Elektrotechnik - Forschungsbereich für Baumechanik und

ET 1
Elektrische Ladung, elektrostatisches Feld
Elektrische Ladung
Die elektrische Ladung Q eines (geladenen) Körpers wird durch diejenige Kraft festgestellt, die er
auf andere geladene Körper ausübt.
[Q ] = 1Coulomb = 1C
Jede Ladung besteht aus kleinsten, nicht mehr unterteilbaren Einheiten → Elementarladung:
e0 = (1, 6021892 ± 0, 0000042) × 10 −19 C
Träger der Elementarladungen:
Coulombsches Gesetz:
Elektronen
Q = −e0
Protonen
Q = +e0
!
QQ !
1 Q1 Q2 !
F = k 1 2 er =
e ,
4πε 0 r 2 r
r2
elektrische Feldkonstante des Vakuums (Influenzkonstante):
k ≈ 9,0 × 109
N m2
C2
ε 0 = 8,854 × 10−12
C2
N m2
!
er … Einheitsvektor in Richtung der Verbindungslinie der Ladungsmittelpunkte
Elektrische Feldstärke:
[E] = 1
!
! F F!
E = = er
Q Q
!
!
⇒ F = QE … Kraft auf eine Testladung Q ! Q2
N
C
Das elektrische Feld wird mit Hilfe von Feldlinien veranschaulicht, die in jedem Punkt des Raumes
die Richtung der Feldstärke angeben. Feldlinien sind die Verbindungslinien zwischen positiven und
negativen Ladungen; sie sind i.a. weder in sich geschlossen, noch enden sie im freien Raum.
Feld einer Punktladung (kugelsymmetrisch):
E=
F
1 Q1
=
Q 4πε 0 r 2
Homogenes Feld: Feldstärke besitzt im betrachteten Bereich gleichen Betrag und gleiche Richtung.
Feldlinien sind somit parallele Geraden. (Plattenkondensator)
!
! """""!
⇒ F = QE = const.
Physik 1 Aufbaukurs
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 2
Elektrische Spannung und Potential
In einem beliebigen inhomogenen Feld wird eine Probeladung Q von A nach B verschoben und
verrichtet dabei folgende Arbeit:
N !
N
N !
!
!
!
!
W AB = ∑ Fi ⋅ Δ si = ∑ QEi ⋅ Δ si = Q ∑ Ei ⋅ Δ si
i=1
i=1
i=1
B
W AB
B
! !
! !
= ∫ F ⋅ ds = Q ∫ E ⋅ ds
A
A
U ≡ U AB =
Spannung zwischen A und B :
W AB
Q
B
! !
= ∫ E ⋅ ds
A
Nm
⎡⎣U ⎤⎦ = 1
= 1Volt = 1V
C
!
!
"∫ E ⋅ ds = 0
Für eine geschlossene Kurve C gilt:
C
Speziell, für B → ∞ :
W A∞
Q
∞
A
! !
! !
= ϕ A = ∫ E ⋅ ds = − ∫ E ⋅ ds ,
∞
A
ϕ A … elektrisches Potential
∞
Potentialdifferenz:
! ! ∞! ! ∞! ! B! ! B! !
ϕ A − ϕ B = ∫ E ⋅ ds − ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds = U AB
A
B
A
∞
A
Ladungsverteilung
Raumladungsdichte:
Flächenladungsdichte:
Kugeloberfläche:
ρ=
σ=
σ=
ΔQ
dQ
→
,
ΔV
dV
Q = ∫ ρ dV
ΔQ
dQ
→
,
ΔA
dA
Q = ∫ σ dA
V
A
Q
Q
=
A 4π R 2
Q = 4π R 2ε 0 E ⇒ σ = ε 0 E
homogenes Feld:
Physik 1 Aufbaukurs
σ=
(Vakuum)
Q
= ε0 E
A
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 3
Influenz
Ladungstrennung, die durch ein äußeres elektrisches Feld in elektrischen Leitern hervorgerufen
wird.
Kapazität
B
! !
