A02 Spezifische Ladung des Elektrons

Ernst–Moritz–Arndt–Universität Greifswald
Institut für Physik
Versuch A02: Spezifische Ladung des Elektrons
Physik, Studentenfassung(100000) vom 5. Dezember 2016
Gruppe/Versuchs–Nr.:
/
Datum:
Name 1:
Name 2:
Note Testat:
Note Testat:
Note Protokoll:
Betreuer:
• Versuchsziel
Bestimmung der massenspezifischen elektrischen Ladung eines Elektrons sowie der Vertikalkomponente
des Erdmagnetfeldes
• Themen zur Vorbereitung
Durchflutungsgesetz, Biot–Savartsches Gesetz, Lorentz–Kraft, Erdmagnetfeld, Helmholtz–Spule,
Erdmagnetfeld;
Messanordnung A: Elektronenstrahlröhre, Messanordnung B: Fadenstrahlrohr
• Messaufgaben
1. A: Messen Sie die Ablenkung s des Elektronenstrahls in einer Elektronenstrahlröhre in Abhängigkeit
von der Stromstärke I in der Ringspule für 11 verschiedene Werte I0 = 0 und Ik ≈ k · 200 mA, für
k = 0, 1, 2, . . . , 10.
Hinweise:
(i) Nutzen Sie zur Aufzeichnung die Tabelle im Anhang A.3. S. 11.
(ii) Die Messung von s∗0 = sErde zum Wert I0 = 0 wird auch zur Bestimmung des Erdmagnetfeldes
benötigt.
(iii) Beachten Sie weitere Hinweise im Abschnitt 4.1.
2. A: Drehen Sie die horizontal ausgerichtete Röhre um 180◦ um ihre Längsachse und messen Sie bei
abgeschaltetem Spulenstrom (I = 0) die Ablenkung s.
Hinweise: Dies liefert den Wert sErde zur Bestimmung des Erdmagnetfeldes.
3. B: Messen Sie die Kreisdurchmesser d der Elektronenbahnen im Fadenstrahlrohr. Wählen Sie für die
Beschleunigungsspannung U die Werte ≈ 200 V und ≈ 250 V. Die Stromstärke I in der Helmholtz–
Spule variieren Sie im Bereich (1..2) A, in Schritten von ca. 100 mA, für einen jeden Wert von U .
Hinweis:
(i) Die maximale Heizspannung des Fadenstrahlrohr beträgt 6, 3 V, die maximale Beschleunigungsspannung 300 V. Höhere Spannungen können im Dauerbetrieb die Röhre zerstören.
(ii) Beachten Sie auch die Hinweise im Abschnitt 4.2.
(iii) Nutzen Sie zur Aufzeichnung der Messwerte die Tabelle im Anhang A.4. S. 12.
• Sicherheitshinweise
– Die Elektronenstrahlröhre und die Fadenstrahlröhre werden mit berührungsgefährlichen Gleichspannungen von 650 V bzw. bis zu 500 V betrieben. Im Anschlussfeld der Röhren, bei einem Kabelbruch
oder dem Lösen von Steckverbindungen besteht die Gefahr des Stromschlags.
– Die gehäuselose Fadenstrahlröhre wie auch die Helmholtz–Spule darf während des Betriebs nicht
berührt werden.
– In den Röhren (Glaskolben) besteht Unterdruck. Sie dürfen keinen starken Erschütterungen ausgesetzt
werden, es besteht Bruchgefahr.
Physikalisches Grundpraktikum
• Auswertung
1. A: Berechnen Sie aus den gemessenen Auslenkungen s∗k und zugehörigen Stromstärken Ik nach (26)
die Auslenkungen sk infolge des Spulenstroms und nach (20) die zugehörigen magnetischen Flussdichten Bk . Nutzen Sie die Tabelle im Anhang A.3.
2. A: Bestimmen Sie die Empfindlichkeit (19) der Apparatur mittels linearer Regression (mit Angabe der
Messabweichung). Beachten Sie die Hinweise unter im Abschnitt 4.1.
3. A: Ermitteln Sie die massenspezifische elektrische Ladung eines Elektrons nach Gl.(21) (Angabe der
Messabweichung).
4. A: Bestimmen Sie nach (24) die Vertikalkomponente BErde,v des Erdmagnetfeldes (mit Angabe der
Messabweichung).
5. B: Ermitteln Sie aus den Messwerten vom Fadenstrahlrohr (Messaufgabe 3) die spezifische Elektronenladung e∗ nach Gl. (25) (mit Angabe der Größtabweichung für die Einzelmessung und des Vertrauensbereiches des Mittelwertes). Nutzen Sie die Tabelle im Anhang A.4.
