Aufnahmeprüfung 2010 Mathematik

Aufnahmeprüfung 2010 Prüfungsnummer 000 Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Muster Peter Punkte: ________ Note: ________ MATHEMATIK Teil A
Zur Verfügung stehende Zeit: 45 Minuten. Die Lösungsgedanken und einzelnen Schritte müssen sauber, übersichtlich und mathematisch korrekt dargestellt werden. Hilfsmittel: Keine. Gewöhnliche Brüche müssen in den Resultaten stets gekürzt sein. Dezimalbrüche sind der Aufgabe entsprechend sinnvoll zu runden. Wir wünschen Dir viel Erfolg! Aufgabe 1 Punkte (mögliche) a) Mit welchem der Zeichen <, >, = erhält man eine wahre Aussage? (bitte Rechenweg bzw. Lösungsgedanken aufschreiben!) 1 1 7 a1) 2 ⋅ 2 + 2 6 ___ (1) 3 4 12 a2) Sortiere der Grösse nach (den kleinsten Bruch zuerst) ___ (0.5) 111 11 1111 ; ; 112 12 1112 a3) √9 + √144 √9 + 144 ___ (0.5) ____ __________ ____ _______ _______ ______________ Seite 1 von 21
Aufgabe 1 Punkte (mögliche) b) Bestimme die Lösungsmenge bezüglich der Grundmenge Ν .
___ (1) b2) 13 − 2 x > 2 x + 2 −11 x 2
b1) ___ (1) >
4
2
Aufgabe 2 Löse die Gleichungen bezüglich der Grundmenge Q (Auch bei den Aufgaben c) und d) soll nach x aufgelöst werden!). 3
a) 4 x(x − ) = −x(−4 x − 4) − 80 ___ (1) 2
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Aufgabe 2 Punkte (mögliche) b) x
2 = x 2
3
___ (1) c) 3a
2a
:x=
2
3
___ (1) ___ (1) x+
d) px = x + q ( p ≠ 1) Seite 3 von 21
Aufgabe 3 Punkte (mögliche) a) In einer grösseren Stadt soll ein neues U‐Bahnnetz aufgebaut werden. Eine bestimmte Anzahl von Knotenpunkten soll direkt eingleisig miteinander verbunden werden. a1) Wie viele Verbindungsstrecken gibt es insgesamt, wenn es 5 Knotenpunkte A, B, C, D und E hat? ___ (0.5) a2) Wie viele Verbindungsstrecken wären bei 6 Knotenpunkten nötig? ___ (0.5) a3) Wie viele Verbindungsstrecken wären bei n Knotenpunkten nötig? ___ (1) Seite 4 von 21
Aufgabe 3 b) Wie sieht der Grundriss aus (Ansicht senkrecht von oben)? Zeichne die Lösung wie im untenstehenden Beispiel ein. b1) b2) Punkte (mögliche) von Norden von Osten von Süden von Westen von Norden ___ (1) von Osten von Süden von Westen von Norden von Osten von Süden ___ (1) von Westen
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Aufgabe 4 Punkte (mögliche) a) Eine Spirale sei folgendermassen aufgebaut: sie beginnt mit einem Halbkreis, dessen Radius 64 mm beträgt. An diesen wird ein zweiter Halbkreis angesetzt, dessen Radius nur noch die Hälfte des ersten misst. Dieses Vorgehen wird so lange fortgesetzt, bis man insgesamt 6 Halb‐
kreise aneinandergesetzt hat. Wie lang ist die Spirale insgesamt? Hinweis: Ein Term, wie z.B. 3 π , muss nicht weiter ausgerechnet werden. Fasse so weit wie möglich zusammen. ___ (1.5) b) Hausmeister Krause mäht seinen Rasen mit einem Motorrasenmäher. Dazu steckt er vier Pflöcke so in den Boden, dass sie ein Quadrat von 50 cm Seitenlänge bilden. An einem dieser Pflöcke befestigt er ein 10 m langes Seil. Das andere Ende befestigt er am Rasenmäher. Dieser fährt nun selbstständig in einer spiralförmigen Kurve um die Pflöcke; dabei wickelt sich das Seil um die vier Pflöcke. b1) Wie viele Runden legt der Rasenmäher zurück bis es nicht mehr weiter geht? 10m
