine
Bildungsziele
Bestimmung von Nullstellen.
Differentialrechnung:
Ableitung, Ableitungsregeln,
höhere
Ableitungen,
Konvexität; Extremwerte,
Wendepunkte.Anlage 1, S. 22–23,
Quelle: Lehrpläne der Höheren
technischen
und
gewerblichen
Lehranstalten,
Integralrechnung:
https://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblAuth/BGBLA_2011_II_300/COO_2026_100_2_701382.pdf
Stammfunktion und bestimmtes Integral, Grundintegrale; grundlegende und im Fachgebiet relevante
Integrationsregeln; Numerische Integration.
Kompetenzbereich „Stochastik“:
Bildungs- und Lehraufgabe:
Die Schülerinnen und Schüler
- können Beispiele für Zufallsexperimente und Ereignisse angeben, die Wahrscheinlichkeit für
Ereignisse mit Hilfe der klassischen Definition für Wahrscheinlichkeiten nach Laplace
bestimmen und die Additions- und Multiplikationsregel auf einander ausschließende bzw.
unabhängige Ereignisse anwenden;
- können Zufallsexperimente vom Typ „Auswählen mit Zurücklegen“ mit Hilfe der
Binomialverteilung modellieren;
- kennen die Normalverteilung als Grundmodell der Beschreibung der Variation von metrischen
Variablen, können Werte der Verteilungsfunktion bestimmen und zu vorgegebenen
Verteilungsfunktionswerten die entsprechenden Quantile bestimmen;
- können aus Stichprobenwerten Häufigkeitsverteilungen tabellarisch und grafisch darstellen;
- können Lage- und Streuungsmaße bestimmen und interpretieren und ihre Auswahl
argumentieren;
- kennen die Methode der kleinsten Quadrate und können aus vorgegebenen Punkten einen
passende Ausgleichsfunktion mittels Technologieeinsatz ermitteln;
- können mittels Technologieeinsatz die Abhängigkeit einer metrischen Zielvariablen von einer
metrischen Einflussvariablen durch eine Regressionsgerade oder einen passende
Ausgleichsfunktion darstellen und interpretieren.
Lehrstoff:
II. Jahrgang:
Eindimensionale Datenbeschreibung:
Häufigkeitsverteilung, Lage- und Streuungsmaße, Boxplot.
IV. und V. Jahrgang:
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Zufallsexperimente, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Additions- und Multiplikationssatz für einander
ausschließende bzw. unabhängige Ereignisse; bedingte Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Binomialverteilung; Normalverteilung.
BGBl. II - Ausgegeben am 7. September 2011- Nr. 300
Ausgleichsrechnung:
23 von 34
Methode der kleinsten Quadrate, Ausgleichsfunktionen.
Beurteilende Statistik:
www.ris.bka.gv.at
Lineare Regression und Korrelation.
Lehrstoff (alle Kompetenzbereiche):
I. bis V. Jahrgang:
Anwendungen aus dem Fachgebiet; Verwendung der in der Praxis üblichen Rechenhilfen; Einsatz
von für das Fachgebiet relevanten Technologien.
Schularbeiten (über alle Kompetenzbereiche):
I. bis III. Jahrgang: Pro Jahrgang zwei bis vier einstündige Schularbeiten.
IV. Jahrgang: Zwei bis vier Schularbeiten (davon höchstens eine mehrstündig) im Gesamtausmaß
von höchstens sechs Unterrichtseinheiten.
V. Jahrgang: Zwei bis vier Schularbeiten (davon höchstens zwei mehrstündig) im Gesamtausmaß
von höchstens sieben Unterrichtseinheiten.
NATURWISSENSCHAFTEN
Kompetenzbereich „Grundlegende physikalische Größen und ihre Messung“:
Bildungs- und Lehraufgabe:
Die Schülerinnen und Schüler können
- die in Naturwissenschaften und Technik häufig gebrauchten physikalischen Größen, deren
Formelzeichen, Definitionen und Maßeinheiten nennen, ihre Bedeutung und Möglichkeiten ihrer
Messung erklären und typische in der Praxis auftretende Werte angeben;
- Vorgänge und Erscheinungsformen in Natur und Technik beobachten, die zu deren Beschreibung
notwendigen physikalischen Größen erkennen, ihre Werte durch Vergleichen, Abschätzen oder
Messen ermitteln, Ergebnisse auf Plausibilität prüfen und eine Aussage über deren Genauigkeit
machen;
- Vorgänge und Erscheinungsformen in Natur und Technik unter Verwendung von
Fachausdrücken beschreiben und ihre Vorgangsweise und die Ergebnisse fachgerecht festhalten.
Lehrstoff:
I. Jahrgang:
Definition und Messung von physikalischen Größen:
Internationales Einheitensystem (Größengleichungen, Basiseinheiten, Vorsilben). Mechanische
Größen (Geschwindigkeit, Beschleunigung, Dichte, Kraft, Arbeit, Impuls, Druck, Drehmoment).
Elektrische Größen (Spannung, Ladung, Widerstand, Kapazität, Induktivität); Akustische und optische
Größen (Frequenz, Wellenlänge, Intensität); Thermodynamische Größen (Wärmekapazität,
Ausdehnungskoeffizient); Anwendungen.
Energie, Leistung und Wirkungsgrad.
Kompetenzbereich „Grundlagen der Chemie“:
Bildungs- und Lehraufgabe:
Die Schülerinnen und Schüler
- können die grundlegenden Fachbegriffe, die Symbole und Formelsprache der Chemie
wiedergeben und damit den Massen-, Mengen- und Energieumsatz von chemischen Reaktionen
darstellen;
- können mit Hilfe von Atommodellen und dem Periodensystem der Elemente den Übergang vom
Mikro- zum Makrokosmos nachvollziehen, Stoffeigenschaften und Reaktionsabläufe
systematisch begründen;
- führen Experimente unter sicherheitsrelevanten Aspekten durch und dokumentieren und
interpretieren diese mit geeigneten Methoden;
- stellen den Bezug zwischen fachspezifisch erworbenen Erkenntnissen und ihren
Alltagserfahrungen her.
Lehrstoff:
Analysis:
Intuitiver Grenzwertbegriff, Intuitiver Begriff der Stetigkeit, Differenzen- und Differentialquotient,
Ableitungsregeln, Eigenschaften von Funktionen, Regressionsrechnung, Kosten- und Preistheorie
Schularbeiten:
Eine einstündige Schularbeit (bei Bedarf zweistündig)
8. Semester – Kompetenzmodul 8:
Bildungs- und Lehraufgabe:
Die Schülerinnen und Schüler können im
Bereich Analysis – Stammfunktionen
- den Begriff der Stammfunktion sowie den Zusammenhang zwischen Funktion, Stammfunktion
und ihrer grafischen
Darstellung
beschreiben,
BGBl.
