PHYSIK I

PHYSIK I
⃗⃗⃗
Zusammenfassung zur Vorlesung von
Prof. Dr. D. Pescia
∑
⃗⃗⃗⃗
⃗
IMPULS
Lukas Cavigelli, Juli 2010
[email protected]
⃗
⃗
1. Planete bewegen sich auf elliptischen Bahnen mit der Sonne
im Brennpunkt.
̇
2.
STOSS
MECHANIK TEIL 1
BEWEGUNGSGLEICHUNG/K RAFTFELDER
Elastizitätszahl:
Elastischer Stoss: Impuls- und Energieerhaltung gelten
Inelastischer Stoss: Impuls- und Energieerhaltung gelten nicht
SCHWINGUNGEN , HARMONISCH [ KURZ]
(
[ ]
⃗( )
)
⃗⃗⃗⃗⃗
Lösung der DGL:
⃗⃗
(
)
Gravitation:
(
)
⃗( )
̇
(
)
)
⃗⃗⃗⃗⃗(
(
̇
Federkraft: ⃗
√
mathematisches Pendel:
̈
Trägheitsmoment [
̇
̇
]:
∑
( )
̈
(
)
(
)
(
)
; : Abw. von Ruhelage, : Ruhelage
: Federkonstante
: Eigen(kreis)frequenz (Freq. ohne Dämpfung)
√ ( ) (Grundlage der Spektroskopie)
: maximale Amplitude
: Phasenwinkel
: Eigenfrequenz
: Schwingungsdauer (periode, unabh. von
!)
ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Gedämpfte Schwingung:
⁄
Zeitkonst. :
(
Amplitude:
(
)
)
In Anwesenheit eines äusseren Feldes besitzt das Sysztem
zusätzlich zur eigenen pot. Energie auch die pot. Energie (
durch das äussere Feld.
̈
√
Frequenz:
̇
( )

physikalisches Pendel:
√
̇
( )
|
Steiner’scher Satz:
Periode:
: Trägheitsmoment, wenn Achse durch Schwerpunkt
: Distanz zur Achse durch Schwerpunkt
Trägheitsmomente:
REIBUNG
Haftreibung: |
Gleitreibung: |
Rollreibung: |
| ⃗|
)
( )







Pendel:
ROTATION
)
GLEICHFÖRMIGE KREISBEWEGUNG
Zentripetalbeschleunigung:
̇
̈
(
⃗,
)
Lösung der DGL:
SPEZIELLE KRAFTFELDER
Potentielle Gravtiationsenergie (R: Dist. v. m zu M):
⃗⃗
(
̈
)
GLEICHMÄSSIG BESCHLE UNIGT E BEWEGUNG
⃗̈
( ))
Harmonische Approximation der potentiellen Energie:
harmonische Approximation: Taylor-Entwicklung bis Grad 2.
(
)
( ) (
) ( )
( )
)
Frequenz einer harm. Schwingung unabh. von der Amplitude!
Energien:
⃗⃗⃗⃗⃗(
( ( )
̈
̇
∫
Die Kraft leistet Arbeit, um
zu verändern.
Totale Energie (eine Invariante der Bewegung):
Gültig für kleine Schwingungen in der Nähe des Minimums.
BGL mit harm. Approx: mit
Abw. von Gleichgew.
√
Federschwinger:
⃗̈
Lösung der DGL:
Umlaufzeit,
(
Geschwindigkeit:
NICHT BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG
:
̇
( . gr. Halbachse), für Kreis:
: Masse im Mittelpunkt
Kinetische Energie Satellit:
ELASTISCHER STOSS
⃗⃗( ⃗ ⃗̇ )
⃗
und
(Drehimpulserhaltung)
3.
Newton’sche Bewegungsleichung:
⃗̈ ( )
Zusammenhang zu
(
)
∫
KEPPLER’SCHE GESETZE
⃗
⃗⃗⃗
|
|
|
| |
| |
| |
ENERGIEERHALTUNG
̇
⃗ ⃗⃗
Arbeit & Energie:
Fluchtgeschwindgkeit:
⃗⃗⃗
⃗⃗̇
⃗
⃗
̈
̇
⃗⃗
̇
⃗⃗
⃗⃗
⃗
∫ ⃗ ( ⃗)
[ ]
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
̇
⃗̈ ( )
⃗̇
Arbeit (einer Kraft F von
⃗
⃗
⃗
[ ]
⃗⃗⁄
(⃗⃗⃗⃗
(
(
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗)
∫
⃗ ( ⃗)
)
( )
|
|
( )
|
)
(
(
|
)
(
)
(
)
(
)
Von der äusseren Kraft zugeführte Energie:
( )
, Linienintegral):
⃗⃗⃗⃗⃗
)
und folgen aus den Anfangsbed. Zusammensetzung aus
einer Schwingung mit der Eigenfrequenz
des Systems und
der Schwingung mit der Frequenz der äusseren Kraft.
