Kräfte - Universität Zürich

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann
Version 28. September 2009
Inhaltsverzeichnis
3.6
3.7
3.6
Fundamentale Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.1 Keplergesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.2 Aequivalenzprinzip der schweren und trägen Masse . . . . . . .
3.6.1.3 Zusammenhang zwischen Keplergesetze und Gravitationsgesetz
3.6.1.4 Das Experiment von Cavendish . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.5 Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Elektromagnetische Kräfte: Coulomb- und Lorentz-Kraft . . . . . . . . .
3.6.2.1 Elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.2 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgeleitete Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Oberflächenkräfte und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Faden- und Federkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Auftriebskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.1
3.1
3.2
3.4
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.8
3.9
3.10
3.14
3.15
Fundamentale Kräfte
In der Einführung haben wir die fundamentalen Kräfte Gravitationskraft, elektromagnetischen,
der schwachen und der starken Kraft schon gestreift.
Wir wollen hier die Eigenschaften der Gravitation und der elektromagnetischen Kräfte beschreiben.
3.6.1
Gravitationskraft
Wir beobachten, dass alle Körper — unabhängig von Form und Masse — im Vakuum und an
der gleichen Stelle der Erdoberfläche — beim freien Fall die gleiche Beschleunigung g erfahren.
~ der
Nach dem 2. Newton’sche Prinzip ist die Beschleunigung ~g eine Konsequenz einer Kraft G,
Gewichtkraft bzw. der Anziehungskraft der Erde auf den Körper:
~ = m~g = G
~ EK = G
~ Erde→K örper
G
~ KE aus, mit
Nach dem 3. Newton’schen Prinzip übt der Körper auf die Erde eine Kraft G
~ EK = −G
~ KE
G
3.1
Das Gewicht eines Körpers ist eine Volumenkraft. Sie wirkt auf jeden Massenpunkt mi oder jedes
Massenelement dM eines Körpers, und unterscheidet sich damit von den Oberflächenkräften,
die wir später kennen lernen werden. Wir meinen damit das folgende:
u
mi
u
u
u
u
e
u
u
e
u
u
u
~
G
? i
~ = ~g dm
dG
M
V
mi
~ =
G
Gi
Z
Z
~g dm = ~g
V
dm
dm = M~g
V
dG
~ i = mi~g
G
~ =
G
X
~i =
G
i
X
mi~g = M~g
i
Die obigen Beziehungen gelten nur, wenn die Massenverteilungen nicht allzu ausgedehnt sind,
der Abstand vom Erdzentrum als näherungsweise konstant angesehen werden kann. Die totale
~ die resultierende Kraft aller auf die einzelnen Massen oder Massenelemente
Gewichtskraft G,
wirkenden Gewichtskräfte, greift im sogenannten Schwerpunkt an, wie wir das später im Abschnitt über Systeme von Teilchen noch beweisen werden. Für eine kugelsymmetrische oder
quaderförmige, homogene Massenverteilung liegt der Schwerpunkt im geometrischem Zentrum.
~ KE greift daher im Erdmittelpunkt an.
Die Kraft G
Es gelang Newton, die Beobachtungen Galilei’s zum Gewicht und die Kepler’schen Gesetze über
Planetenbahnen in einem allgemeineren Kraftgesetz, dem Gravitationsgesetz zu vereinen.
3.6.1.1
Keplergesetze
Die Kepler’schen Gesetze lauten:
i) Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.
dA
P
Exzentrizität : ∆ =
F1=S
∆
a
b
p
a2 − b2
Brennpunkt : F1 P + F2 P = 2a
F2
für jeden Punkt der Ellipse; a = grosse, b =
kleine Halbachse
ii) Die von der Sonne aus gemessenen Ortsvektoren der Planeten überstreichen pro Zeiteinheit
die gleiche Fläche.
Fäche der Ellipse
πab
dA
= const. =
=
dt
Umlaufszeit
T
3.2
iii) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen
Achsen ihrer Bahnellipsen.
T 2 ∝ a3
Planet
a
km]
5.795
10.81
14.96
22.78
77.81
142.7
287.0
450.0
590.0
∆/a
[107
Merkur
Venus
Erde
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Pluto
T
s]
0.7602
1.941
3.156
5.935
37.43
92.96
265.1
520.0
783.7
[107
0.2056
0.0068
0.0167
0.0934
0.0484
0.0543
0.0460
0.0082
0.2481
T 2 /a3
s2 /km3 ]
2.969
2.982
2.977
2.978
2.973
2.973
2.972
2.968
2.977
[10−3
Tabelle 3.1: Daten für die Planetenbahnen. a = grosse Hauptachse, ∆ = Exzentrizität der
Ellipse, T = Umlaufszeit. Die letzte Kolonne enthält die Kombination von a und T die nach
dem 3. Kepler’schen Gesetz konstant sein sollte.