___ (1) b2) Welche Weglänge hat der Rasenmäher nach einer Runde 50cm
zurückgelegt? Gib das Ergebnis zuerst in Einheiten mit π an und schätze dann in Metern. (1,5 Punkte) ___ (1.5) Seite 6 von 21
Aufnahmeprüfung 2010 Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Punkte: ________ Note: ________ MATHEMATIK Teil B
Zur Verfügung stehende Zeit: 45 Minuten. Kandidatennummer 000
Muster Peter Die Lösungsgedanken und einzelnen Schritte müssen sauber, übersichtlich und mathematisch korrekt dargestellt werden. Hilfsmittel: Nicht‐programmierbarer Taschenrechner erlaubt, nicht aber Formelsammlungen usw. Gewöhnliche Brüche müssen in den Resultaten stets gekürzt sein. Dezimalbrüche sind der Aufgabe entsprechend sinnvoll zu runden. Wir wünschen Dir viel Erfolg! Aufgabe 1 Punkte (mögliche) Das Zivilstands‐ und Kontrollamt der Stadt Frauenfeld hat die unten stehenden Einwohnerzahlen veröffentlicht. a) Wie viel Prozent aller Einwohner waren im Jahr 2000 ledig? ___ (1.5) Seite 7 von 21
Aufgabe 1 Punkte (mögliche) b) Um wie viel Prozent hat die Zahl der Verwitweten von 1990 bis 2000 zugenommen? ___ (1.5) c) Ergänze das Säulendiagramm für das Jahr 1990, wenn die erste Säule vorgegeben ist (Runde dazu auf ganze Tausender). Einwohner nach Zivilstand und Geschlecht 10000
9000
8000
7000
6000
5000
___ (1) 4000
3000
2000
1000
0
ledig
verheiratet
verwitwet
geschieden
Aufgabe 2 a) In einem Dreieck ist der Winkel α um 22° grösser als der Winkel β und der Winkel γ ist um 25° kleiner s als β. Wie gross sind die Winkel des Dreiecks? ___ (1) Seite 8 von 21
Aufgabe 2 Punkte (mögliche) b) Ein Gartengrundstück wird so unter vier Familien aufgeteilt, dass Familie Altdorf ein Drittel, Familie Zweifel ein Fünftel und Familie Stäheli 18% der Fläche erhält. Die restlichen 301 m2 bekommt Familie Pallmann. Wie gross ist der Garten? ___ (1) c) In einem Hotel bezahlt ein Gast 180 Fr. am Tag. Ab dem 13. Tag ermässigt sich der Preis um 10% für die Zeit, die er länger als 12 Tage bleibt. Wie viele Tage ist ein Gast im Hotel gewesen, wenn der Tag im Durchschnitt 175.50 Fr. gekostet hat? ___ (2) Seite 9 von 21
Aufgabe 3 a) Berechne im folgenden Quadrat den Inhalt der grauen Fläche. Punkte (mögliche) ___ (2) b) Der Radius des kleineren Kreises beträgt 4 cm. Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche. ___ (2) Seite 10 von 21
Aufgabe 4 Punkte (mögliche) Jeder Mensch sollte täglich 1.2 Liter Wasser trinken, um den Flüssigkeitsbedarf zu decken. Stellen wir uns vor, wir würden die Wassermenge, welche die derzeit rund 6.5 Milliarden Menschen täglich zu sich nehmen sollten, in einen Quader mit dem Grundflächeninhalt von 100 m2 giessen. (Gib die Resultate dieser Aufgabe in km an).
a) Wie hoch würde dann theoretisch das Wasser im Quader stehen? ___ (2) b) 65% der 6.5 Milliarden Menschen kommen höchstens auf einen durchschnittlichen Konsum von 0.64 Liter Wasser. Wie hoch würde nun das Wasser im Quader aus Teilaufgabe a) stehen?
___ (2) Seite 11 von 21
Lösungen Teil A: Aufgabe 1 a) Mit welchem der Zeichen <, >, = erhält man eine wahre Aussage? (bitte Rechenweg bzw. Lösungsgedanken aufschreiben!) a1) 2⋅
11
7 9 83
+ =
=6
12
3 4 12
> 6
7
12
a2) Sortiere der Grösse nach (den kleinsten Bruch zuerst) 11
12
< 111
112
1111
1112
< a3) 9 + 144 = 3 + 12 = 15 > 9 + 144 = 153 b) Bestimme die Lösungsmenge bezüglich der Grundmenge Ν .
