Technische Notiz 13 Ersatzschaltbilder in der

Technische Notiz 13
Ersatzschaltbilder in der
Halbleiterschaltungstechnik
Ch. Diskus
22.10.2015
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Großsignalrechnung
2.1 Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3 Kleinsignalrechnung
3.1 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Temperaturgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
1
Einführung
Diese Notiz soll einen kurzen Überblick über die Ersatzschaltbilder und die dabei
angewendeten Näherungen bei der Berechnung von Halbleiterschaltungen geben.
2
2.1
Großsignalrechnung
Nichtlineare Bauelemente
Die Kennlinie einer Diode und die Transferkennlinie eines Bipolartransistors sind
nicht linear und lauten
U
D
nUT
ID = IS e
−1
(1)
1
und
IC = IS e
UBE
UT
−1 ,
(2)
weswegen die Berechnung von Strömen und Spannungen zu transzendenten Gleichungen führen. Es gibt drei Möglichkeiten dieses Problem zu lösen:
• Iteration
• Grafische Lösung
• Unter bestimmten Voraussetzungen1 ist eine Näherung für UD , bzw. UBE
mit 0,6 bis 0, 7 V erlaubt.
Für die Bestimmung des Arbeitspunktes (AP) ist diese Großsignalrechnung
unverzichtbar. Um die Ströme und Spannungen als solche des Arbeitspunktes zu
kennzeichnen, wird als Index AP oder 0 hinzugefügt, also beispielsweise IC,0 für
den Kollektorstrom.
Wenn das Signal in einer Schaltung so groß ist, dass auch dafür die Großsignalrechnung notwendig ist, so ist diese Rechnung „zu Fuß“ in der Regel zu kompliziert.
Auch am PC ist dies nicht trivial. Professionelle Programme verwenden oft aus
Reichenzeitgründen die Harmonic Balance Methode. Dabei wird die Schaltung in
zwei Teile aufgeteilt: In den linearen Teil, welcher im Frequenzbereich berechnet
wird (Stichwort komplexe Rechnung) und in den nichtlinearen Teil, welcher im
Zeitbereich berechnet werden muss. Dem Ganzen muss dann eine Iteration überlagert werden, in welcher an der Schnittstelle der beiden Teile die Ströme und
Spannungen aneinander angeglichen werden müssen.
2.2
DC
Im Falle einer Arbeitspunkteinstellung sind die großen Spannungen und Ströme
Gleichspannungen und Gleichströme. In diesem Fall gilt für die Schaltungsvereinfachung:
• Induktivitäten wirken wie Kurzschlüsse, da |jωL| → 0,
1
| → ∞.
• Kapazitäten wirken wie Leerläufe, da | jωC
Der Strom durch L im AP wird dann wie bei einer Konstantstromquelle konstant
gehalten. Die Spannung an C im AP wird dann wie bei einer Konstantspannungsquelle konstant gehalten.
1
In der Regel darf UD bzw. UBE in keiner Masche vorkommen, in welcher alle anderen Spannungen in der gleichen Größenordnung wie diese 0,6 bis 0, 7 V liegen. Für eine stabile Arbeitspunkteinstellung wird meist schaltungstechnisch eine Rückkopplung vorgesehen, welche die Auswirkungen einer Temperaturdrift von UD bzw. UBE stark reduziert. Auch dann ist oft diese
Näherung erlaubt. Anders ausgedrückt: Ergibt sich der Arbeitspunkt durch einen schleifenden
Schnitt von Kennlinie und Arbeitsgerade, dann ist diese Näherung nicht erlaubt.
2
3
Kleinsignalrechnung
3.1
Linearisierung
Ist die Amplitude des Signales klein genug, so können die krummen Kennlinien
linearisiert werden, d.h. durch die Tangenten an diese Kennlinien ersetzt werden.
Dies ist möglich für:
• den dynamischen Widerstand rD einer Diode:
1
ID,0
dID =
≈
,
dUD AP
rD
UT
(3)
• den Basis-Emitter-Kleinsignalwiderstand rBE eines Bipolartransistors:
B
∂UBE =
r
,
BE ≈
∂IB AP
S
(4)
• die Kleinsignalstromverstärkung β eines Bipolartransistors:
∂IC = β ≈ B,
∂IB AP
(5)
• und die Steilheit eines Bipolartransistors
∂IC IC,0
=
S
≈
.
∂UBE AP
UT
(6)
Die mit diesen Kleinsignalnäherungen berechneten Kleinsignalgrößen von Strom
und Spannung sind in der Realität den Großsignalgrößen des Arbeitspunktes überlagert.
