vorsemester_V1 [Kompatibilitätsmodus]

03.05.2011
1 Geometrie und Trigonometrie
a) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen
α1 β 2
α3 β 4
β 1 α2
β 3 α4
α5 β 6
α7 β 8
β 5 α6
β 7 α8
•
Scheitelwinkel sind gleich
(z.B. α1 = α2 bzw. β 1 = β 2)
•
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 0
(z.B. α1 + β 1 = 180 0 )
•
Stufenwinkel sind gleich
(z.B. α1 = α3 bzw. β 1 = β 3)
•
Wechselwinkel sind gleich
(z.B. α2 = α3 bzw. β 1 = β 4)
•
Gegenwinkel sind gleich
(z.B. α2 = α7 bzw. β 3 = β 6)
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b) Dreiecke
C
α
γ
a
b
α
A
•
Die Winkelsumme beträgt 180 0
( α + β + γ = 180 0 )
•
Ein Dreieck heißt gleichschenklig,
wenn es zwei gleich lange Seiten hat.
•
Ein Dreieck heißt gleichseitig,
wenn es drei gleich lange Seiten hat.
•
Ein Dreieck heißt rechtwinklig,
wenn es einen 900 - Winkel hat.
•
Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn
alle drei Winkel kleiner als 900 sind.
•
Ein Dreieck heißt stumpfwinklig,
wenn ein Winkel größer als 900 sind.
β
β
c
B
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1
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mc
Mittelsenkrechte
C
P
γ
mb
b
a
ma
Mb
Ma
M
α
β
Mc
A
B
c
•
Die Mittelsenkrechte zu einer Strecke ist die Menge aller Punkte, die von den
Endpunkten dieser Strecke gleich weit entfernt sind.
•
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem
Mittelpunkt des Umkreises (der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft).
Dieser liegt bei spitzwinkligen Dreiecken innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen außerhalb des Dreiecks und bei rechtwinkligen auf der Hypothenuse.
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C
γ
ma
a
b
Mb
mc
Ma
mb
α
β
Mc
A
c
B
M
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2
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hc
Höhe
C
γ
hb
b
ha
a
S
A
β
α
B
c
•
Das Lot von einer Ecke des Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite heißt
Höhe ( und zwar sowohl die Strecke als auch die durch diese Strecke
bestimmte Gerade ) .
•
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Dieser liegt bei spitzwinkligen Dreiecken innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen außerhalb des Dreiecks und bei rechtwinkligen im Eckpunkt mit
dem rechten Winkel.
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S
ha
γ
C
hb
a
b
hc
A
α
Bemerkung:
β
c
Die Fläche eines Dreiecks beträgt
A =
B
Grundseite . Höhe
2
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3
03.05.2011
Seitenhalbierende
C
γ
b
Mb
a
sb
Ma
S
α
sa
β
sc
A
c
B
Mc
•
Die Seitenhalbierende zu einer Dreiecksseite ist die Strecke zwischen dem Mittelpunkt dieser Seite und dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks.
•
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S,
dem Schwerpunkt des Dreiecks.
S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, wobei die Strecke zwischen S
und einer Ecke des Dreiecks jeweils doppelt so lang ist wie die Strecke zwischen S und dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite.
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C
γ
a
b
Mb
sb
α
A
S
sa
Ma
β
sc
Mc
c
B
Der Schwerpunkt liegt also sowohl bei einem spitzwinkligen als auch bei einem
stumpfwinkligen Dreieck innerhalb des Dreiecks.
Bemerkung
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten, der Schnittpunkt der drei Höhen und
der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks liegen stets auf einer
Geraden, der sogenannten Euler - Geraden.
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Winkelhalbierende
C
γ
wb
wa
a
b
M
P
α
β
A
B
c
wc
•
Die Winkelhalbierende zu einem Dreieckswinkel ist die Menge aller Punkte, die
von den beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt sind.
•
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem
Mittelpunkt des Inkreises (der alle drei Seiten des Dreiecks berührt).
Dieser liegt sowohl bei spitzwinkligen als auch bei stumpfwinkligen Dreiecken
innerhalb des Dreiecks.
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C
γ
wb
wa
b
a
M
α
β
A
c
B
wc
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03.05.2011
c) Dreieckskongruenzen
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in
•
3 Seiten
•
2 Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel
•
2 Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite
Die Dreiecke stimmen in den
Seiten c und b und dem Win-
b
kel ß überein.
b
ß
Sie sind aber trotzdem nicht
c
kongruent, da der gemeinsame
Winkel ß wegen b < c der kleineren Seite gegenüber liegt.