Im Jahre 1687 konnte Newton diese drei Kepler’schen Gesetze mit Hilfe seines Aktionsprinzips und des Gravitationsgesetzes begründen. Letzteres postuliert, dass sich zwei Körper mit
sphärisch-symmetrischer Massenverteilung immer mit je einer Kraft anziehen, die proportional
zu den beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands ist.
Das Gravitationsgesetz ist fundamental, und bis heute durch kein übergeordnetes Prinzip zu
ersetzen.
(Dies ist wohl die wichtigste Leistung von Newton. Das Aktionsprinzip F = ma liesse sich auch
durch die Forderung nach Energieerhaltung ersetzen. Damit kann man ebenfalls die Dynamik
der Bewegungen beschreiben.)
j
~ 21
G
~ 12
G
-
-j
~r12
m1
m2
Das Gravitationsgesetz in vektorieller Form lautet:
~ 12 = −Γ m1 · m2 · r~12
F~G = G
2
r12
r12
Beachte, dass der Ausruck ~r/r gerade den Einheitsvektor in Richtung vom einen Körper zum
anderen darstellt.
Die Gravitationskonstante lässt sich experimentell bestimmen zu
Γ = 6.67 × 10−11
Nm2
kg2
Γ ist eine der fundamentalen Naturkonstanten (siehe auch Tabelle 1.7).
3.3
3.6.1.2
Aequivalenzprinzip der schweren und trägen Masse
Handelt es sich bei der Masse des 2. Newton’schen Prinzips (“träge” Masse) und der Masse des
Gravitationsgesetzes (“schwere” Masse) um dieselbe physikalische Eigenschaft eines Körpers?
Diese Frage hat die Physiker lange beschäftigt. Experimente zum freien Fall haben die Proportionalität mindestens für makroskopische Körper mit grosser Genauigkeit bestätigt.
Das Aequivalenzprinzip besagt, dass die schwere Masse und die träge Masse gleich sind.
Lassen wir also einen Körper mit der trägen Masse mT und der schweren Masse mS auf der
Erdoberfläche fallen. Auf ihn wirkt die Gravitationskraft: (M = Masse der Erde, R = Erdradius)
G=Γ
M · mS
R2
die man auf der Erdoberfläche auch das Gewicht nennt.
Nach dem zweiten Newton’schen Prinzip (Aktionsprinzip) F = mT a wird
G = mT g
Setzen wir die beiden Gleichungen zusammen erhalten wir:
Γ
M · mS
= mT g
R2
Das Aequivalenzprinzip sagt mT = mS . Also wird
g=
ΓM
= 9.81 ms−2
R2
Also: Es fallen alle Körper auf der Erde gleich schnell genau dann, wenn das Aequivalenzprinzip
gilt.
3.6.1.3 Zusammenhang zwischen Keplergesetze und Gravitationsgesetz Folgen aus
dem Gravitationsgesetz die Kepler’schen Gesetze wie wir behauptet haben? Tabelle 3.1 enthält
einige Angaben zu den Planetenbahnen, wie die grosse Hauptachse a, die Exzentrizität ∆ und
die Umlaufszeit T . Da die Exzentrizität relativ klein ist, mit der Ausnahme von Merkur und
Pluto, können wir unseren Beweis für eine Kreisbahn führen. Die Gravitationskraft der Sonne
~ SP zeigt auf das Zentrum der Bahn, die Sonne. Die Umlaufsgeschwindigkeit
auf den Planeten G
ist konstant, d. h. aT = 0. Es gilt dann:
P
ϕ
rd
dA
r
GSP
dϕ
s
v=
GPS
S
~ SP |
m · aN = |G
2πr
T =
= 2π
v
3.4
s
⇒
m
v2
mM Γ
=
r
r2
MΓ
= const.
r
r3
MΓ
⇒
T2 =
4π 2 3
r
MΓ
Der Radiusvektor überstreicht im Zeitintervall dt die Fläche dA = r2 dφ/2:
dA
r2 dφ
1
=
= r v = const.
dt
2 dt
2
Aus den Daten für die Erde aus Tabelle 3.1 lässt sich z. B. die Masse der Sonne berechnen zu
MS = 2 × 1030 kg.
Was haben wir hier nun gelernt?
Newton gelang es, die Phänomene des freien Falls und Keplergesetze
durch eine gemeinsame Theorie der Gravitation erklären. Zwei Dinge,
die vorher scheinbar nichts miteinander zu tun hatten, werden durch
eine gemeinsame Theorie beschrieben.
Wir haben hier gezeigt, dass in der Tat aus dem Gravitationsgesetz die
Keplergesetze folgen. Wir haben auch gezeigt, dass auch die Aussage “alle Körper fallen gleich schnell” aus dem Gravitationsgesetz folgt. Beide
Aussagen setzen zusätzlich voraus, dass schwere Masse und träge Masse
dasselbe sind.