b2) 13 x − 2x > 2x + 2
b1) − 11 x 2
>
4
2
⇔
⇔
−
2,75 > x 11
> x2 2
; L = {1; 2 } ; L = { } Aufgabe 2 Löse die Gleichungen bezüglich der Grundmenge Q (Auch bei den Aufgaben c) und d) soll nach x aufgelöst werden!). a) 3⎞
⎛
4 x ⋅ ⎜ x − ⎟ = − x ⋅ ( − 4 x − 4 ) − 80 ⇔ 2⎠
⎝
⇔ ⇔ x
2 = x
3
2
⇔
x x
= 2 2
c) 3a
2a
:x =
2
3
⇔
x=
d) px = x + q
⇔
x+
b) 4 x 2 − 6x = 4 x 2 + 4 x − 80 80 = 10x x = 8 ; L = Q 4
9
px − x = q
⇔
x ⋅ (p − 1) = q
⇔
x=
q
p−1
für p ≠ 1 Seite 12 von 21
Aufgabe 3 a) In einer grösseren Stadt soll ein neues U‐Bahnnetz aufgebaut werden. Eine bestimmte Anzahl von Knotenpunkten soll direkt eingleisig miteinander verbunden werden. a1) Wie viele Verbindungsstrecken gibt es insgesamt, wenn es 5 Knotenpunkte A, B, C, D und E hat? 5⋅4
= 10 2
4 + 3 + 2 + 1 = 10 a2) Wie viele Verbindungsstrecken wären bei 6 Knotenpunkten nötig? 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 a3) Wie viele Verbindungsstrecken wären bei n Knotenpunkten nötig? (n − 1) + (n − 2 ) +
...
oder 6⋅5
= 15 2
oder +2+1
n ⋅ (n − 1)
2
=
Aufgabe 3 b) Wie sieht der Grundriss aus (Ansicht senkrecht von oben)? Zeichne die Lösung wie im untenstehenden Beispiel ein. b1) von Norden von Osten von Süden b2) von Westen Seite 13 von 21
Aufgabe 4 a) Eine Spirale sei folgendermassen aufgebaut: sie beginnt mit einem Halbkreis, dessen Radius 64 mm beträgt. An diesen wird ein zweiter Halbkreis angesetzt, dessen Radius nur noch die Hälfte des ersten misst. Dieses Vorgehen wird so lange fortgesetzt, bis man insgesamt 6 Halbkreise aneinandergesetzt hat. Wie lang ist die Spirale insgesamt? Hinweis: Ein Term, wie z.B. 3 π , muss nicht weiter ausgerechnet werden. Fasse so weit wie möglich zusammen. U = 64 π + 32π + 16π + 8π + 4 π + 2π = 126π in mm b) Hausmeister Krause mäht seinen Rasen mit einem Motorrasenmäher. Dazu steckt er vier Pflöcke so in den Boden, dass sie ein Quadrat von 50 cm Seitenlänge bilden. An einem dieser Pflöcke befestigt er ein 10 m langes Seil. Das andere Ende befestigt er am Rasenmäher. Dieser fährt nun selbstständig in einer spiralförmigen Kurve um die Pflöcke; dabei wickelt sich das Seil um die vier Pflöcke. b1) Wie viele Runden legt der Rasenmäher zurück bis es nicht mehr weiter geht? 1000 cm : 50 cm = 20 ; 20 : 4 = 5 d.h. 5 Runden 10m
b2) Welche Weglänge hat der Rasenmäher nach einer Runde zurückgelegt? Gib das Ergebnis zuerst in Einheiten mit π an und 50cm
schätze dann in Metern. (1,5 Punkte) U = 1850 π cm ≈ 5800 cm = 58 m Seite 14 von 21
Lösungen Teil B: Aufgabe 1 a) 21 584 Personen ≙ 100% b) 9 112 Personen ≙ 42,22% 1 193 Personen ≙ 100% c) 1 273 Personen ≙ 106,71% verwitwet 1990 : 1 193 Personen verwitwet 2000 : 1 273 Personen Aufgabe 2 a) α = β + 22° ; γ = β − 25° 180° = α + β + γ = 3β − 3° ⇒
b) d.h. Zunahme um 6,71%. 1 1 18
107
+ +
=
3 5 100 150
β = 61° d.h. 301 m2 ≙ d.h. α = 83° ; γ = 36° 43
150
Die gesamte Gartenfläche beträgt demnach 1 050 m2 . c) 100% ≙ 180.‐ ; 90% ≙ 162.‐ 12 ⋅ 180 + x ⋅ 162
= 175,5
12 + x
⇔
x: Anzahl Tage, die der Gast länger bleibt als 12 Tage x = 4 Der Gast bleibt 16 Tage. Seite 15 von 21
Aufgabe 3 a) Es gibt verschiedene Lösungswege. Am schnellsten erscheint die Berechnung des Rechtecks in der Mitte der grauen Figur und der beiden Trapeze. A = 50 ⋅ 19 +
b) 11 + 50
11 + 50
11 + 50
⋅ 19 +
⋅ 12 = 950 +
⋅ ( 19 + 12 ) = 950 + 30,5 ⋅ 31 = 1895 ,5 2
2
2
