§ 3. Der größte gemeinsame Teiler

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2016)
§ 3. Der größte gemeinsame Teiler
(3.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen.
a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b , wenn gilt
t | a und t | b .
b) GT + (a, b) bezeichne die Menge der nichtnegativen gemeinsamen Teiler von a und b .
BEM: Es ist GT + (a, b) = { t | t ∈
(3.2) SATZ: Für a, b ∈
N
0
, t | a und t | b } ⊆
N
0
.
Z gilt:
a) GT + (a, b) = T + (a) ∩ T + (b)
b) a | b
⇐⇒
c) GT + (0, 0) =
GT + (a, b) = T + (a)
N
0
(diese Menge ist unendlich!)
d) Sind a und b nicht beide 0 , so ist
GT + (a, b) ⊆
eine nichtleere endliche Menge.
N
(3.3) SATZ und DEF: Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind. Dann gibt
es in der Menge GT + (a, b) der nichtnegativen gemeinsamen Teiler von a und b ein größtes
Element, das der größte gemeinsame Teiler (abgekürzt ggT) von a und b genannt wird.
Bezeichnung:
ggT(a, b) := max(GT + (a, b)) .
Frage:
Wie läßt sich der ggT berechnen?
(3.4) SATZ: Für ganze Zahlen a und b , die nicht beide 0 sind, gilt:
a) ggT(a, b) = ggT(b, a)
b) ggT(a, b) = ggT(|a|, |b|)
c) a | b
⇐⇒
ggT(a, b) = |a|
d) ggT(a, 0) = |a| (falls a 6= 0)
(3.5) SATZ: Seien a, b, q, r ganze Zahlen, für die a = qb + r gilt. Dann folgt:
a)
GT + (a, b) = GT + (b, r) .
b) Sind a und b nicht beide Null, so gilt
ggT(a, b) = ggT(b, r) .
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Mit (3.4) und (3.5) haben wir die erforderlichen Hilfsmittel, um den ggT zweier ganzer Zahlen
berechnen zu können. Diese Berechnungsmethode heißt Euklidischer Algorithmus . Wir
fangen mit zwei Beispielen an. Zuerst berechnen wir den ggT von a = 322 und b = 266 .
Dazu führen wir sukzessive Divisionen mit Rest aus. Zuerst teilen wir a durch b , wobei der
Rest r entsteht. Dann teilen wir b durch r . In jedem weiteren Schritt teilen wir den vorletzten
Rest durch den letzten Rest:
322
=
1 · 266 + 56 =⇒ ggT(322, 266) = ggT(266, 56) (nach (3.5b))
266
=
4 · 56 + 42
=⇒ ggT(266, 56) = ggT(56, 42) (nach (3.5b))
56
=
1 · 42 + 14
=⇒ ggT(56, 42) = ggT(42, 14) (nach (3.5b))
42
=
3 · 14 + 0
=⇒ ggT(42, 14) = 14 (nach (3.4c))
Damit haben wir die folgende Gleichungskette
ggT(322, 266) = ggT(266, 56) = ggT(56, 42) = ggT(42, 14) = 14
Der letzte von 0 verschiedene Rest ist also der ggT. Die Frage, die sich hier stellt, ist also die,
ob wir immer erwarten können, dass der Rest bei diesem Verfahren irgendwann einmal 0 wird.
Für die Reste in unserem Beispiel gilt:
56 > 42 > 14 > 0 .
Mit jedem Schritt wird ein Rest echt kleiner als der vorhergehende, bleibt aber immer ≥ 0 .
Da es zwischen 56 und 0 nur endlich viele ganze Zahlen gibt, muss also der Rest nach endlich
vielen Schritten 0 werden.
Auch für größere Zahlen lässt sich der Euklidische Algorithmus ohne Probleme anwenden: Wir
wollen den ggT von a = 651402 und b = 632988 berechnen:
651402
=
1 · 632988 + 18414
632988
=
34 · 18414 + 6912
18414
=
2 · 6912 + 4590
6912
=
1 · 4590 + 2322
4590
=
1 · 2322 + 2268
2322
=
1 · 2268 + 54
2268
=
42 · 54 + 0
ggT(a, b)
=
54
Auch hier werden die Reste immer kleiner, und am Ende wird der Rest 0
18414 > 6912 > 4590 > 2322 > 2268 > 54 > 0 .
