Serie 7: Kreisbewegung, Gravitationsgesetz und

Übungen zur Mechanik
Serie 7: Kreisbewegung, Gravitationsgesetz und Umlaufbahnen
1. Die Vorbereitung der Formelsammlung
Aktuell verwenden wir lediglich eine Handvoll Gleichungen:
2π · r
T
m · v2
= m · aZ
FZ =
r
v2
aZ =
r
m1 · m2
FG = G ·
r2
v=
FG = m · g
g=
G·M
R2
Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung (gfK)
Zentripetalkraft = resultierende Kraft bei einer gfK
Zentripetalbeschleunigung
Newton’sches Gravitationsgesetz
Gewichtskraft bei vorgegebenem Ortsfaktor
Ortsfaktor an der Oberfläche eines Himmelkörpers
Es ist wichtig, dass Ihnen diese Gleichungen etwas sagen.
Formulieren Sie deshalb zu jeder Gleichung in zwei bis drei Sätzen, in welcher Situation sie gebraucht
wird. Machen Sie anschliessend ein eigenes Beispiel mit Zahlenwerten.
Ich stelle diese Aufgabe an den Anfang dieser Übungsserie. Sie ist relativ theorielastig. Vielleicht mögen
Sie eher den Zugang über konkrete Anwendungen. Dann beschäftigen Sie sich lieber zuerst mit ein
paar der weiteren Aufgaben. Anschliessend können Sie hierher zurückkehren und vielleicht mehr mit
den nackten Gleichungen anfangen.
2. Der Ortsfaktor auf der Oberfläche des Planeten Mars
Der Mars ist mit einem Durchmesser von DMars = 6 800 km deutlich kleiner als die Erde. Deshalb ist
auch seine Masse geringer. Sie beträgt “lediglich” MMars = 6.4 · 1023 kg.
Bestimmen Sie aus diesen Angaben den Ortsfaktor auf der Oberfläche des Planeten und vergleichen
Sie ihn mit demjenigen an der Erdoberfläche.
3. Der Mond – alles über unseren Trabanten
Mittlerer Abstand zwischen Erd- und Mondmittelpunkt:
r = 380 000 km
Masse des Mondes:
MMond = 7.35 · 1022 kg
Mittlerer Radius des Mondes:
RMond = 1 740 km
Umlaufzeit des Mondes um die Erde:
T = 27.3 Tage
(a) Die Erdmasse beträgt etwa MErde = 5.97 · 1024 kg. Zuerst zum Verständnis der Zehnerpotenzen.
Um welchen Faktor ist die Erde schwerer als der Mond?
(b) Welche Bahngeschwindigkeit weist der Mond auf seinem Weg um die Erde auf?
Geben Sie das Resultat in km
s .
(c) Wie gross ist die Anziehungskraft zwischen Erde und Mond?
Notieren Sie das Resultat in Newton mit einer Zehnerpotenz.
(d) Welcher Ortsfaktor herrscht auf der Mondoberfläche?
Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Ortsfaktor auf der Erdoberfläche.
1
4. Erdumrundung im Space Shuttle
Im Imax-Space Shuttle-Film The Dream is Alive wird gesagt: “Die Maschinen stehen jetzt still. Der
Orbiter umkreist die Erde auf 450 km Höhe.”
(a) Des weiteren wird behauptet, eine Erdumrundung dauere 90 Minuten.
Überprüfen Sie diese Umlaufszeit ausgehend von der Flughöhe.
Hinweise: Erdmasse ME = 5.97 · 1024 kg, Erdradius RE = 6370 km.
(b) Welche Bahngeschwindigkeit weist der Space Shuttle Orbiter auf?
(c) Überlegen Sie ausgehend vom Resultat unter (b):
• Weshalb umkreisen wohl die meisten Satelliten die Erde in Richtung Osten?
• Weshalb liegen Raumhäfen – also Abschussrampen für Raketen – typischerweise in Äquatornähe?
Tipp: Wie gross ist Geschwindigkeit, mit der ein Mensch am Äquator aufgrund der Erdrotation
die Erdachse umrundet?
5. Berechnung der Sonnenmasse
Die Erde umkreist die Sonne in einem Jahr genau einmal. Der mittlere Abstand zwischen Sonne und
Erde beträgt 1.496 · 1011 m.