Die gesamte graue Fläche beträgt 1895,5 m2. Die Endpunkte der Kreissehne bezeichnen wir mit P und Q. Radius des grösseren Kreises: Kreissektorfläche (Mittelpunkt M2): Fläche des Dreiecks M2PQ: Fläche des Halbkreises über PQ: Schraffierte Fläche: A Schraffiert = AHKreis
Aufgabe 4 a) 1,2 Liter ≙ 1,2 dm3 7 800 000 000 dm3 ≙ 7 800 000 m3 h = 7 800 000 m3 :100 m2 = 78 000 m b) 65% ≙ 4,225∙109 Wasserverbrauch: r=
4 2 + 4 2 = 4 ⋅ 2 in cm. R 2 ⋅ π ⋅ 90°
2
A KSektor =
= 8π in cm 360°
8⋅4
2
A Dreieck =
= 16 in cm 2
r2 ⋅ π
2
A HKreis =
= 8π in cm mit r = 4 in cm 2
2
− ( AKSektor − ADreieck ) = 16 in cm Wasserverbrauch total: 1,2 ⋅ 6,5 ⋅ 109 = 7,8 ⋅ 109 in Liter Der Quader ist 78 km hoch. ( 4,225 ⋅ 0,64 + 2,275 ⋅ 1,2 ) ⋅ 109
= 5,434 ⋅ 10 9 in Liter 5 434 000 000 dm3 ≙ 5 434 000 m3 h = 5 434 000 m3 :100 m2 = 54 340 m Der Quader ist 54,34 km hoch. Seite 16 von 21
Häufige Fehler Teil A Aufgabe 1 a) b) a1) gemischte Brüche als Produkt angesehen ; 2⋅2
1
1
=4 3
3
a2) falsche Reihenfolge; alle Brüche als gleich gross bezeichnet. a3) Wurzelgesetze missachtet. b1) falsche Interpretation der Lösungsmenge, Nichtlösbarkeit nicht erkannt. b2) Fehler bei Äquivalenzumformung; falsche Interpretation der Lösungsmenge Aufgabe 2 a) Klammer auflösen falsch gemacht. Minusklammer nicht oder nur im ersten Glied beachtet. Versuch, auf Hauptnenner zu bringen, gescheitert, weil bei den Produkten mit Klammern beide Faktoren „behandelt“ wurden. b) Q in Mengenklammern notiert (Formfehler). Zähler der linken Seite falsch zusammengefasst. Versuch auf Hauptnenner zu bringen gescheitert (insbesondere wegen des Zählers links). c) x wie in Aufgabe stehen gelassen (ohne dem Bruch zuzuordnen) und versucht, so gleichnamig zu machen, was meist schlecht kam. d) statt x q rübergenommen oder durch p gerechnet (bringt nichts). Aufgabe 3 a) a1) a2) Aufgabe falsch verstanden (a1: 4 Verbindungen; a2 : 5 Verbindungen; a3: (n‐1) Verbindungen); Verbindungsstrecken fehlen oder sind falsch eingetragen. a3) Der Schritt vom Beispiel (a1 a2) zur Verallgemeinerung konnte nicht vollzogen werden. b) b1) b2) N‐S‐Ansicht bzw. O‐W‐Ansicht vertauscht ; spiegelverkehrt eingetragen b2) weisses Haus nur 1 Kästchen breit Aufgabe 4 a) Aufgabe falsch verstanden; Resultat ohne Einheit; Faktor 2 oder 0,5 falsch (z.B. Kreis statt Halbkreis); Fläche statt Umfang b) b1) Rechnen mit Einheiten; Aufgabe nicht verstanden (z.B. 10m durch 50cm = 20 Runden) b2) Aufgabe falsch verstanden oder nicht genau gelesen; Resultat ohne Einheit; Faktor falsch (z.B. Faktor 4: Kreis statt Viertelkreis); Fläche statt Umfang; Schätzen; algebraisch‐arithmetische Fehler Seite 17 von 21
Häufige Fehler Teil B Aufgabe 1 a) falsch summiert b) Zahl von 2000 (1273 Verwitwete) als 100% genommen. Differenz der Prozentzahlen berechnet. c) nicht gerundet Aufgabe 2 a) Winkelsumme im Dreieck fehlt oder falsch (360°); keine Gleichung mit einer Variablen gefunden; Formfehler b) Anteil Familie Zweifel: 2/5 statt 1/5; Formfehler (z.B. 29%=301m^2) c) kein oder falscher Ansatz Aufgabe 3 a) Falsch aufsummiert (2 Teile doppelt gezählt oder 1 Teil vergessen u.ä.). Formeln falsch für Dreieck, Parallelogramm, Trapez b) Es wurde mit geschätzten Grössen gerechnet (z.B. Radius grosser Kreis = 6 cm, oder Mondfläche = ein Drittel der kleinen Kreisfläche). Aufgabe 4 a) Milliarde nicht mit 109 gerechnet. Umrechnung in andere Einheiten falsch Liter gleich Kubikmeter statt Kubikdezimeter b) Prozente falsch ausgerechnet. 35% bei der Summation des Gesamtverbrauchs vergessen. Seite 18 von 21