Stochastische Analysis - Institut für Stochastik und Anwendungen

Blatt 1
Stochastische Analysis
SS 2006
Aufgabe 1. Seien B ein Wiener-Prozess. Berechnen Sie die Verteilung von B1 + B2 + B3 + B4 .
Aufgabe 2 (4. Momente der Zuwächse des Wiener-Prozesses). Zeigen Sie für den
Wiener-Prozess B, dass
E(|Bt − Bs |4 ) = 3|t − s|2
Aufgabe 3. Sei B ein Wiener-Prozess und c, T positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass die
folgenden auf [0, T ] definierten Prozesse ebenfalls Wiener-Prozesse darstellen:
(i) Xt := −Bt
(ii) Xt := BT −t − BT
(iii) Xt := cBt/c2
(iv) Xt := tB1/t falls t > 0, und X0 := 0
Aufgabe 4 (Approximation des Wiener-Prozesses mittels einer Irrfahrt).
Seien X1 , X2 , . . . unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit
(
1
mit Wahrscheinlichkeit 1/2
Xi =
−1 mit Wahrscheinlichkeit 1/2
P
(sog. Rademacher-Zufallsvariablen). Sei Sn (i/n) := √1n ij=1 Xj (i ∈ {0, . . . , n}). Setzen Sie
den auf {0, 1/n, 2/n, . . . , 1} definierten Prozess Sn mittels linearer Interpolation zu einem auf
ganz [0, 1] definierten stochastischen Prozess Sn fort und zeigen Sie, dass für jedes feste t ∈ [0, 1]
D
Sn (t) → B(t) (n → ∞), wobei B einen Wiener-Prozess darstelle.
Verwenden Sie diese Approximation, um einige Pfade eines Wiener-Prozess mittels des ComputerProgramms R (www.r-project.org) zu simulieren.
Aufgabe 5 (Starkes Gesetz der Großen Zahlen für den Wiener-Prozess). Zeigen Sie
Bt
= 0 P -f.s.
t→∞ t
lim
Aufgabe 6 (Ornstein-Uhlenbeck-Prozess). Zeigen Sie, dass durch Xt := e−αt Be2αt ein
Gauß-Prozess X = (Xt )t∈[0,∞) gegeben ist. Bestimmen Sie dessen Mittelwert- und Kovarianzfunktion.
PD Dr. Jürgen Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]