(a) Mit welcher Bahngeschwindigkeit (in km
s ) umkreist die Erde die Sonne? (Vgl. Serie 6, Aufg. 2.(b))
(b) Bestimmen Sie mit dem Resultat von (a) die Masse der Sonne.
Geben Sie Ihre Antwort in Kilogramm unter Verwendung einer Zehnerpotenz.
(c) Vergleichen Sie das Resultat von (b) mit der Erdmasse MErde ≈ 5.97 · 1024 kg.
Geben Sie an, um welchen Faktor die Sonnenmasse grösser ist.
6. Newtons Gedankenexperiment
Die Skizze rechts stammt aus Isaac Newtons Hauptwerk
Philosophiae naturalis principia mathematica – kurz:
die Principia. (Die ursprüngliche Ausgabe erschien 1687,
die Zeichnung ist einer bearbeiteten Fassung von 1728
entnommen).
Würde man auf dem Mount Everset stehen und eine Stein mit immer grösserer Gechwindigkeit horizontal
wegwerfen. So würde er immer weiter fliegen. Theoretisch könnte man ihn so schnell werfen, dass er gar nicht
mehr auf den Boden fällt, weil die Erdoberfläche sich
quasi vorher von der Flugbahn wegkrümmt. Dazu dürfte
allerdings keine Luft vorhanden sein, denn diese würde
den Stein vom ersten Moment an enorm abbremsen.
Diese Überlegung funktioniert tatsächlich, einfach nicht an der Erdoberfläche, weil hier ja bekanntlich
Luft vorhanden ist. Aber der Mond, jeder um die Erde fliegende Satellit und natürlich auch Raumstationen oder das Space Shuttle fliegen genau in solchen Umlaufbahnen um die Erde. Nur die Gewichtskraft
wirkt jeweils auf das Objekt und zwingt es auf die Umlaufbahn!
Einmal mit der richtigen Geschwindigkeit auf der zugehörigen Bahn, läuft die Bewegung von alleine
ab. Der Körper fällt auf seiner Kreisbahn ständig “am Zentralkörper vorbei”.
Nehmen wir an, es gäbe keine Erdatmosphäre, also keine Luft an der Erdoberfläche. Wie schnell
müsste man dann den Stein vom Mount Everest aus werfen, damit er die Erde umkreisen und wieder
am Ausgangspunkt vorbeikommen könnte und wie lange würde ein Umlauf dauern?
N
.
Hinweise: Erdradius: RErde = 6370 km, Gewichtskraft: FG = m · g mit g = 9.81 kg
2
7. GPS – Global Positioning System
Ich zitiere kurz Wikipedia: Global Positioning System (GPS), offiziell NAVSTAR GPS, ist ein globales
Navigationssatellitensystem zur Positionsbestimmung und Zeitmessung. Es wurde seit den 1970erJahren vom US-Verteidigungsministerium entwickelt.
D.h., die Erde wird von einer Vielzahl GPS-Satelliten umkreist. Die zeitliche Messung des Funkkontaktes
zu mehrerer dieser Satelliten erlaubt eine sehr genaue Ortsbestimmung des Sende- und Empfangsgerätes
auf der Erdoberfläche. Das ist übrigens Physik auf höchstem Niveau!
Die GPS-Satelliten kreisen auf Umlaufbahnen mit Bahnradien von etwa r = 20 200 km. Bestimmen
Sie aus dieser Angabe und mit der Erdmasse von MErde = 5.97 · 1024 kg die Umlaufszeit eines GPSSatelliten. Wählen Sie für die Angabe des Resultates eine passende Zeiteinheit.
8. Lebt es sich am Äquator “leichter”? (Zwischenprüfungsaufgabe!)
Die Erde dreht sich einmal pro Tag um ihre Achse. Unsere Kraftwahrnehmung lässt uns diese Erdrotation
allerdings nicht spüren, weil der Effekt einfach zu klein ist. Davon überzeugen Sie sich in dieser Aufgabe.