3.6.1.4
Das Experiment von Cavendish
Ein Experiment, mit dem man die Gravitationskonstante Γ messen kann, ist dasjenige von
Cavendish. Es benutzt eine sogenannte Torsionswaage, d. h. ein an einem langen dünnen Draht
aufgehängtes, horizontales Pendel (siehe Abbildung 3.1)
A z
jB
m
(
S(
u
r ((( u
(
α(
(((
A@ `
M
A@
B j
Licht
zA
A @
A @
A 2α@
U
A
R
@
Abbildung 3.1: Cavendish-Experiment: A bezeichnet
die Anfangsstellung, B die Endstellung der beiden
grossen Massen M , α den Drehwinkel des Torsionspendels nach dem Ändern der Stellung von A nach B, der
durch den am Spiegel S reflektierten Lichtstrahl sichtbar gemacht wird.
Schätzen wir die Empfindlichkeit ab. Die Masse m wird durch die Anziehung von M (1 kg)
beschleunigt:
M
a = Γ 2 = 2 × 10−9 m/s2
r
Mit ` = 0.1 m, Abstand der Skala zum Spiegel d = 40 m, und damit einer Vergrösserung von
4d/` = 1600, ist a(Lichtstrahl)= 3.2 × 10−6 m/s2 . Der Lichtstrahl wandert 0.1 m in 250 s.
3.5
3.6.1.5
Kraftfelder
Wir haben die Gravitation durch ein Fernwirkungsgesetz beschrieben. Im vorletzten Jahrhundert
hat sich aber eine Denkweise durchgesetzt, die von einer lokalen Kraftwirkung ausgeht und dazu
den Begriff des Kraftfelds benützt.
Sei ein einzelner Körper gegeben. Durch seine Anwesenheit werden die Eigenschaften des ihn umgebenden Raums verändert. Jedem Raumpunkt ~r wird eine gewisse lokale Grösse, die Feldstärke,
~ auf eine kleine, kugelförmige Probemasse (= Massenzugeordnet, aus der die Gravitationskraft G
punkt) an der Stelle ~r bestimmt werden kann. Wir definieren als Feldstärke die Gravitationskraft
pro Masseneinheit
~ r)
G(~
~g (~r) =
.
m
Ist der felderzeugende Körper kugelförmig (mit kugel-symmetrischer Dichte ρ = ρ(r)) mit der
Masse M , so ist offensichtlich:
Feldstärke des Gravitationsfeldes :
~g (~r) = −Γ
M ~r
·
r2 r
~r wird vom Mittelpunkt des felderzeugenden Körpers aus gerechnet. Das Gravitationsfeld ~g ist
ein Zentralfeld (Abbildung 3.2).
m r
A
g (~r)
~
H
A
HH A H
HAz
H
A H
M A HHH
A
A
A
A
Abbildung 3.2: Das Gravitationsfeld einer sphärisch
symmetrischen Massenverteilung ist ein Zentralfeld.
Die lokale Kraftwirkung auf eine Probemasse m beträgt F~ = m · ~g (~r) und ist auf das Zentrum (Masse
M ) hin gerichtet.
Die auf die Masseneinheit bezogene Stärke des Gravitationsfeldes ist, wie wir aus den obigen
Beziehungen sehen, gleich der Beschleunigung eines Massenpunkts an der Stelle ~r des Raums.
Auf der Erdoberfläche ist also
g(rE ) = 9.81 ms−2
Wir haben also durch die Einführung des Gravitationsfeldes das Gravitationsgesetz gewissermassen aufgeteilt, in ein Feld, das sich von der Zentralmasse her ausbreitet und in eine lokale
Wirkung auf eine Probemasse.
Dieses Verfahren bringt zunächst keine tiefere Einsicht in das Wesen der Gravitation. Es drückt
den gleichen physikalischen Sachverhalt aus wie das ältere Fernwirkungsgesetz.
Aus der speziellen Relativitätstheorie lernen wir aber, dass sich auch die Kraftfelder nur höchstens
mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können.
Felder existieren aber als selbständige physikalische Entitäten. So können bei grossen Massenverschiebungen Gravitationswellen entstehen, die sich im raum ähnlich wie Lichtwellen ausbreiten.
3.6
3.6.2
Elektromagnetische Kräfte: Coulomb- und Lorentz-Kraft
Die Coulomb-Kraft ist eine Erscheinungsform der elektroschwachen Kraft. Das Experiment demonstriert, dass durch geeignete Hilfsmittel, als da sind Katzenfelle, Glasstäbe, Lederschürzen,
Plastikstäbe lassen sich gewisse Körper in einen Zustand bringen, in dem sie Kräfte aufeinander
ausüben, die viele Grössenordnungen stärker sind als die Gravitationskraft. Wir schreiben diese
Eigenschaft der elektrischen Aufladung zu, d. h. es gelang uns durch mechanische Einwirkung an
sich neutrale Materie in einen Zustand zu bringen, wo die negativen Ladungen der Elektronen
nicht mehr vollständig durch die positiven Ladungen der Protonen kompensiert werden.
