Übung 4

Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd
Institut für Mathematik und Informatik
Albrecht: Vorkurs Mathematik
uebung_4_geo.docx: Geometrische Abbildungen
1. Ein senkrecht stehender Bambusstab (Strecke) knickt ab und seine Spitze S trifft an der
Stelle P auf den Boden.
a) Welche Bedingung gilt für den Punkt P?
b) An welchem Punkt K ist er abgeknickt?
2. Zwei Orte (Punkte) A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses, dessen Ufer
Sie als parallele Geraden darstellen. Um die beiden Orte durch eine Straße verbinden
zu können, benötigt man auch eine Brücke über den Fluss. Aus Kostengründen muss
diese Brücke genau senkrecht zu den Flussufern gebaut werden. Bestimmen Sie den
Ort der Brücke über den Fluss, so dass auch die Länge der Verbindungsstraße von A
zur Brücke und von dort aus zu B minimal wird.
3. Gegeben ist ein Punkt C im Winkelfeld zweier Geraden a und b.
a) Bestimmen Sie die Punkte A auf a und B auf b so, dass C die Strecke AB genau halbiert.
b) Bestimmen Sie die Punkte A auf a und B auf b so, dass das Dreieck ABC gleichseitig
ist.
c) Bestimmen Sie die Punkte A auf a und B auf b so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei C ist.
d) Bestimmen Sie die Punkte A auf a und B auf b so, dass das Dreieck ABC einen minimalen Umfang hat.
4. Gegeben sind drei zueinander parallele Geraden a, b und c in beliebigem Abstand.
Bestimmen Sie die Punkte A auf a, B auf b und C auf c so, dass diese ein gleichseitiges
Dreieck bilden.
5. Beweisen Sie den Satz vom Mittenparallelogramm beliebiger Vierecke auf traditionellem Euklidischem Weg. Zeichnen Sie dazu ein beliebiges Viereck ABCD mit dessen
Seitenmitten P, Q, R und S. Verbinden Sie P mit Q und R mit S und zeichnen Sie die
Diagonale AC, dann sehen Sie den Beweis!
6. Nehmen Sie Ihr mitgebrachtes gleichseitiges Dreieck und untersuchen Sie dieses auf
seine Symmetrien. Stellen Sie – wie in der Vorlesung demonstriert – eine Verknüpfungstafel auf und untersuchen Sie diese auf Gruppeneigenschaft.
7. Schalten Sie in Cinderella mit der Schaltfläche
tems ein und mit der Schaltfläche
die Anzeige des Koordinatensys-
die Anzeige des Koordinatengitters. Mit der
Schaltfläche
erreichen Sie, dass Objekte (Punkte) an den Gitterpunkten einrasten.
a) Tragen Sie die Punkte P, Q und R mit den Koordinaten P:[–1, –1], Q:[1,0], R:[5, 2]
ein und das Dreieck ABC mit den Eckenkoordinaten A:[4, –3], B:[11, –1], C:[8, 4].
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Vorkurs Mathematik
b) Definieren Sie eine Ähnlichkeitsabbildung (MODI / TRANSFORMATION / ÄHNLICHKEIT),
bei welcher P auf Q und Q auf R abgebildet wird und bilden Sie das Dreieck ABC
ab. Welche Koordinaten haben die Bildpunkte A’, B’ und C’?
c) Hat die Abbildung einen Fixpunkt? Wenn ja, welche Koordinaten hat dieser?
8. Nehmen Sie ein kariertes DIN-A-4-Blatt quer und zeichnen Sie darauf ein kartesisches
Koordinatensystem, dessen Ursprung ca. 10 cm vom linken und ca. 8 cm vom oberen
Blattrand entfernt ist. Die Einheit betrage 1 cm (also 2 Karos).
a) Tragen Sie in dieses kartesische Koordinatensystem die Punkte A:[–3, –2], B:[8, –2],
C:[8, 1], D:[7, 2], E:[1, 2], F:[1, 3], G:[–1, 6] und H:[–3, 3] ein. Verbinden Sie die
Punkte in der angegebenen Reihenfolge und schließen Sie den Streckenzug zum
Punkt A.
b) Erstellen Sie eine klare und eindeutige Handlungsanweisung, wie Punkte, deren
Koordinaten gegeben sind, in ein Koordinatensystem einzutragen sind!
c) Tragen Sie die Punkte U:[0, -1], E1:[1, –2] und E2:[3, 0] in rot ein.