II - Ausgegeben
am 27. August 2014 - Nr. 209
91 von 157
- den Begriff des unbestimmten Integrals und den Zusammenhang mit der Stammfunktion
beschreiben,
- Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen sowie der Funktionen f mit f(x)=1/x und
g mit g(x)=a*e^(k*x) mit Hilfe der notwendigen Integrationsregeln berechnen.
- die unterschiedlichen Datentypen (nominalskaliert, ordinalskaliert, metrisch) beschreiben und
Bereich Analysis – Integral und Integralrechnung
erhobene Daten entsprechend zuordnen,
- den Begriff des bestimmten Integrals auf Grundlage des intuitiven Grenzwertbegriffes erläutern,
- Daten erheben, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten) grafisch darstellen
diesen als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben,
und interpretieren,
bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt deuten und damit Berechnungen
Quelle: Lehrpläne für die-- das
Handelsakademie
und die Handelsschule,
Anlage 1, S. 90–91,
die
Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
problembezogen argumentieren.
durchführen,
B
e
r
e
i
c
h
S
t
o
c h a s t i k – Z eauf
n t rwirtschaftliche
a l - u n d S t r eAnwendungen,
umaße
https://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblAuth/BGBLA_2014_II_209/COO_2026_100_2_1028436.pdf
- die Integralrechnung
insbesondere auf Stammfunktionen von
- verschiedene
Zentralmaße
(arithmetisches
Mittel, Median,
Modus,
geometrisches
Mittel)
Grenzfunktionen
und kontinuierliche
Zahlungsströme
anwenden,
Berechnungen
durchführen
berechnen,
interpretieren
und ihre Verwendung
unter anderem in Bezug auf die verschiedenen
sowie die Ergebnisse
interpretieren
und damit
argumentieren.
BGBl.
II - Ausgegeben
am 27.
August 2014 - Nr. 209
91 von 157
Datentypen argumentieren,
Bereich Stochastik – Daten und Darstellung von Daten
- unterschiedliche Streumaße (Standardabweichung und Varianz, Spannweite, Quartile) berechnen
und interpretieren,
www.ris.bka.gv.at
- Median, Quartile und Spannweite in einem Boxplot darstellen und interpretieren,
metrisch) beschreiben und
B e r e i c hdieS tunterschiedlichen
o c h a s t i k – K oDatentypen
r r e l a t i o n s(nominalskaliert,
- u n d G i n i - K oordinalskaliert,
effizient
erhobene Daten entsprechend zuordnen,
- den Korrelationskoeffizienten nach Pearson berechnen und interpretieren,
- Daten erheben, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten) grafisch darstellen
- die
Lorenzkurve und den Gini-Koeffizienten als Konzentrationsmaß nennen, die
und interpretieren,
zugrundeliegende Idee erklären, berechnen und die Ergebnisse im Kontext deuten.
- die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise problembezogen argumentieren.
Lehrstoff:
Bereich Stochastik – Zentral- und Streumaße
Analysis:
- verschiedene Zentralmaße (arithmetisches Mittel, Median, Modus, geometrisches Mittel)
Integralrechnung
berechnen, interpretieren und ihre Verwendung unter anderem in Bezug auf die verschiedenen
Datentypen argumentieren,
Stochastik:
- unterschiedliche Streumaße (Standardabweichung und Varianz, Spannweite, Quartile) berechnen
Beschreibende
Statistik
und interpretieren,
32
B. Lehrpläne
B.4 HAK Allgemeine Bildungsziele
Schularbeiten:
- Median, Quartile und Spannweite in einem Boxplot darstellen und interpretieren,
B e r eEine
i c h einstündige
S t o c h a s t iSchularbeit
k – K o r r e(bei
l a tBedarf
i o n s - zweistündig)
und Gini-Koeffizient
V . J a h- rden
g a nKorrelationskoeffizienten
g – K o m p e t e n z m o d unach
l 9 :Pearson berechnen und interpretieren,
- die
und den Gini-Koeffizienten als Konzentrationsmaß nennen, die
9. Sem
e s t e rLorenzkurve
:
zugrundeliegende Idee erklären, berechnen und die Ergebnisse im Kontext deuten.
Bildungs- und Lehraufgabe:
BGBl. II - Ausgegeben am 7. September 2011- Nr. 300
5 von 20
Lehrstoff:
Die Schülerinnen und Schüler können im
Analysis:
Bereich Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Integralrechnung
- den klassischen und statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff beschreiben, diesen verwenden und
- können
deuten, die kontinuierliche Fouriertransformation auf aperiodische Zeitfunktionen anwenden und
Stochastik:
interpretieren;auf Ereignisse anwenden, die Ergebnisse interpretieren
- die
die Fourier-Transformierte
Additionsund Multiplikationsregel
Beschreibende
Statistik
- können
Anfangswertprobleme
mit linearen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung
und damit
argumentieren,
Schularbeiten:
konstanten
lösen und und
kennen
Besonderen
die Lösungsfälle
der linearen
- mit
die Begriffe
desKoeffizienten
Binomialkoeffizienten
der im
„Fakultät“
beschreiben,
diese berechnen
und
konstanten
Koeffizienten;
EineSchwingungsgleichung
einstündige Schularbeitmit
(bei
Bedarf zweistündig)
deuten.
Fachgebietes
von
V e. rJeaih-c rhkönnen
g aSntgo c–hAufgaben
eW
n zam
B
aKsot imk p e–t des
h or sdcuhl e9i n: l i c hdurch
k e i t sEntwicklung
funktion, W
a h rFunktionen
s c h e i n l i c hink ePotenzi t s d i c h und
teFourierreihen
V
tre: i l u n g sbearbeiten,
f u n k t i o n Integraltransformationen auf Aufgaben des Fachgebietes anwenden
9u n. dS e mund
e set refür
das Fachgebiet relevanten Systeme mit Hilfe von Differentialgleichungen modellieren.