Das quantitative Kraftgesetz wurde von Charles Augustin de Coulomb [1736 − 1806] formuliert und sagt aus, dass zwei sphärisch-symmetrische Ladungsverteilungen sich anziehen oder
abstossen, je nachdem ob sie ungleichnamig oder gleichnamig geladen sind. Die Kraft ist dabei
proportional zum Produkt der beiden Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres
Abstands. In vektorieller Schreibweise ist
F~21
j
-j
~r12
Q
F~12 = F~C
-
F~C =
1 Qq~r12
3
4π0 r12
q
Die Einheit der Ladung ist C (Coulomb) = 1 As (Ampére-Sekunde). Die Proportionalitätskonstante beträgt
2
−12 (As)
0 = 8.85 · 10
Nm2
Vergleichen wir die beiden beschriebenen fundamentalen Kräfte, so finden wir gewisse Analogien, aber auch wesentliche Unterschiede, auf die wir schon in der Einleitung hingewiesen hatten.
Das Kraftgesetz ist in seiner Abhängigkeit vom Abstandsvektor her gleich. Hingegen kann die
Coulomb-Kraft sowohl anziehend wie abstossend sein, während die Gravitationskraft nur anziehend ist: es gibt nur eine Art (+) Masse, während zwei Arten (±) von Ladungen existieren.
Ferner existieren Elementarteilchen, die zwar Masse, aber keine Ladung haben; Ladung ohne Masse kommt nicht vor. Es beruht auf diesen Unterschieden, dass in grossen Dimensionen
(Erde, Sonnensystem) nur die Gravitationskraft in Erscheinung tritt. Dies ist keineswegs selbstverständlich, da im Bereich der Elementarteilchen und Atome die Coulomb-Kraft bei weitem
überwiegt. Betrachten wir z. B. zwei Protonen und vergleichen die anziehende Gravitationskraft zwischen ihnen mit der abstossenden Coulomb-Kraft, so finden wir für das Verhältnis der
Beträge
Q2p 1
FC
=
' 1036
FG
4π0 Γm2p
In Anbetracht dieser enorm grossen Zahl ist es nicht verwunderlich, dass die Wirkung der Gravitationskraft auf geladene Elementarteilchen experimentell gar nicht nachweisbar ist. Dass dagegen zwischen Erde und Sonne nur die Gravitationskraft wirkt, beruht offenbar darauf, dass
jeder der beiden Körper genau gleich viel positive und negative Ladung, aber nur positive Masse
enthält.
3.7
3.6.2.1
Elektrische Felder
~ r) einführen. E(~
~ r)
Ähnlich wie im Fall der Gravitation können wir hier das elektrische Feld E(~
ist dabei die Kraft pro Ladungseinheit, die eine Punktladung am Ort ~r des Raumes erfährt.
~
Das E-Feld
wird durch geladene Körper erzeugt, deren Form beliebig ist und die sich in Ruhe
befinden. Ist der felderzeugende, geladene Körper punktförmig, so ist die Feldstärke nach dem
Coulomb’schen Gesetz
~ r) = 1 Q · ~r .
E(~
4π0 r2 r
~ Wir haben wiederum ein Zentralfeld. Für
Die Kraft auf die Probeladung q ist dann F~C = q E.
eine positive Ladung Q zeigen die Feldvektoren radial nach aussen. Die Feldlinien “laufen” von
der Quelle weg. Für eine negative Ladung Q weisen die Feldvektoren nach innen. Dies ist in
Abbildung 3.3 illustriert.
~
−q r E(~r)
A
A
~ r )
FC (~
H
A
HH A H
HA
z
H
A H
+Q A HH
H
A
A
A
A
A
H
~
−q r FC (~r)
~ r)
E(~
A
HH A H
H
A
z
AHH
−Q A HH
H
A
A
A
Abbildung 3.3: Das elektrische Feld einer sphärisch symmetrischen Ladungsverteilung ist ein
Zentralfeld. Die Kraftwirkung ist auf das Zentrum (Ladung Q) hin gerichtet, wenn die Probeladung q das entgegengesetzte Vorzeichen hat wie die felderzeugende Ladung Q bzw. vom Zentrum
weg radial nach aussen gerichtet bei zwei Ladungen gleichen Vorzeichens.
3.6.2.2
Lorentz-Kraft
Eine andere Form der elektroschwachen Kraft ist die sogennannte Lorentz-Kraft. Jean-Baptiste
Biot [1774 − 1862] und Felix Savart [1791 − 1841] untersuchten die Kraftwirkungen zwischen
elektrischen Strömen. (Abbildung 3.4).