Wir schreiben im folgenden den euklidischen Algorithmus allgemein auf:
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Der euklidische Algorithmus (EA)
(3.6)
Seien a, b ∈
N . Die Folgen
(rk )k≥0 , (qk )k≥1
seien rekursiv definiert durch:
N
r0 := a , r1 := b. Für k ∈ 0 sei qk+1 der Quotient und rk+2 der Rest bei
Division von rk durch rk+1 , falls rk+1 6= 0 , d.h.
(⋆)
rk = qk+1 · rk+1 + rk+2
Dann gibt es eine Zahl n ∈
N
mit
0 ≤ rk+2 < rk+1
mit rn 6= 0 und rn+1 = 0 , wobei gilt
rn = ggT(a, b)
Bew: Wir führen wiederholte Division mit Rest aus. Dies ist solange möglich, wie die Zahl,
durch die geteilt ist, von 0 verschieden ist.
r0
r0
r1
r2
=
=
=
=
..
.
a
q1
q2
q3
, r1 = b
· r1 + r2 mit
· r2 + r3 mit
· r3 + r4 mit
0 ≤ r2 < r1
0 ≤ r3 < r2
0 ≤ r4 < r3
rk = qk+1 · rk+1 + rk+2
..
.
mit
0 ≤ rk+2 < rk+1
Annahme:
rk > 0 für alle k ≥ 2.
Dann folgt
b = r1 > r2 > r3 > r4 > . . . > rk > . . . > 0,
d.h. es gibt unendlich viele natürliche Zahlen < b. Widerspruch!
N
Folglich gibt es ein n ∈
mit rn+1 = 0 und rn 6= 0 . Zu zeigen bleibt, dass rn wirklich
der ggT von a und b ist. Dazu schreiben wir noch einmal das Divisionsschema auf:
(⋆)



































(1)
(2)
(3)
r0
r0
r1
r2
=
=
=
=
..
.
a
q1
q2
q3
, r1 = b
· r1 + r2 mit
· r2 + r3 mit
· r3 + r4 mit
0 < r2 < r1
0 < r3 < r2
0 < r4 < r3
(n − 2) rn−3 = qn−2 · rn−2 + rn−1 mit 0 < rn−1 < rn−2
(n − 1) rn−2 = qn−1 · rn−1 + rn mit 0 < rn < rn−1
(n)
rn−1 = qn · rn + rn+1
| {z }
=0
Mit Hilfe von (3.5b) folgt nacheinander aus den einzelnen Gleichungen:
(1)
(2)
(3)
ggT(a, b) = ggT(r0 , r1 ) = ggT(r1 , r2 ) = ggT(r2 , r3 ) = ggT(r3 , r4 ) =
(n−2)
(n−1)
(n)
. . . = ggT(rn−2 , rn−1 ) = ggT(rn−1 , rn ) = rn
Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen (3.4c) , da rn | rn−1 aus (n) folgt. Folglich
ggT(a, b) = rn .
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(3.7) BEM: a) In dem Divisionsschema (⋆) liest man den ggT als den letzten von Null
verschiedenen Rest ab.
b) Der EA (3.6) liefert eine Berechnungsmethode für den ggT von zwei natürlichen Zahlen
≥ 1 . Berücksichtigt man (3.4) , so lässt sich damit auch der ggT von zwei beliebigen ganzen
Zahlen, die nicht beide 0 sind, berechnen.
Eine Erweiterung des euklidischen Algorithmus liefert noch ein anderes wichtiges Ergebnis.
Dazu betrachten wir noch einmal das erste Beispiel auf der vorigen Seite zur Berechnung von
ggT(322, 266)
(1) 322
=
1 · 266 + 56
(2) 266
=
4 · 56 + 42
(3)
=
1 · 42 + 14
56
Wir lösen die Gleichung (3) nach dem ggT 14 auf:
(⋆) 14 = 56 − 1 · 42
Für 42 erhalten wir aus der Gleichung (2) 42 = 266 − 4 · 56 und setzen dies in (⋆) ein
und fassen zusammen
14
=
56 − 1 · (266 − 4 · 56)
(⋆⋆) 14
=
5 · 56 − 1 · 266
Als nächstes lösen wir (1) nach 56 auf und setzen 56 = 322 − 1 · 266 in (⋆⋆) ein:
14
=
5 · (322 − 1 · 266) − 1 · 266
14
=
5 · 322 − 6 · 266
14
=
5 · 322 + (−6) · 266
Damit haben wir ggT(322, 266) als ganzzahlige Linearkombination von 322 und 266
dargestellt. Dieses Ergebnis gilt auch allgemein.