- denundUnterschied
zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen, die Begriffe
BildungsLehraufgabe:
Lehrstoff:
Wahrscheinlichkeits- bzw. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion sowie
Schülerinnen
undVarianz
Schülerund
können
im
Standardabweichung
erklären,
I I I . Die
J a hErwartungswert,
rgang:
B
e r e i -c hdieSModelle
t o c h a s tder
i k Binomial– W a h r sund
c h eNormalverteilung
i n l i c h k e i t s r e c erklären,
h n u n g anwenden und interpretieren,
Integralrechnung:
den klassischen
und statistischen
Wahrscheinlichkeitsbegriff
beschreiben,beschreiben
diesen verwenden
- die
Normalverteilung
als Näherung
der Binomialverteilung
und und
die
Integralmittelwerte.
deuten,
Binomialverteilung in die Normalverteilung überführen,
I V . u n- ddieVAdditions.Auswirkung
J a h r g a nund
gvon
: Multiplikationsregel
auf
Ereignisse
anwenden,
die
Ergebnisse
interpretieren
Erwartungswert und Standardabweichung auf die Normalverteilungskurve
undmehrerer
damit
argumentieren,
erklären
und
damit argumentieren.
Funktionen
Variablen:
- die Begriffe
des Binomialkoeffizienten
und der
„Fakultät“
beschreiben,
berechnen
und
Lehrstoff:
Darstellung
von Funktionen
von zwei Variablen;
partielle
Ableitungen;
totalesdiese
Differential,
lineare
deuten.
Fehlerfortpflanzung
und maximaler Fehler.
Stochastik:
Bereich Stochastik – Wahrscheinlichkeitsfunktion, Wahrscheinlichke itsdichteFunktionenreihen:
u n d Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion
Taylorpolynome,
Potenzreihen, Konvergenzkriterien;
Approximation
von Funktionen
durch
Wiederholende
Aufgabenstellungen
der vorhergehenden
JahrgängeZufallsvariablen,
entsprechend
derdie
festgelegten
- den Unterschied
zwischen diskreten
und kontinuierlichen
Begriffe
trigonometrische
Polynome, Fourierentwicklung.
Kompetenzen
Wahrscheinlichkeits- bzw. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion sowie
Integraltransformationen:
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung erklären,
- die ModelleIntegrale;
der Binomialund Normalverteilung
erklären, anwenden und interpretieren,
Uneigentliche
Laplacetransformation;
Fouriertarnsformation.
Quelle: Lehrpläne der Höheren
technischen
und gewerblichen
Lehranstalten, Anlage 1.2, S. 5,
die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung beschreiben und die
Lineare- Differentialgleichungen:
www.ris.bka.gv.at
https://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblAuth/BGBLA_2011_II_300/COO_2026_100_2_701384.pdf
Binomialverteilung in die Normalverteilung überführen,
Elementare Lösungsmethoden; lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit
- dieKoeffizienten;
Auswirkung von
Erwartungswert
und Anfangswertproblemen.
Standardabweichung auf die Normalverteilungskurve
konstanten
numerische
Lösung von
erklären und damit argumentieren.
Kompetenzbereich „Stochastik“:
Lehrstoff:
Bildungs- und Lehraufgabe:
Stochastik:
Die Schülerinnen und Schüler
Wahrscheinlichkeitsrechnung
- können Schätzwerte für Verteilungsparameter bestimmen und Konfidenzintervalle für den
Wiederholende
Aufgabenstellungen
der vorhergehenden
Jahrgänge
entsprechend der festgelegten
Mittelwert einer
normalverteilten Zufallsvariablen
berechnen
und interpretieren
Kompetenzen
- können signifikante und nicht signifikante Testergebnisse interpretieren.
B.5 HTL Elektronik
Lehrstoff:
II. und IV. Jahrgang:
www.ris.bka.gv.at
Beurteilende
Statistik:
Verteilung des Stichprobenmittels, zentraler Grenzwertsatz, Intervallschätzung; Prinzip des
Alternativtests, T-Test.
B. Fachtheorie und Fachpraxis
1. HARDWAREENTWICKLUNG
Kompetenzbereich „Grundlagen der Elektronik“:
Bildungs- und Lehraufgabe:
Die Schülerinnen und Schüler
- kennen die grundlegenden Gesetze der Elektrotechnik und der Digitaltechnik und können das
Verhalten einfacher Schaltungen damit begründen;
- können die Gesetze auf einfache Schaltungen anwenden, damit das Verhalten von einfachen
Schaltungen untersuchen und sie zur Lösung von technischen Aufgaben einsetzen.
Lehrstoff:
I. Jahrgang:
Elektrotechnische Grundgrößen:
www.ris.bka.gv.at
Anhang C
Kompetenzkataloge
Die standardisierte schriftliche
Reifeprüfung
in Mathematik
Quelle: Die standardisierte
schriftliche
Reifeprüfung
in Mathematik. Inhaltliche und16organisatorische
Grundlagen zur Sicherung mathematischer Grundkompetenzen (gültig ab Maturatermin 2018), S. 16–18
https://www.bifie.at/node/1442
Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS)
Bildungstheoretische Orientierung
Mathematiker/innen wie auch Anwender/innen bedienen sich häufig der Begriffe, der Darstellungsformen
und der (grundlegenden) Verfahren der Beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der
Schließenden Statistik. Für allgemeingebildete Laien wird es im Hinblick auf die Kommunikationsfähigkeit
vor allem darauf ankommen, die stochastischen Begriffe und Darstellungen im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren und deren Aussagekraft bzw. Angemessenheit einschätzen und bewerten zu können.
Die eigenständige Erstellung von statistischen Tabellen und Grafiken wird sich auf Situationen geringer
Komplexität und auf einfache Grafiken beschränken (z. B. bei der Kommunikation mit der Allgemeinheit),
für die Ermittlung statistischer Kennzahlen (Zentral- und Streuungsmaße) gilt Ähnliches.
Auch bei der Wahrscheinlichkeit kann man sich auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen,
auf grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion,
Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung) und Konzepte (Binomialverteilung, Normalverteilung)
sowie einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen beschränken; wichtig hingegen erscheint es, Wahrscheinlichkeit als eine (vom jeweiligen Informationsstand) abhängige Modellierung und Quantifizierung des
Zufalls sowie als unverzichtbares Bindeglied zwischen den beiden Statistiken zu verstehen.
Der Begriff der (Zufalls-)Stichprobe ist bereits bei der Wahrscheinlichkeit, aber natürlich auch in der
Schließenden Statistik grundlegend und zentral.
