Tutorium 6 - GBI Tut Philipp Oppermann

Grundbegriffe der Informatik
Tutorium 6
Tutorium Nr. 32
Philipp Oppermann | 5. Dezember 2013
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Outline/Gliederung
1
Zum 5. Übungsblatt
2
gerichtete Graphen
Graphen und Teilgraphen
Pfade in gerichteten Graphen
besondere Graphen
Grade von Knoten
3
ungerichtete Graphen
4
Kanten als Relationen
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gerichtete Graphen
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ungerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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2/10
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„ein oder mehrere”:
z.B.
X → A | AX
G = (N , T , S , P ) ist 4-er Tupel; keine Mengenklammern!; S ∈ N
⇒ bei Ableitung, = beim Wegfallenlassen von ε, → bei Produktionen
X
nicht
X
XX
X X
deutlicher schreiben, was ich nicht lesen kann gibt 0 Punkte
bitte aufs nächsten Blatt schreiben, ob ihr den Übungsschein braucht
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gerichtete Graphen
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ungerichtete Graphen
Kanten als Relationen
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gerichtete Graphen
Definition
V sei eine nichtleere Menge von Knoten, E ⊆ V × V eine Menge von
Kanten. Dann heißt G = (V , E ) ein gerichteter Graph.
adjazente Knoten
Zwei Knoten x , y ∈ V heißen adjazent, wenn (x , y ) ∈ E (es gibt einen
Pfeil von x nach y).
Schlingen
Eine Schlinge ist eine Kante der Form (x , x ) mit x ∈ V . Ein Graph ohne
Schlingen heißt schlingenfrei.
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Kanten als Relationen
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gerichtete Graphen
Teilgraph
Ist V 0 ⊆ V und E 0 ⊆ E ∩ V 0 × V 0 , dann ist G0 = (V 0 , G0 ) ein Teilgraph von
G = (V , E ).
Isomorphie
„Wenn man durch Umbennenung der Knoten aus G1 G2 machen kann,
dann sind G1 und G2 isomorph.“ (exakte Definition siehe Skript)
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Pfade in gerichteten Graphen
Pfad
Ein Pfad ist eine nichtleere Liste von Knoten: p = (v0 , v1 , . . . , vn )
Die Länge eines Pfades p ist die Anzahl der Kanten in p. (Knoten - 1)
vn ist von vm erreichbar, wenn ein Pfad (vm , ..., vn ) existiert.
Ein Pfad mit gleichem Start- und Endknoten heißt geschlosser Pfad
oder Zyklus.
Ein Pfad, bei dem alle Knoten verschieden sind, heißt
wiederholungsfrei (Start- und Endknoten dürfen gleich sein).
Ein wiederholungsfreier Zyklus heißt einfacher Zyklus.
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besondere gerichtete Graphen
streng zusammenhängend
Ein gerichteter Graph heißt streng zusammenhängend, wenn es von
jedem Knoten einen Pfad zu jedem anderen Knoten gibt.
Baum
Ein gerichteter Baum ist ein Graph, in dem es eine Wurzel gibt.
Eine Wurzel ist ein Knoten, von dem es zu jedem Knoten genau
einen Pfad gibt.
Die Wurzel in gerichteten Bäumen ist eindeutig.
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Kanten als Relationen
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Grade von Knoten
Grad
Der Eingangsgrad ist die Anzahl der Karten, die zu einem Knoten
hinführen: d − (x ) = | {y | (y , x ) ∈ E } |
Der Ausgangsgrad ist die Anzahl der Karten, die von einem Knoten
wegführen: d + (x ) = | {y | (x , y ) ∈ E } |
Der Grad ist die Summe von Eingangsgrad und Ausgangsgrad:
d (x ) = d − (x ) + d + (x )
Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
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ungerichtete Graphen
jede Kante geht in beide Richtungen, keine Pfeilspitzen
die Kantenmenge E besteht aus 2-er Mengen statt Tupeln
2 Kanten werden so auch formal zu einer zusammengefasst, da in
Mengen die Reihenfolge egal ist
Sonderfall: Eine Schlinge wird als {x } dargestellt
Es gibt keine Pfade, sondern Wege (prinzipiell das gleiche)
In ungerichteten Bäumen kann jeder Knoten Wurzel sein
(
Grad:
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d (x ) = | {y | y 6= x ∧ {x , y } ∈ E } | +
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ungerichtete Graphen
2
falls {x } ∈ E
0
sonst
Kanten als Relationen
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Kanten als Relationen
xEy ⇐⇒ (x , y ) ∈ E ⇐⇒ es gibt eine Kante von x nach y
(x , y ) ∈ E 3 ⇐⇒ es gibt einen Pfad/Weg der Länge 3 von x nach y
E 0 = IV ist die Menge der Pfade mit Länge 0 [z.B. (x)]
(x , y ) ∈ E ∗ ⇐⇒ es gibt einen Pfad/Weg beliebiger Länge von x
nach y
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