(a) Ein Mensch stehe am Nordpol, sein identischer Zwilling am Äquator. Analysieren Sie die Kraftverhältnisse in beiden Situationen und erläutern Sie damit, warum sich der Mensch am Äquator
allenfalls leichter fühlen könnte als sein Zwilling am Pol.
•
Der Mensch am Pol dreht sich
an Ort und Stelle. Bei ihm
sind Gewichtskraft und Normalkraft im Gleichgewicht (Kräfte
einzeichnen!).
Dies ist beim Menschen am Äquator anders, denn dort muss sich
als resultierende Kraft eine Zentripetalkraft ergeben, damit der
Mensch eine gfK um die Erdachse
beschreibt.
•
Wie kommen wir Menschen schon
wieder zu unserem Gefühl der
Schwere?
Die Antwort ist entscheidend für
die Fragestellung! Wir spüren nicht
die Gewichtskraft selber, sondern
wie stark wir gegen den Boden gedrückt werden. D.h., wir spüren eigentlich die Normalkraft (vgl. Lift
beim Beschleunigen / Abbremsen).
N
. Am Äquator ist der Ortsfaktor
(b) Am Pol herrscht ein “rotationsfreier” Ortsfaktor von gPol = 9.82 kg
aufgrund der Erdrotation etwas geringer. Wie man aus der in (a) analysierten Kraftsituation
folgern kann, entspricht der Unterschied genau der Zentripetalbeschleunigung aZ , welche Objekte
am Äquator erfahren:
gÄquator = gPol − aZ
Wie gross ist demzufolge der “rotationsberichtigte” und somit tatsächlich am Äquator vorherrschende Ortsfaktor gÄquator ? (Erdradius: R = 6 370 km)
(c) Beide Zwillinge sollen eine identische Masse von exakt 60 kg besitzen. Um wie viele Gramm fühlt
sich der Zwilling am Äquator leichter als sein Bruder am Pol?
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9. Erde vs. Jupiter
Jupiter ist der fünfte Planet im Sonnensystem.
Hier ein paar planetarische Daten:
Mittlerer Abstand Sonne–Jupiter: r = 7.42 · 1011 m
Mittlerer Planetenradius des Jupiter: RJ = 69 500 km
Masse des Planeten Jupiter: MJ = 1.90 · 1027 kg
(a) Jupiter ist der grösste um die Sonne kreisende Planet. Das Bild zeigt den direkten Grössenvergleich
mit der Erde – ein wahrer Planetenriese!
Verdeutlichen Sie sich dies auch anhand eines Massenvergleichs mit der Erde. Um welchen Faktor
ist die Jupitermasse grösser als jene der Erde? (Erdmasse ME = 5.97 · 1024 kg)
(b) Bestimmen Sie aus den Daten den Ortsfaktor an der Jupiteroberfläche.
Vergleichen Sie anschliessend Ihr Resultat mit dem Ortsfaktor an der Erdoberfläche.
(c) Der Jupiter kreist auf einer ebenso nahezu kreisförmigen, aber wesentlich grösseren Umlaufbahn
als die Erde um die Sonne. Dem entsprechend benötigt er auch viel mehr Zeit für einen Umlauf.
Wie lange dauert ein Jupiterjahr, also ein Umlauf des Jupiters um die Sonne? Geben Sie das
Resultat in Erdenjahren an (Sonnenmasse MS = 1.99 · 1030 kg).
10. Herausfordernd! Der Weltraum – unendliche Weiten. . .
In den Tiefen des Weltraums stosse das Raumschiff Enterprise auf seiner Entdeckungsreise auf einen
kleinen Planeten mit Radius R = 1340 km. Er dreht sich in T = 84.0 min einmal.
Der Planet besitze zudem die lustige Eigenschaft, dass man sich am Pol genau viermal so schwer fühlt
wie am Äquator. Die Crew tauft ihn deshalb Spin 4.
(a) Bestimmen Sie die Masse von Spin 4 (mit Zehnerpotenz in Kilogramm).
Tipp: Schauen Sie kurz bei Aufgabe 8 nach, um wieder zu wissen, worum es geht.