Von den zwei grundlegenden Konzepten der Schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und
der Hochrechnung (Konfidenzintervall), ist die Hochrechnung von besonderer Bedeutung. Im Hinblick auf
die Kommunikationsfähigkeit wird es auch hier weniger darum gehen, Konfidenzintervalle zu ermitteln,
sondern vorrangig darum, Ergebnisse dieses Verfahrens im jeweiligen Kontext angemessen zu deuten
und zu bewerten. Dabei spielen Begriffe wie Sicherheit/Irrtumswahrscheinlichkeit und deren Zusammenhang mit der Intervallbreite („Genauigkeit“) und dem Stichprobenumfang eine zentrale Rolle, sodass entsprechende Kompetenzen unverzichtbar sind.
Grundkompetenzen
Beschreibende Statistik
WS 1.1
Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
Anmerkungen:
(un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
WS 1.2
Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln
können
WS 1.3
statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median,
Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln
können
33
16
Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik
17
1
34
C. Kompetenzkataloge
WS 1.4
Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben
und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können
Anmerkungen:
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt
werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die
wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt
und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus
arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundbegriffe
WS 2.1
Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben können
WS 2.2
relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können
WS 2.3
Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden
und interpretieren können
Anmerkungen:
Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der LaplaceRegel (auch) umgangen werden.
WS 2.4
Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können
Wahrscheinlichkeitsverteilung(en)
WS 3.1
die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können
WS 3.2
Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie
Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen
WS 3.3
Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert
werden kann
WS 3.4
Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können
Anmerkungen:
Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n
undstandardisierte
p dann anzuwenden
ist und
gute Näherungswerte
Die
schriftliche
Reifeprüfung
in Mathematikliefert, wenn die Bedingung n · p · (1 – p) ≥ 9 erfüllt ist. Die
18
Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ
und Standardabweichung σ . Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes
Ablesen der entsprechenden Werte.
Schließende/Beurteilende Statistik
WS 4.1
Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p
interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis
der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können
1
35
C. Kompetenzkataloge
C.1 Grundkompetenzen im gemeinsamen Kern
4
Grundkompetenzen im gemeinsamen Kern
Quelle: Kompetenzkatalog – Teil A S. 4, http://www.bifie.at/node/1390
5 Stochastik
Deskriptor Formulierung des Deskriptors: Inhalt und Handlung
5.1
Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und inter­pretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren siehe Kommentar
5.2
Mittelwerte und Streuungsmaße empirischer Daten berechnen, interpretieren und argumentieren siehe Kommentar
5.3
die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
5.4
die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
5.5
mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren siehe Kommentar
5.6
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen* und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren,
Erwartungswert μ und Standardabweichung σ interpretieren und Auswirkungen auf die
Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren siehe Kommentar
Kommentar 5.1: folgende Darstellungsweisen kennen: Kreis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot; eine mögliche Darstellungsweise auswählen, interpretieren und begründen
und kritisch hinterfragen (z. B. Problem der Achsenskalierung, Wahl der Darstellung)
Kommentar 5.2: Folgende Mittelwerte und Streuungsmaße sind gemeint: Median, arithmetisches Mittel
und Standardabweichung, Quartil, Spann­weite.
Es werden die folgenden Bezeichnungen gewählt:
▪ für empirisch erhobene Daten xi → Mittelwert x̄
▪ Standardabweichung
s =
bei einer Vollerhebung (Grundgesamtheit, statt x̄ auch μ
bzw. statt s auch σ )
▪ Standardabweichung einer Stichprobe als Schätzung auf die Grundgesamtheit
s=
(bzw. s ≈
für große Stichproben)
In vielen Fällen wird in Lehrbüchern nicht klar zwischen den verschiedenen Formeln
unterschieden, daher gilt für die Reife- und Diplomprüfung für den Teil A folgende
Festsetzung: Beide Formeln für s (bzw. σ ) gelten als richtige Lösung, gleichgültig, ob
es sich um die Standardabweichung einer Grundgesamtheit oder um die Standardabweichung einer Stichprobe handelt.
Kommentar 5.5: Erwartungswert, Standardabweichung
Kommentar 5.6: * Hier sind folgende Varianten gemeint:
– die Wahrscheinlichkeiten für X < k; X > k; k1 < X < k2 bei bekanntem Erwartungswert und bekannter Standardabweichung berechnen
– aus einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit die Intervallgrenzen für das passende
Ereignis ermitteln
36
B1b_4.4
Differenzialrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen,
interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar
B1b_4.5
Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berechnen,
interpretieren und damit argumentieren siehe Kommentar
Kommentar B1b_4.4:Anwendung der Differenzialrechnung auf die in B1b_3.2 und B1b_3.3 genannten
Funktionstypen;
Linearisierung von Funktionen in einem Punkt;
aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorausgesetzt:
ds
dv d 2s
v=
,a=
= 2
dt
dt
dt
Krümmungsverhalten (Vorzeichen)
C. Kompetenzkataloge
Kommentar B1b_4.5:Anwendung der Integralrechnung auf die in B1b_3.3 genannten Funktionstypen
und Exponentialfunktionen;
Ermittlung einer Größe aus ihrer Änderungsrate durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen;
das bestimmte Integral (orientierter Flächeninhalt) interpretieren;
aus dem Bereich der Physik wird die Kenntnis folgender Zusammenhänge vorKompetenzkatalog – Teil B
– Cluster 1a, S. 2–3, http://www.bifie.at/node/1390
ausgesetzt:
s = ∫ v dt und v = ∫ a dt
rotationssymmetrische Volumina bezüglich der x-Achse
C.2 Schulformspezifische Kompetenzen im Cluster 1a
Quelle:
5 Stochastik
Deskriptor Formulierung des Deskriptors: Inhalt und Handlung
Mathematische Grundkompetenzen und schulformspezifische Kompetenzen im Cluster 8
Kompetenzen für Teil B (übergreifend über alle HTL-Cluster)
B1b_5.1
2
den Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung
beschreiben und erklären
4 Analysis Verteilung der Mittelwerte x̄ von Stichproben normalverteilter Merkmalswerte: modellieren,
B1b_5.2
berechnen, interpretieren und erklären
Deskriptor Formulierung des Deskriptors: Inhalt und Handlung
Mathematische Grundkompetenzen und schulformspezifische Kompetenzen im Cluster 1b
Nachfrage- und Angebotsfunktionen bestimmen, deren Eigenschaften argumentieren und
B8_4.1 markante Punkte (Höchstpreis, Sättigungsmenge, Marktgleichgewicht) ermitteln und interpretieren siehe Kommentar
3
die Begriffe Bogenelastizität und Punktelastizität erklären und diese am Beispiel von NachfrageSchätzwerte
für Verteilungsparameter
(μ, den
σ ) bestimmen; zweiseitige Konfidenzintervalle für
B8_4.2 funktionen
berechnen,
interpretieren und
Zusammenhang mit der Erlösfunktion erklären
B1b_5.31 den Erwartungswert μ einer normalverteilten Zufallsvariablen: modellieren, berechnen,
siehe Kommentar
interpretieren und erklären siehe Kommentar
eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion als Polynomfunktion 3. Grades aufstellen und interB8_4.3 lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene
pretieren
1 Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung,
B1b_5.4
die
Kostenkehre berechnen
und interpretieren
sowie die typischen
Kostenverläufe
(progressiv
Korrelationskoeffizient
nach Pearson)
mit Technologieeinsatz
berechnen
und interpretieren
B8_4.4
und
degressiv)
interpretieren
sowie
die Methode
der kleinsten Quadrate erklären
n
n
Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze
sowie Betriebsminimum
und kurzfristige
1
B8_4.5 B1b_5.3: Schätzwert für μ : x– = 1 · ∑ x und σ : s =
· ∑argumentieren
(xi – x– )2
Kommentar
i und damit im Kontext
Preisuntergrenze berechnen, interpretieren
n–1
n
i=1
i=1
Zu unterscheidenerstellen
sind dieund
Fälleinterpretieren;
bei unbekannter
und bekannter StandardabweiErlös- und Gewinnfunktionen
die Gewinngrenzen
(untere Gechung: Die Anwendung
der t-Verteilung
(im Vergleich
ist bei
B8_4.6 winngrenze [Break-even-Point]
und obere
Gewinngrenze)
ermittelnzur
undNormalverteilung)
interpretieren; den
unbekannter
Standardabweichung
σ
zur
Bestimmung
des
Vertrauensbereiches
Zusammenhang mit Kosten- und Erlösfunktion argumentieren
für μ erforderlich.