Lösung der DGL bei Resonanz (wie oben, mit
):
( ⃗)
⃗ ( ⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗
MASSENMITTELPUNKT
()
( ⃗)
Allgemeine Bewegungsgleichung:
Drehimpuls:
√
( )
Potential (Energie pro Einheitsmasse):
Leistung:
Reibungswärme:
Hebelgesetz:
Lösung der inhomogenen DGL (gilt nicht für Resonanz):
⃗ ( ⃗)
∫
̇
⃗ ⃗
FREIER, HARMONISCHER OS ZIL LA TOR
( ⃗)
]:
( )
SPEZIALFALL
Potentielle Energie:
Drehmoment [
( )
OSZILLATOREN
∫
∫
( )
( )
⃗
Fall
:
Fall
:
(ohne Dämpfung)
)
Nur bei Resonanz kann das System Energie absorbieren.
BILD RLC-Serienschaltung
̈
GEDÄMPFTE SCHWINGUNG
Charakteristika
Unabh. Var.
Abh. Var.
Trägheit
Dämpfung
Reibungskraft:
̇
SPEZIALFALL: KEINE A NRE GEND E KRAFT
̈
̇
Wobei die Dämpfungskonstante:
Lösung der DGL: ( )
| |(schwache Dämpfung):
für
|
√|
( )
|
( √|
)
Mech. System
)
( )
( )
(
√
)
√
√
√
Periode
√
√
( )
̇
Lösung der DGL: ( )
wobei
√(
(
und
)
(
)
)
(
Wellenzahl:
Transv. Geschw.:
Transv. Beschl.:
)
Für
bleibt nur noch der zweite Summand (der
erzwungene Term). Dämpfung ermöglicht Arbeitsübertragung
zwischen äusserer Kraft und System auch neben der
Resonanzfrequenz. Bremsung der Amplitude im Resonanzfall
auf statischen Wert.
Keine sprunghafte Änderung der Phase um bei
,
sondern in einem engen Frequenzbereich der Breite
um .
Q-Faktor:
, Mass für die Schärfe der Resonanzkurve.
Absorbierte Energie pro Periode:
| ( )|
(
(
)
)
)
(
)
[
( )
in der Nähe von
: Phasendiff. (
)
),
( )
(
RESONANZ (STEHENDE WELLE)
Absorbierte Leistung:
RESONANZPHÄN OMENE
Intensität:
ELEKTRISCHER SCHWING KREIS
Schallpegel:
(
)
(
⏟
um :
: Quellenleistung
∑
Symmetrien blabla
⃗⃗ ( ⃗)
BGL: ⃗̈( ) ⃗⃗ ( ⃗( ) ⃗̇( ) )
⃗
⃗⃗( ⃗)
⃗⃗ (| ⃗|)
bei
Kugelsymmetrie
(unsicher)
| ⃗|
ÜBERSICHT
)
( ⃗)|
(
)
Abstand
(
∫ ⏟
Translation
)
( ⃗)
Rotation
̇
| ⃗|
( ⃗)
Gravitationspotential:
( )
̇
| ⃗|
̈
̇
TRÄGHEITSKRAFT
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
( ⃗⃗
⃗⃗
⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗
̇
⃗
1D-SCHWINGUNG MEHRERER FG
1D-Schwingungen mehrerer Freiheitsgrade
⃗⃗
CORIOLISK RAFT
Phasenverschiebung:
( )
⃗⃗̇
∑ ⃗⃗
( ⃗)
TRÄGHEITSMOMENT
ZENTRIPETALKRAFT
SCHALLWELLEN
Druckänderung:
∫
ANDERE
Lichtfrequenz:
⃗
(eine Seite offen, eine geschlossen)
⃗⃗⃗⃗
BEWEGUNGSGLEICHUNG, FEST E DREHACHSE
̈
: Gangunterschied
| ( )|
Lorentzfunktion:
Im eingeschwungenen Zustand bleibt
einer erzwungenen
Schwingung unverändert.
Maximale Leistungsaufnahme bei Resonanzfrequenz.
Charakterisierung der Steilheit um
mit Q-Faktor.
∑ ⃗⃗
∑
Trägheitsmoment:
von der Drehachse
.