• Aufgaben zur Vorbereitung
1. Welche Geschwindigkeit v hat ein Elektron beim Auftreffen auf den Schirm einer Elektronenstrahlröhre, wenn die Beschleunigungsspannung U = 200 V beträgt? Geben Sie v in Einheiten von m/ s,
km/h wie auch der Vakuumlichtgeschwindigkeit an.
2. Welche Zeit benötigt ein Elektron für einen Umlauf auf einem Kreis mit dem Radius r = 7cm bei der
Geschwindigkeit v der vorherigen Aufgabe.
2
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A02: Spezifische Ladung des Elektrons
1
1.1
Grundlagen
Für die Beträge dieser Kräfte gilt somit evB = me v 2 /r.
Daraus folgt der Bahnradius
Lorentz–Kraft
r=
me v
.
eB
(5)
Eine elektrische Punktladung Q bewege sich mit der Für die massenspezifische Ladung des Elektrons erhält
Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld der Flussdich- man −e∗ , mit
te B. Dann wirkt auf sie die nach Hendrik Antoon
v
e
Lorentz (1853–1928) benannte Kraft,
=
.
(6)
e∗ ≡
me
rB
FL = Q v × B
(1)
Aus (2) und (4) folgt
Für ihren Betrag gilt,
e∗ = 1, 758 820 088(39) · 1011
FL = Q vB sin ](v, B) .
Bei festen Werten für Q, v und B ist FL am größten,
wenn v senkrecht zu B steht, ](v, B) = 90◦ . Zeigen hingegen v und B in die gleiche Richtung, gilt also
](v, B) = 0 oder ](v, B) = 180◦ , dann verschwindet
FL . Ein Elektron hat die elektrische Ladung −e, wobei
e = 1, 602 176 565(35) · 10−19 As
1.3
As
kg
Energieaufnahme eines Elektrons
im elektrischen Feld
(2)
In einem räumlich und zeitlich konstanten elektrischen
die Elementarladung bezeichnet. Für die Lorentz–Kraft Feld E wirkt auf ein Elektron mit der Ladung −e die
folgt somit (Abb. 1),
Kraft Fe = −eE. Wird das elektrische Feld erzeugt,
indem man zwischen zwei Punkten (z.B. KondensatorFL = −e v × B .
(3) platten) im Abstand l die elektrische Spannung U anlegt, so gilt E = U/l. Folglich gilt auch,
Fe =
Abb. 1: Lorentz–Kraft FL , die auf ein Elektron der Ladung −e wirkt, welches sich mit der Geschwindikeit v im
Magnetfeld der Flussdichte B bewegt.
1.2
Bahnkurve eines Elektrons
im Magnetfeld
Ein Elektron hat die Masse
me = 9, 109 382 91(40) · 10−31 kg .
eU
.
l
Durchläuft ein Elektron einen (beliebigen) Weg von einem Anfangs– zu einem Endpunkt, zwischen denen die
elektrische Spannung U abfällt, und ist der Anfangspunkt gegenüber dem Endpunkt negativ geladen, so wird
das Elektron beschleunigt und hat im Endpunkt die kinetische Energie eU gewonnen. Startet das Elektron hierbei aus der Ruhelage und bewegt es sich reibungsfrei
(keine Energieabgabe an die Umgebung), so gilt im Endpunkt me v 2 /2 = eU und folglich für die Endgeschwindigkeit,1 )
r
2eU
v=
.
(7)
me
(4)
Beträgt die elektrische Spannung U = 1 V, so sagt man,
das Elektron hat die Energie 1 Elektronenvolt (1 eV) aufEs bewege sich mit der Geschwindigkeit v transversal
genommen. Es gilt also,
zu einem Magnetfeld B, ](v, B) = 90◦ . Die Energieverluste etwa durch Reibung im Medium oder Strah1 eV ≡ e · 1 V = 1, 602 176 565(35) · 10−19 Ws .
lungsemission seien vernachlässigt. Infolge der Lorentz–
Kraft FL , Gl. (3), bewegt es sich auf einer Kreisbahn mit
1 ) Im Experiment sind die Geschwindigkeiten v klein
dem Radius r. Dabei stehen FL und die entgegen ge- genug, so dass nicht–relativistisch gerechnet werden kann,
richtete Zentrifugalkraft im Gleichgewicht, FL = −FZ . s. Anhang S. 10.