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c) Dreieckskongruenzen
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in
•
3 Seiten
•
2 Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel
•
2 Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite
•
1 Seite und 2 gleichliegenden Winkeln
Die Dreiecke stimmen in einer
Seite a und 2 Winkeln überein.
Sie sind aber trotzdem nicht
45 0
a
kongruent, da der rechte Winkel nicht in beiden Dreiecken
gleich liegt
45 0
a
( im ersten Dreieck liegt er der
Seite a an, im zweiten liegt er
ihr gegenüber ) .
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03.05.2011
C2
d) Ähnliche Dreiecke
γ2
C1
γ1
b1
a1
α1
A1
a2
b2
β1
c1
B1
α2
A2
β2
B2
c2
Für zwei Dreiecke sind die folgenden Aussagen äquivalent:
a1
b1
c1
•
Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich:
=
=
a2
b2
c2
•
Verhältnisse zweier entsprechender Seiten und der von ihnen eingeschlossene
b1
c1
Winkel sind gleich, z.B.
und α1 = α2 .
=
b2
c2
•
Verhältnisse zweier entsprechender Seiten und der Gegenwinkel der größeren
a1
b1
Seite sind gleich, z.B.
und α1 = α2 .
=
a2
b2
•
Entsprechende Winkel sind gleich:
α1 = α2 , β 1 = β 2
und γ1 = γ2 .
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Für zwei Dreiecke sind die folgenden Aussagen äquivalent:
a1
b1
c1
•
Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich:
•
Verhältnisse zweier entsprechender Seiten und der von ihnen eingeschlossene
b1
c1
Winkel sind gleich, z.B.
und α1 = α2 .
=
b2
c2
•
Verhältnisse zweier entsprechender Seiten und der Gegenwinkel der größeren
a1
b1
Seite sind gleich, z.B.
und α1 = α2 .
=
a2
b2
•
Entsprechende Winkel sind gleich:
α1 = α2 ,
a2
=
b2
=
c2
β 1 = β 2 und γ1 = γ2 .
Gilt für zwei Dreiecke eine dieser Eigenschaften, so gelten auch die anderen drei.
In diesem Fall heißen die beiden Dreiecke (einander) ähnlich.
Sind zwei Dreiecke einander ähnlich, so ist das eine Dreieck eine maßstäbliche
Vergrößerung bzw. Verkleinerung des anderen und umgekehrt.
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03.05.2011
e) Strahlensätze
B2
B1
S
p1
1. Strahlensatz:
p2
A1
sb
SA1
=
SA2
A2
2. Strahlensatz:
sa
A1B1
SB1
SB2
=
SA1
SA2
A2B2
Diese Formeln ergeben sich sofort aus dem Satz über ähnliche Dreiecke, da die Dreiecke
∆ SA1B1 und
∆ SA2B2 ähnlich sind, denn:
•
Die Winkel bei A1 bzw. A2 sind gleich ( Stufenwinkel )
•
Die Winkel bei B1 bzw. B2 sind gleich ( Stufenwinkel )
•
Die Winkel bei S sind gleich ( trivial )
Die beiden Dreiecke stimmen also in allen drei Winkeln überein.
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Bemerkung: Die Strahlensätze gelten auch in folgender Situation:
B2
A1
p1
p2
S
gb
1. Strahlensatz:
SA1
=
SA2
SB1
SB2
B1
A2
2. Strahlensatz:
ga
A1B1
A2B2
=
SA1
SA2
Auch diese Formeln ergeben sich sofort aus dem Satz über ähnliche Dreiecke, da die
Dreiecke
∆ SA1B1 und
∆ SA2B2 ähnlich sind, denn:
•
Die Winkel bei A1 bzw. A2 sind gleich ( Wechselwinkel)
•
Die Winkel bei B1 bzw. B2 sind gleich ( Wechselwinkel)
•
Die Winkel bei S sind gleich ( Scheitelwinkel)
Die beiden Dreiecke stimmen also wieder in allen drei Winkeln überein.
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03.05.2011
f) Rechtwinklige Dreiecke
C
Satz von Pythagoras:
a2 + b2 = c2
Höhensatz:
h2 = p . q
Kathetensatz:
a2 = c . q
a
b
h
A
B
c
p
Bemerkung:
b2 = c . p
q
Ist der rechte Winkel nicht an der Ecke C, sondern an der Ecke A,
so lautet der Satz von Pythagoras
b2 + c2 = a2 .
Heißen die Seiten nicht a,b und c, sondern x, y und z, so lautet er
x2 + y2 = z2
oder
y2 + z2 = x2
oder
x2 + z2 = y2 .