Plattenkondensator: U = ∫ E ⋅ ds = E d ,
d … Abstand zwischen den beiden Platten
A
σ=
Q
U
= ε0 E = ε0
A
d
⇒ Q=
ε0 A
U = CU ,
d
C = ε0
A Q
=
d U
C
⎡⎣C ⎤⎦ =1Farad = 1F =1
V
(
)
(a) Parallelschaltung von Kondensatoren: Q = Q1 + Q2 + ...+ QN = U C1 + C2 + ...+ C N
!##
#"###
$
Cges
⎛ 1
1
1 ⎞
+ ...+
(b) Serienschaltung: U = U1 + U 2 + ...+ U N = Q ⎜ +
C N ⎟⎠
⎝ C1 C2
!###"###
$
1/Cges
Physik 1 Aufbaukurs
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 4
Wird der Raum zwischen den Kondensatorplatten mit einem festen oder flüssigen Isolator
(Dielektrikum) ausgefüllt, so wird die Kapazität gesteigert.
C = ε r ε0
A
,
d
ε r ≥ 1 ... Dielektrizitätskonstante
σ = ε r ε0 E
Um einen Kondensator aufzuladen (Spannungswert U ), ist folgende Arbeit erforderlich:
U
U
! !
1
1
1 Q2
W =∫Q"
E ⋅ ds = ∫ Q dU = ∫ CU dU = CU 2 = QU =
2
2
2 C
dU
0
0
Elektrischer Strom
Das Fließen eines elektrischen Stromes bedeutet die kontinuierliche oder schwingende Bewegung
von Ladungsträgern in einem Leiter.
Momentanwert:
i=
dQ
dt
Gleichstrom:
I=
Q
t
[ I ] = 1Ampère = 1A
Technische Stromrichtung: Bewegungsrichtung vom positiven zum negativen Pol.
Speziell gilt für den Kondensator:
i=
dQ
du
=C
dt
dt
Elektrische Leitung in Festkörpern
Elektrischer Widerstand, Ohmsches Gesetz:
R=
ρl
,
A
ρ … spezifischer Widerstand
[ R ] = 1Ohm = 1Ω = 1
Elektrischer Leitwert:
Physik 1 Aufbaukurs
U = RI
V
A
G=
1
R
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 5
Kirchhoffsche Gesetze:
Erstes Kirchhoffsches Gesetz (Verzweigungsregel): In einem Verzweigungspunkt ist die Summe
der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden.
∑I
zu
= ∑ I ab
Zweites Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel): In jedem geschlossenen Teilkreis (Masche) eines
Netzwerkes ist die Summe der Spannungen an den Widerständen gleich der Summe der
Klemmspannungen aller vorhandenen Spannungsquellen.
ODER: beim gleichsinnigen Umlaufen ist die Summe aller Spannungen innerhalb einer Masche
gleich null.
∑U = 0
Gesamtwiderstand
Serienschaltung:
U = U1 + U 2 + ...+ U n = I R1 + I R2 + ...+ I Rn ⇒ Rges = ∑ Ri
i
Parallelschaltung:
U = I n Rn ,
I = I1 + I 2 + ...+ I n =
U
U
1
1
+ ...+ ⇒
=∑
R1
Rn
Rges
i Ri
Elektrische Arbeit und Leistung im Stromkreis
Die elektrische Arbeit wird zum Transport der Ladung Q unter der Spannung U benötigt.
W = ∫ Q dU → W = QU ... für Gleichstrom
[W ] = 1Joule = 1J = 1W ⋅ s
Elektrische Leistung:
P=
dW
W
U2
→ P=
=U I =
= I 2 R ... für Gleichstrom
dt
t
R
[ P ] = 1Watt = 1W = 1J / s
Physik 1 Aufbaukurs
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 6
Elektromagnetisches Feld
Magnetische Feldstärke (magnetische Erregung)
In der Umgebung stromdurchflossener Leiter entsteht ein magnetisches Feld,
!
!
H = H es
... quellenfreies Vektorfeld der Feldstärke H
das sich durch magnetische Feldlinien darstellen lassen. Eine in das Feld gebrachte Kompassnadel
stellt sich in Richtung der Feldlinien ein.
Richtungdefinition der magnetischen Feldlinien: N → S
Durchflutungsgesetz
Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Größen in stromdurchflossenen Leitern
!
!
"∫ H ⋅ ds = ∑ Ii
i
gerade Leiter:
! !
I
H
"∫ ⋅ ds = H 2rπ = I ⇒ H = 2π r
lange Zylinderspule:
"∫ H ⋅ ds = H l = N I ⇒
Ringspule:
! !
NI
H
"∫ ⋅ ds = H 2rπ = N I ⇒ H = 2π r ,
Physik 1 Aufbaukurs
!