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Physikalisches Grundpraktikum
1.4
Durchflutungsgesetz
Ein elektrischer Strom I in einem geraden Leiter (z. B.
Kupferdraht) erzeugt im umgebenden Raum ein Magnetfeld der Feldstärke H. Die Feldlinien sind kreisförmig
geschlossen, mit dem Stromleiter in der Kreismitte. Den
Zusammenhang zwischen I und H beschreibt das Linienintegral über einen geschlossenen Weg (Kreisintegral), das sog. Durchflutungsgesetz,
I
Hdx = I .
1.5
Magnetfeld eines Ringleiters
Nach Jean–Baptiste Biot (1774–1862) und Félix Abb. 2: Magnetfeldlinien H um einen stromdurchflossenen
Savart (1791–1841) kann der Beitrag des elektrischen Ringleiter (schematisch)
Stroms I durch ein infinitesimales Wegelement dl an der
Stelle x0 zur magnetischen Feldstärke in einem beliebiVs die Permeabilität des VaDarin ist µ0 = 4π · 10−7 Am
gen Punkt x wie folgt berechnet werden,
kuums.
x − x0
I
Im Spulenzentrum (x = 0) erhält man,
dl(x0 ) ×
.
dH(x) =
4π
|x − x0 |3
µ0 N I
B(0) =
.
(10)
Darin bezeichnet dl(x0 ) ein Wegelement an der Stelle
2R
x0 , durch das ein elektrischer Strom der Stärke I fließt.
Der Stromweg (anschaulich: ein Draht) sei durch den Den relativen Verlauf
parametrisierten Weg x0 (s), mit dem Wegparameter s,
−3/2
B(x) s0 ≤ s ≤ s1 , beschrieben. Dann erhält man die gesamte
= 1 + (x/R)2
(11)
B(0)
Feldstärke im Aufpunkt x durch,
Z s1
zeigt Abb. 3.
I
x − x0 (s)
H(x) =
dl x0 (s) ×
.
3
4π s0
|x − x0 (s)|
Die obige Integration ist nur im besonderen Fällen analytisch möglich, wie z.B. bei einem Ringleiter mit dem
Radius R, Abb.2. Dann zeigt H in Richtung der Mittelpunktachse (x–Achse), die senkrecht zur Kreisebene
steht, und im Abstand x von der Kreisebene gilt
H(x) =
R2
I
.
2 (R2 + x2 )3/2
(8)
Für die Kreismitte des Ringleiters (x = 0) erhält man
somit H(0) = I/(2R). Hat der Ringleiter N Windungen und befindet er sich in Luft mit der relativen Permeabilität von
Abb. 3: Relativer Verlauf (11) der Magnetfeldstärke einer
Ringspule entlang der Symmetrieachse (x–Achse in Abb. 2).
1.6
Helmholtz–Spule
µr ≈ 1 + 0, 410−6 ≈ 1 ,
Die nach Hermann von Helmholtz (1821–1894)
dann erhält man für die magnetische Flussdichte B = benannte Anordung besteht aus einem Spulenpaar, Ringleitern vom Radius R, mit jeweils N Windungen. Sie sind
µ0 µr H aus (8),
planparallel im Abstand L angeordnet, ihre Symmetrieachsen fallen zusammen, Abb. 4. Der Richtungssinn der
µ0 N I
R2
B(x) =
.
(9) Ströme I in den beiden Spulen ist gleich. Ihre Beiträge
2
2
3/2
2 (R + x )
4
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A02: Spezifische Ladung des Elektrons
Abb. 4: Magnetfeldlinien H um eine Helmholtz–Spule
(schematisch).
zum gesamten magnetischen Fluss entlang der Symmetrieachse, mit dem Nullpunkt im Zentrum, ist unter Beachtung von (9) BH (x) = B(x − L/2) + B(x + L/2).
Für die zentrale Position (x = 0) erhält man,
µ0 N R2
BH (0) =
I .
2
(R + L2 /4)3/2
Befinden sich die Spulen im Abstand L = R, so erhält
man,
8µ0 N
BH (0) = √
I .
(12)
125 R
Den relativen Verlauf
BH (x)
B(x − L/2) + B(x + L/2)
=
B(0)
B(0)
(13)
zeigt Abb. 5.
Für L = R ist das Magnetfeld im Spulenzwischenraum
entlang der Symmetrieachse nur schwach veränderlich.
Im Bereich −R/4 < x < R/4 ändert sich die Feldstärke um weniger als 0, 5%, und für −R/2 < x < R/2 um
weniger als 5, 6%. Dabei darf aber nicht übersehen werden, dass sich die Magnetfeldstärke in radialer Richtung
vergleichsweise stark ändert.