Für die Berechnung der Kleinsignalgrößen ist es vorteilhaft, ein KleinsignalErsatzschaltbild zu zeichnen, in welchem nur mehr die kleinen Änderungen der Ströme und Spannungen, also die Abweichungen vom Arbeitspunkt fließen bzw. anliegen. Die Maschen und Knoten ergeben dann ein lineares Gleichungssystem für die
Spannungen und Ströme, das geschlossen lösbar ist. Im Kleinsignal-Ersatzschaltbild
gilt für ungesteuerte Quellen:
• Konstantspannungsquelle: ∆U = 0 ⇒ Kurzschluss
• Konstantstromquelle: ∆I = 0 ⇒ Leerlauf
Dies gilt auch für die Spannungsversorgung. Vorsicht bei gesteuerten Quellen:
Wenn sich die steuernde Größe ändert (z.B. bei der Kollektorstromquelle), dann
darf diese Quelle natürlich nicht durch Kurzschluss oder Leerlauf ersetzt werden.
3
3.2
AC
Die Kleinsignalnäherung ist nicht auf Wechselstrom (AC) beschränkt (siehe 3.3),
sie wird aber in der Regel damit kombiniert. Wie Induktivitäten und Kapazitäten
in der Wechselstromrechnung zu behandeln sind, hängt davon ab, ob die entsprechenden Impedanzen oder Admittanzen im Vergleich zu den übrigen Bauelementen
der Schaltung wichtig sind oder eventuell vernachlässigt werden können. Für Abblockinduktivitäten und Koppelkondenstoren gilt dann:
• |jωL| restliche Impedanzen in der Masche → Leerlauf
1
| restliche Impedanzen in der Masche → Kurzschluss
• | jωC
Wenn die Wechselspannungen und Wechselströme so klein sind, dass die Kleinsignalnäherung zu keinen großen Fehlern führt, dann ist diese Rechnung auf Basis
eines Wechselstrom-Kleinsignal-Ersatzschaltbildes möglich.
3.3
Temperaturgang
Die Kleinsignalnäherung ist für alle krummen Kennlinien sinnvoll, so. z.B auch
für die Berechnung des Temperatureinflusses. Als Beispiel sei die Basis-EmitterSpannung eines Bipolartransistors betrachtet. Die Taylorreihe für die Basis-EmitterSpannung als Funktion der beiden Parameter Kollektorstrom und Temperatur lautet für eine Entwicklung im Arbeitspunkt
UBE (IC , T ) = UBE |IC,0 ,T0
+
∂UBE ∂UBE ∆I
∆T
C +
∂IC IC,0 ,T0
∂T IC,0 ,T0
+
1 ∂ 2 UBE 1 ∂ 2 UBE 1 ∂ 2 UBE 2
∆I
+
∆I
∆T
+
∆T 2
C
C
2 ∂IC 2 IC,0 ,T0
2 ∂IC ∂T IC,0 ,T0
2 ∂T 2 IC,0 ,T0
+ ···.
(7)
Die lineare Näherung ist dann
UBE (IC , T ) ≈ UBE |IC,0 ,T0
∂UBE ∂UBE +
∆I
+
∆T
C
∂IC IC,0 ,T0
∂T IC,0 ,T0
= UBE |IC,0 ,T0
wobei
∂UBE ∂T IC,0 ,T0
1
∂UBE + ∆IC +
∆T,
S
∂T IC,0 ,T0
(8)
ungefähr −2 mV
beträgt. Berücksichtigt man noch, dass im
K
Kleinsignal-Ersatzschaltbild nur der Basisstrom iB =
4
iC
β
durch den Eingangswi-
derstand rinnt, dann ergibt sich für die Kleinsignal-Basis-Emitter-Spannung
mV
β
= iB + −2
∆T.
S
K
uBE
(9)
Das zugehörige Kleinsignal-Ersatzschaltbild ist in Abbildung 1 dargestellt. Die
Basis-Emitter-Spannung setzt sich zusammen aus dem Spannungsabfall am rBE =
β
und der Spannung ∂U∂TBE ∆T .
S
𝐵
𝑢𝐵𝐵 ≈ 𝑆 𝑖𝐵 +
𝜕𝑈𝐵𝐵
𝜕𝜕
Δ𝑇
𝜕𝑈𝐵𝐵
Δ𝑇
𝜕𝜕
B
𝑖𝐵
𝑢𝐵𝐵
𝛽
𝑆
β 𝑖𝐵
C
E
Abbildung 1: Kleinsignal-Ersatzschaltbild
eines Bipolartransistors mit Linearisie β
rung der Eingangskennlinie S und des Temperaturganges der Basis-EmitterSpannung
∂UBE
∆T
∂T
.
5