d) Legen Sie durch U und E1 eine rote Gerade. Diese Gerade ist die x-Achse eines affinen Koordinatensystems. Die Entfernung zwischen den Punkten U und E1 ist die
Längeneinheit dieser Achse.
e) Legen Sie durch U und E2 eine weitere rote Gerade. Diese Gerade ist die y-Achse
des affinen Koordinatensystems. Die Entfernung zwischen den Punkten U und E2 ist
die Längeneinheit dieser Achse.
f) Die roten Achsen sind die Achsen eines affinen Koordinatensystems. Tragen Sie
entsprechend Ihrer oben formulierten Handlungsanweisung in dieses affine Koordinatensystem den oben angegebenen Punkt A:[–3, –2] in Rot ein.
g) Tragen Sie in das affine Koordinatensystem die weiteren oben angegebenen 7 Punkte B bis H in Rot ein und verbinden Sie diese miteinander. Die rote Figur ist das affine Bild der vorherigen Figur.
h) Wie lauten die Koordinaten der affinen Bildpunkte A’ bis H’ im kartesischen System?
9. Schalten Sie in Cinderella mit der Schaltfläche
tems ein und mit der Schaltfläche
die Anzeige des Koordinatensys-
die Anzeige des Koordinatengitters. Mit der
Schaltfläche
erreichen Sie, dass Objekte (Punkte) an den Gitterpunkten einrasten.
a) Gegeben sind die Punkte P, Q, R, S, T und U mit den Koordinaten P:[–2, 0], Q:[1,
3], R:[1, –1], S:[2, 0], T:[–1, –2], U:[3, –3]. Definieren Sie eine affine Abbildung
(MODI / TRANSFORMATION / AFFINE TRANSFORMATION), welche P auf S, Q auf T und R
auf U abbildet. Bilden Sie mit dieser Affinität das Dreieck ABC (A:[4, 0], B:[16, 1],
C:[7, 10]) ab.
b) Wie lauten die Koordinaten dessen Bildpunkte?
c) Konstruieren Sie den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC und bilden Sie H
durch die definierte Affinität ab. Überprüfen Sie, ob der Bildpunkt H’ auch der Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks A’B’C’ ist.
d) Wieso ist das so?
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Vorkurs Mathematik
e) Konstruieren Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC und bilden Sie auch diesen
Punkt ab. Überprüfen Sie, ob der Bildpunkt S’ der Schwerpunkt des Bilddreiecks
A’B’C’ ist.
f) Wieso ist das so?
g) Konstruieren Sie den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks ABC und bilden Sie diesen ab. Überprüfen Sie, ob dessen Bildpunkt U’ der Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks A’B’C’ ist.
h) Wieso ist das so?
10. Zeichnen Sie in Cinderella die Punkte P, Q und R sowie den Punkt A. Spiegeln Sie A
an P nach A’, dann A’ an Q nach A’’ und schließlich A’’ an R nach A’’’.
a) Schaffen Sie es durch dynamisches Verändern von A, dass A und A’’’ aufeinanderliegen?
b) Falls Sie dies schaffen: In welcher Beziehung steht der gemeinsame Punkt A/A’’’ zu
den Punkten P, Q und R?
c) In welcher Beziehung stehen die Punkte P, Q und R zu den Punkten A/A’’’, A’ und
A’’?
11. Übertragen Sie die obige Aufgabe 8 in Cinderella:
a) Setzen Sie die Punkte A bis H in das Koordinatensystem, färben Sie diese blau und
verbinden Sie diese mit einem Streckenzug.
b) Tragen Sie die Punkte U:[0, -1], E1:[1, –2] und E2:[3, 0] in Rot ein.
c) Legen Sie durch U und E1 eine rote Gerade, ebenso durch U und E2.
d) Definieren Sie die entsprechende affine Abbildung, welche die Punkte A bis H in
das rote, affine Koordinatensystem überträgt! Zur Definition einer affinen Abbildung
benötigen Sie grundsätzlich drei zugeordnete Punktepaare, Sie müssen sich dabei
fragen, welcher Punkt des kartesischen Systems wird auf welchen Punkt des affinen
Systems abgebildet? Ziehen Sie die beiden Koordinatenursprünge und die Einheiten
der jeweiligen Achsen in Ihre Überlegungen mit ein!
e) Bilden Sie dann die Punkte A bis H mit dem erzeugten Abbildungsobjekt ab und
verbinden Sie diese mit einem Streckenzug. Vergleichen Sie Ihr von Hand gezeichnetes Ergebnis aus Aufgabe 8 mit dem Ergebnis in Cinderella.