1.7
Erdmagnetfeld
Das Erdmagnetfeld lässt sich recht gut durch einen magnetischen Dipol (Stabmagnet) modellieren. Die Abweichungen von solch einem Modell liegen bei etwa 10%.
Schon Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
erkannte, dass der Ursprung des Feldes im Erdinneren
liegt.
Abb. 5: Relativer Verlauf (13) der Magnetfeldstärke um eine Doppelspule entlang der Symmetrieachse (entspricht der
x–Achse in Abb. 2). Parameter ist das Verhältnis aus Spulenabstand L zum Spulenradius R. Der Fall L/R = 1 entspricht
der Helmholtz–Spule in Abb. 4.
km. Dieser hat vermutlich eine ähnlich niedrige Viskosität wie Wasser. Heiße Schmelze steigt infolge der
geringeren Dichte auf, kühlt sich am Rand zum kälteren zähflüssigen unteren Erdmantel (660 . . . 2900) km)
ab, um dann infolge der erhöhten Massedichte wieder
in den äußeren Erdkern „abzutauchen“. Somit bilden
sich große Konvektionszellen, die infolge der Erdrotation schraubenförmig parallel zur Drehachse verlaufen.
Energetisch angetrieben wird dies durch Kernspaltprozesse im Erdkern. Mit der Schmelze werden frei bewegliche elektrische Ladungsträger bewegt. Im Magnetfeld, welches durch die Verhältnisse in der Umgebung
erzeugt wird, werden sie durch die Lorentz–Kraft abgelenkt. Sie stellen einen Strom dar, der seinerseits einen
Beitrag zum Erdmagnetfeld liefert. Man spricht hier vom
Geodynamo.
Die magnetischen Pole sind nicht ortsfest, wie überhaupt
das gesamte Magnetfeld einer Veränderung unterliegt.
Aus paläomagnetischen Untersuchungen von Gesteinsformationen weiß man, dass im Laufe der Erdgeschichte
wiederholt auch Umpolungen auftraten, in Zeitabständen von 105 . . . 107 Jahren. Es gibt aber auch vergleichsweise schnelle Änderungen. So wurden z. B. Verschiebungen der magnetischen Pole um ca. 30 km/a gemessen.
Derzeitig ist in den mittleren und hohen Breitengraden
die Vertikalkomponente, d.i. die radial zum Erdmittelpunkt gerichtete Komponente, stärker als in Äquatornähe. Auf der Nordhalbkugel weist sie nach unten. Folglich liegt der magnetische Südpol zur Zeit auf der Nordhalbkugel.2 ) Die magnetische Dipolachse ist um etwa
Heute führt man die Entstehung auf große elektrische
2 ) Bei einem Stabmagneten treten die magnetischen FeldStröme zurück, die ihrerseits mit großen Masseströmen
im sogenannten äußeren Erdkern in Tiefen (2900 . . . 5100) linien am Südpol in den Stab ein und am Nordpol aus.
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Physikalisches Grundpraktikum
11, 4◦ gegenüber der Rotationsachse der Erde geneigt.
Den Neigungswinkel der magnetischen Feldlinien an einem bestimmten Punkt der Erdoberfläche gegenüber der
Horizontalen nennt man Inklination, β. Unter diesem
Winkel treten die Feldlinien in die Erdoberfläche ein.
Eine Kompassnadel richtet sich nach ihnen aus, sofern
dies die Aufhängung der Nadel zulässt. In Deutschland
gilt β = 62◦ . . . 70◦ (Stand 2010). An den magnetischen Polen gilt β = 90◦ und am magnetischen Äquator
β = 0. Mit dem gesamten Erdmagnetfeld ist auch die
Inklination zeitlich veränderlich. Diese Änderung beträgt jedoch weniger als 0, 3◦ /a. Die mittlere magnetische Flussdichte auf der Erdoberfläche hat den Betrag
von etwa
B ≈ 50µT .
Die Vertikalkomponennte in Deutschland liegt im Bereich von (10 . . . 20)µT.
2.2
Messanordnung A:
Elektronenstrahlröhre
in Ringspule
Ablenkung des Elektronenstrahls: Elektronen
werden in einer Elektronenstrahlröhre mit der Beschleunigungsspannung U auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, Abb. 6. Danach durchlaufen sie in der Röhre die
Wegstrecke l bis zum Bildschirm. Bewegen sie sich darüber hinaus in der Ebene eines Ringleiters mit dem Radius R, der die Stromstärke I führt (vgl. Abb. 3), werden sie durch die Lorentzkraft (3) abgelenkt und auf eine
Kreisbahn mit dem Radius r gezwungen. Dabei gilt die
Beziehung (14).