MECHANIK IM EUKLIDISCHEN R AUM
Gravitationskraft: |
(
̇
⃗ ⃗
INTERFERENZ
)
⃗⃗
Drehmoment: ⃗⃗
̈
)
Leistung:
(
⃗⃗̇
∑ ⃗⃗
STARRKÖRPERBEWEGUNGE N
)
HARMONISCHER OSZILLA TOR
: Phasendifferenz,
)
)
WELLENGLEICHUNG
Diff. der kin. Energie:
(
⃗⃗
( )
√
)
Stehende Welle: (
)]
( )
(
(
( )
)
√
(
)
(
DREHIMPULSERHALTUNG
MECHANIK UNSORTED
Ausbreitungsgeschw. einer Welle:
̈
( )
(
⃗
( )
( ) mit
( )
( ) √
gibt Auskunft über 2. Abl. von
| |
Harm. Wellenfld: (
⁄
Wellenlänge:
( )
SPEZIALFALL:
√
( )
∑ ⃗⃗⃗
∑
( )
Schwingung:
Harmonische Näherung:
( )
⃗⃗̈
∑
( )
√ ∫
Gleichungen
Anwendungen:
 Raketengleichung
√ ∫
√
Periodendauer ( )
WELLEN [KURZ]
(Saite):
( ))
√ (
Nur reelle Lösungen, wenn
BILD
Bei Wendepunkten gilt:
Transmissionsspektrum:
: Transmissionsminimum, max. absorbierte Energie
; : Energieniveaus
( )
Aperiodische Bewegung. Asymptotische Annäherung an die
Gleichgewichtslage (bei
) ohne Schwingung.
⃗
⃗̇
( )
̇
SPEKTROSKOPIE
)
⃗⃗̇
∑
ALLGEMEINE LÖSUNG 1D -PROBLEME
: Breite der Resonanzkurve
(
Erhaltungssätze,
IMPULSERHALTUNG
⃗
Eigenfreq.
(
)
| | (starke Dämpfung):
reell, negativ
Freiheitsgrad:
Elektr. System
( )
für
SYMMETRIEN & ERHALTUNGSSÄTZE
Dopplereffekt:
Q-Faktor
Harmonische Schwingung mit exponentionell abnehmender
Amplitude. Die Schwingungsfrequenz ist kleiner als die
Frequenz der freien Schwingung ohne Reibung.
| | (aperiodischer Grenzfall):
für
( )
Überschallflug:
(
̇
( ⃗⃗
⃗)
EIGENMODEN ZWEIER GE KOPPELTEN
HARMONISCHE OSZILLAT OREN
Eigenmode:
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗
⃗⃗)
Lineare Superposition von Fundamentallsg. der BGL.
Schwingungstyp, bei der das System mit nur einer Frequenz
schwingt.
BILD
(
) ( )
̈
(
) ( )
̈
Bestimmung der Eigenfrequenzen
– Möglichkeit 1:
(
)
) (
))
(I)-(II): ( ̈
̈ )
((
Substitution
:
̈
̈
√
(I)+(II): ( ̈
̈ )
(
Subsitution
:
)
)
((
̈
(
Bestimmung der Eigenfrequenzen
Ansatz:
, zu bestimmen:
– Möglichkeit 2:
(
(
(
)(
:(
))
√
̈
)
)
)
Kraft ( )
( )
(
)
( )
( )
⏟
( )
)
 Phononen:
, Masse pro Längeneinheit
: mittlere rücktreibende Kraft
(
)
BILD
Kette mit N Atomen
-te Masse:
; : Ruhelage, : Gitterkonstante
(
)
(
)
̈
(
)
Periodische (Born-von-Karman) Randbedingungen:
Verbinden des ersten und letzten Atoms (Kreis)
Ansatz:
Wir setzen: | |
(Einheitskreis)
mit : zu best. Parameter; : ursprünglicher Gitterpt., Ref.
( ( )
)
chp:
(
)
√
( )
Jedes trägt eine bestimmte Eigenfreqenz
klassifiziert Schwingungszustände
(
 Lichtwellen:
)
Die Kopplung bewirkt, dass sich die Frequenz √ des
ungekoppelten Oszillators zu einem Frequenzband verbreitert.
Dispersionsrelation: -Abhängigkeit von .
ÜBERGANG ZUM SCHWING ENDEN
KONTINUUM, WELLENGLE ICHUNG
Auslenkung benachbarter Atome nur infinitesimal unterschiedl.
( )
wird als kontin. Variable betrachtet.
(
)
̈
Ein Massept. ist an einer Schnur befestigt und rotiere um die Achse. Zieht man mit der Kraft an der Schnurrt wird kleiner.
