Kräfte - Physik und Astronomie an der Universiteat Innsbruck
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Physik f. Erdwissenschaften E. Kneringer Experimentalphysik (7.+) 8. Vorlesung 1. Mechanik B. Dynamik 9. November 2004 PfE Nachtrag: Musterlösung Affe Ohne Gravitationskraft würde der Ball den Affen treffen, da dieser in Ruhe bleibt und der Ball sich auf einer Geraden auf den Affen zubewegt. Mit Gravitationskraft wird jetzt sowohl für den Ball als auch den Affen der Weg –gt2/2 zur yKoordinate hinzuaddiert. Die y-Koordinaten mit Gravitation stimmen also dann überein, wenn wenn die y-Koordinaten ohne Gravitation übereinstimmen. Dies ist dann der Fall, wenn die xKoordinaten übereinstimmen. Daher wird der Affe auch mit Gravitation immer getroffen. Beachte: Die Zeitabhängigkeit der x-Koordinaten bleibt gleich. z Für Zeiten, in denen die x-Koordinaten von Affe und Ball verschieden sind, sind auch die y-Koordinaten verschieden. z 9.11.2004 2 Large Hadron Collider (LHC) PfE Aktuell !! 7 TeV + 7 TeV Protonen 9.11.2004 Protonen 3 PfE Derzeit wird der LHC (Large Hadron Collider) im LEP-Tunnel gebaut (Fertigstellung 2007); an diesem Beschleuniger werden Experimente installiert, u.a. das ATLAS Experiment, an dem Innsbruck beteiligt ist. CERN, Genf Beschleunigung – Kollision – Detektion – Analyse 9.11.2004 http://physik.uibk.ac.at/hephy/clips/atlas.avi ATLAS Experiment: erste supraleitende Spule http://physik.uibk.ac.at/hephy/news/FirstCoil.html 4 PfE Übersicht: MECHANIK A. Kinematik: z v v v r (t ), v (t ), a (t ) Wichtiger Spezialfall: Beschleunigung a = const (auch 0) 1-dim. Bewegungen 2-dim. Bewegungen z Unabhängigkeit der Bewegungen in x- und y-Richtung? B. Newton’sche Dynamik: Die 3 Newton‘schen Axiome Kräfte Gravitationskraft z Federkraft z 9.11.2004 Impuls und Impulserhaltung Arbeit, Energie und Energieerhaltung Drehbewegungen 5 Die 3 Newton’schen Axiome 1. PfE Trägheitsprinzip Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äussere Kraft auf ihn einwirkt: v v F = ∑ Fi = 0 2. i Aktionsprinzip Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt: v v F a= m 3. Reaktionsprinzip 9.11.2004 oder v v F = ma Bewegungsgleichung oder: Newton’sches Gesetz Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, dann wirkt eine gleich grosse, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A. 6 PfE ‘Actio est reactio’ Achtung: eine größere Masse (z.B. die Sonne) zieht eine kleinere Masse (z.B. die Erde) NICHT stärker an als umgekehrt ! Die Kräfte sind zwar gleich, aber die Beschleunigungen sind verschieden! 9.11.2004 Reaktionskraft der Unterlage kompensiert gerade Gewicht der Kugel 7 Einheiten 9.11.2004 PfE 8 PfE 9.11.2004 9 PfE 9.11.2004 10 PfE 9.11.2004 11 PfE 9.11.2004 12 PfE Die 4 fundamentalen Grundkräfte Kräfte haben ihren Ursprung ausschließlich in den 4 grundlegenden physikalischen Wechselwirkungen: 9.11.2004 TYP KRÄFTE AUF.... REICHWEITE DOMINIEREND FÜR .... RELATIVE STÄRKE Gravitation Massen (Gewicht !) unendlich (1/r2) Astronomie, Biologie, Technik 10−38 schwache WW bestimmte Elementarteilchen 10 −16 m radioakt. Zerfall (β-Zerfall) 10 −14 elektromagnet. WW Ladungen unendlich (1/r2) Atomphysik, Chemie, Biologie, Medizin, Technik 10 −2 starke WW bestimmte Elementarteilchen 10 −13 m Kernphysik, Radioaktivität 1 13 PfE Die 4 fundamentalen Naturkräfte Gravitation Elektromagnetische Kraft Radioaktiver Zerfall von Atomkernen Ermöglicht die Erzeugung von Strahlungs- und Wärmeenergie in der Sonne Starke Kraft 9.11.2004 Sorgt für den Strom aus der Steckdose Verbindet negativ geladene Elektronen und positiv geladene Atomkerne zu Atomen Schwache Kraft Apfel fällt vom Baum Erde kreist um die Sonne Hält die elementaren Bausteine der Materie zusammen: verhindert dass die Atomkerne infolge der gegenseitigen Abstossung der Protonen auseinanderfliegen 14 PfE Zuordnung von Kräften Zu welcher der 4 Grundkräfte gehören folgende Kräfte? 9.11.2004 Hammerschlag auf Nagel Kräfte beim Autozusammenstoss Kraft in gespannter Saite Reibungskraft Auftriebskraft Atomkraft Zentrifugalkraft 15 Das Alter der Sonne PfE Mitte des 19. Jahrhunderts: Quelle der Sonnenenergie ist die Gravitation → Sonne kann nur 20 Millionen Jahre gescheint haben z Anhänger der Evolutionstheorie (Darwin) sowie Geologen sagten: “Die Erde muss seit mindestens 300 Millionen Jahre existieren, daher muss auch die Sonne mindestens so alt sein.” z 1896: Radioaktivität könnte Quelle der Energie sein z aber auf der Sonne gibt es kaum radioaktive Materialien! 