Nimmt man weiterhin an, dass die Flugbahn der Elektronen dicht bei der Symmetrieachse der Ringspule liegt,
so kann man für B näherungsweise den Wert (10) im
Spulenzentrum verwenden. Man erhält dann,
e∗ ≈
2
2.1
Messprinzip
2U · 4R2
.
· (µ0 N I)2
r2
(15)
Die Ablenkung s kann auf dem Bildschirm der Röhre
gemessen werden. Kennt man auch l und gilt l r, so
kann man den Bahnradius aus
Spezifische Ladung
aus Bahnradius
r≈
l2
2s
(16)
Elektronen werden in einem elektrischen Feld auf einer hinreichend genau berechnen (s. Anhang S. 9). Geht
Wegstrecke, über welcher die elektrische Spannung U
abfällt, auf die durch (7) gegebene Geschwindigkeit v
beschleunigt. Danach werden sie in ein zu v senkrecht
stehendes homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte B
geleitet. Hier erfahren sie durch die Lorentz–Kraft (1)
eine Ablenkung. Sie bewegen sich dann mit konstanter
Bahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn, dessen Radius mit (5) gegeben ist. Ersetzt man in (6) die Bahngeschwindigkeit nach (7), so folgt
e∗ =
2U
r2 B 2
(14)
Kennt man die Beschleunigungsspannung U und die magnetische Flussdichte B, so kann man aus der Vermessung des Bahnradius r die spezifische Ladung e∗ berechnen. Dieses Prinzip verfolgt man mit den beiden folgenden Messanordnungen. Die Aufbauten unterscheiden sich allerdings geringfügig hinsichtlich der Erzeugung des Magnetfeldes. Darüber hinaus wird der Bahndurchmesser d ≡ 2r in der Anordnung B direkt gemessen, mit der Anordnung A hingegen indirekt.
6
Abb. 6: Schematische Anordnung zur Messung der spezifischen elektrischen Ladung von Elektronen nach dem Messprinzip A. Elektronen bewegen sich für Stromstärken I > 0
auf einem Kreisbogen (ausgezogene blaue Linie) mit dem
Kreisradius r (nicht eingezeichnet). Für I = 0 würde r = ∞
gelten, die Flugbahn in der Röhre wäre also gerade (gepunktete blaue Linie). Aus der Ablenkung s kann r nach (16)
berechnet werden, sofern l r gilt, was hier der Fall ist.
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A02: Spezifische Ladung des Elektrons
Erdmagnetfeld: Das gesamte Magnetfeld Bges ist
die Überlagerung des Erdmagnetfeldes (und sonstiger
äußerer Magnetfelder) mit dem durch den Spulenstrom
2
erzeugten Feld B(I). Hier wird davon ausgegangen, dass
Rs
∗
(17)
e ≈ 32U ·
nur das Erdfeld einen wesentlichen Beitrag liefert. Liegt
µ0 N I · l2
die Spulenebene horizontal und die Bahn der Elektronen
in der Spulenebene, so wird B(I) mit der Vertikalkomponente BErde,v des Erdfeldes überlagert,
Magnetometer–Gleichung: Man kann die MessBges = BErde,v + B(I) .
anordnung A auch als Magnetometer verwenden. Dazu ersetzt man in (17) unter Verwendung von (10) den
Sei nun sErde die zunächst unbekannte Auslenkung inTerm µ0 N I/R durch 2B. Nach B aufgelöst folgt die
folge des Erdfeldes bez. der Lage des Elektronenstrahls
Magnetometer–Gleichung
bei Bges = 0. Dann gilt insgesamt
r
2 2me U
Bges = E · sErde + s(I) .
B(I) = 2
· s(I) .
(18)
l
e
Für I = 0 gilt s(I) = 0 wie auch B(I) = 0 und folglich
Kennt man die Empfindlichkeit
man hiermit in (15) ein, folgt schließlich,
BErde,v = E · sErde .
E≡
∆B
2
= 2
∆s
l
r
2me U
e
(22)
(19)
Dreht man nun die Elektronenstrahlröhre um den Winkel 180◦ bez. der Längsachse, so entspricht dies dem,
als würde sich das Erdmagnetfeld umpolen, also von
∗
so kann man aus der Ablenkung s die magnetische Fluss- BErde,v nach BErde,v
= −BErde,v ändern. Dabei gilt,
dichte B berechnen, B = E · s.