das Erlös- und das Gewinnmaximum sowie den Cournot’schen Punkt berechnen und die
B8_4.7
1
Ergebnisse
Kontext
argumentieren
Dieser Deskriptor
wird im
erst
fünf Jahre
nach Einführung des neuen modularen Lehrplans tragend.
B8_4.8
den Begriff der wirtschaftlichen Grenzfunktion als Ableitungsfunktion erklären; Grenzfunktionen berechnen, interpretieren und grafisch darstellen; von Grenzfunktionen auf ihre Stammfunktionen schließen, diese interpretieren, grafisch darstellen und die Zusammenhänge
argumentieren
C.3 Schulformspezifische
Kompetenzen
im
Kommentar B8_4.1:Unter der Nachfrage-/Angebotsfunktion
versteht man die Abhängigkeit
der Cluster 8
Quelle: Kompetenzkatalog – Teil
nachgefragten/angebotenen Menge x vom Preis p, also xN(p) bzw. x A ( p). Verwendet werden aber häufig die Umkehrfunktionen, also die Preisfunktion der
Nachfrage
p N(x) bzw.
des Angebots pA(x).
B
– Cluster
8, die
S.Preisfunktion
2, http://www.bifie.at/node/1390
Kommentar B8_4.2:Elastizitäten werden mit entsprechendem Vorzeichen angegeben.
5 Stochastik
Deskriptor Formulierung des Deskriptors: Inhalt und Handlung
B8_5.1
mit dem Additionssatz für nicht ausschließende Ereignisse und mit dem Multiplikationssatz
für abhängige Ereignisse (bedingte Wahrscheinlichkeit) modellieren, operieren, interpretieren
und argumentieren
B8_5.2
das geometrische Mittel als mittlere prozentuelle Änderung berechnen, interpretieren und
damit argumentieren
B8_5.3
lineare, quadratische, kubische und exponentielle Regressionskurven mit Technologieeinsatz
ermitteln und grafisch darstellen sowie deren Parameter im Kontext interpretieren
B8_5.4
den Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit Technologieeinsatz ermitteln, interpretieren
und damit im Kontext argumentieren
B8_5.5
Erwartungswert μ und Standardabweichung σ der Normalverteilung berechnen
B9_3.5
anwendungsbezogene Aufgabenstellungen mithilfe der Logarithmusfunktionen zu den Basen
ℯ und 10 modellieren, lösen, grafisch darstellen und beschreiben; den Zusammenhang von
Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion als Umkehrfunktion interpretieren
B9_3.6
anwendungsbezogene Aufgabenstellungen zu Zu- und Abnahmeprozessen modellieren,
lösen, interpretieren und beschreiben
B9_3.7
Modelle zu anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mit geeigneten Funktionen bilden
(Aufstellen einer Funktionsgleichung und Angabe einer Definitionsmenge); anwendungsbezogene Aufgabenstellungen lösen
C. Kompetenzkataloge
37
Kommentar B9_3.1: z. B. auch abschnittsweise definierte Funktionen
4 Analysis
C.4 Schulformspezifische
Kompetenzen im Cluster 9
Deskriptor Formulierung des Deskriptors: Inhalt und Handlung
Quelle: Kompetenzkatalog – Teil B – Cluster 9, S. 2, http://www.bifie.at/node/1390
B9_4.1
Funktionen aus anwendungsbezogenen Kontexten aufstellen („Umkehraufgaben“)
5 Stochastik
Deskriptor Formulierung des Deskriptors: Inhalt und Handlung
B9_5.1
Daten aus einer anwendungsbezogenen Untersuchung in Tabellenform angeben oder
grafisch darstellen; den Unterschied bei der Bearbeitung von qualitativen und quantitativen
Merkmalen erklären; Datenmanipulierbarkeit argumentieren
B9_5.2
Modelle zu anwendungsbezogenen Untersuchungen mithilfe der beschreibenden Statistik
bilden; anwendungsbezogene Aufgabenstellungen lösen, interpretieren und beschreiben,
z. B. Mittelwerte und Streuungsmaße berechnen, interpretieren und argumentieren (arithmetisches Mittel, Median, Modus, Standardabweichung, Spannweite, Quartil und Quartilsabstand)
B9_5.3
Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen, interpretieren und Schlussfolgerungen aus den Berechnungen argumentieren
B9_5.4
Baumdiagramme für anwendungsbezogene Aufgabenstellungen erstellen, interpretieren und
erklären
B9_5.5
den Begriff der Zufallsvariablen erklären und damit Modelle bilden; Verteilungsfunktion und
Kenngrößen (Erwartungswert und Varianz) einer Zufallsvariablen bestimmen, interpretieren
und argumentieren
B9_5.6
Binomial- und Normalverteilungen zu anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen aufstellen;
anwendungsbezogene Aufgabenstellungen mit Binomial- und Normalverteilungen lösen,
interpretieren und beschreiben sowie die Wahl der Verteilung begründen
Anhang D
Eine kurze Einführung in R
Das Statistikprogramm R steht unter
http://www.r-project.org/
zum kostenlosen Download zur Verfügung, zahlreiche Manuals sowie weitere Informationen zur Software
sind ebenfalls dort zu finden. An dieser Stelle wird lediglich eine kurze Einführung in den grundlegenden
Umgang mit R gegeben.