1. Aufstellen der DGL:
⃗̇
⃗
⃗
( ⃗
⃗̇
⃗
⃗̇ )
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗̇
2. Keppler’sches Gesetz:
√
Lichtgeschwindigkeit
(
⃗⃗
)
BGL FÜ R EINE MASSE I M ZE NTRALFELD
Ausdruck 1 in 2 einsetzen: ̇
̇
Corioliskraft:
)
(
)
(
(⃗
⃗⃗)
̇
Gravitationskraft:
)
√ (
(
DGL für Bahn:
( )
( )
))
̇
̈
Knoten:
⏞
⏟ ̇ ̇
, Exzentrität
( )
̇
( )
̈
: Kreis,
: Ellipse,
: Parabel,
: Hyperb.
1. Kepler Problem:
„Planeten bewegen sich auf Ellipsen in deren Brennpunkt die
Sonne steht.“
EIGENFREQ. EINES SCH WINGENDE SEILS
̇
(auf beiden Seiten festgehalten)
( )
Zusätzliche RB:
(
)
(
Eigenfrequenzen:
̇
Radiale BGL:
̈
)
MECHANIK TEIL 2
( ⃗)
⏞⁄
( )√
⏟
|
Bedingung für stehende Welle:
̇
̇
Bahngleichung: ( )
⃗ ( ⃗)
)
( )
BILD
⃗̈
(
abnimmt.
KEPLER PROBLEM
Totale Energie:
Gesamtwelle = einfallende Welle + reflektierende Welle
( )
(
)
(
)
)
Randbedingung: fester Punkt (
Überlagerte Welle, fix bei x=0:
)
̇
̇
̇
Definition des Drehimpulses:
Damit nimmt ̇ zu, wenn
STEHENDE WELLE
(
̇
( )
̇
Zentrifugalkraft:
(
Bestimme ( ). Es gilt:
Wird ein Raumschiff auf einer stationären Bahn schneller, wenn
es Gas gibt oder bremst?
Auf einer stat. Bahn liefert die Gravitation die Zentripetalkraft:
Bewegung im Zentralfeld num im 2D (d.h. Teilchenbahn liegt in
eines Ebene), da L = konst.
BILD
BILD
|
∫
Radius:
BEISPIEL: RAUMSCHIFF RENNEN
⃗⃗
⃗̇
( ) via Definition des Drehimpulses: ̇
Die Arbeit, die von der Kraft geleistet wird, ist die
überwundene Zentrifugalkraft integriert über die Änderung des
Daraus eliminiere über den Drehimpuls:
Diese DGL lässt sich nun elementar integrieren.
„Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche
Fläche“
( )
(
)
: Wellenzahl = Wellentäler pro Längeneinheit
: Wellenlänge
( )
̈
⃗⃗ zeigt in feste Raumrichtung, senkrecht zu ⃗ und ⃗̇ .
Erhaltung des Drehimpulses:
√
HARMONISCHE WELLE
EIGEINMODEN EINE SCH WINGENDE KETTE
MIT N GEKOPPELTEN OS ZILLATOREN
( )
⃗⃗
BILD
( )
(
BEISPIEL: DREHIMPULS & ENE RGIE
| |
Massepunkt führt Drehbewegung aus, falls ⃗ eine Komponente
senkrecht zu ⃗ besitzt.
⃗⃗
⃗ ⃗
Das Zentralfeld wirkt nur entlang des Radius.
⃗⃗
, Drehimpulserhaltung
Drehimpuls:
 : Auslenkung
 : Ort
 : Zeit
 : Fortpflanzungsgeschw. (Materialkonstante)
Allgemeine Lösung (Satz von d’Alembert):
( ) ⏟(
) ⏟(
)
)
( )
| |
| |
⃗
⏟
 Erdbebenwellen:
⏟
(| |)
(| |)
Kugelsymmetrische Funktion wie das Gravitationsfeld der
Sonne oder das Coulombfeld eines Protons.
Impuls:
( )
( )
BILD
⃗
⃗
⃗
BEWEGUNG EINES MASSENPUNK TES IM
ZENTRALFELD
⃗
Gesamtüberblick Trägheitskräfte: mir ⃗ Vektor zur Referenzpt.