Die verbale Beschreibung ist aber immer gleich:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der
beiden Katheten genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse.
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Daher ist zu beachten:
•
Der Vorteil einer Formel ist die kurze und prägnante Formulierung
( kann man gut behalten ) .
•
Die Formel ist aber fast wertlos, wenn man ihre verbale Bedeutung nicht kennt.
Beispiel
Kathetensatz:
a2 = c . q , b2 = c . p
Beide Formulierungen haben die gleiche Bedeutung:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Kathetenquadrat gleich dem Produkt aus
der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
Daher genügt es, eine der beiden Formeln aufzuschreiben.
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03.05.2011
Satz von Thales
C
Der Thaleskreis über einer Strecke AB
ist der Kreis, der den Mittelpunkt dieser
Strecke als Mittelpunkt hat und durch
A
B
die beiden Punkte A und B verläuft
M
( dessen Radius also halb so lang ist wie
die Strecke AB ) .
Satz von Thales
•
Jedes Dreieck mit den Eckpunkten A und B, dessen dritte Ecke C auf dem
Thaleskreis über AB
•
liegt, hat bei C einen rechten Winkel.
In jedem rechtwinkligen Dreieck liegt die Ecke mit dem rechten Winkel auf
dem Thaleskreis über der gegenüberliegenden Seite.
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g) Bogenmaß und trigonometrische Funktionen
y
a = Winkel im Bogenmaß
1
sin(a)
a
α
cos(a)
1 x
Gradmaß
Bogenmaß
360 0
2π
Die Umrechnung von Gradmaß in
Bogenmaß und umgekehrt erfolgt
mit Hilfe des Dreisatzes.
Im Gegensatz zum willkürlichen
Gradmaß hat das Bogenmaß eine
konkrete Bedeutung.
Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis
•
sin ( a ) ist die y - Koordinate des Endpunktes des Kreisbogens der Länge a
•
cos ( a ) ist die x - Koordinate des Endpunktes des Kreisbogens der Länge a
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03.05.2011
y
Rechenregeln mit Sinus und Kosinus
1
a+π
sin(a)
a
sin ( - a ) = - sin ( a )
cos ( - a ) = cos ( a )
cos(a+π)
sin ( a + π ) = - sin ( a )
α
cos ( a + π ) = - cos ( a )
a+
sin(-a)
sin(a)
π
sin(a+π)
a
)
2
cos (a +
α
π
1 x
-a
1
sin(a +
cos(a +
cos(-a)
y
π
2
cos(a)
cos(a)
sin ( a +
1 x
)
2
π
2
π
2
)
= - sin ( a )
)
= cos ( a )
sin ( a + 2π ) = sin ( a )
cos ( a + 2π ) = cos ( a )
sin2 ( a ) + cos2 ( a ) = 1
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Definition von Tangens und Kotangens am Einheitskreis
tan ( a ) =
cot ( a ) =
sin ( a )
cos ( a )
=
PQ
RS
OP
cos ( a )
=
sin ( a )
2. Strahlensatz
OP
ähnliche Dreiecke
y
1 T
S
Q
α
O
P
a
cot(a)
1
TU
1
= RS
= TU
•
Das Dreieck ∆ UTO hat an der
Ecke U ebenso den Winkel α
wie das Dreieck ∆ OPQ an der
Ecke O ( Wechselwinkel) .
•
Das Dreieck ∆ UTO hat an der
Ecke T ebenso einen rechten
Winkel wie das Dreieck ∆ OPQ
an der Ecke P .
R
cos(a) 1
OT
=
RS
Die Dreiecke ∆ UTO und ∆ OPQ
sind ähnlich, denn sie stimmen in
allen drei Winkeln überein:
U
α
tan(a)
sin(a)
OR
TU
PQ
=
x
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03.05.2011
Tabelle einiger Werte der trigonometrischen Funktionen
α
00
a
0
sin
0
1.
2
2-
3
cos
1
1.
2
2+
3
tan
0
2-
3
cot
n.d.
2+
3
150
300
450
600
π
π
π
π
12
6
4
3
1
2
1.
2
3
1.
3
3
3
1.
2
2
1.
2
2
1.
2
3
3
1.
3
1
900
5π
12
1
2
1
750
3
π
2
1.
2
2+
3
1
1.
2
2-
3
0
2+
3
n.d.
2-
3
0
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.1 Folie 23
Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
C
Bemerkungen
a
b
α
β
A
c
sin ( α )
cos ( α ) =
tan ( α )
Hypotenuse
cot ( α ) =
Ankathete
Für Winkel zwischen 0 und 90
Grad stimmen beide Definitionen
überein ( am Einheitskreis ist
die Hypotenuse c stets gleich 1 ).