∗
BErde,v
= E · sErde ,
(23)
Empfindlichkeit: Die Empfindlickeit E kann man
nach (19) berechnen. Kennt man die dazu nötigen Parameter wie etwa die Länge l nicht genau, so kann man E
auch experimentell wie folgt erhalten:
mit der Ablenkung sErde bei gedrehter Röhre. Durch
Subtraktion der Gleichung (22) von (23) folgt schließlich,
BErde,v = E ·
Man bestimmt
sErde − sErde
2
(24)
µ0 N Ik
(20)
2R
Aus der Änderung der Ablenkung, sErde − sErde , und
für verschiedene Stromstärken Ik , k = 1, 2, . . . und misst
der Empfindlichkeit (19) erhält man somit BErde,v .
die zugehörigen Ablenkungen
Bk ≡
sk ≡ s(Ik ) .
2.3
Messanordnung B:
Dabei wird sk bezüglich der Position des ElektronenFadenstrahlrohr
strahls bei der Stromstärke I = 0 gemessen. Der Anin Helmholtz–Spule
stieg der Regressionsgeraden B = E · s zu den Wertepaaren (sk , Bk ) liefert dann die Empfindlichkeit E der
In einem Fadenstrahlrohr erzeugt man einen ElektroApparatur.
nenstrahl, der senkrecht auf ein Magnetfeld trifft, das
durch ein Helmholtz–Spulenpaar erzeugt wird. Es gilt
Spezifische Ladung: Gleichung (19) kann nach der folglich für die spezifische Ladung die Beziehung (14).
Setzt man für die magnetische Flussdichte B den Wert
spezifischen Ladung umgestellt werden,
(12) aus dem Zentrum des Spulenpaares ein, so folgt
8U
e∗ = 2 4
(21)
E l
2
R
(25)
e∗ = 250 U ·
8µ0 N I · r
Somit erhält man aus der Empfindlichkeit E sowie den
bekannten Parametern U und l die spezifische Ladung.
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7
Physikalisches Grundpraktikum
3
Versuchsaufbauten
Die Elektronenstrahlen werden in Röhren aus Glas bei
niedrigem Druck erzeugt. Die Elektronenstrahlröhre ist
in einem Metallkasten mit Sichtfenster untergebracht.
Das Fadenstrahlrohr hat kein Gehäuse. Die Magnetfelder werden durch Ströme in Spulen erzeugt, die auf einen
Grundkörper gewickelt sind. Magnetfelder durchdringen all diese Stoffe ohne Abschwächung.3 )
3.1
Versuchaufbau A:
Elektronenstrahlröhre
in Ringspule
Den Versuchaufbau A zeigt Abb. 7. Die Anlage ist durch
folgende Größen charakterisiert:
Beschleunigungsspannung
Spulenradius
Windungszahl
Strahlweg
Spulenstromstärke
3.2
U = 650 V
R = 0, 31 m
N = 25
l = 0, 23 m
I = 0..2 A
Versuchaufbau B:
Fadenstrahlrohr
in Helmholtz–Spule
Den Versuchaufbau B zeigt Abb. 8. Die Anlage ist durch
folgende Größen charakterisiert:
Beschleunigungsspannung
Heizspannung
Spulenradius
Windungszahl je Spule
Spulenabstand
Spulenstromstärke
U = 0..500 V
4, 5..7, 5 V
R = 0, 15 m
N = 130
L = 0, 15 m
I = 0..2 A
Mit einer größeren Heizspannung erhöht sich die Elektronendichte im Strahl und somit auch die Strahlhelligkeit. Im Versuch sollte der mittlere Wert ≈ 6 V verwendet werden.
3 )
Magnetische Gleichfelder lassen sich nicht passiv abschirmen. Anders verhält es sich mit Wechselfeldern, die
durch Kapselung mit einem Material, das eine hohe relative
Permeabilität µr hat, passiv abgeschirmt werden können. Einige Materialien erreichen bis zu µr ≈ 3 · 105 . Das sind z. B.
sog. Mu–Metalle, die einen hohen Nickel–Anteil haben. Im
Experiment treten jedoch nur Gleichfelder auf. Demzufolge
gibt es keine Abschirmungsprobleme.
8
Abb. 7:
Versuchsaufbau A: (1) Elektronenstrahlröhre
im Gehäuse mit Sichtfenster, (2) Spannungsversorgung der
Elektronenstrahlröhre, mit Regler für Helligkeit und Fokussierung, (3) Ringspule (4) Stromversorgungsgerät, (5) Amperemeter, (6) Skale, (7) Bildschirm der Elektronenstrahlröhre. Ablesewert der Auslenkung des Elektronenstrahls:
s∗ = 2, 5 mm.