⃗
⏟
⃗
⏟
⃗⃗
⃗ ⏟ ⃗⃗
( ⃗⃗
⃗)
⃗⃗
⏟
⃗
STROM
ELEKTRIZITÄT
Coulombgesetz: ⃗
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗)
Elektrisches Feld: ⃗⃗
⃗⁄
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗| |⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗|
⁄
⃗
Stromdichte: ⃗
∫⃗
Driftgeschwindigkeit: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
-langen Leiters:
: Ladungsdichte
E-Feld Dipol (für grosse ):
(
( )
(
)
(
⁄
Flächenladungsdichte:
)
√
⃗⃗
Äusseres E-Feld einer geladenen Ebene:
Elektrische potentielle Energie:
∫ ⃗⃗
Elektrisches Potential:
⃗
Arbeit einer äusseren Kraft:
Elektrisches Potential:
∫ ⃗⃗ ⃗
( )
( )
Potentialdifferenz:
Potential einer Punktladung:
| ⃗|
mit
√
( ))
)
{
Potential einer Kugelschale:
El. Energie von 2 Ladungen:
Potential eines Punktladungssystems:
Potential einer
∑
( )
-langen Linienladung:
Potential eines Ringes:
Potential eines Scheibe:
√
(√
)
Ringspule:
Schleife:
⃗
⃗⃗
(
⃗
)
⃗⃗
⃗
Maxwellgleichungen als magn. Vektorpotential:
∯
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
+ ⃗
*
Induktionsspannung in einem senkrecht zu seiner Längsachse
und zu bewegten Stab:
⃗
∫ ⃗⃗
Elektrische Flussdichte: ⃗⃗
Elektrischer Fluss:
4. Maxwell-Gleichung (Ampères Gesetz):
KOMPONENTEN
⃗
∮ ⃗⃗
Geschwindigkeitsfilter:
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
| ⃗| | ⃗⃗ |⁄| ⃗⃗|
⁄| ⃗⃗|
3. Maxwell-Gleichung (Faradays Induktionsgesetz):
⃗⃗
⃗⃗
∮ ⃗⃗ ⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
(
⃗⃗
) ⃗⃗
Selbstinduktivität einer Zylinderspule:
Gegeninduktion:
Lenz’sche Regel (alternative Version):
Ändert sich der magn. Fluss durch eine Fläche, so wird ein
Strom induziert, der seinerseits ein Magnetfeld und damit
einen magnetischen Fluss durch dieselbe Fläche hervorruft, der
seiner Ursache entgegengerichtet ist.
BIOT-SAVART
KAPAZITÄTEN/KONDENSATOREN
⃗
⃗⃗
Allgemein:
∫
Zylinderkondensator:
Die differentielle Form heisst lokale Form, die andere globale.
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⁄
⃗⃗
Ohm’sches Gesetz:
bzw.
je Platte
Plattenkondensator:
⃗⃗( ⃗⃗ ⃗⃗⃗): Polarisierung
: von Schleife umschlossener Strom
| ⃗|| ⃗⃗|
⃗
WIDERSTÄNDE
: Fluss des B-Feldes durch Fläche
⃗: Fluss des E-Feldes d. (für Gauss geschl.) Fl.
∬ ⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗( ⃗⃗ ⃗⃗ )
∑ ⃗ : Magnetisierung
MAXWELL FÜR LINEA RE MATERIALIEN
???
Massenspektrometer:
⃗
2. Maxwell-Gleichung (Gauss-Magnetisierungs-Gesetz):
∯ ⃗⃗
⁄
∑
ANDERE GRÖSSEN
⃗⃗
)
MAGNETISCHES VEKTORPOTENTIAL
⃗⃗
⏟
(
-langer Leiter:
Elektrische Energie eines Punktladungssystems:
∫ ⃗⃗
∫
(
Isolierte Kugel (Eigenkapazität):
∫
Kondensator mit Dielektrikum:
)
⃗
⃗
( )
⃗⃗( ⃗)
Kugelkondensator:
Energie:
UNSORTED
⃗⃗ ⃗⃗ )
Energiedichte:
( ⃗⃗)
Energie:
∫
Selbstenergie eine Ladungsverteilung:
⃗⃗⃗⃗⃗ ohne Dielek.
⃗⃗ elektrisches Feld, ⃗⃗ Magnetfeld
⃗⃗ elektrisches Verschiebungsfeld, elektrische Flussdichte
⃗⃗ Magnetisierungsfeld, magnetische Felddichte
⃗: Stromdichte
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗
bei ⃗ und – bei
(
⃗⃗⃗⃗⃗
PIEZOELEKTRIKA
⃗⃗
⃗ ⃗
Potential eines elektr. Dipols:
(
⃗⃗⃗⃗⃗
)
( ⃗⃗ ⃗⃗
{
1. Maxwell-Gleichung (Gauss-Gesetz):
⃗⃗
⃗⃗
⃗
∯ ⃗⃗
⏟
⃗⃗
Feld aus Potential:
nur Elektrostatik
Äusseres E-Feld eines geladenen Leiters:
an der Oberfläche des Leiters
Potential:
(
MAXWELL-GLEICHUNGEN
Gauss’scher Satz:
⃗⃗
Ladung
( )
=Festkörper mit permanentem Dipolmoment ⃗
: Länge ändert sich je nach Feld.
