Lösungen zu den Übungen zur Experimentalphysik Blatt 6

Übungen zur Experimentalphysik, Prof. Wagner, SS 2000, Blatt 6
Lösungen zu den Übungen zur Experimentalphysik
1)
Blatt 6
Für ein ideales Gas gilt:
p V = n R T (n:Anzahl Atome in mol)
Isobaren
>>
Isochoren
>>
Isothermen: >>
p=const.
V=const.
T=const.
>>
(*)
p V = const. >>
p = const. / V
a)
b)
Bei Punkt1: V1=1 m3, T1=320 K, p1=p2=1 bar
Die Anzahl Atome berechnet sich aus (*) zu
n= p V / (R T) = 37,6 mol.
Zu Punkt 2: Bei gleichem Druck wird das Gas auf das Volumen V2=0,5 m3
komprimiert. Dabei ergibt sich die Temperatur unter den neuen Bedingungen
zu
T2 = p2 V2 / (n R) = 159,9 K.
Zu Punkt 3: Bei gleichem Volumen wird der Druck so erhöht, dass der
Kreisprozeß über eine Isotherme abgeschlossen werden kann, d.h T3=T1. Für
den Druck erhält man dann
p3 = n R T3 / V3 = n R T1 / V2 = 2.0 105Pa = 2.0 bar.
c)
Im ersten Prozeß wird das Gas komprimiert, also Arbeit am System verrichtet
und das System gibt Wärme ab. Die Arbeit ist dabei
W12 = p1(V1-V2) = 50 kJ
Um die abgegebene Wärme zu berechnen benötigen wir die molare
Wärmekapazität bei konstantem Druck: Cp. Im Vergleich zur molaren
Wärmekapazität bei konstantem Volumen Cv ist die Wärmeabgabe grösser da
sich das Volumen verringert:
1
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Aufgrund der Temperaturänderung wird die Wärme
Q‘12= n f/2 R ∆T
abgegeben (wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle ist, bei
einem einatomigen Gas also die 3 Translationsfreiheitsgrade), was auch für
konstantes Volumen gilt (also Cv = f/2 R). Die Volumenänderung bewirkt nun
ebenfalls eine Änderung der Temperatur nach (*):
∆V = n R ∆T / p
also gibt das System aufgrund der Volumenänderung nochmals die Wärme
p ∆V = Q‘’12 = n R ∆T
ab. Insgesamt wird also die Wärme Q12=Q‘12+Q‘’12 abgegeben. Faßt man dies
zusammen so erhält man für die molare Wärmekapazität bei konstantem
Druck also:
Cp=(f/2+1) R
Für die abgegeben Wärme erhält man
Q12=n Cp (T1-T2)=-125kJ
Bei der isochoren Erwärmung wird keine Arbeit verrichtet, d.h. W 23=0, und es
wird lediglich Wärme zugeführt diesmal aber bei konstantem Volumen.
Cvmol=f/2 R
Und die aufgenommene Wärme ist somit
Q23= n CV (T3-T2)=75kJ
Bei der isothermen Expansion gibt das System nun Arbeit ab und Wärme wird
aufgenommen. Zur Berechnung der Arbeit müssen wir entlang der Isotherme
integrieren:
1
1
3
3
W31 = − ∫ pdV = − ∫
n⋅R ⋅T
dV
1
dV = − n ⋅ R ⋅ T ∫
= − n ⋅ R ⋅ T ⋅ [ln V ]3 = − n ⋅ R ⋅ T ⋅ (ln V1 − ln V3 )
V
V
3
1
V
= − n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 1 = −69kJ.
V3
Dabei muss wiederum Energie zugeführt werden, um die Temperatur des
Gases konstant zu halten, da die innere Energie U des idealen Gases nur von
der Temperatur abhängt gilt also nach dem ersten Hauptsatz
∆U=0 ⇒
Q31=-W 31=69kJ
2
