GW 34TU - friedrich wilke

G RUNDLAGEN W IRTSCHAFT
Prof. Dr. Friedrich Wilke
34
................
Kosten – Erlös – Gewinn
1 Kosten, Erlös und Gewinn im Überblick........................................... 1
2 Kostenfunktionen ............................................................................... 2
2.1 Fixe und variable Kosten ............................................................... 2
2.2 Lineare Kosten .............................................................................. 3
2.3 Ertragsgesetzliche Kosten............................................................. 5
3 Preis-Absatz- und Erlösfunktionen ................................................... 7
3.1 Nachfrage- und Preis-Absatz-Funktion ......................................... 7
3.2 Preiselastizität ............................................................................... 9
3.3 Horizontale Preis-Absatz-Funktion .............................................. 10
3.4 Fallende Preis-Absatz-Funktion .................................................. 10
4 Gewinnverlauf ................................................................................... 11
4.1 Lineare Kosten und horizontale PAF........................................... 12
4.2 Lineare Kosten und fallende PAF................................................ 12
4.3 Steigende Grenzkosten ............................................................... 16
5 Deckungsbeitrag ............................................................................... 16
6 Break-Even-Menge............................................................................ 17
Wiederholungsfragen ........................................................................... 19
Übungsaufgaben ................................................................................... 20
Lösungshinweise .................................................................................. 24
2012.06
www.friedrich-wilke.de
Cologne University of Applied Sciences -- Fachhochschule Köln -- Campus Gummersbach
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
1
Vorbemerkung
Das in marktwirtschaftlichen Unternehmen dominierende betriebliche Entscheidungskriterium
ist der Gewinn mit seinen beiden Komponenten Erlös und Kosten − oder Ertrag und Aufwand,
der Unterschied ist hier nebensächlich. Wir beschäftigen uns hier mit einigen elementaren
Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen, wobei insbesondere der Zusammenhang mit der Produktionsmenge interessiert. Diese Funktionen werden uns in vielen wirtschaftlichen Themenbereichen immer wieder begegnen.
Im Mittelpunkt steht allerdings nicht so sehr die eingehende Betrachtung der dahinter stehenden ökonomischen Sachverhalte und Probleme, sondern der Umgang mit dem ökonomischen
Werkzeugkasten. Es geht um die funktionale Betrachtungsweise, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften üblich ist. Aus der Mathematik wird eigentlich nicht viel mehr benötigt als der
Umgang mit elementaren Funktionen, vor allem mit linearen Funktionen. Hinzu kommen noch
die Parabel und Hyperbel. Wir bilden die 1. Ableitung (Steigung), bestimmen Extremwerte
(Minimum, Maximum), berechnen Schnittpunkte und erstellen entsprechende Diagramme.
Auch die Lösung einer quadratischen Gleichung kann erforderlich sein.
Das alles sind Werkzeuge, von denen man annehmen sollte, dass sie vertraut sind. Meine Erfahrung indessen zeigt ein anderes Bild. Wenn das x der x-Achse nunmehr als „Menge“ interpretiert wird, wenn auf der y-Achse plötzlich nicht mehr „y“, sondern „p“ oder „K“ erscheint,
dann herrscht schnell Verwirrung, und die 1. Ableitung einer Geraden wird zum Problem. Dazu mag auch beitragen, dass eine Steigung nun „Grenzkosten“ und „Grenzerlösen“ heißt,
dass die Hyperbelform eine „Kostendegression“ anzeigt, dass der Schnittpunkt zweier Geraden eine „Gewinnschwelle“ ist und die Elastizität das Kundenverhalten beschreibt. Funktionen
und ihre Parameter sind nicht länger abstrakte Dinge, sondern erhalten konkrete inhaltliche
Bedeutung. Sie werden nicht nur in der ökonomischen Theorie benötigt, sondern in der unternehmerischen Praxis auch tatsächlich verwendet.
1 Kosten, Erlös und Gewinn im Überblick
Die zentralen Aktivitäten von Unternehmen und ihre Verflechtungen mit der Umwelt lassen
sich durch einige Variable und Funktionen ausdrücken.
Abbildung 1: Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen im Überblick
Kernprozess von Unternehmen ist die Produktion von Gütern, meist um Gewinne zu erwirtschaften. Von „außen“ beziehen sie Mengen an Produktionsmitteln (r) für die Preise (q) entrichtet werden. Dabei wird die Einkaufsmenge (Nachfrage) wohl auch vom Preis abhängen:
Faktor-Nachfragefunktion:..............r = f(q)
Produktion bedeutet Umwandlung der Produktionsmittelmengen (r) in andere Gütermengen
(x). Durch Verbrauch und Abnutzung entstehen Kosten (K).
Produktionsfunktion: ......................x = f(r)
Kostenfunktion: ...............................K = f(x)
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
2
Die hergestellten Mengen werden zu bestimmten Preisen verkauft. Dabei sind Verkaufspreis
(p) und Absatzmenge (x) im Allgemeinen wechselseitig voneinander abhängig.
Nachfragefunktion (oder Preis-Absatz-Funktion): .. x = f(p) ...... oder auch .......... p = f(x)
Durch Verkauf entsteht Erlös (Preis x Menge = Umsatz). Zieht man vom Erlös (E) die Kosten
(K) ab, so erhält man den Gewinn (oder auch einen Verlust). Beide Größen variieren mit der
Menge.
Erlösfunktion: ..................................E = f(x)
Gewinnfunktion: ..............................G = f(x) = E(x) − K(x)
Alle untereinander verflochten Funktionen liefern in einer gemeinsamen Sichtweise ein erstes,
einfaches Unternehmensmodell.
2 Kostenfunktionen
2.1 Fixe und variable Kosten
Kostenfunktion beschreiben, wie sich Kosten mit der Produktionsmenge verändern. Kosten
sind der (in Geld bewertete) Verzehr an Produktionsmitteln. Insofern kann man Kostenfunktionen auch aus Verbrauchsfunktionen (Produktionsfunktionen) in Verbindung mit den Preisen
der eingesetzten Produktionsmittel herleiten. Darauf sei aber nicht weiter eingegangen. Wir
gehen gleich zur Darstellung typischer Kostenverläufe über.
Abbildung 2: Fixe und variable Kosten
Kosten
Kosten
überproportionale K.
fixe Kosten
proportionale K.
unterproportionale K.
Menge
Menge
Innerhalb der Kosten kann man zwischen fixe Kosten und variable Kosten unterscheiden. Kriterium ist die Mengenabhängigkeit1.
• Die fixen Kosten (Kf) sind unabhängig von der Produktionsmenge und werden durch eine
Parallele zur Mengenachse dargestellt.
• Die variablen Kosten (Kv) können sich proportional, überproportional und unterproportional
mit der Menge verändern.
Aus der Kombination (Zusammensetzung) dieser Varianten können mehrere verschiedene
Typen von Kostenverläufen konstruiert werden. Die zwei „reinen“ Typen sind
• der lineare Kostenverlauf und
• der ertragsgesetzliche Kostenverlauf.
Weitere Typen (Mischformen) sind beispielsweise die sprungfixen Kosten und der Fall der zuerst linear dann (in der Nähe der Kapazitätsgrenze) überproportional steigenden Kosten.
1 Auch die Höhe der fixen Kosten kann sich selbstverständlich verändern – wie alles im ökonomischen
Leben – aber eben nicht, weil die Produktionsmenge steigt oder fällt. So zählt beispielsweise die Kraftfahrzeugsteuer zu den fixen Kosten. Sie kann sich ändern, variiert aber nicht mit der Kilometerleistung.
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
3
Beide „reinen“ Typen werden in den nachfolgenden Abbildungen und mit konkreten Zahlenbeispielen näher beschrieben. Dabei interessieren nicht allein die Gesamtkosten, sondern
auch die Stückkosten (k) und nicht zuletzt die Grenzkosten (K´).
K = Kv + Kf
K = Gesamtkosten
k = kv + kf
k = Stückkosten
k=
K
x
kv =
Kv
x
kf =
Kf
x
Kv = variable Gesamtkosten
Kf = fixe Gesamtkosten
kv = variable Kosten pro Stück
kf = fixe Kosten pro Stück
K´=
dK
dx
K´ = Grenzkosten
Abbildung 3: Grenzkosten und Stückkosten
In grafischen Darstellungen kann man auf
einen Blick sehr schnell einschätzen, ob
bei einer bestimmten Menge die Grenzkosten oder Stückkosten höher sind − und
auch ob sie steigen oder fallen, und zwar
durch Vergleich von zwei Winkeln.
Kosten
P
In einem Punkt P auf der Kostenkurve
werden die Grenzkosten durch die Steigung der Funktion wiedergegeben,
α
und die Höhe der Stückkosten lässt sich
anhand der Steigung eines Fahrstrahls
aus dem Ursprung beurteilen.
tan α = Grenzkosten (K´)
tan β = Stückkosten (k)
β
Menge
Für die Kostenanalyse sind zwei Mengen von Bedeutung, und zwar das Betriebsoptimum
(BO) und das Betriebsminimum (BM)
•
Das Betriebsoptimum (BO) ist die zu minimalen Stückkosten hergestellte Menge.
•
Im Betriebsminimum (BM) wird zu minimalen variablen Stückkosten produziert.
BO und BM sind allein durch Kosten definiert. Ob das Unternehmen dabei einen Gewinn erwirtschaftet oder gar Verluste erleidet, bleibt offen, denn dazu müssten die Umsätze einbezogen werden. Im Hinblick auf Erlöse und Gewinnen kann eine ganz andere Herstellmenge optimal sein.
Zur Beschreibung des Kostenverlaufs kann neben den Grenzkosten (Steigung) auch die Kostenelastizität herangezogen werden.
Kostenelastizität =
Kostenänderung (in %)
Grenzkosten
=
Mengenänderung (in %)
Stückkosten
e=
dK / K K´
=
dx / x
k
Dabei ist zu beachten, dass die Kostenelastizität sich stets auf einen konkreten Punkt (K;x)
der Kostenkurve bezieht und normalerweise für jeden Punkt unterschiedlich ist, auch dann,
wenn die Kostenfunktion eine Gerade ist und überall dieselbe Steigung besitzt1.
2.2 Lineare Kosten
Lineare Kosten sind der einfachste Fall, und sie werden uns noch ausgiebig beschäftigen,
insbesondere weil sie in der Praxis nahezu ausschließlich unterstellt werden (vgl. Abbildungen
4).