(
)⁄
Drehmoment eines Dipols im E-Feld: ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
Pot. Energie eines Dipols:
Fluss eines E-Feldes:
∮ ⃗⃗ ⃗ [ ]
Lorentzkraft: ⃗
⃗ ⃗⃗ (Rechte-Hand-Regel)
⃗ ⃗⃗
Kraft auf Leiter: ⃗
⃗ [ ⃗]
Magn. Moment: ⃗
:Windungen
Drehmoment auf eine Leiterschleife: ⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗, ⃗: Fläche
El. Energie eines magn. Dipols:
⃗ ⃗⃗
⃗ (pro Windung)
Magnetischer Fluss:
∫ ⃗⃗
Induzierte Spannung (Faraday):
(pro Windung)
Spulen/Magnetfelder:
Zylinderspule:
⃗
ENERGIE & ENERGIE DICHTE
)
 Grenzflächen / Randbedingungen:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Feld im Dielektrikum: ⃗⃗
E-Feld einer runden Leiterplatte:
MAGNETISMUS
ELEKTRISCHES POTENTI AL
( )
∭
⁄
⃗⃗
⃗
∫ ⃗⃗( ⃗)
∬ ( )
El. Dipolmoment:
E-Feld eines Leiterrings:
⃗⃗
Anz. freie Ladungen
 geladene Kugel:
E-Feld radial Kugelschale:
INDUKTIVITÄTEN
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
SPEZIELLE ELEKTRISCH E FELDER
| |
E-Feld einer Punktladung:
E-Feld eines
[ ]
⃗⃗
L:höhe des Zylinders
⃗
⃗
|⃗ |
KRAFT ZWISCHEN 2 PAR ALLELE N STRÖMEN
|⃗ |
| ⃗
⃗⃗|
|
|
AMPÈRE’SCHES GESETZ
⃗⃗
(
⃗
∫
|⃗
⃗⃗
)
⃗|
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗( ⃗)
⃗
|⃗
∫ ⃗( ⃗)
⃗
⃗|
∫(⃗⃗
⃗⃗) ⃗
∮ ⃗⃗ ⃗
∫⃗ ⃗
⃗
[ ⃗ ⃗⃗]
Right-Hand-Rule für positive Ladungen.
INDUZIERTE ELEKTRISC HE FELD ER
Vektoranalysis: |
⃗
VEKTORPOTENTIAL
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
∫
⃗⃗
⃗( ⃗)
|⃗ ⃗ |
⃗
⃗
⃗
⃗⃗ ⃗⃗
haben dasselbe ⃗⃗-Feld.
Diese Freiheit heisst Eichfreiheit.
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗ ⃗ |
⃗⃗
⃗
Resultat:
1.
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
2. ⏟
Ladungsträgerdichte
⏟
ELEKTROMAGNETISCHE-WELLEN
REFLEXION & BRECHUNG
Lösung der Maxwellgleichungen im Vakuum.
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
Alles für lineare Materialien: ⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗̈
⃗
⃗⃗
Lösung suchen mit ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗)
(
⃗⃗)
⏟ (
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
√
⃗⃗
⃗
⃗⃗ ⃗
( ⃗)
( ⃗)
)
⃗
Lorentz-Kraft kompliziert:
⃗⃗
∮ ⃗⃗ ⃗
( ⃗)
(
⃗⃗
⃗
∬ ⃗⃗
⃗)
⏞
(
)
⃗
⃗
⃗⃗
⏞
(
⃗)
(
)
Die magnetische Teil der Lorentzkraft leistet nie Arbeit!
⃗⃗
) ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
( )
(
)
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
)
⃗⃗
(
)
√
( )
|
(⃗⃗
(
⃗)
Poynting für planare Wellen: ( )
⃗⃗
)
⃗⃗
(⃗⃗
)
| ⃗⃗|
⃗⃗
| ⃗⃗ |
| wenn -einfallend
⃗
(
POYNTING THEROEM, EN E RGIE FLUSS
⃗⃗
| ⃗⃗ |
)
⃗⃗
Interpretation Poyntingvektor:
)
⃗⃗
Ansatz zur Lösung
⃗⃗ ⃗⃗
Einsetzen in WG:
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗ ⃗)
⃗⃗ ⃗
(
(
| ⃗⃗|
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
(
Beschreibt den Energiefluss.