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Insgesamt wurde also die Arbeit ∆W=W12+W 23+W 31= -19kJ vom System
geleistet. Die Bilanz für die Wärme ist: ∆Q=Q12+Q23+Q31=+19kJ.
2)
Im Vergleich zu Aufgabe 1 kommt ein neuer Prozess hinzu. Bei der
adiabatischen Kompression gelten die Poisson- oder Adiabatengleichungen:
p ~ V-(f+2)/f = V-κ
p ~ Tf/2+1 = Tκ/(κ-1)
V ~ T-f/2 = T1/(1-κ).
Die Adiabaten sind wegen κ=(f+2)/f steiler als die Isothermen.
i)
1
W = − ∫ p ⋅ dV
0
pV = nRT ⇒ V = nRT / p ⇒ dV = nRT
d (1 / p)
dp
dp
⇒ dV = nRT (−1 / p²)dp
1
⇒ W = nRT ∫ 1 / p ⋅ dp = nRT ln
0
p1
= n ⋅ 7298 ⋅ J / mol
p0
Bei einem isothermen Prozeß gilt wie in Aufgabe 1
gezeigt ∆Q = -∆W, d.h. es werden 7298 J/mol an
Wärme an das Kühlwasser abgegeben.
(ii)
Bei einem adiabatischen Prozeß wird das Gas
gemäß der Poisson-gleichung komprimiert:
p ~ Tf/2+1 = Tκ/(κ-1)
⇒ T1/T0 = (p1/p0) (κ-1)/κ
⇒ T1 = T0 (p1/p0) (κ-1)/κ = 690 K.
wobei für das zweiatomige Gas f=5/2 und somit
κ=7/5 gilt.
Bei der adiabatischen Kompression wird die innere
Energie des Gases erhöht, bei einem idealen Gas
also die Temperatur. Nach dem 1.Hauptsatz gilt
dann:
∆W 01 / n = CV ∆T = CV (T1-T0) = f/2 R (T1-T0)
Für die isobare Kompression gilt unter Verwendung des idealen Gasgesetzes
∆W 12 = - p ∆V = -p (V2-V1) = -p n R/p (T2-T1) = -n R (T0-T1)
∆W 12 / n = R (T1-T0)
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insgesamt muß also die Arbeit
∆W ges / n = (f/2+1) R (T1-T0) = Cp (T1-T0) = 11,552 kJ/mol
Die Wärme, die in Arbeitsschritt 1→2 abgegeben wird, ist natürlich ebenso
gross.
(iii)
Um den optimalen Prozess zu finden betrachteb
wir die zweimalige Durchführung des Prozesses
(ii):
∆W ges / n = ∆W 02 / n +∆W 24 / n =
= Cp (T1-T0) + Cp (T3-T2)
wegen T2=T0 folgt
∆W ges / n = Cp (T1 + T3 – 2T0)
Mit der Poisson-gleichung lassen sich die
Temperaturen durch die Drücke darstellen:
T1 = T0 (p1/p0)a und T3 = T0 (p4/p1)a mit a=(κ-1)/κ.
Und es folgt:
∆W ges / n = Cp T0 ((p1/p0)a + (p4/p1)a –2)
Um das Minimum zu finden suchen wir wie üblich die Nullstelle der 1.
Ableitung:
d(∆W ges / n)/dp1 = 0
d(∆W ges / n)/dp1 = Cp T0 (a p1a-1 / p0a + (-a) p4a / p1-a-1) = 0
3)
⇒
p1a-1 / p0a = p4a / p1-a-1 ⇒
p1 = p 0 ⋅ p 4 = 4,47 bar
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∆W ges / n = 9,1 kJ/mol
T1= 449K
T3= 449K
Und ∆Q / n = ∆W ges / n = 9,1 kJ/mol.
Der Luftdruck ist konstant (Isobarer Prozess) also müssen wir die molare
Wärme bei konstantem Druck Cp verwenden:
∆Q = Cp n ∆T = (f/2+1) R n ∆T
mit dem idealen Gasgesetz p V = n R T folgt n = p V /(R T)
also
∆Q = (f/2+1) p V ∆T/T = 5,4 MJ
4
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bei ∆T=30K, T=293K, f=5, p= 105 Pa und V=150m3.
In der Stunde werden somit 32,3MJ verbraucht, was einer Leistung von 8,95
kJ entspricht.
4)
Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung lautet:
1
3/ 2