1 Ausnahme: Lineare Kosten ohne Fixkosten (Ursprungsgerade) haben unabhängig von der Steigung
überall eine Kostenelastizität von genau 1 (reine proportionale Kosten).
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
4
Abbildung 4: Lineare Kosten
K = Kf + Kv
K =mx + b
k = kf + kv
k = m + b/x k = 120:x + 20
K´= dK/dx
K´= m
K = 20x + 120
Kf = b = 120
Kv = mx = 20x
kf = 120:x
kv = K´= 20
Abbildung a: Gesamtkosten
K
350
K
300
Tabelle a
x
Kf
Kv
k
0
120
0
120
1
120
20
140
2
120
40
160
3
120
60
180
4
120
80
200
5
120
100
220
6
120
120
240
7
120
140
260
8
120
160
280
9
120
180
300
10
120
200
320
250
200
Kv
150
Kf
100
50
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Abbildung b: Einzelkosten
Tabelle b
x
kf
100
kv
k
90
80
0
20,0
1 120,0
20,0 140,0
2
60,0
20,0
80,0
3
40,0
20,0
60,0
4
30,0
20,0
50,0
5
24,0
20,0
44,0
6
20,0
20,0
40,0
30
7
17,1
20,0
37,1
20
kv
8
15,0
20,0
35,0
10
kf
9
13,3
20,0
33,3
10
12,0
20,0
32,0
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70
60
50
40
k
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
5
Die Stückkosten (k fallen stetig, weil sich die konstanten Fixkosten auf eine größere Menge
verteilen (Kostendegression). Sie sind stets größer als die Grenzkosten, nähern sich diesen
aber mit steigender Menge.
Die Grenzkosten (K´) sind konstant und gleich den variablen Stückkosten (kv).
Die Kostenelastizität ist stets kleiner als 1 und nähert sich steigender Menge dem Wert 1.
Nur bei linearen Kosten gilt: Grenzkosten = variable Stückkosten
K´= kv.
Berechnungen
Die Parameter m und b einer linearen Kostenfunktion K = mx + b können berechnet werden,
wenn a) zwei Punkte oder b) ein Punkt und die Steigung oder c) ein Punkt und die Kostenelastizität bekannt sind.
Beispiel 1
Laut ADAC-Tabelle kostet das Auto MOBILUS 0,60 €/km bei einer jährlichen Fahrleistung
von 15.000 km, bei 20.000 km dagegen nur 0,50 €/km. Die Kostenfunktion sei linear.
Aus den beiden Gleichungen ....................15.000·0,60 = 9.000 = m·15.000 + b
20.000·0,50 = 10.000 = m·20.000 + b
folgt ............................................................m = 0,20 und b = 6.000
also ............................................................K = 0,2x + 6.000
MOBILUS kostet unabhängig von der Fahrleistung 6.000 € und zusätzlich 20 Cent pro Kilometer.
Beispiel 2
Im Monat August werden 50 Fertiggaragen zu Gesamtkosten von 150.000 € gefertigt. Die
Materialkosten, Fertigungslöhne und andere variable Kosten belaufen sich dabei auf 2.000
€ pro Garage und sind konstant – damit ist die Kostenfunktion linear.
Bei linearen Kosten gilt kv = K´, also..........m = 2.000
Aus der Gleichung .....................................150.000 = 2.000·50 + b
folgt ...........................................................b = 50.000
also ............................................................K = 2.000x + 50.000
Beispiel 3
Derzeit kostet die Herstellung von 20.000 Flaschen 300 €. Die Kostenelastizität in der
Ausgangslage sei 0,8. Die Kostenfunktion ist eine Gerade.
Mit Hilfe der Elastizität kann ein zweiter Punkt berechnet werden. So wird beispielsweise
ein Mengenzuwachs von 50 % die Kosten um das 0,8-fache, also um 40 % erhöhen. (Man
kann statt 50 % auch irgendeinen anderen Prozentsatz nehmen.) Also wird die Herstellung
von 30.000 Flaschen insgesamt 420 € kosten. Dann geht weiter es wie im Beispiel 1 (2
Punkte).
Aus der Elastizität können bei bekannten Stückkosten auch direkt die Grenzkosten berechnet werden. Dann geht es weiter wie im Beispiel 2 (Punkt-Steigung).
Stückkosten in der Ausgangslage ............... k = 300 : 20.0000 = 0,015.
Aus e =
K´
folgt ......................................... K´ = e·k = 0,8·0,015 = 0,012
k
Sie können auch so fortfahren: Bei linearen Kosten gilt K´ = kv. Das ergibt bei x = 20.000
Flaschen Kv = 0,012·20.000 = 240. Also betragen die Fixkosten 300 – 240 = 60.
Wie auch immer Sie rechnen, das Ergebnis lautet: K = 0,012x + 60
2.3 Ertragsgesetzliche Kosten
Ertragsgesetzliche Kosten steigen zuerst unterproportional dann überproportional (Abbildung
5). Dieser Typ spielt in der Wirtschaftstheorie oftmals eine große Rolle. Er ist das Spiegelbild
der ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion.
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
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Abbildung 5: Ertragsgesetzliche Kosten
K = 504 + 240x - 24x2 + x3
K = Kf + Kv
2
k = 504/x + 240 - 24x + x
k = kf + kv
Kf = 504
Kv = 240x - 24x2 +x3
kf = 504:x
kv = 240 - 24x + x2
2
K´= 240 - 48x + 3x
K´= dK/dx
Abbildung a: Gesamtkosten
4000
3500
K
3000
Kv
Tabelle a
x
Kf
Kv
K
0
504
0
504
2
504
396
900
4
504
640 1.144
6
504
792 1.296
8
504
896 1.400
10
504 1.000 1.504
12
504 1.152 1.656
14
504 1.400 1.904
16
504 1.792 2.296
18
504 2.376 2.880
20
504 3.200 3.704
2500
2000
1500
1000
500
0
kf
x
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
BM BO
GKM
Tabelle b
x
Kf
Abbildung b: Einzelkosten
kv
k
K´
0
2 252,0 198,0 450,0
300
240
156,0
4 126,0 160,0 286,0
96,0
6
84,0 132,0 216,0
60,0
8
63,0 112,0 175,0
48,0
10
50,4 100,0 150,4
60,0
12
42,0
96,0 138,0
96,0
14
36,0 100,0 136,0
156,0
16
31,5 112,0 143,5
240,0
18
28,0 132,0 160,0
348,0
20
25,2 160,0 185,2
480,0
K´
250
200
k
150
kv
100
50
kf
0
x
0
2
4
6
8
10
GKM
GKM = Grenzkostenminimum
BM = Betriebsminimum
BO = Betriebsoptimum
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12
14
16
BM BO
bei x = 8,0
bei x = 12,0
bei x = 13,4
18
20
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
7
Grenzkosten und auch Stückkosten zeigen beide einen U-förmigen Verlauf, sie steigen also
nach Überschreitung ihres Minimums wieder an. Zuerst wird das Grenzkostenminimum (GKM)
erreicht (Minimum der 1. Ableitung = Wendepunkt der Kostenkurve). Anschließend schneidet
die Grenzkostenkurve „von unten“ zuerst die Kurve der variablen Stückkosten im Betriebsminimum (BM) und anschließend die Kurve der Stückkosten im Betriebsoptimum (BO).
Vor dem Betriebsoptimum sind die Grenzkosten kleiner als die Stückkosten, danach sind sie
größer. Im BO sind – nur bei ertragsgesetzlichen Kosten – die Grenzkosten gleich den Stückkosten (K´ = k). Hier nimmt die Kostenelastizität den Wert 1 an.
Auf eine vertiefende mathematische Darstellung ertragsgesetzlicher Kosten wollen und können wir an dieser Stelle verzichten. In der betrieblichen Praxis geht man nahezu ausschließlich von linearen Kosten aus. Oft ist man zufrieden, wenn eine vernünftige Zuordnung der
Kosten zu den Kostenträgern (Produkte) und eine Trennung in fixe und variable Kostenbestandteile hinreichend gelingen. Zwar werden manchmal auch steigende Grenzkosten berücksichtigt, doch werden entsprechende Funktionen nach meiner Kenntnis dabei nie berechnet.
Zusammenfassung der wichtigsten Unterschiede beider Kostentypen:
Lineare Kosten
Ertragsgesetzliche Kosten
variable Kosten
Kv
steigen proportional
steigen erst unter-, dann überproportional
variable Stückkosten
kv
sind konstant
verlaufen U-förmig
Stückkosten
k
fallen stetig
verlaufen U-förmig
Grenzkosten
K´
sind konstant
verlaufen U-förmig
K´ = kv überall
K´ ≠ kv (Ausnahme BM)
K´ = kv?
Betriebsoptimum
BO an der Kapazitätsgrenze
vor der Kapazitätsgrenze
3 Preis-Absatz- und Erlösfunktionen
3.1 Nachfrage- und Preis-Absatz-Funktion
Erlös (Umsatz) ist Preis mal Menge (E = p·x). Bevor wir die Erlösfunktion behandeln, müssen
wir einen Zwischenschritt einlegen, denn zwischen Preis und Menge gibt es eine wechselseitige Abhängigkeit. Dazu wird eine Nachfragefunktion (NEF) oder eine Preis-Absatz-Funktion
(PAF) benötigt.
Nachfragefunktion (NEF) und Preis-Absatz-Funktion (PAF):
x = f(p)
oder auch Umkehrfunktion:
p = f(x)
Beide, NEF und PAF, beschreiben den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Preis p
eines Gutes und der mengenmäßigen Nachfrage x nach diesem Gut − unter sonst gleichen
Umständen (Bedarfsstruktur, Einkommen usw.). Beide sind auf den ersten Blick weder in der
algebraischen noch in der grafischen Darstellung unterscheidbar. Der Unterschied ist allein
die Frage, was mit „Menge“ gemeint ist.
NEF: Nachfragemenge ist die auf einem Markt von allen gewünschte Menge, also auch die
von allen Unternehmen zusammen erreichte oder erreichbare Verkaufsmenge auf einem relevanten Markt. (Marktpotential/Marktvolumen). Diese NEF hat im Normalfall eine negative Steigung. Nachfragefunktionen werden insbesondere in der VWL zur Erklärung von Preisbildungsprozessen verwendet.