Poyntingvektor: ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Energiedichte:
( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗)
| ⃗⃗|
⃗⃗ )
(
Maxwell-Faraday-Gleichung:
⃗⃗( ⃗ )
⃗⃗( ⃗ )
1. GESETZ DER MAGNET OSTATIK
⃗ (⃗⃗ )
1. Gesetz der Magnetostatik:
⃗⃗
)
POYNTING VEKTOR
⃗⃗
Brauchbare Wellengleichung:
Lorentz-Kraft:
GESETZE DER MAGNETOS TATIK
⃗⃗̂
⃗⃗
( )
⃗⃗
∫ ⃗
(
Reflektivität:
⃗
⃗
⃗
(
Metamaterialien:
Wellengleichung:
Faraday-Gesetz (auch Induktionsgesetz):
⃗⃗
⃗⃗
∬ ⃗⃗( ⃗ )
(
⏟
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
-Feldern. u
⃗⃗
⃗⃗ )
(
⃗⃗)
(
( )
(Verallgemeinerung von Elektrostatik
Anderes komisches Gesetz:
KONTINUITÄTSGLEICHUN G
⃗⃗
⃗
Gesamtstrom aus einem Volumen
)
) (Snell-Gesetz)
FELD EINES STROMFADENS
∫ ⃗⃗
(
(
( )
( )
( )
( )
Die Tangentialkomp. bleiben erhalten bei
Magnetischer Fluss:
( )
⃗⃗⃗⃗⃗
MAGNETISCHE FELDER E INFACHER
STROMVERTEILUNGEN
GESETZE DER ELEKTROD YNAMI K
⁄
⃗⃗⃗⃗⃗
BRECHUNG U ND FELDE R AN GRENZF LÄCHEN
∮ ⃗⃗ ⃗
( )
⃗⃗⃗⃗
( )
3.
|⃗ ⃗ |
ELEKTRODYNAMIK
⏟
⃗⃗
⃗⃗
SPULE MIT EISENKERN
Elektromotorische Kraft:
Kontinuitätsgleichung:
)
FELDVERHALTEN AN GRE NZF LÄCHEN
Stationärer Fall:
Homogener Fall:
⃗ ⃗
Strom entlang eines Weges . Parametrisierung von nach
ser Bogenlänge : ⃗ ⃗( ). ⃗ jeweils der Tangentialvektor.
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗( )
⃗
(⃗ ⃗ )
⃗⃗( ⃗)
∫ ⃗
|⃗ ⃗ |
ELEKTRISCHER STROM
Drude-Modell:
̇
̈
⃗
Elektrisches Verschiebungsfeld:
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
(
⃗⃗ ⃗⃗
für lineare Materialien:
Elektrischer Verschiebungsstrom:
⃗⃗
⃗⃗
⃗
3. Ampère:
4. Lorentz-Kraft:
⃗⃗
⃗⃗
2. Biot-Savart:
MAGNETFELD IN EI NEM LEITER
∮ ⃗⃗
⃗
)
Elektromagnetische Induktion:
⃗
∮ ⃗⃗
(
| ⃗⃗|
⃗⃗
⃗⃗
S: Poynting-Vektor (Energiefluss des EM-Feldes)
Ganzer Abschnitt unter Annahme, dass Material linear
w: Energiedichte
⃗⃗
⃗
⃗ ⃗⃗
( ⃗⃗
)
Integralform:
∫
Ingenieursform:
∮ ⃗
⃗
∫ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗)
⃗
∮ ⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
∭ ( ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
loses Ende: „Bauch“ (
⃗ ⃗⃗
)
(
)
⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
Vektoren parallel oder einer ⃗⃗.
distributiv: ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
nicht assoziativ: ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗⃗) ⃗
bilinear: ( ⃗) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗)
( ⃗ ⃗⃗)
STEHENDE WELLEN
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗)
(
(
(
)
(
INTENSITÄT
(
Intensität = |Amplitude|^2
)
)
(
)
(
)
))
(
)
ANDERES MATH
RESONANZ
WAVE MODEL
Kugel:
Kreis:
Auf beiden Seiten fest, so ist der Abstand:
DIVERSES
( )
| ⃗ ⃗⃗| | ⃗|| ⃗⃗| ( )
⃗ ⃗⃗ | ⃗|| ⃗⃗|
Laplace-Operator (Vektorfelder):
⃗
⃗)
⃗)
(
(
(
)
Laplace-Operator (Skalarfelder):
POLARKOORDINATEN
WEITERE TRÄGHEITSMOM ENTE
Auf einer Seite fest, auf der anderen lose:
PARTICLE MODEL
(
WELLEN
Kraft = Masse * Beschleunigung gilt hier nicht mehr!!