Zuweisungen. Es gibt drei Möglichkeiten einem R-Objekt einen Wert zuzuweisen: Mit =, mit <- oder
mit assign().
> x =17
> y <- 25
> assign ( " z " ,42)
> x; y; z
[1] 17
[1] 25
[1] 42
Hilfe. Benötigt man Hilfe zu einem R-Befehl, so kann man dem Befehl einfach ein Fragezeichen voranstellen und gelangt so auf die entsprechende Hilfeseite. Möchte man beispielsweise mehr über die
Funktion assign() wissen, so kommt man etwa mit ?assign auf die gewünschte Hilfeseite.
Elementare Rechenoperationen. Man kann R natürlich auch wie einen Taschenrechner verwenden.
> x =17; y =25
> x + y ; x - y ; x * y ; x / y ; sqrt ( y ) ; x ^2
[1] 42
[1] -8
[1] 425
[1] 0.68
[1] 5
[1] 289
Vektoren. Zur Eingabe von Vektoren dient die Funktion c().
> x = c (1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89)
> x
[1] 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
39
40
D. Eine kurze Einführung in R
Eine weitere und in einigen Fällen sehr angenehme Möglichkeit einen Vektor zu erzeugen, bietet die
Funktion scan().
> x = scan ()
1: 1 1 2 3 5
6: 8 13
8: 21 34 55 89
12:
Read 11 items
> x
[1] 1 1 2 3
5
8 13 21 34 55 89
Die Komponenten eines Vektors müssen nicht zwingend aus numerischen Werten bestehen.
> y = c ( " Jacqueline " ," Kevin " ," Chantal " )
> y
[1] " Jacqueline " " Kevin " " Chantal "
Häufig verwendete Zahlenfolgen können mit einem Doppelpunkt erzeugt werden.
> 3:10
[1] 3 4 5 6
> 2 * 6:9
[1] 12 14 16 18
> 10:3
[1] 10 9 8 7
7
8
9 10
6
5
4
3
Für speziellere Zahlenfolgen kann man die Funktion seq() verwenden.
> seq (7)
[1] 1 2 3 4 5 6 7
> seq (7 ,13)
[1] 7 8 9 10 11 12 13
> seq (7 ,13 ,2)
[1] 7 9 11 13
> seq (9 ,5 , -0.5)
[1] 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0
> seq ( length =10 , from = -2 , by =0.1)
[1] -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1
Um einzelne Komponenten eines Vektors anzusprechen, werden eckige Klammern verwendet.
> x [3]
[1] 2
41
D. Eine kurze Einführung in R
> x [4:11]
[1] 3 5 8 13 21 34 55 89
> y [ c (1 ,3) ]
[1] " Jacqueline " " Chantal "
Mit der Funktion c() kann man Vektoren auch aneinanderhängen.
> z = c ( x [1:5] ,42 , x [3:11])
> z
[1] 1 1 2 3 5 42 2
3
5
8 13 21 34 55 89
Möchte man einen Vektor aus mehreren Kopien ein und desselben Vektors erzeugen, so kann man rep()
verwenden.
> rep (1:3 ,3)
[1] 1 2 3 1 2 3 1 2 3
> rep (1:3 , each =4)
[1] 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
Die Komponenten eines Vektors können auch benannt werden.
> names ( y ) = c ( " Name 1 " ," Name 2 " ," Name 3 " )
> y
Name 1
Name 2
Name 3
" Jacqueline "
" Kevin "
" Chantal "
Vektorarithmetik. Die Anwendung der arithmetischen Operationen
+, -, ∗, / und ˆ
auf Vektoren erfolgt komponentenweise.
> x =1:10
> 3*x
[1] 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
> 2*x+x
[1] 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
> x ^2
[1]
1
4
9 16 25 36 49 64
81 100
In R stehen natürlich die üblichen elementaren Funktionen
exp(), sin(), cos(), tan(), log(), usw.
zur Verfügung, die Anwendung auf Vektoren erfolgt ebenfalls komponentenweise.
42
D. Eine kurze Einführung in R
> exp (1:5)
[1]
2.718282
7.389056
20.085537
54.598150 148.413159
Weitere nützliche Funktionen im Zusammenhang mit Vektoren sind
min(), max(), length() und sum(),
wobei die jeweilige Funktionsweise selbsterklärend sein dürfte.
> x =7:12
> min ( x ) ; max ( x ) ; length ( x ) ; sum ( x )
[1] 7
[1] 12
[1] 6
[1] 57
Logische Vektoren. Durch die logischen Operationen
==, !=, <, <=, > und >=
erhält man logische Vektoren.
> x =5:13
> x <8
[1] TRUE
TRUE
TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
Dem logischen “und“ entspricht &, dem logischen “oder“ entspricht |. Den negierten logischen Vektor
erhält man durch Verwendung eines Ausrufezeichens.
> x <11 & x >7
[1] FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
> x <7 | x >9
[1] TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE
> x ! = 8; ! x ==8
[1] TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE
[1] TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE
TRUE FALSE FALSE FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
Mittels eines logischen Vektors können gezielt jene Komponenten eines Vektors ausgewählt werden,
welche eine bestimmte Bedingung erfüllen.
> x [x >10]
[1] 11 12 13
Faktoren. Die Funktion factor() gruppiert die Komponenten eines Vektors, welcher Ausprägungen
eines diskreten Merkmals enthält.
D. Eine kurze Einführung in R
43
> x = c ( " blau " ," gelb " ," blau " ," rot " ," blau " ," blau " ," rot " ," rot " )
> factor ( x )
[1] blau gelb blau rot blau blau rot rot
Levels : blau gelb rot
Wendet man die Funktion summary() auf einen faktorisierten Vektor an, so werden die absoluten Häufigkeiten der Ausprägungen ausgegeben.