(b) Berechnen Sie mit dem Resultat von (a) die mittlere Dichte von Spin 4 in
Hinweis 1: Dichte ̺ = Masse m pro Volumen V , also ̺ = m
V
3
·
r
Hinweis 2: Volumen einer Kugel mit Radius r: V = 4π
3
kg
.
m3
(c) Zusatzaufgabe: Zeigen Sie formal, dass die unter (b) berechnete Dichte gar nicht vom Planetenradius R abhängt, sondern direkt aus der Eigendrehzeit T berechnet werden kann.
Tipp: Lösen Sie die ganze Aufgabe formal, ausgehend von der Gleichung gÄquator = gPol − aZ .
(d) Bei der Entdeckung des nächsten Planeten Spin 5 wird eine Eigenrotationszeit von 2.12 h gemeskg
sen. Seine mittlere Dichte betrage 11 300 m
3.
Wie gross ist auf Spin 5 das Verhältnis zwischen dem Ortsfaktor am Äquator und demjenigen am
Pol? Geben Sie das Ergebnis in der Form gÄquator : gPol = 1 : x an. D.h., bestimmen Sie x.
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11. Meteosat – ein geostationärer Satellit
EUMETSAT (= European Organisation for the Exploitation of Meteorological Satellites) ist die europäische Organisation, welche sich um den Betrieb von Wettersatelliten kümmert und den Wetterdiensten die Daten zur Verfügung stellt. Auf der Website von EUMETSAT findet sich die folgende
Beschreibung über das aktuelle Wettersatellitensystem Meteosat (Second Generation):
Meteosat Second Generation (MSG) is a significantly enhanced follow-on system to the previous generation of Meteosat. MSG consists of a series of four geostationary meteorological satellites, along with
ground-based infrastructure, that will operate consecutively until 2018. The first MSG satellite to be
launched was Meteosat-8, in 2002. The second followed up in December 2005.
Von Meteosat-8 und Meteosat-9 beziehen unsere Wetterdienste die Satellitenbilder, die Sie täglich in
den Medien zu sehen bekommen. Diese Satelliten können rund um die Uhr Bilder von Europa liefern,
weil sie in geostationären Umlaufbahnen parkiert sind. D.h., sie stehen immer über derselben Stelle
auf der Erdoberfläche.
(a) Überlegen Sie zuerst einmal ganz genau, was geostationär bedeutet. Über welchen Stellen auf
der Erde können geostationäre Satelliten überhaupt stehen?
Am besten fertigen Sie zur Verdeutlichung eine Skizze an.
(b) Nun interessiert uns der Bahnradius r, mit welchem ein geostationärer Satellit um die Erde kreist.
Seine Umlaufbahn wird nämlich durch die Bedingung “geostationär” bereits genau festgelegt. Die
Berechnung von r ist allerdings nicht ganz einfach! Hier eine Anleitung in Form von Denkschritten:
i. Welche Angaben haben wir?
Die Erdmasse kennen wir aus den früheren Aufgaben. Die Umlaufszeit des Satelliten folgt
aus der Bedingung “geostationär”.
ii. Wodurch wird der Meteosat auf seiner Umlaufbahn gehalten?
Bei der Bewegung eines Himmelskörpers um einen Zentralkörper ist die Kreisbahn stets einzig
und allein das Resultat der Gravitation. Die Zentripetalkraft ist gleich der Gewichtskraft:
FZ = FG
Setzen Sie links die Formel für die Zentripetalkraft und rechts das Gravitationsgesetz ein!
iii. Feststellung
Die Satellitenmasse spielt für die die Umlaufbahn keine Rolle. Warum?
iv. Was mache ich mit der Bahngeschwindigkeit?
In der erhaltenen Gleichung kommt immer noch eine Unbekannte zuviel vor, nämlich die
Bahngeschwindigkeit v. Was macht man damit?
Antwort: Wir ersetzen v durch den dafür gültigen Ausdruck bei gleichförmigen Kreisbewegungen. So erhalten wir eine neue Gleichung mit dem Bahnradius r als einzige Unbekannte. Notieren Sie diese Gleichung in der Form r = . . . und berechnen Sie damit schliesslich den Bahnradius geostationärer Satelliten resp. deren Flughöhe über der Erdoberfläche
(RErde = 6 730 km).
(c) Was sagen Sie zum Endresultat? Ist die Umlaufbahn von Meteosat “weit oben”?
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