EBENE WELLEN
ZYLINDERK OORDINATEN
( )
Wellenvektor:
⃗
| ⃗|
⃗⃗
⃗⃗ ⃗)
(⃗ )
(
Wellenfront (= Orte gleicher Phasenlage):
⃗⃗ ⃗
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
(
HUYGENS’SCHES PRINZI P
Von jedem Punkt einer Wellenfront geht eine Kugelwelle aus.
SENKRECHTE REFLEXION
) senkrecht auf ein
, entsteht eine
Ein- und auslaufende Wellen überlagern sich:
( )
( )
( )
Am Ort der Reflexion:
festes Ende: „Knoten“ ( )
)
⁄
⁄
⁄
⁄
 Materialien?
Zylindermantel
 Ableiten um Integrale aus DGLs zu entfernen
)
 Homogene Ladungsverteilung?!
 1/(4PiEpsilon) nicht vergessen?
 E-Feld in Kugelkondensator nicht homogen!
 Frequenz -> BGL -> harm. Oszillator
Planck:
Gravitationskonstante:
BLABA
[ ]
(⃗
Vollkugel
Elektronenvolt:
Masse eines Elektrons:
Masse eines Protons:
Atommasseeinheit:
Ladung eines Elektrons:
Dielektrizitätskonstante:
⃗⃗)
⃗⃗ (
⃗)
⃗ (
⃗⃗)
Zusammenfassung:
Kugelschale
Permeabilitätskonstante:
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
Allgemein (Rotation
um z-Achse)
∫(
∫
|⃗⃗
(⃗⃗ )
⃗⃗ |
⃗⃗⃗
∫
⃗(⃗⃗ )
|⃗⃗ ⃗⃗ |
BEISPIEL SCHALLWELLE N, ÜBERLAGERUNG
)
EINHEITEN
Normdruck:
Grösse
VEKTORRECHNUNG
)
⁄
 Konvention beachtet? Vektor neg. -> pos. Ladung
( )
Erde: Radius
Druck:
⁄(
⁄
)
 Diff’gl nicht lösbar -> Taylor
( )
Coulomb:
⁄(
 a << b oder a>>b -> Taylor-Entwicklung
Vollzylinder
Pi:
Euler:
⃗ ⃗ Vektor von der gegenw. Position zur Quelle der Kugelw.
konstruktiv: | ⃗ | | ⃗ |
)
destruktiv: | ⃗ | | ⃗ | (
⁄
 Potential -> Vorzeichen richtig?
)
KONSTANTEN
INTERFERENZ
⁄
 Volumenladungsdichte -> Ladung nicht auf Oberfläche
(
(
| ⃗|
-
)
MÖGLICHE FEHLERQUEL L EN / I DEEN
Hohlzylinder
| ⃗⃗|| ⃗|)
Wellenfronten:
(
Trifft eine Welle ( )
undurchdringliches Hindernis bei
rücklaufende Welle:
( )
(
Bei festem Ende: Phasensprung
Bei losem Ende: Phasensprung
Vollzylinder
( )
( )
( )
Kugelvolumen:
KUGEL-/KREISWELLEN
(⃗ )
Zylindermantel
KUGELKOORDINATEN
Wellendarstellung:
Wellendarstellung:
)
⁄(
⁄
⁄
Magn. Leitfähigkeit
Dipoldichte, Polarisation ⃗⃗
magn. Dipoldichte, Magnetisierung ⃗⃗⃗
elektr. Suszeptibilität
magn. Suszeptibilität
Dielektr. Verschiebungsdichte ⃗⃗
Magn. Induktion, Flussdichte ⃗⃗
Strom
Magnetischer Fluss
Spannung
Magn. Spannung
Widerstand
magn. Widerstand
Kapazität
Induktivität
Ladung
Linienladungsdichte
Flächenladungsdichte
Volumenladungsdichte
Flächenstromdichte
, Masse
Elektrische Feldstärke ⃗⃗
Magnetische Feldstärke ⃗⃗
Elektrische Stromdichte ⃗
Magn. Induktion, Flussdichte ⃗⃗
Elektr. Leitfähigkeit
Intensitätsmax für:
Intensitätsmin. für:
Einheit
⁄
⁄
ANMERKUNGEN ZUM SCHL USS
⁄
⁄
⁄(
)
Magnetische Feldlinien gehen von N nach S, schneiden nie
Elektrische Feldlinien von + zu -, auf Leiter, schneiden nie