PAF: Absatzmenge ist nur die von einem einzelnen Unternehmen geplante oder realisierte
individuelle Verkaufsmenge (Absatzpotential, Absatzvolumen). Sie ist üblicherweise
kleiner als die Gesamtmenge, zumindest sofern mehrere Unternehmen vorhanden
sind. Nur im Monopol sind beide Größen identisch, und nur dann sind NEF und PAF
ebenfalls identisch.
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
8
Fragt ein Unternehmen, welche Menge es absetzen kann, wenn es diesen oder jenen Preis
fordert, so ist die Preis-Absatz-Funktion (PAF) relevant. Wir beschäftigen uns hier mit den individuellen betrieblichen Größen und legen daher die PAF zugrunde. Das Mengensymbol x
steht hier also für die individuelle Absatzmenge einer Unternehmung.
Abbildung 6: Preis-Absatz- und Erlösfunktionen
a) Horizontale PAF
PAF: p = const.
b) Fallende PAF (hier lineare PAF)
E´= p
p = 40
PAF: p = mx + b
E´= 40
E´= 2m + b
p = -20x + 200
Abbildung a: Horizontale PAF
E´= -40x + 200
Abbildung b: Fallende (lineare) PAF
80
250
200
60
PAF
150
PAF: p = E´
E
40
100
50
20
E`
0
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
-50
E = px
E = 40x
Erlösfunktion
x
0
400
Erlösfunktion
E = px = mx2 + bx
E = -20x2 + 200x
Erlösmaximum
E
600
E
500
300
Erlös
Erlös
400
200
300
200
100
100
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
9 10
x
0
1
2
3
4
5
xE
Tabelle a
x
p
E
E´
Tabelle b
x
p
E
E´
0
40
0
40
0
200
0
200
1
40
40
40
1
180
180
160
2
40
80
40
2
160
320
120
3
40
120
40
3
140
420
80
4
40
160
40
4
120
480
40
5
40
200
40
5
100
500
0
6
40
240
40
6
80
480
-40
7
40
280
40
7
60
420
-80
8
40
320
40
8
40
320
-120
9
40
360
40
9
20
180
-160
10
40
400
40
10
0
0
-200
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6
7
8
9 10
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
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Sind die Achsenbezeichnungen in den Preis-Mengen-Diagrammen vertauscht?
In der grafischen Darstellung der Funktion x = f(p) würde man der mathematischen Konvention entsprechend die Menge x als unabhängige Variable auf der y-Achse und den Preis
p als abhängige Variable auf der x-Achse abtragen. Hier steht aber die Menge x grundsätzlich auf der x-Achse – und somit p auf der y-Achse, entspricht also der Umkehrfuktion p =
f(x).
Das mag vielen gewöhnungsbedürftige erscheinen, ist aber für die weiteren Darstellungen
mit den Kosten und Erlösen zweckmäßiger und lässt sich auch ökonomisch rechtfertigen,
denn Preis und Menge sind nicht einseitig, sondern wechselseitig voneinander abhängig.
Eine wichtige Orientierungsgröße für die Absatz- und Umsatzplanung eines Unternehmens ist
sicherlich die Gesamtnachfrage (Marktanteil). Auch das Verhalten der Konkurrenten (bei
Preissenkungen oder Preisanhebungen) wird eine Rolle spielen. Beide Faktoren haben Einfluss auf die Gestalt der PAF. Insofern kann eine PAF auch ganz „merkwürdige“ Formen annehmen. So gibt es beispielsweise „einfach geknickte“ und „doppelt geknickte“ PAF. Hier behandeln wir nur die zwei folgenden Elementartypen mit den daraus ableitbaren Erlösfunktionen. Das sind
• die horizontale PAF und
• die fallende PAF.
Dahinter stehen zwei verschiedene Einschätzungen und Einstellungen einer Unternehmung
zu einer eigenständigen Preispolitik. Ein Beispiel mag die unterschiedlichen Entscheidungssituationen verdeutlichen.
Beispiel:
Sie planen den Verkauf von Aktien. Wie kann der Zusammenhang zwischen Ihrer Verkaufsmenge und dem Preis (Aktienkurs) aussehen?
Im ersten Fall besitzen Sie nur ein paar wenige Aktien einer AG. Sie können ruhig davon
ausgehen, dass Ihre kleine Verkaufsmenge den Aktienkurs nicht beeinflusst. Also ist der
Aktienkurs in Ihrer Planung eine von außen vorgegebene Größe. So etwas nennen wir Datum1. Sie können dann lediglich entscheiden, welche Menge Sie zum herrschenden Kurs
gerne verkaufen möchten. Dieses Verhalten heißt Mengenanpassung. Weil der Preis in
Ihrer Planung eine konstante Größe ist, hat Ihre PAF im Diagramm einen horizontalen Verlauf (Abbildung 6 links-oben).
Im zweiten Fall besitzen Sie ein sehr großes Aktienpaket einer AG. Sie müssen nun damit
rechnen, dass Ihre Verkaufsmenge sehr wohl einen spürbaren Einfluss auf den Aktienkurs
ausübt. Der Preis ist in Ihrer Planung kein Datum, sondern eine Variable, wobei Sie normalerweise unterstellen werden, dass eine größere Verkaufsmenge den Kurs drückt. Umgekehrt formuliert: Eine größere Menge werden Sie vermutlich nur zu einem geringeren
Preis verkaufen können. Im Preis-Mengen-Diagramm zeigt Ihre PAF nun einen fallenden
Verlauf (Abbildung 6 rechts-oben).
3.2 Preiselastizität
Eine PAF beschreibt das Verhalten der Kunden umfassend bei allen Preisforderungen. Bezogen auf einen konkreten Punkt (Ausgangslage) wird die Mengenreaktion der Nachfrager (Wirkung) als Folge einer Preisänderung (Ursache) durch die Preiselastizität (der Nachfrage) gemessen. Die Preiselastizität ist im Normalfall negativ. Der absolute Betrag zeigt, wie stark
(empfindlich) die Reaktion ist.
Preiselastizität =
Mengenänderung (in %)
Preisänderung (in %)
e=
dx / x dx x
=
:
dp / p dp p
1 Ein Datum ist eine ökonomische Größe, die in der eigenen Planung als von außen vorgegeben und
durch eigene Aktionen unbeeinflussbar angenommen wird. Alle Daten zusammen bilden den Datenkranz der Planung. (Selbstverständlich kann sich ein Datum ändern, aber nicht als Folge eigener Aktionen.)
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10
Beispiele:
Eine Preiselastizität von –1,2 bedeutet, dass eine Preiserhöhung um einen bestimmten
Prozentsatz (z.B. 3%) einen relativen Mengenrückgang um das 1,2-fache (hier: 3,6%) bewirkt (elastische Reaktion).
Die Preiserhöhung sei 5%. Als Folge davon nimmt die Nachfragemenge um 3% ab. Die
Preiselastizität ist dann –0,6 (unelastische Nachfrage).
Die Preiselastizität bezieht sich stets auf einen konkreten Punkt (p;x) der PAF und ist im Allgemeinen nicht konstant ist. – auch nicht bei einer konstanten Steigung.
3.3 Horizontale Preis-Absatz-Funktion
Eine horizontale PAF drückt aus, dass ein Unternehmen den herrschenden Marktpreis als ein
Datum betrachtet und die Strategie der Mengenanpassung betreibt (Abbildung 6 links). Bei
einer höheren Preisforderung schwindet der eigene Absatz auf Null. Bei einem niedrigeren
Preis kann die gesamte (winzige) Menge abgesetzt werden; dies ist aber auch zum herrschenden Marktpreis möglich.
In diesem Fall ist die Erlösfunktion eine Ursprungsgerade mit dem Preis als Steigung (=
Grenzerlös). Nur bei einem konstanten Preis ist E´ = p. Das Erlösmaximum liegt an der Kapazitätsgrenze. Die Preiselastizität ist unendlich; die PAF ist vollkommen elastisch.
3.4 Fallende Preis-Absatz-Funktion
Eine fallende PAF drückt aus, dass ein Unternehmen davon ausgeht, dass es eine höhere
Menge nur zu einem geringeren Preis absetzen kann. Stellvertretend für die vielen möglichen
Funktionsverläufe unterstellen wir den einfachsten Fall; das ist eine linear fallende PAF (Abbildung 6 rechts).
Dann ist die Erlösfunktion eine gleichseitige Parabel mit einem Maximum in der Mitte Die
Grenzerlösfunktion ist ebenfalls linear und hat dem absoluten Betrag nach eine doppelt so
große Steigung wie die PAF.
PAF.............................................................................. p = mx + b, wobei m < 0
Erlös ............................................................................ E = p·x = (mx + b)x = mx2 + bx
Grenzerlös ................................................................... E´ = 2mx + b
Aus der Bedingung für das Erlösmaximum ................. E´ = 0
folgt .............................................................................. xE = −
b
1
und pE = b
2m
2
Abbildung 7: Elastizitätsbereiche
Die Preiselastizität ist negativ – wie die Steigung, im Gegensatz dazu aber nicht konstant, sondern in jedem Punkt unterschiedlich
(von 0 bis ∞ ).
Preis
elastischer
Bereich
e=–7
• In der Mitte hat die PAF eine Elastizität von
genau –1,
e=–3
PAF
Erlösmaximum e = –1
• darüber ist die PAF elastisch (absoluter Betrag von e > 1),
unelastischer
Bereich
• darunter unelastisch (absoluter Betrag von
e < 1).
e=–5/3
e=–3/5
e=–1/3
e=–1/7
Menge
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11
Berechnungen
Die Parameter m und b einer linearen PAF p = mx + b können berechnet werden, wenn a)
zwei Punkte oder b) ein Punkt und die Steigung oder c) ein Punkt und die Preiselastizität bekannt sind1. Dann kann auch die Erlösfunktion mit ihrem Maximum bestimmt werden.
Beispiel 1
Für ein Oldie-Konzert mietet der Veranstalter die Stadthalle. Sie darf maximal mit 1.200
Personen besetzt werden. Er nimmt an, dass niemand bereit ist, 100 € (und mehr) zu bezahlen. Bei einem Eintrittspreis von 75 € kann er 500 Karten verkaufen. Die PAF sei linear.
Bei welchem Preis ist die Stadthalle ausverkauft? Welcher Preis bringt den größten Umsatz?