1

−  mv  / kT
−  mv  / kT
 m 
2
2

n ( v) = 
=: c ⋅ v 2 ⋅ e  2 
 4π ⋅ v ⋅ e 
 2πkT 
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist die, bei der n(v) maximal wird:
1
−  mv
dn ( v)
= c ⋅ 2v ⋅ e  2
dv
also
mv 2
2−
= 0 ⇒ vw =
kT
2

 / kT

2
1
 mv  − 2 mv
+ c⋅ v ⋅−
e
 kT 
2
2
2

 / kT

=0
2kT
m
Die mittlere Geschwindigkeit ist
∞
v = ∫ v ⋅ n ( v)dv
0
und das mittlere Geschwindigkeitsquadrat
∞
v 2 = ∫ v 2 ⋅ n ( v)dv
0
∞
Es sind also Integrale der Form I n = ∫ x n e −ax dx zu lösen. Man sieht nun gleich,
2
0
dI n
gilt. Wenn man dann noch I1 und I0 berechnet hat man die
da
anderen Integrale schnell gelöst:
∞
∞
1
1
− ax 2
I1 = ∫ x ⋅ e dx =
e − u du =
∫
2a 0
2a
0
wobei die Substitution u=ax² verwendet wurde, und weiter
∞
2
1 π
I 0 = ∫ e − ax dx =
(das schaut man am besten schnell im Bronstein,
2 a
0
„Taschenbuch der Mathematik“ nach)
dass I n + 2 = −
So mit diesem Wissen können wir nun die Integrale ausrechnen:
∞
v = ∫ v ⋅ n ( v)dv =
4
0
π
3
2
∞
a ⋅∫v ⋅e
3
− av 2
dv =
0
4
π
3
2
a ⋅ I3 =
 d  1 
2
8kT
a  −    =
=
πm
π  da  2a   a ⋅ π
3
2
4
und
∞
v = ∫ v ⋅ n ( v)dv =
2
2
0
4
π
3
2
∞
a ⋅∫v ⋅e
4
0
− av 2
dv =
3
2
4
π
a ⋅ I4 =
 d2
a  2
π  da
4
3
2
 1 π 
3kT
3 / 2 3 −5 / 2


=
 2 a   = 2a ⋅ 4 a
m


Also könne wir damit für H2 und Xe die Geschwindigkeiten berechnen:
5
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H2 [m/s]
1579
1782
1934
vw
Mittleres v
Mittleres quadrat. v
Xe [m/s]
195
220
239
Die Geschwindigkeits-verteilung sieht dann so aus (die Verteilungen für H2 und Xe
sind jeweils mit einem Faktor 0.5 multipliziert):
2.50E-03
H2
Xe
2.00E-03
n(v) [s/m]
Summe
1.50E-03
1.00E-03
5.00E-04
0.00E+00
0
1000
2000
3000
4000
v [m/s]
5)
Man hat 3N Oszillatoren entsprchend den 3N Freiheitsgraden für N Atome zur
Verfügung. Im Einstein-Modell wird vereinfachend angenommen das alle
Oszillationen die gleiche Frequenz νE besitzen. Je nach Temperatur sind die
Moden verschieden hoch besetzt. Die Besetzung des n-ten Niveaus mit der
Energie En= n h ν ist durch die Boltzmann-Verteilung gegeben:
w(n,T) = e-En/kT = e-n h ν / kT
Die mittlere Energie des Ensembles ist:
E = 3N
∑ En ⋅ e
−
−
En
kT
En
kT
= 3N
∑n ⋅h ⋅ν⋅e
−
−
n ⋅h ⋅ν
kT
n ⋅ h ⋅ν
∑e
∑ e kT
Die Summenterme in obigem Ausdruck lassen sich mit der Substitution
x = e-hν / kT vereinfachen:
Unter Verwendung der geometrischen Reihe wird der Nenner zu
∞
1
xn =
∑
1− x
n =0
Für den Zähler kann man schreiben:
∞
∞
∞
n =0
n =0
n =0
∑ n ⋅ x n = ∑ x ⋅ (n ⋅ x n −1 ) = x ⋅ ∑ n ⋅ x n −1 =x ⋅
6
d ∞ n
d  1 
1
x = x⋅ 
 = x⋅
∑
dx n =0
dx  1 − x 
(1 − x ) 2
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Die mittlere Energie ist dann
e
E = 3 N ⋅ hν ⋅
−
hν
kT
1− e
hν
−
kT
1
= 3 N ⋅ hν ⋅
e
hν
kT
−1
Die Wärmekapazität ist die Ableitung der inneren Energie nach der
Temperatur.
hν
kT
hν
kT
∂
1
e
 hν 
 hν 
E = 3N ⋅ hν ⋅ (−1)
⋅e ⋅−
 = 3Nk

2
2
2
hν
∂T
 kT 
 kT   hν
 kT


kT
 e − 1
 e − 1








x
Entwickelt man für kleine x, so sieht man e =1+x+1/2x²+...≈1,
sowie (ex-1)-1=(x+1/2x²+...)-1≈1/x. Und es folgt
C=
2
C(T→∞)=3Nk.
Der Temperaturverlauf von C ist unten dargestellt (N=1015, ν=1013Hz, was
einer Temperatur von 480K entspricht):
4.50E-08
4.00E-08
C
Wärmekapazität
3.50E-08
3.00E-08
2.50E-08
2.00E-08
1.50E-08
1.00E-08
5.00E-09
0.00E+00
0
200
400
600
800
1000
Temperatur [K]
Im Grenzfall hoher Temperaturen erhält man somit die Regel von Dulong und
Petit, die Wärmekapazität ist konstant und jeder Freiheitsgrad trägt mit f/2 kT
zur Wärmekapazität bei (im Elementkristall gilt f=6).
7