Solche Kräfte zwischen bewegten Ladungen (Strömen) sind durch ein Kraftgesetz erklärbar, das
von Hendrik Antoon Lorentz [1853 − 1928] formuliert worden ist. Bewegte elektrische Ladungen
und damit auch elektrische Ströme erzeugen neben dem elektrischen ein weiteres Feld, das
~ r).
magnetische Feld B(~
F~L 6
~
3B
θ
-
Bewegt sich nun ein Teilchen mit Ladung q durch das B-Feld mit
einer Geschwindigkeit ~v , so wirkt auf es eine Kraft, die proportional
~
zu q, v und B ist und senkrecht zur Ebene steht, die von ~v und B
aufgespannt wird. Exakt ausgedrückt gilt
~v
~ Lorentz − Kraft
F~L = q(~v × B)
3.8
|FL | = qvB sin θ
6
1
1m
F~21
1m
F~12
- 1 A
6
1m
2 1A
?
?
Abbildung 3.4: Definition der
Einheit der Stromstärke: 1
Ampère (A) ist die Stärke eines zeitlich konstanten Stroms,
der, durch zwei im Vakuum im
Abstand von 1 m parallel verlaufende, geradlinige, unendlich
lange Leiter von vernachlässigbarem Durchmesser fliessend,
eine gegenseitige Kraft von 2 ×
10−7 Newton pro Meter Drahtlänge, erzeugt.
~ und F~L bilden ein Rechtssystem nach der SchraubenB heisst die magnetische Induktion. ~v , B
~
~ (siehe Storrer, op. cit.,
zieherregel. ~v × B ist das Vektorprodukt der beiden Vektoren ~v und B
p. 16 -19)
Seit der Formulierung der Relativitätstheorie durch Einstein wissen wir, dass die Lorentz-Kraft
eine relativistische Folge der Coulomb-Kraft und keine unabhängige Fundamentalkraft ist.
Die Existenz der Lorentz-Kraft lässt sich z. B. mit einem Kathodenstrahloszillographen (oder
auch mit dem Fernseher) demonstrieren, wenn man über einen Stabmagneten verfügt. Der Elektronenstrahl wird abgelenkt, wobei die Ablenkung ihr Vorzeichen mit der Feldrichtung ändert.
Mit F~L ⊥ ~v gilt auch ~a ⊥ ~v , d. h. der Beschleunigungsvektor steht senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor, die Beschleunigung hat nur eine Normalkomponente. Unter diesen Umständen
ändert sich, wie wir im Abschnitt 2.4.3 gesehen haben, der Betrag der Geschwindigkeit nicht,
~ konstant, so finden wir für die Bahnkurve
sondern nur deren Richtung. Ist das Magnetfeld B
eine Kreisbahn r, die das Teilchen mit konstanter Schnelligkeit v durchläuft:
Aktionsprinzip maN = m
3.7
v2
mv
p
= FL = qvB ⇒ r =
=
r
qB
qB
Abgeleitete Kräfte
Während wir die Gravitationskraft, Coulomb-Kraft und die Lorentz-Kraft zu den fundamentalen Kräften zählen, handelt es sich bei allen übrigen aus dem täglichen Leben vertrauten Kräften
um daraus abgeleitete Kräfte. Diese Kräfte lassen sich mikroskopisch immer auf die fundamentalen Kräfte zurückführen. Muskelkräfte, Federkräfte, Zugkräfte und Reibungskräfte haben ihren
Ursprung immer in den lokalen Verschiebungen der Ladungsverteilungen von Atomen und Molekülen und sind daher letzlich Coulomb-Kräfte. Sie sind aber nur in wenigen Fällen direkt aus
der Anwendung der Coulomb-Kraft auf diese komplizierten Systeme von vielen geladenen Teilchen berechenbar. Es ist daher praktischer für die Anwendungen im täglichen Leben sich eine
Reihe von experimentell bestimmten Erfahrungsregeln zu merken, mit denen Beispiele in denen
solche Kräfte auftreten, behandelt werden können. Wir beginnen mit Oberflächenkräften.
3.9
3.7.1
Oberflächenkräfte und Reibung
Oberflächenkräfte sind mikroskopisch Kräfte zwischen den einzelnen Atomen an einer der beiden Oberflächen und jenen an der anderen. Wenn man zwei sehr gut polierte und gereinigte
Oberflächen des gleichen Materials in sehr gutem Vakuum zusammenbringt, dann kann man sie
nicht mehr gegeneinander verschieben, sie verschweissen sich kalt zu einem Stück Metall. Sogar
in Luft halten zwei sehr gut polierte Metalloberflächen so gut zusammen, dass man sie nur mit
Drehbewegungen von einander lösen kann. Auch wenn die Oberflächenatome ungeladen sind,
bewirken die Coulomb-Kräfte eine Verschiebung der Elektronenhülle gegenüber dem Kern, und
sorgen bei sehr kleinen Abständen für Abstossen, in grösseren Abständen schwach und nach
aussen abnehmend für Anziehung. Auf atomarer Skala sehen Oberflächen, wie man dass zum
Beispiel im Rastertunnelmikroskop sichtbar machen kann, aus wie Gebirge mit Irregularitäten
von einigen hundert bis tausend atomaren Durchmessern. Längere Zeit der Luft ausgesetzte
Oberflächen sind in der Regel von Oxydschichten bedeckt, die Kaltverschweissen reduzieren.