Aus den beiden Gleichungen ................. 100 = m·0 + b
75 = m·500 + b
folgt ......................................................... b = 100 und m = –0,05
PAF......................................................... p = –0,05x + 100
Erlösfunktion ........................................... E =p·x = –0,05x2 + 100x
Grenzerlösfunktion ................................. E´ = –0,1xE + 100
Aus ......................................................... E´ = 0, also –0,1xE + 100 = 0
folgt das Umsatzmaximum ..................... xE = 1.000 und pE = 50
Für .......................................................... x = 1.200 ist p = 40
Die Stadthalle ist ausverkauft bei einem Preis von 40 € (und weniger). Das bringt Einnahmen von 48.000 €. Der größte Umsatz beträgt 50.000 € und wird bei einem Preis von 50 €
mit 1.000 Besuchern erzielt.
Beispiel 2
Derzeit werden zum Preis von 12 € monatlich 50.000 Flaschen verkauft. Aus Marketingstudien ist für diese Ausgangslage eine Preiselastizität von –0,4 bekannt. Die PAF ist
linear.
Mit Hilfe der Elastizität kann ein zweiter Punkt berechnet werden. So wird beispielsweise
eine Preisanhebung von 25 % die Absatzmenge um 0,4-fache, also um 10 % reduzieren.
(Man kann statt 10 % auch irgendeinen anderen Prozentsatz nehmen.) Also werden zum
Preis von 15 € nur noch 45.000 Flaschen verkauft. Dann geht es weiter wie im Beispiel 1.
Aus den beiden Gleichungen ................. 12 = m·50.000 + b
15 = m·45.000 + b
folgt ......................................................... m = –0,0006 und b = 42
PAF......................................................... p = –0,0006x + 42
4 Gewinnverlauf
Eines der wichtigsten Ziele privater Unternehmen ist das Gewinnstreben; Kostendeckung
kann allenfalls ein Minimalziel darstellen. Der Gesamtgewinn (G) ist die Differenz aus Erlös
und Kosten, der Stückgewinn (g) ist der Preis abzüglich der Stückkosten.
G = E–K
g = p–k
G = g⋅x
Gewinn
Stückgewinn
Gewinn
= Erlös – Kosten
= Preis – Stückkosten
= Stückgewinn · Menge
Gewinnmaximum
Das gewinnmaximale Menge (kurz: Gewinnmaximum) liegt dort, wo die 1. Ableitung der
Gewinnfunktion (Grenzgewinn) gleich Null ist. Dann stimmen auch Grenzerlös und Grenzkosten überein.
1 Die Methoden sind von der Bestimmung der Kostenfunktion her bereits vertraut. Auf b) verzichten wir
hier.
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12
Aus .................................................................... G = E – K
folgt als notwendige Bedingung:........................ G´ = E´ – K´ = 0
oder ................................................................... E´ = K´
Dies gilt generell, und zwar unabhängig von der Gestalt der PAF. Bei konstanten Preisen (horizontale PAF) gilt wegen E´ = p die Grenzkosten-Preis-Regel.
Gewinnmaximum bei konstanten Preisen: ........ p = K´
Aus der Kombination von zwei Kostenkurven (linear und ertragsgesetzlich) und zwei Erlöskurven (linear und parabelförmig) ergeben sich eigentlich vier Grundtypen. Die ertragsgesetzlichen Kosten wollen wir allerdings nicht weiter behandeln. So verbleiben nur noch die beiden
Fälle mit linearen Kosten.
4.1 Lineare Kosten und horizontale PAF
Die Kombination aus linearen Kosten und horizontaler PAF ist der einfachste Fall (vgl. Abbildungen 8). Bei kleinen Mengen müssen Verluste hingenommen werden, weil wegen der Fixkosten die Erlöse zunächst noch kleiner sind als die Gesamtkosten. Ab einer bestimmten
Menge entstehen Gewinne. Diese Gewinnschwelle heißt Break-Even-Punkt (B) und wird etwas später noch ausführlicher behandelt.
Rechenbeispiel (Abbildung 8)
Gegeben sind: ........................................................... p = 40 und K = 20x + 120
Aus der Bedingung für die Gewinnschwelle .............. E= K
folgt ............................................................................ 40 = 20xB + 120
und die Break-Even-Menge ....................................... xB = 6
Das Erlösmaximum und auch das Gewinnmaximum liegen an der Kapazitätsgrenze.
4.2 Lineare Kosten und fallende PAF
Die Kombination aus linearen Kosten und linear fallender PAF sieht etwas komplizierter aus.
Auch hier ergibt sich eine Gewinnschwelle. Die Gewinne erreichen aber später ein Maximum
und nehmen dann wieder ab.
Das Gewinnmaximum wird vor dem Umsatzmaximum erreicht. Es liegt bei jener Menge, wo
sich Grenzerlös- und Grenzkostenkurve schneiden (Punkt C in Abbildung 9 unten). Dieser
Punkt wird auch als COURNOT´scher Punkt bezeichnet. Die gewinnmaximale Preis-MengenKombination wird durch die Koordinaten von Punkt G auf der PAF repräsentiert.
Rechenbeispiel (Abbildung 9)
Gegeben sind:
PAF:
p = −20x + 200
Kosten:
K = 40x + 140
Wir bestimmen zunächst E, danach E´ und K´
E = p⋅x = − 20x2 + 200x
E´ = − 40x + 200
K´= 40
Aus der Bedingung für das Gewinnmaximum (E´= K´) folgt
− 40xM + 200 = 40
xG = 4
Diese Menge in die PAF eingesetzt ergibt den gewinnmaximierenden Preis
pG = −20·4 + 200
pG = 120
Aus dieser Preis-Mengen-Kombination lassen sich dann leicht die Höhe der Erlöse, der
Kosten und der Gewinne (insgesamt und pro Stück) berechnen.
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13
Abbildung 8: Lineare Kosten und horizontale PAF
p = 40
(PAF)
Abbildung a
E = 40x
500
E´ = 40
Kf = 120
Erlös
400
Kv = 20x
K = 120 + 20x
300
kv = K´= 20
B
k = 20 + 120:x
G = -120 + 20x
Kosten
200
g = -120:x + 20
Tabelle a
x
E
Gewinn
100
Kf
Kv
K
G
1
40
120
20
140
-100
2
80
120
40
160
-80
3
120
120
60
180
-60
4
160
120
80
200
-40
5
200
120
100
220
-20
6
240
120
120
240
0
7
280
120
140
260
20
8
320
120
160
280
40
9
360
120
180
300
60
100
10
400
120
200
320
80
90
0
0
1
2
x
p
5
6
7
8
9
10
x
-100
-200
B = Break-Even-Punkt
Abbildung b
Stückkosten
70
E´
K´
0
40
40,0
20,0
1
40
40,0
20,0
140,0
-100,0
2
40
40,0
20,0
80,0
-40,0
3
40
40,0
20,0
60,0
-20,0
4
40
40,0
20,0
50,0
-10,0
5
40
40,0
20,0
44,0
-4,0
6
40
40,0
20,0
40,0
0,0
7
40
40,0
20,0
37,1
2,9
8
40
40,0
20,0
35,0
5,0
9
40
40,0
20,0
33,3
6,7
10
40
40,0
20,0
32,0
8,0
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k
4
xB
80
Tabelle b
3
g
60
50
30
B
Preis
40
Grenzkosten
20
10
0
-10 0
-20
-30
-40
1
2
3
4
5
6
xB
Stückgewinn
7
8
9
10
x
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
14
Abbildung 9: Lineare Kosten und fallende PAF
p = 200 - 20x
Abbildung a
2
E = 200x - 20x
E´= 200 - 40x
800
Kf = 240
Kosten
Kv = 40x
600
K = 240 + 40x
kv = K´= 40
k = 40 + 240/x
400
2
G = -240 + 160x - 20x
B
Erlös
g = -240:x + 160 - 20x
200
Tabelle a
x
E
0
Kf
Kv
K
G
G
0
240
0
240
-240
1 180
240
40
280
-100
2 320
240
80
320
0
3 420
240
120
360
60
4 480
240
160
400
80
5 500
240
200
440
60
6 480
240
240
480
0
7 420
240
280
520
-100
8 320
240
320
560
-240
9 180
10
0
240
360
600
-420
240
400
640
-640
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xG
-200
Gewinn
-400
Abbildung b
240
Tabelle b
x
p
E´
G
C
k
g
200
200,0
40,0
1 180
160,0
40,0 280,0 -100,0
2 160
120,0
40,0 160,0
0,0
3 140
80,0
40,0 120,0
20,0
pG
4 120
40,0
40,0 100,0
20,0
120
5 100
B
K´
0 200
0,0
40,0
88,0
12,0
6
80
-40,0
40,0
80,0
0,0
7
60
-80,0
40,0
74,3
-14,3
8
40 -120,0
40,0
70,0
-30,0
9
20 -160,0
40,0
66,7
-46,7
10
0 -200,0
40,0
64,0
-64,0
160
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G
80
k
E'
C
40
K´
0
0
= Break-Even-Punkt
= Gewinnmaximum
= Cournot´scher Punkt
PA
1
2
3
4
xG
-40
5
6
7
8
9
10
Stückgewinn
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
15
Abbildung 10: Ertragsgesetzliche Kosten und horizontale PAF
PAF: p = 175
E = 175x
K = 504 + 240x - 24x2 + x3
E´ = 175
K´ = 240 - 48x + 3x2
Break-Even-Menge:
xBEP:
G = -504 - 65x +24x2 - x3
Abbildung a
E = K oder G = 0
Gewinnmaximum:
xG:
4000
E´ = K´ oder G´ = 0
3500
3000
Erlös
Tabelle a
2500
x
E
K
G
0
0
504
-504
2
350
900
-550
4
700 1.144
-444
6
1.050 1.296
-246
8
1.400 1.400
0
10
1.750 1.504
246
12
2.100 1.656
444
14
2.450 1.904
546
16
2.800 2.296
504
18
3.150 2.880
270
20
3.500 3.704
-204
Kosten
2000
1000
G
p = E´
Gewinn
500
0
0
Tabelle b
x
B
1500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Abbildung b
K´
k
g
300
0
175,0 240,0
2
175,0 156,0
450,0
-275,0
4
175,0
96,0
286,0
-111,0
6
175,0
60,0
216,0
-41,0
Grenzkosten
8
175,0
48,0
175,0
0,0
10
175,0
60,0
150,4
24,6
12
175,0
96,0
138,0
37,0
14
175,0 156,0
136,0
39,0
16
175,0 240,0
143,5
31,5
18
175,0 348,0
160,0
15,0
20
175,0 480,0
185,2
-10,2
B
200
G
Preis
150
100
50
Stückgewinn
0
0
B
G
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Stückkosten
250
2
4
6
= Break-Even-Point
= Gewinnmaximum
8
10
12
14
bei xB = 8,0
bei xG = 14,5
16
18
20
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
16
Das Konstruktionsprinzip zur Bestimmung des Umsatz- und des Gewinnmaximums im Fall der
linear fallenden PAF wollen wir stichwortartig zusammenfassen.
