Grundwissen Mathematik 6

Grundwissen
Mathematik 6
Dieser Grundwissenskatalog gehört:
Name: ____________________________
Klasse: _____
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
Inhaltsverzeichnis
Zahlen
1. Brüche
1.1 Bruchteile
1.2 Brüche als Werte von Quotienten
1.3 Bruchzahlen
1.4 Anordnung der Bruchzahlen
1.5 Addieren und Subtrahieren von Brüchen
1.6 Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
2. Dezimalzahlen
2.1 Ordnen von Dezimalzahlen nach der Größe
2.2 Runden von Dezimalzahlen
2.3 Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen
2.4 Multiplizieren und Dividieren mit Stufenzahlen
2.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen
2.6 Umformen von Brüchen in Dezimalzahlen und umgekehrt
3. Rationale Zahlen
4. Prozentrechnung
4.1 Dreisatz (Schlussrechnung)
4.2 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert
Geometrie
5.1 Flächeninhalt von Parallelogramm, Trapez und Dreieck
5.2 Körper und ihr Volumen
Stochastik
6.1 Zufallsexperimente
6.2 Relative Häufigkeit
-1-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
Zahlen
1. Brüche
1.1 Bruchteile
4
15
6
Blau:
15
Rot:
Zähler
„zählt“, wie viele der
gleichen Teile interessant
sind
Nenner
gibt an, in wie viele gleiche
Teile das Ganze geteilt wird
4
15
1.2 Brüche als Werte von Quotienten
Es gilt:
z
= z:n
n
Berechnung eines Bruchteils: 34 von 36 = (36 : 4) ⋅ 3 = 27
2
5
von 83 kg = 52 ⋅ 83 kg =
1⋅3
5⋅4
kg =
1.3 Erweitern und Kürzen
Erweitern:
Zähler und Nenner mit der
gleichen Zahl multiplizieren.
3 3⋅ 2 6
Bsp.: =
=
4 4⋅2 8
3
20
kg
Kürzen:
Zähler und Nenner durch die
gleiche Zahl dividieren.
6 6:2 3
Bsp.: =
=
8 8: 2 4
Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert des Bruches
nicht.
Alle Brüche, die aus einem Bruch durch Erweitern oder
Kürzen entstehen, geben die selbe Bruchzahl an.
-2-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
1.4 Anordnung der Bruchzahlen
Sind die Zähler gleich, vergleichen wir die Nenner:
4
9
<
4
7
Sind die Nenner gleich, vergleichen wir die Zähler:
3
7
<
5
7
Sind die Nenner verschieden, bringt man sie vor dem
Vergleich auf den Hauptnenner (= kleinster gemeinsamer
Nenner).
Bsp: 125 , 187 haben den Hauptnenner 36.
Da
5
12
=
15
36
,
7
18
=
14
36
ist, gilt :
14
36
<
15
36
7
also 18
<
5
12
1.5 Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Zähler addieren (subtrahieren) und Nenner beibehalten
3
7
7
4
Bsp.: 11
+ 11
= 11
, 13
− 133 = 134
Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf
den Hauptnenner.
Bsp.: 14 + 16 = 123 + 122 = 125
1.6 Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner
Bsp.: 83 ⋅ 129 = 38⋅12
= 12⋅⋅33 = 12
⋅9
Bruch : Bruch = Bruch ⋅ Kehrbruch
Bsp.: 143 : 76 = 143 ⋅ 76 = 21⋅⋅12 = 14
Beachte: Erst kürzen, dann multiplizieren!
Gemischte Zahlen vor dem Multiplizieren oder Dividieren in
Brüche verwandeln!
-3-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
2. Dezimalzahlen
Kommazahlen wie z.B. 1,356 heißen Dezimalzahlen. Die
Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
H
Z
E
1
4
Bsp.: 0,04 = 100
=
,
,
1
25
z
3
;
h
5
t
6
z = Zehntel
h = Hundertstel
t = Tausendstel usw.
234
1,234= 1 1000
= 1 117
500
2.1 Ordnen von Dezimalzahlen nach der Größe
Von zwei Dezimalzahlen ist diejenige die größere, die von
links nach rechts gelesen an entsprechender Stelle zuerst eine
höhere Ziffer hat.
Bsp.: 1,2345 < 1,2346
2.2 Runden von Dezimalzahlen
Ist die erste wegzulassende Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, wird
abgerundet, ist sie 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet.
Bsp.
Runden auf
1 Dez.
2 Dez.
3 Dez.
3,4564
≈ 3,5
≈ 3,46 ≈ 3,456
-4-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
2.3 Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen
Addiere stellenweise! Achte auf gleich viele Dezimalen!
Bsp.: 3,763 + 4,32 = 3,763 + 4,320 = 8,083
2.4 Multiplikation und Division mit Stufenzahlen
Verschiebe das Komma um so viele Stellen nach rechts
(links), wie die Stufenzahl Nullen hat.
Bsp.: 2,04 · 1000 = 2040;
14,73 : 100 = 0,1473
2.5 Multiplikation und Division von Dezimalzahlen
Die Kommata werden beim Multiplizieren zunächst nicht
berücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen wie die
Faktoren zusammen.
Bsp.: 1,8 ⋅ 0,54 = 0,972
Beim Dividieren durch eine natürliche Zahl wird vor dem
Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma im Ergebnis das
Komma gesetzt.
Bsp.: 9,2 : 8 = 1,15
Beim Dividieren ändert sich der Quotientenwert nicht, wenn
man bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen in
gleicher Richtung verschiebt.