•
Die Definition am rechtwinkligen
Dreieck ist eindeutig, da bei zwei
Dreiecken mit gleichen Winkeln
( also bei ähnlichen Dreiecken )
die jeweiligen Seitenverhältnisse
gleich sind.
c
a
=
Ankathete
Gegenkathete
c
b
=
Gegenkathete
=
•
a
=
Ankathete
Hypotenuse
Die Definition am rechtwinkligen
Dreieck gilt nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad, während
die Definition am Einheitskreis
auch für alle anderen Winkel gilt.
B
Gegenkathete
=
•
b
b
=
a
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Sinussatz und Kosinussatz
In jedem Dreieck ( nicht nur in rechtwinkligen) gilt:
Sinussatz
C
sin ( α )
γ
a
=
sin ( β )
b
sin ( γ )
=
c
a
b
Kosinussatz
α
A
β
c
B
c2
=
a2 + b2 - 2 . a . b . cos ( γ )
b2
=
a2 + c2 - 2 . a . c . cos ( β )
a2
=
b2 + c2 - 2 . b . c . cos ( α )
Von den 6 Größen eines Dreiecks ( 3 Seiten und 3 Winkel) kommen in beiden Sätzen
4 vor ( im Sinussatz 2 Seiten und 2 Winkel, im Kosinussatz 3 Seiten und 1 Winkel ) .
Sind 3 dieser 4 Größen bekannt, so kann man die vierte mit diesen Sätzen berechnen.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.1 Folie 25
h) Vierecke
•
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360 0 .
Allgemein: Die Winkelsumme im n - Eck beträgt ( n - 2 ) . 180 0 .
b
•
Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten heißt Trapez.
Die Fläche eines Trapezes beträgt
A =
a+b.
h .
2
h
a
•
Ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer
a
a
b
b
a
a
benachbarter Seiten heißen Drachen.
b
b
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03.05.2011
•
Für ein Viereck sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:
1.)
Gegenüber liegende Seiten sind parallel.
2.)
Gegenüber liegende Seiten sind gleich lang.
3.)
Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
4.)
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180 0 .
h
g
Solche Vierecke heißen Parallelogramme .
Ihre Fläche ist das Produkt aus Grundseite und Höhe : A = g . h .
Spezielle Parallelogramme sind
1.) die Raute ( der Rhombus ) mit vier gleich langen Seiten
2.) das Rechteck mit vier gleich großen, also wegen der Winkelsumme
vier rechten Winkeln. Die Fläche des Rechtecks
ist das Produkt der beiden Seiten: A = a . b .
b
a
3.) das Quadrat ( Rechteckraute ) mit vier gleich
langen Seiten der Länge a , vier rechten
a
Winkeln und der Fläche A = a . a = a2 .
a
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.1 Folie 27
Übersicht über Vierecke
Viereck
Trapez
Drachen
Parallelogramm
Raute
Rechteck
Quadrat
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03.05.2011
i) Kreis und Körper
•
Kreis:
A =
π. r 2
,
U = 2.π.r
•
Kugel:
V =
4. . 3
πr
3
,
O = 4.π.r2
•
Zylinder:
V =
π. r 2. h
,
M = 2 . π. r2 + 2 . π. r . h
V = G.h
zylindrische Körper:
h
b
r
c
a
Zylinder
•
Quader: V = a . b . c
O = 2.( a.b + a.c + b.c )
zylindrischer Körper mit
beliebiger Grundfläche G
V = a3 ,
Würfel ( spezieller Quader mit a = b = c ) :
O = 6 .a 2
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Pyramiden
•
Kegel ( = Kreispyramide ) :
V =
1 . . 2.
πr h ,
3
•
Pyramide ( allgemein ) :
V =
1. .
Gh
3
M =
π . r 2 + π. r .
r2 + h2
h
r
Kegel
Spezielle Pyramiden:
h
h
Pyramiden mit beliebiger Grundfläche G
•
quadratische Pyramide
•
Tetraeder:
V =
1 .
12
2 .a3 , O =
3 .a2
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03.05.2011
Regelmäßige Körper
Regelmäßige Körper sind Körper, deren Außenfläche aus stets den gleichen regelmäßigen n - Ecken ( d.h. n gleich lange Seiten, n gleich große Winkel ) besteht.
Es gibt 5 regelmäßige Körper:
•
Tetraeder :
4 Dreiecke
•
Hexaeder ( Würfel ) :
6 Quadrate
•
Oktaeder :
8 Dreiecke
•
Dodekaeder :
12 Fünfecke
•
Ikosaeder :
20 Dreiecke
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