Schritte zur grafischen Ableitung von Erlös- und Gewinnmaximum
Lineare PAF zeichnen
Menge halbieren und Grenzerlösgerade E´ zeichnen.
Schnittpunk von E´ mit der x-Achse ergibt die erlösmaximierende Menge.
Grenzkostenkurve K´ einzeichnen.
Schnittpunk von E´ und K´ ergibt die gewinnmaximierende Menge.
Für diese Mengen über die PAF (nicht über E´!) den Preis bestimmen.
4.3 Steigende Grenzkosten
Für den ertragsgesetzlichen Kostenverlauf ergeben sich methodisch keine neuen Aspekte,
weder für eine horizontale PAF (Abbildung 10).noch für eine fallende PAF.
Abbildung 11: Steigende Grenzkosten und fallende PAF
Es lässt sich in allen Fällen das oben genannte Konstruktionsprinzip anwenden.
240
Für das Gewinnmaximum ist allein der
Schnittpunkt von Grenzerlös und Grenzkosten relevant ist. Wie etwa die Grenzkosten vorher oder nachher verlaufen ist
dafür unerheblich. So kann man anstelle
der linearen auch nichtlineare („irgendwie“
steigende) Grenzkosten problemlos verwenden, also das Lösungsprinzip ohne
Schwierigkeiten beispielsweise auf einen
ertragsgesetzlichen Kostenverlauf übertragen: Man zeichnet im 3. Schritt einfach
eine andere Grenzkostenkurve, das ist
alles (vgl. Abbildung 11).
200
160
PAF
K´
Gewinnmaximum
120
Erlö smaximum
80
E'
40
C
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-40
5 Deckungsbeitrag
Gewinnstreben und Kostendeckung können auch mit Hilfe des Begriffs „Deckungsbeitrag“
formuliert werden. Grundlage ist die bekannte Trennung in fixe Kosten und variable Kosten.
Mit Deckungsbeitrag wird die Differenz zwischen produktspezifischen Erlösen und den variablen Kosten bezeichnet.
Der Deckungsbeitrag ist jener Betrag, der nach Abzug der variablen Kosten von den Erlösen
übrig bleibt und damit einen Beitrag zur Abdeckung der fixen Kosten liefert. Er wird manchmal
auch als Bruttogewinn bezeichnet.
DB =
db =
DB =
E – Kv
p – kv
db ⋅ x
DB = Gesamt-Deckungsbeitrag
db = Stück-Deckungsbeitrag
Die Gleichungen für den Gewinn und Stückgewinn lassen sich dann wie folgt modifizieren:
G = DB – Kf
g = db – kf
Entspricht der DB genau den Fixkosten, so ist das Minimalziel der Kostendeckung erreicht.
Gewinne entstehen erst, wenn der Deckungsbeitrag größer als die Fixkosten ist.
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
17
Beispiel:
Die fixen Kosten betragen 600 €, die variablen Stückkosten 3 €. Bei einer Menge von
1.000 Stück ergeben sich variable Gesamtkosten von 3.000 €, und die fixen Kosten pro
Stück liegen bei 0,60 €. Die totalen Kosten sind dann 3.600 € und 3,60 € pro Stück. Bei einem Verkaufspreis von 4 € werden 4.000 € Erlöse erwirtschaftet. Der Gewinn ist 400 €
insgesamt und 0,40 € pro Stück. Der Deckungsbeitrag von 1.000 € (1 € pro Stück) ist größer als die Fixkosten. Die Differenz ist der Gewinn.
E
Kv
DB
Kf
G
=
=
=
=
=
4.000
3.000
1.000
600
400
p
kv
db
kf
g
=
=
=
=
=
4,00
3,00
1,00
0,60
0,40
6 Break-Even-Menge
Der Grundgedanke der Break-Even-Analyse ist recht einfach: Die Kosten, Erlöse, Deckungsbeiträge und der Gewinn sind von der Herstellmenge abhängig.
• Bei kleinen Produktionsmengen sind die Stückkosten im Allgemeinen höher als der Verkaufspreis, insbesondere weil die fixen Kosten auf eine geringe Produktionsmenge verteilt
werden müssen. Die Deckungsbeiträge reichen noch nicht, den Fixkostenblock vollständig
abzudecken; es entstehen Verluste.
• Mit steigender Menge verbessert sich die Situation, weil sich die fixen Kosten auf eine höhere Produktionsmenge verteilen. Die Stückkosten sinken unter den Verkaufspreis, es entstehen Gewinne.
Die Menge, die mindestens produziert (und verkauft) werden muss, damit kein Verlust eintritt,
ist die Gewinnschwellen-Menge – das ist der Break-Even-Punkt.
Der Break-Even-Point (Gewinnschwelle) ist diejenige Gütermenge, die produziert und abgesetzt werden muss, um alle Kosten zu decken.
Im Break-Even-Point werden sämtliche Kosten durch die Erlöse gedeckt, und der Gewinn ist
folglich gleich Null ist. Dann entspricht der Deckungsbeitrag genau den fixen Kosten. Grafisch
liegt die Break-Even-Menge
•
•
•
im Schnittpunkt von Erlös- und Kostenkurve,
im Schnittpunkt von Gewinnkurve und Nulllinie (Mengenachse),
im Schnittpunkt von Fixkosten- und Deckungsbeitragskurve.
Die bekannteste Berechnungsformel1 lautet:
Break-Even-Menge =
Fixe Kosten
Preis - variable Stückkosten
xB =
Kf
p − kv
Beispiel:
Bei der Produktion von Leinentaschen fallen € 5.000 fixe Kosten und € 0,50 variable
Stückkosten an. Der erzielbare Preis liegt bei € 0,75.
Der Deckungsbeitrag von € 0,25 pro Stück führt dazu, dass bei einer Menge von 20.000
Leinentaschen die Gewinnschwelle erreicht wird.
1 Hinweis: Sofern der Preis nicht konstant ist (fallende PAF), muss für „Preis“ die PAF [p = f(x)] eingesetzt werden.
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
18
Abbildung 12: Break-Even-Menge
16.000
p
Erlös
14.000
12.000
Kosten
10.000
8.000
B
6.000
Deckungsbeitrag
4.000
Gew inn
Gewinn
Fixkosten
2.000
x
0
0
50
-2.000
100
150
200
250
xB
-4.000
xB = Gewinnschwelle (Break-Even-Menge)
Abbildung 12 zeigt die grafische Bestimmung der Break-Even-Menge anhand von konkreten
Zahlen. Dabei ist unterstellt, dass die variablen Stückkosten und der Verkaufspreis jeweils
konstant sind. In diesem Fall verlaufen die Kostenkurve und die Erlöskurve linear.
Beispiel (Abbildung 12)
Die fixen Kosten betragen Kf = 2.000 und die variablen Stückkosten kv = 40. Der Verkaufspreis sei p = 60. Die Kosten- und Erlösfunktionen lauten somit.
K
= 2.000 + 40x
und
E = 60x
Hieraus ergeben sich folgende Gleichungen für den Gewinn und den Deckungsbeitrag.
DB = 20x
und
db = 20
G = 20x – 2.000
Beim Stückdeckungsbeitrag von db = 20 und fixen Kosten von Kf = 2.000 liegt die BreakEven-Menge bei xB = 100.
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19
Wiederholungsfragen
1. Wodurch entsteht „Kostendegression“?
2. Gibt es fixe Kosten, die sich verändern?
3. Wie verändern sich mit steigender Menge die Grenzkosten bei überproportionalen, proportionalen und unterproportionalen Kosten?
4. Wann sind die variablen Stückkosten gleich den Grenzkosten?
5. Was bedeutet eine Kostenelastizität von 0,4?
6. Wie verlaufen bei ertragsgesetzlichen Kosten die Stückkosten und die Grenzkosten?
7. Sind die Grenzkosten immer niedriger als die Stückkosten?
8. Wo liegt das Betriebsoptimum bei linearen Kosten?
9. Wodurch unterscheidet sich eine Preis-Absatz-Funktion von einer Nachfragefunktion?
10. Was ist mit „unelastischer Nachfrage“ gemein?
11. Kann die Nachfrage vollkommen unelastisch sein?
12. Welches Absatzverhalten von Unternehmen beschreibt eine horizontale Preis-AbsatzFunktion?
13. Wie hoch ist im Erlösmaximum der Grenzerlös?
14. Wie lautet eine notwendige Bedingung für das Gewinnmaximum?
15. Welche betriebswirtschaftlichen Konsequenzen (hinsichtlich der Produktionsmenge) kann
man ziehen, wenn die Grenzerlöse kleiner (größer) als die Grenzkosten sind?
16. Wann gilt die Grenzkosten-Preis-Regel?
17. Wie ist der Deckungsbeitrag definiert?
18. In welchen Fällen ist der Stückdeckungsbeitrag für jede Menge gleich groß?
19. Wo liegt die Break-Even-Menge?
20. Wie hoch ist der Deckungsbeitrag im Break-Even-Punkt?
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20
Übungsaufgaben
Übungsaufgabe 1
Gegeben sei die lineare Kostenfunktion K = 80x + 300. Die Kapazitätsgrenze sei xmax = 20.
a) Bestimmen Sie die Gleichungen für die fixen Kosten, variablen Kosten, Stückkosten, fixen
Stückkosten, variablen Stückkosten und Grenzkosten.
b) Zeichnen Sie den Verlauf der Gesamtkosten (1. Diagramm) sowie der Stückkosten und
Grenzkosten (2. Diagramm).
c) Berechnen Sie für x = 5 und x = 15 die Höhe der in a) genannten Kostenarten.
d) Berechnen Sie für x = 5 und x = 15 die Kostenelastizität.
Übungsaufgabe 2
In der Abbildung links sind für drei Mengen die
Gesamtkosten markiert. Bei welcher Menge sind
die Stückkosten am höchsten und bei welcher
Menge am geringsten?
Kann die Frage überhaupt beantwortet werden
ohne zusätzliche Informationen?