> summary ( factor ( x ) )
blau gelb rot
4
1
3
Um die Stufen eines Faktors auszugeben, kann die Funktion levels() verwendet werden. Außerdem
können mit dieser Funktion die Stufen umbenannt werden.
> x . factor = factor ( x )
> levels ( x . factor )
[1] " blau " " gelb " " rot "
> levels ( x . factor ) = c (1 ,2 ,3)
> x . factor
[1] 1 2 1 3 1 1 3 3
Levels : 1 2 3
Matrizen. Verwendet man die Funktion matrix() um aus einem Vektor eine Matrix zu erzeugen, so
ist darauf zu achten, dass ohne das Setzen von byrow=TRUE, die Elemente der Matrix spaltenweise aus
dem Vektor eingelesen werden.
> A = matrix (1:9 ,3 , byrow = TRUE )
> A
[ ,1] [ ,2] [ ,3]
[1 ,]
1
2
3
[2 ,]
4
5
6
[3 ,]
7
8
9
Transponiert wird eine Matrix mit t().
> t(A)
[ ,1] [ ,2] [ ,3]
[1 ,]
1
4
7
[2 ,]
2
5
8
[3 ,]
3
6
9
Insbesondere bei der händischen Eingabe von Matrizen erweist sich die Funktion scan() als nützlich.
44
D. Eine kurze Einführung in R
> A = matrix ( scan () ,3 , byrow = TRUE )
1: 1 2 3
4: 4 5 6
7: 7 8 9
10:
Read 9 items
> A
[ ,1] [ ,2] [ ,3]
[1 ,]
1
2
3
[2 ,]
4
5
6
[3 ,]
7
8
9
Wie bereits bei Vektoren, können die Elemente einer Matrix eckigen Klammern angesprochen werden.
> A [2:3 ,1:2];
[ ,1] [ ,2]
[1 ,]
4
5
[2 ,]
7
8
> A [ ,2]
[1] 2 5 8
Arrays. Eine Matrix ist ein zweidimensionaler Array. Höherdimensionale Arrays können in R mit
array() erzeugt werden.
> A = array (1:20 , c (2 ,5 ,2) )
> A
, , 1
[1 ,]
[2 ,]
[ ,1] [ ,2] [ ,3] [ ,4] [ ,5]
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
, , 2
[1 ,]
[2 ,]
[ ,1] [ ,2] [ ,3] [ ,4] [ ,5]
11
13
15
17
19
12
14
16
18
20
Die Elemente eines Arrays werden wiederum mit eckigen Klammern angesprochen.
> A [2 ,3 ,1]
[1] 6
Data frames. Ein data frame setzt sich aus Vektoren gleicher Länge zusammen und eignet sich
inbesondere zur übersichtlichen Darstellung statistischer Daten. Werden beispielsweise die Merkmale
D. Eine kurze Einführung in R
45
Haarfarbe und Augenfarbe an mehreren Personen erhoben, so können die gewonnen Daten wie folgt
mittels data.frame() dargestellt werden.
>
>
>
>
>
>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Augenfarbe = factor ( c (0 ,0 ,2 ,2 ,0 ,1 ,2 ,1 ,1) )
levels ( Augenfarbe ) = c ( " blau " ," gruen " ," braun " )
Haarfarbe = factor ( c (1 ,1 ,0 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 ,1) )
levels ( Haarfarbe ) = c ( " hell " ," dunkel " )
D = data . frame ( Augenfarbe , Haarfarbe )
D
Augenfarbe Haarfarbe
blau
dunkel
blau
dunkel
braun
hell
braun
dunkel
blau
dunkel
gruen
dunkel
braun
hell
gruen
hell
gruen
dunkel
Elemente werden ähnlich wie bei Matrizen angesprochen.
> D [8 , " Haarfarbe " ]
[1] hell
Levels : hell dunkel
> D [ c ( " Haarfarbe " ," Augenfarbe " ) ]
Haarfarbe Augenfarbe
1
dunkel
blau
2
dunkel
blau
3
hell
braun
4
dunkel
braun
5
dunkel
blau
6
dunkel
gruen
7
hell
braun
8
hell
gruen
9
dunkel
gruen
Es sei noch erwähnt, dass sich data frames mittels read.table() aus Dateien auslesen lassen. Für Genaueres verweisen wir auf die R-Hilfe.
Datensätze und Pakete. In R gibt es eine große Anzahl an Beispieldatensätzen. Eine Liste der im
standardmäßig installierten Paket datasets verfügbaren Datensätze erhält man mit data(). Ein Beispiel
eines solchen Datensatzes ist trees, hierbei handelt es sich um einen data frame. Genauere Informationen
zum Datensatz erhält man auf der entsprechenden Hilfeseite, also durch ?trees. Einen Überblick über
den Datensatz kann man sich mit head() bzw. tail() verschaffen.
46
D. Eine kurze Einführung in R
> head ( trees )
Girth Height Volume
1
8.3
70
10.3
2
8.6
65
10.3
3
8.8
63
10.2
4 10.5
72
16.4
5 10.7
81
18.8
6 10.8
83
19.7
> tail ( trees )
Girth Height Volume
26 17.3
81
55.4
27 17.5
82
55.7
28 17.9
80
58.3
29 18.0
80
51.5
30 18.0
80
51.0
31 20.6
87
77.0
Durch das Laden eines Paketes mittels library() werden meist neben vielen weiteren Beispieldatensätze
auch für das Paket spezifische Funktionen verfügbar. Mit
data(package = .packages(all.available = TRUE))
erhält man eine Liste der Datensätze aus sämtlichen geladenen Paketen.
Verteilungen und Pseudozufallszahlen. Die nachfolgende Tabelle enthält einige der in R
standardmäßig zur Verfügung stehenden Verteilungen.
Verteilung
R-Name
Binomialverteilung
binom
Chi-Quadrat-Verteilung
chisq
Exponentialverteilung
exp
Fisher-Verteilung
f
Geometrische Verteilung
geom
Hypergeometrische Verteilung
hyper
Negative Binomialverteilung
nbinom
Normalverteilung
norm
Poisson-Verteilung
pois
Student-t-Verteilung
t
Gleichverteilung (kontinuierlich)
unif
47
D. Eine kurze Einführung in R
Jede Verteilung kann mit den Präfixen d, p, q und r versehen werden. So erhält man etwa die Funktionswerte der Gauß-Dichte einer Normalverteilung mit dnorm(), während pnorm() die Funktionswerte
der zugehörigen Verteilungsfunktion liefert. Mit qnorm() werden die Quantile einer Normalverteilung
berechnet. Um Pseudozufallszahlen aus einer Normalverteilung zu generieren, verwendet man rnorm().