!
H=
NI
,
l
l … Spulenlänge
N … Windungszahl
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 7
Magnetische Induktion (Flussdichte)
Die magnetische Flussdichte leitet sich aus der Kraft auf bewegte Ladungen ab.
Induktionsvorgang: Das eine Leiterschleife durchsetzende Magnetfeld induziert während seines
Entstehens oder Abnehmens eine elektrische Spannung. Der auf die Flächeneinheit der Schleife
entfallende Spannungsstoß definiert die magnetische Flussdichte. Es gilt der proportionale
Zusammenhang
!
!
!
B = B es = µ0 H
⎡⎣ B ⎤⎦ = 1Tesla = 1T = 1V ⋅ s / m2
µ0 = 4π × 10−7 ⎡⎣V ⋅ s / A⋅ m ⎤⎦ ... magnetische Feldkonstante im Vakuum (absolute Permeabilität)
Spule mit Kern: B = µ0 µr H ,
µr ... relative Permeabilität (z.B.: max µr (Fe) = 2 × 105 )
Magnetischer Fluss und Streuung
Der magnetische Fluss kennzeichnet die Gesamtheit aller Feldlinien im Magnetfeld. Er ergibt sich
aus dem Produkt der magnetischen Flussdichte und der von ihr senkrecht durchsetzten Fläche.
! !
Φ = ∫ B ⋅ n dA
A
⎡⎣ Φ ⎤⎦ = 1Weber = 1Wb = 1V ⋅ s
! !
dΦ
=B
Für B " n : Φ = B A ⇒
dA
Nutzfluss:
Φ N = ΦG − Φ S ,
Streugrad:
σ Φ = ΦG / Φ N
Physik 1 Aufbaukurs
ΦG … Gesamtfluss
Φ S … Streufluss
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 8
Induktionsgesetz
Das Induktionsgesetz beschreibt das Entstehen einer elektrischen Quellenspannung durch ein
zeitlich veränderliches Magnetfeld in einer ruhenden Spule oder durch ein ruhendes Magnetfeld in
einem bewegten Leiter.
Wird ein Leiter (Länge l ) mit der Geschwindigkeit v durch ein homogenes Magnetfeld
(Flussdichte B ) derart bewegt, so dass er die Feldlinien orthogonal schneidet, gilt:
U ind = B v l = B
ds
dA dΦ
l=B
=
dt
dt
dt
↑
dΦ
B=
dA
In der Spule (Windungszahl N ) mit zeitlich veränderlichem Magnetfeld gilt:
U ind = N
dΦ
dt
U ind = N
2
dΦ
d
d⎛
N I ⎞ µ0 µr N A d I
dI
di
= N ( B A) = N ⎜ µ0 µr
A⎟ =
=L =L
dt
dt
dt ⎝
l ⎠ !#"
l #$ dt
dt
dt
L
↑
I = I momentan ≡ i(t)
⎡⎣ L ⎤⎦ = 1Henry = 1H = 1V ⋅ s / A
In der (Zylinder-) Spule gilt allgemein unter Verwendung der Induktivität L :
Φ = B A = µ0 H A = µ0
NI
I
A= L
l
N
_______________________________________________________________________________
Gegenüberstellung:
Ohmscher Widerstand, Kondensator, Spule im Stromkreis
Ohmscher Widerstand:
U = RI
Kondensator:
i=C
du
dt
Spule:
u= L
di
dt
Physik 1 Aufbaukurs
bzw.
u(t) = R i(t)
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 9
Wechselstrom
Rotiert ein senkrecht zur Zeichenebene verlaufendes Leiterstück (Länge l ) mit der
!
!
Bahngeschwindigkeit v in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B , so wird folgende
Spannung induziert:
U = u(t) = B l v sin α = Û sin ω t
ω t(t = 0) ≡ α (t = 0) = ϕ :
Anfangsphase:
u(t) = Û sin (ω t + ϕ )
π
Arithmetischer Mittelwert:
1
Û
2 Û
π
u = ∫ Û sin α dα = [ − cos α ]0 =
π 0
π
π
Quadratischer Mittelwert (Effektivwert): Beim Wechselstrom leistet der Effektivwert in einem
Ohmschen Widerstand (Wirkwiderstand) die gleiche Arbeit wie ein gleich großer Gleichstrom.