Übungsaufgabe 3
Im I. Quartal werden 800 Bohrmaschinen zu Gesamtkosten in Höhe von 800.000 € gefertigt.
Im II. Quartal betragen bei einer Produktion von 720 Stück die Gesamtkosten nur noch
752.000 €. Die variablen Stückkosten werden als konstant angenommen.
a) Wie lauten die Gesamtkostenfunktion und die Stückkostenfunktion?
b) Wie hoch sind Stückkosten, Grenzkosten und Kostenelastizität bei 800 Stück (I. Quartal)?
Übungsaufgabe 4
Unternehmen Drahtmeister fertigt derzeit täglich 4.000 Schrauben. Die Gesamtkosten betragen 640 €. Die Grenzkosten sind konstant und betragen 0,08 €.
a) Wie lauten die Gesamtkostenfunktion und die Stückkostenfunktion?
b) Wie hoch sind die Fixkosten und die variablen Stückkosten?
c) Welchen Wert hat die Kostenelastizität in der Ausgangslage?
Übungsaufgabe 5
Die Jahresproduktion von derzeit 400.000 Haarspangen verursacht Kosten in Höhe von
50.000 €. Die Kostenelastizität wird mit 0,75 kalkuliert.
Wie lautet die Kostenfunktion?
Übungsaufgabe 6
Derzeit wird Maschine A eingesetzt. Sie verursacht fixe Kosten in Höhe von 300 € und variable Stückkosten von 0,06 €. Ihre Maximalkapazität beträgt 12.000 Stück. Zur Diskussion steht
eine neue Maschine B. Sie ist mit einer Kapazität von 20.000 Stück deutlich leistungsfähiger.
Zudem betragen die variablen Stückkosten lediglich 0,04 €. Wegen der höheren Anschaffungsausgaben werden allerdings die Fixkosten bei 500 € liegen. Soll die Maschine B beschafft werden?
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21
Übungsaufgabe 7
Bei der Delphi AG sollen demnächst Werkzeugteile für die PKW-Fertigung hergestellt werden.
Die Firma muss über das günstigste Fertigungsverfahren bei unterschiedlichen Produktionsmengen entscheiden. Folgende Daten liegen vor.
Die Kapazitätsgrenze beider Verfahren ist 500 Stück.
Fixe Kosten:
Verfahren A ........... 1.500 €
Verfahren B ........... 3.000 €
Bei maximal möglicher Produktionsmenge (Kapazitätsgrenze: 500 Stück) betragen die
Stückkosten
Verfahren A ................ 10 €
Verfahren B .................. 8 €
Welches Verfahren führt wann zu minimalen Kosten?
Bearbeitungshinweis:
Gegeben sind nicht die variablen Stückkosten
Übungsaufgabe 8
Das Verhalten der Nachfrager wird durch die Gleichung x = 600.000 Liter Heizöl/Tag beschrieben.
a) Interpretieren Sie diese Funktion als Nachfragefunktion und als Preis-Absatz-Funktion.
b) Ist das Verhalten der Nachfrage elastisch oder unelastisch?
c) Zeichnen Sie die Funktion in ein Diagramm.
Übungsaufgabe 9
Die Preis-Absatz-Funktion (PAF) lautet: p = − 0,00001x + 0,14.
a) Zeichnen Sie PAF in ein Diagramm (1. Diagramm).
b) Wie lautet die Erlösfunktion? Zeichnen Sie Funktion in ein Diagram (2. Diagramm).
c) Wie lauten die Grenzerlösfunktion? Zeichnen Sie die Funktionen in das 1. Diagramm.
d) Zu welchen Preisen können die Mengen 5.000 und 3.000 Stück verkauft werden?
e) Bestimmen Sie Preis und Menge für das Erlösmaximum.
f) Welchen Wert hat die Preiselastizität bei einem Preis von 0,04 (0,10)?
Übungsaufgabe 10
Die Preis-Absatz-Funktion lautet x = – 0,2p + 500.
a) Zeichnen Sie die PAF in ein Diagramm.
b) Bestimmen und zeichnen Sie die Grenzerlös-Funktion.
c) Ermitteln Sie das Umsatzmaximum.
Übungsaufgabe 11
Unternehmen verkauft derzeit 400.000 Zeitschriften zum Preis von 2,00 €. Eine Preisanhebung um 50% bewirkt eine Absatzeinbuße um 100.000 Stück. Die PAF ist linear.
a) Wie lauten die PAF, die Erlösfunktion und die Grenzerlösfunktion?
b) Zeichnen Sie die PAF und die Grenzerlösfunktion in ein Diagramm.
c) Bestimmen Sie Preis und Menge für das Erlösmaximum.
d) Welchen Wert hat die Preiselastizität im Erlösmaximum?
Übungsaufgabe 12
Der Bundesligaverein BORUSSIA KÖLN geht davon aus, dass beim sehr attraktiven Bundesligaspiel gegen den Lokalrivalen FORTUNA LEVERKUSEN am Samstag bei einem Preis von 40 €
über das Fassungsvermögen des Stadions von 50.000 Plätzen hinaus noch weitere 38.000
Karten verkauft werden könnten. Dagegen würden bei einem Preis von 110 € 18.000 Plätze
unbesetzt sein. Es gibt nur einen Einheitspreis und die PAF verläuft linear.
a) Ermitteln und zeichnen Sie die PAF und die Grenzerlösfunktion in ein Diagramm.
b) Bei welchem Eintrittspreis erzielt der Verein die höchsten Einnahmen?
Übungsaufgabe 13
Die Kundinnen des Handelsgeschäftes DREHIMPULS kaufen zum Preis von 60 € derzeit monatlich 200 rote Tanzschuhe. Die Preiselastizität der Nachfrage wird mit –0,6 kalkuliert.
a) Wie viele Tanzschuhe kann DREHIMPULS bei einem Preis von 90 € verkaufen?
b) Ermitteln und zeichnen Sie die PAF und die Grenzerlösfunktion in ein Diagramm.
c) Bei welchem Preis wird der Umsatz maximiert?
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Übungsaufgabe 14
Unternehmen PLASTOFIX GMBH produziert Kaffeebecher zu konstanten variablen Stückkosten
von 0,28 € pro Stück. Die Fixkosten belaufen sich auf 2.400 €. Die Kapazitätsgrenze liegt bei
25.000 Stück täglich. Am Markt wird ein konstanter Verkaufspreis von 0,40 € erzielt.
a) Wie lauten die Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion?
b) Wie hoch sind Stückkosten, Grenzkosten und Stückdeckungsbeitrag bei einer Menge von
12.000 Stück?
c) Wie hoch ist die Kostenelastizität bei einer Menge von 12.000 Stück?
d) Bei welcher Menge liegen das Erlösmaximum und das Gewinnmaximum?
e) Wo liegt die Gewinnschwelle?Übungsaufgabe 15
Für die Herstellung von Teppichboden der Sorte TRITTFEST betragen die fixen Kosten 20.000
€. Die variablen Stückkosten betragen 120 €/qm. Auf dem Markt wird ein Preis von 200 €/qm
erzielt. Bei welchem Absatz wird die Gewinnschwelle erreicht?
Übungsaufgabe 16
Unternehmen Wecker & Schlaf Kg produziert derzeit monatlich 500 Uhren mit Gesamtkosten
in Höhe von 50.000 €. Aus Kostenstudien ist bekannt, dass bei dieser Menge die Kostenelastizität 0,2 beträgt und die variablen Stückkosten konstant sind. Die Kapazitätsgrenze liegt bei
2.000 Stück Der konstante Verkaufspreis erbringt einen Stückdeckungsbeitrag von 25 €.
a) Wie lauten die Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion?
b) Wo liegt die Break-Even-Menge?
Übungsaufgabe 17
Kleinunternehmen G stellt Gartenzwerge her. Die fixen Kosten belaufen sich auf 2.000 €, die
variablen Stückkosten auf 50 €. Pro Monat können maximal 100 Gartenzwerge produziert
werden.
Der Verkaufspreis von 100 € ist von der Geschäftsleitung aus strategischen Gründen fest vorgegeben. Bei einem höheren Preis sind keine Gartenzwerge zu verkaufen, da die Kunden
dann sofort bei der Konkurrenz bestellen, die gleichwertige Produkte zu 100 € anbietet. Ein
niedrigerer Preis würde von der übermächtigen Konkurrenz als Signal zu einem Preiskampf
angesehen, was Kleinunternehmen G wahrscheinlich nicht überleben würde.
a) Zeichnen Sie in ein Diagramm den Verlauf der Gesamtkosten, der Erlöse und der Gewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen.
b) Zeichnen Sie in ein weiteres Diagramm den Verlauf der PAF, der Grenzerlöse, der Stückkosten, der Grenzkosten und der Stückgewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen.
c) Bei welchen Mengen liegen Gewinnmaximum und Umsatzmaximum?
d) Berechnen Sie die Break-Even-Menge.
e) Es sei geplant, die Menge x = 70 herzustellen und zu verkaufen. Wie hoch sind Erlös, Kosten, Gewinn, Stückkosten, Stückgewinn und Umsatzrentabilität?
f) Nehmen wir einmal an, der Preis falle auf p = 60 €. Welche Entscheidung soll das Unternehmen treffen, wenn
(1) die Preise in absehbarer Zeit wieder steigen?
(2) die Preise auf Dauer nicht wieder steigen?
Übungsaufgabe 18
Tischlerei T produziert Tischbeine aus Holz. Die fixen Herstellkosten betragen 5.000 €. Weiterhin fallen konstante variable Stückkosten in Höhe von 15 € an. Die Kapazitätsgrenze liegt
bei 1.800 Stück. Aus Marktuntersuchungen ist folgende Preis-Absatz-Funktion (PAF) bekannt:
PAF: p = – 0,025x + 40
a) Zeichnen Sie in ein Diagramm den Verlauf der Gesamtkosten, der Erlöse und der Gewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen.
b) Zeichnen Sie in ein weiteres Diagramm den Verlauf der PAF, der Grenzerlöse und der
Grenzkosten. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen.
c) Berechnen Sie algebraisch das Gewinnmaximum und das Umsatzmaximum. Zeichen Sie
diese Punkte in beide Diagramme ein.
d) Wie hoch ist die Umsatzrentabilität jeweils im Umsatzmaximum und im Gewinnmaximum?
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Übungsaufgabe 19
Unternehmen M produziert Maskottchen aus Stahl. Die fixen Herstellkosten betragen 140 €.