4
4.1
Hinweise
Messanordnung A
Vor dem Bildschirm der Elektronenstrahlröhre ist eine
Längenskale befestigt, um die Auslenkungen s∗k bei den
verschiedenen Stromstärken Ik in der Ringspule zu messen. Zur Bestimmung der Empfindlichkeit E mittels linearer Regression, wie unter 2.2 beschrieben, sind die
Abstände
sk = |s∗k − s∗0 |
(26)
zu verwenden, wobei s∗0 die Ablenkung für den Spulenstrom I0 = 0 bezeichnet. Somit ist s∗0 die Ablenkung
durch das Erdmagnetfeld und s0 die zusätzliche Ablenkung infolge des Spulenstroms.
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A02: Spezifische Ladung des Elektrons
A
A.1
Anhang
Messanordnung A:
Bahnradius und Ablenkung
Elektronen mögen in einer Elektronenstrahlröhre die Wegstrecke l durchlaufen, von der Quelle bis zum Bildschirm.
In einem Magnetfeld werden sie abgelenkt und bewegen sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Die
Ablenkung s kann auf dem Bildschirm gemessen werden. Kennt man auch l, so kann man r nach dem Satz
von Pythagoras berechnen (Abb. 9). Es gilt r2 =
(r − s)2 + l2 und folglich,
s2 − 2rs + l2 = 0 .
Dies ist eine quadratische Gleichung für s. Die hier relevante Lösung lautet
p
= r 1 − 1 − (l/r)2 .
(27)
Abb. 8: Versuchsaufbau B: (1) Fadenstrahlröhre (FSR),
(2) Strom- und Spannungsversorgung für die FSR, (3) Voltmeter für die Heizspannung der FSR, (4) Voltmeter für
die Beschleunigungsspannung U der FSR, (5) Helmholtz–
Spulenpaar, (6) Stromversorgung für das Helmholtz–
Spulenpaar, (7) Amperemeter für die Stromstärke im
Helmholtz–Spulenpaar, (8) Messschieber und Stahllineal,
(9) Steg mit Schieber, (10) Elektronenbahn.
4.2
Messanordnung B
Zur Messung des Durchmessers der Elektronenbahn dienen zwei Schieber auf dem Steg des vorderen Helmholtz–Spule. Um den Parallaxenfehler (Schrägsichtfehler) zu minimieren, befindet sich auf dem Steg an
der hinteren Helmholtz–Spule ein Spiegel. Zur Einstellung der Schieber bringt man zunächst den rechten
Rand des Elektronenstrahls mit seinem Spiegelbild zur
Deckung führt anschließend den rechten Schrieber in
diese Flucht. Analog positioniert man den linken Schieber in Flucht mit der Austrittsöffnung des Elektronenstrahls aus der Lochanode.
Abb. 9: Zusammenhang zwischen dem Kreisradius r, der
Kreisbahn eines Elektrons (blau) und der messbaren Ablenkung s.
p
Wegen l r wird nun der Ausdruck 1 − (l/r)2 in
eine Taylorreihe nach der kleinen Größe l/r entwickelt
und nach dem Glied zweiter Ordnung abgebrochen.4 )
Man erhält dann
p
(l/r)2
1 − (l/r)2 ≈ 1 −
.
2
Geht man hiermit in (27) ein, so folgt,
r≈
l2
.
2s
4 )
Die Taylorreihenentwicklung der Funktion f (x) =
1 − x2 an der Stelle x = 0 lautet
df 1 d2 f f (0 + ε) = f (0) +
·ε+
· ε2 + ◦(ε3 )
dx x=0
2 dx2 x=0
√
=
Fassung 100000 vom 5. Dezember 2016, B. Pompe
1+0−
ε2
+ ◦(ε3 )
2
9
Physikalisches Grundpraktikum
A.2
Elektronengeschwindigkeit —
relativistische Rechnung
Durchläuft ein anfangs ruhendes Elektron (Elementarladung −e ≈ −1, 6 · 10−19 As) eine Wegstrecke von
einer negativen zu einer positiven Elektrode, zwischen
denen die elektrische Spannung U anliegt, so wird es
beschleunigt und hat am Ende der Wegstrecke die kinetische Energie
Ekin = eU .