T
! = 1 U 2eff T = 1 u(t)2 dt
W = PT
R
R ∫0
T
U eff =
1
1
u(t)2 dt =
∫
T 0
2π
2π
∫ (Û sin α )
0
2
dα =
Û
2
≡ Û
≈ 0, 707 ⋅ Û
2
2
1 2
2
mittlere Leistung: P! = U eff
= R I eff
R
Physik 1 Aufbaukurs
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 10
Widerstände im Wechselstromkreis
Wirkwiderstand (Ohmscher Widerstand): setzt die einem Leiter zugeführte Energie vollständig in
nichtelektrische Energie (z.B. Wärme, Licht) um ⇒ Leistungsverlust.
i(t) =
1
1
u(t) = Û sin ω t, u(t) = Ri(t)
R
R
(gleiche Phase)
_______________________________________________________________________________
Induktiver Widerstand:
u(t) ≡ u L = L
diL
⎛
d ˆ
π⎞
=L
I sin ω t = L ω Iˆ cos ω t = L Iˆ ω sin ⎜ ω t + ⎟
dt
dt
2⎠
⎝
(
)
( u L eilt iL um 90° voraus)
Spannungsamplitude:
Û L = L ω Iˆ = X L Iˆ ,
X L = ω L … induktiver Blindwiderstand
_______________________________________________________________________________
Kapazitiver Widerstand:
i(t) = C
duC
⎛
d
π⎞
=C
Û sin ω t = C Û ω sin ⎜ ω t + ⎟
dt
dt
2⎠
⎝
(
)
( i eilt uC um 90° voraus)
Spannungsamplitude:
Physik 1 Aufbaukurs
Û C =
1 ˆ
I = X C Iˆ ,
ωC
X C = (±)
1
… kapazitiver Blindwiderstand
ωC
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 11
Komplexe Schreibweise
Allgemein gilt:
⎡
⎤
i(ω t+ϕ ) ⎤
iϕ iω t ⎥
⎢
⎡
f (t) = F̂ sin (ω t + ϕ ) = Im F̂ e
= Im !
F̂ e e
,
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣ F̂
⎦
Komplexe Erweiterung: f (t) ↔ F̂ eiω t ,
i = −1
F̂ … komplexe Amplitude
Ohmscher Widerstand:
Û eiω t = R Iˆ eiω t ⇒ Û = R Iˆ
Induktiver Widerstand:
Û eiω t = L
Kapazitiver Widerstand:
d
1 ˆ
1 ˆ
Iˆ eiω t = C
Û eiω t ⇒ Û =
I = −i
I
dt
iω C
ωC
(
)
(
)
d ˆ iω t
Ie
⇒ Û = i ω L Iˆ
dt
Serienschaltung aller 3 Widerstände:
Û = Z Iˆ
⎛
1 ⎞
Z = R + i⎜ω L −
= R + i X L ∓ XC = R + i X
ω C ⎟⎠
⎝
(
R … Wirkwiderstand
Physik 1 Aufbaukurs
)
X … Blindwiderstand
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
ET 12
Dehnmessstreifen (DMS)
Ohmscher Widerstand im elektrischen Leiter:
R=
ρl
A
D 2π
4 ρ l −2
Kreisförmiger Drahtquerschnitt: A =
⇒ R=
D
4
π
Dehnung des Leiters: ε =
Δl
l
Querkontraktion:
ΔD
= −ν ε
D
Gefügeänderung:
Δρ
= pε
ρ
"Totale" Änderung des Widerstands R = R( ρ ,l, D) (mathematisch ! "Totales Differential"):
dR =
∂R
∂R
∂R
l
ρ
8 ρ l D −3
dρ +
dl +
dD = d ρ + dl −
dD
∂ρ
∂l
∂D
A
A
π
"Bezogene Totale" Änderung des Widerstands:
⎛
⎞
dR ⎜ l
ρ
8 ρ l D −3
dD
⎟ A dρ d l
= ⎜ d ρ + dl −
dD ⎟
=
+ −2
R
A
A
π#
l
D
!
#"
$ ⎟ ρl ρ
⎜
⎝
⎠
2ρl /AD
Übergang auf "endliche" Änderungen:
Δ R Δl
ΔD Δρ
=
−2
+
= ε (1+ 2ν + p)
R
l
D
ρ
Für spezielle Legierungen gilt:
⇒
(1+ 2ν + p) = K = const.
ΔR
= Kε
R
Physik 1 Aufbaukurs
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)