> rnorm (5 , mean =42 , sd =17)
[1] 36.15336 17.99194 29.04603 51.24752 34.34276
Plots. Sind x und y zwei Vektoren gleicher Länge, so erzeugt plot(x,y) einen Scatterplot.
> x = rnorm (1000) ; y = rnorm (1000)
> plot (x , y )
●
2
1
0
y
−1
●
−2
● ●
●
●
●
● ●● ● ●
● ●
● ●
●
●
●
● ●
● ●
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● ●
● ● ●●
●●
● ●
● ●
●
●
●
●
●
−3
−2
●
−1
0
1
2
3
x
Setzt man type=’l’, so werden die Punkte verbunden und lediglich der entstehende Polygonzug geplottet. Die Bildüberschrift legt man mit main fest, die Beschriftung der x-Achse bzw. y-Achse mit xlab bzw.
ylab. Die Funktion lines() fügt einen Plot in den bestehenden ein, mit col kann die Farbe gewählt
werden.
> x = seq (0 ,4 * pi , by =0.1)
> plot (x , sin ( x ) , type = ’l ’ , main = " Sinus und Cosinus " , ylab = " sin ( x )
, cos ( x ) " )
> lines (x , cos ( x ) , col = ’ red ’)
48
D. Eine kurze Einführung in R
−1.0
−0.5
0.0
sin(x), cos(x)
0.5
1.0
Sinus und Cosinus
0
2
4
6
8
10
12
x
Mehrere Plots im selben Plotfenster erzeugt man wie folgt.
> par ( mfrow = c (1 ,2) )
> plot ( rnorm (30) , type = ’b ’ , xlab = " " , ylab = " " )
> plot ( rnorm (30) , type = ’b ’ , xlab = " " , ylab = " " , col = ’ red ’)
●
●
0
●
●
●
●
●
−2
−1
●
●
●
0.0
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
5
●●
●●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
0
●●
●● ●
●
●
−1.0
●
●
●
10 15 20 25 30
●
−2.0
1
●
●
●
●
0
5
10 15 20 25 30
Bedingtes Ausführen. In R erfolgt bedingtes Ausführen mit
if (expr_1) expr_2 else expr_3 ,
wobei expr_1 ein boolescher Ausdruck sein muss.
> x = rnorm (10)
> if ( length ( x [x <0]) >5) print ( ’ >5 ’) else print ( ’ <=5 ’)
[1] " >5 "
> length ( x [x <0])
[1] 7
D. Eine kurze Einführung in R
49
Wiederholtes Ausführen. Die for-Anweisung funktioniert in R wie man es aus den meisten
Programmiersprachen bereits gewohnt sein dürfte.
> x =2:5
> for ( t in x ) print ( t ^2)
[1] 4
[1] 9
[1] 16
[1] 25
Die while-Schleife steht in R natürlich auch zur Verfügung.
> x =0
> while (x <3) { x = x +1; print ( x ) }
[1] 1
[1] 2
[1] 3
Schließlich kann zum wiederholten Ausführen auch noch repeat verwendet werden.
> repeat { x = x +1; print ( x ) ; if (x >3) break }
[1] 1
[1] 2
[1] 3
[1] 4
Funktionen. Mit function() können eigene Funktionen geschrieben werden. Beispielsweise bildet
nachfolgende Funktion die Summe der Elemente eines Vektors.
> summe = function ( x ) { y =0; for ( t in x ) y = y + t ; y }
> summe (1:42)
[1] 903
Dasselbe Ergebnis liefert die bereits vorhandene Funktion sum(). Dennoch kontrollieren wir unser Ergebnis unter Zuhilfenahme einer wohlbekannten Formel.
> n =42
> n * ( n +1) / 2
[1] 903
50
D. Eine kurze Einführung in R
Übungsaufgaben
Lösen Sie folgende Aufgaben in R.
(D.1) Erstellen Sie für n ∈ N die Vektoren
x = 1, 12 , . . . ,
1
n
und
y = 1, 1 −
1
, . . . , n1
n
.
Berechnen Sie anschließend
x :=
n
1X
xi ,
n i=1
y :=
n
1X
yi
n i=1
und
sxy :=
n
1 X
(xi − x)(yi − y) .
n − 1 i=1
(D.2) Definieren Sie einen Vektor x , der die Werte der Spalte Height aus dem Datensatz trees enthält.
Runden Sie die Werte von x auf die Zehnerstelle und geben Sie anschließend die Anzahl von jedem
Typ aus.
(D.3) Plotten Sie die Kurve, die durch die folgende Parametrisierung gegeben ist:
sin(2t)
t 7→
, t ∈ [0, 2π) .
cos(2t)
Speichern Sie das Ergebnis als PDF-Datei.
(D.4) Erstellen Sie einen Datensatz, der für zehn Orte die Meereshöhe, die aktuelle Temperatur sowie
die Information, ob es in der letzten Stunde geregnet hat oder nicht, enthält. (Als Quelle können Sie beispielsweise http://www.zamg.ac.at verwenden.) Verwenden Sie die Eingabe 0, falls
es nicht geregnet hat, und 1, falls es geregnet hat. In der Tabelle soll dann schließlich “kein Regen“ bzw. “Regen“ stehen. Erstellen Sie sodann einen weiteren Datensatz, der nur jeden zweiten
Ort sowie nur die Informationen zu Temperatur und Regen enthält.
(D.5) Stellen Sie den Zusammenhang zwischen den Seehöhen und Temperaturen aus der vorigen Aufgabe
graphisch dar.
(D.6) Schneiden Sie beim Datensatz pressure alle Einträge mit pressure kleiner 100 ab und plotten Sie
die verbleibenden Daten in einem temperature-pressure-Diagramm.
(D.7) Schreiben Sie eine Funktion, die in Abhängigkeit von n ∈ N eine Liste mit den ersten n FibonacciZahlen ausgibt. Berechnen Sie die Summe der ersten 10 sowie der ersten 20 Fibonacci-Zahlen.
(D.8) Ordnen Sie den Datensatz beaver1 nach der Spalte time und erstellen Sie ein time-temperatureDiagramm. Fügen Sie dem geordneten Datensatz eine weitere Spalte Fieber hinzu, welche die
Ausprägungen ja bzw. nein beinhaltet, abhängig davon, ob die Temperatur größer bzw. kleiner
gleich 37 Grad Celsius beträgt.