Das Komma wird beim Divisor so weit verschoben, bis er eine
natürliche Zahl ist. Bsp.: 2,56 : 1,6 = 25,6 : 16 = 1,6
-5-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
2.6 Umformen von Brüchen in Dezimalbrüche und
umgekehrt
Bruch →Dezimalzahl
Man bringt den Nenner auf eine Zehnerpotenz
16
4
z.B. : 25
= 100
= 0,16
oder man dividiert den Zähler durch den Nenner.
z.B. : 73 = 7 : 3 = 2,333...
z
= z : n ergibt eine
n
- endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner des vollständig
gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält,
- unendliche periodische Dezimalzahl, wenn der Nenner
andere Primfaktoren enthält.
Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode.
Periodische Dezimalzahl → Bruch
Falls die Periode direkt hinter dem Komma beginnt:
Zähler = Periode, in den Nenner schreibt man so viele Neunen,
wie die Periode Ziffern hat.
23
Bsp.: 0, 23 = 99
-6-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
3. Rationale Zahlen
Verbindung der Grundrechenarten
Es gilt: - Klammer zuerst, dann
- Hoch vor Punkt vor Strich
Rechengesetzte
Kommutativgesetz:
Assoziativgesetz:
Distributivgesetz:
a+b=b+a
a+(b+c) = (a+b)+c
(a+b)⋅c = a⋅c + b⋅c
a ⋅b = b ⋅a
a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
Addition und Subtraktion
Gleiche Vorzeichen:
(+1,2) + (+3,5) = + 4,7
(−1,2) + (−3,5) = − 4,7
Verschiedene Vorzeichen: (+1,2) + (−3,5) = 1,2 − 3,5 = − 2,3
(−1,2) + (+3,5) = −1,2 + 3,5 = + 2,3
Subtrahieren einer Zahl bedeutet Addieren ihrer Gegenzahl
(−1,2) − (−3,5) = (−1,2) + (+3,5) = + 2,3
Multiplizieren und Dividieren
Gleiche Vorzeichen:
Plus mal Plus = Plus
(+ 1,2) ⋅ (+ 0,1) = + 0,12
Minus mal Minus = Plus
(− 1,2) ⋅ (− 0,1) = + 0,12
Verschiedene Vorzeichen: Plus mal Minus = Minus
(+ 1,2) ⋅ (− 0,1) = − 0,12
-7-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
4. Prozentrechnung
4.1 Dreisatz (Schlussrechnung)
Dem doppelten, dreifachen, ... Wert der einen Größe wird der
doppelte, dreifache, ... Wert der anderen Größe zugeordnet.
Bsp.: 3 kg Äpfel kosten 2,40 €. Wie viel kosten 5 kg?
3 kg kosten 2,40 €
1 kg kostet 2,40 € : 3 = 0,80 €
5 kg kosten 0,80 € ⋅ 5 = 4,00 €
4.2 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert
1% =
1
100
1
1‰ = 1000
= 1 Tausendstel
= 1 Hundertstel
5
Bsp.: 5% = 100
=
1
20
8
8‰ = 1000
=
= 0,05
1
125
= 0,008
Es gilt: p% ⋅ GW = PWi
p% = Prozentsatz, GW = Grundwert, PW = Prozentwert
Dem Grundwert werden immer 100% zugeordnet.
Bsp.:
60% der 30 Schüler sind Jungen 20% aller Karten wurden
verkauft. Das waren 12 Stück.
100% ≙ 30 Schüler
20% ≙ 12 Stück
10% ≙ 3 Schüler
100% ≙ 60 Stück
60% ≙ 18 Schüler
Tina hat 50 €. Davon steckt sie 30 € ins Sparschwein.
50 € ≙ 100%
10 € ≙ 20 %
30 € ≙ 60 %
-8-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
Geometrie
5.1 Flächeninhalte von Parallelogramm, Dreieck und
Trapez
Parallelogramm:
Flächeninhalt =
beliebige Seite mal
zugehörige Höhe
h
g
Dreieck:
Flächeninhalt =
1
mal beliebige Seite mal
2
zugehörige Höhe
h
g
c
Trapez:
Flächeninhalt =
1
mal Summe der parallelen
2
Seiten mal Höhe
h
a
Umrechnungen: mm2 → cm2 → dm2 → m2 → a → ha → km2
Umrechnungszahl 100
-9-
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
5.2 Körper und ihr Volumen
a) Volumeneinheiten
Hat ein Würfel
die Kantenlänge,
so ist sein
Volumen
1mm
1mm3
1cm
1cm3 = 1ml
1dm
1dm3 = 1l
1m
1m3
Umrechnungen:
mm3 → cm3 → dm3 → m3
Umrechnungszahl 1000
1 l = 1dm3
1 ml = 1cm3
1 hl = 100 l
b) Das Volumen von Quader und Würfel
l
VQ = l⋅b⋅h
h
b
l = Länge, b = Breite, h = Höhe
Vw = s3
s
s = Seitenlänge
- 10 -
RMG Haßfurt
Grundwissen Mathematik 6
Stochastik
6.1 Zufallsexperimente
Experimente wie z. B. das Werfen eines Spielwürfels oder einer
Münze, das Drehen eines Glücksrades usw., deren Ergebnis vom
Zufall abhängt, nennt man Zufallsexperimente.
6.2 Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit gibt an, welcher Bruchteil aller
Ergebnisse Treffer sind.
Relative Häufigkeit =
Anzahl der Treffer
Anzahl der Ergebnisse
Bsp. : Würfelt man 10 -mal und tritt dabei zweimal die Eins auf,
so ist die relative Häufigkeit der Eins 102 = 15 = 20% .
Gesetz der großen Zahlen:
Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich
die relative Häufigkeit der Treffer bei einem festen Wert ein.
- 11 -