Weiterhin fallen konstante variable Stückkosten in Höhe von 40 € an. Aus Marktuntersuchungen ist die Preis-Absatz-Funktion bekannt:
PAF: x = – 0,05p + 10
a) Bestimmen Sie algebraisch den Break-Even-Point.
b) Welche Menge verkauft M zu welchem Preis, wenn der Gewinn maximiert wird? Bestimmen Sie algebraisch und grafisch die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination.
Hinweis: Zur grafischen Lösung reicht eine Darstellung mit der PAF, der Grenzerlös- und
Grenzkostenkurve.
Gegenwärtig verkauft der Monopolist zum Preis von p = 80
c) Wie hoch sind dann Grenzkosten und Grenzerlös. Welche Schlussfolgerung lässt sich aus
dem Vergleich beider Werte ziehen?
d) Wie hoch ist in dieser Ausgangslage die Umsatzrentabilität?
e) Welchen Wert hat in dieser Ausgangslage die Preiselastizität der Nachfrage?
Übungsaufgabe 20
Bei einer derzeitigen Produktionsmengen von 10.000 Packungen betragen die Gesamtkosten
25.000 €, davon sind 15.000 € Fixkosten. Die variablen Stückkosten sind konstant. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 16.000 Packungen. Die PAF sei x = 30.000 − 5.000p.
a) Wie lauten PAF, Erlös- und Kostenfunktion sowie Grenzerlös- und Grenzkostenfunktion?
b) Zeichnen Sie eine Prinzipskizze mit PAF, E´ und K´.
c) Wie hoch sind derzeit Verkaufspreis, Erlös, Gewinn und Umsatzrentabilität?
d) Bestimmen Sie das Erlös- und das Gewinnmaximum.
e) Wie hoch ist der Stückdeckungsbeitrag im Erlös- und im Gewinnmaximum?
Übungsaufgabe 21
Bei einer Produktionsmengen von derzeit 200 Stück betragen die fixen Kosten 9.000 € und
die variablen Kosten 4.000 €. Der gegenwärtige Verkaufspreis ist nicht kostendeckend und
bringt einen Verlust von 200 €. Die Kostenfunktion ist linear. Die Preiselastizität für die Ausgangslage ist mit −4 aus Marketinguntersuchungen bekannt.
a) Wie lauten PAF, Erlös- und Kostenfunktion sowie Grenzerlös- und Grenzkostenfunktion?
b) Zeichnen Sie eine Prinzipskizze mit PAF, E´ und K´.
c) Bei welcher Menge wird die Gewinnschwelle erreicht?
d) Wie hoch sind derzeit Grenzerlös und Grenzkosten? Was folgt daraus?
e) Welche Produktionsmenge und welchen Verkaufspreis schlagen Sie vor?
f) Wie hoch ist der Gesamtdeckungsbeitrag im Gewinnmaximum?
g) Wie hoch ist die Umsatzrentabilität im Erlösmaximum und im Gewinnmaximum?
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Lösungshinweise
Lösungshinweise 1
a) Formel
c) Werte für x = 5
K = 300 + 80x
700
Kf = 300
300
Kv = 80x
400
k = 300/x + 80
140
kf = 300/x
60
kv = 80
80
K´= 80
80
d) Kostenelastizität
0,57
b) Die grafische Darstellung entspricht genau
be der beiden Achsen sind anders.
x = 15
1.500
300
1.200
100
20
80
80
0,80
der Abbildung 4 im Text. Lediglich die Maßstä-
Lösungshinweise 2
Die Steigung des Fahrstrahls (aus dem Ursprung)
ist für xA am größten und für xB am kleinsten. Diese
Steigungen repräsentieren die jeweiligen Stückkosten.
Lösungshinweise 3
a) Gesamtkostenfunktion K(x) = 600x + 320.000
Stückkostenfunktion
k(x) = 600 + 320.000:x
b) für x = 800 ist
k = K : x = 1.000
K´= dK : dx = 600
Kostenelastizität: eK = K´: k = 0,6
Lösungshinweise 4
a) Gesamtkostenfunktion K(x) = 0,08x + 320
Stückkostenfunktion
k(x) = 0,08 + 320:x
b) Kf = 320 und kv = 0,08
c) Kostenelastizität für x = 4.000: eK = K´:k = 0,08 : 0,16 = 0,5
Lösungshinweise 5
Für x = 400.000 und K = 50.000 ist k = 0,125. Dies multipliziert mit der Kostenelastizität ergibt
die Grenzkosten, die hier (lineare Kostenfunktion) gleich den variablen Stückkosten sind:
K´= k·eK = 0,125 · 0,75 = 0,9375 = kv.
Für x = 400.000 ist Kv = 0,9375 · 400.000 = 37.500 und damit Kf = K – Kv = 12.500.
Kostenfunktion: K(x) = 0,9375x + 12.500
Lösungshinweise 6 (siehe nachfolgende Seite)
Lösungshinweise 7
Wichtig: Gegeben sind nicht die variablen Stückkosten (hier = Grenzkosten = Steigung); sie
müssen erst noch berechnet werden. Lösungstabelle
x
k
K=x·k
Kf
Kv = K − Kf
k v = Kv : x
A
500
10
5.000
1.500
3.500
7
B
500
8
4.000
3.000
1.000
2
Verfahren
Die beiden Kostenfunktionen lauten:
KA = 7x + 1.500 und KB = 2x + 3.000
Kritische Menge (Schnittpunkt): xAB = 300.
Bis zu dieser Menge ist das Verfahren A günstiger, ab dieser Menge Verfahren B.
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Lösungshinweise 6
Die beiden Kostenfunktionen lauten:
KA = 0,06x + 300 und KB = 0,04x + 500
Kritische Menge (Schnittpunkt):
xAB = 10.000.
Bis zu dieser Menge ist das Verfahren A günstiger, ab dieser Menge Verfahren B.
25
1.400
Kosten
1.200
1.000
Verfahren B
800
600
Verfahren A
400
200
kritische Menge
Menge
0
0
4.000
Lösungshinweise 8
8.000
16.000
20.000
Preis
a) Es können unabhängig vom Preis täglich genau 600.000
Liter Heizöl verkauft werden. Als Nachfragefunktion handelt es sich um den Gesamtabsatz aller Unternehmen
auf dem relevanten Markt (beispielsweise in einer Region). Als Preis-Absatz-Funktion ist dies die (mögliche)
Verkaufsmenge einer Unternehmung.
b) Die Nachfrage ist vollkommen unelastisch (= starr).
c) In der grafischen Darstellung „steht“ die PAF bei einer
Menge von 600.000 Liter senkrecht auf der x-Achse, also parallel zu p-Achse. Die Nachfrage ist vollkommen
unelastisch.
Lösungshinweise 9
0,16
Die Gleichungen lauten:
0,14
PAF:................ p = − 0,00001x + 0,14
Erlös: .............. E = − 0,00001x2 + 0,14x
Grenzerlös: ..... E´= − 0,00002x + 0,14
d) Für x = 5.000 ist p = 0,09 und
für x = 3.000 ist p = 0,11.
e) Aus E´ = 0 folgt xE = 7.000 und pE = 0,07.
Das ist die „Mitte der PAF“.
Der Erlös beträgt im Maximum 490.
f) Für p = 0,10 (0,04) ist die
Preiselastizität – 2,5 (−0,4).
12.000
NE
PAF
Menge
600.000
0,12
PAF
0,1
0,08
Erlösmaximum
"Mitte-Mitte"
0,06
E´
0,04
0,02
0
0
2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000
-0,02
Lösungshinweise 10
a) Die grafische Darstellung entspricht der Abbildung 6b im Text oder auch der Abbildung zur
Lösung 9. Lediglich die Maßstäbe sind anders: Die PAF und E´-Kurve schneiden die
Preisachse bei p = 2.500 und die Mengenachse bei x = 500 (x = 250).
b) Die Gleichungen lauten:
PAF (umgeformt): ................ p = 2.500 − 5x
Erlös: ................................... E = 2.500x − 5x2
Grenzerlös: .......................... E´= 2.500 − 10x
c) Aus E´ = 0 folgt xE = 250 und pE = 1.250. Das Erlösmaximum beträgt 312.500.
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26
Lösungshinweise 11
Unternehmen verkauft 400.000 Zeitschriften zum Preis von 2,00. Beim Preis von 3,00 werden
300.000 Stück verkauft. Aus diesen beiden Punkten (Preis-Mengen-Kombinationen) folgt:
a) PAF:
p = − 1/100.000x + 6
Erlös:
E = − 1/100.000x2 + 6x
Grenzerlös:
E´= − 2/100.000x + 6
b) Die grafische Darstellung entspricht der Abbildung 6b im Text oder auch der Abbildung zur
Lösung 9 mit anderen Maßstäben: Die PAF und E´-Kurve schneiden die Preisachse bei p
= 6,00 und die Mengenachse bei x = 600.000 (x = 300.000).
c) Aus E´ = 0 folgt xE = 300.000 und pE = 3,00.
d) Im Erlösmaximum („Mitte“) ist die Preiselastizität immer −1.
Lösungshinweise 12
160
a) Aus den beiden gegebenen Punkten
(40/88.000; 110/32.000) folgt:
140
PAF:............. p = − 0,00125x + 150
Grenzerlös: .. E´= − 0,0025x +150
b) Aus E´ = 0 folgt xE = 60.000
und pE = 75.
Das liegt aber außerhalb der Kapazität. Es können nur 50.000 Karten
zum Preis von 87,50 verkauft werden.
120
100
87,50
80
60
40
20
0
0
20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 120.000
-20
Lösungshinweise 13
a) Der Preisanstieg von 50% auf 90 € bewirkt einen Mengenrückgang um 30% auf 140 Stück.
b) Aus den beiden Punkten (60/200; 99/140) folgt:
PAF:............................. p = − 0,5x + 160
Grenzerlös: .................. E´= − 0,0025x +150
c) Aus E´ = 0 folgt xE = 160 und pE = 80.