(a)
(b)
Abbildung 3.5: Der Mechanismus
der Gleitreibung. Die obere Oberfläche gleitet nach rechts über die
untere Oberfläche. Im vergrösserten
Ausschnitt ist ein Abschnitt mit
zwei potentiellen Kaltverschweissungen gezeigt.
Wie Abbildung 3.5 illustriert, ist die wirkliche mikroskopische Kontaktfläche in der Regel etwa um einen Faktor
10000 kleiner als die makroskopische Fläche. Die Oberflächen verschweissen kalt nur an vielen Einzelpunkten.
Wenn man die beiden Oberflächen gegeneinander verschiebt, brechen diese Verschweissungen kontinuierlich
und formieren sich an anderen Punkten neu. Zum Aufbrechen ist Kraft nötig, die man gewöhnlich als Reibung bezeichnet. Man hat zum Beispiel inder Automobilindustrie
Zylinderkolben durch Bestrahlen radioaktiv gemacht und
durch Untersuchung des Schmieröls zeigen können, dass
ständig kleinste Bruchstücke des Metalls bei der gegenseitigen Bewegung vom Kolben und Zylinder abtransportiert werden.
An der Berührungsstelle zweier Körper 1 und 2 treten zwei Kräfte
auf, nämlich F~12 an der Oberfläche des Körpers 2 und F~21 an der
Oberfläche des Körpers 1, wobei nach dem 3. Newton’schen Prinzip F~12 = −F~21 gilt. Es ist üblich, diese Kräfte in Komponenten
normal und tangential zur Berührungsebene zu zerlegen. Wir nen~ und Reibung R.
~ Dabei ist
nen diese Komponenten Normalkraft N
R21
~ +R
~ ,
F~ = N
F21 N21
R12
und, wie aus der Figur folgt,
~ 12 = −N
~ 21 und R
~ 12 = −R
~ 21 .
N
3.10
N12 F12
dF~
A
K
A
A
A
~
6
dN
A
Ar dA
~ dR
Berühren sich zwei Körper an mehreren Punkten, so fasst man
die Käfte pro Flächeneinheit zusammen: An jedem differentiellen
Flächenelement dA greift die Oberflächenkraft dF~ an. Dabei ist wie~ + dR.
~ Die Kraft pro Flächenelement dF~ /dA heisst die
der dF~ = dN
Spannung in dA. Insbesondere ist
~
dR
= ~τ die Schubspannung
dA
~
dN
= ~σ die Normalspannung,
dA
Die Oberflächenkräfte (Normalkraft und Reibung) sind also Flächenkräfte. Sie wirken auf jedes
Flächenelement, aber nicht im Innern der Körper. (Im Gegensatz zum Beispiel zum Gewicht,
das eine Volumenkraft darstellt.)
Schub- und Normalspannungen spielen u. a. in der Festigkeits- und Elastizitätslehre (siehe Abschnitt 2.10), sowie in der Dynamik der Gase und Flüssigkeiten eine bedeutsame Rolle (Abschnitt
2.11).
Unter Umständen können verteilte Oberflächenkräfte zu einer Resultierenden zusammengefasst
werden, indem man sie über die Berührungsfläche BF integriert.
~ =
N
Z
~ ist die totale Normalkraft,
dN
~ =
R
Z
~ ist die totale Reibungskraft.
dR
BF
BF
Der effektive Angriffspunkt muss dabei von Fall zu Fall aus zusätzlichen Bedingungen bestimmt
werden. Für Translationen spielt seine Lage keine Rolle.
Im Beispiel des ruhenden Würfels auf schiefer Ebene wird der An~ und N
~ aus der Drehmomentenbedingung begriffspunkt von R
~ R
~ und N
~ sich in eistimmt. Damit er nicht umkippt, müssen G,
nem Punkt schneiden. Die Summe der Drehwirkungen der Kräfte
ist dann Null, wie wir später einsehen werden.
N
dR
R
dN
α
G
Wie schon erwähnt, ist es nicht möglich, für die Oberflächenkraft F~ ein Kraftgesetz anzugeben.
Da sie sehr stark vom Abstand abhängig ist, wäre dies auch gar nicht sinnvoll. Denn schon bei
Verschiebungen der makroskopischen Körper um atomare, also unmerkliche Distanzen, könnte
sie z.B. von Abstossung in Anziehung übergehen. Empirisch finden wir folgend Zusammenhänge:
Trockene Oberflächen: Die Anziehungskraft an den Berührungsflächen zweier trockener Körper
ist im allgemeinen so schwach, dass sie vernachlässigt werden kann. Dies beruht darauf, dass
die Oberflächen, mikroskopisch betrachtet, sich infolge ihrer Rauhigkeit nur an wenigen Stellen
wirklich nahe kommen, wie wir oben erwähnt haben. Die Effekte der gegenseitigen Anziehung,
d. h. das Kaltverschweissen werden wir vernachlässigen und annehmen, dass die Normalkraft
abstossend ist.