(28)
Für große Spannungen wird das Elektron recht schnell,
so dass sich die Endgeschwindigkeit vr der Lichtgeschwindigkeit c ≈ 2, 99 · 108 m/ s annähert. Dabei wächst nach
der speziellen Relativistätstheorie die Masse auf den Wert
m0
mr = p
1 − vr 2 /c2
an, worin m0 ≈ 9, 1·10−31 kg die Ruhemasse des Elektrons bezeichnet. Für die Ruhenergie gilt
E0 = m0 c2 ≈ 82 · 10−15 Ws ≈ 510 keV .
Die relativistische Gesamtenergie ist durch
mr c2 = E0 + Ekin
gegeben. Daraus folgt
2
Ekin = mr c − E0 = E0
1
!
p
−1
1 − vr 2 /c2
Unter Beachtung von (28) folgt für die Geschwindigkeit,
q
−2
vr = c · 1 − (1 + α)
, mit α ≡ eU/E0 .
Bei der Beschleunigungsspannung U = 1 kV gilt α ≈
0, 002 und man erhält die Geschwindigkeit vr ≈ 0, 063 ·
c. Halb so schnell wie √
das Licht (vr /c = 1/2) wird das
Elektron wenn α = 2/ 3 − 1 ≈ 0, 15 gilt, was bei der
Beschleunigungsspannung U ≈ 76 keV erreicht wird.
Ist die Beschleunigungsspannungen hinreichend klein,
so kann man nicht–relativistisch rechnen. Der Ansatz
Ekin = eU = m0 v 2 /2 liefert hier
√
v = c · 2α .
Das Verhältnis der relativistischen zur nicht–relativistisch
gerechneten Geschwindigkeit ist somit,
p
1 + α/2
vr
=
.
v
1+α
Allgemein gilt vr ≤ v. Für U < 1 keV unterscheiden
sich beide Geschwindigkeiten kaum, hier gilt vr /v >
0, 998.
10
Fassung 100000 vom 5. Dezember 2016, B. Pompe
A02: Spezifische Ladung des Elektrons
A.3
Messanordnung A:
Elektronenstrahlröhre — Tabellen
k
Ik / A
s∗k / mm
sk / mm
Bk /µT
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Spulenradius:
Anzahl Spulenwicklungen:
Stromstärke, k–ter Messwert:
R = 0, 31 m
N = 25
Ik
Strahllänge:
l = 0, 23 m
Beschleunigungsspannung:
U = 650 V
Anzeigewert Ablenkung bei I = 0:
s∗0 = sErde
Anzeigewert Ablenkung bei I = 0, gedreht:
Ablenkung bei Ik :
Permeabilität Vakuum:
magnetische Flussdichte:
Fassung 100000 vom 5. Dezember 2016, B. Pompe
s∗Erde
sk = |s∗k − s∗0 |
Vs
µ0 = 4π · 10−7 Am
µ0 N Ik
Bk =
2R
11
Physikalisches Grundpraktikum
A.4
Messanordnung B:
Fadenstrahlröhre — Tabellen
U/ V =
k
Ik
A
dk
mm
1011
U/ V =
e∗k
As/ kg
∆e∗k
As/ kg
k
1011
1
12
2
13
3
14
4
15
5
16
6
17
7
18
8
19
9
20
10
21
11
22
Ik
A
dk
mm
Permeabilität Vakuum:
µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am
Spulenradius:
R = 155 mm
Anzahl Windungen je Spule:
N = 130
Radius Elektronenbahn:
r
Durchmesser Elektronenbahn:
d = 2r
Größtabweichung Spulenradius:
∆R/ mm =
Größtabweichung Beschleunigungsspannung:
∆U/ V =
Größtabweichung Stromstärke:
∆I/ A =
Größtabweichung Bahndurchmesser:
∆d/ mm =
Spezifische Ladung Elektron:
Größtabweichung:
Mittelwert spez. Ladung
Vertrauensbereich (95%)
e
= 250 U ·
me
e∗ = e∗ (U, R, I, d)
e∗ ≡
R
4µ0 N I · d
e∗k
As/ kg
∆e∗k
As/ kg
1011
2
∆e∗ = |e∗ (U, R, I, d) − e∗ (U + ∆U, R + ∆R, I − ∆I, d − ∆d)|
PK
As
e∗ = K −1 k=1 e∗k =???? · 1011
kg
q
PK
As
se∗ = c · [K(K − 1)]−1 k=1 (e∗k − e∗ )2 =???? · 1011
kg
c =????
e∗ =????(????) · 1011
12
1011
As
kg
(& 95%)
Fassung 100000 vom 5. Dezember 2016, B. Pompe