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(3.8)
Der erweiterte euklidische Algorithmus (EEA)
N
Seien a, b ∈ . Wir wollen die Gleichungskette (⋆) aus dem Beweis von (3.6) von unten nach
oben , beginnend mit der Gleichung (n − 1), sukzessive nach den Resten auflösen und die Reste
einsetzen:
aus (n − 1):
(+) rn = rn−2 − qn−1 · rn−1 = 1 · rn−2 + (−qn−1 ) · rn−1
d.h. rn ist eine ganzzahlige Linearkombination von rn−1 und rn−2 .
aus (n − 2):
rn−1 = rn−3 − qn−2 · rn−2
in (+) eingesetzt:
d.h.
rn = rn−2 − qn−1 · rn−1 = rn−2 − qn−1 · (rn−3 − qn−2 · rn−2 )
rn = (1 + qn−1 · qn−2 ) · rn−2 − qn−1 · rn−3 .
Damit ist rn eine ganzzahlige Linearkombination von rn−2 und rn−3 .
Setzt man dieses Verfahren so fort, erhält man schließlich rn als ganzzahlige Linearkombination
von r1 und r0 , d.h. von b und a . Es gibt also x, y ∈ mit
Z
ggT(a, b) = rn = x · a + y · b .
(3.9) SATZ: Der ggT g zweier ganzer Zahlen a und b , die nicht beide 0 sind, lässt sich
als ganzzahlige Linearkombination von a und b darstellen, d.h. es gibt Zahlen x, y ∈
mit
g = xa + yb .
Z
Diese Koeffizienten x und y lassen sich mit dem EEA berechnen. Sie sind nicht eindeutig
bestimmt.
(3.10) SATZ: Sind a und b zwei ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind, so gilt
GT + (a, b) = T + (ggT(a, b)) .
Insbesondere ist also jeder gemeinsame Teiler von a und b ein Teiler des ggT’s von a und b .
Unsere Definition (3.3) des ggT’s als max(GT + (a, b)) macht nur für Zahlen Sinn, die nicht
beide 0 sind. Im Falle a = b = 0 gilt nämlich GT + (0, 0) = 0 nach (3.2c) , und diese
Menge besitzt kein größtes Element. Da Ausnahmen immer unschön sind, definieren wir (nicht
ohne guten Grund):
N
(3.11) DEF:
ggT(0, 0) := 0 .
Damit ist dann der ggT ohne Ausnahme für je zwei ganze Zahlen definiert, und die Sätze (3.4)
und (3.10) gelten für beliebige ganze Zahlen. Insbesondere ist auch
ggT(0, 0) = 0 = 1 · 0 + 1 · 0
eine ganzzahlige Linearkombination von 0 und 0 , so dass auch (3.9) ohne Einschränkung richtig
ist.
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(3.12) DEF: Zwei ganze Zahlen a und b heißen teilerfremd , wenn ggT(a, b) = 1 gilt.
BEM: Sind a und b teilerfremd, so sind 1 und −1 die einzigen gemeinsamen Teiler von a
und b , und es gilt GT + (a, b) = {1} .
(3.13) SATZ: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd, wenn es Zahlen
x, y ∈ gibt mit
xa + yb = 1 .
Z
(3.14) SATZ: Für a, b, c ∈
Z gelten die folgenden Aussagen:
a) a | c und b | c und ggT(a, b) = 1
b) a | (b · c) und ggT(a, b) = 1
=⇒
=⇒
(a · b) | c
a|c.
BEM: Ohne die Voraussetzung, dass die Zahlen a und b teilerfremd sind, gelten die Aussagen
des Satzes (3.14) i.a. nicht:
Gegenbeispiel zu a) : 4 | 12 und 6 | 12 , aber 4 · 6 = 24 ist kein Teiler von 12 .
b) 6 | (4 · 9) , aber 6 6 | 4 und 6 6 | 9 .
(3.15) SATZ: Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind, und es sei g := ggT(a, b) .
Dann gibt es ganze Zahlen a′ und b′ mit folgenden Eigenschaften:
a = ga′ , b = gb′ , ggT(a′ , b′ ) = 1 .
Q
läßt sich eindeutig in gekürzter Form darstellen,
(3.16) SATZ: Jede rationale Zahl r ∈
d.h. es gibt eindeutig bestimmte ganze Zahlen a und b mit
r =
Bemerkung:
a
, b > 0 , ggT(a, b) = 1 .
b
Dieses Ergebnis wurde schon für den Beweis von (1.24) benötigt!