~ und R
~ lässt sich eine empirische Beziehung aufstellen. Die eiZwischen den Komponenten N
~ mit zunehmender Normalkraft N
~ wächst. Es
gene Erfahrung lehrt, dass die Reibungskraft R
3.11
sind allerdings zwei Fälle zu unterscheiden, nämlich Haften bei relativ zueinander ruhenden
Oberflächen und Gleiten bei relativ zueinander bewegten Oberflächen. Dies ist in Abbildung 3.6
illustriert.
Die genaue Analyse der in Abbildung 3.6 dargestellten Situation mit Hilfe des 1. Newton’schen
Prinzips ergibt das folgende:
Haftreibung: Solange der Klotz ruht, an der Unterlage also haftet, gilt
~ + F~a + N
~ +R
~H = 0
F~tot = G
~ und die Zugkraft F~a sind bekannt. Wie gross ist dann N
~ und R
~ H ? Wir
Das Gewicht G
führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein (z nach oben, x nach links) und zerlegen
die obige Gleichung in Komponenten
Fz,tot = N − G = 0
⇒N =G
Fx,tot = Fa − RH = 0
⇒ RH = Fa
Während N hier wie das Gewicht konstant ist, ändert sich R, wenn wir Fa ändern. Dies gilt
bis die Haftreibung RH ihre obere Grenze erreicht, die von der Normalkraft N abhängt.
Es gilt
0 ≤ RH ≤ µH N
Die obere Grenze der Haftreibung ist proportional zur Normalkraft. Für RH selber haben
wir nur eine Ungleichung. Der Proportionalitätsfaktor µH heisst Haftreibungskoeffizient.
Gleitreibung: Überschreitet die äussere Kraft Fa im obigen Beispiel den maximalen Wert von
RH , so resultiert eine Kraft in x-Richtung, der Klotz setzt sich in Bewegung, er gleitet.
Wieder aus der Erfahrung wissen wir, dass in diesem Fall die Reibungskraft RG direkt
proportional zur Normalkraft ist. Es gilt
RG = µG N .
Der Gleitreibungskoeffizient µG ist meistens etwas kleiner als µH für die gleichen Oberflächen. In Anbetracht des zu Beginn des Abschnitt gesagten, ist klar, dass die Materialgrössen µH und µG , die nur pauschale Wirkungen der interatomaren Kräfte beschreiben,
nicht präzis bestimmt werden können, da sie sehr kritisch von der Oberflächen-form, rauhigkeit und -reinheit abhängen. Ganz allgemein wird dies für die meisten sogenannten
Materialgrössen gelten und damit auch für Zusammenhänge, die solche enthalten.
Aus den obigen Beziehungen für RH und RG geht hervor, dass die Reibung nicht von der Grösse
der Berührungsfläche abhängt. Auch diese Aussage gilt nur genähert, z. B. nur sofern sich die
Flächen unter der Wirkung der Normalkraft nicht deformieren (ideal starre Körper).
Zusatz: Im gewählten Beispiel des auf einer Unterlage ruhenden Klotzes sind Normalkraft
und Gewicht entgegengesetzt gleich, aber sie sind nicht Reaktionspartner im Sinne des dritten
Newton’schen Prinzips, denn die beiden Kräfte greifen am gleichen Objekt an. Das Gewicht
ist eine Graviationskraft der Erde auf den Klotz, die dazugehörige Reaktionskraft ist die im
Erdzentrum angreifende Anziehungskraft des Klotzes auf die Erde. Die Normalkraft ist eine
3.12
N
G
(a)
N
RH
F
Keine
Bewegung
G
(b)
N
RH
F
(c)
N
RH
F
G
(d)
N
RG
F
a
Beschleunigung
G
(e)
N
RG
F
v
Konstante
Geschwindigkeit
G
(f)
Grösse der
Reibungskraft
maximale Haftreibung
(g)
RG ist nahezu konstant
Abriss
0
Zeit
3.13
Abbildung 3.6: Kräfte auf einen ruhenden Klotz, der mit einer variablen Zugkraft über einen Tisch gezogen wird. Das Bild ist Haliday~ beResnick-Walker entnommen. G
zeichnet das Gewicht des Klotzes
~ bei H-R-W)), F~ die va(weight W
~ H die Haftreibung
riable Zugkraft, R
~
~ G die Gleitrei(static friction fs ), R
bung (kinetic friction f~k ). Während
der Klotz ruht (a-c) halten sich in
horizontaler Richtung die Haftreibung und die Zugkraft die Waage. Wenn die Zugkraft zunimmt,
nimmt auch die Haftreibung zu bis
sie einen gewissen Maximalwert erreicht (d). Dann beginnt sich der
Klotz sprunghaft zu bewegen, d.
h. er wird beschleunigt (e). Damit sich der Klotz dann weiter mit
konstanter Geschwindigkeit bewegen kann (f), muss die angewendete
Zugkraft reduziert werden vom beobachteten Maximalwert. Die Zugkraft zum Überwinden der Gleitreibung ist kleiner. Dieser Zusammenhang ist im untersten Bild dargestellt, wo wir die Grösse der Zugkraft in Funktion der Zeit dargestellt finden.