Lösungshinweise 14
a) Kostenfunktion ............. K = 0,28x + 2.400
Erlösfunktion ................ E = 0,40x
Gewinnfunktion: ........... G = 0,12x − 2.400
b) Für x = 12.000 ist ......... k = 0,48, K´= 0,28 und db = 0,12
c) Für x = 12.000 ist ......... eK = K´: k = 0,28 : 0,48 = 0,58
d) Kapazitätsgrenze
d) xB = 2.400 : 0,12 = 20.000
Lösungshinweise 15
xB = 20.000 : (200 − 120) = 250
Lösungshinweise 16
Für x = 500 ist K = 50.000, also k = 100. Die Stückkosten multipliziert mit der Kostenelastizität
(0,2) ergeben die Grenzkosten (hier = variable Stückkosten): K`= kv = 20. Für x = 500 sind
dann die Kv = 500 · 20 = 10.000 und die Fixkosten Kf = 50.000 – 10.000 = 40.000.
a) Kostenfunktion ........ K = 20x + 40.000
Erlösfunktion ........... E = 45x
Gewinnfunktion: ...... G = 25x − 40.000
b) xB = 40.000 : 25 = 1.600
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Lösungshinweise 17
a), b) und d) siehe Grafik
c) Umsatzmaximum und Gewinnmaximum liegen an der Kapazitätsgrenze bei x = 100.
e) Für x = 70 folgt
E = 7.000
K = 5.500
k = 78,6
G = 1.500
g = 21,4
Umsatzrentabilität: rU = G : E = 1.500 : 7.000 = 21,4%
f) (1) Produktion erhalten, weil der Stückdeckungsbeitrag positiv ist (db = 10).
(2) Produktion einstellen, weil bei allen Mengen p < k ist.
Abbildung zu Lösungshinweise 17
p = 100
Gewinnmaximum = Erlösmaximum: Kapazitätsgrenze x = 100
(PAF)
E = 100x
E´ = 100
Breakt-Even-Point:
Kf = 2.000
Aus
E=K
folgt
xB = 40
(oder G = 0)
Kv = 50x
K = 2000 + 50x
Abbildung a
kv = K´= 50
k = 50 + 2.000:x
8000
G = -2.000 + 50x
g = -2.000:x + 50
7000
6000
Tabelle a
x
E
Kf
Kv
K
G
DB
5000
0
0 2.000
0
2.000
-2.000
0
10
1.000 2.000
500
2.500
-1.500
500
20
2.000 2.000 1.000
3.000
-1.000
1.000
30
3.000 2.000 1.500
3.500
-500
1.500
40
4.000 2.000 2.000
4.000
0
2.000
50
5.000 2.000 2.500
4.500
500
2.500
60
6.000 2.000 3.000
5.000
1.000
3.000
70
7.000 2.000 3.500
5.500
1.500
3.500
80
8.000 2.000 4.000
6.000
2.000
4.000
90
9.000 2.000 4.500
6.500
2.500
4.500
100
10.000 2.000 5.000
7.000
3.000
5.000
Tabelle b
x
p=E´
4000
3000
2000
1000
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-1000
-2000
Abbildung b
K´
k
g
db
rU
120
0
100
50,0
50,0
10
100
50,0 250,0 -150,0
50,0
20
100
50,0 150,0
-50,0
50,0 -50,0%
80
30
100
50,0 116,7
-16,7
50,0 -16,7%
60
40
100
50,0 100,0
0,0
50,0
0,0%
50
100
50,0
90,0
10,0
50,0
10,0%
60
100
50,0
83,3
16,7
50,0
16,7%
70
100
50,0
78,6
21,4
50,0
21,4%
0
80
100
50,0
75,0
25,0
50,0
25,0%
-20
90
100
50,0
72,2
27,8
50,0
27,8%
100
100
50,0
70,0
30,0
50,0
30,0%
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100
40
20
0
-40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
28
Lösungshinweise 18
a) Kostenfunktion ..................... K = 15x + 5.000
Erlösfunktion ........................ E = −0,025x2 + 40x
Gewinnfunktion: ................... G = −0,025x2 + 25x − 5.000
Die Zeichnung entspricht der Abbildung 9a im Text, nur mit anderen Zahlen.
b) PAF:..................................... p = −0,025x + 40
Grenzerlös: .......................... E` = −0,05x + 40
Grenzkosten: ....................... K´ = 15
Tabelle zur Lösung 18:
x
0
200
K
5.000
8.000
K´
15
15
p
40,00
35,00
E
0
7.000
E´
40
30
G
-5.000
-1.000
400
11.000
15
30,00
12.000
20
1.000
500
12.500
15
27,50
13.750
15
1.250
600
14.000
15
25,00
15.000
10
1.000
700
15.500
15
22,50
15.750
5
250
800
17.000
15
20,00
16.000
0
-1.000
1.000
1.100
20.000
21.500
15
15
15,00
12,50
15.000
13.750
-10
-15
-5.000
-7.750
1.600
29.000
15
0,00
0
-40
-29.000
Abbildung zur Lösung 18:
40
35
PAF
30
Gewinnmaximum
25
E´
Erlösmaximum
20
K´
15
10
5
0
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
-5
c) Umsatzmaximum:
Aus E´ = 0 folgt xE = 800 und pE = 20. Bei einem Erlös von EE = 16.000 und Kosten von KE
= 17.000 verbleibt ein Gewinn von GE = −1.000, also ein Verlust.
Gewinnmaximum:
Aus E´ = K´ folgt xM = 500 und pM = 27,50. Bei einem Erlös von EM = 13.750 und Kosten
von KM = 12.500 verbleibt ein Gewinn von GM = 1.250.
c) Umsatzrentabilität im Umsatzmaximum: rU = -1.000 : 16.000 = −6,25%
Umsatzrentabilität im Gewinnmaximum: rU = 1.250 : 13.750 = 9,1%
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GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
29
Lösungshinweise 19
p = 200 - 20x
BEP:
2
Für p = 80 und damit x = 6:
Aus E = K folgt: XB = 1
E = 200x - 20x
Gmax:
Aus E´= K´ folgt xG = 4
E´= -40K´= 40
E´= 200 - 40x
Emax:
Aus E´= 0 folgt xE = 5
E´< K´
Kf = 140
also Produktion senken
Rentabilität:
Kv = 40x
K = 140 + 40x
Elastizität:
rU = 20,8%
e = 2/3 =0,67
Abbildung zu Lösung 19
kv = K´= 40
k = 40 + 140/x
240
2
G = -140 + 160x - 20x
g = -140:x + 160 - 20x
200
Tabelle zu Lösung 19
x
p
E´
K´
k
g
0 200
200,0
40,0
1 180
160,0
40,0 180,0
0,0
2 160
120,0
40,0 110,0
50,0
3 140
80,0
40,0
86,7
53,3
4 120
40,0
40,0
75,0
45,0
5 100
0,0
40,0
68,0
32,0
6
80
-40,0
40,0
63,3
16,7
7
60
-80,0
40,0
60,0
0,0
8
40 -120,0
40,0
57,5
-17,5
9
20 -160,0
40,0
55,6
-35,6
10
0 -200,0
40,0
54,0
-54,0
160
PAF
Gewinnmaximum
120
Erlösmaximum
80
E´
K´
40
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-40
a) Break-Even-Punkt: Aus der Bedingung für die Gewinnschwelle: E = K folgt
200x − 20x2 = 140 + 40x
x2 − 8x = −7
(x − 4)2 = −7 + 16
x1,2 = 4 ± 3
Von den beiden Lösungen x1 = 1 und x2 = 7 ist die kleinere Menge die Gewinnschwelle;
der zweite Wert, der ebenfalls einen Schnittpunkt von E- und K-Kurve darstellt, hat keinen
Namen.
b) Gewinnmaximum: Aus E´ = K´ folgt xM = 4 und pM = 120. Bei einem Erlös von EM = 480
und Kosten von KM = 300 verbleibt ein Gewinn von GM = 180.
Lösungshinweise 20
7
a) PAF (umgeformt)
..... p = −1/5000x + 6
6
PAF
Erlösfunktion
..... E = −1/5000x2 + 6x
5
Kostenfunktion
..... K = 1x + 15.000
4
Grenzerlös:
..... E´ = −2/5000x + 6
3
Grenzkosten:
..... K´ = 1
2
Erlösmaximum
c) Für x = 10.000
sind p = 4, E = 40.000,
G = 15.000 und
rU = 37,5%.
K´
1
0
0
-1
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Gewinnmaximum
E´
2.500
5.000
7.500
10.000
12.500
15.000
17.500
GW 34: Kosten – Erlös – Gewinn
30
Lösungshinweise 21
Die Daten der Ausgangslage sind in der nachfolgenden Tabelle enthalten. Die grauen Felder
sind errechnet aus den übrigen Angaben.
Aus der Angabe zur Elastizität kann ein weiterer Punk berechnet werden. So wird beispielsweise eine Preissenkung um 25% (auf 48) die Verkaufsmenge um das 4-fache, also um 100
% (auf 400 Stück) anheben.
x
Kf
Kv
K´=kv
E
p
E´
G
200
9.000
4.000
20
12.800
64
48
-200
400
9.000
8.000
20
19.200
48
16
2.200
80
a) PAF:..................... p = −0,08x + 80
Erlösfunktion ........ E = −0,08x2 + 80x
70
Kostenfunktion ..... K = 20x + 9.000
PAF
Grenzerlös: .......... E` = −0,16x + 80
60
Grenzkosten: ....... K´ = 20
E´
Gewinnmaximum
50
c) Aus E = K folgt eine quadratischen
Umsatzmaximum
Gleichung mit den beiden Lösungen
40
x1,2 = 375 ± 167,7. Der kleinere Wert
30
ist die Break-Even Menge: xB = 207,3
d) Für x = 200 ist E´= 104 > K´= 20. Also
20
wird eine Produktionsausweitung den
K´
10
Erlös stärker als die Kosten steigern
und damit den Gewinn erhöhen – bis
0
E´= K´.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-10
e) In Betracht kommen das Umsatzmaximum und das Gewinnmaximum
-20
Umsatzmaximum:
Aus E´ = 0 folgt xE = 500 und pE = 40. Bei einem Erlös von EE = 20.000 und Kosten von KE
= 7.500 verbleibt ein Gewinn von GE = 1.000.
Gewinnmaximum:
Aus E´ = K´ folgt xM = 375 und pM = 50. Bei einem Erlös von EM = 18.750 und Kosten von
KM = 16.500 verbleibt ein Gewinn von GM = 2.250.
f) Für x = 375 ist DB = E – Kv = 18.750 – 7.500 = 11.250 (pro Stück: db = 2,99)
g) Umsatzrentabilität im Umsatzmaximum: rU = 1.000 : 20.000 = 5,0%
Umsatzrentabilität im Gewinnmaximum: rU = 2.250 : 18.750 = 12,0%
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