1920: bei Verbindung von 4 H zu He wird entsprechend E = mc2 viel Energie frei! = Effekt der starken Kraft zwischen Nukleonen (p,n) bzw. Quarks 9.11.2004 16 Relative Wichtigkeit (Relevanz) für unser Umwelt PfE Gültigkeitsbereich schwacher Einfluß dominanter Einfluß Elektromagnetische Wechselwirkung GravitationsWechselwirkung 1m Skala Mensch 9.11.2004 dominanter Einfluß schwacher Einfluß 0.000001m Mikroskopischer Bereich Größe der betrachteten Objekte 17 PfE Gravitationskraft F = − G M m / r2 Gravitationsgesetz Richtung: Verbindungsline der Schwerpunkte der Massen G = 6.67⋅10 −11 m3 kg −1 s −2 MErde = 6⋅10 24 kg, MSonne = 2⋅10 30 kg, MMond = 7.4⋅10 22 kg Baukasten Interaction: force = −const /r^2 z.B.: const = 6.28^2 Zeit in Jahren z Ort in Astronomischen Einheiten 1 AE = 150 Mill. Km z Massen? z 9.11.2004 Bewegungsgleichung: v& GMm & mr = v 2 |r | Falls der Zentralkörper (= Sonne) fixiert wird (~ Masse sehr gross) → Bewegung der Planeten ist unabhängig von deren Masse; vgl. “alle Körper fallen gleich schnell” Beispiel: Sonnensystem 18 PfE Fragen: Kraft auf den Mond Ist die Kraft der Sonne oder der Erde stärker? MSonne ≈ 300 000 MErde z rSonne-Mond ≈ 400 rErde-Mond z Geschwindigkeit im Gravitationsfeld 9.11.2004 Ein Satellit bewegt sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Da sich auch in grosser Höhe noch einige Luftmoleküle befinden, wird der Satellit leicht gebremst und fällt kontinuierlich auf eine niedrigere Umlaufbahn. Zeigen Sie, dass sich dabei die Geschwindigkeit des Satelliten erhöht – im Gegensatz zur naiven Erwartung. Bahnen im Gravitationsfeld Lösung der Bewegungsgleichung Beispiel mit Baukasten 19 PfE Minimaler Abstand Erde – Mars Mars Erde Sonne Modell: Modell: Vernachl ässigung der Vernachlässigung der Anziehung zwischen Anziehung zwischen Erde Erdeund undMars, Mars, zudem : Sonne zudem: Sonnefest! fest! D.h., die Planeten werden sozusagen als Satelliten mit vernachlässigbarer Masse behandelt. 9.11.2004 20 PfE Lösung der Bewegungsgleichung v⋅t 0 r⋅sin(t) 0 −g/2⋅t^2 r⋅cos(t) ... oder Kräfte und Wechselwirkung 9.11.2004 21 Der Baukasten 9.11.2004 PfE 22 Übersicht PfE Was haben wir gelernt? Die zwei Methoden Kinematik: y(t) = −9.81/2 * t^2 (Lösung) z Dynamik: F = −9.81*m (Kraft) z Baukasten wähle ein Objekt (m = 1 kg, wenn nicht anders angegeben) set trajectory: gib die Bahn vor (z.B. Lissajous), Kraft = ? z make dynamic: gib die Kräfte an (z.B. ∞ im Gravitationsfeld), Bahn = ? z 9.11.2004 23 Warum ist eine Achterbahn interessant? 9.11.2004 PfE 24 PfE Eine Achterbahn zum Mond 9.11.2004 Eine Mondrakete beschreibt auf ihrem Flug Erde – Mond – Erde Schleife in der Form einer Acht, keine Ellipse. Warum braucht sie dafür weniger Energie? 25 PfE Federkraft Hook‘sches Gesetz k … Federkonstante z Vereinfachung: kann Koordinatensystem so wählen, dass x0 = 0! ∆x andererseits: F = m a k a = &x& = − x m vom Typ &x& = −ω 2 x Lösung der Bewegungsgleichung: x = A cos ωt + B sin ωt = C sin (ωt + ϕ) , mit ω2 = k/m ω … Kreisfrequenz der Schwingung Baukasten 9.11.2004 Dimension: [N/m] ∆x ... Auslenkung von der Ruhelage z F F = − k ∆x = − k (x – x0) x x0 Interaction: force = −k*(x − x0) oder im 2-dim Fall: −k*(r − r0) [wobei r der Betrag des Abstandsvektors und r0 die Ruhelä Ruhelänge der Feder ist] ist] 26 PfE Masse an Feder im Gravitationsfeld Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Federkraft: bestimmt die Gleichgewichtslage x0! Was Waspassiert, passiert,wenn wenndie die Feder zusätzlich noch Feder zusätzlich noch horizontal horizontalausgelenkt ausgelenktwird? wird? Antwort 9.11.2004 27 Pendel im Gravitationsfeld PfE Führt näherungsweise dieselbe Bewegung aus, wie eine Masse an einer Feder. Weg-Zeit Diagramm Nur die rücktreibende Komponente der Kraft ist eingezeichnet! Unterschied zur Feder? 9.11.2004 Macht sich erst bei grossen Auslenkungen bemerkbar: “Sinusberge” sind nicht mehr so spitz! 28 PfE Apropos Näherung Kraft F = – mg sinϕ F = – mg ϕ ϕ FGsinϕ FGcosϕ FG ma = F = – mg sinϕ ≈ – mg ϕ 9.11.2004 α (Radian) a = lα, mit der Winkelbeschleunigung α und Pendellänge l mlα ≈ – mg ϕ g α = ϕ&& ≈ − ϕ l vom Typ &x& = −ω 2 x Lösung: Schwingungen (sin, cos) 29