Oberflächenkraft elektromagnetischen Ursprungs die von der Unterlage auf den Klotz wirkt
~ =N
~ U K ). Ihr Reaktionspartner im Sinne des 3. Newton’schen Prinzips ist die vom Klotz auf
(N
~ KU . Der Mechanismus,
die Unterlage wirkende und auch dort angreifende Oberflächenkraft N
der dafür sorgt, dass die Normalkomponente der Gewichtskraft durch eine Kraft der Unterlage
auf den Körper kompensiert wird, besteht in einer elastischen, allerdings in diesem Fall kaum
sichtbaren Deformation der Unterlage. Wenn man auf die Oberflächen einwirkt, z. B. durch
Verleimen, durch Verwenden magnetischer Tischplatten und eiserner Bodenplatten am Klotz
kann man die Normalkraft sogar grösser machen als das Gewicht.
Durch Vergrössern der Oberflächen kann die Haftreibung bei gleichen Normalkräften ebenfalls
vergrössert werden. Dieses Prinzip wird z. B. beim Bergsteigen vielfältig angewendet.
Nasse Oberflächen: Ganz anders als im vorigen Fall verhalten sich die Kräfte zwischen zwei
Berührungsflächen, wenn die Zwischenräume ganz mit Flüssigkeit ausgefüllt sind.
Normalkraft: Die Anziehungskräfte zwischen den Atomen oder Molekülen kommen voll zur
Wirkung, d. h. die Normalkraft kann jetzt auch anziehend sein. Sorgen wir dafür, dass die
Flüssigkeit sehr zäh ist oder sich verfestigt und somit nicht wegfliessen kann, so kleben die
Körper aneinander: Die Flüssigkeit wirkt als Klebstoff.
Reibung: Bewegt sich ein Körper in einer Flüssigkeit, so spricht man von viskoser Reibung.
Eine Haftreibung existiert nicht. Bei genügend kleinen Geschwindigkeiten gilt
~ V = −β~v
R
Die Proportionalitätskonstante β hängt von der Form und Grösse der Oberfläche und der
Zähigkeit (Viskosität η) der Flüssigkeit ab. Für eine Kugel mit Radius r gilt z. B.
β = 6πηr
[η] = [
kg
] = 10 [Poise]
ms
Bei grösseren Geschwindigkeiten nimmt die Reibung infolge von Wirbelbildung mit der
Geschwindigkeit quadratisch zu, R ∝ v 2
Füllen wir den Zwischenraum zwischen zwei Körpern so mit einer Flüssigkeit aus, dass sie sich
nicht mehr direkt berühren, so gelten ebenfalls die obigen Beziehungen. Für kleine Geschwindigkeiten ist auch die viskose Gleitreibung gegenüber der trockenen Reibung stark reduziert: Die
Flüssigkeit ist ein Schmiermittel.
3.7.2
Faden- und Federkräfte
Ist ein Körper K an einem Faden oder an einer Feder befestigt, so wirken auf ihn an der
Befestigungsstelle Oberflächenkräfte, wie wir sie oben diskutiert haben. Ein Faden übt auf K
immer eine Zugkraft in Fadenrichtung aus.
Die Kraft einer Feder hat ebenfalls die Richtung der Federachse. Im idealen Fall ist die Kraft
proportional zur Verlängerung x der Feder gegenüber ihrer Ruhelänge, d. h. auf den Körper K
3.14
wirkt Fx = −kx, wo k die sogennnte Federkonstante oder -steifigkeit ist. Eine gedehnte Feder
zieht, eine gestauchte stösst den Körper zur Ruhelage, x = 0, hin. Man kann diese Beziehung auch
etwas allgemeiner vektoriell schreiben, wenn wir die Verlängerung der Feder aus der Ruhelage
mit ~r bezeichnen und damit eine beliebige Richtung zulassen:
F~ = k~r
3.7.3
Auftriebskräfte
~ (siehe Abschnitt 2.11.1) auf
In Gasen und Flüssigkeiten wirkt eine statische Auftriebskraft A
einen eingetauchten Körper, die dem Gewicht des Körpers entgegengesetzt ist, und deren Betrag
dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (Deplacement) gleich ist:
~ = −ρF l V ~g
A
ρF l ist die Dichte des Flüssigkeit, V das Volumen der verdrängten Flüssigkeit. Die Auftriebskraft ist eine Volumenkraft wie das Gewicht, ihr Angriffspunkt ist daher der Schwerpunkt des
Deplacements. Wenn die Dichte des Körpers ρK kleiner ist als die der Flüssigkeit, dann steigt
der Körper auf, wenn ρK > ρF l gilt beobachten wir absinken.
3.15